概率3-5

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考研数学三(概率论与数理统计)-试卷5

考研数学三（概率论与数理统计）-试卷5(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{|X( )（分数：2.00）A.D(X)=2．B.P{|X—E(X)|＜3}C.D(X)≠2．D.P{|X—E(X)|√解析：解析：由于事件{|X—E(X)|＜3}是事件{|X—E(X)|≥3}的对立事件，且题设P{|X—E(X)|≥3}≤，因此一定有P{|X—E(X)|＜3}≥选项D正确．进一步分析，满足不等式P{|X—E(X)|≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此选项A与C都不能选．若X服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有E(X)=4，D(X)=2．但是P{|X—E(X)|≥3}=P{|X一4|≥3}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此选项B也不成立．故选D．3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2．4，D(X)=1．44，则二项分布的参数n，P的值为( )（分数：2.00）A.n：4，P=0．6．B.n=6，P=0．4．√C.n=8，P=0．3．D.n=24，P=0．1．解析：解析：因为X～B(n，P)，所以E(X)=np，D(X)=np(1一P)组，得n=6，p=0．4，故选项B正确．4.对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)．B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．√C.X与Y独立．D.X与Y不独立．解析：解析：因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)一E(X).E(Y)]，可见E(XY)=E(X).E(Y)，故选项B正确．对于随机变量X与Y，下面四个结论是等价的．①Cov(X，Y)=0；②X 与Y不相关；③E(XY)=E(X)E(Y)；④D(X+Y)=D(X)+D(Y)．5.已知随机变量X与Y均服从0—1分布，且E(XY)=则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：因为X与Y均服从0一1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下：又已知E(XY)=．即P 22 = 从而P{X+Y≤1}=P 11 +P 12 +P 21 =1一P 22．故选项C正确．6.设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=E(X).E(Y)，则X与Y( )（分数：2.00）A.相关．B.不相关．√C.独立．D.不独立．解析：解析：因E(XY)=E(x)E(Y)，故cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0X与Y不相关，故选项B正确．7.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( ) （分数：2.00）A.一1．√B.0．D.1．解析：解析：根据题意，y=n—X，故ρXY =一1．应选A．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1．若Y=aX+b(a，b为常数)，则当a＞0时，ρXY =1，当a＜0时，ρXY =一1．8.对于任意两随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X).E(Y)．B.Cov(X，Y)=0．C.D(XY)=D(X).D(Y)．√D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．解析：解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，所以A与B等价．由D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项B与D等价．于是，“X和Y不相关”与选项A，B和D等价．故应选C．9.假设随机变量X在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一1．√B.0．C.0．5．D.1．解析：解析：因为U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：即U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=一1．应选A．10.X与Y的相关系数ρ=1，则P{X=0，Y=1}的值必为( )（分数：2.00）A.0．√D.1．11.设随机变量X和Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然( )（分数：2.00）A.不独立．B.独立．C.相关系数不为零．D.相关系数为零．√解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)一E(U).E(V) =E(X 2一Y 2 )一E(X一Y).E(X+Y) =E(X 2 )一E(Y 2 )一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一D(Y)=0．则所以U与V的相关系数为零，故选D．12.设随机事件A与B互不相容，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1与Y的相关系数为ρ，则( ) （分数：2.00）A.ρ=0．B.ρ=1．C.ρ＜0．√D.ρ＞0．解析：解析：选项B不能选，否则选项D必成立．因此仅能在选项A、C、D中考虑，即考虑ρ的符号，而相关系数符号取决于Coy(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，(因为P(AB)=0)，所以Cov(X，Y)=一E(X).E(Y)＜0，故选C．13.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8．B.16．C.28．D.44．√解析：解析：本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题．可根据方差的运算性质D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(X±Y)=D(X)+D(Y)自行推演．故选项D正确．二、填空题(总题数：14，分数：28.00)14.设连续型随机变量X的分布函数为E(X)=1，则D(X)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意已知连续型随机变量X15.相互独立的随机变量X 1和X 2均服从正态分布D(|X 1—X 2 |)= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据题意随机变量X 1和X 2相互独立，且服从正态分布设Z=X 1—X 2，则Z～N(0，1)，其概率密度函数为φ(z)= D(|X 1 -X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一E 2 |Z|=E(Z 2 )-E 2 |Z|=D(Z)+E2 (Z)一E 2 |Z|，显然，D(Z)=1，E(Z)=0．16.设随机变量X和Y X和Y的协方差Cov(X，Y)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一0．1）E(X)=0．5，E(Y)=(一1)×0．3+1×0．3=0． E(XY)=一P{XY=一1}+P{XY=1}=一0．2+0．1=一0．1． Coy(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=一0．1—0=一0．1．17.已知随机变量X的分布函数F(x)在x=1处连续，且F(1)=若EY= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据离散型随机变量期望公式计算．由于F(x)在x=1处连续，故E(Y)=aP{X＞1}+bP{X=1}+cP{X＜1} =a[1一P{X≤1}]+bP{X=1}+cP{18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ 2 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件A=“X+Y≤1”，则Z是4次独立重复试验事件A发生的次数，故Z～B(4，P)，其中如图4—119.已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是0．1，如果用X表示两次调整之间生产出的产品数量，则EX= 1。

2021-2022学年高二物理人教版选修3-5学案：17.3 粒子的波动性概率波不确定性关系

3 粒子的波动性4 概率波5 不确定性关系[目标定位] 1.知道光的波粒二象性，理解其对立统一的关系，会分析有关现象.2.理解德布罗意波和概率波的统计规律.3.了解经典的粒子和经典的波，会用不确定关系的对应公式分析简洁问题．一、粒子的波动性 1．光的波粒二象性(1)光既具有波动性又具有粒子性，即光具有波粒二象性．(2)光子的能量ε＝hν和动量p ＝hλ．两式左侧的物理量ε和p 描述光的粒子性，右侧的物理量ν和λ描述光的波动性，普朗克常量h 架起了粒子性与波动性之间的桥梁． 2．粒子的波动性(1)每一个运动的粒子都与一个对应的波相联系，这种与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，也叫做物质波． (2)物质波的波长、频率关系式波长：λ＝hp ，频率：ν＝εh．3．物质波的试验验证(1)1927年戴维孙和G.P.汤姆孙分别利用晶体做了电子束衍射试验，得到了电子的衍射图样，证明白电子的波动性．(2)人们间续证明白质子、中子以及原子、分子的波动性，对于这些粒子，德布罗意给出的ν＝εh 和λ＝hp关系同样正确．二、概率波1．经典粒子和经典波(1)经典粒子：①粒子有确定的空间大小，有确定的质量，遵循牛顿运动定律． ②运动的基本特征：在任意时刻有确定的位置和速度，在空间中有确定的轨道． (2)经典波：经典波的基本特征是：具有确定的频率和波长，即具有时空的周期性． 2．概率波(1)光波是一种概率波光的波动性不是光子之间相互作用的结果而是光子自身固有的性质，光子在空间毁灭的概率可以通过波动规律确定，所以，光波是一种概率波． (2)物质波也是一种概率波对于电子和其他微观粒子，单个粒子的位置是不确定的，但在某点毁灭的概率的大小可以由波动规律确定，而且对于大量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结果，所以物质波也是概率波．三、不确定性关系1．定义：在经典物理学中，一个质点的位置和动量是可以同时测定的，在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定性关系．2．表达式：Δx Δp ≥h4π.其中以Δx 表示粒子位置的不确定量，以Δp 表示粒子在x 方向上的动量的不确定量，h 是普朗克常量．一、对光的波粒二象性的理解例1 关于光的波粒二象性的理解正确的是( )A ．大量光子的行为往往表现出波动性，个别光子的行为往往表现出粒子性B ．光在传播时是波，而与物质相互作用时就转变成粒子C ．高频光是粒子，低频光是波D ．波粒二象性是光的根本属性，有时它的波动性显著，有时它的粒子性显著答案 AD解析光的波粒二象性指光有时候表现出的粒子性较明显，有时候表现出的波动性较明显，D 正确；大量光子的效果往往表现出波动性，个别光子的行为往往表现出粒子性，A 正确；光在传播时波动性显著，光与物质相互作用时粒子性显著，B 错误；频率高的光粒子性显著，频率低的光波动性显著，C 错误．二、对物质波的理解1．任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动性，我们之所以观看不到宏观物体的波动性，是由于宏观物体对应的波长太小的缘由．2．物质波波长的计算公式为λ＝hp ，频率公式为ν＝εh3．德布罗意假说是光子的波粒二象性的一种推广，使之包括了全部的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波．例2 下列关于德布罗意波的生疏，正确的解释是( ) A ．任何一个物体都有一种波和它对应，这就是物质波 B ．X 光的衍射证明白物质波的假设是正确的 C ．电子的衍射证明白物质波的假设是正确的D ．宏观物体运动时，看不到它的衍射或干涉现象，所以宏观物体不具有波动性答案 C解析运动的物体才具有波动性，A 项错；宏观物体由于动量太大，德布罗意波长太小，所以看不到它的干涉、衍射现象，但仍具有波动性，D 项错；X 光是波长极短的电磁波，是光子，它的衍射不能证明物质波的存在，B 项错；只有C 项正确．例3 假如一个中子和一个质量为10 g 的子弹都以103 m/s 的速度运动，则它们的德布罗意波的波长分别是多大？(中子的质量为1.67×10－27kg ，普朗克常量为6.63×10－34J ·s)答案 4.0×10－10m 6.63×10－35m解析中子的动量为p 1＝m 1v 子弹的动量为p 2＝m 2v据λ＝hp知中子和子弹的德布罗意波长分别为λ1＝h p 1，λ2＝hp 2联立以上各式解得λ1＝h m 1v ，λ2＝hm 2v将m 1＝1.67×10－27 kg ，v ＝103 m/s h ＝6.63×10－34 J ·s ， m 2＝1.0×10－2kg 代入上面两式可解得λ1＝4.0×10－10 m ，λ2＝6.63×10－35 m三、对概率波的理解1．光子既具有粒子性，又具有波动性．光子在和其他物质作用的过程中(如光电效应和康普顿效应)显示出粒子性，光在传播过程中显示出波动性．在光的传播过程中，光子在空间各点毁灭的可能性的大小(概率)由波动性起主导作用，因此光波为概率波．2．大量光子产生的效果表现出波动性，个别光子产生的效果表现出粒子性；对于不同频率的光，频率低、波长长的光，波动性特征明显；而频率高、波长短的光，粒子性特征明显．3．对于电子、实物粒子等其他微观粒子，同样具有波粒二象性，所以与它们相联系的德布罗意波也是概率波．例4 物理学家做了一个好玩的双缝干涉试验：在光屏处放上照相用的底片，若减弱光的强度，使光子只能一个一个地通过狭缝．试验结果表明，假如曝光时间不太长，底片上只能毁灭一些不规章的点子；假如曝光时间足够长，底片上就会毁灭规章的干涉条纹．对这个试验结果有下列生疏，其中正确的是( ) A ．曝光时间不太长时，底片上只能毁灭一些不规章的点子，表现出光的波动性 B ．单个光子通过双缝后的落点可以猜想 C ．只有大量光子的行为才能表现出光的粒子性 D ．干涉条纹中光明的部分是光子到达机会较多的地方答案 D解析曝光时间不太长时，底片上只能毁灭一些不规章的点子，表现出光的粒子性，选项A 错误；单个光子通过双缝后的落点不行以猜想，在某一位置毁灭的概率受波动规律支配，选项B 错误；大量光子的行为才能表现出光的波动性，干涉条纹中光明的部分是光子到达机会较多的地方，故选项C 错误、D 正确．借题发挥解答本类型题时应把握以下两点： (1)光具有波粒二象性，光波是一种概率波．(2)单个光子的落点位置是不确定的，大量光子运动时落点位置听从概率分布规律．四、对不确定性关系的理解1．单缝衍射现象中，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的，即通过挡板前粒子的位置具有不确定性． 2．单缝衍射现象中，粒子通过狭缝后，在垂直原来运动方向的动量是不确定的，即通过挡板后粒子的动量具有不确定性．3．微观粒子运动的位置不确定量Δx 和动量的不确定量Δp 的关系式为Δx Δp ≥h4π，其中h 是普朗克常量，这个关系式叫不确定性关系．4．不确定性关系告知我们，假如要更精确地确定粒子的位置(即Δx 更小)，那么动量的测量确定会更不精确 (即Δp 更大)，也就是说，不行能同时精确地知道粒子的位置和动量，也不行能用“轨迹”来描述粒子的运动．例5 在单缝衍射试验中，若单缝宽度是1.0×10－9m ，那么光子经过单缝发生衍射，动量不确定量是多少？答案 Δp ≥5.3×10－26kg ·m/s解析由题意可知光子位置的不确定量Δx ＝1.0×10－9 m ，解答本题需利用不确定性关系．单缝宽度是光子经过狭缝的位置不确定量，即Δx ＝1.0×10－9 m ，由Δx Δp ≥h4π有：1.0×10－9 m ·Δp ≥6.63×10－34 J ·s 4π.得Δp ≥5.3×10－26 kg ·m/s.对光的波粒二象性的理解1．关于光的波粒二象性，正确的说法是( ) A ．光的频率越高，光子的能量越大，粒子性越显著 B ．光的波长越长，光的能量越小，波动性越显著C ．频率高的光子不具有波动性，波长较长的光子不具有粒子性D ．个别光子产生的效果往往显示粒子性，大量光子产生的效果往往显示波动性答案 ABD解析光具有波粒二象性，但在不同状况下表现不同，频率越高，波长越短，粒子性越强，反之波动性明显，个别光子易显示粒子性，大量光子显示波动性，故选项A 、B 、D 正确．对物质波的理解2．一颗质量为10 g 的子弹，以200 m/s 的速度运动着，则由德布罗意理论计算，要使这颗子弹发生明显的衍射现象，那么障碍物的尺寸为( ) A ．3.0×10－10m B ．1.8×10－11mC ．3.0×10－34m D ．无法确定答案 C解析 λ＝h p ＝hm v ＝ 6.63×10－3410×10－3×200 m ≈3.32×10－34 m ，故能发生明显衍射的障碍物尺寸应为选项C.3．下列说法中正确的是( ) A ．物质波属于机械波B ．只有像电子、质子、中子这样的微观粒子才具有波动性C ．德布罗意认为任何一个运动的物体，小到电子、质子、中子，大到行星、太阳都有一种波与之相对应，这种波叫物质波D ．宏观物体运动时，看不到它的衍射和干涉现象，所以宏观物体运动时不具有波动性答案 C解析任何一个运动的物体都具有波动性，但由于宏观物体的德布罗意波波长很短，所以很难看到它的衍射和干涉现象，所以C 项对，B 、D 项错；物质波不同于宏观意义上的波，故A 项错．对概率波的理解4．在单缝衍射试验中，中心亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上．假设现在只让一个光子能通过单缝，那么该光子()A．确定落在中心亮纹处B．确定落在亮纹处C．可能落在暗纹处D．落在中心亮纹处的可能性最大答案CD解析依据光的概率波的概念，对于一个光子通过单缝落在何处，是不行确定的，但概率最大的是落在中心亮纹处，可达95%以上．当然也可能落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，只不过落在暗处的概率很小而已，故只有C、D正确．对不确定性关系的理解5．依据不确定性关系ΔxΔp≥h4π，推断下列说法正确的是()A．实行方法提高测量Δx精度时，Δp的精度下降B．实行方法提高测量Δx精度时，Δp的精度上升C．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关D．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关答案AD解析不确定关系表明，无论接受什么方法试图确定位置坐标和相应动量中的一个，必定引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不行能逾越不确定关系所给出的限度．故A、D正确．(时间：60分钟)题组一对光的波粒二象性的理解1．(2022·门头沟高二检测)说明光具有粒子性的现象是() A．光电效应B．光的干涉C．光的衍射D．康普顿效应答案AD2．人类对光的本性的生疏经受了曲折的过程．下列关于光的本性的陈述符合科学规律或历史事实的是() A．牛顿的“微粒说”与爱因斯坦的“光子说”本质上是一样的B．光的双缝干涉试验显示了光具有波动性C．麦克斯韦预言了光是一种电磁波D．光具有波粒二象性答案BCD解析牛顿的“微粒说”认为光是一种物质微粒，爱因斯坦的“光子说”认为光是一份一份不连续的能量，明显A错；干涉、衍射是波的特性，光能发生干涉说明光具有波动性，B正确；麦克斯韦依据光的传播不需要介质，以及电磁波在真空中的传播速度与光速近似相等认为光是一种电磁波，后来赫兹用试验证明白光的电磁说，C正确；光具有波动性与粒子性，称为光的波粒二象性，D正确．3．关于光的波动性与粒子性，以下说法正确的是()A．爱因斯坦的光子说否定了光的电磁说B．光电效应现象说明白光的粒子性C．光波不同于机械波，它是一种概率波D．光的波动性和粒子性是相互冲突的，无法统一答案BC解析爱因斯坦的光子说并没有否定电磁说，只是在确定条件下光是体现粒子性的，A错；光电效应说明光具有粒子性，说明光的能量是一份一份的，B对；光波在少量的状况下体现粒子性，大量的状况下体现波动性，所以C对；光的波动性和粒子性不是孤立的，而是有机的统一体，D错．题组二对物质波的理解4．下列物理试验中，能说明粒子具有波动性的是()A．通过争辩金属的遏止电压与入射光频率的关系，证明白爱因斯坦光电效应方程的正确性B．通过测试多种物质对X射线的散射，发觉散射射线中有波长变大的成分C．通过电子双缝试验，发觉电子的干涉现象D ．利用晶体做电子束衍射试验，证明白电子的波动性答案 CD解析干涉和衍射是波特有的现象，由于X 射线本身就是一种波，而不是实物粒子，故X 射线散射中有波长变大的成分，并不能证明物质波理论的正确性，即A 、B 不能说明粒子的波动性，证明粒子的波动性只能是C 、D.5．下列关于物质波的说法中正确的是( )A ．实物粒子具有粒子性，在任何条件下都不行能表现出波动性B ．宏观物体不存在对应波的波长C ．电子在任何条件下都能表现出波动性D ．微观粒子在确定条件下能表现出波动性答案 D6．下列说法中正确的是( ) A ．质量大的物体，其德布罗意波长短 B ．速度大的物体，其德布罗意波长短 C ．动量大的物体，其德布罗意波长短 D ．动能大的物体，其德布罗意波长短答案 C解析由物质波的波长λ＝hp ，得其只与物体的动量有关，动量越大其波长越短．7．利用金属晶格(大小约10－10m)作为障碍物观看电子的衍射图样，方法是使电子通过电场加速后，让电子束照射到金属晶格上，从而得到电子的衍射图样．已知电子质量为m ，电荷量为e ，初速度为0，加速电压为U ，普郎克常量为h ，则下列说法中正确的是( ) A ．该试验说明白电子具有波动性B ．试验中电子束的德布罗意波长为λ＝h2meUC ．加速电压U 越大，电子的衍射现象越明显D ．若用相同动能的质子替代电子，衍射现象将更加明显答案 AB解析得到电子的衍射图样，说明电子具有波动性，A 正确；由德布罗意波长公式λ＝hp而动量p ＝2mE k ＝2meU 两式联立得λ＝h2meU，B 正确；由公式λ＝h2meU可知，加速电压越大，电子的波长越小，衍射现象越不明显；用相同动能的质子替代电子，质子的波长小，其衍射现象不如电子的衍射现象明显．故C 、D 错误．题组三对概率波的理解8．下列各种波是概率波的是( ) A ．声波 B ．无线电波 C ．光波 D ．物质波答案 CD解析声波是机械波，A 错；电磁波是一种能量波，B 错；由概率波的概念和光波以及物质波的特点分析可以得知光波和物质波均为概率波，故C 、D 正确．9．在做双缝干涉试验时，发觉100个光子中有96个通过双缝后打到了观看屏上的b 处，则b 处是( ) A ．亮纹 B ．暗纹C ．既有可能是亮纹也有可能是暗纹D ．以上各种状况均有可能答案 A解析由光子按波的概率分布的特点去推断，由于大部分光子都落在b 点，故b 处确定是亮纹，选项A 正确． 10．在验证光的波粒二象性的试验中，下列说法正确的是( )A ．使光子一个一个地通过单缝，假如时间足够长，底片上会毁灭衍射图样B ．单个光子通过单缝后，底片上会毁灭完整的衍射图样C ．光子通过单缝的运动路线像水波一样起伏D ．单个光子通过单缝后打在底片上的状况呈现出随机性，大量光子通过单缝后打在底片上的状况呈现出规律性答案 AD11．关于电子的运动规律，以下说法正确的是( )A．电子假如表现出粒子性，则无法用轨迹来描述它们的运动，其运动遵循牛顿运动定律B．电子假如表现出粒子性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其运动遵循牛顿运动定律C．电子假如表现出波动性，则无法用轨迹来描述它们的运动，空间分布的概率遵循波动规律D．电子假如表现出波动性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其运动遵循牛顿运动定律答案 C解析由于电子是概率波，少量电子表现出粒子性，无法用轨迹描述其运动，也不遵从牛顿运动定律，所以选项A、B错误；大量电子表现出波动性，无法用轨迹描述其运动，但可确定电子在某点四周毁灭的概率且遵循波动规律，选项C正确，D错误．题组四对不确定性关系的理解12．由不确定性关系可以得出的结论是()A．假如动量的不确定范围越小，则与它对应位置坐标的不确定范围就越大B．假如位置坐标的不确定范围越小，则动量的不确定范围就越大C．动量和位置坐标的不确定范围之间的关系不是反比例函数D．动量和位置坐标的不确定范围之间有唯一的确定关系答案ABC13．关于不确定性关系ΔxΔp≥h4π有以下几种理解，其中正确的是() A．微观粒子的动量不行确定B．微观粒子的位置坐标不行确定C．微观粒子的动量和位置不行能同时确定D．不确定性关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于其他宏观粒子答案CD解析本题主要考查对不确定性关系ΔxΔp≥h4π的理解，不确定性关系表示确定位置、动量的精度相互制约，此长彼消，当粒子的位置不确定性小时，粒子动量的不确定性大；反之亦然．故不能同时精确确定粒子的位置和动量．不确定性关系是自然界中的普遍规律，对微观世界的影响显著，对宏观世界的影响可忽视，故C、D正确．14．已知h4π＝5.3×10－35J·s，试求下列状况中速度测定的不确定量，并依据计算结果，争辩在宏观和微观世界中进行测量的不同状况．(1)一个球的质量m＝1.0 kg，测定其位置的不确定量为10－6m；(2)电子的质量m e＝9.1×10－31kg，测定其位置的不确定量为10－10 m.答案见解析解析(1)球的速度测定的不确定量Δv≥h4πmΔx＝5.3×10－351.0×10－6m/s＝5.3×10－29m/s这个速度不确定量在宏观世界中微不足道，可认为球的速度是确定的，其运动遵从经典物理学理论．(2)原子中电子的速度测定的不确定量Δv≥h4πm eΔx＝5.3×10－359.1×10－31×10－10m/s＝5.8×105 m/s这个速度不确定量不行忽视，不能认为原子中的电子具有确定的速度，其运动不能用经典物理学理论处理．。

九年级概率知识点总结及题型汇总

概率知识点总结及题型汇总一、确定事件：包括必然事件和不可能事件1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。

必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。

2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。

不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。

这是不可能事件。

3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0二、随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。

三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破；②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达．解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①②三、概率1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A) ．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。

（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = mn．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。

（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。

（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．3、求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；(3)运用公式求事件A的概率：P(A) = mn．5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件等可能性事件的两种特征：（1）出现的结果有限多个; （2）各结果发生的可能性相等；例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图3中的第一个图，指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。

3-5概率论

例1已知两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, 得
X 1 3
Y
2 0.18 0.42
Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z ),
Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
补充题
例1 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且其分布密度分别为 e y , y 0, 1, 0 x 1, f X ( x) fY ( y ) 0, 其它. 0, 其它. 求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度. 解由于 X 与Y 相互独立,所以 ( X,Y ) 的分布密度函数为 e y , 0 x 1, y 0, f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 其它. 0,
Fmin ( z ) 1 [1 FX1 ( z )][1 FX 2 ( z )][1 FX n ( z )]. 若 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立且具有相同的分布函数
F ( x) ,则
Fmax ( z ) [ F ( z )] , Fmin ( z ) 1 [1 F ( z )] .
则有 Fmax ( z ) P{ M z } P{ X z ,Y z }
P{ X z }P{Y z } FX ( z )FY ( z ).
Fmin ( z ) P{ N z } 1 P{ N z }

人教版高中物理选修3-5知识点汇总_一册全_

人教版高中物理选修3—5知识点总结第十六章动量守恒定律动16.1实验探究碰撞中的不变量碰撞的特点:1、相互作用时间极短。

2.相互作用力极大，即内力远大于外力。

3、速度都发生变化。

一、实验的基本思路1、一维碰撞：我们只研究最简单的情况——两个物体碰撞前沿同一直线运动，碰撞后仍沿同一直线运动。

2、猜想与假设：一个物体的质量与它的速度的乘积是不是不变量?3、碰撞可能有很多情形。

例如两个物体可能碰后分开，也可能粘在一起不再分开。

二、需要考虑的问题①如何保证碰撞是一维的？即两个物体在碰撞之前沿同一直线运动，碰撞之后还沿同一直线运动。

在固定的轨道上做实验——气垫导轨。

②怎样测量物体的质？用天平测量。

③怎样测量两个物体在磁撞前后的速度?速度的测量：可以充分利用所学的运动学知识，如利用匀速运动、平抛运动，并借助于斜槽、气垫导轨、打点计时器和纸带等来达到实验目的和控制实验条件。

④数据处理：列表。

参考案例一气垫导轨和光电门研究碰撞。

参考案例二利用单摆研究碰撞参考案例三利用打点计时器研究碰撞参考案例四利用平抛运动研究碰撞研究能量损失较小的碰撞时，可以选用参考案例二;研究碰撞后两个物体结合在一起的情况时，可以选用参考案例三。

参考案例四测出小球落点的水平距离可根据平抛运动的规律计算出小球的水平初速度。

实验设计思想巧妙之处在于用长度测量代替速度测量。

16.2动量定理一、动量1、定义：把物体的质量m和速度ʋ的乘积叫做物体的动量p，用公式表示为p = mʋ2、单位：在国际单位制中，动量的单位是千克米每秒，符号是kg•m/s3、动量是矢量：方向由速度方向决定，动量的方向与该时刻速度的方向相同。

4、注意：物体的动量，总是指物体在某一时刻的动量，即具有瞬时性，故在计算时相应的速度应取这一时刻的瞬时速度。

5、动量的变∆p①某段运动过程（或时间间隔）末状态的动量p'，跟初状态的动量p的矢量差，称为动量的变化（或动量的增量），即p = p' - p。

人教版高中选修3-5 第17章-第4节-概率波同步测试(含解析)

人教版高中选修3-5-第17章-第4节-概率波同步测试一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.关于不确定性关系，下列说法中正确的是（）A. 不能精确地测定微观粒子的动量B. 不能同时精确地测定微观粒子的位置和动量C. 不能精确地测定宏观物体的动量D. 不能同时精确地测定宏观物体的位置和动量2.下列说法正确的是（）A. 光波是概率波,物质波是机械波B. 微观粒子的动量和位置的不确定量同时变大,同时变小C. 普朗克的量子化假设是为了解释光电效应而提出的D. 动量相等的质子和电子,它们的德布罗意波长也相等3.关于光的波粒二象性，下列说法错误的是( )A. 光电效应和康普顿效应说明光具有粒子性B. 光的波粒二象性应理解为在某种情景下光的波动性表现明显,在另外某种情景下,光的粒子性表现明显C. 光波是一种概率波,光子在空间某处出现的概率可以通过波动规律来确定D. 光具有波粒二象性是指：既可以把光看成宏观概念上的波,也可以看成微观概念上的粒子4.显微镜观看细微结构时，由于受到衍射现象的影响而观察不清，因此观察越细小的结构，就要求波长越短，波动性越弱．在加速电压值相同的情况下，电子显微镜与质子显微镜的分辨本领，下列判定正确的是( )A. 电子显微镜分辨本领较强B. 质子显微镜分辨本领较强C. 两种显微镜分辨本领相同D. 两种显微镜分辨本领无法比较5.关于电子云，下列说法正确的是( )A. 电子云是真实存在的实体B. 电子云周围的小黑点就是电子的真实位置C. 电子云上的小黑点表示的是电子的概率分布D. 电子云说明电子在绕原子核运动时有固定轨道6.1927年戴维孙和革末完成了电子衍射实验，该实验是荣获诺贝尔奖的重大近代物理实验之一．如图所示的是该实验装置的简化图．下列说法不正确的是( )A. 亮条纹是电子到达概率大的地方B. 该实验说明物质波理论是正确的C. 该实验说明了光子具有波动性D. 该实验说明实物粒子具有波动性7.下列说法错误的是（）A. 光波是一种概率波B. 光波是一种电磁波C. 光具有波粒二象性D. 微观粒子具有波动性,宏观物体没有波动性8.任何一个运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波与之对应，波长，式中h为普朗克常量，p为运动物体的动量，人们把这种波叫做德布罗意波．现有一德布罗意波波长为λ1的中子和一德布罗意波波长为λ2的氘核相向对撞后结合成一个氚核，该氚核的德布罗意波波长为A. B. C. D.9.关于物质波，下列说法正确的是（）A. 物质波就是光波B. 物质波是一种概率波C. 动量越大的粒子波动性越明显D. 爱因斯坦首先提出了物质波的假说10.1927年戴维逊和革末完成了电子衍射实验，该实验是荣获诺贝尔奖的重大近代物理实验之一．如图所示的是该实验装置的简化图．下列说法不正确的是（）A. 亮条纹是电子到达概率大的地方B. 该实验说明物质波理论是正确的C. 该实验再次说明光子具有波动性D. 该实验说明实物粒子具有波动性二、填空题（本大题共2小题，共8.0分）11.概率波（1）光波是一种______，光子的行为服从______规律。

信号检测估计理论与识别技术习题参考答案

2-1 1[()]2E x t =，1212(,)3X t t R t t = 2-2 略。

2-3111[()]sin cos 333E x t t t=++12112212121111111(,)sin cos sin cos sin()cos()9999999X R t t t t t t t t t t =+++++++-2-4 [()]0E X t =，20(,)cos R t t w τστ+=2-5 [()]0E X t =，20(,)cos 2a R t t w ττ+= 2-6 略。

2-7 [()]0E X t =，10(,)200R t t τττ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩2-8 1210()()()2cos(10)(21)X X X R R R eτττττ-=+=++，2[()](0)5X E X t R ==，2(0)2X X R σ==2-9 11()()cos 22jw jw X X o G w R e d w e d τττττ∞∞---∞-∞==⎰⎰00()()()22X P w w w w w ππδδ=-++2-10 00()(()())2Y X X aG w G w w G w w =-++2-11 ())()X R u ττ=+-3-1 二元信号统计检测的贝叶斯平均代价C 为110000000100100110111111()()=()()()() ()()()()ij i i j j i C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H ===+++∑∑ 利用01()1()P H P H =-1101()1()P H H P H H =- 0010()1()P H H P H H =-得平均代价C 为[][]0011010110011011110100101110111000111011000101()1()1()() ()()()1() ()() ()()()()()()C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c c c P H H P H c c c c P H H c c P H H =-⎡-⎤+-+⎣⎦+⎡-⎤⎣⎦=+-+⎡-+---⎤⎣⎦3-2 1）由于各假设j H 的先验概率()(0,1,2)j P H j =相等，所以采用最大似然准则。

概率论与数理统计3-5 随机变量的数字特征切比雪夫不等式

没有线性关系，但可能存在其它的函数关系.
例8 设R.V. U ( , ),又 sin, cos.
试求与的相关系数.
【解】
cov( ,) 0. D D
注4 如果( ,) :
N
(a1,
a2
,
12
,

2 2
,

),
那么可求出
.于是 0, ,不相关;由前面推知： 0,
cov(,) 0.
按协方差的性质：当、独立，则cov( ,) 0, 从而、不相关.直观上， ,独立意味着、之间
没有任何关系，自然也没有线性关系.换言之：两个
变量、独立,则它们必定不相关；反之， 0,两 R.V .、不相关，但与未必独立.事实上，、
30 40合并为：ki ¡ 有 E(k11 k22 L knn ) k1E1 k2E2 L knEn.
50 当1,2 ,L ,n相互独立时，E(12 L n ) E1 E2 L En. 60 0,则E 0,由此，如果1 2，那么E1 E2.
引进下面的定义：
定义设( ,)是一个二维R.V .，且
E ( E ) ( E) . D D
则称 cov( ,) E( E )( E )
E[( E ) ( E)] cov( ,) .
D D
D D
§3.5 随机变量的数字特征切比雪夫不等式
一、连续型R.V .的数学期望我们已经讨论了离散型R.V .的数学期望：

E @ xiP( xi ). i 1
试问：连续型R.V .的数学期望是什么？
当然要把连续型R.V . 进行离散化.
设连续型R.V.的P.d. f 为P(x),取分点

天津大学概率论与数理统计-3-5

Z 所有可能的取值是 2，3，···，11，12 。并且，
X\Y 1 2 3
4
56
1
23 4
5
67
2
34 5
6
78
3
45 6
7
89
4
56 7
8
9 10
5
67
8
9
10 11
6
78
9
10 11 12
由于 X、Y 的联合分布律是
P { X = i ,Y = j } = 1/36 ， 1 ≤ i ,j ≤ 6
FZ (z) = P { g (X ,Y) ≤ z }
p(x, y)dxdy g(x,y)z
计算两个随机变量函数分布的关键问题：这个二重积分能够被计算出来，或者是能够
被转化为二次积分的形式。
(1)和的分布
y
z ¡, F Z ( z ) P Z z P X Y z
x y z
□
分布的“可加性”
1. 正态分布对两个参数都具有可加性
如果 X、Y 相互独立，并且
X ~ N (1 ,12 )， Y ~ N (2 ,22 ) ，则 X + Y 服从正态分布 N ( 1 + 2 ,12 + 22 ) 。
更一般的，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
一般地，如果随机变量X1, X2， ...,Xn相互独立，且
2.5 n
2020/4/29
30
2. 二项分布对于参数 n 具有可加性
如果 X、Y 相互独立，并且 X ~ B (n ,p )， Y ~ B (m ,p ) ，
则 X + Y 服从二项分布 B ( m + n ,p ) 。二项分布可以表示成两点分布随机变量的和

《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布

FP( X i z1 P n } 设 Xi ~ = Xi {x),≤=},2,{Y,≤,z且 X1 , X2 ,, Xn 相互独立
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]

概率论第二章随机变量与概率分布

(2)P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类通常分为两类：
所有取值可以逐个一一列举
离散型随机变量
随机变量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)，如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx

概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式

3
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
解设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，

概率c上3下5的计算方法

概率c上3下5的计算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊概率 c 上 3 下 5 是咋算的哈！
咱先打个比方，就好比你面前有五个不同口味的糖果，你要从中挑出三颗来吃，那你想想，这有多少种不同的挑法呢？这其实就和概率 c 上 3 下 5 有点关系啦！
计算这个呀，咱得用个公式，可别被公式给吓住喽！其实它就像一把钥匙，能帮咱打开这个神秘的概率大门。

具体来说呢，就是用从 5 开始往下乘，乘到 3 为止，这一串数字的乘积，再除以从 1 开始往上乘到 3 为止的乘积。

听起来是不是有点晕乎？别急别急，咱慢慢说。

比如说，5 乘 4 乘 3，这就是分子啦，然后 1 乘 2 乘 3 就是分母。

这么一除，答案不就出来啦！你说神奇不神奇？
这就好像你在走迷宫，找对了路，一下子就走出去啦！而且呀，这种计算方法在好多地方都能用得上呢！比如抽奖的时候，你想想，那么多奖品，你有几种可能抽到自己心仪的那个呀？
再比如玩游戏，从一堆卡片里挑几张，这里面的可能性有多少，你也能通过这个方法算出来呀！是不是突然觉得这概率计算还挺有意思的？
哎呀，咱生活中好多事情不就都和概率有关嘛！你出门会不会遇到熟人，你买东西会不会抽到奖，甚至你今天会不会心情特别好，这都有概率在里面呢！
所以说呀，学会了这个概率 c 上 3 下 5 的计算方法，就像多了一把探索世界的小钥匙，能让你对好多事情都多了一份了解呢！以后再遇到类似的问题，你就可以自己算算啦，看看有多大的可能性会发生，多酷呀！
总之呢，概率这玩意儿，看着复杂，其实只要咱用心去琢磨，就会发现它也没那么难嘛！大家都好好去研究研究，说不定还能发现更多有趣的概率问题呢！让我们一起在概率的海洋里畅游吧！。

概率的定义及其运算(精)

2.概率的定义及其运算除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次试验中都有发生的可能性，人们常常通过实际观察来确定某个事件发生的可能性的大小。

例如遇到某种天气，人们常会说“今天十之八九要下雨”，这个“十之八九”就是表示“今天下雨”这一事件发生的可能性的大小。

这是人们通过大量实践所得出得一种统计规律，即已经历过次这种天气，下雨的天数在这几天中所占比例大约是到。

一般地，人们希望用一个适当的数字来表示事件在一次试验中发生的可能性的大小。

这是就下雨所讨论的随机事件发生的频率与概率。

3.频率定义 1.1设在相同的条件下，进行了次试验。

若随机事件在这次试验中发生了次，则比值称为事件发生的频率，记为。

频率具有如下性质：1.对任一事件, 有；2.对必然事件, 有3.若事件互不相容，则一般地, 若事件两两互不相容, 则事件发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生的越频繁，即A在一次试验中发生的可能性越大。

但是，频率具有随机波动性，即使同样进行了次试验，却会不同。

但这种波动不是杂乱无章，在第五章的大数定律中，我们将看到若增加试验次数，则随机波动性将会减小。

随着逐渐增大，逐渐稳定于某个常数。

这样常数P(A)客观上反映了事件A发生的可能性的大小。

历史上著名的统计学家浦丰和皮尔逊曾进行过大量值硬币的试验，所的结果如下：可见出现正面的频率总在0.5附近波动。

随着试验次数的增加，它逐渐稳定于0.5。

这个0.5就能反映正面出现的可能性的大小。

每个事件都由这样一个常数与之对应。

这就是说频率具有稳定性。

因而可将事件A的频率在无限增大时所逐渐趋向稳定的那个常数P(A)定义为事件A发生的概率。

这就是概率的统计定义。

1.2.2 概率的统计定义定义 1.2 设随机事件A在次重复试验汇总发生的次数为，若当试验次数很大时, 频率稳定地在某一数值的附近摆动, 且随着试验次数的增加, 其摆动的幅度越来越小, 则称数为随机事件A的概率, 记为。

概率论与数理统计(第3-5章)

2y1
y 2
y 1时，
F(x,y) 4dxdy 4S三角形1
三角形
整理课件
所以，所求的分布函数为
0,
(x 1 或y 0) 2
2
y
2
x
y 2
1
,
( 1 x 0, 0 y 2 x 1) 2
F
(x,
y)
4
x
1 2
2
,
( 1 x 0,2x 1 y) 2
2
y
f(x,y) 1 8(6xy), 0x2,2y4
0,
其他
求概率 PXY4X1
解答 PXY4X1
4
PXY4,X1
2
PX1
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
7 48 7
2
dx
1
4 1 (6 x 28
y)整d理y课件
38
18
12
二维均匀分布
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
D
1
dx
31(6xy)dy
0 28
0 11 8(6yxy1 2y2)3 2dx8 3
2 12
整理课件
续解 ……….
PXY3f(x,y)dxdy
D
1
dx
3x1(6xy)dy
0 28
011 8(6yxy1 2y2)3 2xdx
5 24
整理课件
x+y=3
思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
x2
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)

2019-2020学年高中物理第十七章波粒二象性 4+5 不确定性关系课件新人教版选修3-5

3．(多选)根据不确定性关系ΔxΔp≥4hπ，判断下列说法正确的是( ) A．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度下降 B．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度上升 C．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关 D．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关
解析：不确定性关系表明，无论采用什么方法试图确定位置坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定性关系所给出的限度．故A、D正确．答案：AD
说明：物质波是一种概率波，但不能将实物粒子的波动性等同于宏观的机械波，更不能理解为粒子做曲线运动．
[判断辨析] (1)光子通过狭缝后落在屏上的位置是可以确定的．( × ) (2)光子通过狭缝后落在屏上明纹处的概率大些．( √ ) (3)电子通过狭缝后运动的轨迹是确定的．( × )
三、不确定性关系
[特别提醒] (1)在双缝干涉和单缝衍射的暗条纹处也有光子到达，只是光子数量“特别少”，很难呈现出亮度． (2)要理解统计规律，对统计规律的认识是理解概率波的前提．
[典例1] (多选)物理学家做了一个有趣的实验：在双缝干涉实验中，在光屏处放上照相底片，若减弱光的强度，使光子只能一个一个地通过狭缝，实验结果表明，如果曝光时间不太长，底片上只出现一些不规则的点子；如果曝光时间足够长，底片上就出现了规则的干涉条纹．对这个实验结果有下列认识，其中正确的是( ) A．曝光时间不长时，光子的能量太小，底片上的条纹看不清楚，故出现不规则的点子 B．单个光子的运动没有确定的轨道 C．干涉条纹中明亮的部分是光子到达机会较多的地方 D．只有大量光子的行为才能表现出波动性
[特别提醒] (1)不确定性关系不是说微观粒子的坐标测不准，也不是说微观粒子的动量测不准，而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准． (2)普朗克常量是不确定关系中的重要角色，如果h的值可忽略不计，这时物体的位置、动量可同时有确定的值，如果h不能忽略，这时必须考虑微粒的波粒二象性．普朗克常量成为划分经典物理学和量子力学的一个界线．

5.频率与概率-【新】人教B版高中数学必修第二册PPT全文课件

[跟进训练] 1．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物 10 元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．
转动转盘的次数 n
100 150 200 500 800 1 000
落在“铅笔”区域的次数 m 68 111 136 345 564 701
A [取到号码为奇数的频率是10＋8＋160＋0 18＋11＝0.53.]
5.频率与概率-【新】人教B版高中数学必修第二册P PT全文课件【完美课件】
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4．(一题两空)在一次掷硬币试验中，掷 30 000 次，其中有 14 984 次正面朝上，则出现正面朝上的频率约是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________．
合作
探
究
释
疑
难
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对概率的理解 [探究问题] 1．随机事件 A 的概率 P(A)反映了什么？ [提示] 反映了事件 A 发生的可能性的大小． 2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？ [提示] 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．
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2．概率与频率之间的联系概率是可以通过_频率 ____来“测量”的．概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小．

新教材高中数学第五章统计与概率3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册课件(共13张PPT)

问题 1.如果乙要连胜四局,比赛应如何进行? 提示:若要乙连胜四局,则对阵情况是第一局:甲对乙,乙胜;第二局:乙对丙,乙胜;第三局:乙对甲,乙胜;第四局:乙对丙,乙胜. 2.要求出乙连胜四局时的概率需要用到哪些概率知识?如何求? 提示:应用事件的独立性知识,按照每局乙胜的情况分析,所求概率为P=(1-0.4)2×0. 52=0.32=0.09.
求复杂事件的概率一般可分三步进行: (1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们; (2)理清各事件之间的关系,用事件间的“并”“交”恰当地表示所求事件; (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算. 注意:当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
∩F)+P( D∩E∩F)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.55. 解法二:“红队中至少有两名队员获胜”与“红队中最多有一名队员获胜”为对立事件,而红队都不获胜的事件为 D∩ E ∩ F ,且P( D∩ E ∩ F )=0.4×0.5×0.5=0.1. 则红队中至少有两名队员获胜的概率P2=1-P1-P( D∩ E ∩ F )=1-0.35-0.1=0.55. 方法总结处理事件的独立性问题主要用直接法和间接法.当遇到“至少”“至多”问题时可以考虑间接法.
解析设甲胜A为事件D,乙胜B为事件E,丙胜C为事件F,则 D, E , F 分别表示A胜甲、B胜乙、C胜丙. 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 所以由对立事件的概率公式知P( D)=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. (1)红队中有且只有一名队员获胜的事件有D∩ E ∩ F , D∩E∩ F , D∩ E ∩F,以上 3个事件彼此互斥且相互独立. 所以红队中有且只有一名队员获胜的概率P1=P[(D∩ E ∩ F )∪( D∩E∩ F )∪( D ∩ E ∩F)]=P(D∩ E ∩ F )+P( D∩E∩ F )+P( D∩ E ∩F)=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.5×0.5=0.35. (2)解法一:红队中至少有两名队员获胜的事件有D∩E∩F,D∩E∩ F ,D∩ E ∩F, D ∩E∩F,由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队中至少有两名队员获胜的概率P2=P(D∩E∩F)+P(D∩E∩ F )+P(D∩ E