定量分析方法总结

一、灰色关联分析灰色关联分析是系统态势的一种量化比较分析，其实质就是比较若干数列所构成的曲线到理想数列所构成的曲线几何形状的接近程度，几何形状越接近，其关联度就越大。

可见，灰色关联分析是一种趋势分析，它对样本的大小没有太高的要求，一般情况下比较适合小样本，贫信息的数据，并且样本数据不需要典型的分布规律，因而，具有广泛的适用性。

灰色关联分析模型的建立：(1)确定比较数列与参考数列;设Xi={xi(1)，xi （2），…xi(n)}为创业板上市公司的财务指标形成的比较数据列，其中，i=1,2…17.同时，把每项指标中的最优值作为最优指标集X0，可得到参考数列:X 0={x 0(1),x 0(2),…x 0(n)}(2)无量纲化处理；无量纲化的处理方法通常有初值化、均值化、规范化三种方法，而本文采用的是不同指标的标准化处理方法，如前文所示。

(3)各个指标权重的确定w （k ）；(4)计算关联系数δi(k);(5)计算关联度r i设参考数列为:X 0={x 0(1),x 0(2),…x 0(n)}，关联分析中被比较数列记为X i ={x i (1)，x i （2），…x i (n)}，i=1,2,…28；n=1,2,3…12.对于一个参考数列X 0，比较数列Xi ，可用下述关系表示各比较曲线与参考曲线在各点的差：|(k)x -(k) x |ρm ax m ax |(k)x -(k)x | |(k)x -(k)x |m ax m ax ρ |(k)x -(k)x |m inm in (k)δi o i o i o i o i ++=式中，δi(k)是第k 个时刻比较曲线x i 与参考曲线x o 的相对差值，这种形式的相对差值称为x i 对x 0在k 时刻的关联系数。

ρ为分辨系数，ρ∈(0,1)，引入它是为了减少极值对计算的影响。

在实际计算使用时，一般取ρ=0.5.若记：Δmin=minmin|x o (k)-x i (k)|, Δmax= maxmax|x o (k)-x i (k)|,则Δmin 与Δmax 分别为各时刻x o 与x i 的最小绝对差值与最大绝对差值，从而有ρΔm ax|x -x |ρΔm ax Δm in δi(k)0(k)）k i(++= 根据关联系数计算关联度，得到灰色关联模型为：r i =∑=n1i )(*)(k w k i δ二、层次分析法构建经营绩效评价模型层次分析法(Analytic Hierarchy Process 简称AHP)是美国运筹学家匹茨堡大学教授Saaty 于二十世纪70年代初期提出的。

层次分析法（AHP ），它是系统工程中对非定量事件作定量分析的一种简便方法，也是人们对主观判断进行客观描述的一种有效方法。

它将复杂问题分解成若干个层次，逐步进行分析。

这种做法，首先要求把问题层次化，根据问题的性质和要得到的目标，将问题分解为不同的组合因素，并将问题按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。

通过两两比较的方法，确定层次中诸因素的相对重要性，然后组合人们的判断以决定诸因素相对于总目标的相对重要性数值或相对优劣次序的排序。

层次分析法的核心思想可以归纳为“先分解后综合”，应用层次分析法进行上市公司经营绩效评价进，应包括如下基本步骤[27]:（1）建立层次结构应用层次分析法进行综合经营绩效评价时，首先建立评价问题的层次结构(Hierarchy)。

层次结构是应用层次分析法把复杂问题分解简化的关键，必须建立在对决策问题深刻分析和对决策目标以及决策主体意图的充分理解之上。

层次结构的建立过程是首先确定决策目标，其次罗列出与该目标相关的各种因素，然后分析这些因素问的逻辑关系，最后绘制决策的层次结构图，简单的层次结构如图4.1所示：图4.1 简单的层次结构图这种层次结构分为目标层、准则层和方案层，其中准则层根据问题的复杂程度又可以由多层构成。

层次分析法的最终目标G 是考虑所有相关因素，对各方案综合评判比较并选择最优方案。

各方案对于总目标G 的优越性评分，称为方案的综合权重。

求综合权重前，必须求解层次结构中的局部权重。

局部权重分为两类，一类是同层因素对于上一层父因素的相对重要性，称为因素权重，例如上图中因素1A , 2A ,…,n A 相对G 的重要性；另一类是各方案就某因素而言的相对优越性，称为方案权重，例如方案1B ，2B ，…，n B 就因素1A 的相对优越性。

权重反映了多个比较变量间的相对重要性关系，采用归一化的向量来表示。

权重的大小反映了该比较量相对其它比较量重要性的高低。

（2）构造判断矩阵建立递阶层次结构以后，就可以采用层次分析法中的相对评价方法对方案进行两两比较。

长期的心理学研究表明，决策者对事物两两比较的判断要比对多个事物同时比较的判断容易和准确得多。

因此，层次分析法在确定权重时一般都采用两两比较的方式。

若有n 个比较量，则让每一个量与其他量分别进行共n-1次两两比较，第i 个量与第j 个量的比较结果记为ij a ，再加上与自身的比较结果，可以形成一个n n ⨯的矩阵，称为判断矩阵。

该矩阵中蕴含了比较量之间的权重关系，通过一些权重求解算法可求出权重向量。

因此，要得到层次结构中的局部权重，就必须首先逐层建立判断矩阵，对应方案权重的判断矩阵称为方案判断矩阵，它是关于某个因素对各方案进行两两比较而形成的。

对应因素权重的判断矩阵称为因素判断矩阵。

例如要得到图4.2.1中因素1A , 2A ,…,n A 相对G 的因素权重，就需要将1A , 2A ,…,n A 对G 的重要性进行两两比较，比较结果可以形成一个n n ⨯的判断矩阵，再通过计算求得这n 个因素相对于G 的权重。

准则层i A 对目标层G 的判断矩阵可以表示为表4.2。

表4.2 准则层判断矩阵形成判断矩阵的过程也是数据标量化(或测度)的过程。

标量化是指通过一定的标度体系，将各种原始数据转换为可直接比较的规范化格式的过程。

在决策表中的数据还无法直接比较，表中的定性描述必须通过标量化手段转换为规范化的定量数据；表中的定量数据虽己量化，但其量纲和数量级还不统一，仍需规范化后才能比较。

定量数据既可采用直接相比的办法进行处理，也可以让专家进行两两比较得到定性评价后按定性数据处理。

定性数据可用点值打分来表示。

决策者在用层次分析法对各种因素进行测度过程中，提出了一系列标度。

在传统的层次分析法中，决策者通常都会选择正互反性1-9标度判断矩阵作为标量化方法[49]。

正互反性1-9标度打分规则如表4.3所示：表4.3 层次分析法1-9标度打分规则采用1-9标度的判断矩阵具有以下性质:①当i=j 时，1ija =； ②当i ≠j 时，1/j i ij a a =；③当i ，j=1，2，3…n 时，ij a >0。

判断矩阵具有的这一性质，对一个n 个元素的判断矩阵仅需给出其上三角或下三角的n(n-1)/2个判断就可以了。

当判断矩阵具有传递性，即满足等式: ij jk ik a a a ⨯=时，称判断矩阵A 为一致性矩阵。

如果成对比较阵A 不是一致性矩阵时，但在不一致的范围以内，Saaty 等人建议用对应于A 最大特征根（记作max λ）的特征向量（归一化）作为权向量w 。

（3）计算权向量正反矩阵A 的最大特征根max λ是正单根，对应正特征向量w ，且：(4.25)其中：(1,1,,1)T T e =L可以通过Matlab 软件中的eig 命令求解特征向量和特征根。

也可以采用幂乘法、根法、和法等求解正互反判断矩阵的最大特征根和特征向量的近似值。

（4）判断矩阵一致性检验在计算单准则下排序向量时，还需要进行一致性检验。

因为在构造判断矩阵时并不要求判断具有一致性的要求，但是判断矩阵既然是计算排序权向量的根据，那么要求判断矩阵有大体上的一致性。

从层析分析法的原理可知，如果A 矩阵具有唯一的特征值n λ=，则称所构造的矩阵具有完全一致性，但在判断矩阵的构造中，并不严格要求判断具有传递性和一致性。

在实际情况下，直观的两两比较和判断会有计算误差，这必然导致A 矩阵不具备完全一致性。

当判断矩阵偏离一致性过大时，这种近似估计的可靠程度也就值得怀疑了。

因此需要对判断矩阵的一致性进行检验。

步骤如下:①计算一致性的指标CI(Consistency Index)max 1n CI n λ-=- (4.26)其中，max λ是A 的最大特征根，n 为矩阵的阶数。

②依据表4.4查找相应的平均一致性指标RI(Random Index)表4.4 RI 取值规则③计算一致性比例CR (Consistency Ratio) CI CR RI=(4.27)当CR<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。

当CR >0.1时，应该对判断矩阵作适当修正。

对于一阶、二阶矩阵总是一致的，此时CR=O 。

（5）计算组合权向量组合权向量就是计算各层元素对目标层的合成权重。

lim k T k x A e w e A e →∞==经计算可得第2层对第1层的权向量，设为：(2)(2)(2)1(,,)T nωωω=L (4.28)第3层对第2层各元素的权向量为：(3)(3)(3)1(,,),1,2,,T k k km k n ωωω==L L(4.29)以3k ω为列向量，构造矩阵：(4.30)则第三层对第一层的组合权向量为：(3)(3)(2)W ωω= (4.31)同理，第s 层对第一层的组合权向量为：()()(1)(3)(2)k s s W WW ωω-=L (4.32)（6）整体一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个判断矩阵进行一致性检验外，还常需要进行组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。

组合一致性检验可逐层进行，若第p 层的一致性指标为()()1,p p n CI CI L （n 为第1p -层因素的数目），随机一致性指标为()()1,,p p n RI RI L ，则：()()()(1)1,,p p p p n CI CI CI ω-⎡⎤=⎣⎦L(4.33)()()()(1)1,,p p p p n RI RI RI ω-⎡⎤=⎣⎦L(4.34)可计算第p 层的一致性比率为：()()()p p p CI CR RI =，3,4,,p s =L(3)(3)(3)1...n W ωω⎡⎤=⎣⎦(4.35)如果()0.1p CR <，则第p 层通过一致性检验。

最下层（第s 层）对第1层的组合一致性比率为：*()2s p p CR CR ==∑(4.36) 仅当*CR 适当小时，才认为整个层次的判断通过一致性检验。

三、熵权法进行综合经营绩效果评价的理论基础熵最早是热力学中的一个重要概念，热力学第二定律表明，热现象有关的宏观过程是不可逆的，热量总是从高温物体自动传递到低温物体。