总复习习题

1 3 x(n) cos( n) cos( n) cos 2 4 2 4
n cos n 4
• 2.判断下列离散时间系统是否为线性、时不 变、因果、稳定系统，说明理由，其中， x(n)与y(n)分别为系统的输入与输出。 • (1) y(n) x(n 1) 3x(n 6)
• 再由值h(0)及输入推导h(1)，并依次推导得 h(2),h(3)…。因而有：
1 h(1) h(0) 2 (1) (0) 1 0 1 2 2
1 h(2) h(1) 2 (2) (1) 1 0 0 1 2 1 1 1 h(3) h(2) 2 (3) (2) 0 0 2 2 2 2 2 1 1 1 h(4) h(3) 2 (4) (3) 0 0 2 2 2 …… n2 n2 1 1 1 h(n) h(n 1) 2 (n) (n 1) 0 0 2 2 2
1 2
y(n) T [ x(n)] T [ax1 (n) bx2 (n)] ax1 (n 1) bx2 (n 1) 3ax1 (n 6) 3bx2 (n 6) ay1 (n) by2 (n)
• 所以系统是线性系统。
• 下面判断系统是否为时不变系统，假设系统 的输入为 x(n) ，系统的输出
2h(n) h(n 1) 4 (n) 2 (n 1)
• 因为该LTI系统是因果的，且 (0) 0, n 0 ， 所以，以 h(1) 0 此条件作为初始条件， 先求出h(0)，
1 h(0) h(1) 2 (0) (1) 0 2 0 2 2
1 y (n) y (n 1) x(n) 3
• (1) 因为该LTI系统是因果的，且x(0)=0， n<1,所以y(0)=0，以此条件作为初始条件， 先求出y(1)，
y (1) 1 y (0) x(1) 0 1 1 3
• 再由y(1)值及输入推导y(2)，并依次推导得 y(3),y(4)…。因而有：
n 1
• 故系统的输出为
1 n 1 , n 1 y ( n ) 3 0, n 1
u(n 1) • 即 • 由系统的时不变性可知，当输入为x(n) = (n 1) ， 系统的单位脉冲响应为
1 y(n) 3
n 1
1 h(n) u(n) 3
• 由此可得系统是时不变系统，所以该系统为 线性时不变系统。
• 接下来判断系统是否为因果系统，y(n)与 x(n-1)和x(n-6)有关，由因果系统的定义可 知，该系统为因果系统。 • 最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入 有界，即
x(n) Bx
• 此时输出满足
y(n) x(n 1) 3x(n 6) 4Bx
2 4
• 为有理式 5和2没有公因子，所以周期 N=5 1 2π 2π 9 18π 无理数， • （2） 9 ω 所以该信号为非周期的； • （3）
0
4 （1）0 5
2π 5 5 2π ω0 4π 2
0
3 周期N 为8 • cos n 1 4 • cos n 周期N2为8 4 • 周期为N1和N2的最小公倍数 ，周期为8
2
2
2
2
• 4.下面均为离散时间LTI系统的单位脉冲响 应，试指出系统的因果性和稳定性，并陈 述理由。 1 h ( n ) ( ) u ( n) • （1） 3 • （2） h(n) (3)n u(2 n)
n
• (1) 因为当n<0时h(n)=0，，所以系统是因 n n 果的； 1 1 3 h(n) n 3 u(n) 3 2 • 因为 n n 0 • 所以系统是稳定的。 • (2)因为当n≤2时，h(n) ≠0，很明显当n<0时， h(n) ≠0 ，所以系统是非因果的； 2 • 因为 27 n n h(n) 3 u(2 n) 3
• 接下来判断系统是否为因果系统，y(n)只与 x(n-1)有关，由因果系统的定义可知，该系 统为因果系统。 • 最后，判断系统是否为稳定系统，假设输 入 x(n) 1 ，显然
x(n) 1
• 即输入有界，此时系统输出满足
y(n) (n 1) x(n 1) (n 1)
• (2) y(n) (n 1) x(n 1)
• (1)
y1 (n) T[ x1 (n)] x1 (n 1) 3x1 (n 6)
y2 (n) T [ x2 (n)] x2 (n 1) 3x2 (n 6)
• 那么当输入为x(n) ax (n) bx (n) 时，系统的输出为
y(n) T [ x(n)] x(n 1) 3x(n 6)
• 当系统的输入为x (n) x(n m)时，系统的输出
1
y1 (n) T [ x1 (n)] x1 (n 1) 3x1 (n 6) x(n m 1) 3x(n m 6) y(n m)
n
• 因为
3 1 1 h(n) n 3 u(n) 3 2 n n 0


n

n
• 所以系统是稳定的。 • (2) 单位阶跃响应为输入u(n)与h(n)的卷积， 即
1 1 3 1 g ( n) h( n ) u ( n) u ( n) u ( n ) u ( n) 11 3 3
n n 1
• 6、已知一因果LTI系统由常系数线性差分方 程描述， 2 y(n) y(n 1) 4 x(n) 2 x(n 1) • 试求 • (1) 系统的单位脉冲响应； • (2) 当如图1-4所示时，系统的输出。
x(n)
1
1 4 1 2
2 1 01 2 3
n
• 系统的单位脉冲响应就是当输入x(t ) (t )时， 系统的输出h(t)，差分方程变为：
• 一离散时间信号x(n)如图1-1所示，请画出 下列信号并给以标注。
1
x(n)
1 2 1 4
321 0 1 2 3 4 5
n
• （1） (n 4) （2） x(3 n) x 1 x • （3） (n)u (2 n) （4） x(n) 1 (1)n x(n)
2 2
• （4）
n2
u (n 3)
• 7.求出下列各序列的z变换，指出收敛域， 画出零极点图，并指出序列的傅里叶变换 是否存在。 (1)n u(n) • (1) 1 • (2) u(n 2)
n
2
• (1) 由z变换的定义，
X ( z)
n
x(n) z
n n n
2
• 所以系统是稳定的
• 5.已知一因果LTI系统由常系数线性差分方程
• 描述，试回答下列问题 • (1) 当输入为x(n)= (n 1) ，求系统的输出， 并判断系统是否为稳定系统； • (2) 求系统的单位阶跃响应g(n)（即当输入为 u(n)，系统的输出）。
• 故系统的输出为
1 2 n 2 , n 1 h(n) 2, n0 0, n0
1 h(n) 2 (n) 4 u(n 1) 2
n
• (2)由图可知
• 由系统的线性和时不变性，可得
y ( n)
1 1 1 x(n) (n 1) ( n) ( n 1) ( n 2) 4 2 2
y1 (n) T[ x1 (n)] (n 1) x1 (n 1) (n 1) x(n 1 m)
y(n m) (n m 1) x(n m 1)
y1 (n) T [ x1 (n)] T[ x(n m)] y(n m)
所以系统不是时不变系统。
• 因此系统为稳定系统。
• (2)
y2 (n) T[ x2 (n)] (n 1) x2 (n 1)
y(n) T [ x(n)] T [ax1 (n) bx2 (n)] a(n 1) x1 (n 1) b(n 1) x2 (n 1) ay1 (n) by2 (n)
• 因此系统不是稳定系统
• 3.有一理想抽样系统，抽样角频率 s 6 ，抽样后 经理想低通滤波器 H a ( j) 还原，其中
1 / 2, 3 H a ( j ) 0, 3
• 今有两个输入，a (t ) cos2t ， xa (t ) cos5t x • 输出信号 ya (t ) ，ya (t ) 有无失真？为什么
1 1 1 y (2) y (1) x(2) 0 3 3 3
1 1 1 y(3) y(2) x(3) 0 3 …… 3 3
2 2
1 1 y(n) y(n 1) x(n) 3 3
n 1
1 0 3
1 1 1 h(n 1) h(n) h(n 1) h(n 2) 4 2 2 n 1 n 1 1 1 1 2 (n 1) 4 u ( n) 2 ( n) 4 u ( n 1) 2 4 2 2 n 1 n2 1 1 1 2 (n 1) 4 u (n 2) 2 ( n 2) 4 u ( n 3) 2 2 2 1 3 13 29 37 1 (n 1) (n) (n 1) (n 2) 2 2 4 8 8 2
1
1 2
1 1 n x(n) 1 x(n) 2 2
1 4
321 0 1 2 3 4 5
• 1.判定下列离散时间信号的周期性；若是周 期的，确定它的周期。 4 • (1) x(n) sin( n 1) 5 • (2) x(n) cos( n ) 9 • (3) x(n) cos( n) cos( n)
1
2
1
2
• 根据乃奎斯特定理 f s 2 f h • 因为 xa (t ) cos2t ，而频谱中最高角频率 6 a 2 3 ，所以 ya (t ) 无失真 2
1
1
1
因为 xa (t ) cos5t ，而频谱中最高角频率 6 ，所以 ya (t ) 失真 a 5 3
y1 (n) T[ x1 (n)] (n 1) x1 (n 1)
• 所以系统是线性系统。
• 下面判断系统是否为时不变系统，假设系 统的输入为x(n)，系统的输出
y(n) T [ x(n)] (n 1) x(n Байду номын сангаас 1)
1
当系统的输入为x (n) x(n m)时，系统的输出