6.1不等关系和不等式(2)
高二数学必修5nbsp不等关系与不等式(2)nbspppt1
0 n N ） a b 0 (7) a b （
* n n
(乘方法则 )
0 n N , n ≥ 2） n a n b 0 (开方法则 ) (8) a b （ 1 1 (9) a b，ab 0 (倒数法则 ) a b
*
作业：P75－A组：3T、5T，B组：2T、3T
你能推导它们吗?
(7)a b 0 a n bn ,(n N , n 2);
(8)a b 0 n a n b (n N , n 2).
可归纳为：a b 0 a b ,(n R, n 0)
n n
y
y 3
y2
x
x
1 y 2
c c ∴ (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a c c c c ∴ ∴ 1 1 继续变形 a b a b ca bc ∴ a b 这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的?
课堂练习: 用不等号 “<”或 “>”填空: > ⑴ a b, c d a c _______ bd ; ⑵ a b 0, c d 0 ac ____ < bd ; 3 > ⑶ a b 0 3 a ______ b; 1 1 ⑷ a b 0 2 ____ < 2. a b
作差比较法
常用的不等式的基本性质有 : ⑴a b b a ; (反对称性 ) ⑵ a b，b c a c ; (传递性 ) ⑶ a b a c b c , (可加性 )此法则又称为移项法则 ; (5) a b，c d a c b d (同向不等式可相加 ) a b，c 0 ac bc ⑷ (可乘性 ) a b，c 0 ac bc (6) a b 0，c d 0 ac bd (正数同向不等式可相乘 )
不等关系与不等式(二)
(对称性) (传递性) (可加性)
(4) a b, c 0 ac bc ; (可乘性) a b, c 0 ac Байду номын сангаасbc (5) a b 0, c d 0 ac bd (6) a b 0, n N , n 1
n n n n
(同向不等式的可乘性)
□复习引入
数学含义 (1) 若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；
a b (2) 若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ; c c a b (3) 若a＞b，c＜0，则ac＜bc， . c c
□新授课 一、常用的基本不等式的性质
(1) a b b a
( 2) a b, b c a c ( 3) a b a c b c
a b , a b (可乘方性、可开方性)
□范例讲解
c c 例题1. 已知 a b 0, c 0, 求证： . a b 例题2.. 若、 满足 , 则 6 2 2 的取值范围是( B )
A. C. B. 0 D.
3.1 不等关系与不等式(2)
□复习引入
1. 比较两实数大小的理论依据是什么?
如果a＞b a－b＞0;
如果a＜b a－b＜0;
如果a＝b a－b＝0.
2. “作差法”比较两实数的大小的一般步骤? 作差比较法的步骤是： ① 作差 ② 变形 ③判断符号 ④作出结论
□复习引入
3. 初中我们学过的不等式的基本性质是 什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一 个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一 个负数，不等号的方向改变.
高二数学复习 课时提升作业(三十二) 6.1《不等关系与不等式》文 新人教A版
课时提升作业(三十二)不等关系与不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·成都模拟)已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2<b2B.ab2>a2bC.<D.<【解析】选C.若a<b<0,则a2>b2,故A错;若0<a<b,则>,故D错;若ab<0,即a<0,b>0,则a2b>ab2,故B错.2.(2015·嘉兴模拟)设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M=NC.M<ND.与x有关【解析】选A.M-N=x2+x+1=+>0,所以M>N.3.(2015·广东实验中学模拟)已知0<a<b<1,则( )A.>B.<C.<D.>【解题提示】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出.【解析】选D.因为0<a<b<1,所以-=<0,可得<;>;(lga)2>(lgb)2;lga<lgb<0,可得>.综上可知,只有D正确.【加固训练】(2015·富阳模拟)如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a-c)<0【解析】选C.因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.所以ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,所以A,B,D均正确.因为b可能等于0,也可能不等于0.所以cb2<ab2不一定成立.4.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,则买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为( )A. B.C. D.0.8×5x+2×4y≤50【解析】选A.根据题意直接列出相应的不等式,组成不等式组即可.5.若a>b>c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是( )A.ac>bcB.ab>acC.a|b|>c|b|D.a2>b2>c2【解析】选B.由a>b>c,a+b+c=0,得a>0,c<0,因为b>c,所以ab>ac.6.若-<α<β<,则α-β一定不属于的区间是( )A.(-π,π)B.C.(0,π)D.(-π,0)【解题提示】由-<α<β<可得-<-β<,从而有-π<α-β<0.【解析】选C.因为-<α<β<,所以-<-β<,所以-π<α-β<0,结合选项可知选项C一定不可能,故选C.7.(2015·上海模拟)若a,b为实数,则a>b>0是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件【解题提示】当a,b>0时,由题意解出a2>b2为a>b或a<-b,然后再判断命题的关系.【解析】选A.若a>0,b>0,因为a2>b2,所以a2-b2>0,所以a>b或a<-b,所以a>b>0⇒a2>b2,反之则不成立,所以a>b>0是a2>b2的充分不必要条件,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·北京模拟)已知a+b>0,则+与+的大小关系是.【解析】+-=+=(a-b)=.因为a+b>0,(a-b)2≥0,所以≥0,所以+≥+.答案:+≥+9.(2015·临沂模拟)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm,其中的不等关系可用不等式(组)表示为. 【解析】矩形的另一边长为(30-x)=15-x,矩形面积为x且0<x<18,则不等式组为答案:10.已知f(x)=ax2+b,若1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3,则f(3)的范围为.【解析】令f(3)=9a+b=m(a+b)+n(4a+b)=(m+4n)a+(m+n)b,则解得即f(3)=-(a+b)+(4a+b).因为1≤a+b≤2,2≤4a+b≤3,所以2≤f(3)≤,即f(3)的范围是.答案:【一题多解】本题还可有以下解法:巧妙换元:令a+b=x,4a+b=y,则a=,b=,1≤x≤2,2≤y≤3.因为f(3)=9a+b=,6≤8y-5x≤19,所以2≤f(3)≤,即f(3)的范围是.【加固训练】(2015·盐城模拟)若-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的取值范围为.【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得又因为-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,所以-<(a+b)-(a-b)<,即-<2a+3b<答案:(20分钟40分)1.(5分)(2015·资阳模拟)已知a,b为实数,则“a>b>1”是“<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a>b>1⇒a-1>b-1>0⇒<,当a=0,b=2时,<,但a>b>1不成立,所以< a>b>1,故选A.2.(5分)(2015·烟台模拟)已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=,比较A,B,C的大小结果为( )A.A<B<CB.B<A<CC.A<C<BD.B<C<A【解析】选B.方法一:不妨设a=-,则A=,B=,C=2,由此得B<A<C,选B.方法二:由-1<a<0得1+a>0,A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0得A>B,C-A=-(1+a2)=-=->0,得C>A,所以B<A<C.3.(5分)(2015·遵义模拟)已知下列结论:①若a>|b|,则a2>b2;②若a>b,则<;③若a>b,则a3>b3;④若a<0,-1<b<0,则ab2>a.其中正确的是(只填序号即可).【解析】对于①,因为a>|b|≥0,所以a2>b2,即①正确;对于②,当a=2,b=-1时,显然不正确;对于③,显然正确;对于④,因为a<0,-1<b<0,ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,即④正确.答案:①③④4.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求的取值范围.【解题提示】用a+c把b表示出来代入a>b>c,利用放缩法求解.【解析】因为f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b=-(a+c).又a>b>c,所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,所以1>->,即1>-1->,所以解得-2<<-.5.(13分)(能力挑战题)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.【解析】设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.因为y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x,当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.。
不等关系与不等式(2)
0.1
用不等式表示为： (8 x 2.5 0.2)x 20 0.1
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 产的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格 的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系. 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
2
2
2. 比较 x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x3<x2－x+1.
思考：当p，q都是正数且p+q=1时，试 比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小. 解：(px+qy)2－(px2+qy2)
（1）点A和点B重合； （2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧. 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由 此可得到结论： 对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立.
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数；
不等关系与不等式(二)
若要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差， 即做差比较法.
不等式的基本性质
1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等 号的方向不改变. 2.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不 等号的方向不改变.
3.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变.
性质1 如果 a b; 那么 果 b a ,那么 a b.即
b a;如
（自反性）
a b b a.
证明：
a b, a b 0;
( a b) 0
于是
即
ba 0 b a.
（传递性）
性质2 如果a b, b c, 那么a c.
即
a b, b c a c.
a b, a b 0 b c, b c 0
说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是 正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式 同向.
性质7
（正数不等式可乘方）
n n
如果a b 0, 那么a b , (n N , n 2).
证明：由于a>b>0, 根据性质6，自乘得；
aa>bb
显然 a2>b2>0, 继续用性质6，可得 a3>b3.
1 证明： a b 0, ab 0, 0. ab
于是即Leabharlann a1 1 b , ab ab 1 1 . b a
由c 0, 得
c c . a b
课本第74页练习第3题.
1、由实数性质到不等式性质的探究，理解不等 式性质并能灵活运用。 2、作差比较法的步骤是： （1）作差；
（2）变形：配方、因式分解、通分、分母（分子） 有理化等； （3）判断符号；
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：6.1不等关系与不等式
• • •
其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c＞0知成立． 答案：②③
1 1 1 1 1．倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒ ＜ ；②a＞0＞b⇒ ＞ . a b a b b b＋m b b－m 2．若 a＞b＞0，m＞0，则：①真分数的性质：a＜ ；＞ a＋m a a－m (b－m＞0)； a a＋m a a－m ②假分数的性质：b＞ ；b＜ (b－m＞0)． b＋m b－m
)
0.
2．比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，(1)作差法：a －b＞0⇔ a＞b ；a－b＝0⇔ a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .(2)作 a a a 商法：若 b＞0，则有 ＞1⇔a＞b； ＝1⇔a＝b； ＜1⇔a＜b. b b b
对点演练 1 ________ 3＋1(填“＞”或“＜”)． 2－1 1 解析： ＝ 2＋1＜ 3＋1. 2－1 答案：＜
(1)若 c＞0，则①不成立；
由 ac2＞bc2 知 c2≠0，则 a＞b，②成立； 由 a＜b＜0 知 a2＞ab＞b2，③成立； 1 1 a b 由 c＞a＞b＞0， 得 0＜c－a＜c－b， 则 ＞ ， 则 ＞ ， c－a c－b c－a c－b ④成立； 1 1 b－a 若 a＞b，a－b＝ ab ＞0，则 a＞0，b＜0，⑤成立． (2)取 a＝－2，b＝－1，逐个检验选项可知，仅 C 选项成立． 【答案】 (1)②③④⑤ (2)C
答案：(1)D (2)(3,8)
1 1 ， 8 3来自题型三 利用不等式的性质证明简单的不等式 (1)已知 a＞b＞0，且 c＞d＞0，证明： 1 1 1 (2)设 a＞b＞c，求证： ＋ ＋ ＞0. a－b b－c c－a a d＞ b c；
不等关系和不等式(2z)
例题讲解
例 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 非负实数 ， 求证： 求证： 1 − x1 + 1 − x2 ≥ 1 − x1 − x2 + 1
证明： 证明：Qx1 ≥0, x2 ≥0, x1 +x2 ≤ ∴1− x1 ≥0,1− x2 ≥0,1− x1 − x2 ≥0 1, 要证: 要证
1 1 a⋅ > b⋅ 即 1 > 1 ∴ ab ab b a
c c 两边同乘以一个负数不等号方向要改变) ∴ < (两边同乘以一个负数不等号方向要改变 两边同乘以一个负数不等号方向要改变 b a c c c c ∴ > ∴ +1 > +1 继续变形 a b a b c+a b+c > ∴ a b 这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的 活用各种变形 是要熟记的? 这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的?
a > b > （n ∈ N *） a n > b n > 0 0 ⇔ (7) (乘方法则 乘方法则 乘方 法则) * 0 ⇔ (8) a > b > （ n ∈ N , n ≥ 2） n a > n b > 0 (开方法则 开方法则 开方法则)
新课讲解
注:一定要在理解的基 础上,记准、 础上,记准、记熟不等式的这 些基本性质 ,这是我们对不 等式进行变形的基础. 等式进行变形的基础.
不等关系与不等式(2) 不等关系与不等式
复习引入
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥ 不等号的种类：＞、＜、 、≤ 、≠ (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮） ≤（≯） ≠． 、 、 (2)解析式是指 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) 解析式是指： 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (2)解析式是指： (3)不等式研究的 不等式研究的范围是实数集 (3)不等式研究的范围是实数集 R．
6.1不等关系和不等式学案
诸城市繁华初级中学数学教学案例课题：《6.1 不等关系和不等式》设计：潘岳亮一、学习目标：了解不等式的意义，使学生经历实际问题中数量关系的分析和抽象过程，感受不等式和等式都是刻画现实世界中数量关系的工具，发展学生的符号感。
二、尝试练习：1、不等式的概念：用连接的式子叫不等式（inequality）。
百度百科：/view/344.htm2、常见的不等式及其意义：“≠”读作“”，它表明两个量是不相等的，但不能明确哪个量大，哪个量小；“>”读作“”，它表明左边的量比右边的量大；“≥”读作“”，它表明左边的量不小于右边的量；“<”读作“”，它表明左边的量比右边的量小；“≤”读作“”，它表明左边的量不大于右边的量。
3、不等号“<”、“>”具有方向性：不等号“<”、“>”表示，它们具有方向性，因而不等号两侧。
练习：表示下列不等关系：三、课堂探究活动：例1、下列式子中，哪些是不等式？（1）x>4；（2）2x+8=1；（3）x≥a-3；（4）5a-3b+c；（5）a-2b≠8。
跟踪练习一：1、若a是有理数，下列式子：①|a|>0；②a2+10>0；③-a<0；④|a-5|≥0中，一定成立的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2、用不等式表示：（1）a的2倍与1的和大于3；（2）x的一半与1的差不大于2；（3）x与1的差的一半是正数；（4）m与2的和是非负数。
跟踪练习二：1、x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（）A、1302x+>B、1302x+<C、1(3)02x+>D、1(3)02x+<2、用不等式表示：（1）x是负数；（2）y的一半不大于y ；（3）x的5倍与2的差不小于0 ；（4）1与a的2倍的和小于-1 。
例3、有理数a≥b，则a ba b-+的值（）A、>0B、<0C、=0D、≥0例4、在唐家山堰寒湖（百度百科/view/1608238.htm）清理的一次爆破中，用一条长1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5厘米/秒，引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600米以外的安全区域、引爆员的速度x米/秒应满足什么样的关系式？课堂小结：本节课的收获（小组成员互相总结）当堂检测：1、用不等式表示：（1）a与2的和大于3 ；（2）x的绝对值是非负数；（3）x的2倍与3的差不大于1 ；（4）x的3倍小于0 。
不等关系与不等式(二)
§3.1 不等关系与不等式（二） 命题人 申占宝 王柏青学习目标1.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质进行逻辑推理。
2.会用不等式的性质证明简单的不等式。
※ 学习重点、难点：教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单不等式。
教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。
(1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b ca b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒<二、新课导学※ 探索新知探究：不等关系问题：（1）如果0>>b a ，0>>d c ，试证明bd ac >新知：1. 性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）0>>b a ，0>>d c ⇒bd ac >2.性质7 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且 0>>b a ⇒n n b a >3.性质8：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且 0>>b a ⇒n n b a >※ 知识检测223322.,..,..1bc ac b a D b a b a C b a b a B b a b a A >>>>>>>>则若 则若则若则 若 ）下列命题正确的是 （2.下面命题中，假命题的序号是____________①bd ac d c b a >>>则若,,②nn b a N k k n b a >∈+=>*则若),(12, ③cb d a dc b a >>>>>则若,0,0 ④n n n n b a b a n N n b a >>≥∈>且则且若,2,.2110.3x x x +<+>，求证已知 .,0,0.4c b d a d c b a >>>>>求证已知 5.火车站有某公司待运的甲种货物1530t ，乙种货物1150t 。
不等式的性质(第二课时
(二)
学习要求： 1.能够推导出不等式的性质. 2.初步掌握不等式性质的应用.
一. 复习
1.不等式的定义： 用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
2.初中所学不等式的性质： ①不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数， 不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数， 不等号的方向改变。
推论2.(加法法则)若a>b,c>d,则a+c>b+d
证明: a b a c b c cd bcbd
ac bd
结论：同向不等式对相加，不等号不变
二.学习新课—不等式的性质
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递性)
(a c) (b c) a b 0
a c b c
Байду номын сангаас
二.学习新课—不等式的性质
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递性)
即：a>b,b>c a>c.
定理3:若a>b,则a+c>b+c．(可加性)
推论1.(移项法则)若a+b>c,则a>c-b
3.实数的性质(不等式的基本原理)
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
高三数学下6.1不等式的性质2教案
课题：不等式的性质（2）教学目的：1理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；3理解证明不等式的逻辑推理方法．4严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞b⇔b＜a和a＞b，b＞c⇒a ＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则2定理3的推论，即“a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：ab>ba⇔>-aba=b⇔-=aab<b⇔<-2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，c<d，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)即：a>b⇒b<a；b<a⇒a>b证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l 没有必要证明，那么问题：若a>b ，则a 1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a 、b 的大小”与“a-b 与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l ，定理2还可以表示为：c<b ，b<a ⇒c<a点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形． 定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c证明：∵a>b ， ∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c ，那么a>c-b ，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d 点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解范例：例 已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法则)分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的证法一：∵a ＞b ，c ＜d∵a －b ＞0，d －c ＞0∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数)故a －c ＞b －d思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）∴a －c ＞b －d四、课堂练习： 1判断下列命题的真假，并说明理由：(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c a c 分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真 答案：(1)真因为推理符号定理3 (2)假2，3(初中)可知，当c ＜0时，c a c 即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负2回答下列问题：（1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明；(2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明 答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜3⇒2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0⇒2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论(2)不能断定例如a ＞b ，c ＝1＞d ＝－1⇒a －2c ＝a －2，b ＋2＝b －2d ，其大小不定a ＝８＞1＝b 时a －2c ＝６＞b ＋2＝3而a ＝2＞1＝b 时a －2c ＝0＜b ＋2＝33求证：(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a －d ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c －2a ＜c －2b 证明：(1).c b d a d b c b d c d c d b d a b a ->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<-⇒-<-⇒>->-⇒>(2)a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b 4已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c证明：∵dc b a = ∴d d c b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且d b ＞1 ∴db dc b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法六、课后作业：1．如果R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件． 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 2．已知R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证：0111>++c b a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc 且0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 3．已知||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1的大小．解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a >0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b1 4．如果0,>b a 求证：a b ab >⇔>1 证：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>a b 七、板书设计（略）八、课后记：。
《不等关系与不等式(2)不等式的性质》
证明：∵a>b，∴a+c>b+c， 又∵c>d，∴b+c>b+d，
根据不等式的传递性得： a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
性质5：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果
a>b，c<0，则ac<bc. （不等式的可乘性）
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
3、作差比较法的步骤： 作差→变形→定号→下结论
我今年a岁,爸爸今年b岁,则我们的年龄大小关系为_a_﹤__b_ 爸爸今年b岁,爷爷今年c岁，则爸爸爷爷的年龄大小关系为_b_﹤__ c
你能说出我和爷爷年龄的大小关系吗？ a﹤c
推论1：移项法则 a>b ⇔a+c>b+c 性质4：相加法则 a>b， c>d ⇒ a+c>b+d
性质5：可乘性
a>b, 且c>0 ⇒ac>bc a>b，且c<0⇒ac<bc
性质6 ：相乘法则 a>b >0，且c>d>0⇒ac>bd
性质7：乘方法则 a>b>0 an bn (n N,n>1)
性质8：开方法则 a>b>0 ⇒ n a n b (nN,n>1)
证明：根据两个正数之和仍为正数，得
a b
b c
a b
b c
0
0
(a－b)+(b－c)>0
a－c>0 a>c.
数学：6.1《不等式关系和不等式》学案(青岛版八年级上)
数学：6.1《不等式关系和不等式》学案（青岛版八年级上）一、学习目标：1．经历探索的过程，掌握不等式的基本性质。
2．会运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。
二、知识回顾1．表示不等关系的符号有：。
三、自主预习：不等式的基本性质（1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个，不等号的方向。
（2）基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个，不等号的方向。
（3）基本性质3:不等式的两边都乘（或除以）同一个，不等号的方向。
四、探索新知：1不等式的基本性质：观察不得式5＞-3和-4＜-2将不等式的两边都加上或减去2，不等号的方向改变了吗？（1）5+2 -3+2 -4+2 -2+25-2 -3-2 -4-2 -2-2不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向即如果a＞b，那么a±c b±c.(2)将不等式5＞-3，-4＜-2的两边都乘以2，不等号的方向改变了吗？5×2 (-3×2 ( -4)×2 (-2)×2不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向。
即如果a＞b,c＞0,那么ac bc（3）将不等式5＞-3，-4＜-2的两边都乘以-2，不等号的方向改变了吗？5×（-2） (-3)×(-2) ( -4)×(-2) (-2)×(-2)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向。
即如果a＞b,c＜0,那么ac bc2 根据不等式的基本性质，你能用或完成下面的填空吗？已知a＞b,那么（1）a-7 b-7;(2)3a 3b (3)-5a -5b (4)3a+2 3b+2五、知识的拓展：例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：（1）x-7＞2 (2)-41x ＜-1 (3)4x-5＜5x六、当堂达标：1已知a ＞b ，用“＜”或“＞”填空（1）a+7 b+7 (2)a-3 b-3(3)a ×7 b ×7 (4)(-3)a (-3)b（5）2a a+b (6)-a-3 -b-32 设x ＞y,用“＜”或“＞”填空 (1)3x 3y(2)ax ay(a ＜0)（3）53x 53y (4)-6x-4 -6y-4(5)xc 2 y c 2(c 为非零实数)（6）（ax+a ）-(ay-a) 0(a ＞0)3写出下列不等式变形的依据：若a-2＞3,则a ＞5若2a ＞-3，则a ＞-23 若-4x ＞3,则x ＜-43 若-5a ＞2，则a ＜-10 4 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式。
第一章不等关系与基本不等式 (2)
解析
把所给 l 值代入，分子分母同除以 v，构造基本不
等式的形式求最值. 76 000v (1) 当 l ＝ 6.05 时 ， F ＝ 2 ＝ v ＋18v＋121 76 000 ≤ 121 v＋ v ＋18
2
76 000 76 000 ＝ ＝1 900. 当且仅当 v＝11 米/秒 22＋18 121 v· v ＋18
1. 已知 a ， b ， c 都是正数 ，求证：
a＋b 2 2 － ab.
a＋b＋c 3 3 － 3
abc ≥
证明
a＋b＋c 3 ∵3 － 3
a＋b abc－2 2 －
ab
＝a＋b＋c－a－b－3 abc＋2 ab＝c－3 abc＋2 ab ＝ ab＋ ab＋c－3 abc≥3 abc－3 abc＝0， ∴原不等式成立. 3 3 3
3
3
知识点2 利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值 【例2】 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 3 解 法一 ∵a，b∈(0，＋∞)，且 ab＝a＋b＋3≥3 3ab， ∴a3b3≥81ab.又 ab>0，∴a2b2≥81.∴ab≥9(当且仅当 a＝b 时，取等号).∴ab 的取值范围是[9，＋∞). 法二 ∵ab－3＝a＋b≥2 ab，∴ab－2 ab－3≥0 且 ab>0，
1 1 1 3 ＋ ＋ (c＋a)]a＋b b＋c c＋a≥3
（a＋b）（b＋c）（c＋a）·
3
1 3 （a＋b）（b＋c）（c＋a）
1 1 1 9 ＝ 9⇒ ＋ ＋ ≥ . a＋ b b＋ c c＋ a 2
【反思感悟】 认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利 用已知条件构造出能利用平均不等式的式子.
高中数学五第三章《不等关系与不等式》(第2课时)【教案】
3。
1不等关系与不等式（2)一、教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式(组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二、重难点：重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究—-发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线(二)过程与方法线（三）能力线。
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程一、温故知新，1．同向不等式、异向不等式的概念:同向不等式:如:12+>+aa与32>；45<与7213-<+xx．异向不等式:如：332->+aa与6213+<+xx．2．数运算性质与大小顺序之间的关系:baba>⇔>-0;baba=⇔=-0；baba<⇔<-0．问题1.我们已学习过等式、不等式,同学们还记得等式的性质吗？回顾知识，提出问题，激发学生学习的兴趣。
学生;等式有这样的性质:等式两边都加上，或都减去，或都乘以,或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.个数,不等号的方向_________。
性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________。
（性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________。
师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来。
（让三位同学板演）性质1：a ＜b a +c ＜b +c (或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a —c＞b —c ）。
青岛版八上第6章 一元一次不等式
设计意图：通过回顾等式的性质，类比等式的性质， 为探索不等式的性质做好铺垫，并且从学生已有的 数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学 生梳理知识体系的习惯。
教学设计
（二）、知识探究 1、用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律： 5>3, 5+2 3+2 , 5 –2 3 –2 ; （2）–1<3 , -1+2 3+2 , -1 – 3 3 – 3 ; 学生活动：探究规律，交流讨论，解答上述问题，结果： （1） > 、 > （2） < 、 < 根据发现的规律填空: 当不等式两边加或减去同一个数(正数或负数）时,不等号的方向 学生独立总结出不等式的性质： 不等式的性质1 不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)， 不等号的方向不变. 字母表示为： 如果a＞b，那么a±c > b±c
教师评价 学生自评
关注思想 反思的意识
学生互评
方式主体多样
方法评价
学生思维发展 水平
重视能力评价
关注过程评价
学生的
参入程度
恰当评价双基
尽量鼓励评价
评价建议
善于利用身边熟 悉的课程资源。
合理开发 学生生活 中的课程 资源
延伸主要的课程 资源——教材， 让教材发挥更大 的作用。
用 和课 开程 发资 源 的 利
本 节 教 学 目 标
教材分析
◆本节教材的地位和作用 ◆教学目标 ◆教学重点、难点
1.教材所处的地位和作用： 本节内容在全书和章节中的作用是：不等式的 性质是青岛版初中数学教材八年级上册第6章第1 节第2课时的内容。在此之前学生已学习了等式 的基本性质，这为过渡到本节的学习起着铺垫作 用。本节内容在初中数学中，占据 了非常重要的 地位，这节内容的学习直接关系到解不等式和不 等式组，以及为其他学科和今后的学习打下基础。
6.1不等式的概念及其性质
［8 分］
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 5≤f(－2)≤10. 12 分］ 即 ［
方法二
f(－1)＝a－b， 由 f(1)＝a＋b
1 a＝2［f(－1)＋f(1)］， 得 b＝1［f(1)－f(－1)］. 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
第六章 不等式
§6.1 不等式的概念及性质 基础知识
要点梳理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法
自主学习
a - b>0 a____ b > a – b=0 a____ b (a，b∈R)； = a – b<0 a____ b <
(2)作商法
a >1 a ____b > b a =1 a ____b = b a <1 a ____b < b
解析 方法一
B.等于 0 D.符号不能确定
因为 a<0，ay>0，所以 y<0，
又 x＋y>0，所以 x>0，所以 x－y>0. 方法二 a<0，ay>0，取 a＝－2 得－2y>0， 又 x＋y>0，两式相加得 x－y>0.
5. 已知 a，b，c 满足 c<b<a，且 ac<0.那么下 列选项中一定成立的是( A ) A.ab>ac C.cb2<ab2 B.c(b－a)<0 D.ac(a－c)>0
基础自测 1. 已知 a<0，－1<b<0，那么 a ab，ab2 的大小 ab>ab2>a . 关系是
解析 由－1<b<0，可得 b<b2<1. 又 a<0，∴ab>ab2>a.
6.1 不等关系和不等式(2)
6.1 不等关系和不等式（2）初二备课组学习目标：1.探索不等式的性质，并能分情况正确应用。
2.体会数学学习中的分类讨论思想。
学习重、难点：会用不等式的基本性质把不等式化成x＞a或x＜a的形式学习过程：一．导入新课学生小组完成下列问题用“＞”“＜”或“=”填空5＞-3（自己换成-4＜-2试一试）5+2＿-3+2 5×3＿-3×3 5×（-1）＿-3×（-1）7-2＿4-2 5×2＿-3×2 5×（-2）＿-3×（-2）5×1＿-3×1 5×（-3）＿-3×（-3）二．自主学习完成上面的问题之后，利用5分钟的时间快速阅读课本p163-164,完成下面的题目，并能用文字语言叙述该性质。
概括：①如果a＞b, 那么a+c＿b+c a-c＿b-c②如果a＞b,并且c＞0, 那么ac＿bc （鼓励学生画几何图形表达）③如果a＞b,并且c＜0, 那么ac＿bc即：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
三．知识达标：（可以让学生直接口答，检测一下对性质的掌握情况）用“＞”或“＜”填空已知a＞b,那么（1）a-7＿b-7 （2）3a＿3b (3)-5a＿-5b四．合作交流用不等式的基本性质，把下列不等式转化为x ＞a 或x ＜a 的形式（1）x-7＞2 (2)4x-5＜5x(3)21x ＞-3 (4)-2x ＜6六．精讲点拨：不等式的基本性质3是学习过程中中容易忽视的地方，结合学生在学习过程中出现的问题，教师加以强调，注意不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别，再者就是利用基本性质变形时怎样简便就怎样变，如合作交流的（2）五．达标反馈：1. 用“＞”或“＜”填空(1)a ＿a+1 (2) a+2＿a-2 (3)1-a ＿-a (4)a 2＿02.根据不等式的基本性质，把下列不等式转化为x ＞a 或x ＜a 的形式（1）x+3＞5 （2）x-6＜3 (3)2x+4＜-3(4)-3x ＜-9 (5)5x ＞101六．能力提升如果a ＜b,那么1-a 与1-b 那个大？为什么？七．作业1.P 166练习12. P 167第4题3.A 部分同学有空完成P 167B 组第1题。
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解 （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得： x－7＋7 ＞ 2＋7 即 x ＞9 （2）根据不等式的性质1，两边都减去5 x 得： 6 x －5 x ＜（5 x －1）－5 x 即 x ＜－1
③④ 同学回答
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ； （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
B. -7m>3m D. 不能确定
看谁做得快
8、根据下列已知条件,说出a与b的不等关 系,并说明是根据不等式哪一个性质:
(1).a 3 b 3 a b ( 2). 2 2 (3). 4a 4b
a是任意有理数，试比较 5a 与 3a 的大小。
解：∵ 5 ＞ 3 ∴ 5a 3a
a b ,c≠0) 若a=b,则ac=bc (或 c = c
知 识 (1) 形 成 (2)
用“>”或“<”填空 ＞ 5___ -3 ＞ 5+3___ -3 +3 ＞ -3 -3 5 -3 ___ ＞ 5× 3___-3 ×3
不等式(1)-(4) 分别由不等式 “5＞-3”做了 怎样的变形？
(3)
＜ (4) 5× (-3)___-3× (-3)
3 4
0
义务教育课程标准实验教科书数学· 八年级· 上册（泰山版）
泰山出版社出版
等式的基本性质
知 识 回 顾
(1)等式的两边都加上（或减去）同一个 数或同一个式子，所得的结果仍是等 式.
若a=b,则a+c=b+c (或a-c=b-c)
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数 （除数不能为零），所得的结果仍是等式.
5. 若 a>b, 则-a < -b 6. 若 -2x >0, 则 x > 0 7. 若 -2<1, 则 -2a &lgt; 2a
(√ )
你认为是这样吗 ？ 小辉在学了不等式的基本性质这一节后，他 觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题， 结果如下：
(1) 若 x﹥y， 则 x － z ﹤ y － z ;
2 x>50 （4） –4x>3 3 解：（3）根据不等式的性质 2， （4）根据不等式的性质 3，不 3 等式两边都除以-4，不等式的 不等式两边都乘 ，不等式的 2 方向改变 ，得 方向不变 ，得
x> 75
这个不等式的解集在数轴上的 表示如图 0 75
x<
这个不等式的解集在数轴上的 表示如图
3 4
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论。
变 式 训 练，培 养 能 力
利用不等式的性质解下列不等式,并把解集在数 轴上表示出来.
（1） x-7 > 26
（3）
（2） 3x<2x+1
2 x>50 （4） –4x>3 3 解：（1）根据不等式的性质 1， （2）根据不等式的性质 1，不 等式两边都减去2x，不等式的 不等式两边都加7，不等式的方 方向不变 ，得 向不变 ，得
不等式的两边都减去了3，
不等式(1)-(4) 分别由不等式 “5＞-3”做了 怎样的变形？
不等号不改变方向 结果不等号的方向不变还是改变？
知 识 形 (1) 5 × 3___ -3 × 3 ＞ 成
不等号不改变方向
用“>”或“<”填 空 5___ -3 ＞
不等式(1)-(4) 分别由不等式 “5＞-3”做了 怎样的变形？
。
1、在不等式－8＜0的两边都除以－8可得 1＞0
2、在不等式－3 x＜3的两边都除以－3可得 3、在不等式－3＞－4的两边都乘以－3可得 4、在不等式 a
x 1 。
9＜12 。
。
b 的两边都乘以－1可得 a b。
尝 试 反 馈，巩 固 知 识
设a b, 用" "或" "填空 : > (1) 3a ___ 3b; ( 2) a 7 ___ b 7; > (3) 5a ___ 5b; < ( 4) (5) 2a 5 ___ 2b 5; > 3.5a 1 ___ 3.5b 1. <
知识应用
判断对错并说明理由
(√ )
(× ) (√ )
1. 若 -3<0, 则 -3+1<1
2. 若 -3 × 2> -5 ×2, 则 -3< -5 3. 若 a<b, 则 3 a< 3 b
4. 若 -6a < -6 b, 则 a < b
(× )
知识应用
判断对错并说明理由
(√ ) (× ) (×)
这种解法对吗？如果正确，说出它根据的是不等式 的哪一条基本性质；如果不正确，请就明理由。
答：这种解法不正确，因为字母 a的取值范 围我们并不知道。如果 a 0，那么 5a 3a ；
如果 a 0 ，那么 3a 5a 。
例 1 根据不等式的基本性质，把下列不等 式化成 x＜ a或 x＞a 的形式： （1） x －7 ＞ 2 （2） 6 x ＜ 5 x －1 1 （3）4x-5＜ 5x （4） － x ＜ -1
x-7+7 > 26+7 x > 33
这个不等式的解集在数轴上的 表示如图 0 33
3x-2x<2x+1-2x x<1
这个不等式的解集在数轴上的 表示如图 0 1
变 式 训 练，培 养 能 力
利用不等式的性质解下列不等式,并把解集在数 轴上表示出来.
（1） x-7 > 26
（3）
（2） 3x<2x+1
b) c < c
c
c
a b 若a<b且c<0, 则ac>bc(或 > ) c c
1、如果x＋5＞4，那么两边都 减去5 可得 x ＞－1 2、在－7＜8 的两边都加上9可得 2＜17 。
3、在5＞－2 的两边都减去6可得 －1＞－8
4、在－3＞－4 的两边都乘以7可得－21＞－28
。
。
5、在－8＜0 的两边都除以8 可得 －1＜0
不等式的两边都乘以3，
结果不等号的方向不变还是改变？
用“>”或“<”填 知 空 5___ -3 识 ＞ 形 (4) 5× (-3)___-3× (-3) 成
不等式的两边都乘以了－3，
不等式(1)(4)分别由 不等式“5 ＞-3”做了 怎样的变 形？
不等号改变方向 结果不等号的方向不变还是改变？
再来试一试！
知 识 ⑴ 形 ⑵ 成 ⑶ -4 ＜ -2
＜ -4+4____-2+4
＜ -4-4____-2-4
-4×4____-2×4 ＜
不等式(1)-(4) 分别由不等 式“-4 ＜-2” 做了怎样的 变形？
＞ ⑷ -4÷（-4）____-2÷（-4）
结果不等号的方向不变还是改变？
用“>”或“<”填空,并总结其中的规律。
＜ ＞ (5) -2<4， (-2)÷2____4÷2， (-2)÷(-2)____4÷(-2)
不等式的性质1 不等式两边加(或减)同 一个数(或式子)，不等号的方向不变.
如果a b,
那么a c b c.
不等式的性质2 不等式两边乘(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变.
如果a b, c 0, a b 那么ac bc(或 ). c c
（2）等式的两边都乘以（或除 以）同一个数（除数不能为 零），所得的结果仍是等式. b 若a=b,则ac=bc(或 a = , c≠0)
(1)不等式的两边都加上（或减去） 1. 不等 同一个数或同一个式子，不等号 式、等 的方向不变. 若a<b,则a+c<b+c （或a-c<b-c) 式性质 的异同 点. (2) 不等式的两边都乘以（或除以） 2. 对于 同一个正数，不等号的方向不变. 零. 若a<b且c>0, 则ac<bc(或 a 3. 特别 (3) 不等式的两边都乘以（或除以） 注意. 同一个负数，不等号的方向改变.
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看谁做得快
5、由x<y得mx>my的条件是 (
D )
A . m≥0
B . m≤0
C. m＞0 D. m＜0
６、若mx<m,且x>1,则应为
(
A )
D. m≥0
A. m<0
B. m>0
C. m≤0
看谁做得快
７、若m是有理数,则-7m与3m的大小 关系应是 ( D )
A.-7m<3m B.-7m≤3m
不等式的性质3 不等式两边乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.
如果a b, c 0, a b 那么ac bc(或 ). c c
知识形成
等式的基本性质
(1) 等式的两边都加上（或减 去）同一个数或同一个式 子，所得的结果仍是等式.
不等式的基本性质
注意
若a=b,则a+c=b+c(或a-c=b-c)
结果不等号的方向不变还是改变？
用“>”或“<”填 知 空 5___ -3 ＞ 识 形 (1) 5+3___ -3 +3 ＞ 成
不等式的两边都加上了3，
不等式(1)-(4) 分别由不等式 “5＞-3”做了 怎样的变形？