人教版八年级上册专题 中点问题(一)中线倍长构造全等讲义(无答案)

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专题 中点问题（一）中线倍长构造全等2018.10.17

学习目标：会用倍长中线构造全等的办法去解决三角形中存在有中线的数学问题。 一、练前谈话

几何证明中，当发现条件不够时，通常会想到通过作辅助线来构造条件，我们八年级上册的数学学习中，常规辅助线的作法有连线段、作平行线、作垂线、截长补短……还有一条非常重要的辅助线作法，那就是“倍长中线法”，这也是中考几何题中常用的一种方法。 二、认识体会

1.如图，AD 为△ABC 的中线，延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，

求证：AB=CE ，且AB//CE 。

小结：本题中倍长了三角形的中线，从而构造了全等三角形，通过证全等得出对应角相等，再利用平行线的判定定理证平行。 三、小试牛刀

2.如图，△ABC 中，D 为BC 中点。 （1）求证：AB+AC ＞2AD ；

（2）若AB=5，AC=3，求AD 的取值范围。

D B C

小结：本题通过倍长中线构造了三角形全等，从而把几条线段转换在同一个三角形中进行比较。 四、再接再厉

3.如图，在△ABC 中，点O 为BC 中点，点M 为AB 上一点，ON ⊥OM 交AC 于N 。 求证：BM+CN ＞MN 。

五、激流勇进

4.如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在BC 的延长线上，CE=AB ，∠BAC=∠BCA ， 求证：AE=2AD 。

O B C

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六、斩将夺关

5.如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：

DE=2AM 。

【方法归纳】将中点处的线段倍长，构造SAS 全等三角形。 七、今夜无眠（课外作业）

6、如图1，在等腰Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC ；在等腰Rt△DCE 中，∠DCE=90°，CD=CE ；点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、BE ，点N 是线段BE 的中点，连接CN 与AD 交于点G ．

（1）求证：CN⊥AD．

（2）把等腰Rt△DCE 绕点C 转至如图2位置，点N 是线段BE 的中点，延长NC 交AD 于点H ，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【温馨提示】将中点处的线段倍长，构造SAS 全等三角形，还能形成平行线。

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