空间几何图
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第七章 空间图形 第三节 多面体
C
AB 2AM 2OM cot 30
2 3 l2 h2
B
图7-48 例4图形
由一般棱锥的性质, 有
S
ABC
12 2
3
l2 h2
3 l2 h2 3 3 l 2 h2
S A1B1C1 SO12 1 , 所以 S ABC SO2 4
3 3
S 4 A1B1C1
l2 h2
2.正棱锥的侧面积、全面积和一般棱锥的体积
按侧棱与底面是否垂直来分，又有斜平行六面体与直平行 六面体的区别，其中底面为矩形的直平行六面体，就是我们通 常所说的长方体，长方体的任意一条对角线的平方等于长、宽、 高的平方和.
例1 如图7-42所示,底面是菱形的直棱柱,对角线B1D和A1C 的长分别是9cm和15cm, 侧棱AA1的长是5cm, 求它的底面边长.
1
1
1
S正棱锥侧面积 2 hP, S正棱锥全面积 S 2 hP, V棱锥体积 3 HS
以上公式中, h为斜高, P为底的周长, H为棱锥高, S为底面积.
例5
已知正三棱锥的斜高等于6
1 2
cm,高等于6cm,
求它的全
面积.
S
解如图7-49所示,S - ABC是 一个满足题设的正三棱锥,SO 为高,连接AO并延长与BC交于 点D,则AD BC,连接SD,SD BC,SD为斜高,在直角 SOD中
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…,我们把这 些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
根据棱柱的定义，容易得到棱柱的以下性质.
(1) 侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
(2) 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；
(3) 对角截面是平行四边形.
空间几何体的三视图
、左、右
从左向右正对着物体观察，画出左视图， 从左向右正对着物体观察，画出左视图， 布置在主视图的正右方， 布置在主视图的正右方，左视图反映了物体的 宽和高及左右两个面的实形。 宽和高及左右两个面的实形。 • 左视图反映：上、下 、前、后 左视图反映：
三视图能反映物体真实的形状和长、 三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高。
从上向下正对着物体观察， 从上向下正对着物体观察，画出俯视 布置在主视图的正下方， 图，布置在主视图的正下方，俯视图反映 了物体的长和宽及上下两个面的实形。 了物体的长和宽及上下两个面的实形。
俯视图反映： • 俯视图反映：前、后 、左、右
基本几何体三视图
对于基本几何体棱柱、棱锥、 对于基本几何体棱柱、棱锥、棱台以及圆 台的三视图是怎样的？ 台的三视图是怎样的？
正 左 视 视 图 图 俯 视 图
已知某几何体由一些小正方体组成， 已知某几何体由一些小正方体组成，它的三视图 如下图所示， 这个几何体由多少个小正方体组成？ 如下图所示，问：这个几何体由多少个小正方体组成？
正视图
侧视图
俯视图
6个 个
如图是一个物体的三视图， 如图是一个物体的三视图，试说出物体 的形状。 的形状。
简单组合体
走在街上会看到一些物体， 走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特 征是什么？ 征是什么？
简单组合体
下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说它们的 下图是著名的中央电视塔和天坛， 主要几何结构特征吗？ 主要几何结构特征吗？
简单组合体的结构
拼接式
简单组合体的结构
挖切式
简单组合体的结构
D A C A B d d a a c c b b B C D
平行投影法
空间几何的直观图
通过直观图，物理学家可以更直观地理解复杂的物理现象，并建立数学
模型进行定量分析。
02
电磁学研究
在电磁学中，空间几何直观图用于描述电场、磁场以及电磁波的传播方
向和强度。通过直观图，物理学家能够更好地理解电磁场的分布和变化
规律。
03
光学研究
在光学研究中，空间几何直观图用于描述光线传播路径、折射和反射等
现象。通过直观图，科学家可以更清晰地理解光学现象的本质，并探索
Байду номын сангаас
空间几何的特性
空间几何具有直观性
空间几何具有逻辑性
通过图形和模型，将抽象的数学概念 转化为具体的视觉形象，便于理解和 想象。
它运用逻辑推理和证明来研究空间关 系，确保所得结论的正确性和可靠性。
空间几何具有抽象性
它从具体的物体和现象中抽象出点、 线、面等基本元素，以及它们之间的 位置关系和度量关系。
解析几何教学
在解析几何教学中，空间几何直观图用于解释代数方程与几 何图形之间的关系。通过直观图，学生可以更清晰地理解解 析几何的基本原理和方法，提高数学分析能力。
05
空间几何的直观图的发 展趋势
直观图与计算机技术的结合
3D建模软件
通过3D建模软件，如Blender、SketchUp等，可以创建复杂的空 间几何形状，并使用直观图展示。
空间几何的应用
01
02
03
04
空间几何在物理学中有广泛应 用，如力学、光学、电磁学等
。
空间几何在工程学中用于设计 和分析建筑、机械、电子等领
域中的物体和系统。
空间几何在计算机图形学中用 于生成和操作三维模型，以及
模拟和可视化复杂系统。
空间几何体的结构、三视图、直观图
3.空间几何体的三视图 3.空间几何体的三视图 得到, 空间几何体的三视图是用 正投影 得到,这种投 影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括 正视图 、 侧视图、 俯视图 .
1、正视图：光线自物体的前面向后投影所得 、正视图： 的投影图。 的投影图。 2、侧视图：光线自左向右投影所得的投影图。 、侧视图：光线自左向右投影所得的投影图。 3、俯视图：光线自上向下投影所得的投影图。 、俯视图：光线自上向下投影所得的投影图。
5.中心投影与平行投影 5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 (1)平行投影的投影线 互相平行 ，而中心投影的 投影线 相交于一点 . (2)从投影的角度看， (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 从投影的角度看 投影下画出来的图形. 出的直观图都是在 平行 投影下画出来的图形.
一个几何体的主视图和左视图的高度一样， 一个几何体的主视图和左视图的高度一样，俯视图 和主视图的的长度一样，左视图和俯视图的宽度一样． 和主视图的的长度一样，左视图和俯视图的宽度一样．
主视图 主视图 左 视
左视图
c c a
长度
高度
c b a
俯视图
图
b b
宽度
a
俯视图
思考3 思考3
圆柱、圆锥、 圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什 么？ 2r 2r 2r 2r 圆柱的三视图 圆锥的三视图 圆台的三视图
题型二
几何体的直观图
【例2 】 一个平面四边形的斜二测画法的直观图 是一个边长为a的正方形, 是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面
积等于( 积等于( B ) A.
2 2 a 4
思维启迪 标系将正方形A 还原， 标系将正方形A′B′C′D′还原，并利用平面
空间几何体的直观图
画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？ 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
例2 画正五棱锥的直观图
例3.画正六棱柱的直观图
步骤：
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
正六棱柱的直观图的画法
步骤：
zノ
1、画轴；
2、画底面；
3、画侧棱；
yノ
4、成图。
oノ
xノ
正六棱柱的直观图的画法
Eノ Fノ
Aノ
zノ
Dノ Cノ
Bノ
yノ
E F
D C
A
oノ B
xノ
思考:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直 观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图 形？在实际画图时有什么办法？
学习立体几何应注意的问题
1．一看、二画、三想 2．平面几何里的性质，定理在空间图形的 某个平面内成立． 3．对今后所学的立体几何中的各种定义， 公理，定理，公式必须熟记，这是学好立体 几何的基础．
图画、照片等都是空间图形在平面上的反映， 通过对图像、照片的研究可以了解空间图形的一 些性质和特征。
步骤：
zノ
1、画轴；
2、画底面；
3、画侧棱； 4、成图。
yノ
E F
D C
A
oノ B
xノ
正六棱柱的直观图的画法
步骤：
zノ
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱；
Eノ Fノ
Aノ
Dノ Cノ
Bノ
4、成图。
yノ
E F
D C
A
oノ B
xノ
正六棱柱的直观图的画法
步骤：
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
把空间图形在平面上反映出来，是一件很有 意义的事情。
空间几何图形
空间几何体
空间几何体类型 1.柱体：棱柱、圆柱 2.椎体：棱锥、圆锥 3.台体：棱台、圆台 4.球体：球
棱柱结构特征
底面：两个底面是全等的 多边形，且对应边互相平 行 侧棱：互相平行且相等 侧面：都是平行四边形
棱锥结构特征
底面：只有一个底面（任意多 边形） 侧面：都是三角形，所有侧面 只有一个公共顶点 侧棱：所有侧棱交于顶点
棱台结构特征
底面：棱台的上、下两个底面是 平行的，并且这两个底面是相似 多边形 侧面：都是梯形 侧棱：棱台所有侧棱的延长线交 于同一点
空间几何棱柱的三视 图
空间几何体类型 1.柱体：棱柱、圆柱 2.椎体：棱锥、圆锥 3.台体：棱台、圆台 4.球体：球
棱柱结构特征
底面：两个底面是全等的 多边形，且对应边互相平 行 侧棱：互相平行且相等 侧面：都是平行四边形
棱锥结构特征
底面：只有一个底面（任意多 边形） 侧面：都是三角形，所有侧面 只有一个公共顶点 侧棱：所有侧棱交于顶点
棱台结构特征
底面：棱台的上、下两个底面是 平行的，并且这两个底面是相似 多边形 侧面：都是梯形 侧棱：棱台所有侧棱的延长线交 于同一点
空间几何棱柱的三视 图
空间几何体的展开图课件1
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
练：课本P54页NO.1、2、3、4、5
探 1、如图是某多面体的平面展开图，指出它们
究 的名称。
交
C1
流 C2
C5
C3
C4
(1)
（2）
分析：左边的平面展开图，把C1 、 C2 、 C3 、 C4 、 C5 和 拼成一点，得到的是五棱锥，右边按共棱粘和方法可得到
r
l
长方形
宽＝ l
长 ＝2r
S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母 线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有 什么关系？
扇形
R扇＝l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆
锥
侧＝S扇＝
nl 2
360
1 2 l扇l
rl
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条 母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
是 D3A与D1 A；
三刀两边是D3 C与
B
D2 C）
A
B
结论：沿着多面体的一些D棱1 将他剪开 ,可以把多 面体展开成一个平面图形。这个平面图形叫做该多 面体的平面展开图。
思考：你能说出下列哪些图形是空 间图形的平面展开图
实 1、如图所示的3种形状，你能想象出哪一个可 例 以折叠成多面体吗？动手做做。 探 究 与 交 流
2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题，注意相似比.
简单空间图形的直观图(共10张PPT)
（2）分别然过点A后、B、画C、D出， 对应的O′x′轴和O′y′ 轴，使∠x′O′y′=45°， 此时这两轴确定的平面为水平平面．
接着从两方面画图：位置关系和度量关系，在x轴上 或平行于x轴的线段，相应地画在x′轴上或
平行于x′轴，且保持原长度不变； 在y轴上或平行于y轴的线段相应地画在y′轴上或
，否则要引辅助线． 今后要学习的正等测画法有紧密的联系，也是后面柱、锥、台、球等直观图画法的基础．
平行于y轴的线段，长度为原长度的一半． （2）分别过点A、B、C、D，
把空间图形在平面内画得既有立体感，又能应表达出
图中各主要部分的位置关系和度量关系的图形，就是直观
图——空间图形在平面内的表示方法．
中心投影(透视)虽然可以显示空间图形的直观形
直观图的画法
空间图形在平面内的表示法
立体几何的教学应辅以空间图形的直观图，这 种图虽然不是空间图形的真实状态，但具有较强的 立体感和直观性，还能表达出空间物体的长、宽、 高三个方向上主要的位置关系和度量关系，所以在 生产和实际生活中有广泛的应用．
水平放置的平面图形直观图的画法重点是向学生介 绍斜二测画法，也就是把水平放置的平面图形用斜二测
例1、画水平放置的正方形的直观图 的长、宽、高三个方向上主要的位置关系和度量关系，所以在生产和实际生活中有广泛的应用．
根据正方形各角都是直角的特点，分别取AB、AD边所在直线为Ox轴和Oy轴，此时A是坐标原点O，且Ox轴⊥Oy轴，
根据正方形各角都是直角的特点，分别取AB、 用尺规把水平放置的平面图形的直观图“复原”为原来的平面图形．
然后画出对应的O′x′轴和O′y′ 轴，使∠x′O′y′=45°，此时这两轴确定的平面为水平平面． 在y′轴上或平行于y′轴的线段相应地画在y轴上或平行于y轴，但长度“复原”为2倍．
接着从两方面画图：位置关系和度量关系，在x轴上 或平行于x轴的线段，相应地画在x′轴上或
平行于x′轴，且保持原长度不变； 在y轴上或平行于y轴的线段相应地画在y′轴上或
，否则要引辅助线． 今后要学习的正等测画法有紧密的联系，也是后面柱、锥、台、球等直观图画法的基础．
平行于y轴的线段，长度为原长度的一半． （2）分别过点A、B、C、D，
把空间图形在平面内画得既有立体感，又能应表达出
图中各主要部分的位置关系和度量关系的图形，就是直观
图——空间图形在平面内的表示方法．
中心投影(透视)虽然可以显示空间图形的直观形
直观图的画法
空间图形在平面内的表示法
立体几何的教学应辅以空间图形的直观图，这 种图虽然不是空间图形的真实状态，但具有较强的 立体感和直观性，还能表达出空间物体的长、宽、 高三个方向上主要的位置关系和度量关系，所以在 生产和实际生活中有广泛的应用．
水平放置的平面图形直观图的画法重点是向学生介 绍斜二测画法，也就是把水平放置的平面图形用斜二测
例1、画水平放置的正方形的直观图 的长、宽、高三个方向上主要的位置关系和度量关系，所以在生产和实际生活中有广泛的应用．
根据正方形各角都是直角的特点，分别取AB、AD边所在直线为Ox轴和Oy轴，此时A是坐标原点O，且Ox轴⊥Oy轴，
根据正方形各角都是直角的特点，分别取AB、 用尺规把水平放置的平面图形的直观图“复原”为原来的平面图形．
然后画出对应的O′x′轴和O′y′ 轴，使∠x′O′y′=45°，此时这两轴确定的平面为水平平面． 在y′轴上或平行于y′轴的线段相应地画在y轴上或平行于y轴，但长度“复原”为2倍．