2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质
2018-2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第二课
第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)【选题明细表】1.若m∈(,1),a=lg m,b=lg m2,c=(lg m)3,则( C )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)b<a<c (D)b<c<a解析:因为m∈(,1),所以a=lg m<0,1>m>m2>0,所以a>b,c=(lg m)3>lg m=a,所以c>a>b.故选C.2.若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于( A )(A)e2x-2(B)e2x(C)e2x+1(D)e2x+2解析:若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln+1的反函数为y=e2x-2,故选A.3.若log m3<log n3<0,则m,n应满足的条件是( D )(A)m>n>1 (B)n>m>1(C)1>n>m>0 (D)1>m>n>0解析:因为log m3<log n3<0,所以0<n<1,0<m<1且<<0,即lg 3(-)<0⇔lg 3()<0.因为lg 3>0,lg m<0,lg n<0,所以lg n-lg m<0,即lg n<lg m⇔n<m,所以1>m>n>0.故选D.4.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( D )(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(0,2) (D)(1,2)解析:由-<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.5.函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间是( D )(A)(1,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,1) (D)(-∞,0)解析:函数f(x)=lo(x2-2x)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,0),设函数的单调增区间即u=x2-2x的单调减区间,u=x2-2x的单调减区间为(-∞,0).故选D.6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.解析:函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.答案:07.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集为 .解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2, 所以2x<-1,两边取以2为底的对数,得x<log2(-1).答案:(-∞,log2(-1))8.已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求函数f(x)的值域.解:(1)由求得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称,对于任意的x∈(-1,1),因为f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)f(x)=lg[(1+x)(1-x)]=lg(1-x2).由x∈(-1,1)可得t=1-x2∈(0,1],所以y≤lg 1=0,所以函数f(x)的值域为(-∞,0].9.已知log2b<log2a<log2c,则( A )(A)()b>()a>()c(B)()a>()b>()c(C)()c>()b>()a(D)()c>()a>()b解析:因为log2b<log2a<log2c,所以c>a>b,所以()b>()a>()c.故选A.10.(2018·许昌五校高一联考)函数f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,那么f(x)在(1,+∞)上( A )(A)递增且无最大值 (B)递减且无最小值(C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值解析:由|x-1|>0得,函数y=log a|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1|=则有g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.因为f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,所以a>1.所以f(x)=log a|x-1|在(1,+∞)上递增且无最大值.11.函数y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则m的取值范围为.解析:令t=-x2+6x-5,由t>0得x∈(1,5),因为y=lo t为减函数,所以要使y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则需要t=-x2+6x-5在区间(m,m+1)上为增函数,又函数t=-x2+6x-5的对称轴方程为x=3,所以解得1≤m≤2.答案:[1,2]12.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1)的图象关于原点对称,求m 的值.解:根据已知条件,对于定义域内的一切x,都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以log a+log a=0.整理得log a=0,所以=1,即(m2-1)x2=0.所以m2-1=0.所以m=1或m=-1.若m=1,=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,所以m=-1.13.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值. 解:因为f(x)=2+log3x,所以y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(2+log3x)2+2+2log3x=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.因为函数f(x)的定义域为[1,9],所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足所以1≤x≤3,所以0≤log3x≤1.所以6≤y=(log3x+3)2-3≤13.当log3x=1,即x=3时,y=13.所以当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.。
2018-2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第一课时
第一课时对数函数的图象及性质【选题明细表】1.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( D )(A)y=log4x (B)y=lo x(C)y=lo x (D)y=log2x解析:设对数函数为y=log a x(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=log a16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x,故选D.2.下列函数①y=2x;②y=log0.5(x+1);③y=;④y=|x-1|中,在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( D )(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④解析:函数①y=2x在区间(0,1)上单调递增;②y=log0.5(x+1)在区间(0,1)上单调递减;③y=在区间(0,1)上单调递增;④y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减.故选D.3.(2018·长沙高一月考)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( C )(A)(-∞,-1) (B)(1,+∞)(C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)(-∞,+∞)解析:由题意知解得x>-1,且x≠1.故选C.4.(2018·唐山高一检测)若函数f(x)=log a(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=a x+b 的图象大致是( D )解析:由函数f(x)=log a(x+b)的图象可知,函数f(x)=log a(x+b)在(-b, +∞)上是减函数,所以0<a<1且0<b<1,所以g(x)=a x+b在R上是减函数,故排除A,B.由g(x)的值域为(b,+∞),所以g(x)=a x+b的图象应在直线y=b的上方,故排除C.故选D.5.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f()的值为( B )(A)-log23 (B)-log32 (C) (D)解析:由题意可知f(x)=log3x,所以f()=log3=-log32,故选B.6.函数f(x)=|lo x|的单调增区间为.解析:由函数f(x)=|lo x|可得函数的大致图象如图所示,所以函数的单调增区间为[1,+∞).答案:[1,+∞)7.函数f(x)=log2(4-x2)的定义域为,值域为 ,不等式f(x)>1的解集为.解析:依题意得4-x2>0,解得-2<x<2,所以该函数的定义域为(-2,2).因为4-x2>0,所以(4-x2)max=4,所以在(-2,2)上,该函数的值域为(-∞,2].由f(x)>1得到log2(4-x2)>1,则4-x2>2,解得-<x<.故不等式f(x)>1的解集为(-,).答案:(-2,2) (-∞,2] (-,)8.已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1-x)(a>0且a≠1).(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最值;(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.解:(1)当a=2时,函数f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数,故f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2.(2)f(x)-g(x)>0,即log a(1+x)>log a(1-x).①当a>1时,1+x>1-x>0,得0<x<1.②当0<a<1时,0<1+x<1-x,得-1<x<0.综上,a>1时,x∈(0,1),0<a<1时,x∈(-1,0).9.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是.解析:根据题意画出f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0的x的取值范围是-1<x<0或x>1.答案:(-1,0)∪(1,+∞)11.函数f(x)=log2(-1)(x>8)的值域是 .解析:因为x>8,所以-1>2,由于对数函数的底数2大于1,说明函数为增函数.所以f(x)>log22=1,故函数的值域为(1,+∞).答案:(1,+∞)12.设f(x)=(1)求f(log2)的值;(2)求f(x)的最小值.解:(1)因为log2<log22=1,所以f(log2)===.(2)当x∈(-∞,1]时,f(x)=2-x=()x在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(1)=.当x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2),令t=log3x,则t∈(0,+∞),f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t-)2-,所以f(x)的最小值为g()=-.综上可知,f(x)的最小值为-.13.已知函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-.由条件可知2x-=2,即22x-2·2x-1=0,解得2x=1±.因为2x>0,所以2x=1+,x=log2(1+).(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-)+m(2t-)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1).因为t∈[1,2],所以-(1+22t)∈[-17,-5].故m的取值范围是[-5,+∞).。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质课件新人教A版必修1
理论
2．对数函数的图象
由于对数函数 y log a x与指数函数y a x 互为反函数，所以 y log a x 的图象与 y a x
的图象关于直线 y x 对称. 看一般图象：
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
44
33
y=ax 22
∴函数 y loga x2的定义域是 x | x 0
（2）由 4 x 0 得 x 4
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4
（3） 由 9 x2 0 得 3 x 3
∴函数 y loga(9 x2) 的定义域是 x | 3 x 3
举例
例2 求下列函数的反函数
在R上是减函数
引例
引例: y 2 x 有无反函数?若有,则求出.
分析:视察图象知,有反函数
由 y 2x 得 x log 2 y 所以,反函数为:
4
fx3 = 2x
2
1
-4
-2
2
y log 2 x x (0,)
理论
1．对数函数的定义：
函数 y log a x (a 0且a 1) 叫做对数函数（logarithmic function）， 其中x是自变量，函数的定义域为 (0,) , 值域为 (,) .
1 y 1 x 1;
2
2 y (1) x2 3 (x 0).
2
解 （: 1）
y
1
x
1
1 x
y
1
2
2
（2）
x log1 ( y 1)
2
f 1( x) log1 ( x 1)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数
方法归纳 两类对数不等式的解法 (1)形如 logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当 0<a<1 时，可转化为 f(x)>g(x)>0； ②当 a>1 时，可转化为 0<f(x)<g(x)． (2)形如 logaf(x)<b 的不等式可变形为 logaf(x)<b＝logaab. ①当 0<a<1 时，可转化为 f(x)>ab； ②当 a>1 时，可转化为 0<f(x)<ab.
1 3 1 5
)
③log23 与 log54.
【解析】 (1)0<0.43<1,30.4>1，log40.3<0，故选 C. (2)①方法一：对数函数 y＝log5x 在(0，＋∞)上是增函数． 3 4 3 4 而4<3，∴log54<log53. 3 4 3 4 方法二：∵log54<0，log53>0，∴log54<log53.
1 5
∴log 1.6>log 2.9.
1 5 1 5
(2)∵y＝log2x 在(0，＋∞)上单调递增， 而 1.7<3.5， ∴log21.7<log23.5.
(3)借助 y＝log x 及 y＝log x 的图像，如图所示．
1 2 1 5
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方， ∴log 3<log 3.
1 5 1 3 1 5
1
1
类型二 解对数不等式 [ 例 2] (1) 已知 log0.72x<log0.7(x － 1) ， 则 x 的取值范围为 ________； (2)已知 loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0， 且 a≠1)， 求 x 的取值范围．
2018版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2第1课时对数函数的图象及性质(优秀经典公开课比赛课件)
第1课时 对数函数的图象及性质
学习目标 1.理解对数函数的概念(易错点).2.初步掌握对数函 数的图象和性质(重点)．
预习教材 P70－P73，完成下面问题：
知识点 1 对数函数的概念 一般地，把函数 _y_＝__lo_g_a_x_(a_>__0_，__且__a_≠_1_) ___叫做对数函数， 其中__x____是自变量，函数的定义域是 __(0_，__＋__∞__) _．
【训练 2】 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋x－1 3； (2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)． 解 (1)要使函数有意义，需满足xx－－32≠＞00，， 解得 x＞2 且 x≠3. ∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足1x＋6－1＞4x＞ 0，0， x＋1≠1，
解析 (1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y ＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1)． (2)作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就 是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有
解得 a＝4.
答案 4
题型二 对数型函数的定义域
【例 2】 (1)函数 f(x)＝ 21－x＋ln(x＋1)的定义域为________． (2)函数 f(x)＝ log1 12x＋1的定义域为________．
2
解析
(1)
若
使
函
数
式
有
意
义
需
满
足
条
件
：
x＋1>0 2－x>0
⇒
x>－1，
f(x)＝log1 x，所以 f(8)＝log1 8＝－3.
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第二课时 对数函数的图象及性质的应
2x＞0,
所以由
log0.72x<log0.7(x-1)得
x
1＞0,
解得 x>1.
2x＞x 1，
即 x 的取值范围是(1,+∞).
方法技巧 (1)解对数不等式(组)的方法是把对数不等式(组)转化为一般 不等式(组)求解,其依据是对数函数的单调性.若含有字母,应考虑分类讨论.
(2)求解对数不等式易忽略定义域优先的原则,导致增解.
所以 0>log0.71.1>log0.71.2.
所以 1 < 1 , log0.7 1.1 log0.7 1.2
由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.
法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象,如图所示,两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7.
3
2< log1
5
2.
(3)取中间值1,因为log23>log22=1=log55>log54,所以log23>log54.
题后反思 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类 讨论. (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以 画出对数函数的图象,再进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(3)求函数f(x)的单调递减区间,并证明.
解:(3)由函数 f(x)的图象得函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,0),证明如下:
设 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2第1
[典例 3] 如图所示的曲线 C1、C2、C3、C4 是对数函数 y＝logax 的图象，而 a∈{12，13， 3，π}，则图象 C1、C2、C3、C4 对应函 数的底数依次是________． [解析] 解法一：由对数函数图象特征：图象在 y 轴右侧，x>1 时，图象顺时针 方向，底数逐渐增大，而 a>1 图象是上升的，0<a<1 图象是下降的，或者整体记 忆为：在 x 轴上方，按顺时针方向，底数逐渐增大，即 C3<C4<C1<C2，故答案为 C3＝13，C4＝12，C1＝ 3，C2＝π. 故 C1、C2、C3、C4 对应的函数底数为 3、π、13、12.
解法二：在图中作 y＝1，分别与 C3、C4、C1、C2 交于
A，B，C，D 四点，则 A(a1,1)，B(a2,1)，C(a3,1)，D(a4,1)
(其中 a1，a2，a3，a4 分别为对数函数的底)．由图可知
a1<a2<a3<a4.
∴C3<C4<C1<C2 故 C1、C2、C3、C4 分别为 3、π、13、12.
[答案]
3
π
1 3
1 2
根据对数函数图象判断底数大小的方法： 作直线 y＝1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内， 自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
3．当 a>1 时，函数 y＝logax 和 y＝(1－a)x 的图象只能是( )
解析：∵a>1，∴y＝logax 的图象是上升的；而 y＝(1－a)x 的图象是下降的． 答案：B
对数函数的判断： 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的形式， 即满足以下条件： (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数． (3)对数的真数仅有自变量 x.
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质(2)课后训练1新人教A版必
2.2.2 对数函数及其性质课后训练1．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )．A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)2．已知集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |log 2x ＞1}，则M ∩N 等于( )．A ．B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜3}3．函数y 12log (43)x -( )．A ．(0,1] B.3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ 4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )．A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2 5．小华同学作出的a ＝2,3，12时的对数函数y ＝log a x 的图象如图所示，则对应于C 1，C 2，C 3的a 的值分别为( )．A ．2,3，12 B ．3,2，12 C.12，2,3 D.12，3,2 6．不等式13log (5＋x )＜13log (1－x )的解集为______． 7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.8．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝0，则不等式f (log 4x )＜0的解集是______．9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (4－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)求使函数f (x )－g (x )的值为正数的x 的取值范围．10．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式．(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)2011年春节联欢晚会中，赵本山、王小利、小沈阳等表演小品《同桌的你》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？参考答案1. 答案：C ∵x ≥1，∴log 2x ≥0，∴y ≥2.2. 答案：D 由log 2x ＞1，得x ＞2，∴M N ＝{x |2＜x ＜3}．3. 答案：D 由题意列不等式组12log (43)0,(1)430.(2)x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩ 对于①有12log (4x －3)≥12log 1，解得x ≤1；对于②有4x ＞3，解得x ＞34.所以34＜x ≤1. 4. 答案：A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x .5. 答案：C 直线y ＝1与函数y ＝log a x 的图象交点的横坐标是底数a ，则由图象得对应C 1的a 的值为12，对应C 3的a 的值为3，对应C 2的a 的值为2. 6. 答案：{x |－2＜x ＜1} 原不等式等价于50,10,51,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得－2＜x ＜1.7. 答案：4 由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，所以A ＝(0,4]．又A B ，则a ＞4，所以c ＝4.8. 答案：122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭由题意可知，f (log 4x )＜012-＜log 4x ＜12124log 4-＜log 4x ＜1241log 42⇔＜x ＜2. 9. 答案：解：(1)由题意可知，f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (4－2x )，要使函数f (x )－g (x )有意义，自变量x 的取值需满足10,420,x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜2. 故函数f (x )－g (x )的定义域是(－1,2)．(2)令f (x )－g (x )＞0，得f (x )＞g (x )，即log a (x ＋1)＞log a (4－2x )，当a ＞1时，可得x ＋1＞4－2x ，解得x ＞1.由(1)知－1＜x ＜2，∴1＜x ＜2；当0＜a ＜1时，可得x ＋1＜4－2x ，解得x ＜1，由(1)知－1＜x ＜2，∴－1＜x ＜1.综上所述，当a ＞1时，x 的取值范围是(1,2)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,1)．10. 答案：解：(1)由已知，得y ＝20lg 0p p .又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg 5210p -⨯. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 50.002210-⨯＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．(3)由题意，得90＝20lg0p p ，则0p p ＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质课件1 新人教A版
[规律总结] 知函数y＝logห้องสมุดไป่ตู้x(a＞0，且a≠1)的底数变化对图象 位置的影响．
如图，观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，当a＞1时， a越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小， 图象越靠近x轴．
(2)左右比较，在x轴上方，图象从左至右底数 依次增大．
跟踪练习
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
[思路分析] (1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什 么？
[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现 在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证 a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x ＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数 为2，∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．
即33－ －xx≤ >0e，2， 解得 3－e2≤x<3，
故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}．
(3)要使函数有意义，需使 log0.5(x－1)>0，
即log1
2
(x－1)>0，所以
log2x－1 1>0，
x－1>0 ∴x－1 1>1 ，即 1<x<2.
故函数的定义域为{x|1<x<2}．
[规律总结] 定义域是研究函数的基础，若已知函数 解析式求定义域，常规为分母不能为零，0的零次幂 与负指数次幂无意义，偶次方根被开方式(数)非负， 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求 函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下 要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底 数；三是按底数的取值应用单调性．
2018-2019学年度高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 第二课时 对数函数的图象及性质
第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)【选题明细表】1.若m∈(,1),a=lg m,b=lg m2,c=(lg m)3,则( C )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)b<a<c (D)b<c<a解析:因为m∈(,1),所以a=lg m<0,1>m>m2>0,所以a>b,c=(lg m)3>lg m=a,所以c>a>b.故选C.2.若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于( A )(A)e2x-2(B)e2x(C)e2x+1(D)e2x+2解析:若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln+1的反函数为y=e2x-2,故选A.3.若log m3<log n3<0,则m,n应满足的条件是( D )(A)m>n>1 (B)n>m>1(C)1>n>m>0 (D)1>m>n>0解析:因为log m3<log n3<0,所以0<n<1,0<m<1且<<0,即lg 3(-)<0⇔lg 3()<0.因为lg 3>0,lg m<0,lg n<0,所以lg n-lg m<0,即lg n<lg m⇔n<m,所以1>m>n>0.故选D.4.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( D )(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(0,2) (D)(1,2)解析:由-<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.5.函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间是( D )(A)(1,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,1) (D)(-∞,0)解析:函数f(x)=lo(x2-2x)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,0),设函数的单调增区间即u=x2-2x的单调减区间,u=x2-2x的单调减区间为(-∞,0).故选D.6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.解析:函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.答案:07.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集为 .解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2, 所以2x<-1,两边取以2为底的对数,得x<log2(-1).答案:(-∞,log2(-1))8.已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求函数f(x)的值域.解:(1)由求得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称,对于任意的x∈(-1,1),因为f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)f(x)=lg[(1+x)(1-x)]=lg(1-x2).由x∈(-1,1)可得t=1-x2∈(0,1],所以y≤lg 1=0,所以函数f(x)的值域为(-∞,0].9.已知log2b<log2a<log2c,则( A )经典教育(A)()b>()a>()c(B)()a>()b>()c(C)()c>()b>()a(D)()c>()a>()b解析:因为log2b<log2a<log2c,所以c>a>b,所以()b>()a>()c.故选A.10.(2018·许昌五校高一联考)函数f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,那么f(x)在(1,+∞)上( A )(A)递增且无最大值 (B)递减且无最小值(C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值解析:由|x-1|>0得,函数y=log a|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1|=则有g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.因为f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,所以a>1.所以f(x)=log a|x-1|在(1,+∞)上递增且无最大值.11.函数y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则m的取值范围为.解析:令t=-x2+6x-5,由t>0得x∈(1,5),因为y=lo t为减函数,所以要使y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则需要t=-x2+6x-5在区间(m,m+1)上为增函数,又函数t=-x2+6x-5的对称轴方程为x=3,所以解得1≤m≤2.答案:[1,2]12.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1)的图象关于原点对称,求m 的值.解:根据已知条件,对于定义域内的一切x,都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以log a+log a=0.经典教育整理得log a=0,所以=1,即(m2-1)x2=0.所以m2-1=0.所以m=1或m=-1.若m=1,=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,所以m=-1.13.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值.解:因为f(x)=2+log3x,所以y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(2+log3x)2+2+2log3x=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.因为函数f(x)的定义域为[1,9],所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足所以1≤x≤3,所以0≤log3x≤1.所以6≤y=(log3x+3)2-3≤13.当log3x=1,即x=3时,y=13.所以当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第1课时)对数函数的图象和性质
当 0<a<1 时:
当 0<a<1 时:
若 x>0,则 0<y<1;
若 x=0,则 y=1;
若 x>1,则 y<0;
若 x=1,则 y=0;
若 x<0,则 y>1
若 0<x<1,则 y>0
图象 y=ax 的图象与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称
第十页，共二十四页。
(0,+∞)
值域
(-∞,+∞)
x
(0,+∞)
单调性 当 a>1 时为增函数,当 0<a<1 时为减函数
第九页，共二十四页。
名称 指数函数
对数函数
当 a>1 时:
若 x>0,则 y>1;
当 a>1 时:
若 x>1,则 y>0;
若 x=0,则 y=1;
若 x<0,则 0<y<1
若 x=1,则 y=0;
点(1,0),只有选项B中图象符合.
答案:(1)C
(2)B
第二十页，共二十四页。
题型一
题型二
题型三
题型四
易混易错题
易错点 忽略对数函数的定义域致错
【例4】 已知函数(hánshù)y=f(x),x,y满足关系式lg(lg y)=lg(3-x),求函数y=f(x)
的解析式及定义域、值域.
错解∵lg(lg y)=lg(3-x),∴lg y=3-x,
第三页，共二十四页。
1.对数函数的定义
一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函
2018版高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)对数函数及其性
第2课时 对数函数及其性质的应用1．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点) 2．了解反函数的概念，知道互为反函数的两个函数之间的联系及两个图象的特征．(难点)3．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)[小组合作型](1)0.7 1.1的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b(2)下列不等式成立的是(其中a ＞0且a ≠1)( ) A ．log a 5.1＜log a 5.9 B ．log 122.1>log 122.2C ．log 1.1(a ＋1)<log 1.1aD ．log 32.9＜log 0.52.2(3)若a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 46，则下列结论正确的是( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c<b <a D ．b <c<a【精彩点拨】 利用对数函数的单调性或中间量(0或1)比较大小．【自主解答】 (1)根据对数函数y ＝log 0.7x ，y ＝log 1.1x 的图象和性质，可知0＜log 0.70.9＜1，log 1.10.7＜0，由指数函数y ＝1.1x 的图象和性质，可知c ＝1.10.9＞1，∴b ＜a ＜c ，故选C.(2)对于选项A ，因为a 和1大小的关系不确定，无法确定对数函数的单调性，故A 不成立；对于选项B ，因为以12为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C ，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D ，log 32.9＞0，log 0.52.2＜0，故不成立，故选B.(3)因为函数y ＝log 4x 是增函数，a ＝log 23＝log 49>log 46>1，log 32<1，所以b <c<a ，故选D.【答案】 (1)C (2)B (3)D对数值比较大小的常用方法：比较大小的对数式底数是同一常数，真数不同，可根据对数函数的单调性直接进行判断对于底数不同，真数相同的两对数大小的比较，可以用图象法，还可以利用换底公式转化为分子为1，分母上为底数相同，真数不同的形式，再利用函数单调性比较两个分母的大小，来完成两对数大小的比较若两个对数的底数与真数都不相同，则需借助中间量间接的比较两对数的大小，常用的中间量有0，1，－1等.[再练一题]1．设a ＝log π3，b ＝20.3，c ＝log 213，则( )A ．b >a >cB ．a >c>bC ．c>a >bD ．a >b >c【解析】 由a ＝log π3，b ＝20.3，c ＝log 213，得0<log π3<1,20.3>1，log 213<0，所以b >a >c ，故选A.【答案】 A已知函数a a ，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g(x )的定义域； (2)试确定不等式f (x )≤g(x )中x 的取值范围．【精彩点拨】 (1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合； (2)分a ＞1和0＜a ＜1求解不等式得答案．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>06－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x＜3}．(2)不等式f (x )≤g(x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，73； 当0＜a ＜1，不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，3.常见的对数不等式有三种类型：形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x的单调性求解；形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.[再练一题]2．已知a ＞0且满足不等式22a ＋1＞25a －2.(1)求实数a 的取值范围；(2)求不等式log a (3x ＋1)<log a (7－5x )的解集；(3)若函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a 的值． 【解】 (1)∵22a ＋1＞25a －2，∴2a ＋1＞5a －2，即3a ＜3，∴a ＜1，即0＜a ＜1.(2)由(1)得，0＜a ＜1， ∵log a (3x ＋1)<log a (7－5x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>07－5x >03x ＋1>7－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－13x <75x >34，解得34<x <75.即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，75. (3)∵0＜a ＜1，∴函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x ＝3时，y 有最小值为－2，即log a 5＝－2，∴a －2＝1a 2＝5，解得a ＝55.[探究共研型]探究1 函数f (x )＝log 12(2x －1)的单调性如何？求出其单调区间．【提示】 函数f (x )＝log 12(2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，因为函数y ＝log 12x 是减函数，函数y ＝2x －1是增函数，所以f (x )＝log 12(2x －1)是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的减函数，其单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.探究2 如何求形如y ＝log a f (x )的值域？【提示】 先求y ＝f (x )的值域，注意f (x )>0，在此基础上，分a >1和0<a <1两种情况，借助y ＝log a x 的单调性求函数y ＝log a f (x )的值域．(1)已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )【导学号：97030111】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(2)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．【精彩点拨】 (1)结合对数函数及y ＝2－ax 的单调性，构造关于a 的不等式组，解不等式组可得．(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．【自主解答】 (1)∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＞f a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＞log a －aa >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >12－a >0，∴1＜a ＜2.(2)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．【答案】 (1)B (2)(－∞，－1]1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．[再练一题]3．(2014·重庆高考)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 【解析】 f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.【答案】 －141．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b【解析】 ∵a ＝0.50.5>b ＝0.30.5>0，c ＝log 0.32<log 0.31＝0，∴a >b >c .故选A. 【答案】 A2．函数y ＝log 12(2x＋1)的值域为________．【解析】 ∵2x＋1>1，函数y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12(2x＋1)<log 121＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．【答案】 (－∞，0)3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ×0＋1>0，解得a >0.【答案】 (0，＋∞)4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是______．【解析】 易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．已知f (x )＝log 2(x ＋2)，g(x )＝log 2(4－x )． (1)求函数f (x )－g(x )的定义域；(2)求使函数f (x )－g(x )的值为正数的x 的取值范围. 【导学号：97030112】【解】 (1)∵f (x )＝log 2(x ＋2)，g(x )＝log 2(4－x )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>04－x >0，解得－2＜x ＜4，故函数f (x )－g(x )的定义域为(－2,4)．(2)∵f (x )－g(x )的值为正数，∴log 2(x ＋2)＞log 2(4－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>4－x－2<x <4，解得1＜x＜4，∴使函数f (x )－g(x )的值为正数的x 的取值范围为(1,4)．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
2。
2。
2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质讲义3 新人教A版必修1
[解析] 解法一 首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝
loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A、C. 其次，从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反 ，又可排除D.∴应选B.
∴由对数函数的单调性，得 log0.71.1>log0.71.2. 又∵log0.71.2<log0.71.1<0， ∴log01.71.1<log01.71.2， 即 log1.10.7<log1.20.7. 另外，也可以利用对数函数图象，当底数大于 1 时，底数 越大，在直线 x＝1 左侧图象越靠近 x 轴，由右图所示，可知 log1.10.7<log1.20.7.
[解析] (1)方法一：∵f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1， ∴f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)， ∴k＝1 符合题意． 方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x， 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， ∴k－＝11＝，－k， 解得 k＝1.
2．要注意从多角度分析问题，培养思维的灵活性．
跟踪练习
将本例中条件改为 a>1，则函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象 是( )
[答案] A
[解析] ∵a>1，∴y＝logax 在(0，＋∞)上为增函数，∴C、 D 排除．
又∵y＝a－x＝(1a)x,0<1a<1， ∴y＝a－x 在(－∞，＋∞)上为减函数，故选 A.
题型讲解
命题方向一 指、对数式的运算
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课时分层作业(二十) 对数函数及其性质的应用
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞) D ．(2，＋∞)
B [由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10，
即2<x ≤7，故选B.]
2．函数f (x )＝|log 1
2
x |的单调递增区间是( )
【导学号：37102301】
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]
3．已知log a 13>log b 1
3>0，则下列关系正确的是( )
A ．0<b <a <1
B ．0<a <b <1
C ．1<b <a
D ．1<a <b
A [由log a 13>0，log b 1
3>0，可知a ，b ∈(0,1)，
又log a 13>log b 1
3，作出图象如图所示，
结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.
]
4．若a ＝20.2
，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( )
【导学号：37102302】
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
A [∵a ＝20.2＞1＞b ＝log 4(3.2)＞0＞c ＝log 2(0.5)，∴a ＞b ＞c . 故选A.]
5．若函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.1
2
C ．2
D ．4
B [当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝1
2(舍去)．
当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＝－1，a ＝1
2.]
二、填空题
6．函数y ＝log 0.4(－x 2
＋3x ＋4)的值域是________.
【导学号：37102303】
[－2，＋∞) [－x 2
＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋254≤254
，
∴有0<－x 2
＋3x ＋4≤254
，
所以根据对数函数y ＝log 0.4x 的图象即可得到： log 0.4(－x 2
＋3x ＋4)≥log 0.4
25
4
＝－2， ∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]
7．若log a 2
3<1，则a 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [原不等式⇔⎩⎪⎨
⎪⎧ 0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，2
3
<a ，
解得0<a <2
3
或a >1，
故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]
8．若y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.
【导学号：37102304】
(1,3] [因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－a ＋3≥0，a >1，
a >0且a ≠1，
解得1<a ≤3.故a 的取值范围是(1,3]．] 三、解答题
9．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝
⎛⎭⎪⎫log 4x －12，2≤x ≤8.
(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．
[解] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－3
2
t ＋1，
又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3.
(2)由(1)得y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322
－1
8，1≤t ≤3，
当t ＝32时，y min ＝－1
8
；
当t ＝3时，y max ＝1，∴－1
8
≤y ≤1，
即函数的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－18，1. 10．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )． (1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；
(3)若f (2m －1)＜f (m )，求m 的取值范围.
【导学号：37102305】
[解] (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
3＋x >0，3－x >0，
解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)． ∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )， ∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )＝ln(9－x 2
)，
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x ＜3时，函数y ＝f (x )为减函数． 又函数y ＝f (x )为偶函数，∴不等式f (2m －1)＜f (m )，等价于|m |＜|2m －1|＜3， 解得－1＜m ＜1
3
或1＜m ＜2.
[冲A 挑战练]
1．函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1x 2
＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
A [f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x 2＋1＋x ＝lg 1x 2＋－x 2＝lg 1＝0，
∴f (x )为奇函数，故选A.]
2．当0＜x ≤12
时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围是( )
【导学号：37102306】
A ．(2，2)
B ．(1，2) C.⎝
⎛⎭⎪⎫
22，1 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，
22 C [当0＜x ≤12
时，函数y ＝4x 的图象如图所示，若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y ＝log a x 的图象恒在y ＝4
x
的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x
的图象交于⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2点时，a ＝22，故虚线所示的
y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足
2
2
＜a ＜1，故选C.]
3．函数f (x )＝log 2x ·log
2
(2x )的最小值为________．
－14 [f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝1
2log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122
－1
4(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.]
4．（2018·全国卷Ⅲ）已知函数f (x )＝ln(1＋x 2
－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.
－2 [由f (a )＝ln(1＋a 2
－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2
－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2
＋a )＋1＝－ln
11＋a 2
＋a
＋1＝－ln(1＋a 2
－a )＋1＝－3＋1＝－2.]
5．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．
[解] (1)要使函数有意义，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x >0，
x ＋3>0，
解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2
－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2
＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2
＋4≤4.
因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2
＋4]≥log a 4，
即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4
＝4，所以a ＝4－14＝22.。