静态场的边值问题 优秀课件
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电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场与波课件教学PPT-第三章 静态场及其边值问题的解共154页PPT资料
静电场
静止
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
第三章 静态场及其边值问题的解
5
电磁场与电磁波
静态（恒定）磁场问题
出发点 Maxwell方程组
H J B 0
条件
本构关系
H B
边界条件 en (H1 H2) J s en (B1 B2) 0
2
2
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体情况
静电平衡
介质
en E 1 E
导体内部的电场为零
1, 1 0
导体en表 D面的边S 界条件或
en E 0
常取无限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。问题求解过程中参
考点应是固定的。
第三章 静态场及其边值问题的解
20
电磁场与电磁波
例 均匀电场的电位分布。选择点O为电位参考点
例 求长度为2L、电荷线密度为 l 0 的均匀带电线的电位。 无限长直均匀线电荷产生的电位， 任选有限远处的某点为电位参考点，例如，ρ= a 点 例 点电荷（带电球）的电位。选择无限远处为电位参考点
0
介质2 2
E2 2
2
2
0
第三章 静态场及其边值问题的解
15
电磁场与电磁波
4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题
点电荷源情况： 2(r)q(rr)
Rrr
E ( r ) 4 qR R 3 4 q R 1 4 qR 1
静态场边值问题的解法.ppt
R
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
静态电磁场边值问题精品PPT课件
φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
电磁场与电磁波课件第5章 静态场的边值问题
1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
设φ1φ2是同一有源区域的边值问题
2 的解。 | f1 ( S )
即在区域V内，φ1和φ2满泊松方程，即
1 2 2
2
在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件， 即
5.3.1 导体平面镜像
设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。 若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半 空间中的电场。 分析：上半空间任一点 P处的电位，应等于点 电荷q和无限大导体平 板上感应的负电荷产生 的的电位总和。因此， 上半空间的电位问题可 表示为 ：
2
C (常数)
0
1 2
C 0
5.3 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边
界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界 条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜 像电荷，而这种方法称为镜像法。
2 A ( A) A J
人为规定
A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0
2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 H 0 B 0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数
第4章静态场边值问题的解法精品PPT课件
X (x) a 1sikxn x a 2co kxxs
或
X (x) b 1 ejx k x b 2 ejx k x
当 2 0 时，令 k x ，则
X (x)c 1 sh kxx c2 ch kxx
或
X(x)d1ekxxd2ekxx
例 1 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽
相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为
n1,3,
nsh1 nabshnaysinnax
分离变量法的求解步骤
建立正确的坐标系, 确定变量的个数 写出方程的通解 利用自然边界条件化简通解 利用电磁边界条件建立确定系数的方程并解方程, 求出待定系数
4.4 圆柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的分离变量法
2 0
1 rrrrr1222 z22 0
V
S
S
令 F
F 2
V
2 d V e n d S d S
S
S n
这就是格林第一定理（第一恒等式）
把 和 交换位置
V 2 d V S nd S
V 2 2d V S n n d S S d S
这就是格林第二定理（第二恒等式）
二、唯一性定理
的值唯,则一泊性松定方理程:或在拉场普域拉V的斯边方界程面在S场上域给V定内电的位解 唯或一
n
.
说明:若对同一面积,同时给定 或 的值,则不存在
唯一解.
n
唯一性定理的意义
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件.
为静态场边值问题求解方法提供了理论根据,为结果 正确性提供了判据.
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的 理论根据
YZdd2X 2xXZ dd2Y2yXYdd2Z 2z0
或
X (x) b 1 ejx k x b 2 ejx k x
当 2 0 时，令 k x ，则
X (x)c 1 sh kxx c2 ch kxx
或
X(x)d1ekxxd2ekxx
例 1 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽
相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为
n1,3,
nsh1 nabshnaysinnax
分离变量法的求解步骤
建立正确的坐标系, 确定变量的个数 写出方程的通解 利用自然边界条件化简通解 利用电磁边界条件建立确定系数的方程并解方程, 求出待定系数
4.4 圆柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的分离变量法
2 0
1 rrrrr1222 z22 0
V
S
S
令 F
F 2
V
2 d V e n d S d S
S
S n
这就是格林第一定理（第一恒等式）
把 和 交换位置
V 2 d V S nd S
V 2 2d V S n n d S S d S
这就是格林第二定理（第二恒等式）
二、唯一性定理
的值唯,则一泊性松定方理程:或在拉场普域拉V的斯边方界程面在S场上域给V定内电的位解 唯或一
n
.
说明:若对同一面积,同时给定 或 的值,则不存在
唯一解.
n
唯一性定理的意义
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件.
为静态场边值问题求解方法提供了理论根据,为结果 正确性提供了判据.
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的 理论根据
YZdd2X 2xXZ dd2Y2yXYdd2Z 2z0
第4章静态电磁场边值问题的解法精品PPT课件
圆心坐标 (x0,y0)(K K 2 2 1 1b,0) 圆半径 RK 2b 2 1 K
当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。且每个圆的
半径R，圆心位置 x 0 和电轴位置b 之间满足
R 2 b 2 (K 2 b 2 1 K )2 b 2 (K K 2 2 1 1 b )2 x 0 2
将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导 线系统的方法，称为电轴法。
1. 静电场
2
0
/
E1t
D1n
E 2t D2n
0
s
1 2
1
1
n
2
2
n
0s
2. 恒流电场
2 0
E1t E 2t
J
1n
J 2n
1 1
2 1
n
2
2
n
3. 恒流磁场
➢ 标量磁位
2m 0
H 1t B1n
H 2t B2n
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
➢ 矢量磁位
2
A
0
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位 函数的解。
一. 直角坐标系中的分离变量法
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
22x2 y22 2z2 0
设其解为： (x ,y ,z ) X (x ) Y (y )Z (z )
只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产 生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理， 这种代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置， 故称镜像法。
一.无限大导体平面的镜像法
0 （导板及无穷远处）
P4qr4qr0
（导板及无穷远处）
空间任一点Q点电位为：
第四章静态场边值问题的解法精品PPT课件
nx
a
sinh
ny
a
U
sinh b
sin
x
a
sinh
y
a
a
16
当然也可以用三角函数的正交归一性进行处理，
第四章 静态场边值问题的解法
直角坐标中的分离变量法 镜像法 有限差分法
1
第三章我们已经知道，在边界条件已知的情况下（三类边
界条件：,,与 拉普拉斯方程 2＝0 有唯一解。
n n
求解边值问题，有两大类：一类是解析法，可以得到精确 解，其中分离变量法是最基本的解法； 另一类是数值法，如时域有限差
分法（FDTD），有限元（FEM），矩量法（MOM）等只 能得到近似解，但随着计算技术的进步，该方法优势十分 明显，因为其简单方便。
右边s
in
my在 b
b 0
d
y上积分＝ b 0 n1
Cn
sinhnasin
b
nbysin
my
b
dy
＝0bCn
sinhnasin2
b
nyd
b
y
b
0 Cn
sinhna1c
b
os2ny
b 2
dy
b 2Cn
sinhna
b
从而
b 2
C
n
sinh
na
b
2U 0b
n 2
sin
n
2
Cn
n
b
考虑到在 x 方向是有限区域，且0,y0
取
Xn
si
nhn
b
x，这是因为
选f A1sinh(xx)A2coshx(x)
当x0, f A10A2121A2 0
静态场及其边值问题的解课件
6.3.2 接地导体平面的镜像 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
h
h
14
q
R
R
镜像电荷 电位函数
q q, h h
q ( 1 1 ) （z 0） 4π R R
h
q
因 z = 0 时，R R z0 0
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
第6章 静态场的边值问题
例：
y
b 0 x
O
U0 0 x
ax
2
x2
2
y2
0
x
x0 0,
x
xa 0
(x, 0) 0,(x,b) U0
（第三类边值问题）
第6章 静态场的边值问题
6.2 唯一性定理 唯一性定理的表述
在场域V 的边界面S上给定 或 的
n 值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具 有唯一值。
5
V S
21
例6.3.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移
至无穷远处，需要做多少功？
x
解：移动电荷q时，外力需要克服电
q
场力做功，而电荷q受的电场力来源于导 0
d
体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至 无穷远时电场力所做的功。
=∞
-d q'
由镜像法，感应电荷可以用像电荷 q q替代。当电荷q 移 至x时，像电荷 q应位于－x，则像电荷产生的电场强度
E ( x)
ex
q
4π0 (2x)2
q2
Wo We 16π0d
We
qE(x) dx
d
q2
4π 0
d
1 (2x)2
dx
第三章 静态场及其边值问题的解PPT课件
0
en (E1 E2) 0
S
或
，0则
D1n E1t
D2 E 2t
n
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
6
场矢量的折射关系
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体表面的边界条件
介质1
线电荷的电位： (r)4π 1ClR (r)dlC
点电荷的电位： (r) q C 4πR
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
3. 电位差
将 E 两端点乘 dl，则有
E d l d l (d x d y d z ) d
x y y
(r ) q 4 π c d 0 r2 o s 4 π p e 0 r r2 4 π p 0 r r3
p qd表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
5. 电位的微分方程
在均匀介质 n(D 1D 和2 1)S 2
D
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
Δl
2n21n1 S
en 1
E1
1
介质2
E2
2
2
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边
界条件为
en
D
S
en E 0
或
D E
n t
0
S
安徽工程科技学院电气系 周鹏
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
【精品】静态场中的边值问题54页PPT
【精品】静态场中的边值问题
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
41ห้องสมุดไป่ตู้学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
41ห้องสมุดไป่ตู้学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
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①变量的分离
2220
x2 y2 z2
令 (x ,y ,z ) f(x )g (y )h (z )，并代入上式
并两边同除以 f(x)g(y)h(z)得
1 2f(x)1 2g(y)12h(z)0 f(x) x2 g(y) y2 h(z) z2
k
2 x
k
2 y
k
2 z
则上式分解成三个独立的全微分方程，即
k xi ,k yi ,k zi ( i 1 ,2 ,3 , ,n )
本征值对应的函数称为本征函数或本征解。
所有本征解的线性叠加构成满足拉普拉斯方程的通解
(x,y,z) n i(x,y,z) nfi(x)g i(y)h i(z)
i 1
i 1
在许多问题中，单一本征函数不能满足所给的边界条件，而级 数形式的通解则可以满足单个解函数所无法满足的边界条件。
令 f = 0，即可得到拉普拉斯方程情况的证明
3、应用 求解边界问题时，可以先将复杂边界条件分解成便于求解 的几个边界条件，则总的边界问题解就是这些解的叠加。
例：
2 0
s1 C 1
s2 C 2
s3 C 3
分解为三个边界问题
21 0
1
s1
C1
1
s2
0
1 s3
0
22 0
静态场的边值问题
边值问题 研究方法
解析法 数值法
分离变量法
镜像法
复变函数法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
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§5.1 唯一性定理和解的叠加原理
一. 唯一性定理
1、表述
在给定的区域内，泊松方程（或拉普拉斯方程）满足所给 定的全部边界条件的解是唯一的。 2、边界条件的形式
①给定全部边界上的函数值
s C1
“狄利赫利”边界条件
②给出全部边界上函数的法向导数值
n s
C2
“聂曼”边界条件
③给定部分边界上的函数值，而其余边界上给出函数的法向导数值
s1C 1,
n s2
C 2
混合边界条件
3、唯一性定理的证明
证明：考虑泊松方程，用反证法
在区域τ内存在两个不同的函数
和1
都满足相同的泊松 2
kx2 kx2 0
f(x ) A 1sk h x x A 2ck h x xA1ekxx A2 ekxx
对 g ( y ) 和 h( z ) 也都有与上述相同形式的解。在 f ( x ) 、g ( y ) 、h( z ) 三组可取解中各取其一并相乘，即可得到一个解的表达式。
★解的选取并不是任意的，因为存在约束条件 kx2ky2kz2 0
其中ai为任意常数。 ②对泊松方程，若 p 是满足方程 2 f 的一个任意解
并且 1、 2 、…… n都是满足方程 2 0 的解
则
p a 11 a 22 a nn 也是方程 2 f 的解
其中ai为任意常数。
2、证明 讨论泊松方程的情况
对叠加得到的结果两边作 2 运算，得 2 2 (p a 11 a 22 a nn ) 2p a 1 21 a 2 22 a n 2n f a 1 0 a 2 0 a n 0 f 因此 是方程 2 f 的解
②唯一性定理 给出了求解电磁场问题的理论依据 不论采用什么方法，只要得到的解能够在区域内满足方程而在 边界上满足边界条件，这个解就是该边值问题的唯一正确解。
二. 解的叠加原理
解的可叠加性是方程线性的必然结果。
1、表述
①对拉普拉斯方程，若 1 、 2 、…… n都是满足方程 20的解
则
a 11 a 2 2 a n n 也是方程 20 的解
2 s1 0
2
s2
C2
2 s3
0
23 0
3 s1
0
3 s2
0
3
s3
C3
分解后每个边值问题都只有一个非齐次边界值，求解变得容易。 原问题的解应该是三个问题解的叠加
1 2 3
§5.2 拉普拉斯方程的分离变量法
一. 直角坐标系中的分离变量法
1、方法介绍
直角坐标系中拉普拉斯方程的表达式为
方程 2 ，f 并且在区域边界S上满足同样的边界条件。
令 则有
12
2 2 (1 2 ) 2 1 22 f f 0
利用
( u F ) u F F u
取 u,F
则
( ) 2 ( ) 2
对上式两边在区域内作体积分，然后运用散度定理，得
s( )d s ( )2d
将 d s ( n )d代s入上式得
s nd s()2d
①对于第一类边界条件 s C1
s (1 2 ) s 1 s 2 s C 1 C 1 0
②对于第二类边界条件 n s C2
n s n (12 )s n 1s n 2s C 2 C 2 0
③对于第三类边界条件
★根据边界条件来选择函数： a. 对于有两个零值边界的方向，其对应的函数取三角函数； b. 对于单零值边界方向，对应的函数一般取双曲函数形式； c. 而有无限远边界的方向，一般取指数函数形式。 d. 若位函数与某一坐标变量无关，则该变量对应的函数取成常数，
并取作1。
③拉普拉斯方程的通解 本征值： 满足齐次边界条件的分离常数可以取一系列特殊值
如果取
k
2 x
0
，k
2 y
0
，则必须取
k
2 z
0
(x ,y ,z) f(x )g (y )h (z)
( A 1 s k x x i A n 2 c k x x ) o B 1 s ( k s y y i B n y c k y y o ) C 1 s ( k z s z h C 2 c k z z ) h
0 , s1
0 n s2
不论对哪类边界条件，面积分
ds
s n
都等于零
因此有
()2d 0
由于 ( )2 恒为正值，故上式成立的条件是 0
解之可得
C
讨论：
①对于第一类边界条件，因为
0 S
所以C = 0
②第二类和第三类边界条件的情况 12 C
对于求解场函数来说，解是唯一的。
4、应当明确 ①只有在区域的所有边界上给出唯一的边界条件时，边值问 题的解才是唯一确定的。
d2 f (x) dx2
kx2
f
(x)0
d2g(y) dy2
ky2g(y)
0
d2h(z) dz2
kz2h(z)
0
kx2,ky2,kz2 称为分离常数，分离常数之间满足约束关系
kx2 ky2 kz2 0
②全微分方程解的选取（以 k x 为例）
k
2 x
0
f(x)A1xA2
k
2 x
0
f(x ) A 1sin k xx A 2c o sk xx