3.1空间向量及其运算

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3.1空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其线性运算教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件 ;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；教学过程：一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题. 但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N 的力F 1 ，F 2，F 3，且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？是否为F 1→+F 2→+F 3→?此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；F 12方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a ∥b ，0∥a ．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中 (2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a ∥b ，0∥a ．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b .由O ，A ，B 三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.ab空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b （三角形法则） OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b （平行四边形法则） BA →＝OA →－OB →＝a －b OP →＝λa (λ∈R )平面向量的线性运算满足下列运算律运算律：⑴加法交换律：a ＋b ＝b ＋a⑵加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ⑶数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?aλaO PaAOb Ba －b ab ab OABa ＋b(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立?这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题? 结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立. 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 三.数学运用例1. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→; (2)AC →＋CB →＋12AA 1→;(3)AA 1→－AC →－CB → 解：(1)CB →＋BA 1→＝CA 1→(2)因为M 是BB 1的中点, 所以BM →＝12BB 1→，AC →＋CB →＋12AA 1→AOABCabca ＋ba ＋b ＋cb ＋cA /A /又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→.例2.如图，在长方体OADB-CA ’D’B’中，OA ＝3,OB ＝4,OC ＝2,OI ＝OJ ＝OK ＝1,，点E ,F 分别是DB ,D ’B ’的中点，设OI →＝i , OJ →＝j , OK →＝k , ,试用向量i , j , k 表示OE →和OF →解：∵BD →＝OA →＝3OI →＝3i ，∴BE →＝12BD →＝32 i .又OB →＝4OJ →＝4j ,∴OE →＝OB →＋BE →＝32i ＋4j .∵EF →＝ BB ’→＝OC →＝2k ，∴OF →＝OE →＋EF →＝32i ＋4j ＋2k .例3.已知平行六面体ABCD -ABCD .求证：AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →， AB ’→＝AB →＋ AA ’→， AD ’→＝AD →＋ AA ’→，∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋ AA ’→) +(AD →＋ AA ’→)＝2(AB →＋AD →＋ AA ’→). 又∵ AA ’→＝ CC ’→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋ AA ’→＝AB →＋BC →＋ CC ’→＝AC →＋ CC ’→＝ AC ’→， ∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 【课堂练习】已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AB →－12(AB →＋AC →)．BCDMGAABCDA ’B ’C ’D ’四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业3.1.2 共面向量定理教学目标：1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理；2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．教学重点、难点：空间向量共面定理的证明及其应用．教学过程：一.知识回顾复习空间向量的概念以及空间向量的线性运算和性质．二.问题情境在同一平面中,向量之间有共线与不共线之分; 在空间中,我们当然要关心向量共面问题.为此首先要明确什么叫做向量共面? 能平移到同一平面的向量叫做共面向量问题: 空间中两个向量是否共面? 空间中三个向量是否共面?在平面向量中，向量b 与向量a (a ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .那么，空间的任意一个向量p 与两个不共线向量a ,b 共面时，它们之间存在怎样的关系呢？三.数学理论共面向量定理：如果两个向量a ,b 不共线，那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b .证明：（必要性）向量a ,b 不共线，当p 与向量a ,b 共面时，它们可以平移到同一个平面内，根据平面向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(x ,y )，使得p ＝x a ＋y b ．（充分性）对于空间的三个向量p ,a ,b ，其中a ,b 不共线，如果存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b ，那么在空间任意取一点M ，作MA →＝a , MB →＝b , MA '→＝x a ,过点A ’作A'P →＝y b ,（如图），则MP →＝MA'→＋A'P →＝ x a ＋y b ＝ p ,，于是点P 在平面MAB 内，从而MP →,MA →,MB →共面，即向量p 与向量a ,b 共面．这就是说，向量p 可以由两个不共线的向量a ,b 线性表示．四．数学运用例1．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：MN ∥平面CDE ．分析：要证明MN ∥平面CDE ，只要证明向量NM →可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE →和DC →线性表示．证明：如图，因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →，又CD →＝BA →＝－13AB →，所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝(13DA →＋13AB →)＋BA →＋(13AD →＋13DE →)＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →．又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理，可知MN →,CD →,DE →共面．由于MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE ．例2．设空间任一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若点P 满足向量关系OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →（其中x ＋y ＋z ＝1），试问：P , A ,B ,C 四点是否共面？分析：类比证明三点共线的方法，要判断P , A ,B ,C 是否共面，可考察三个共起点的向量AP →，AB →，AC →是否共面．解：由x ＋y ＋z ＝1，可得x ＝1－z －y ．则OP →＝(1－z －y )OA →＋yOB →＋zOC →＝OA →＋y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，所以OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，即AP →＝yAB →＋zAC →.由A ,B ,C 三点不共线，可知AB →和AC →不共线，所以AP →，AB →，AC →共面且具有公共起点A ．从而P , A ,B ,C 四点共面．思考：如果将x ＋y ＋z ＝1整体代入，由(x ＋y ＋z ) OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →出发，你能得到什么结论？例3．从□ABCD 所在平面外一点O 作向量OE →＝kOA →,OF →＝kOB →,OG →＝kOC →,OH →＝kOD →, （1）求证：四点E ,F ,G ,H 共面；（2）平面AC ∥平面EG ．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∵EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝k (OC →－OA →)＝kAC →＝k (AB →＋AD →) ＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →， ∴EG →,EF →,EH →共面且共起点，∴E ,F ,G ,H 四点共面．（2）∵EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，∴EF →∥AB →，∴EF →∥平面AC ，同理EG →∥平面AC ，又EF →∩EG →＝E ，∴平面AC ∥平面EG ．练习：已知两个非零向量e 1, e 2不共线，如果AB →＝e 1＋ e 2, AC →＝2 e 1＋8 e 2, AD →＝3 e 1－3 e 2. 求证：A ,B ,C ,D 四点共面．五．回顾小结1．共面向量定理的证明； 2．共面向量定理的简单运用．六．布置作业3.1.3空间向量基本定理教学目标：1.掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，而且这种表示是唯一的；3.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量．教学重点，难点：空间向量基本定理及其推论．教学过程：一.知识回顾共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 平面向量基本定理：如果e 1，e 2那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数x ,y ，使a = x e 1+ y e 2 . 二.问题情境平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线的向量来线性表示．对于空间向量是否有相应的结论呢？三.数学理论空间向量基本定理：如果三个向量 e 1, e 2 , e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个惟一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.证明：（存在性）设e 1, e 2 , e 3不共面过点O 作OA →＝e 1, OB →＝e 2, OC →＝e 3, OP →＝p ,，过点P 作直线PP’平行于OC ，交平面OAB 于点P’，在平面OAB 内，过点P’作直线P’A’∥OB , P’B ∥OA , 分别与直线OA ,OB 相交于点A ’,B ’，于是，存在三个实数x ,y ,z ，使OA'→＝xOA →＝x e 1，OB'→＝yOB →＝y e 2，OC'→＝zOC →＝z e 3，∴OP →＝OA'→＋OB'→＋OC'→＝xOA →＋yOB →＋zOC →＝x e 1＋y e 2＋z e 3．1/ （惟一性）假设还存在x’,y’,z’使p＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3，那么x e1＋y e2＋z e3＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3∴(x－x’)e1＋(y－y’)e2＋(z－z’)e3＝0不妨设x≠x’即x－x’≠0，∴e1＝－y－y’x－x’e2－z－z’x－x’e3,∴e1, e2, e3共面此与已知矛盾，∴有序实数组(x,y,z)是惟一的.空间向量基本定理告诉我们，若三向量e1,e2,e3不共面，那么空间的任一向量都可由e1, e2, e3线性表示，我们把{ e1, e2, e3}叫做空间的一个基底，e1, e2, e3叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示.推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.四.数学运用例1如图，在正方体OADB-CA’D’B’中，，点E是AB与OD的交点,M是OD’与CE的交点，试分别用向量OA→,OB→,OC→表示OD'→和OM→.解：∵OD→＝OA→＋OB→,∴OD'→＝OD→＋DD'→＝OA→＋OB→＋OC→.由△OME∽△D’MC,可得OM＝12MD’＝13OD’,∴OM→＝13OD'→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.例2 .如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→.解：OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→A＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →] ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →, ∴OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.五、回顾总结空间向量基本定理及其证明六、布置作业§3.1.4 空间向量的坐标表示教学目标（1）能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；（2）会根据向量的坐标判断两个空间向量平行．教学重点，难点空间向量的坐标的确定及运算．教学过程一.知识回顾复习平面向量的坐标表示及运算律：（1）若p ＝x i ＋y j （i ，j 分别是x ，y 轴上同方向的两个单位向量），则p 的坐标为(x , y )；（2）若a ＝(a 1, a 2)，b ＝(b 1, b 2)，则加（减）法：a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2)；a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2) 数乘：λa ＝(λa 1, λa 2)（λ∈R ）数量积：a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2特别地，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2（λ∈R ）；a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0（3）若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1)．二.问题情境在平面“解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？三．数学理论1．空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x , y , z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ．有序实数组(x , y , z )叫做向量a 在空间直角坐标O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x , y , z )．2．在空间直角坐标O －xyz 中，对于空间任意一点A (x , y , z )，向量OA →是确定的，容易得到OA →＝x i ＋y j ＋z k ，因此，向量OA →的坐标为OA →＝(x , y , z )．这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标． 3．向量坐标运算法则（类似于平面向量的坐标运算）（1）设a ＝(a 1, a 2, a 3)，b ＝(b 1, b 2, b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2, a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2, a 3－b 3) λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3)（λ∈R ）（2）若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)． 4．空间向量平行的坐标表示a ∥b （a ≠0）⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3（λ∈R ）说明：即对应的坐标成比例（但没有平面向量平行的等积式）四．数学运用 1．例题：【例1】已知a ＝(1, －3, 8)，b ＝(3, 10, －4)，求a ＋b ，a －b ，3a ．解：a ＋b ＝(1, －3, 8)＋(3, 10, －4)＝(1＋3, －3＋10, 8－4)＝(4, 7, 4)，a －b ＝(1, －3, 8)－(3, 10, －4)＝(1－3, －3－10, 8＋4)＝(－2, －13, 12)， 3a ＝3×(1, －3, 8)＝(3, －9, 24)【例2】已知空间四点A (－2, 3, 1)，B (2, －5, 3)，C (10, 0, 10)和D (8, 4, 9)，求证：四边形ABCD 是梯形．证：依题意OA →＝(－2, 3, 1)，OB →＝(2, －5, 3)，所以AB →＝OB →－OA →＝(2, －5, 3)－(－2, 3, 1)＝(4, －8, 2)同理DC →＝(2, －4, 1)，AD →＝(10, 1, 8)，BC →＝(8, 5, 7) 由AB →＝2DC →可知，AB →∥CD →，|AB →|≠|DC →|，又AD →与BC →不共线，所以四边形ABCD 是梯形．说明：与平面向量一样，若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)．这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．【例3】已知a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，c ＝(4, 0, 24)，求证：a ，b ，c 共面．解：因为a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，所以a 与b 不共线．不妨设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝46x －2y ＝0－3x ＋9y ＝24解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝3，所以c ＝a ＋3b ，所以a ，b ，c 共面．【例4】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是CC 1，B 1C 1，C 1D 1的中点，试建立空间直角坐标系，证明：平面MNP ∥平面A 1BD ．解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则A1(1, 0, 0)，B (1, 1, 1)，D (0, 0, 1)，B 1(1, 1, 0)，C 1(0, 1, 0)，N (12, 1, 0)，M (0, 1, 12)，D 1(0, 0, 0)，P (0,12, 0)，于是A 1B →＝(0, 1, 1)，A 1D →＝(－1, 0, 1)，NM →＝(－12, 0, 12)，PM→＝(0, 12, 12)，显然有NM →＝12A 1D →，PM →＝12A 1B →．所以，NM →∥A 1D →，PM →∥A 1B →，因此平面MNP ∥平面A 1BD ．说明：同平面解析几何坐标法解题一样，关键是如何建立适当的坐标系．当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明．五．回顾小结：1．会正确的确定空间向量及点的坐标；2．向量的坐标判断两个空间向量平行的方法；六．课外作业：§3.1.5 空间向量的数量积第一课时教学目标1.在充分了解平面向量及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量数量积的概念、性质及运算律．2.掌握空间向量夹角和模的概念，学会用向量数量积求两直线所成的角，能判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）；3.了解空间向量数量积的几何意义．教学重点，难点空间向量数量积教学过程一．问题情境 1.知识回顾（1）平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，有a ·b ＝|a ||b |cos θ，（0≤θ≤π），其中θ是向量a ，b 的夹角，并规定a ·b ＝0．（2）平面向量的夹角：将a →与b →平移至同起点处所成的0≤θ≤π 角．（同起点是关键） 2.问题：我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义，那么类比平面向量知识，空间向量的夹角和数量积怎么定义？二.数学理论由于任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义． 1.空间向量的夹角及其表示：如图，已知两非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b >；范围：0≤<a ,b >≤π，在这种规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且有<a ,b >＝<b ,a >．若<a ,b >＝0，那么向量a 与b 同向；若<a ,b >＝π，那么向量a 与b 反向；若<a ,b >＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ．注意：正确使用两个向量夹角的符号<a ,b >．例如：<AB →,AC →>＝∠BAC ． 2.向量的模：设OA →＝a ，则有向线段OA →的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a |． 3.向量的数量积：已知a ，b 是空间两个非零向量，则|a ||b |cos<a ,b >叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ,b >．规定：0向量与任何向量的数量积为0．注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量，符号由cos θ的符号所决定． ②零向量与任意向量的数量积等于零． 4.由空间向量数量积定义可知：空间两个非零向量a ·b 的夹角<a ,b >可以由cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |求得．5.空间向量数量积的性质：（1）cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |；（2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0（a ，b 是两个非零向量）；（3）|a |2＝a ·a ＝a 2．注意：①性质（2）是证明两向量垂直的依据； ②性质（3）是求向量的长度（模）的依据。

3.1空间向量及其运算第1课时

教学案3．1 空间向量及其运算（第 1课时）（向量的加法、减法、数乘运算）【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。

【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算【本课难点】空间向量的理解和运算【教学过程】一、知识要点：1．空间向量的概念在空间，具有大小和方向的量叫；向量的大小叫做向量的或，记为；长度为零的向量叫做，记为；模为1的向量称为；方向相且模相等的向量称为相等向量；方向相且模相等的向量称为相反向量；2．空间向量与平面向量空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。

空间任意三个向量呢？3．向量的加、减运算法则及数乘运算法则4．向量的加法及数乘运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：数乘结合律：二、应用举例：例1．化简下列各式：（1）AB +BA ；（2）AB ++；（3）AB +BC +CD +DE +EA归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例2．已知平行六面体ABCD -D C B A '''',化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）AB +；（2）AB +AD +A A ；（3） ++21C C '；（4）31(A A '++)n 1n 1n 433221A A A A A A A A A A =++++- A A A A A A A A 1n 433221=++++例3．已知正方体ABCD -D C B A ''''，点E 是上底面D C B A ''''的中心，求下列各式中x,y,z 的值。

（1）D B '=x +y +z A A '；（2）（2）=x +y +z A A '.【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。

3.1 空间中向量的概念和运算

加法交换律：
对实数加法的分配律：
(1 2 )a 1 a 2 a
C
空间向量的数量积及运算律
向量的数量积：
a b a b cos b 1.( a) b (a b)
请牢记
B

2.a b b a 3.a (b c) a b a c
2.a b b a 0, a 0 a总与a平行
课程讲授 ——空间向量
向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量。 a, b, c,... 有向线段表示向量的：
A B
D
a AB CD AB
D
C 方向和长度相同两个向量相等。
向量的加减法：空间中任何两个向量都可以看成同一个平面内的向量。所以其加减法与平面向量相同。
如图AB BC CD与 AD有什么关系？
AB BC CD AD
C A A、B、C共面 A、C、D共面 B
与平面向量相同！
空间向量的运算律
ab ba 加法结合律： (a b) c a (b c) 对向量加法的分配律： (a b) b a
(1) AB AC 2 2 cos 600 2B (2) AD BD 2 2 cos 60 2
0
D G C
(3)GF AC 1 2 cos180 2
0
(4) EF BC 1 2 cos 60 1
0
注意：两向量的夹角！
复习回顾
平面向量
1.向量的相关概念
(1)定义:既有大小,又有方向的量叫做向量.
(2)模:向量的长度叫做向量的模,记作 a 或 AB
(3) 零向量和单位向量:长度为零的向量叫做零向量, 长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. (4)共线向量与相等向量:方向相同或相反的向量是共线向量; 长度相等且方向相同的向量是相等向量. 零向量方向不确定,它与任何向量共线.

3.1空间向量及其运算

当堂自测
4．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若 1→ 2→ → → 确定的点 P 与 A，B，C 共面，则由向量OP＝ OA＋ OB＋λOC 5 3 2 λ＝________ ． 15
向量概念的应用
例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( D ) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 → ，CD → 满足|AB → |>|CD → |，则AB → >CD → C．若向量AB → 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD → D．若两个非零向量AB
范老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶 2 000 m，再向西行驶 2 500 m，最后乘电梯上升 30 m 到 10 楼的住处．在这个过程中，范老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)，它们是不在同一平面内的位移．如何刻画这样的位移呢？
复习与预习
当堂自测
1．在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交 → → → 点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列 → 向量中与B 1M相等的向量是 ( A ) 1 1 1 1 A．－ a＋ b＋c B． a＋ b＋c 2 2 2 2 1 1 1 1 C． a－ b＋c D．－ a－ b＋c 2 2 2 2
[解析] (2)若 2ke1－e2 与 e1＋2(k＋1)e2 共线，则 2ke1－e2＝λ[e1＋2(k
2k＝λ， 1 ＋1)e2]，∴ ∴k＝－ . 2 －1＝2λ（k＋1），
[小结 ] 可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量基本定理判断平面内三点共线是相似的．结合共线向量的有关知识可知，要证空间中 E， F， B 三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可： → → → → → → → → (1)EB＝mEF；(2)AB＝AE＋λEF；(3)AB＝nAE＋(1－n)AF.

3.1.1空间向量及其加减运算

(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．
(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．
(4)真命题，B→A与A→B仅是方向相反，它们的长度是相等的．
归纳升华 1．在空间中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致． 2．两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等． 3．判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小与方向，两者缺一不可，相互制约．
答案：B
[典例 2] 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AA→′－C→B； (2)AA→′＋A→B＋B′→C′.
解： (1)A→A′－C→B＝A→A′－D→A＝ A→A′＋A→D＝A→A′＋A→′D′＝A→D′.
(2)A→A′＋A→B＋B→′C′＝(A→A′＋A→B)＋B→′C′＝A→B′＋B→′C′＝ A→C′，
第三章空间向量与立体几何
3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算
[ 学习目标 ] 1. 空间向量的基本概念和性质 ( 难点)． 2.空间向量的加减法运算(重点)．
1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．
列向量表达式，并标出化简结果所表示的向量． (1)A→B＋B→C； (2)A→B＋A→D＋A→A1； (3)A→B－D→A－B→1B－C→C1. →→→ 解：(1)AB＋BC＝AC.
→→ → → → → (2)AB＋AD＋AA1＝AC＋CC1＝AC1.

3.1 空间向量及其运算

3.1 空间向量及其运算1．空间向量的概念空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等． 2．空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b +a ；②结合律，即(a ()()+=+a +b c a b+c ；③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）． 3．空间向量的基本定理（１）共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使λa =b ．（２）共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ．（３）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a +b+c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）．4．两个向量的数量积两个向量的数量积是cos <>，a b =a b a b ，数量积有如下性质： ①cos <> ，a e =a a e （e 为单位向量）；②0⇔ a b a b =⊥；③2a a =a ；④ ab a b ≤．数量积运算满足运算律：①交换律，即 a b =b a ；②与数乘的结合律，即()()λλ a b =a b ；③分配律，即() a +b c =a c +b c ．5．空间直角坐标系若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用{}，，i j k 表示；在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}，，i j k ，可建立一个空间直角坐标系O xyz -，作空间直角坐标系O xyz -时，一般使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）． 6．空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系O －xyz 和向量a ，存在惟一的有序实数组使123a a a a =i +j +k ，则123()a a a ，，叫作向量a 在空间的坐标，记作123()a a a ，，a =．对空间任一点A ，存在惟一的OA x y z =i +j +k ，点Ａ的坐标，记作()A x y z x y z ，，，，，分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标．7．空间向量的直角坐标运算律（1）若123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =，则a +b 112233()a b a b a b =+++，，，-a b 112233()a b a b a b =---，，，123()a a a λλλλ=，，a ，112233()a b a b a b ，，a b =，112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，a b ∥，1122330a b a b a b ⇔++=a b ⊥．（2）若111222()()A x y z B x y z ，，，，，，则212121()AB x x y y z z =---，，．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．8．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，作向量OA =a ，则点A 在空间的位置被a 所惟一确定，a 称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A为起点作向量AP t =a ，则此向量方程称为动点P 对应直线l 的参数方程，向量a 称为直线l 的方向向量．当堂训练一、选择题(每小题6分，共36分)1.如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD的交点，若AB＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )(A)－12a ＋12b ＋c (B)12a ＋12b ＋c(C)12a －12b ＋c (D)－12a －12b ＋c 2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin〈CM ，1D N〉的值为( )(A)19 (B)49 5 (C)29 5 (D)233.有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底.其中正确的命题是( )(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四个点，且满足AB ²AC ＝0，AD ²AC ＝0，AD ²AB＝0，则△BCD 的形状是( ) (A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)无法确定5.已知ABCD 为四面体，O 为△BCD 内一点(如图)，则AO ＝13(AB ＋AC＋AD)是O 为△BCD 重心的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分又不必要条件6.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在1AC 上且AM ＝121MC，N 为B 1B 的中点，则|MN |为( ) (A)216 (B)66 (C)156 (D)153二、填空题(每小题6分，共18分)7.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q ＋2)共线，则p ＋q ＝ .8.已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA ＝2x BO ＋3y CO ＋4z DO，则2x ＋3y ＋4z ＝ .9.空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2). (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE⊥b ？(O 为原点)11.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点.(1)求BN的模；(2)求cos 〈1BA ，1CB〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M.【探究创新】(16分)在棱长为1的正四面体OABC 中，若P 是底面ABC 上的一点，求|OP|的最小值. 同步提升一、选择题1．下列命题正确的有( )(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ；(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (6)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA →3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →4．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A .AD →B .BD →C .AC →D ．05．点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－cB.12(c ＋a )－bC.12(b ＋c )－a D ．a ＋12(b ＋c ) 6．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为ABCDEF 的中心，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF → 等于( )A.PO → B ．3PO → C ．6PO →D ．07．设a 表示向东3 m ，b 表示向北4 m ，c 表示向上5 m ，则( )A ．a －b ＋c 表示向东3 m ，向南4 m ，向上5 mB ．a ＋b －c 表示向东3 m ，向北4 m ，向上5 mC ．2a －b ＋c 表示向东3 m ，向南4 m ，向上5 mD ．2(a ＋b ＋c )表示向东6 m ，向北8 m ，向上5 m8．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0 C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0 D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝09、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，A A 1 =c ，则下列式子中与M B 1相等的是1A.－21a + 21b +cB.21a + 21b +c C. 21a － 21b +cD.－ 21a － 21b +c10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( ) (1)1CC )BC AB (++ (2)C D )D A AA (1111++ (3)111C B )BB AB (++ (4)11111C B )B A AA (++ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．已知点G是正方形ABCD 的中心，P 是正方形ABCD 所在平面外的一点，则A 1PD PC PB PA +++等于( )A ．4PGB ．3PGC ．2PGD ．PG12．在空间四边形OABC 中， OA →＋AB →－CB →等于( )A ．OA →B ．AB →C ． OC →D ．AC →二、填空题1、在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,5,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为_______.2、已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =3、已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是．4、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.选做：已知在四面体ABCD 中，= a ，= b ，PC = c ，G ∈平面ABC ．若G 为△ABC 的重心，试证明31=PG (a +b +c )；ABCDGP三、解答题1.已知A(3,2,1)、B(1,0,4),求: (1)线段AB 的中点坐标和长度;(2)到A 、B 两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.2．已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简'1223AA BC AB ++，并在图形中标出其结果；(2)设M 是底面A B C D 的中心，N 是侧面''BCC B 的对角线'BC 上的点，且':3:1BN NC =，设'MN AB AD AA αβγ=++，试求,,αβγ之值。

人教版数学高二数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教材解读

高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读山东尹承利一、空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.（2）空间向量的加减与数乘运算①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如A B B C C D A D++=，A BB C C D D A +++=0等．2．共线向量的充要条件（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()≠0，，a b b a b的充要条件是存在实数λ，使abλ=．（2）空间直线的向量表过式：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使O P O A t =+a． ①在l 上取A B=a，则①式可化为O PO A t A B=+． ②①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点P A B ，，共线()P B t P A O P O A t A B t ⇔=⇔=+∈R ．3．共面向量的充要条件（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．注：空间任意两个向量总是共面的．（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，a b 不共线，那么向量p与向量a b ，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，x y ，使p x =a y +b．（3）空间平面A B C 的向量表示式：空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对x y ，，使A Px A B y A C=+；或对空间任意一点O ，有O PO A x A B y A C=++． ③③式称为平面A B C 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定．（4）利用向量判断四点共面．其依据是：对于空间任一点O 和不共线的三点A B C ，，，满足向量关系式O Px O A y O B z O C=++，且当且仅当1x y z ++=时，四点P A B C ，，，共面．（即课本第95页思考2） 4．空间向量的数量积运算（1）空间两个向量的夹角：已知两个非零向量，a b 在空间任取一点O ，作O A =a，O B=b，则A O B ∠叫做向量，a b 的夹角，记作，a b．如果，a bπ2=，那么向量，a b 互相垂直，记作ab⊥．注：0πa b ，≤≤．（2）向量的数量积：两个非零向量，a b 的数量积c o s a b a b a b=，，．（3）数量积的性质：①零向量与任何向量的数量积为0，即aa =00··0=；②a aaa==22·，即a =；③c o s a b a b a b=，·；④ab a b ⊥⇔·0=．（4）数量积的运算律： ①()()a ba b λλ=··；②a bb a=··（交换律）；③()a bc a b a c+=+···（分配律）．注：向量的数量积不满足结合律，即对于三个均不为零向量的向量()()a b c a b c a b c ≠，，，··．（5）利用空间两个非零向量的数量积为零，可以推证空间线、面的垂直关系．如证明三垂线定理及逆定理（课本第98页例2）、直线和平面垂直的判定定理（例3）等．二、空间向量的坐标表示 1．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a b c ，，不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{}，，x y z ，使得p x =+a y b z +c，共中{}，，a b c 叫做空间的一个基底，a b c ，，都叫做基向量．注：①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基成； ②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）单位正交基底：如果123e e e ，，是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，则称{}123，，e e e 为空间的单位正交基底．2．空间向量运算的坐标表示设a123()=，，a a a ，b123()=，，b b b ，则（1）空间向量的直角坐标运算a b +=112233()+++，，a b a b a b ，ab -=112233()a b a b a b ---，，；λ=a 123()λλλ，，a a a ；a b=·112233++a b a b a b ．（2）两个向量平行、垂直的充要条件的坐标表示 ①λ⇔=∥a b a b 112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，；②ab ⊥1122330⇔++=a b a b a b 。

空间向量的运算(空间向量与立体几何知识点_空间向量总结)

⑴ DM
1（a b) c 2
⑵ AG
A
1（a b c) 3
D
B
G
M
C
例3(课本例1)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
例3 (课本例1)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③ 注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
21
思考 2(课本 P88 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满足向量关系式 OP xOA yOB zOC ( 其中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
AaB
20
思考 1:如图,平面为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
⑴∵ AP与a 、b 共面,
bC
p
P
AaB
∴ 唯一有序实数对(x, y),
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
A2
An
A3
A4
⑵向量的减法三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
一、空间向量的基本概念
空间向量既有大小，又有方向的量

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算讲义

3．1.1 空间向量及其加减运算1．空间向量 (1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模． (3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090. ②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：□11与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为□12－a . ④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝□16a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝□17a －b . (2)加法运算律①交换律：a ＋b ＝□18b ＋a ； ②结合律：(a ＋b )＋c ＝□19a ＋(b ＋c )．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量的表达式：①AA 1→－CB →＝________. ②AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝________. ③12AD →＋12AB →－12A 1A →＝________.(4)(教材改编P 86T 3)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.答案 (1)球面 (2)BD 1→ (3)①AD 1→②AD 1→③12AC 1→(4)12AB →＋12AD →＋12AA 1→解析 (4)MN →＝MB →＋BC →＋→＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD→＋12AA 1→.探究1 空间向量的概念例1 给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模长也相等，应有AC →＝A 1C 1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等． ⑤真命题．根据零向量的定义可知． [答案] A 拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】 (1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA →与向量AB →的长度相等．其中正确命题的序号为________．答案 ④解析 ①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA →≠AB →但|BA →|＝|AB →|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①错误，若|a |＝0，则a ＝0；②正确．③正确．探究2 空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [解析]①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式的运算结果不为向量BD 1→.故选A. [答案] A[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC 1→的有哪些？ ①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→. 解 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. 故①②③④式运算结果都是向量AC 1→. 拓展提升、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 答案 A解析 EF →＋GH →＋PQ →＝AF →－AE →＋CH →－CG →＋D 1Q →－D 1P →＝0.探究3 空间向量证明题例3 在如图所示的平行六面体中．求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)，又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】借助平行六面体，证明：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．证明作平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′使AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，如图，则：(a ＋b )＋c ＝(AB →＋AD →)＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，a ＋(b ＋c )＝AB →＋(AD →＋AA ′→)＝AB →＋(BC →＋CC ′→)＝AB →＋BC ′→＝AC ′→，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. ，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB →－AD →，误写成BD →，应为DB →.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝3 答案 D解析因为a ，b 互为相反向量，所以a ＝－b ，a ＋b ＝0，a 与 b 方向相反，|a |＝|b |＝3.2．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → 答案 B解析 AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 B解析 ∵AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →，∴线段AB ，DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 是平行四边形．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的序号为________． ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．答案 ①③④解析下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，B 1C 1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA →＋OD →＝2OE →，OB 1→＋OC 1→＝2OF →，又OE →＝－OF →，所以命题①正确．由于OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，所以OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的．同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解 (1)由于AA 1＝1，所以AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)为A 1B 1→，DC →，D 1C 1→. (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.。

空间向量及其运算

C1
AB1
A1 D A
B1
B
（） 2 AB BB1 B1C1 ？ AC1
C
（） 3 AB BB1 B1C1 C1 D1 ？ AD1 首尾相连,首尾连. （） 4 AB BB1 B1C1 C1 D1 D1 A ？ 0
推广：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
到同一平面内？为什么？
B
b
M
A
思考：平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
探究二：如何对空间任意两个向量进行加减运
算?
C O· B
b
A
b

a
首尾相连,首尾连.
a b OA AB
加法交换律 a b b a 加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
运算律
加法交换律 a b b ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa 加法结合律
(a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
作业
空间四边形 ABCD中， AB a ， BC ＝b ， AD c ，试用a, b, c来表示CD， AC, BD.
B B C
b
M
b
M
a
A
a
A
向量加法的三角形法则
B
向量加法的平行四边形法则
b
M
a
A
向量减法的三角形法则
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

3.1空间向量的加减法及数乘运算

AB
a
长度为0的向量，记为 0 ；
单位向量：长度为1的向量. 相等向量：相反向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（共线向量）.
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则:
B
a
a b b
C 特点:共起点
b
a
'
'
AB BC CC '
x 1
A
E C
D
B
A B
(2) AE AA AE
1 x y 2
1 AA ( AB AD ) 2
,
'
D
C
G
D
.
C B
AG．
A
练习1.已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，化简 1 AB AD CC '，并标出化简结果的向量： 2
解：设M是线段CC’的中点，则
1 AB AD CC ' 2
D’ C’ B’ M
AC CM
A’
AM
D A B
C
练习2.已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，用AB， AD， AA '，表示向量BD ' 和 BC '
结论：始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始点的对角线所示向量。——平行六面体法则
1 (3) ( AB AD AA' )． 3
设G是线段AC’靠近点A的三等分点，则
1 ( AB AD AA' ) 3 1 AC ' 3

高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算1空间向量及其加减法2课件新人教A版选修2

于平面MAB内的充要条件是存在有序实数
论
对(x，y)，使 MP
＝ x MA＋y MB ，
或对空间任意一点O
若在l上取 AB ＝a，则①式可化来说，有 OP ＝OM
为
OP＝ OA ＋t AB.
＋xMA＋ y MB .
小结
1.λa是一个向量.当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 2.平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立． 3.共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．
4.直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
5.共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来.另外，还可以用OP ＝xOA＋yOB＋zOC ，且 x ＋y＋z＝1 判断 P,A,B,C 四点共面．
跟踪训练
5．在下列条件中，使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：∵ MA＋ MB＋ MC ＝0， ∴ MA＝－ MB－ MC ， ∴M 与 A,B,C 必共面．
DF ＝－CF
②
将②代入①中，两式相加得 2 EF ＝ AD＋ BC .
所以 EF ＝12 AD＋12BC ，即 EF 与 BC , AD共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数 x，y 使向量 EF ＝x AD＋yBC 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用 AD, BC 表示 EF .

3.1空间中向量的概念和运算

思考:
空间任意两个向量一定共面,
B
空间任意三个向量呢?
a A
a
A D
C
结论1:已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点 OP xOA yOB (x y 1)
结论2:若P为A,B中点, OP 1 OA OB 2
练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
数乘分配律：（a b) a b
数乘结合律：（a) （）a
9
平面向量复习
a
6.平面向量的数量积
θ
b
• （1）a与b的夹角：共同的起点
•（2）向量夹角的范围：[00 ，1800]
• （3）向量垂直：
B
a
Oθ b
O
A
B
A O B
B
A O
A
O
A B
10
（4）两个非零向量的数量积：
a ·b = |a| |b| cosθ
M aA
A'
对x、y，使
P = xa + yb.
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存
在有序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB
或对空间任一定点O，有
OP = OM + xMA + yMB. 此式称做空间平面的向量表示式.
结论: 已知P 、 A、B、C四点共面，O为空间任意一点， OP xOA yOB zOC,( x y z 1)
分析：由定义可知，只需证

第3章3.1.1 空间向量及其加减运算

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(2)由于这个长方体的对角线长为 p2＋q2＋1＝ 2，故模为 2的向量有A→C1，C→1A，A→1C，C→A1，B→D1，D→1B，B→1D，D→B1共 8 个．
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身以外)共有A→1B1，D→C 及D→1C1三个．
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【思路分析】解决此类问题的关键是准确理解有关概念，如零向量的方向问题，向量相等的条件等．
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【解析】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝ A→C.
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第三章空间向量与立体几何
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3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算
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要点 1 空间向量的概念
名称
定义
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间空间向量
向量，其大小叫做向量的长度或模
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【解析】 (1)由于长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的向量A→A1，A→1A，B→B1，B→1B等 8 个向量都是单位向量，另外，由于 p2＋q2＝1，所以长方体上下两个面上的面对角线对应的向量 A→C，C→A，B→D，D→B，A→1C1，C→1A1，B→1D1，D→1B1等 8 个向量也都是单位向量．而其他的向量的模均不为 1，故单位向量共 16 个．

空间向量及其加减运算

单位向量
模为1 的向量称为单位向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，相反向量
记为－a 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的相等向量有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二空间向量的加减法与运算律
空间向量加法的运算减法
O→B＝ O→A＋A→B ＝a＋b C→A＝ O→A－O→C ＝a－b
[素养提升] (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键. (2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生逻辑推理的思维品质.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的 A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
核心素养之逻辑推理对空间向量的有关概念理解不清致误
典例下列说法中，错误的个数为
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量A→B，C→D满足|A→B|＝|C→D|，A→B与C→D同向，则A→B>C→D； ③若两个非零向量A→B，C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B，C→D互为相反向量；
2.长度或模：向量的大小 .
3.表示方法：
(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示.
(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是
B，也可记作：
→ AB
，其模记为
|a|
→ 或 |AB|
.
4.几类特殊的规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
C.a与b方向相同
√D.|a|＝3
解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.

高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2_1

3．1.1 空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1] 下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案] (1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

选修2-1教案 3.1空间向量及其运算

§3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0 . 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→ 举例？表示？（用有向线段表示）记法？ → 零向量？单位向量？相反向量？ → 讨论：相等向量？同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+ =a +b ， AB OB OA =- （指向被减向量）， OP = λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) +c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++= ； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1(3)'2AB AD CC ++ ； 1(')3AB AD AA ++ ⑷．师生共练 → 变式训练6. 练习：课本P 927. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习：作业：P106 A 组 1、2题.教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。

空间向量及其运算

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。

3.1空间向量及其运算

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3.1 空间中向量的概念和运算

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3.1.1空间向量及其加减运算

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人教版数学高二数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教材解读

空间向量的运算(空间向量与立体几何知识点_空间向量总结)

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