微分中值定理经典题型

合集下载

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理练习题

微分中值定理练习题1．试证拉格朗日中值定理．2．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导， (0)(1)0f f ==，11,2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭试证：（1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=．（2）对任意实数,(0,)λξη∃∈，使[]()()1f f ξλξξ'--=．3．模型Ⅰ：设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，则下列结论皆成立：（1）存在(,)a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=（为实常数）．（2）存在(,)a b ξ∈，使1()()0k f k f ξξξ-'+=（0,k k ≠为实常数）．（3）存在(,)a b ξ∈，使()()()0f g f ξξξ'+=（()g x 为连续函数）．4．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，1(0)(1)0,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，试证：（1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=．（2）存在(0,)ξη∈，使[]2()3()1f f ξξξξ'+-=．5．模型Ⅱ：设(),()f x g x 在[],a b 上皆连续，在(,)a b 内皆可导，且()0,()0f a g b ==，则存在(,)a b ξ∈，使()()()()0f g f g ξξξξ''+=．6．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，k 为正整数，求证：存在(0,1)ξ∈，使()()()f kf f ξξξξ''+=．7．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =．当0x >时，()0,f x > 试证：对任意正整数k ，存在()0,1ξ∈使()(1)()(1)f kf f f ξξξξ''-=-． 8．设0x >，试证ln(1)1x x x x<+<+． 9．设不恒为常数的函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，证明：在(,)a b 内至少有一点ξ使得()0f ξ'>．10．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-． 11．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明存在一点,(,)a b ξξ∈，使()()()ln b f b f a f aξξ'-=． 12．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0a b <<，证明：存在(,),(,)a b a b ξη∈∈，使()()2a b f f ξηξ'+'=⋅． 13．设()f x 在(,)a b 内有123()0,,,f x x x x ''>是(,)a b 内相异的三个点，求证：[]1231231()()()33x x x f f x f x f x ++⎛⎫<++ ⎪⎝⎭ 14．若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且(0)(1)0f f ==，设3()()F x x f x =．试证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'''=．15．设()f x 在[]0,1上可导，在(0,1)内有二阶导数，且(0)(1)0f f ==．试证：方程2()()0f x xf x '''+=在(0,1)内有一实根．16．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证：存在(,)a b ξ∈使得()()()f f a f b ξξξ-'=-． 17．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(),()f a b f b a ==，试证明：存在(,)a b ξ∈使得()()f f ξξξ'=-．18．设()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导，证明：0,2πξ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()sin 22()cos 20f f ξξξξ'+=．19．设()f x 在[]0,1上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：(0,1)ξ∃∈，使()tan ()0f f ξξξ'+=．20．设()f x 在[]1,1-上具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0,f f f '-===，证明：(1,1)ξ∃∈-，使()3f ξ'''=．21．设()f x 在[],(0)a a a ->上具有二阶连续导数，且(0)0f =．（1）写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明：[],a a η∃∈-，使3()3()aa a f f x dx η-''=⎰．22．设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．23．设0()lim 1x f x x→=，且()0f x ''>，证明：()f x x ≥． 24．设函数()f x ，在闭区间[]0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且1(0)0,(1)3f f ==证明：存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．使得22()()f f ξηξη''+=+． 25．证明（1）对任意正整数n ，都有111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ （2）设1111ln (1,2,)23n a n n n =++++-= 证明数列{}n a 收敛．微分中值定理练习题答案或提示（凡是证明题均为提示，为节约篇幅，在题号后不再写“提示”二字）1．作辅助函数()()()()f b f a F x f x x b a-=--，用罗尔定理． 2．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理．（2）令()()()x F x ef x x λ-=-，用罗尔定理． 3．（1）令()()x F x e f x =，用罗尔定理．（2）令()()kx F x e f x =，用罗尔定理．（3）令()()()G x F x e f x =，其中()()G x g x '=，用罗尔定理．4．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理．（2）令[]3()()x F x e f x x =-5．令()()()F x f x g x =，用罗尔定理．6．令()(1)k g x x =-，用模型Ⅱ（第5题）．7．令()()(1)kF x f x f x =-． 8．令()ln(1)f t t =+，在[]0,x 用拉格朗日定理． 9．(,)c a b ∃∈使()()()f c f a f b ≠=，若()()f c f a >，则在[],a c 上用拉格朗日定理；若()()f c f a <，则在[],c b 上用拉格朗日定理．10．令()()F x xf x =．用拉格朗日定理．11．令()ln ,(),()g x x f x g x =在[],a b 上用柯西中值定理．12．令2(),(),()g x x f x g x =在[],a b 上先用柯西中值定理，然后用拉格朗日中值定理． 13．令12303x x x x ++，将123(),(),(),f x f x f x 在0x 处展开成一阶泰勒公式，将三式相加可证得结论． 14．将3()()F x x f x =在0x =处展开成二阶泰勒公式．15．()f x 在[]0,1上先用罗尔定理11()0,(0,1)f x x '=∈，令2()(),F x x f x '=在[]10,x 上用罗尔定理．16．令()()()()F x f x f a b x =--⎡⎤⎣⎦，在[],a b 上用罗尔定理．17．令()()F x xf x =，在[],a b 上用罗尔定理．18．令()()sin 2F x f x x =，用罗尔定理．19．令()()sin F x f x x =，用罗尔公式．20．写出()f x 的二阶麦克劳林公式（拉格朗日型余项）．21．（2）利用（1）的展开式，对展开式两边取从a -到a 的定积分．22．令22()(1)ln (1)F x x x x =++-，对()F x 用二阶麦克劳林公式．23．写出()f x 的一阶麦克劳林公式． 24．令31()()3F x f x x =-，对()F x 在110,,,122⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上分用拉格朗日中值定理． 25．（1）用拉格朗日中值定理（2）证明{}n a 单调递减有下界．。

与微分中值定理有关的证明题

与微分中值定理有关的证明题一．利用罗尔定理1．()f x 在[0 ，1]上有二阶导数，且(1)0f = ，又2()()F x x f x = ，求证：在（0 ，1）内至少存在一点x ，使()0F x ⅱ= 2．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导，且(1)0f = ，求证：在（0 ，1）内至少存在一点x ，使()()0f f x x x ¢+=3．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ，l 为某个常数，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()0f f l x x ¢+= 4．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ，l 为某个常数，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()0f f x x x ¢+=5．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b ==求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()()0f g f g x x x x ⅱ+= 6．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ，对于任一点x Î[a , b] ，()0g x ¹ ，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()()0f g f g x x x x ⅱ-= 7．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b ==求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()0f f g x x x ⅱ+= 8．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()f a f b = ，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()f a f f x x x ¢-= 9．()f x 在[1 ，2]上连续，在（1 ，2）内可导，且1(1)2f = ，(2)2f =，求证：在（1 , 2）内至少存在一点x ，使2()()f f x x x¢=二．利用拉格朗日中值定理1．当1||2x £，证明：23arccos arccos(34)x x x p --=2．02p a b <<<时，证明：22tan tan cos cos b a b a b a ab--<-<3．0x >时，求证：2arctan 1x x x x<<+4．0a b <<，求证：b ab ab ab e ea--<<5．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，()()f a f b =，且()f x 在[a , b]上不为常数，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()0f x ¢>6．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内二阶可导，()()f a f b ==0，()0f c >（a c b <<），求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()0f x ⅱ<7．0x >，11()42x q <<，并求0lim ()x x q +®与lim ()x x q ?三．利用柯西中值定理1．0a b <<，求证：在（a ，b ）内至少存在一点x ，使(1)()baae be e b a xx -=-- 2．0a b <<，()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，求证：在（a ，b ）内至少存在一点x ，()()()ln b f b f a f ax x ¢-=四．综合题1．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导，且(0)(1)0f f ==，12()1f =，求证：在（0 ，1）内至少存在一点x ，使()1f x ¢=2．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内有二阶导数，连接点（a , ()f a ）与点（b ，()f b ）的直线段交曲线()y f x =于点（c ，()f c ），a c b <<，求证：在（a ，b ）内至少存在一点x ，使()0f x ⅱ= 3．()f x ¢在[0 ， c]上单调减少，且(0)0f =，证明：对于满足0a b a b c <<<+<中的a 与b ，恒有()()()f a f b f a b +<+4．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导，且(0)0,(1)1f f ==，求证：任给正数a 与b ，在（0，1）内必存在1x 与2x ，使12()()a b a b f x f x +=+ⅱ5．0a b <<，()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，证明：在（a ，b ）内分别存在x 和h ，使222()()()3f f a ab b h x h¢¢=++提示：一 . 1. ()F x 在[0 1]上应用罗尔定理，得()0F η'= ，()F x '在[0 η]上应用罗尔定理2．()()x x f x ϕ= 3. ()()x x f x e λϕ= 4. 22()()xx e f x ϕ= 5. ()()()x f x g x ϕ=6. ()()()f x xg x ϕ=7. ()()()g x x f x e ϕ= 8. ()[()()]x x f x f a ϕ=- 9. 2()()f x x xϕ=二. 4. 取对数ln ln b a b ab a ba--<-<令()ln f x x = 5. 至少有一点c (a<c<b) , ()()f c f a ≠ 若()()f c f a >, ()f x 在[a c] 应用拉格朗日中值定理 , 若()()f c f a <, ()f x 在[c b] 应用拉格朗日中值定理 6．()f x 在[]a c 与[]c b 分别应用拉朗日中值定理，得1a c η<<与2c b η<< 且1()0f η'>与2()0f η'<，()f x '在12[]ηη上应用拉格朗日中值定理7. ()f t =在[x 1x +]上用拉格朗日中值定理得,得11()]42x θ=+由1022x x<=<=1111l i m ()l i m ()4422x x x x x θθ+→+∞→+∞→==+=三. 1. ()xef x x =1()g x x = 2 .()()ln ln f b f a b a--四. 1. ()()F x f x x =-在[121]上应用零点定理 , ()0F η=, ()F x 在[0 η]用罗尔定理 2. ()f x 在[a c]和[c d]上应用拉格朗日中值定理 , 得12()()f x f x ''=()f x '在[1x 2x ]应用罗尔定理3. ()()()()()[()(0)]f a b f a f b f a b f b f a f +--=+--- 应用拉格朗日中值定理2112()()0f a f aa b a b ξξξξ''=-<<<<<+21[()()]0a f f ξξ''=-<4. 由于01a a b<<+ 介值定理得()a f a bξ=+ 01ξ<<在[0 ξ] 和[ξ 1]上用拉格朗日中值定理得11()0()a ab x f x ξξ=+<<' ①22(1)()1()b a bx f x ξξ=-+<<' ② ①+②相加得证5. 拉格朗日中值定理 ()()()f b f a f b a ξ-'=- ① 柯西定理332()()()3f b f a f b aηη'-=- ②②乘22a ab b ++得222()()()()3f b f a f a ab b b aηη'-=++- ③ 比较①③得证。

中值定理练习题

中值定理练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家Cauchy在19世纪初提出的。

中值定理可以帮助我们理解函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

在实际应用中，中值定理常常用于证明其他定理，或者用于解决一些实际问题。

首先，让我们回顾一下中值定理的表述。

中值定理有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

这三种形式都是基于相同的思想，即在一个区间内，如果函数连续且可导，那么一定存在一个点，使得函数在该点的瞬时变化率等于函数在整个区间内的平均变化率。

以拉格朗日中值定理为例，假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。

那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

接下来，我们来看几个关于中值定理的练习题。

练习题一：证明函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上满足中值定理的条件，并找出满足中值定理的点。

解答：首先，我们可以验证函数f(x)=x^3在闭区间[-1, 1]上是连续的。

因为多项式函数在整个实数域上都是连续的，所以f(x)=x^3在[-1, 1]上也是连续的。

其次，我们需要证明函数f(x)=x^3在开区间(-1, 1)上是可导的。

对于f(x)=x^3，我们可以直接求导得到f'(x)=3x^2。

因为3x^2在整个实数域上都是连续的，所以f'(x)=3x^2在(-1, 1)上也是连续的。

由于函数f(x)=x^3满足中值定理的条件，根据中值定理，存在一个点c∈(-1, 1)，使得f'(c)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))。

将函数f(x)=x^3代入上式，得到3c^2=(1^3-(-1)^3)/(1-(-1))=1。

解方程3c^2=1，我们可以得到c=±1/√3。

因此，满足中值定理的点c分别为c=1/√3和c=-1/√3。

高等数学微分中值定理与导数应用习题

微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【】A. x lnB.x ln ln C.xln 1 D.)2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B. 12C. 1D. 212.函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【】A. 0B. 12-C. 1D.1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【】 A.± B. C. D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。

微分中值定理例题

. . . .()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x5的理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理程功2021/12/28()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理及导数应用双周练习卷

lim arctan( x a) arctan x
x
x 2
(0) 0
lim x
1
(
1 x
a
)2
2 x3
1
1 x
2
1 lim
2 x
x3 (2ax a2 ) (1 x2 )[1 ( x a)2 ]
()
1 2a
2
a
1
13、lim x0
tan x
x
x2
lim x0
1
e x2
tan x ln x
1
8 x3
由f ( x) 0,得 x 2
f (1) 1,
f (2) 1,
f (4) 1 4
最大值是 f (2) 1；最小值是 f (1) 1
17、证明：arctan b arctan a b a .
证：设f ( x) arctan x，(不妨设b a) f ( x) C[a,b]， f ( x) D(a,b)
x
x
二、填空题(每题3分，共15分)
6、曲线y
4x 1 ( x 2)2
的渐近线是
y 0,
x 2.
解：
lim 4x 1 x ( x 2)2
0
y 0是水平渐近线
又
4x 1
lim
x 2
(
x
2)2
x 2是垂直渐近线
7、函数f ( x) 1 x 在[1, 2]上满足拉格朗日中 x
定理的 = 2 .
解： f ( ) f (2) f (1)
21
1
2
1 2
得 2 (舍负)
8、函数f ( x) x 2sin x在区间[0, ]上的
2

积分中值定理的例题

积分中值定理的例题
《中值定理》是微积分学中最重要的定理之一，它关乎到函数在
给定段上的定义、最值、单调性问题，经常被广泛地应用于几何、物
理等领域。

按照中值定理规定，如果一个在给定段上具有连续导数的函数，
在某一点上取值的极值（最大值或最小值），则在该点的导数必定为0，即当函数f（x）在a点取最大值时，f（x）的导数f'（a）=0；当函
数f（x）在a点取最小值时，f（x）的导数f'（a）=0。

拿一元函数f（x）=ax^2+bx+c举例：在计算此函数的极大值、
极小值时，我们一般都要经过两步：
首先根据求导法求出此函数的表达式的导数f'（x）；
由f'(x)=0可变求出x的值，记为x0，得到f'（x0）=0；
再用x0代入f（x）的表达式，计算得出f（x0）的值，记为K，得到f（x0）=K；
由K可以确定f（x）的极大值或极小值是K。

通过真实例题来加以说明。

求函数f（x）=2x^2-4x+3在［3，4］段上的最值。

对函数求导
：f'（x）=4x-4
让f'（x）=0可得x=1
让x=1代入函数f（x）得函数值为f（x=1）=2
它是一个最小值，为2，
又因为函数f（x）在［3， 4］上是连续的，因此它的最小值是2.
从中我们可以看出，中值定理非常实用，只要将函数求导，得到函数值，然后根据计算结果就能轻而易举地算出函数的最大值或最小值。

数学分析6微分中值定理及其应用总练习题详解

第六章微分中值定理及其应用总练习题1、证明：若f(x)在(a,b)内可导，且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.证：定义f(a)=+→a x lim f(x)，f(b)=-→b x lim f(x)，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，由罗尔中值定理知至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.2、证明：若x>0，则 (1)1x +-x =θ(x)x 21+，其中41<θ(x)<21；(2)0x lim →θ(x)=41，+∞→x lim θ(x)=21. 证：(1)由拉格朗日中值定理得：1x +-x =θ(x)x 21+, (0<θ(x)<1)，∴θ(x)x 2+=x1x 1-+=1x ++x ，∴θ(x)=41+21[1)x(x +-x].∵1)x(x +-x>2x -x=0，∴41+21[1)x(x +-x]>41；又1)x(x +-x=x1)x(x x ++<xx x 2+=21，∴41+21[1)x(x +-x] <21.∴41<θ(x)<21.(2)(1)中已证θ(x)=41+21[1)x(x +-x]，∴0x lim →θ(x)=0x lim →{41+21[1)x(x +-x]}=41； +∞→x lim θ(x)=+∞→x lim {41+21[1)x(x +-x]}=41+21+∞→x lim 1x111++=21.3、设函数f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ab>0. 证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).证：记F(x)=xf (x)，G(x)=x 1，根据柯西中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得)(G )(F ξξ''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)，又)(G )(F ξξ''=f(ξ)- ξf ’(ξ)，∴f(ξ)- ξf ’(ξ)=G(a)-G(b)F(a)-F(b).又f(b)f(a)b a b -a 1=b -a bf (a)-af (b)=a1-b 1a f(a)-bf(b)=G(a)-G(b)F(a)-F(b)， ∴f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).4、设函数f 在[a,b]上三阶可导，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ). 证：记F(x)=f(x)-f(a)-21(x-a)[f ’(x)+f ’(a)]，G(x)=(x-a)3，则 F,G 在[a,b]上二阶可导，F ’(x)=f ’(x)-21[f ’(x)+f ’(a)]-21(x-a)f ”(x)，G ’(x)=3(x-a)2，F ”(x)=f ”(x)-21f ”(x)-21f ”(x)-21(x-a)f ’”(x)=-21(x-a)f ’”(x)；G ”(x)=6(x-a).且F(a)=F ’(a)=0，G(a)=G ’(a)=0.根据柯西中值定理，存在η∈(a,b)，使得)(G )(F ηη''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)=G(b)F(b)=3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'，又根据柯西中值定理，存在ξ∈(a, η)，使得)(G )(F ξξ''''=(a)G -)(G (a)F -)(F ''''ηη=)(G )(F ηη''，又)(G )(F ξξ''''=a)-6()(f )a (21-ξξξ'''-=-121f ”’(ξ).∴3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'=-121f ”’(ξ). ∴f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ).5、对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明：对x>0，有0<x)ln(11+-x1<1.证：f ’(x)=x11+. 对f 在区间[0,x]应用拉格朗日中值定理得： f ’(ξ)=0-x f (0)-f (x)=x ln1-x)ln(1+= x x)ln(1+，∴ln(1+x)=xf ’(ξ)=ξ1x+. ∴x)ln(11+=x ξ1+=x 1+x ξ；即x)ln(11+-x 1=xξ.又0<xξ<1，∴0<x)ln(11+-x1<1.6、设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数，且f(x)=(na a a x n x 2x 1+⋯++)x1. 证明：(1)0x lim →f(x)=nx n x 2x 1a ··a ·a ⋯；(2)∞→x lim f(x)=max{a 1,a 2,…,a n }. 证：(1)0x lim →f(x)=e na a a ln x 1lim x n x 2x 10+⋯++→x = exn x 2x 1nx n 2x 21x 10a a a a ln a a ln a a ln a lim+⋯+++⋯++→x= ena ln a ln a ln n21+⋯++=n xn x 2x 1a ··a ·a ⋯. (2)记A=max{a 1,a 2,…,a n }，则0<Aa k≤1, (k=1,2,…,n)∵f(x)=A[n)A a()A a ()Aa (x n x 2x 1+⋯++]x 1，∴A(n 1)x 1<f(x)≤A ，又∞→x lim A(n1)x1=A ，∴∞→x lim f(x)=A=max{a 1,a 2,…,a n }.7、求下列极根： (1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11；(2)2xx x x)ln(1-xe lim+→；(3)sinxx 1sinx lim20x →.解：(1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11=e)x 1ln()x 1ln(lim21x --=→= e21x x1)x 1(x 2lim--=→=ex 1x 2lim1x +=→=e.(2)2x 0x x x)ln(1-xe lim +→=2xx 11-xe e lim xx0x ++→=2x)(11xe 2e lim 2x x 0x +++→=23. (3)sinxx 1sinx lim20x →=)sinx x ·x 1sin x (lim 0x →=)x 1sin x (lim 0x →·sinx x lim 0x →=0·1=0.8、设h>0，函数f 在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，且f (n+2)(a)≠0, f 在U(a,h)内的泰勒公式为：f(a+h)=f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )θh a (f 1)(n +++h n+1, 0<θ<1.证明：θlimh →=2n 1+. 证：f 在U(a,h)内带皮亚诺型余项的n+2阶泰勒公式为：f(a+h)= f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )a (f 1)(n ++h n+1+2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o(h n+2),与题中所给泰勒公式相减得：1)!(n )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n +-+++h n+1=2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o (h n+2).∴1)!(n θ+·θh )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n ++-+=2)!(n )a (f 2)(n +++2n 2n h )h (++o .令h →0两端取极限得：1)!(n )a (f 2)(n ++θlim 0h →=2)!(n )a (f 2)(n ++，∴θlim 0h →=2n 1+.9、设k>0，试问k 为何值时，方程arctanx-kx=0存在正根.解：若方程arctanx-kx=0有正根x 0，∵f(x)=arctanx-kx 在[0,x 0]上可导，且f(0)=f(x 0)=0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0,x 0)，使得 f ’(ξ)=2ξ11+-k=0. 可见0<k<1. 反之，当0<k<1时，由f ’(x)=2x11+-k 连续，f ’(0)=1-k>0， ∴存在某邻域U(0,δ)，使得在U(0,δ)内，f ’(x)>0，f(x)严格递增，从而存在a>0，使f(a)>f(0)=0. 又+∞→x lim f(x)=-∞，∴存在b>a ，使f(b)<0，由根的存在定理知，arctanx-kx=0在(a,b)内有正根. ∴当且仅当0<k<1时，原方程存在正根.10、证明：对任一多项式p(x)来说，一定存在点x 1与x 2，使p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上分别严格单调.证：设p(x)=a 0x n +a 1x n-1+…+ a n-1x+a n ，其中a 0≠0，不妨设a 0>0. 当n=1时，p(x)=a 0x+a 1，p ’(x)=a 0>0，∴p(x)在R 上严格增，结论成立. 当n ≥2时，p ’(x)=na 0x n-1+(n-1)a 1x n-2+…+ a n-1，若n 为奇数，则∞→x lim p ’(x)=+∞，∴对任给的G>0，存在M>0，使当|x|>M 时，有p ’(x)>G>0，取x 1=M ，x 2=-M ，则 p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上均严格增.若n 为偶数，则+∞→x lim p ’(x)=+∞，-∞→x lim p ’(x)=-∞， ∴对任给的G>0，存在M>0，使当x>M 时，有p ’(x)>G>0，当x<-M 时，p ’(x)<-G<0，取x 1=M ，x 2=-M ，则p(x)在(x 1,+∞)上严格增，在(-∞,x 2)上严格减. 综上原命题得证。

微分中值定理习题

微分中值定理习题五1、ln(1),1,0() (1,),,0,x x x f x x A x +⎧>-≠⎪=-+∞⎨⎪=⎩ 当设在上连续当 ,()0.A f x x '=求值并判定在处的连续性2、3、4、5、240(sin )(),(0)(0),(0) 6 , lim .x f x f x f f f x→'''==设函数具有连续二阶导数且求 6、7、()cos 0,() (),(0)10.x x x f x x x a x φφφ-⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，设其中具有二阶导数且， (1),()0;(2)()0.a f x x f x x ='=确定值使在处连续讨论在处的连续性 8、9、(),0()0,(0)4,f x x f x f ''=≠=设具有二阶导数且在的去心邻域内已知10、00()[,],(,)(),f x a b x a b f x ''∈设在有连续的一阶导数且存在00020()()2()lim .t f x t f x t f x t→++--研究极限 11、1()()n n f x R x +把阶可导函数展开为带拉格朗日型余项的泰勒展开式0100()()()()n n n f x a a x x a x x R x =+-++-+().n R x 试写出的表示式12、1()n f x +把阶可导函数展开为带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式012()()n n n f x a a x a x a x R x =+++++().n R x 试写出的表示式13、00()(1),,f x x n x n -设在的某邻域内有阶导数在处有阶导数(1)000()()()0n f x f x f x -'''====且000()()lim.()nx x f x f x x x →--求 14、15、16、17、18、19、20、21、 22、00(),()0,x x x φφ≠设函数在处连续且试研究40()()()f x x x x φ=-0x 在处的极值情况.23、24、000,()()(),(),()0,n n f x x x x x x x φφφ=->设为正整数其中在处连续且0()f x x 研究在处是否取得极值25、[]2()()3()1 , x f x x xf x x f x e -'''+=-设对一切实数满足为如 ()(0)f x x c c =≠在处有,,()f c 极值时试判断是极大值还是极小值26、27、28、29、30、31、32、33、34、35,,a V 造一壁厚为容积为上端开口的圆柱形容器要使所用的材料最省问应如何选择尺寸.36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、设有半径为a的圆桌，光源的照度与光线的倾解的正弦成正比，与光源到被照物的距离平方成反比。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

>第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为，最小值为． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

D3考研基础班1-中值定理及其应用专题

n1
nn
9
例2. 设函数在上二阶可导,
且
证明
证: x [0, 1] ,由泰勒公式得
f (1)
f (x)
f ( x)(1
x)
1 2
f ()(1
x)2
(0 1)
f (0)
f
( x)
f
( x)
x
1 2
f
( )
x2
(0 1)
两式相减得 0
f ( x)
1 2
f ()(1
x)2
则f (x)在[a ,b]上必有最大值一定在(a ,b)内取得，
设f ( ) max f ( x)， (a,b) a xb f (x)在x 处可导，
由费马定理知： (a,b)使 f ( ) 0. 证毕
例3.
设
f
(
x)
D[a,
b]且f
(a)
f
(b)
0,
证明: (a ,b)
使f ( ) 0.
16
设函数f (x)在点x0处可导,且在点x0处取得极值f ( x0 ) 0.
4. 积分中值定理
若 f (x)C[a ,b] [a ,b],使
b
f ( x)dx f ( )(b a)
a
实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值.
P241例6.若 f ( x) C[a , b]，证明在开区间(a,b)内
在(0,1)内g( x) 0,又
1 0
0
f ( x)g( x)dx
0，证明:不同1,2 (0,1)
使f (1 ) f (2 ) 0
13
题型二. 证明：使f ( ) 0或f ( ) 0.

经济数学——微积分——中值定理的答案

第四章中值定理，导数的应用§4.1 4.1 中值定理中值定理一、单项选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 (A) . (A) . (A) 256,[2,3]y x x =-+ (B) e ,[0,1]x y x -= (C) 321,[0,2](1)y x =- (D) 1,5,[0,5]1,5x x y x +<ì=í³î2、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是满足拉格朗日中值定理条件的是 (B) . (B) . (A) 22,[1,1]1x y x=-+ (B) ,[1,2]y x =-(C) 32452,[0,1]y x x x =-+- (D) 2ln(1),[0,3]y x =+3、函数3y x =在[1,2]-上满足拉格朗日中值定理的x = (B) . (A) 0 (B) 1 (C)12(D)324、设()y f x =是(,)a b 内的可导函数，,x x x +D 是(,)a b 内任意两点，则内任意两点，则 (C) . (C) . (A) ()y f x x ¢D =D(B) (B) 在在,x x x +D 之间恰有一点x ，使()y f x x ¢D =D (C) (C) 在在,x x x +D 之间至少有一点x ，使()y f x x ¢D =D (D) (D) 对于对于,x x x +D 之间任意一点x ，均有()y f x x ¢D =D 5、设()f x 在[,]a b 上有定义，在(,)a b 内可导，则内可导，则 (B) . (B) . (A) (A) 当当()()0f a f b ×<时，存在(,)a b x Î，使得()0f x = (B) (B) 对于任何对于任何(,)a b x Î，有lim[()()]0x f x f xx ®-=(C) (C) 当当()()f a f b =时，存在(,)a b x Î，使得()0f x ¢= (D) (D) 存在存在(,)a b x Î，使得()()()()f b f a f b a x ¢-=- 析：析：ABC ABC 均要求()f x 在[,]a b 上连续上连续. .二、证明题1、已知()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =.求证至少存在一点(0,1)x Î，使()()f f x x x¢=-.证明令()()F x xf x =，则()()()F x f x x f x ¢¢=+，由题设知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(0)0,(1)1(1)0F f F f =×==×=.所以根据罗尔定理，至少存在一点(0,1)x Î，使得()0F x ¢=，即()()0f xf x x ¢+=，从而()()f f x x x¢=-.2、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，0a b <<.试证明存在两点,(,)a b x h Î，使得()()()2f f a b h x h¢¢=+.证明令2()g x x =,则(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.且在(,)a b 内，()20g x x ¢=¹.根据拉格朗日中值定理,至少存在一点(0,1)x Î，使得 ()()()f b f a f b ax -¢=-；又由柯西中值定理，至少存在一点(0,1)h Î，使得()()()()()()f f b f a g g b g a h h ¢-=¢-，即()()()11()2f f b f a f b a b a b a h x h ¢-¢=×=×-++，亦即亦即 ()()()2f f a b h x h¢¢=+.所以存在两点,(,)a b x h Î，使得()()()2f f a b h x h¢¢=+.3、用拉格朗日中值定理证明：0x >时，ln(1)1x x x x<+<+.证明令()ln(1)f x x =+，1()1f x x¢=+.显然()f x 在[0,]x 上连续，在(0,)x 内可导内可导..根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,,()(0)()(0)(0)f x f f x x x x ¢-=-<<，即ln(1)1x x x+=+，又11x x x xx<<++，所以当0x >时，有ln(1)1x x x x<+<+.4、证明方程510x x +-=只有一个正实根只有一个正实根. .证明 ①存在性存在性令令5()1f x x x =+-，()f x 在[0,1]上连续上连续,,(0)10,(1)10f f =-<=>，据零点定理，至少存在一点(0,1)x Î，使得()0f x =，即方程510x x +-=至少有一实根(0,1)x Î.②唯一性②唯一性用反证法，假设方程用反证法，假设方程510x x +-=有两个实根12,x x 且12x x <，则有12()()0f x f x ==，又()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，根据罗尔定理知，至少存在一点12(,)x x h Î，使得()0f h ¢=，即4510h +=，矛盾，矛盾..所以510x x +-=只有一个实根实根. .综合①②知，方程510x x +-=只有一个正实根只有一个正实根. .§4.2洛必达法则一、填空题1、0e elimsin xxx x -®-=2；是00型未定式型未定式. .2、2ln 2limtan x x x p p +®æö-ç÷èø=0；是¥¥型未定式型未定式. .3、1lim (1)x x x ®¥+=1；是¥型未定式型未定式. .4、21lim 1x x x -®¥æö-=ç÷èø1e -；是1¥型未定式型未定式. .5、2201lim cot x x x ®æö-=ç÷èø23；是¥-¥型未定式型未定式. .析：2201l i m c o t x x x ®æö-=ç÷èø222220sin cos lim sin x x x x x x ®-()()40s i n c o s s i n c o sl i m x x x x x x x x ®-+=30sin sin cos lim cos x x x x x x x x ®-æöæö=+ç÷ç÷èøèø20cos cos sin 2lim 3x x x x x x ®-+=0sin 22lim 33x x x ®== 二、单项选择题1、设0()lim()x x f x g x ®为未定式，则0()lim()x x f x g x ®¢¢存在是0()lim()x x f x g x ®也存在的也存在的 (A) (A) (A) 条件条件条件. .(A) (A) 充分非必要充分非必要充分非必要 (B) (B) (B) 必要非充分必要非充分必要非充分 (C) (C) (C) 充要充要充要 (D) (D) (D) 既非充分也非必要既非充分也非必要既非充分也非必要2、求201sinlimsin x x xx®时，下列各种解法正确的是时，下列各种解法正确的是 (C) . (C) .(A) (A) 用法洛必达则后，求得极限为零用法洛必达则后，求得极限为零用法洛必达则后，求得极限为零 (B) (B) 因为因为01lim sinx x®不存在，所以上述极限不存在不存在，所以上述极限不存在(C) (C) 原式原式01lim sinsin x xx x x®æö=×=ç÷èø(D) (D) 因为不能用洛必达法则，所以极限不存在因为不能用洛必达法则，所以极限不存在因为不能用洛必达法则，所以极限不存在3、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是 (C) . (C) .(A) 21sinlimsin x x x x ® (B) cos lim cos x x x x x®¥+- (C) 0sin lim sin x x x x x ®- (D) 1ln lim 1x x x x ®+-三、用洛必达法则计算下列极限1、2232tan tan sec 1limlim(sin )limsin 3x x x x x x x x x x x xxx®®®---== 因2202sec tan sec 1limlim()633x x x xx x x x®®×=== 因tan .2、22221111ln 1111lim lim lim lim 11111arccot 11x x x x x x x x x x xx ®+¥®+¥®+¥®+¥æö×-ç÷æöèø++ç÷+èø==×=×=-++. 或2222111ln 11lim lim lim lim 11arccot arccot 1x x x x x x x xxx xx®+¥®+¥®+¥®+¥æö+-ç÷+èø====-+. 3、11111ln 1ln 11ln lim lim lim lim 111ln (1)ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x®®®®-++-æö-===ç÷---èø++- 1211lim112x xx x ®==+. 4、1ln(e )limlim (e )exx x x x x x x ®+¥®+¥++=,而 ln(e )1e e e lim lim lim lim 1e1+e e x xxxx x x x x x x x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥++====+，所以，所以 1lim (e )e xxx x ®+¥+=. 5、11(ln 1)1limlim ()1ln 11xxxx x x xx x x x x x®®-+-=-+-的导数由取对数求导法算出21121(ln 1)(ln 1)1limlim111x x xx x x x x x x xxx®®++×+-==--2211lim (ln 1)2x x x x x x ++®éù=-++=-ëû. §4.3 导数的应用（一）函数的单调性一、单项选择题1、函数arctan y x x =-在(,)-¥+¥内 (A) .(A) (A) 单调增加单调增加单调增加 (B) (B) (B) 单调减少单调减少单调减少 (C) (C) (C) 不单调不单调不单调 (D) (D) (D) 不连续不连续不连续 2、设32()(21)(1)f x x x =--，则()f x 的单调递减区间为的单调递减区间为 (A) . (A) .(A) 2[,1]3(B) 2(,],[1,)3-¥+¥ (C) (,1)-¥ (D) 2[,)3+¥二、求函数32()231213f x x x x =--+的单调区间的单调区间. .解定义域(,)x Î-¥+¥，2()66126(1)(2)f x x x x x ¢=--=+-，令()0f x ¢=，得121,2x x =-=，列表如下：，列表如下：x (,1)-¥-(1,2)- (2,)+¥()f x ¢ +-+()f x↗ ↘ ↗三、求函数23()(1)f x x x =-的单调区间的单调区间. .解定义域(,)x Î-¥+¥，213313252()(1)33x f x x x xx --=+-×=,令()0f x ¢=，得25x =，又0x =为()f x 的不可导点，列表如下：的不可导点，列表如下：x(,0)-¥2(0,)52(,)5+¥()f x ¢+-+()f x↗↘↗四、利用单调性证明不等式1、0x >时，2cos 12x x >-.证明令2()cos 12x f x x =-+，则()sin f x x x ¢=-+，()cos 10f x x ¢¢=-+³，所以()f x ¢在(0,)+¥内单调递增，于是有()(0)0f x f ¢¢>=，从而()f x 在(0,)+¥内单调递增，所以()(0)0f x f >=，即2cos102x x -+>，亦即2cos 12x x >-.2、0x >时，()221ln 11x x xx +++>+. 证明令()22()1ln 11f x x x x x =+++-+,则()()2222211()ln 1ln 111x x x f x x xx x xx xx++¢=+++×-=+++++>0从而又有()f x 在(0,)+¥内单调递增，所以()(0)0f x f >=，即 ()221ln 110x x x x +++-+>，亦即()221ln 11x x xx +++>+.§4.3 导数的应用（二）函数的极值一、单项选择题1、若函数()f x 的极值点是0x ，则必有，则必有 (D) . (D) .(A)0()0f x ¢= (B)0()f x ¢不存在不存在 (C) (C)0()0f x ¢¹ (D)0()0f x ¢=或0()f x ¢不存在不存在 2、设23()(1)f x x =-，则1x =是()f x 的 (D) .(A) (A) 间断点间断点间断点 (B) (B) (B) 可导点可导点可导点 (C) (C) (C) 驻点驻点驻点 (D) (D) (D) 极值点极值点极值点 3、设2()()lim1()x af x f a x a ®-=--，则()f x 在x a =处 (A) .(A) (A) 必有极大值必有极大值必有极大值 (B) (B) (B) 必有极小值必有极小值必有极小值 (C) (C) (C) 没有极值没有极值没有极值 (D) (D) (D) 是否有极值不能确定是否有极值不能确定是否有极值不能确定析：2()()()limlim1()2()x ax af x f a f x x a x a ®®¢-=---洛必达,lim ()0x af x ®¢\=，即()0f a ¢=,()()()limlim2()2()x ax af x f x f a x a x a ®®¢¢¢-=--''''()()lim122x af x f a ®===-,()20f a ¢¢=-<,()f x \在x a =处取得极大值处取得极大值二、求函数()e x f x x -=的极值的极值. .解定义域(,)x Î-¥+¥，()e ee(1)xxxf x x x ---¢=-=-，令()0f x ¢=，得驻点1x =，列表如下：列表如下：x (,1)-¥1(1,)+¥()f x ¢+ 0+()f x↗ 极大值点极大值点↘所以()f x 的极大值为1(1)e f -=,无极小值无极小值. .三、求函数32()(1)x f x x =-的极值的极值. .解定义域(,1)(1,)x Î-¥+¥ ，2232433(1)2(1)(3)()(1)(1)x xx x x x f x x x --×--¢==--，令()0f x ¢=，得驻点120,3x x ==，列表如下：，列表如下：x(,0)-¥0 (0,1)1 (1,3)3 (3,)+¥()f x ¢+ 0+不存在不存在 -+()f x↗不是不是极值点极值点↗间断间断↘极小极小值点值点↗所以()f x 的极小值为27(3)4f =，无极大值，无极大值. .四、试求a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在点3x p=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出该极值还是极小值？并求出该极值. .解 ()cos cos 3f x a x x ¢=+，据题设知03f p æö¢=ç÷èø，即c o s c o s 03a p p +=，2a =.()2sin 3sin 3f x x x ¢¢=--,从而2sin 3sin 3033f pp p æö¢¢=--=-<ç÷èø，所以3x p=是()f x 的极大值点，极大值33f p æö=ç÷èø.§4.3 导数的应用（三）凸性与拐点一、单项选择题1、若在区间(,)a b 内，()0,()0f x f x ¢¢¢><，则()f x 在该区间内在该区间内 (D) . (D) . (A) (A) 单调减少，曲线是凹的单调减少，曲线是凹的单调减少，曲线是凹的 (B) (B) (B) 单调增加，曲线是凹的单调增加，曲线是凹的单调增加，曲线是凹的 (C) (C) 单调减少，曲线是凸的单调减少，曲线是凸的单调减少，曲线是凸的 (D) (D) (D) 单调增加，曲线是凸的单调增加，曲线是凸的单调增加，曲线是凸的2、若点(1,0)是曲线322y ax bx =++的拐点，则的拐点，则 (B) . (B) .(A) 1,2a b == (B) 1,3a b ==- (C) 0,3a b ==- (D) 2,2a b == 3、曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为的拐点个数为 (C) . (C) .(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4、曲线arctan y x x =的图形在的图形在 (A) . (A) .(A) (,)-¥+¥内是凹的内是凹的 (B) (B) (,)-¥+¥内是凸的内是凸的 (C) (,0)-¥内是凹的，(0,)+¥内是凸的内是凸的 (D) (,0)-¥内是凸的，(0,)+¥内是凹的内是凹的5、设()f x ¢在x a =处连续，又()lim 1x a f x x a ®¢=--，则，则 (B) .(B) . (A) x a =是()f x 的极小值点的极小值点 (B) (B) x a =是()f x 的极大值点的极大值点 (C) (,())a f a 是曲线()y f x =的拐点的拐点(D) x a =不是()f x 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点的拐点二、求曲线2ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点的凹凸区间与拐点. .解定义域(,)x Î-¥+¥，221x y x¢=+，2222222(1)222(1)(1)(1)x x xx y x x +-×-¢¢==++，令0y ¢¢=，得121,1x x =-=，列表得结论如下：，列表得结论如下：x(,1)-¥-1-(1,1)-1(1,)+¥()f x ¢¢- 0+- ()f xÇ拐点拐点(1,ln 2)-È拐点拐点 (1,ln 2)Ç三、已知曲线32y ax bx cx =++在点(1,2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求,,a b c 的值，并写出该曲线的方程的值，并写出该曲线的方程. .解 232,62y ax bx c y ax b ¢¢¢=++=+，由题设知1102,0,0x x x yy y ===¢¢¢===，即，即232020a b c a b c b ++=ìï++=íï=î，解得，解得 103a b c =-ìï=íï=î，所以曲线的方程为33y x x =-+.§4.3 导数的应用（四）函数图形的描绘一、填空题1、曲线221(1)xy x -=-有2条渐近线，其方程为10x y ==和.2、曲线ln x y x x=+的垂直渐近线为x =，斜渐近线为y x=.3、曲线exy x -=+有斜渐近线y x=.4、曲线32(1)x y x =-有垂直渐近线1x =，斜渐近线2y x =+.5、曲线2211earctan(1)(2)x x x y x x +-=+-有2条渐近线条渐近线. . 析：2211lim earctan(1)(2)4x x x x x x p®¥+-=+-，4y p\=是水平渐近线；是水平渐近线；22011lim earctan,0(1)(2)x x x x x x x ®+-=¥\=+-是垂直渐近线是垂直渐近线.. 二、求函数e 1xy x -=+的单调区间与极值及此函数曲线的凹凸区间与拐点，并求其渐近线，作出函数的图形作出函数的图形. .解定义域(,)x Î-¥+¥.(1)e ,(2)e xxy x y x --¢¢¢¢¢=-=-.令0y ¢=，得1x =；令0y ¢¢=，得2x =，无一阶导数和二阶导数不存在的点，无一阶导数和二阶导数不存在的点..列表得结论如下：列表得结论如下：x(,1)-¥1(1,2)2(2,)+¥()f x ¢+--()f x ¢¢--+()f xÇ极大值点极大值点Ç拐点拐点È极大值1(1)e 1y -=+，拐点()22,2e 1-+.因为1lim (e1)lim 1lim 11e exx x x x x x x -®¥®¥®¥+=+=+=，所以1y =为曲线的水平渐近线，曲线无垂直渐近线和斜渐近线直渐近线和斜渐近线. .选取辅助点3(0,1),(3,3e1)-+，做出函数的图形如下：，做出函数的图形如下：无垂直渐近线和斜渐近线无垂直渐近线和斜渐近线. . . 选取辅助点选取辅助点3(0,1),(3,3e 1)-+，做出函数的图形如下：，做出函数的图形如下：§4.4函数最大值与最小值及其在经济中的应用一、填空题1、1y x x =+-在区间[5,1]-上的最大值为54，最小值为65-.2、322(2)y x x =-在区间[1,3]-上的最大值为39，最小值为0.取得最大值的点为取得最大值的点为1,3x x =-=，取得最小值的点为0,2x x ==.3、设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，又0a >，则a =2，b =3.析: 2()3123(4)00,4f x ax ax ax x x x ¢=-=-=Þ==(舍) ) ，， ()6126(2)0f x ax a a x ¢¢=-=-= (0)0f ¢¢\<，(0),(2)7,(2)16f b f b a f b a =-=-=-，()f x 最大值为3,3b \=，1x =1(1,e1)-+2(1,2e1)-+x()f x 最小值为29,1629,2b a a \-=\=.二、单项选择题1、设31()3f x x x =-，则1x =是()f x 在[2,2]-上的上的 (B) . (B) .(A) (A) 极小值点，但不是最小值点极小值点，但不是最小值点极小值点，但不是最小值点 (B) (B) (B) 极小值点，也是最小值点极小值点，也是最小值点极小值点，也是最小值点 (C) (C) 极大值点，但不是最大值点极大值点，但不是最大值点极大值点，但不是最大值点 (D) (D) (D) 极大值点，也是最大值点极大值点，也是最大值点极大值点，也是最大值点 2、设00()0,()0f x f x ¢¢¢=>，则，则 (B) . (B) .(A) 0()f x 一定是()f x 的最小值的最小值 (B) (B) 0()f x 一定是()f x 的极小值的极小值 (C) 0()f x 一定是()f x 的最大值的最大值 (D) (D) 0()f x 一定是()f x 的极大值的极大值 3、设()f x 在某区间内可导且只有一个驻点0x ，则，则 (C) . (C) .(A) 0()f x 一定是()f x 的极值的极值 (B) (B) 0()f x 一定不是()f x 的极值的极值 (C) (C) 当当0()f x 是()f x 的极小值时，0()f x 一定是()f x 在该区间上的最小值；在该区间上的最小值；当0()f x 是()f x 的极大值时，0()f x 一定是()f x 在该区间上的最大值在该区间上的最大值 (D) (D) 以上结论均不正确以上结论均不正确以上结论均不正确三、求函数2()1x f x x=+在1[,1]2-上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解 2222(1)(2)1(),,2(1)(1)2x x x x x f x x x x +-+æö¢==Î-ç÷++èø，令()0f x ¢=，得0x =，因为，因为 111(0)0,,(1)222f f f æö=-==ç÷èø，所以()f x 在1[,1]2-上的最大值为11(1)22f f æö-==ç÷èø,最小值为(0)0f =.四、一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-（万元（万元//吨），其中x 为销售量，该商品的成本函数为31C x =+（万元）（万元）..（1）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求该商家获最大利润时的销售量；（2）t 为何值时，政府税收总额最大？为何值时，政府税收总额最大？解 (1) 设政府税收总额为T ，商品销售收入为R ，则2,70.2T tx R xp x x ===-，利润函数为函数为 2270.2(31)0.2(4)1L R C T x x x tx x t x =--=--+-=-+--；0.4(4)L x t ¢=-+-.4a 0.40.1x c b pb=-，4b x c4b x c-324b x bc -+(34)2b a c b ,2b c -<(34)2b a cb时可31518282b a b a -=+ç(5216b b -æö=ç÷。

中值定理应用题

中值定理应用题中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决一些与函数的变化率和平均速度有关的问题。

在实际生活中，中值定理也有着广泛的应用，例如在交通规划、经济学和物理学等领域都可以看到中值定理的身影。

本文将通过几个具体的应用题目，来展示中值定理在解决实际问题中的作用。

1. 题目：一辆汽车沿直线道路行驶，已知其速度随时间的变化率为$v(t)=3t^2-6t+2$（单位：m/s），求车辆在第2秒时的平均速度。

解答：根据中值定理，我们知道在$t$时刻的平均速度等于$v(t_0)$到$v(t_1)$之间的某个时刻$t_0 < t < t_1$时刻的瞬时速度。

因此，我们需要首先求出第2秒时刻汽车的瞬时速度，即$v(2)$：$v(2) = 3 \times 2^2 - 6 \times 2 + 2 = 6 m/s$那么根据中值定理，第2秒时刻汽车的平均速度等于$v(2)$，即车辆在第2秒时的平均速度为6m/s。

2. 题目：某种化学反应的速率随时间的变化率为$r(t)=0.5t^2-3t+4$（单位：mol/L/min），求在第5分钟时刻的平均速率。

解答：类似地，我们首先求出第5分钟时刻的瞬时速率，即$r(5)$：$r(5) = 0.5 \times 5^2 - 3 \times 5 + 4 = 6.5 mol/L/min$根据中值定理，第5分钟时刻的平均速率等于$r(5)$，所以该化学反应在第5分钟时刻的平均速率为6.5mol/L/min。

通过以上两个应用题目的解答，我们可以看到中值定理在求解平均速度或速率的问题中起到了至关重要的作用。

在实际应用中，我们可以利用中值定理来简化问题，找到瞬时速度或速率，从而更好地理解事物的变化规律。

希望通过这篇文章，读者对中值定理的应用有了更深入的了解。

微分中值定理经典题型

洛必达法则
Cauchy 中值定理
F ( x) x
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
令y f 取对数
g
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
0 型
f g f 1g
Lagrange f (a ) f (b) Rolle 中值定理定理
n0
Fermat定理
5.已知f ( x ) C[0,1], f ( x )在(0,1)内可导，且f (0) 0, f (1) 1，证明： (1) (0,1), 使 f ( ) 1 (2) , (0,1), 并且使 f '( ) f '() 1.
证明: （1）令F ( x ) f ( x ) - 1 x F ( x ) C [0,1], F (0)F (1) ( f (0) 1) f (1) 1 0
求证存在 (0 ,1) ,使
证明：设辅助函数 ( x) x n f ( x) 显然 (x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 ,1) , 使得
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
在
上连续, 在
证明至少存在一点
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要注意适当放大或缩小的技巧.
1. 研究函数的性态:
增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 . 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数图形的描绘.

微分中值定理

第一节中值定理一、填空题1、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理之间的关系：拉格朗日定理是罗尔定理的，柯西定理是拉格朗日定理的。

2、若，有，则= 。

3、拉格朗日定理的条件（在上连续，在内可导）是定理结论（，使）成立的条件，而非条件。

二、单选题1、若函数在连续，在可导，则（）A、，有；B、，有；C、，有；D、，有。

2、设，方程（）A、有四个实根：1、2、3、4；B、有三个实根，分别位于（1，2），（2，3），（3，4）之内，C、有两个根，分别位于（2，3），（3，4）之内；D、有一个根，位于（2，3）。

3、若，有，则（）A、有；B、，有；C、，有（是某个常数）；D、，有（是任意常数）。

4、设在区间连续，在区间（0，1）内可导，且，则在（0，1）内至少存在一点，有（）A、；B、；C、；D、。

5、对函数，柯西公式（）不成立的区间是，其中（）A、；B、；C、；D、。

6、若函数在区间内可导，和是区间内任意两点，则至少存在一点，使（）A、（）；B、；C、；D、。

三、证明题1、证明：若函数与在区间连续，在开区间可导，且，，则存在，使。

2、证明：若函数在R可导，且，有，则有。

3、证明：方程在上至少有一个实根。

4、证明：若函数在区间可导，且导函数在区间有界，即有，则函数在区间一致连续。

5、证明：等式。

6、证明下列不等式：（1）；（2）；（3）。

7、证明：若与都存在，且，，则是函数的极值大点。

8、证明：若函数在区间可导，单调增加，且，则函数在也单调增加。

9、证明：若函数在区间可导，则，使。

（提示：应用柯西定理，选取）。

第二节洛必达法则一、计算题：1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、19、；20、。

二、证明题：证明：若存在，则（提示：应用一次洛必达法则，再应用导数的定义）。

第四章微分学的基本定理及其应用1．Rolle 定理：若函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =；则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf 。

微分中值定理相关竞赛题

微分中值定理这部分有关考题主要是证明题，技巧性比较高。

内容要点一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、泰勒定理典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f . 试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值M 和最小值m .于是M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故M f f f m ≤++≤)]2()1()0([31. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得1)]2()1()0([31)(=++=f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[c ，3]上连续，（c ，3）内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ使得()0f ξ'=。

例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且⎰=132)0()(3f dx x f求证：存在)1,0(∈ξ使0)('=ξf证：由积分中值定理可知，存在2[,1]3c ∈，使得⎰-=132)321)(()(c f dx x f得到 ⎰==132)0()(3)(f dx x f c f对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在)1,0(),0(⊂∈c ξ，使()0f ξ'=例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有⎰-=k xdx x f xek f 11)()1(，求证存在)1,0(∈ξ使1()(1)()f f ξξξ-'=-证：由积分中值定理可知存在1[0,]c k∈使得)01)(()(111-=--⎰kc f cedx x f xeck x令)()(1x f xe x F x -=，可知)1()1(f F =这样1110(1)(1)()()()xck F f k xef x dx cef c F c --====⎰，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理（三个条件都满足）存在)1,0()1,(⊂∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()xxxF x ef x xef x xef x ---''=-+∴ 11()[()(1)()]0F e f f ξξξξξξ-''=--=又01≠-ξξe ，则1()(1)()f f ξξξ'=-罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(x F 是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

(1) 求
在
内的极值可疑点
(2) 最大值最小值
M max
f (a) , f (b)
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
4.连续曲线凹凸与拐点
（1）凸（凹）函数的定义
设f : I R，若x1 , x2 I， [0,1]有
f x1 (1 ) x2 f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
(2) f (1) f () f '( )(1 ) f () f (0) f '() (,1) (0, )
又f (1) f () 1 f ()
f ( ) f (0) f ( ) 1
1 f '( ) f '() ， 0，（ 1）
证设 x0 [0,1], 在 x0 处把 f ( x ) 展成一阶泰勒公式有 ,
1 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( )( x x0 )2 2
令 x 0, x 1, 则有
1 2 f (0) f ( x0 ) f ( x0 ) x0 f (1 ) x0 2 1 f (1) f ( x0 ) f ( x0 )(1 x0 ) f ( 2 )(1 x0 )2 2
洛必达法则
Cauchy 中值定理
F ( x) x
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
令y f 取对数
g
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
0 型
f g f 1g
Lagrange f (a ) f (b) Rolle 中值定理定理
n0
Fermat定理
①
又因 f ( x ) 及 x 2在 [a , b] 上满足柯西定理条件 ,
故有 ②
ab 将①代入② , 化简得 f ( ) f ( ), , (a , b) 2
例1 若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微, 且 f (0)
1 f (1), f ( x ) 1, 证明 : f ( x ) ( x [0,1]) 2
使
f ( x ) sinln x , F ( x ) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e ) f (1) f ( ) , ( 1 , e ) 因此 F (e ) F (1) F ( ) 即分析:

1
cos ln
在 I 上单调递增在 I 上单调递减
2. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件
过过由正变负由负变正为极大值为极小值为极大值为极小值
(3) 第二充分条件

3. 在[a, b]上连续的函数f(x)的最大（小）值求法
求函数最值的方法:
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0, 3) , 使 f ( ) 0.
证明: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
m f (0), f (1), f (2) M

f ( ) f ( ) 0
0
e f ( )e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
x
证明作辅助函数F ( x ) e x f ( x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上满足罗尔定理条件.
1'. 设f ( x )在R上可微，且f ( x ) f ( x ) 0, 证明 f ( x ) 至多只有一个零点.

1
8.
试证存在
且
f ( ) f ( ) f ( )(b a ) f ( ) ,即要证 . 证明: 欲证 2 2 ab 2 b a 2
因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足L-中值定理条件,
故有
f (b) f (a ) f ( )(b a ) , (a , b)
1 又f (a h) f (a ) hf (a ) f (a 2 h)h2 (0 2 1), 2 1 2 2 两式相减,得 h f ''(a 1 h) h f (a 2 h) 2
h 0
令h→0,两边取极限,利用f
〃
( a) 的连续性得
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (0) f (1) f ( 2) f (c ) f1 3 f (0) (1) f ( 2) 1, f (3) 1 分析: 所给条件可写为 3 ( 2) f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续,f 在cf,(3) 内可导 , f (0) (1) 想到找一点 c , 使 f (c) 3 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使 f ( ) 0.

则称f 为I上的凸函数；凹
若x1 x2 I， (0,1)有
f x1 (1 ) x2 f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
5.已知f ( x ) C[0,1], f ( x )在(0,1)内可导，且f (0) 0, f (1) 1，证明： (1) (0,1), 使 f ( ) 1 (2) , (0,1), 并且使 f '( ) f '() 1.
证明: （1）令F ( x ) f ( x ) - 1 x F ( x ) C [0,1], F (0)F (1) ( f (0) 1) f (1) 1 0
证明反证法,由第1题!
若将第1题改为:
1''. 设f ( x )在R上可微，证明 f ( x ) 的两个零点之间一定有f ( x ) f ( x )的零点.
提示：
F ( x) e x f ( x)
2. 设 f (x) 在 [0,1] 连续， 0 ,1) 可导，且 f (1) 0 , (
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要注意适当放大或缩小的技巧.
1. 研究函数的性态:
增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 . 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数图形的描绘.
两式相减, 注意到 f (0) f (1),
f ( x 0 )
则有
1 1 (1 ) x0 2 f ( 2 )(1 x0 )2 f 2 2
f ( x ) 1,
f ( x 0 ) 1 2 1 1 2 1 2 x0 (1 x0 ) ( x0 ) 2 2 2 4
3. 其他应用 : 证明不等式 ; 研究方程实根等.
(单调性, 极值,凹凸等方法)
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
f ( x ) 0 , x I f ( x ) 0 , x I
在 I 上严格单调递增在 I 上严格单调递减
又由 x0 [0,1] 知,
1 1 x0 , 于是有 2 2
f ( x 0 )
1 2
由 x0 的任意性, 可知命题成立 .
类似地，若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微 , 且 f ( x ) a , f ( x ) b, 其中a , b是非负数. b 证明 : x (0,1), 有 f ( x ) 2a . 2
f ( 2 ) x1 f (1 ) x1 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 )
x1 f ( )( 2 1 ) 0 (1 2 ) f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
4. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
求证存在 (0 ,1) ,使
证明：设辅助函数 ( x) x n f ( x) 显然 (x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 ,1) , 使得
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
在
上连续, 在
证明至少存在一点
又零点定理， 0， F ( )＝0，（ 1）即f ( ) 1 .
（1）令F ( x ) f ( x ) - 1 x F ( x ) C [0,1], F (0)F (1) ( f (0) 1) f (1) 1 0 又零点定理， 0， F ( )＝0，（ 1）即f ( ) 1 .
内可导, 且使
证明第2题的特殊情况:n = 2!
3. 设 f ( x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证明不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0)
1 lim f ''(a 1 h) lim f ( x 2 h) h 0 2 h 0 1 1 lim f (a ) f (a ), 又 f (a ) 0，得 lim . h 0 h 0 2 2