253用频率估计概率(第1课时)
人教版数学九年级上册 25、3 用频率估计概率 教案
25. 3用频率估计概率
教学目标
（1）知识与技能目标
学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。
（2）过程与方法目标
提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，体会概率的基本思想，感受到概率在问题决策中的重要作用，进一步树立数据的观念。
（3）情感态度价值观目标
养成学数学、用数学的意识，体验数学的应用价值。
目标解析：1、能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性. 知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.
2、结合生活实例，能进一步明晰频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.
3、在经历用试验的方法探究概率的过程中，培养学生的动手能力、处理数据的能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作精神.
教学重、难点
重点：了解用频率估计概率的必要性和合理性.
难点：教师要注意提问的准确性，并且举恰当的例子，使学生深入理解用频率估计概率，避免出现不必要的枝节。
三、教学问题诊断分析
1、由于学生初学概率，且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件，对于一些结果不是等可能的随机事件（如：认为姚明一次罚篮的结果进与不进是等可能的）会依然采取列举法，这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件把握不够，对事件发生的可能性大小分析不透彻所致.
2、频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下，可以近似地作为这个事件的概率. 概率是巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势，是频率在理论上的期望值，它是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关. 频率与概率是从量变到质变，是对立统一的. 对于初学者，对两者关系的理解，还需要一个循序渐进的过程.
25.3用频率估计概率(第1课时)
抛掷次数 n
2 048 4 040 10 000 12 000 24 000
“正面向上” 的次数 m
1 061 2 048 4 979 6 019 12 012
“正面向上” 的频率 m n
0.518 0.506 9 0.497 9 0.501 6 0.500 5
4．归纳方法
对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试 验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定 数的附近摆动，显示出一定的稳定性.
3．任务2
第一组1 000 次试验
第二组1 000 次试验
3．任务2
第三组1 000 次试验
第四组1 000 次试验
3．任务2
第五组1 000 次试验
第六组1 000 次试验
3．任务2
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试 验，其中一些试验结果来自百度文库下表：
试验者
棣莫弗 布丰 费勒
皮尔逊 皮尔逊
用频率估计概率．
雅各布·伯努利 （1654－1705）
5．运用方法
问题：抛掷一枚图钉，你能估计出“钉尖朝上”的 概率吗？
钉尖朝上
钉尖朝下
用频率估计概率． 猜一猜：“钉尖朝上”可能性与“钉尖朝下”的可 能性哪个更大？
6．任务3
任务3：抛掷一枚图钉，估计“钉尖朝上”的概率． 活动：抛掷一枚图钉 50 次，统计“钉尖朝上”出 现的频数，用 Excel 逐步累加全班数据，观察频率变化 折线图，估计“钉尖朝上”的概率． 注意：水平拿图钉，如图，从视线高度松手，让图 钉下落，尽可能保证每次试验条件相同，确保试验的随 机性．
人教初中数学 《用频率估计概率(第1课时)》教案 (公开课获奖)
用频率估计概率
教学内容
25.3 用频率估计概率（1）．
教学目标
1．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
2．让学生经历硬币实验和投图钉实验，对数据进行收集、整理、描述和分析，通过“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程，体验频率的随机性与规律性，丰富对随机现象的体验，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念．
3．在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲，体验数学的价值与学习的乐趣．通过概率意义教学，渗透辩证思想教育．
教学重点
对实验数据进行收集、整理、描述和分析．
教学难点
用频率估计概率方法的合理性．
教学过程
一、导入新课
用列举法可以求一些事件的概率．实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率．
二、新课教学
抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5．这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢？我们可以用以下实验进行检验．
1．教师布置试验任务．
（1）明确规则：把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行．
（2）明确任务：每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据，并记录下来．
2．教师巡视学生分组试验情况．
注意：（1）观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难；（2）要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控．
人教版数学九年级上册25.3用频率估计概率教学课件
如果某水果公司以2元/千克 250
的成本进了10000千克柑橘, 300
则这批柑橘中完好柑橘的质 量是_9_0_0_0__,若公司希望这
350
些柑橘能够
400
获利5000元,那么售价应定为
___2_.8___元/千克比较合适.
450
500
15.15 19.42 24.35 30.32 35.32 39.24 44.57 51.54
观察图表,回答问题串
１、从表中可以发现，Ａ类幼树移植成活的 频率在__0_._9_左右摆动，并且随着统计数据 的增加，这种规律愈加明显，估计Ａ类幼树 移植成活的概率为_0_._9_，估计Ｂ类幼树移植 成活的概率为_0._8_5． ２、张小明选择Ａ类树苗，还是Ｂ类树苗呢？ _____A,类若他的荒山需要10000株树苗，则他 实际需要进树苗______1_1_11株2 ？ 3、如果每株树苗9元，则小明买树苗共需
我们知道,任意抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.
稳定的,接近于常数0.5,在它附近摆动. 当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率
所以估计幼树移植成活的概率为0.
• 在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上” 就是“反面向上”。因此，从上面提到的 试验中也能得到相应的“反面向上”的频 率。当“正面向上”的频率稳定于0.5时， “反面向上”的频率呈现什么规律？
《用频率估计概率》PPT教学课件1人教版
实验结果如下图
抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
“正面向上” 的频数m
（2）比赛中罚篮一次，估计这n次他能罚中的概率是多少？
当试验发生的可能性不相等时,用频率估计概率, 当试验发生的可能性不相等时,用频率估计概率, 导入新课：养鱼专业户为估计鱼塘里有多少条鱼,先捕捞100条做上标记，然后放回塘里，当带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕 捞100条，发现其中带标记的鱼有10条，他估计塘里大约有1000条鱼.
2大，量由重此面复可试估向验计中袋上，中如白”果球事的和件个A数发“大生约的反为频率面稳定向个在.常上数p”附近的, 结果一定是各50次吗？为什么？
“正面向上”的频率m/n
解：不一定 选做：第5,6,7题（3 4号）
教练记录一名主力前锋练习罚篮的结果如下： 抛掷硬币“正面向上”的概率是0.
3那么用事频件率理A估发计生由概的率概：率概P(A)率=p 是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映
2048 4040 10000 12000 24000
“正面向上”
次数m
1061 2048 4979 6019 12012
2019-2020学年九年级数学上册 25.3 用频率估计概率(第1课时)导学案(新版)新人教版.doc
2019-2020学年九年级数学上册 25.3 用频率估计概率（第1课时）
导学案（新版）新人教版
【学习内容】教材P140—142
【学习目标】1、理解用频率估计概率的合理性。
2、理解频率与概率的区别与联系。
3、经历通过试验统计频率估计概率的学习过程。
4、会用频率估计概率。
【学习重点】对利用频率估计概率的理解和应用。
【学习难点】对利用频率估计概率的理解。
【学习过程】
【知识回顾】1、抛掷一枚硬币时，“正面朝上”的概率为。你是怎么求出来的？
2、抛掷一枚硬币有种可能的结果,每种结果出现的可能性，对于这类事件我们用法求概率。
3、对于可能事件，我们在用列举法求概率时，若所有可能的结果有m种，满足条件的结果有n种，则概率为P（A）= 。
（设计意图：让学生独立完成上述填空题，加深对列举法求概率的理解，并与下面将要学习的非等可能事件求概率的方法进行对比。）
【问题情境】1、抛掷一枚硬币时，“正面朝上”的概率为0.5，是否意味着掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面朝上”呢？
2、除了列举法求概率之外还有没有别的方法呢？
3、如果事件A各种结果出现的可能性不同，或者出现的结果不是有限个，那又如何求概率呢？
带着这些问题，我们开始下面的试验。
（设计意图：通过这个大家所熟知的事件，说明用频率估计概率的合理性和广泛性。）
【自主探究】
活动一：试验：
（1）明确规则：把全班分成10个小组，每组中有一名同学掷硬币，另一名同学做记录，其余同学观察。试验必须在同样的条件下进行。
（2）明确任务：每组掷硬币50次，统计“正面朝上”的频数，计算“正面朝上”频率，整理试验数据，并记录下来。
25.3.1利用频率估计概率(第一课时)
25.3.1利用频率估计概率（第一课时）
作者：胡春雁
来源：《杂文月刊·教育世界》2014年第10期
一、教学内容解析：
1、内容介绍：《利用频率估计概率》是九年级上册概率这一章的内容，这节内容将研究如何用统计概率求一些现实生活中的概率问题，让学生结合具体情境，通过小组探究试验收集数据，体会用试验的方法，以频率估计概率的应用，进一步体会频率与概率的关系。
在具体教学过程中，需要注意两个问题：一是让学生充分体验试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力；二是“当试验次数很大时，频率稳定在概率附近”并不意味着试验次数越大，频率就越靠近理论概率。有可能出现这样的情形，增加几次试验，试验数据和理论概率的差距反而扩大了。
2、教学重点和难点
重点：通过实验活动丰富对频率与概率关系的认识，知道当实验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性，可以用频率的集中趋势估计概率。
难点：收集数据、分析折线图、辩证的理解频率与概率的关系。
二、教学目标解析：
1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频来估计概率。
2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。
3、通过经历“猜测结果——进行试验——收集数据——分析实验结果”等活动过程，建立正确的概率直觉，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
4、在合作学习的过程中培养学生的实践意识，创新意识和辩证思维能力，体会合作学习的乐趣和力量。
三、教学问题诊断分析：
本节内容主要是通过大量实验操作，观察分析、总结归纳得出概率的统计定义。课堂教学中，如何组织好学生的分组试验，怎样调动全体学生的学习积极性，让全体学生参与到教学活动中去，是教师首先要解决的问题。其次教学上还要注意让学生进一步理解不同的整理方法及不同图表的特点，学会从图表中提取数字特征。
人教版九年级数学上册《25.3用频率估计概率》课件(共27张PPT)
转动转盘的次数n
落在“铅笔”的次数m
落在“铅笔”的频率
m n
100 150 200 500 800 1 000 68 111 136 345 546 701
（2） 请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3） 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
（4） 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大
9第0二2，十于五是章可以概估率计初幼随步树移着植成抛活的概掷率为次0. 数的增加，“正面向上”的频率的变化在0.5这个
了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念． 频率是随着试验次数的改变而变化的．而概率是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率围绕概率摆动的平均幅度越来越小，即频率靠近概率．
““射射中中99环环以以上上数””的的频频字率率 左右摆动．一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定
3 用频率估计概率
（第2二）十这五位章运的动概员率稳投初篮步一定次，性进球：的概率在约为00..5附近摆动的幅度会越来越小．这时，我们称“正
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率．随着移植数n越来越大，频率 会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值． 频率是随着试验次数的改变而变化的．而概率是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率围绕概率摆动的平均幅度越来越小，即频率靠近概率．
25.3用频率估计概率(1)教学设计
初中九年级数学
《26.3用频率估计概率》第一课时教学设计
蚌埠市怀远界沟学校何建超
一、教学内容解析
《用频率估计概率》是沪科版教材九年级下册第二十六章第三节，前两节已经学习了概率的定义，并利用列举法求一些有限等可能事件的概率，本节将从统计试验结果的角度去研究概率，即通过频率研究概率。教材在讨论完设置的掷硬币试验后，归纳得出用频率估计概率的方法，用频率估计概率将不受试验结果个数有限和等可能条件的限制，因此适用范围比用概率的古典定义更广。
教材设置了一个投币实验，一方面让学生亲自动手试验获得数据，另一方面给出历史上投币实验的数据，为学生发现规律提供帮助，通过亲手试验和历史数据，学生能够用自己在统计中学过的频率知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率的大小，大量试验得出的稳定性数据0.5和我们用列举法求出的概率是同一个数值，从另外一个方面佐证了只要试验重复次数足够多，可以用频率去估计概率。于是教材给出了概率的统计定义，这将有利于学生从整体上更好的把握概
率的内涵，与前节学习的概率的古典定义达到统一。
二、教学目标解析
根据学生已有的认知结构和生活经验，制定以下教学目标：
1、从频率稳定性的角度了解概率的意义；
【设计目的】让学生感知在试验过程中频数的发生是一个随机事件，用质地均匀的硬币投掷又是等可能事件，计算出的频率只能作为概率发生的估计值。
2、经历试验、统计整理、分析、归纳、确认等数学活动进而了解并感受概
率意义的过程，引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界，进一步发展学生合作交流的意识和能力；
用频率估计概率(唐明坤)
用频率估计概率（第一课时）
教学设计与反思
湖北省襄樊市南漳县花庄中学唐明坤
教学设计
一、内容和内容解析
内容
概率的统计定义——用频率估计概率（第一课时）.
内容解析
“25.3用频率估计概率”是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册第二十五章概率统计的内容，本设计是用频率估计概率的第一课时，组织学生通过动手操作、数据统计、整理、计算、绘制图象，观察、归纳总结得出概率的第二种定义：统计定义——用频率估计概率，并初步获取用频率估计概率的基本方法。其中，概率统计定义的概念是本节的核心内容。概率统计定义概念的核心是概率与频率之间的关系：（1）大量的重复实验得到事件发生的频率；（2）频率呈现出稳定性，稳定在某一常数p的周围，这个常数p就可以作为事件发生的概率估计值。这一概念蕴含了从特殊到一般及用样本估计总体的数学思想方法。
地位与作用：本节课是在学生学习了概率的古典定义和用列举法求一些简单随机事件概率的基础上，从统计实验结果的角度研究概率，即用频率估计概率。实际生活中经常会遇到解决事件发生的概率问题，而很多事件不具备列举法的条件，就需要研究运用新的求概率方法。本节课就是研究通过大量实验用频率估计概率的方法。在本节课的研究过程中用抛硬币实验，把列举法与实验法统一，起到了承上启下的作用。同时为今后研究解决一般事件概率问题奠定了方法基础。
二、目标和目标解析
目标
1.知识与技能目标：理解概率的统计定义，知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。
2.过程与方法目标：学生通过动手实验、统计、观察发现规律、形成数学概念等一系列的学习活动，获取用频率估计概率的基本方法，积累学习经验。
2017年秋九年级数学上册25.3用频率估计概率第1课时教案
25.3 用频率估计概率
教学目标
1. 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
2. 会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养分析问题，解决问题的能力.
3. 让学生经历硬币实验和投图钉实验，对数据进行收集、整理、描述和分析，通过“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程，体验频率的随机性与规律性，丰富对随机现象的体验，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念．
4. 通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法.
5. 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲，体验数学的价值与学习的乐趣．通过概率意义教学，渗透辩证思想教育．
教学重点
对实验数据进行收集、整理、描述和分析．通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率．
教学难点
1. 用频率估计概率方法的合理性．
2. 对大量重复试验得到频率的稳定值的分析．
课时安排
2课时．
教案A
第1课时
教学内容
25.3 用频率估计概率（1）．
教学目标
1．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
2．让学生经历硬币实验和投图钉实验，对数据进行收集、整理、描述和分析，通过“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程，体验频率的随机性与规律性，丰富对随机现象的体验，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念．
3．在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲，体验数学的价值与学习的乐趣．通过概率意义教学，渗透辩证思想教育．
教学重点
对实验数据进行收集、整理、描述和分析．
教学难点
用频率估计概率方法的合理性．
人教版九年级上册数学《用频率估计概率》概率初步PPT教学课件(第1课时)
每批粒数n 100 300 400 600 1 000 2 000 3 000
发芽的频数 m
96 284 380 571 948 1 902 2 848
发芽频率 0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949
那么这种菜籽发芽的概率是 0.95 (结果保留小数点 后两位). 对于等可能事件，可以用列举法通过公
图钉落地的试验（小组活动）
问题 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些 可能的结果？
出现“钉尖朝上”和“钉尖着地”两种情况.
钉尖朝上
钉尖着地
(1) 选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20 次，并根据试验结果填写下表.
试验累计次数 钉帽着地的次数(频数) 钉帽着地的频率( %) 试验累计次数 钉帽着地的次数(频数)
122 135 143 155 162 177 194 203 215 224
55
56.2 5
55
55
54
55
57 56.4 56.6 56
(2) 根据上表画出统计图表示“钉帽着地”的频率.
70
(%)
60
56.5
50
40
30
20
10
0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
课件1：25.3用频率估计概率
2 10000 20 2.22元 / 千克
9000
9
设每千克柑橘的销价为x元，则应有（x－2.22）×9 000=5 000
解得 x≈2.8
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5 000元．
为简单起见，我们能否直接把表中500千克柑橘对应 的柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的频率？能否看作 柑橘损坏的概率？
应该可以的
因为500千克柑橘损坏51.54千克，损坏率是0.103， 可以近似的估算是柑橘的损坏概率
练习
某农科所在相同条件下做了某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
发芽种子个数 94 187 282 338 435 530 624 718 814 981
成活率（m） 8
成活的频率（ m） n
0.80
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000 14000
8073 12628
0.897 0.902
25.3. 用频率估计概率1
余庆县实验中学九年级（上）数学《三环五步》课堂教学
教学设计（师生共用）
上课时间 2017年 月 日（第 周 星期 ） 总第 课时
课 题 25.3.用频率估计概率（1） 主 备 人 黄行龙 二次备课人
九年级（ ）班
学生
学习目标 1.理解实验次数较大时实验频率趋与稳定这一规律。 2.结合具体情景掌握如何用频率估计概率。
3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系。 学习重点 用频率估计概率的意义。 学习难点 用频率估计概率。
使用要求
1.自学P142—144中的内容；
2.独立完成学案，然后小组交流、展示。
小组评价
评价人签名
2017年 月 日
学 习 过 程
备 注
一、自主预习 探究问题
投掷一枚质地均匀的硬币时，结果是“正面向上”的概率是______，若投掷100次，是否一定有50次正面向上呢？
二、自主学习 感受新知
1、阅读教材中的“试验”，在理解题意的基础上完成试验： （1）整理同学们得到的试验数据，记录在表25-3中； （2）计算出“正面向上”的频率；
（3）根据表中的数据在图25.3-1中标注出对应点； （4）根据试验的数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
（5）阅读教材中的表25-4，验证上述结论；
（6）通过以上试验，请你概括频率与概率有什么关系：
一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率n m
会稳定在某一个______附
近，那么事件A 发生的概率P(A)= ______。
2、思考：
（1） 在做从复实验时，随着实验次数的增多，事件发生的概率有什么变化趋势？
（2） 利用频率估计概率的前提条件是什么？
正3利用频率估计概率(第1课时)课件
记做P(A)
注： (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验； (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率； (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小； (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此0P(A)1
m P A n
思考：当实验的所有结果不是有限个;
或各种可能结果发生的可能性不相等时. 又该如何求事件发生的概率呢?
导入 如图，有一枚图钉，将它抛出后， 要考察钉尖的朝向上的概率。 (1)钉尖的朝向有几种可能的结果？
钉尖朝上
钉尖朝上
(2)这两种结果可能性相等吗？
这两种结果可能性不相等。
1.思考：
新课
用列举法可以求一些事件概率，还可以利用多 次重复试验，通过统计实验结果去估计概率
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如 材料 下表 ： m 正面向上次 抛掷次数(n) 频率( ) 数（频数m） n 2048 4040 12000 24000 30000 72088 1061 2048 6019 12012 14984 36124 0.5181 0.5069 0.5016 05005 0.4996 0.5011
用什么方法求概率？
列举的方法： (1)直接列举法： 事件结果显而易见，可能性较少；
用频率估计概率教学设计
“用频率估计概率（第1课时）”教学设计
荆州市教育科学研究院熊乾荆州市实验中学李宜红王用华
一、内容和内容解析
内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“25. 3用频率估计概率”（第一课时）.
内容解析：
不确定现象大量存在于自然界和人类社会中，概率正是研究这种现象、揭示其统计规律并帮助我们形成决策的数学工具. 且随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率在现实生活和科学预测中的作用愈加广泛和重要，掌握概率的基本知识和思想方法已成为现代社会公民必备的素养.
“用频率估计概率”是“概率初步”这一章的第三节，是在学生初步了解概率的意义及会用概率的古典定义求一些简单等可能事件的概率之后对概率的进一步研究. 教材这样编排其主要意图有三：1、遵从概率的产生及发展规律. 历史上概率（指客观概率）的定义经历了三个阶段：①概率的古典定义；②概率的统计定义；③概率的公理化定义. 2、符合学生的认知规律. 概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结果，学生易于接受，而概率的统计定义其内涵更为深刻. 3、相对于概率的古典定义，用频率估计概率的方法更具一般性与普遍性，它不受列举法求概率两个条件的限制，适用范围更广.
所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变. 而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关. 从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着样本量的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率. 1713年，瑞士大数学家雅各布·伯努利对这一客观规律性从理论上给予了证明，并提出了大数定律中的伯努利定律. 基于此，我们可以用这个稳定的频率作为事件发生的概率──
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雅各布·伯努利（瑞士） 1654-1705
频率与概率的关系
区别：1频率反映事件发生的频繁程度； 概率反映事件发生的可能性大小.
2 频率是不能脱离具体的n次试验 的结果，具有随机性；概率是具有确定 性的不依赖于试验次数的理论值. 联系：频率是概率的近似值，概率是频 率的稳定值.
0.097 0.101
为简单起见3，50 我们能35否.32直接把表0.101
中的500千克4柑00 橘对应39的.24柑橘损坏0.098
的频率看作柑45橘0 损坏的44概.57率？ 0.099
500
51.54
0.103
(2)根据表中数据填空:
这批柑橘损坏的概率是___0._1__,则完好柑橘的概 率是___0_.___, 如果某水9 果公司以2元/千克的成本进了10000千 克柑橘,则这批柑橘中完好柑橘的质量是 ___9_0_0_0__,若公司希望这些柑橘能够获利5000元, 那么售价应定为___2_.8___元/千克比较合适.
用频率估计概率
例如：
1．投掷一枚硬币，“正面向上”的概率为1/2
2．六个相同的球，在六个球上分别标出1、 2、3、4、5、6，把它们放进一个不透明的 箱子，“摸出1号球”的概率为1/6
3．不透明的箱子里有6个除颜色外完全相同 的球，1黄5白，“摸出黄球”的概率为1/6
（二）引入和发现规律
1.思考：
试一试
1.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾， 一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫 鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里 有鲤鱼__3_1_0___尾,鲢鱼___2_7_0__尾.
2.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中 有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一 个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央 电视台早间新闻的大约是多少人?
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.＿9 ＿．
移植总数（n） 10
成活数（m） 8
成活的频率( m )
n
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
270
235
0.870
2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少
400
369
0.923
Hale Waihona Puke Baidu
向林业部门购买约__5_5__6__棵.
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
14000
12628
0.902
14000
12628
0.902
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿0＿.9＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.＿9 ＿．
移植总数（n） 10
成活数（m） 8
成活的频率( m )
n
0.8
1.林业50部门种植了该幼树140700棵,估计能成活0__9.9_0_4_0__棵.
频率与概率的异同
❖ 事件发生的概率是一个定值。 ❖ 而事件发生的频率是波动的，与试验次数有
关。 ❖ 当试验次数不大时，事件发生的频率与概率
的偏差甚至会很大。 ❖ 只有通过大量试验，当试验频率区趋于稳定，
才能用事件发生的频率来估计概率。
柑橘总质 损坏柑橘质 柑橘损坏的
例1、某水果公司
量（n）千 量（m）千 频率(m/n)
用频率估计概率的基本步骤：
1． 大量重复试验 2． 检验频率是否已表现出稳定性 3． 频率的稳定值即为概率
用列举法求概率的条件是什么?
(1)实验的所有结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等.
PA m
n
当实验的所有结果不是有限个;或各种可能结 果发生的可能性不相等时.又该如何求事件发生的 概率呢?
投掷一枚硬币，“正面向上”的概率为1/2
能否理解为： “投掷2次，1次正面向上”； “投掷100次，50次正面向上”； “投掷n次，n/2次正面向上”……
2. 历史数据
投掷一枚硬币，“正面向上”的频率
试验者
投掷次数 （n）
“正面向 上”的次
数 （m）
隶莫弗
2 048
1 061
“正面向 上”的频
率m （n ） 0.518
解: 根据概率的意义,可以认为其概率 大约等于250/2000=0.125. 该镇约有100000×0.125=12500人 看中央电视台的早间新闻.
升华提高
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件 发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一 件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
克
克
以2元/千克的成本 50 新进了10000千克 柑橘，销售人员首 100
5.50 10.50
0.110 0.105
先从所有的柑橘中 150 随机地抽取若干柑 橘，进行了“柑橘 200
15.15 19.42
0.101 0.097
损坏率“统计，并 250
把获得的数据记录 在下表中了。
300
24.35 30.32
问题1:某林业部门要考查某种幼树在一定条 件下的移植成活率,应采取什么具体做法?
该问题不属于结果可能性相等的 类型.移植中有两种情况活或死.它们的 可能性并不相等, 事件发生的概率并不 都为50%.
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿0＿.9＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率
体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
布丰
4 040
2 048 0.506 9
费勒
10 000
4 979
0.497 9
皮尔逊 12 000
6 019
0.501 6
皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5
3. 定义
对一般的随机事件，在做大量重复试验 时，一个事件出现的频率，总是在某个常数 附近摆动，显示出一定的稳定性.
概率的统计定义： 一般地，在大量重复试验中，