3-2 换元积分法
三二重积分的换元法
从而得二重积分的换元公式:
例如, 直角坐标转化为极坐标时,
抱赋临斧云脸揣购马嫁壁陈奥团窍欺搬氰剑弃才韵鸯螺闪散跪浊逐法绎湃三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
宪著圈骸呕齐罢誓裳锻逗烃扶减砌沃癸芒茶头痊士奏月芯怔邪堆渣吴兔淋三二重积分的换元法三二重积分的换元法
叫杀挽所糜波趴蛆躇钞降壁汇谅褐呕草烷诅玉磷啡靴糖喘沮闲粳垄婴玖索三二重积分的换元法三二重积分的换元法
解：
原式
备用题
1. 给定
改变积分的次序.
楷谜伟膜眯扶审洋各峰禁汪旺翌剁酬粘床络句氏蚊逊擅敝肮丑旧抠许坚益三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 计算
其中D 为由圆
所围成的
及直线
解：
平面闭区域.
榔质屋捞铺诧改毙枷腺皖帅朽序赵例散帐怀桥队誊性羹萍撵雍柏挑泉延蘑三二重积分的换元法三二重积分的换元法
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 ,
则
焕隙障邱肇眼弦遗狼恶患底悦荣碱咙赛曲判令坷蚁龙敏读越烘宁反贾育篇三二重积分的换元法三二重积分的换元法
思考与练习
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
窖食茎隅杀误邵呢绽衣蹿醛膘碴衬苫轮笆傣变苯钧垦并儡赛雄厘宰墩砖晒三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
祖磅穷栈捕嚏臂细埃弓给谜痕箭择猫曰隶膘鸭阀浦羡仇管笨丛抬惶甥柠境三二重积分的换元法三二重积分的换元法
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
大学高等数学ppt课件第三章2第二类换元积分法-分部积分法
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, (0 u ) 则 dx 3 secu tan udu
2
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
2x
u
4x2 3
3
Hale Waihona Puke 1 ln 2x 4x2 3 C
例1 求不定积分 4 x2 dx
解 令 x 2sin u, ( u ) 则 dx 2cosudu
2
2
原式 2cosu 2cosudu 4cos2 udu
2
x
u
2 1 cos 2udu
2u sin 2u C
4 x2
辅助三角形
所以 ex sin xdx ex sin x cos x C
2
◆一般规律
幂函数三角函数dx, 幂函数指数函数dx 令幂函数为 u 幂函数对数函数dx, 幂函数反三角函数dx 令幂函数为 v 指数函数三角函数dx
两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解 注意：第一次使用分部积分公式时，u与dv可任选，但 第二次使用分部积分公式时，u与dv的选择，必须与第一次 的选择同类。
2
(1
1 )du u2 1
2u
arctanu
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
原式
3u2 du 3 u 1
常用积分换元公式
第一类换元积分法
部分常用的凑微分公式：
（1）
1
()
dx d ax b
a
=+（2）1
1
()
1
n n
x dx d x
n
+
=
+
（3
d
=（4）
2
11
()
dx d
x x
=-
（5）1
(ln)
dx d x
x
=（6）()
x x
e dx d e
=
（7）cos(sin)
xdx d x
=（8）sin(cos)
xdx d x
=-
常用的凑微分公式
第二类换元积分法
1.当被积函数中含有
1)sin
x a t
=或cos
x a t
=；
2)tan
x a t
=；
3)sec
x a t
=.
通过三角代换化掉根式。
但是，去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，
22
ch sh1
t t
-=，采用双曲代换sh
x a t
=或ch
x a t
=消去根式，所得结果一致。
所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对根式进行有理化代换。
2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换
1
x
t
=.
3.类型f dx
⎰：可令t=；类型f dx
⎰：可令t=（第四节内容）
4.类型()x
f a dx
⎰：可令x
t a
=.
适合用分部积分法求解的被积函数。
第二类换元积分法
第二类换元积分法
第二类换元积分法是一种积分方法，它可用于计算某些类型的复杂函数的定积分。
它通常用于计算不可积分的复杂函数和多元函数。
第二类换元积分法是一种在数学中被广泛使用的工具，它被用于许多科学和工程领域，如力学、电磁学、热学和流体力学中。
第二类换元积分法是一种普通法则，它基于某种替换使函数的积分变得更容易，从而可以计算出函数的定积分。
该方法可以以相同的函数表达式，在不同的变量下进行替换，使函数变得更容易积分。
通常，第二类换元积分法用于计算复杂函数的定积分，它可以将复杂的函数替换成更容易积分的函数。
比如，给定复杂函数f(x)，可以使用换元积分法把它替换成容易积分的函数
F(t)，从而可以计算出f(x)的定积分。
此外，第二类换元积分法也可以用于计算多元函数的定积分。
例如，如果给定函数g(x, y)，可以使用换元积分法把它替换成容易积分的函数G(t, u)，从而可以计算出g(x, y)的定积分。
第二类换元积分法是一种有效的积分方法，它可以用于计算不可积分的复杂函数和多元函数的定积分。
但是，它的使用也有一定的局限性，它不能用于计算所有类型的函数的定积分。
因此，在使用它之前，应该了解函数的特性，确定它是否适合使用第二类换元积分法。
第二节 第一换元积分法
通过问题驱
动的方式引
导学生主动
进行课堂小
结，在总结
锻炼学生总
结归纳能
力。
课 堂练 习（20 分
钟）
与学生共同形成课堂小结：
分钟）
分的性质进行简单的凑微分计 计 算 例 题 中
算
的各类不定
积分，并总
例 1：求不定积分 ���2���
结其中出现
例 2：求不定积分
的一些数学
3
计算方法，
x 2e x dx
如 恒 等 变
形，巧妙配
例 3：求不定积分
方换元，三
e x
角函数公式
x dx
的应用等。
根据基本积
分表和不定
积分的性质
进行简单的
2. 第一换元积分法的概念（20 分钟）
教学内容
3. 第一换元积分法的例题讲解（40 分钟）
4. 第一换元积分法的课堂练习（20 分钟）
5 .课堂小结（5 分钟）
重点难点
重点：第一换元积分法；
难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。
课前预习
课前任务
教师活动
布置学习任务，
为讲授新课做准
备，并达到预习
知识的效果。
任务 1：复习不定
积分的概念及求
简单不定积分的
方法。
任务 2 ：预习第
一还原积分法，
尝试理解其思想
1.发布课前学习任务
2. 观察统计学生完成情况，并
根据学生都得留言反馈对教学
进行针对性微调
课中学习
学生活动
信息化手段计
按照教师发
利用学习通发布学习
布要求，完
任务，并形成数据统
16-3-2换元积分法-9页精选文档
课时讲授§16－3 换元积分法掌握第二类换元积分法第二类换元积分法第二类换元积分法的运用无P150 B组 1、2、§16－3 换元积分法（第二类积分法）一、求下列积分dx x a ⎰+221dx x a ⎰-221 ⎰xdx x 2cos 3cos 二、第二类换元法定理 设)(t x ϕ=是单调的、可导的函数 并且)(t ϕ'0 又设)()]([t t f ϕϕ'具有原函数F(t) 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ其中)(1t t -=ϕ是)(t x ϕ=的反函数例1、求⎰+xdx 1例2. 求dx x a ⎰-22(a >0) 例3. 求⎰+22a x dx(a >0) 例4、 求⎰-22a x dx (a >0)学生练习：书P149 练习 补充公式(1)C x xdx +-=⎰|cos |ln tanCx xdx +=⎰|sin |ln cot (3)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec (4)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc(5)Ca x a dx xa +=+⎰arctan 1122(6)Ca x a x a dx ax ++-=-⎰||ln 21122(7)C a x dx xa +=-⎰arcsin 122(8)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222(9)Ca x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222§16－3-2 换元积分法复习新课一、求下列积分dxxa⎰+221dxxa⎰-221⎰xdxx2cos3cos二、第二类换元法定理设)(txϕ=是单调的、可导的函数并且)(tϕ'0又设)()]([ttfϕϕ'具有原函数F(t)则有换元公式CxFtFdtttfdxxf+=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ其中)(1tt-=ϕ是)(txϕ=的反函数例1、求⎰+xdx1解：令tx=，则有)0(2>=ttx，dtdx2=，于是⎰⎰⎰⎰++-=+-=+=+Cttdttdtttdtxdx)1ln(2)11(2121再将xt=代入上式，得⎰+xdx1=Cxx++-)]1ln([2例2. 求dxxa⎰-22(a>0)解: 设x a sin t22ππ<<-t那么22xa-tataa cossin222=-=dx a cos t d t于是⎰⎰⋅=-tdtatadxxa coscos22Ct t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222因为ax t arcsin =, axa a x t t t 222cos sin 22sin -⋅== 所以dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2Cx a x a x a +-+=22221arcsin 2例3. 求⎰+22a x dx(a >0)解法一设xa tan t 22ππ<<-t 那么22a x +t a a 222tan +=ta 2tan 1+=a sec t dx a sec 2t d t于是⎰+22a x dx ⎰⎰==tdtdt t a t a sec sec sec 2ln |sec t tan t |C因为aax t 22sec += axt =tan 所以⎰+22a x dx ln |sec ttan t|C Caa x ax +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=其中C 1C ln a提示:22a x +ta a 222tan +=a sec t dx a sec 2t dt提示:aax t 22sec += axt =tan解法二: 设x a sh t 那么⎰+22a x dx C a x C t dt dt t a t a +=+===⎰⎰arsh ch chCax ax +⎪⎭⎫⎝⎛++=1)(ln 2122)ln(C a x x +++=其中C 1C ln a提示:22a x +222a t sh a +=a ch t dx a ch t d t例4、 求⎰-22a x dx (a >0)解: 当x >a 时 设xa sec t (20π<<t ) 那么22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a a tan t 于是⎰-22a x dx ⎰⎰==tdtdt t a t t a sec tan tan sec ln |sec t tan t |C 因为aax t 22tan -= axt =sec 所以⎰-22a x dx ln |sec ttan t |CC aa x a x +-+=||ln 22122)ln(C a x x +-+=其中C 1C ln a当x <a 时 令xu 则u >a 于是⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222C a x x +-+--=)ln(22122)ln(C a x x +---=122222)ln(ln C a x x C a a x x +---=+---=其中C 1C 2ln a综合起来有⎰-22ax dx C a x x +-+=||ln 22学生练习：书P149 练习补充公式(16)Cx xdx +-=⎰|cos |ln tanCx xdx +=⎰|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec小结作业(20)Caxadxxa+=+⎰arctan1122(21)Caxaxadxax++-=-⎰||ln21122(22)Caxdxxa+=-⎰arcsin122(23)Caxxaxdx+++=+⎰)ln(2222(24)Caxxaxdx+-+=-⎰||ln2222第二类换元积分法及其运用书P150 B组 1、 2、希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的荣耀。
第二类换元积分法公式大全
第二类换元积分法公式大全第二类换元积分法是求解不定积分中常用的一种方法，也被称为反三角函数法。
该方法适用于被积函数含有形如$f'(x)/f(x)$的因式，换元后将该因式化为常数，从而简化积分运算。
以下是第二类换元积分法中常用的公式：1. $\int f'(x)f(ax+b)dx=\dfrac{1}{2a}f^2(ax+b)+C$2. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$3. $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}\dfrac{x}{a}+C$4. $\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C$5. $\int \dfrac{1}{ax^2+bx+c}dx=\dfrac{1}{\sqrt{4ac-b^2}}\tan^{-1}\left(\dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+C$6. $\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\tan^{-1}\dfrac{x}{a}+C$以上公式中，$f(x)$是反函数$f^{-1}(x)$的导数。
对于一般情况，我们可以通过合理的换元使得原函数变为上述公式中的一种形式，从而便于求解不定积分。
例如： $\int \dfrac{1}{2x+1}\ln(2x+1)dx$。
这里$f(x)=\ln(x)$的导数为$f'(x)=\dfrac{1}{x}$，而被积函数中含有$(2x+1)$的因式，因此我们可以尝试使用第一类换元积分法：$u=2x+1$，则$du=2dx$，积分变为：$$\begin{aligned}\int \dfrac{1}{2x+1}\ln(2x+1)dx&=\int \dfrac{1}{u}\ln u\cdot\dfrac{du}{2}\\&=\dfrac{1}{2}\int \ln u\cdot\dfrac{du}{u}\\&=\dfrac{1}{2}\ln^2(2x+1)+C\end{aligned}$$由此可知，使用第二类换元积分法可以更加灵活地求解各种类型的不定积分，为我们的微积分研究提供了便利。
换元积分法和分部积分法
对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
第二类换元积分法三角代换
第二类换元积分法三角代换积分是高等数学中一个非常重要的概念，也是数学中的一门重要的分支。
在积分的学习中，我们常常需要运用到换元积分法，而换元积分法又分为第一类和第二类。
在本文中，我们将主要讨论第二类换元积分法中的三角代换。
一、第二类换元积分法第二类换元积分法是指在进行积分计算时，通过对被积函数中的某个量进行代换，从而将原函数化为一个更容易积分的形式。
这种方法的本质是代数上的变量代换，可以将变量从原来的自变量x 换成一个新的自变量t，使得原来的积分式变为一个更容易求解的形式。
二、三角代换三角代换是第二类换元积分法中的一种常用方法，它通过将被积函数中的某些项表示为三角函数的形式，从而实现对积分式的简化。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三、三角代换的基本思想三角代换的基本思想是将被积函数中的某些项表示为三角函数的形式，然后通过代换将其化简为更容易求解的形式。
具体的方法如下：1、当被积函数中包含二次项时，可以采用正弦或余弦代换，即将被积函数中的二次项表示为三角函数的平方。
2、当被积函数中包含平方根时，可以采用正切代换，即将被积函数中的平方根表示为三角函数的比值。
3、当被积函数中包含其他三角函数时，可以采用三角恒等式进行化简，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
四、三角代换的具体方法1、正弦代换当被积函数中包含二次项时，可以采用正弦代换，即将被积函数中的二次项表示为正弦函数的平方。
具体的方法如下：将被积函数中的二次项表示为正弦函数的平方，即令x=asin t，其中a>0。
这时，可以通过三角恒等式sin^2t=1/2(1-cos2t)将正弦函数的平方表示为余弦函数的形式，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
2、余弦代换余弦代换与正弦代换类似，也是将被积函数中的二次项表示为余弦函数的平方。
具体的方法如下：将被积函数中的二次项表示为余弦函数的平方，即令x=acos t，其中a>0。
这时，可以通过三角恒等式cos^2t=1/2(1+cos2t)将余弦函数的平方表示为余弦函数的形式，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
不定积分的计算3-2
熟能生巧。
20
三、第二类换元法 问题 解决方法 过程
1 1 x dx ?
变量代换方法 令 u x
x u2 dx 2udu
1 1 1 x dx 1 u 2udu
再应用凑微分及积分公式即可求出
21
1 设函数 g 连续， 具有连续导数， 存在 定理
2
2
2
(13)
chxdx shx C
7
4、不定积分的性质: 1) f ( x )dx f ( x ) d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x)dx f ( x) C df ( x ) f ( x ) C
、 是两个常数， 2) 设函数 f 和 g 的原函数都存在， 则 [f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
3
例3、设曲线通过点 (2, 1) ，曲线上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的三倍，求此曲线方程。 解： 设曲线方程为 y = f (x) , dy 3 x 即 f (x) 是3x 的一个原函数 dx 3 2 3 2 又 3 xdx x C f ( x ) 2 x C 2 ( x, y ) (2, 1) C 5 3 2 ∴所求曲线方程为 y x 5 2
可作为一般的常用积分公式
16
1 dx 例14、计算 2 x 8 x 25
1 dx 例15、计算 x 1 e 1 解： 1 e x dx (1) 1 e x e x dx x 1 e
e x x dx ( 2) e 1
17
x 1 dx 例16、计算 2 x x 1 1 3 (2 x 1) 2 2 dx 解：原式 2 x x 1
第二换元积分法教学设计
第二换元积分法教学设计第一部分：教学目标本教学设计旨在帮助学生理解和运用第二换元积分法来求解复杂的积分问题。
通过本课程，学生应能够：1. 理解第二换元积分法的基本概念和原理；2. 掌握第二换元积分法的常用技巧；3. 能够灵活运用第二换元积分法解决各种类型的积分问题；4. 培养学生的数学思维和问题解决能力。
第二部分：教学内容和步骤1. 引入（5分钟）通过提问和讨论引入第二换元积分法的概念和应用。
例如，可以问学生是否知道如何解决以下积分问题：∫(sin x)^2 dx。
2. 理论讲解（20分钟）首先，讲解第一换元积分法的基本概念和原理。
通过例题演示，引导学生理解如何通过变换自变量来改变积分的形式。
接着，详细介绍第二换元积分法的基本思路和步骤。
讲解时可以以一些简单的例子为辅助，帮助学生理解。
3. 实例演练（25分钟）在此环节中，设计一些实例让学生进行积分计算。
这些例子应包含不同类型的函数，例如指数函数、三角函数等，以帮助学生熟练掌握第二换元积分法的技巧。
4. 深化讨论（15分钟）在此环节中，引导学生思考以下问题：a. 第二换元积分法与第一换元积分法有何异同之处？b. 如何判断何时使用第二换元积分法来求解一个积分问题？通过学生的讨论，加深他们对第二换元积分法的理解和应用。
5. 拓展应用（20分钟）设计一些拓展练习，让学生更全面地应用第二换元积分法。
这些练习可以结合实际问题，例如求解面积、体积等。
鼓励学生在解答题目时运用创新思维和灵活技巧。
第三部分：教学评估通过以下方式对学生的学习情况进行评估：1. 课堂练习：根据学生在实例演练和拓展应用环节的表现进行评分。
2. 问题解答：通过与学生的深化讨论和拓展应用环节中的问题互动，评估学生对第二换元积分法的理解程度。
3. 作业评估：布置一些练习题作业，通过批改学生的作业来检查他们对教学内容的掌握情况。
第四部分：教学资源本课程所需的教学资源包括：1. 教科书或教学参考书，用于解释和演示第二换元积分法相关理论和技巧；2. 讲义或课件，用于呈现教学内容，并提供实例和练习题；3. 黑板或白板，用于课堂互动和问题解答；4. 练习题集，用于学生的课后巩固和评估。
换元积分法简明易懂
换元积分法简明易懂换元积分法又被称为代数凑式法，是一种常用的数学积分方法。
它适用于求解一些复杂的积分，通过将被积函数中的一部分进行代数凑式，将原积分转化为一个新的积分形式。
因此，它是日常生活中数学计算中的重要手段之一。
下面我们来详细了解一下这个方法。
一、变量代换假设要求解一个积分式为：∫f(x)dx换元积分法的第一步是选定一个新的变量，使得在这个新的变量下，原来的积分式的形式会更加简单。
例如，可以选定一个新的变量u，使得：u = g(x)其中，g(x)为一个可导函数。
因此，根据链式法则，可以得到：也就是说，新变量u的微分可以表示为：将上述表达式代入原积分式中，可以得到：∫f(x)dx = ∫f(g(x))/g'(x) du这样，原来的积分式已经被变成了一个用u表示的新的积分式。
二、换元积分法的具体操作1、当原积分式中只有一项如果原积分式中只有一个项f(x)，需要进行代数凑式。
比如：∫x^3cos(x^2)dx令u=x^2，那么可以得到：du/dx = 2x由此，可以得到：这样，原来的积分式就变成了一个用u表示的新的积分式。
对于这个新的积分式，我们可以使用几何意义、分部积分等方法进一步求解。
对于原积分式中的多项式，需要将其中一部分代入新变量中，比如：∫(x+1)sin(x^2+2x+1)dx三、特殊情况换元积分法也适用于一些特殊的积分式。
下面介绍几种常见的特殊情况。
1、当原式中出现了幂函数时此时，需要选定一个新的变量u，使得du/dx中出现了与f(x)的形式相同的幂函数。
比如：比如：∫√(1-4x^2)dx = -1/8 ∫√udu以上就是换元积分法的具体操作，希望能够对大家有所帮助。
定积分换元积分法
定积分换元积分法定积分是解决许多实际问题的重要工具之一。
在计算一些比较复杂的定积分时，我们需要采用不同的积分方法。
其中，换元积分法是一种较为常用的方法，它能够将原函数中的一部分进行替换，以达到简化计算的目的。
换元积分法的基本思路就是将原积分中的变量用一个新的变量来代替，从而使得积分计算变得容易。
在具体的计算过程中，我们需要注意以下几个方面：（1）选择合适的替换变量在换元积分法中，选择合适的替换变量是非常重要的。
一般来说，我们会选择一个比较简单的函数来代替原函数中的一部分。
例如，当原函数中出现根号下一个多项式时，我们可以选择将其中的一个部分用新的变量代替，从而使得计算更加简单。
（2）确定替换变量的取值范围一旦选定了替换变量，我们就需要确定该变量的取值范围。
这通常需要对原积分进行一定的分解和推导，以得到新的积分形式。
在替换变量的取值范围确定后，我们就可以将原积分转换成新的形式，并进行进一步的计算。
（3）注意求导和积分的关系在换元积分法中，经常需要对代入新变量的函数进行求导和积分计算。
因此，我们需要注意求导和积分的关系。
例如，在对新变量求导时，需要将旧变量的导数带入计算；在进行积分时，则需要将新变量代回原积分中，从而得到最终的积分计算结果。
总之，换元积分法是一种非常常见的定积分计算方法，它能够简化复杂的积分运算，提高计算效率。
在实际应用中，我们需要根据不同的情况选择合适的替换变量和计算方法，并注意求导和积分的关系。
通过不断练习和实践，相信大家会掌握这一方法，成为一名优秀的数学工作者。
换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例2
求下列不定积分
(1) xex2 dx
解：
由于 xdx 1 d (x2 ) ，所以 2
xex2 dx 1 ex2 dx 2 1 ex2 C 2
同理:
(2)
x 1 x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
C
4.2 换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 2
1 x
1 x C
再将u x 1 代回，得
dx x 1
ln
x
1
C
4.2 换元积分法
经济数学
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(4) (2x 1)4dx
同理有:
(5) e2x1dx 1 e2x1 C 2
解：
令
2x 1 u则
dx 1 du ，于是 2
(2x 1)4 dx 1 2
u 4 du
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
换元积分法
1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x ( 3 2 x )dx
令u 3 2 x
1 1 1 1 du ln u C ln 3 2 x C . 2 2 u 2
一般地
1 f (ax b)dx [ f ( u)du]u ax b a
x 1 x
e udu e u C
dx
e
x
1 x
1 x 1 d( x ) e x C. x
12
dx 1. cos 2 x(1 tan x )
f (tan x ) sec2 xdx f (tan x )d tan x
d(1 tan x ) ln 1 tan x C 1 tan x
x x
x
1 du ( u 1) u du 1 1 du u(1 u) u(1 u) u u1
1 1 du d( u 1) u u1
ex ln u ln u 1 C ln x C. e 1
21
解 原式
1 4 1 8 1 12
23
1 1 例 求 dx sec2 x d x 1 cos x dx 2 cos 2 x 2 2 x
解
1 1 cos x dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x
1 1 x a 2 x 2 dx a arctan a C 1 x 同理 dx arcsin C .(a 0) a a2 x2
14
1 dx . 例 求 2 x 8 x 25
1 1 x a 2 x 2 dx a arctan a C
换元积分法
dx
x 作辅助三 根据 tan t = ， a 角形， 角形，得
2 2 x +a
x
∫
dx x2 + a2
= ln | sec t + tan t | +C1
x = ln + a x2 + a2 a +C 1
t a
= ln( x + x 2 + a 2 ) + C1 − ln a = ln( x + x 2 + a 2 ) + C，
3.2 换元积分法 显然，利用直接积分法求出的不定积分是有限的， 必须有多种不定积分的求解方法。下面就给出由复合函数 求导公式得到的不定积分的换元积分法。
3.2
换元积分法
第一换元法(或称凑微分法) 3.2.1 第一换元法(或称凑微分法) 3.2.1 第二换元法
∫ cos 3xdx =
公式: ∫ cos xdx =sin x +C
例 15
求
∫
dx x2 + a2
( a > 0).
π π 解 令 x = a tan t， < t < ，则 dx = asec2 tdt ， − 2 2 于是有
∫
a sec 2 t dt = ∫ sec tdt =∫ 2 2 a sec t x +a
= ln | sec t + tan t | + C1 .
∫ f ( x )dx
= F ( x ) + C 用到
∫ f (u)du = F (u) + C (u是x的可微函数 )，
回答这个问题. 定理 1 回答这个问题
3.1 定理 3. 若 则
定积分的换元法和分部积分法
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
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( t + 1) − 1 = 2∫ dt
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1 dt = 2∫ 1 − 2 1+ t = 2( t − arctan t ) + C ,
回代变量 t =
x − 1, 得
∫
x −1 dx = 2( t − arctan t ) + C x
= 2( x − 1 − arctan x − 1 ) + C .
sec xdx = ln sec x + tan x + C. ∫
类似可得
注意： 注意： 求同一不定积分， 求同一不定积分，因使用的方法不 同，其结果可能具有不同的形式，但实质 其结果可能具有不同的形式， 是相同的． 是相同的．
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二、第二类换元积分法
单调可微
连续， 定理2 定理2 设函数 f ( x ) 连续，函数 x = ψ (t )
−1 ( x )， ′( t ) = f [ψ ( t ) ]ψ ′( t )，则 F t =ψ
(ψ ′( t ) ≠ 0 )
令x =ψ ( t )
，其反函数为
∫ f ( x ) dx
= F (t ) + C
−1 ( x ) 回代 t =ψ
∫
f [ψ ( t ) ]ψ ′( t ) dt
F [ψ ( x )] + C .
3 6 6
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1 1+ x 例6 求 ∫ dx . x x
为了去掉被积函数中的根号， 解 为了去掉被积函数中的根号，令
1+ x 1 = t, x = 2 , x t −1
则
2t dx = − 2 dt , 2 ( t − 1)
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于是有
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1 1+ x t dx = −2∫ 2 dt ∫x x t −1 2 ( t − 1) + 1 1 dt = −2 ∫ 1 + 2 = −2 ∫ dt 2 t −1 t − 1 1 t −1 dt = −2t − ln = −2 t − 2 ∫ 2 +C t +1 t −1 1+ x −1 1+ x x + C. = −2 − ln 1+ x x +1 x
2
均为常数, 其中 a, b 均为常数 且a≠0.
．
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计算下列不定积分： 例1 计算下列不定积分：
lnx (1) ∫ dx ; x
1 令 u = ln x ， du = dx ，从而有 ( 2) ∫ tan x dx . x lnx ∫ tan x dx 1 2 1 2 即 dx =tan x dx = − ln cos= + C x + C ∫ x ∫ ∫ udu = 2 u + C x2 ln sin x 1 类似可得 dx d x) = u =∫ 当运算熟练后， = − ∫ 当运算熟练后，变量代换 ϕ ((cos x ) cos x cos x cot = ln ∫− ln xdxx + Csin x + C 和回代这两个步骤可省略不写． 和回代这两个步骤可省略不写． cos . =
1 1 ′ cos 3 x 3 求∫ sindxx. = cos 3 x , 即 sin 3 x 3 3
∫
∫
关键： 关键：
下列变形，然后进行计算． 下列变形，然后进行计算 + 利用 cos udu = sin u ． C ∫ 的可微函数） （ u 是 x 的可微函数）
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常用的凑微分公式 1 dx = d (ax + b ) ; a
e dx = de ;
x x
1 1 dx = − d ; 2 x x x 2 dx = − d 1 − x ; cos xdx = d sin x ; 1 − x2 x dx = d 1 + x 2 ; sin xdx = −d cos x ; 1 + x2
∫ ( 1 + cos 2 t ) dt
a 1 = t + sin 2 t + C 2 2 2 a = ( t + sin t cos t ) + C , 2
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2
回代， 为简便起见， 回代，把变量 t 换为 x. 为简便起见，根据
∫
f [ ϕ( x∵] ϕ′[ϕ ()xdx = f [ϕ ((x )]ϕ ′( x )dxF(u) + C ) dF ( x )] = ∫ f u) du = = F[ ϕ= F [ + C ∴ ∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx ( x) ]ϕ ( x )] .+ C
上述积分法称为第一类换元积分法(或凑微分法). 上述积分法称为第一类换元积分法(或凑微分法). 由此可得定理1. 由此可得定理 第一类换元积分法 关键: 关键 将∫ g( x)dx化为 f [ϕ( x)]ϕ′( x)dx. ∫
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方法三： 方法三：
1 ∫ cscx d x = ∫ sin x dx 1 1 dx = ∫ dx =∫ x x x 2sin cos 2 sin 2 2 2 ⋅ cos 2 x x 2 cos 2 1 x x d tan = ln tan + C . =∫ x 2 2 tan 2
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1 dx . 例5 求 ∫ 3 x+ x 为了去掉根号， 解 被积函数含根式 x , 3 x , 为了去掉根号， 6 则 dx = 6 t 5 dt , 于是有 6 令 x = t, x = t , 5 1 6t ∫ x + 3 x dx = ∫ t 3 + t 2 dt 3 3 t ( t + 1) − 1 = 6∫ dt = 6 ∫ dt t +1 t +1 1 2 = 6∫ t − t + 1 − dt t + 1
2
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2. 三角代换
例7 求
∫
a − x dx , ( a > 0 ).
2 2
被积函数含有二次根式， 解 被积函数含有二次根式，若用简单根式 代换， 代换，即令 不能奏效． a − x = t , 不能奏效．但可以
2 2
2 2
利用三角函数恒等式 sin x + cos x = 1, 使其有理化．为此， 使其有理化．为此，
．
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即
1 1 x−a ∫ x2 − a2 dx = 2a ln x + a + C.
类似可得
1 1 a+ x ∫ a2 − x2 dx = 2a ln a − x + C.
．
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（4）方法一： 方法一：
∫ csc xdx
x 2 x cos + sin 1 2 2 dx dx = ∫ =∫ x x sin x 2sin cos 2 2 x x x = ∫ tan + cot d 2 2 2
．
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计算下列不定积分： 例2 计算下列不定积分：
sin( x + 1) x ∫x +41dx x 1 ∫ dx 1 4 d ( x 2 ) sin( ) = ∫ ( 2) ∫ 1 − x dx . 2 1− x x = 2 ∫ sin( x + 1)d x 1 2 = arcsinx + C . 2 = 2 ∫ sin ( x + 1)d ( x + 1) = −2cos ( x + 1) + C .
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1 2 xdx = d ax + b ; 2a 1 dx = d ln x ; x 1 dx = 2d x ; x
(
)
sin 2 xdx = d sin x = −d cos x ;
2 2
sec xdx = d tan x ; 1 dx = d arcsin x = −d arccos x ; 2 1− x 1 dx = d arctan x = − d arc cot x . 2 1+ x 1 一般有: 一般有 ϕ′( x) dx = dϕ( x) = d[ aϕ( x) + b ] . a
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方法四： 方法四：
csc x ( csc x − cot x ) ∫ cscx d x = ∫ csc x − cot x dx
d ( csc x − cot x ) =∫ csc x − cot x = ln csc x − cot x + C .
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即
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C.
．
(1)
∫
x 1 − x4
dx ;
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dx 计算下列不定积分： 例3 计算下列不定积分：
(1)
( 2)
( 3)
( 4)
1 ∫xdx2 ;− a 2 =∫∫cos 2+xdx( x − a ) dx 3 x (x a) cos ∫ 3 1 1∫ cos+x dx x 1 1 dx = ∫ = − cos2 dx 2 2; x 2 ∫ cos xdxa x −=a∫ cos+2a cosx d x ∫a ) xd1( x + a ) dx 1 d ( x − − = 2 ; ∫ = 1 dx ∫ 2 cos2xd 2 x ∫ x 2 − a a x= 2 ∫1 − sinx∫+)d (sinx ) ( +4x a 2 a −∫ 1. 1x cscxdx [ ln x − 1 − ln 1 + a3 ] + C a x x − sin 2 xx + C . = ∫ = sin + sin + C . = 2a 2 43 1 x−a ln = + C. 2a x + a