3.3 线性方程组的消元解法ppt课件
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件
0 0 0 0 0
其中 cii 0 (i 1,, r ),
方程组有解的充分必要条件是
dr1 0 .
15
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实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r r( A) , 若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) r ,
若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) 1 ,
20
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例6 下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解
的情况下，求出全部解。
2 x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
x4
2
a
7 x1 x2 x3 5 x4 b
解
2 1 1 1 1 1 1 1 1
2
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元 法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则 有多少组解；若有无穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。
1
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第一节 解线性方程组的消元法
2 1 1 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 0
5 3
5 3
3 4
63
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
36
10
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例1
线性方程组的消元法、矩阵及其初等行变换
消元法是最基本的解法之一，通过消 元过程将线性方程组转化为一个简单 的一元一次方程，从而求解未知数。
线性方程组的应用
线性方程组在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如代数、几何、物理、经济、工程等领域。
在实际应用中，需要根据具体问题建立相应的线性方程组，并选择适当的解法进行求解。
精度要求
对于需要高精度结果的场合，消 元法可能更合适，因为它每一步 操作都对应于实际意义。
计算复杂度
比较不同解法的计算复杂度，选 择计算效率更高的方法。
数学基础
选择解法时需要考虑解题者对数 学工具的掌握程度，如对矩阵运 算的熟悉程度。
解法选择的应用
工程问题
数学建模问题
在解决工程问题时，如结构设计、流体动 力学等，消元法更常用，因为其直观性和 与实际问题紧密相关。
直观性
消元法更直观，每一步操作都对应 于方程组的实际意义，而矩阵法更 抽象，需要一定的数学基础。
适用范围
消元法适用于任何线性方程组， 而矩阵法更适用于系数矩阵是方 阵且系数是数字的情况。
计算效率
在某些情况下，矩阵法可能比消 元法更高效，因为它可以同时处 理多个方程。
解法选择的原则
问题背景
根据问题背景和方程组的特点选 择解法。如果方程组系数是数字 且是方阵，可以选择矩阵法。
解线性方程组
通过初等行变换将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
行列式计算
通过初等行变换将行列式化为上三角或下三角形式， 从而简化行列式的计算。
矩阵的秩
通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，从而求出矩 阵的秩。
Part
05
线性方程组的解法比较与选择
线性方程组的消元解法课件
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
(A b)=
a21
a22 a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。
PPT学习交流
3
下页
一、线性方程组的矩阵表示：
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
10499
0 1 -1 -2 -2 00000
0 1 -1 -2 -2 00000
，
00000
00000
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
PPT学习交流
10
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
8
线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解
R(A)R(A,b);
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n;
（3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
PPT学习交流
9
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
线性方程组的消元法和矩阵的初等变换分解
c 22 x 2 c 2 n x n d 2
c rr x r c rn x n d r
0 d r1
00
00
整理ppt
19
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
（1）分析系数 （2）化简 （3）化为阶梯型方程组：
c 11 x 1 c 12 x 2 c 1 n x n d 1
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
整理ppt
(B3 ) (B4 )
12
于是解得
x x
1 2
x3 x3
4 3
x 4 3
其中 x3为任意取. 值
或x3令 c,方 程(也 组称 的)可 为 解记 通作 解
x1 c 4
x
x2 x3 x4
c
c
3
,
3
其中c为任意常数.
cnnxn dn
整理ppt
21
c 11 x 1 c 12 x 2 c 1 n x n d 1
c 22 x 2 c 2 n x n d 2
c rr x r c rn x n d r
0 d r1
00
00
（ I） I当 d r 1 0 或方程0 组 0 的 中 ， 方 根 分 程 本
a2 2x2 a2nxn b2
am 2x2 am nxn bm
整理ppt
17
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
a11x1a12x2a1nxnb1 考查方程 a2 组 1x 1 a 22 x2 a2n x n b2
am1x1am2x2amnxnbm （1）分析系数
将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是 线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)， 如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称 (II)是(I)的线性组合。
推荐-线性代数课件 第四章 线性方程组 第1节 消元法、
而矩阵
B
(
A,
b)
a21
a22
am1 am2
a1n b1 a2n b2
amn bm
称为方程组（1）的增广矩阵．
一、消元法 2、线性方程组的初等变换
定义 线性方程组的初等变换是指下列三种变换
① 用一个非零的数乘某一个方程；
倍法
② 将一个方程的倍数加到另一个方程上； 消法
③ 交换两个方程的位置．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 (a1n ka2n ) xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a2n xn b2 amn xn bm
（1'）
设 (c1,c2 , ,cn )是方程组（1）的任一解，则
a11c1 a12c2
c1r xr d1 c1,r1 xr1 c1n xn c2r xr d2 c2,r1 xr1 c2n xn (1')
crr xr dr cr ,r1 xr1 crn xn
从而，原方程组(1)与方程组(1')同解
所以，当 r n 时，方程组(1)有唯一解；
当 r n 时 ，方程组(1)有无穷多解．
a21c1 a22c2
am1c1
am 2c2
a1ncn b1 a2ncn b2 amncn bm
于是有
(a11 ka21 )c1 (a12 ka22 )c2 (a1n ka2n )cn (a11c1 a12c2 a1ncn ) k(a21c1 a22c2 a2ncn ) b1 kb2 所以 (c1,c2 , ,cn )也是方程组（1'）的解. 同理可证的（1'）任一解也是（1）的解.
线性方程组消元法
§1 线性方程组消元法引例：用消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解：为观察消元过程，我们将消元过程中每个步骤的方程组及与其对应的矩阵一并列出：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x ①←→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2836141722512 ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+1327202936223232321x x x x x x x ②←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/72/91232002 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-+132130293622332321x x x x x x ③←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/132/91032002 ③ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-+20293622332321x x x x x x ④←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20612/91032002 ④ 从最后一个方程得到X3=2，将其代入第二个方程可得到x2=3，再将x2=3 与X3=2一起代入第一个方程得到x1=1。
通常我们把过程①——④称为消元过程，矩阵④是行阶梯型矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯型方程组。
从上述过程可以看出，用消元法求解线性方程组的具体做法就是对方程组反复实施以下三种变换：（1） 交换某两个方程的位置；（2） 用一个非0数乘某一个方程的两边；（3） 将一个方程的倍数加到另一个方程上去。
以上三种变换称为线性方程组的初等变换。
而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组，显然这个阶梯形方程组与原方程组同解。
如果用矩阵表示其系数及常数项，则将原方程组化为阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。
将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的，所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。
1线性方程组的消元解法
dr1 0 时，方程组有解
r( A ) r( Ab )
r n 时，方程组有唯一解 r( A ) r( Ab ) n r n 时，方程组有无穷多解 r( A ) r( Ab ) n
即： 线性方程组化为阶梯形后，有 r( A ) r( Ab ) 无解
r( A ) r( Ab ) n 唯一解
x1
13 7
3 7
c1
13 7
c2
x2
4 7
2 7
c1
4 7
c2
x3 c1
x4
c2
四、齐次线性方程组的求解 1、定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
是： r( A ) n
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3x4 0
则方程组可写为： AX b
Ab
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
2、求解步骤：
① 写出增广矩阵
② 化为阶梯形
③ 判断是否有解，如有解
④ 进行回代
称为增广矩阵
化为阶梯形
a'
11
x1
a' 12 x2 a' 22 x2
1 0 1 7
0
1
4 1
8 9
2 4
方程组有无穷多个解
引例3 线性方程组
x31x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1
2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解：消元得
x1
2x2 5x2
3x3 x4 4x3 1
3.3线性方程组的消元法
§3 线性方程组的消元法●线性方程组的概念●高斯消元法知识点回顾：克拉默法则结论1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的。
结论1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
设11112211211222221122(1)n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知量个数；(2) 系数行列式不等于零.线性方程组的解受哪些因素的影响？3.3.1 线性方程组的概念11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩其中，ij a 称为方程组的系数，i x 称为这个方程组的未知量，i b 称为方程组的常数项，这是一个含有n 个未知量，m 个方程构成的线性方程组。
定义：常数项不全为零的方程组称为非齐次线性方程组。
(3.1)同理，常数项全为零的方程组称为与(3.1)相应的齐次线性方程组。
111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩(3.2)如果令111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭12m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭则线性方程组(3.1)可以写成矩阵方程的形式：AX b=系数矩阵未知量矩阵常数项矩阵111121221()n n m mnm a a b a a b A A b a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭增广矩阵如果令使得方程组(3.1)中的每一个方程都成立，则称这n 个数是方程组(3.1)的解，或者说i i x c =i c 12n c c x c ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭是(3.1)的解(或解向量)。
线性方程组的表示消元法
17 17
第17页，共36页。
回顾:消元法解方程的过程实际上就是用一系列初等行
变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵(特别是若当阶梯形)
的过程.
现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan阶梯 形的方法求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2,
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
全为零的行依次的首元所在的列标是严格增
加的，则称A是阶梯形矩阵（ladder matrix).
若首元皆为1,同时首元所在列其余元素皆为零
的阶梯形矩阵称为若当（Jordan)阶梯形.
例 0 1 0 第一，二，三行的首元所
1
1
0
,
在的列依次为2，1，3，不 是严格增的，故不是阶梯
0 0 1 行.
33 33
第33页，共36页。
定理1 设A为n阶方阵，则齐次线性方程组 AX=0有非零解的充分必要条件是 A 0 。
证明：必要性。设 X0 0 满足 AX0 0 。
若 A 0 ，则 A可逆，有唯一解 A1 0 0 矛盾，故 A 0 。
充分性。当n=1时，A 011 ,0x1 0 有非
项所构成的增广矩阵作初等行变换。
12 12
第12页，共36页。
问题： （1）为什么经过一系列的初等行变换以后得到 的新的方程组的解为原方程组的解。我们需要 给出它的理论依据。
(2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么条 件下方程组无解？
13 13
第13页，共36页。
消元法解线性方程组的理论根据：
令x3 c,方程组的解为
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
或令x3 c,方程组的解可记作
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x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
6
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结束
铃
求解过程与矩阵的初等行变换：
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
的增广矩阵施以初等行变换的过程。
解：
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 ——
下页
1 -2 4 012 001
结束
3 3 27
铃
r1+2r2 1 0 8 9 r1 -8r3 1 0 0 -7
0 0
1 0
2 1
3 2
r2 -2 r3
0 0
1 0
0 1
-21
故方程组的解为
x1 x2
= =
-7 -1.
x3 = 2
r3 -r1
111 a 0 1-a 1-a 1-a2 ，
0 0 a-1 1-a
(1)当a=1时，R(A)=R(A,b)=1<3，方程组有无穷多个解，此时
111 1 (A b) 0 0 0 0 ，其一般解为 x1 = 1- x2 - x3 (x2, x3任意)
000 0
方程组的全部解为
x1 = x2 =
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
a11 a12 a1n
x1
b1
A=
a21
a22 a2n
， x=
x2
， b=
b2
。
am1 am2 amn
xn
bm
A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、
常数项列向量。 2
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结束
铃
一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
Q R( A) = R( A,b) = 2 4, 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
( x3,
x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
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21
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答案
1、(1)无解；
x = -1 - 2c
(2)
y =2+c
(c R).
z = c
2、(1)当 1且 -2时，有唯一解； (2)当= - 2时，无解； (3)当=1时，有无穷多解，其解为:
x1 = 1 - c1 - c2
x2 = c1
(c1, c2 R).
x3 = c2
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
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3 -5 14 12
(A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
—r1—r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
x2=- 2 + c1 + 2c2
x3 =
c1 c1
x4 =
c2
(c1, c2 R)
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12
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例3．解线性方程组
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。
x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6
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由此可得：
(1) 当 λ 0 且 λ -3 时， R(A) = R(A,b) = 3，
方程组有唯一解；
(2) 当 λ = 0 时， R(A) = 1，R(A，b) = 2，
方程组无解；
(3) 当 λ = -3 时， R(A) = R(A,b) = 2 3,
方程组有无穷多解. 这时
x1 = -1 x2 = 2 + a
x3 = -1
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-1 2 + a -1
15
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例 4 设有线性方程组
(1 x1
+ +
)x1 + (1+ )
x2 x2
+ +
x3 x3
= =
0 3
, ,
x1 + x2 + (1 + )x3 = ,
问 λ 取何值时，此方程组 (1) 有唯一解；(2) 无解;
§3.3 线性方程组的解
一、线性方程组的矩阵表示 二、线性方程组解的情况判定
1
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 00000
00000
10499 0 1 -1 -2 -2 ，
00000 00000
Q R( A) = 3, R( A,b) = 4,
故方程组无解.
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13
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例4．a取何值时，线性方程组 并求其解。
x1 + x2 + ax1 + x2 +
x3 = a x3 = 1
有解？
x1 + x2 + ax3 = 5
解： 1 1 1 a
(A，b) = a 1 1 1
11a5
r2 -ar1
(3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.
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16
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解：
对增广矩阵 B = (A , b) 作初等行变换把它变为 行阶梯形矩阵，有
1+ 1 1 0
(
A,
b)
=
1
1+
1
3
1 1 1 +
r1r3
1 1
1 +
1
1+
1
1(xx1+1111+++x(12)03+x+1(+1)+xx22++)
1 -2 4 3
0123
0012
8
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线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解
R( A) R( A,b);
（2）有唯一解 R(A) = R(A,b) = n;
（3）有无穷多解 R(A) = R(A,b) n.
9
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解线性方程组的一般步骤： 第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成
22
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1123 1
1123 1
解： (A b)=
0 1
1 2
1 -4 3 -1
1 4
0 1 1 -4 1 0 1 1 -4 3
2 2 -1 -1 -6
0 0 -5 -7 -8
1123 1
1123 1
0 1 1 -4 1 0000 2
0 1 1 -4 1 ， 0057 8
0 0 -5 -7 -8
0000 2
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11
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7