最新八年级下册数学--二次根式知识点整理
八年级数学下册《二次根式》知识点归纳和题型归类素材 新人教版(2021-2022学年)
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二。
知识要点梳理ﻫ知识点一、二次根式的主要性质:ﻫ１。
；2.;３.;ﻫ4。
积的算术平方根的性质:；５. 商的算术平方根的性质：。
ﻫ6.若,则.知识点二、二次根式的运算１.二次根式的乘除运算ﻫ（１)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号．(2) 注意每一步运算的算理；(３）乘法公式的推广:（４）注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.2.二次根式的加减运算需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。
３．二次根式的混合运算(1)ﻬ明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减,有括号先算括号里;(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数,不能写成带分数或小数．4。
简化二次根式的被开方数，主要有两个途径:错误!因式的内移:因式内移时，若，则将负号留在根号外.即:．错误!因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论.即：三。
典型题训练一。
利用二次根式的双重非负性(a≥0)，a1。
下列各式中一定是二次根式的是( )。
A 、; B 、；C 、； D 、 2。
ｘ取何值时,下列各式在实数范围内有意义。
(1） (2） （3) （4)（5）（6). (7）若，则x 的取值范围是（８)若,则x 的取值范围是。
3。
若有意义,则m 能取的最小整数值是；是一个正整数,则正整数ｍ的最小值是__＿＿__＿_．4。
当x 为何整数时,有最小整数值,这个最小整数值5，则=＿____＿＿_＿___＿； ,则 ６.设ｍ、n 满足,则= 。
7，求的值．8。
若三角形的三边a 、ｂ、c 满足=0,则第三边ｃ的取值范围是9。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习
D
C
O
A
B
3． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；
么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结 论总是成立的命题。
4、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公 理。
5、定经过证明被确认正确的命题叫做 定理 。 我们把题设、结论正好相 反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做 它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
法。
（定理中 a ， b ， c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若
三角形三边长
a，
b
，
c
满足
2
a
2
c
2
b
，那么以
a，b
，c
为三边的三角形是直角
三角形，但是 b 为斜边）
3、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即
2
a
2
b
2
c
中，
a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
等。
8、命题、定理、证明
1 、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义
包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某
件事情做出判断。
2、命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）
这个句子必须对某件事情做出判断。
3、命题的分类 （按正确、 错误与否分）
（ 3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
CD=1 AB=BD=AD 2
D
为 AB的中点
八年级数学下册《二次根式》知识点+解题技巧+章节测试(含答案)
五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任
八年级数学二次根式基础知识点详解
二次根式是数学中的一种特殊形式的根式表达方式，通常是指在根号下的表达式中含有一个变量的平方。
二次根式在数学中非常重要，涉及到数学中许多的基本概念和应用。
下面将详细介绍八年级数学中与二次根式有关的基础知识点。
一、二次根式的定义二次根式是形如√a的表达式，其中a可以是一个正实数，也可以是一个变量的平方。
当a是正实数时，√a表示使x²=a的非负实数x。
例如，√4=2，√9=3当a是变量的平方时，√a表示使x²=a的非负实数x的情况。
例如，√x²=x，√(x+1)²=x+1二、二次根式的化简与提取1.化简二次根式当二次根式内没有可以约分的因子时，可以使用下列公式进行化简：√(a×b)=√a×√b√(a/b)=√a/√b例如，√12可以化简为√4×√3，其中√4=2，因此√12=2√32.提取二次根式当二次根式内有可以提取的因子时，可以使用下列公式进行提取：√(a×a×b)=a√b√(a×a×a×b)=a²√b例如，√(16×5)可以提取为4√5三、二次根式的运算1.二次根式的加减运算当两个二次根式的根号内的表达式一样时，可以进行加减运算。
例如，√5+√5=2√5，√3-√3=0。
2.二次根式的乘法运算两个二次根式相乘时，将根号内的表达式相乘，并进行化简。
例如，√2×√3=√(2×3)=√63.二次根式的除法运算两个二次根式相除时，将根号内的表达式相除，并进行化简。
例如，√8/√2=√(8/2)=√4=2四、二次根式的应用1.二次根式的几何意义二次根式可以用来表示几何中的长度、面积等概念。
例如，一个边长为a的正方形的对角线长度可以表示为√2×a。
2.二次根式的解方程二次根式可以用来解决一些方程问题。
例如，方程x²+3x+2=0的解可以表示为√1和√23.二次根式的化简与提取在一些运算或应用问题中，需要对二次根式进行化简或提取，以便得到更简洁的表达式或结果。
八年级下册数学二次根式知识点总结
八年级下册数学二次根式知识点总结
一、二次根式的定义。
形如√(a)(a≥ 0)的式子叫做二次根式。
其中，a叫做被开方数。
二、二次根式有意义的条件。
被开方数a≥ 0时，二次根式√(a)有意义。
三、二次根式的性质。
1. √(a^2) = a
当a≥ 0时，√(a^2) = a；当a < 0时，√(a^2) = -a
2. (√(a))^2 = a (a≥ 0)
3. √(ab) = √(a)·√(b) (a≥ 0, b≥ 0)
4. √((a/b)) = (√(a))/(√(b)) (a≥ 0, b > 0)
四、二次根式的运算。
1. 二次根式的乘法：√(a)·√(b) = √(ab) (a≥ 0, b≥ 0)
2. 二次根式的除法：(√(a))/(√(b)) = √((a/b)) (a≥ 0, b > 0)
3. 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式进行合并。
五、最简二次根式。
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
六、同类二次根式。
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和运算法则，同时要熟练掌握化简二次根式的方法，以提高解题的准确性和效率。
八年级数学下册第十六章二次根式总结(重点)超详细(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式总结(重点)超详细单选题1、若a ＝√2﹣1，则a +1a 的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C分析：把a 的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．解：∵a =√2−1，∴a +1a =√2−1+√2−1=√2−1+√2+1=2√2，∵4<8<9， ∴2<2√2<3，∴a +1a 的整数部分是2，故选：C小提示：本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．2、下列计算正确的是（ ）A ．32＝6B ．（﹣25）3＝﹣85C ．（﹣2a 2）2＝2a 4D ．√3+2√3＝3√3答案：D分析：由有理数的乘方运算可判断A ，B ，由积的乘方运算与幂的乘方运算可判断C ，由二次根式的加法运算可判断D ，从而可得答案．解：32=9，故A 不符合题意；(−25)3=−8125, 故B 不符合题意；(−2a 2)2=4a 4, 故C 不符合题意；√3+2√3=3√3, 故D 符合题意；故选D小提示：本题考查的是有理数的乘方运算，积的乘方与幂的乘方运算，二次根式的加法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．3、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4、当x >2时，√(2−x )2= （ ）A ．2−xB ．x −2C ．2+xD ．±(x −2)答案：B分析：根据√a 2=|a |的进行计算即可．∵x ＞2，∴√(2−x )2=|2−x |=x −2，故B 正确．故选：B ．小提示：本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握√a 2=|a |是解题的关键．5、对于无理数√3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）．A ．2√3−3√2B ．√3+√3C ．(√3)3D ．0×√3答案：D分析：分别计算出各选项的结果再进行判断即可．A ．2√3−3√2不能再计算了，是无理数，不符合题意；B ．√3+√3=2√3，是无理数，不符合题意；C ．(√3)3=3√3，是无理数，不符合题意；D ．0×√3=0，是有理数，正确．故选：D ．小提示：此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．6、若式子√m+2(m−1)2有意义，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣2B ．m ＞﹣2且m ≠1C．m ≥﹣2D ．m ≥﹣2且m ≠1答案：D分析：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．由题意可知：{m +2≥0m −1≠0， ∴m≥﹣2且m≠1，故选D ．小提示：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.7、下列计算：(1)(√2)2=2;(2)√(−2)2=2;(3)(−2√3)2=12;(4)(√2+√3)(√2−√3)=−1，其中结果正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D分析：根据二次根式的运算法则即可进行判断．(1)(√2)2=2，正确；(2)√(−2)2=2正确；(3)(−2√3)2=12正确；(4)(√2+√3)(√2−√3)=−1，正确，故选D．小提示：此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质：(√a)2=a；√a2=|a|．8、下列二次根式中，最简二次根式是（）D．√a2A．−√2B．√12C．√15答案：A分析：根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可．解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．故选：A．小提示：本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9、化简2√5−√5×(2−√5)的结果是（）A．5B．−5C．√5D．−√5答案：A分析：先进行二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．解: 2√5−√5×(2−√5)，=2√5−2√5+5，=5．故选择A．小提示：本题考查二次根式乘除加减混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题关键．10、√(−3)2化简后的结果是（）A．√3B．3C．±√3D．±3答案：B试题分析：“√a”表示的是a的算术平方根，“±√a”表示的是a的平方根．√(−3)2=√9=3，故选B．填空题11、实数2﹣√3的倒数是_____．答案：2+√3分析：先根据倒数的定义写出2﹣√3的倒数，再分母有理化即可．解：2−√3的倒数是2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√34−3=2+√3,所以答案是：2+√3．小提示：本题考查实数的倒数，分母有理化．掌握利用平方差公式分母有理化的方法是解题关键．12、我们知道√5是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（√5+a）·b的值是_________．答案：1分析：先根据2＜√5＜3，确定a=2，b=√5-2，代入所求代数式，运用平方差公式计算即可．∵2＜√5＜3，∴a=2，b=√5-2，∴（√5+a）·b=（√5+2）（√5-2）=5-4=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了无理数的估算，无理数整数部分的表示法，平方差公式，正确进行无理数的估算，灵活运用平方差公式是解题的关键．13、若a>√2a+1，化简|a+√2|−√(a+√2+1)2=_____．答案：1分析：先根据a>√2a+1，判断出a<−1−√2，据此可得a+√2<−1,a+√2+1<0，再依据绝对值性质和二次根式的性质化简可得．解：∵a＞√2a+1,∴(1−√2)a>1，则a<1−√2，即a<−1−√2，∴a+√2<−1,a+√2+1<0，原式=−a−√2+a+√2+1=1，所以答案是：1 ．小提示：本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质和解一元一次不等式的步骤．14、计算√(−2)2的结果是_________．答案：2分析：根据二次根式的性质进行化简即可．解：√(−2)2=2．所以答案是：2．小提示：此题主要考查了二次根式的化简，注意：√a2=|a|={a(a＞0）0(a=0)−a(a＜0)．15、计算√5×√15−√12的结果是_______．答案：3√3分析：根据二次根式的运算法则计算即可得出答案．原式=√5×15−2√3=5√3−2√3=3√3，故答案为3√3.小提示：本题考查的是二次根式，比较简单，需要熟练掌握二次根式的运算法则．解答题16、计算：(1)√32−√18−√18；(2)(7+4√3)(7−4√3)−(√3−1)2．答案：(1)34√2 (2)√3−3分析：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类项；（2）利用平方差和完全平方公式计算．（1）原式=4√2−3√2−√24=3√24 （2）原式=49−48−(3−2√3+1)=2√3−3小提示：本题考察了二次根式的混合运算和乘法公式．先把二次根式化为最近二次根式，然后再合并同类项，平方差公式(a −b)(a +b)=a 2−b 2，完全平方公式(a ±b)2=a 2±2ab +b 2，正确化简二次根式和使用乘法公式是解题的关键．17、计算：(1)√100+√−273−2×√14(2)−√(−3)2+√6+|√6−3|答案：(1)6(2)0分析：（1）先计算算术平方根与立方根，再合并即可；（2）先求解算术平方根与绝对值，再合并即可．(1)解：√100+√−273−2×√14=10−3−2×12=10−3−1=6；(2)−√(−3)2+√6+|√6−3|=−3+√6+3−√6=0小提示：本题考查的是化简绝对值，算术平方根与立方根的含义，二次根式的加减运算，掌握以上运算是解本题的关键．18、在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1）√45，（2）√13，（3）√52，（4）√0.5，（5）√145．答案：（1）不是，3√5；（2）不是，√33；（3）是；（4）不是，√22；（5）不是，3√55. 分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．（1）√45=3√5，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．（2）√13=√33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3）√52，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；（4）√0.5=√12=√22，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5）√145=√95=3√55，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 小提示：本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
新人教版八年级数学下册知识点总结归纳 (1)
八年级数学（下册）知识点总结二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．典型例题1．(1). （A ）5-（B ）5或5-（C ）25 （D ）5(2). （A ）3-（B ）3或3-（C ）9（D ）3(3)计算= ※ ．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；(4)实数a ，ba +的化简结果为 ※ ．2. (1)x 的取值范围为（※）.（A ）1x = （B ）1x ≥ （C ）1x > （D ）1x < (2)函数y =x 的取值范围是 ※ ．3．(1)下列各式计算正确的是（※）. （A ）2222-=-（Bab = （C ）)9()4(-⨯-=4-9-⨯ （D ）336=÷(2)下列各式计算正确的是（※）. （A ）12223=-（B）2+= （C ）)9()4(-⨯-=4-9-⨯（D ）336=÷4 (1)（本小题满分6分，各题3分）计算：（1）； （20)a >.(2).（本小题满分6分，各题3分）计算：（1）（2））5（）.（第14题）b ax勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
(完整)人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质
第1讲 二次根式认识、性质第一部分 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二部分 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、下列各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121 （219-（321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)))2302,12203,1,2xx y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y ≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子4x -有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2019，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yxC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
八年级数学下册-第16章 二次根式(教师版)
2023-2024学年人教版数学八年级下册章节知识讲练1.理解二次根式的意义。
2.掌握二次根式的几个运算性质。
重点：掌握二次根式的运算性质难点：掌握运算性质的推导过程知识点01：二次根式的定义【高频考点精讲】形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性知识点02：二次根式的主要性质【高频考点精讲】（1）())0(2≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a （3）)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）)0,0(≥>=b a ab a b 二次根式的性质是根式化简的依据。
知识点03：最简二次根式【高频考点精讲】被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。
最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.53一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•崂山区期末）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．＝4C．（）2＝2D．＝﹣2解：A 、，故A 不符合题意；B 、，故B 不符合题意；C、，故C 符合题意；D、，故D 不符合题意；故选：C ．2．（2分）（2023秋•梅县区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．解：不能合并，故选项A 错误，不符合题意；，故选项B 错误，不符合题意；÷3＝＝，故选项C 错误，不符合题意；，故选项D正确，符合题意；故选：D．3．（2分）（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（）A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，∴5﹣2＜n＜5+2，∴3＜n＜7，∴+|8﹣n|＝|3﹣n|+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n＝5，故选：A．4．（2分）（2023秋•平阴县期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：A．＝3，不符合题意；B．＝2，不符合题意；C．是最简二次根式，符合题意；D．＝，不符合题意；故选：C．5．（2分）（2023秋•射洪市期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．6．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；B．6﹣＝5，所以B选项不符合题意；C．×＝＝，所以C选项符合题意；D．＝|﹣2|＝2，所以D选项不符合题意．故选：C．7．（2分）（2023春•铁西区期中）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（）A．6.5B．3C．2D．4解：＝2，而与最简二次根式能合并成一项，所以2t﹣1＝3，解得t＝2，故选：C．8．（2分）（2023春•沂南县期中）下列运算中，结果正确的是（）A．B．2×＝3C．÷＝D．解：A．＝2，所以A选项不符合题意；B．2×＝2×3＝6，所以B选项不符合题意；C．÷＝＝，所以C选项符合题意；D．3﹣＝2，所以D选项不符合题意；故选：C．9．（2分）（2023春•涵江区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（）A．0B．2C．3D．7解：∵，且是整数，∴7n是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整式的平方的数）∴n的最小值是7．故选：D．10．（2分）（2023春•雄县期中）已知，，求a2﹣b2的值．嘉琪同学的解题步骤如下：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）…①＝…②＝…③＝0…④其中，首先出错的步骤是（）A．①B．②C．③D．④解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝＝．首先出错的步骤是②．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•成华区期末）计算：＝1．解：＝2024﹣2023＝1，故答案为：1．12．（2分）（2023秋•绥化期末）若，那么x+y＝2．解：∵+y2＝0，∴2﹣x＝0，y＝0，∴x＝2，y＝0；故x+y＝2．故答案为：2．13．（2分）（2022秋•思明区校级期末）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝8．解：由题意，得：解得：，∴a +b ＝8．14．（2分）（2023•安徽二模）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x ≤3．解：由题意得，3﹣x ≥0，解得，x ≤3，故答案为：x ≤3．15．（2分）（2023•洪泽区二模）若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x ≥﹣3．解：根据题意得：x +3≥0，解得x ≥﹣3．故答案为：x ≥﹣3．16．（2分）（2023秋•简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为，．解：＝10，＝2，＝，故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．故答案为：，．17．（2分）（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：第1个等式：a 1＝＝﹣1，第2个等式：a 2＝＝，第3个等式：a 3＝＝2﹣，第4个等式：a 4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a 1+a 2+a 3+…+a n ＝﹣1．解：第1个等式：a 1＝＝﹣1，第2个等式：a 2＝＝，第3个等式：a 3＝＝2﹣，第4个等式：a 4＝＝﹣2，…a 1+a 2+a 3+…+a n＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案为：﹣1．18．（2分）（2023•南岗区校级模拟）计算的结果为．解：原式＝3﹣2＝．故答案为：．19．（2分）（2022秋•临猗县期末）已知y ＝﹣﹣1，求x +y ＝2．解：由题意得：，解得：x ＝3，则y ＝﹣1，x +y ＝3﹣1＝2，故答案为：2．20．（2分）（2023春•璧山区校级期中）已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点，如图所示，化简＝﹣b．解：∵a ＜0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0，∴原式＝|a |﹣|c ﹣a |+|b ﹣c |＝﹣a ﹣c +a +c ﹣b ＝﹣b ．故答案为：﹣b ．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•沙坪坝区校级开学）解不等式组或化简计算．（1）；（2）．解：（1），解①得：x＞1，解②得：x≤2，所以不等式组的解集为：1＜x≤2；（2）原式＝＝﹣122．（6分）（2023秋•凌海市期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．23．（8分）（2022秋•永兴县期末）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD 和正方形ECFG 的边长；（2）求阴影部分的面积．解：（1）正方形ABCD 的边长为：BC ＝，正方形ECFG 的边长为：CF ＝；（2）∵BF ＝BC +CF ，BC ＝2，CF ＝4，∴BF ＝6；∴S △BFG ＝GF •BF ＝24；又S △ABD ＝AB •AD ＝4，∴S 阴影＝S 正方形ABCD +S 正方形ECFG ﹣S △BFG ﹣S △ABD ＝8+32﹣24﹣4，＝12．24．（8分）（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝﹣；②＝+．（2）应用：化简．（3）拓展：＝．（用含n 的式子表示，n 为正整数）解：（1）①＝＝﹣；②＝＝+；故答案为：①；②+；（2）＝+++...+＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣；（3）＝+++...+＝+++...+＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）＝，故答案为：．25．（8分）（2023春•黔东南州期中）先阅读，后解答：，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）的有理化因式是；的有理化因式是．（2）将下列式子进行分母有理化：①＝；②＝；③＝2﹣；④＝﹣1．（3）类比（2）中④的计算结果，计算：．解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是．故答案为：，．（2）①；②；③；②．故答案为：、、、．（3）＝＝＝．26．（8分）（2023春•亭湖区校级期末）阅读材料已知下面一列等式：；；；（1）请用含n的等式表示你发现的规律；（2）利用等式计算：；（3）计算：．解：（1）根据题意，由规律可得：它的一般性等式为，故答案为：；（2）＝＝＝＝；（3）＝＝＝．27．（8分）（2022秋•市中区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．28．（8分）（2022春•定州市期中）阅读下列解题过程：＝＝＝﹣＝﹣2；＝＝＝2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．解：（1）原式＝＝+；（2）归纳总结得：＝﹣（n≥1）；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9。
八年级二次根式知识点梳理
八年级二次根式知识点梳理在初中数学学习中，二次根式是一个重要的知识点，掌握好二次根式的运算和化简方法，对于后续的数学学习和应用都有着非常重要的作用。
本文将从基础概念、运算法则、化简方法和解题思路四个方面来进行二次根式知识点的梳理。
一、基础概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如“a√b”的式子，其中a和b都是实数，a为系数，b为被开方数，√为根号符号。
2. 根式的运算符号根式的运算符号有加号、减号、乘号、除号，分别表示根式的加减、乘和除。
二、运算法则1. 二次根式的加减对于同类项，即被开方数相同的二次根式，其系数相加减即可，例如：3√2 + 5√2 = 8√24√3 - 2√3 = 2√3对于不同类项，则需要先化简为同类项后再进行加减运算，例如：2√3 + 5√2 - 3√3 = -√3 + 5√22. 二次根式的乘法二次根式的乘法可以使用分配律进行运算，例如：(3√2)(2√3) = 6√(2×3) = 6√63. 二次根式的除法二次根式的除法可以将被除数和除数同时乘以并分别化简为整数或同类项的二次根式，然后将化简后的结果进行相除，例如：(6√5) ÷ (2√5) = (6÷2)√(5÷5) = 34. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以按照运算法则的顺序进行，先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算，例如：(5√2 - 2√3) × 2√6 = 10√12 - 4√18 = 10√4√3 - 4√9√2 = 20√3 - 12√2三、化简方法1. 化简平方数根如√4、√9、√16等都是平方数根，可以直接化为整数，例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 42. 分解因数将被开方数分解成若干个因子的积，然后再进行化简，例如：√32 = √16×2 = 4√2√75 = √25×3 = 5√33. 有理化分母二次根式的有理化分母可以将分母乘以分母的共轭形式，即将分母的加减号改为相反数的加减号，例如：(2+√3)÷(1-√3) = (2+√3)(1+√3)÷(1-√3)(1+√3) = 2√3 + 5四、解题思路1. 直观感受对于不确定的二次根式，可以通过估算其大小来判断其范围，例如：1 < √2 < 22 < √5 < 33 < √10 < 42. 转化为同类项将不同类项的二次根式转化为同类项后再进行加减运算，例如：√48 + √75 - √27 = 4√3 + 5√3 - 3√3 = 6√33. 有理化分母和化简将二次根式中的分母有理化并将其化简为整数或同类项的二次根式，然后再进行计算，例如：(1+√7)÷(1-√7) + √28 = (1+√7)(1+√7) ÷ (1-√7)(1+√7) +2√7 =8+2√7以上就是本文对八年级二次根式知识点的梳理，希望能够对大家的数学学习有所帮助。
人教版八年级数学下册 第16章 二次根式重难点解析(含答案)
二次根式重难点解析1．二次根式的定义:一般地,0)a ≥叫做二次根式,可以从以下几个方面理解：（1a 可以是一个非负数，也可以是代数式，这个代数式的值必（2）0)a ≥既是二次根式，又表示非负数a 的算术平方根，0≥.2．二次根式的基本性质: 2(0)a a =≥，该公式也可以倒过来,即2(0)a a =≥,也就是说,可以利用它把任何一个非负数或式子写成一个数或式子的平方的形式.3．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.4．商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.例1 函数1y x=+x 的取值范围是 . 解：变量x 的取值范围,须使120x -≥(即被开方熟大于或者等于零)且10x +≠(即分母不等于零),即12x ≤且x≠-1. 所以应填12x ≤且x≠-1. 评注：①考虑二次根式有意义；②考虑分式有意义，只有同时有意义，才能求出自变量的取值范围.例2 已知x ＞2,( ).(A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x解： 选(A)=,∵x ＞2,=x-2故应选(A)评注：解此类题,被开方数能化成完全平方式的.可根据2(0)a a =≥进行化简.例3 已知a ＞b,( )(A) -(B)-(C)(D) 解：选(D).评注：理解并熟练运用2(0)a a =≥,化简二次根式时,要判断或讨论根号内字母的符号,然后进行化简.此题也可以根据二次根式化简的法则,采取观察、分析符号两个步骤，运用排除法解答：（1）观察被开方数：由于被开方数中只有平方因式可以从根号内移到根号外，根号内的符号并不发生变化，观察原根式内的符号易知根号内不可能去掉负号，故可排除(B)、(C)；（2ab ＜0,而a ＞b,故a ＞0,观察原来根号外为省略的“+”号，应保持正数性，故根号外必为a ，综合可得.例4 若x 、y为实数，且12y x =+解: 由x 的取值范围可知: 22404020x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪+≠⎩∴x=2，y=1342==. 评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：240x -≥，240x -≥，20x +≠，即x 的取值范围，求出x 和y 的值.例5把(a -(a-1)移到根号内得( )(A) (B) (C) (D) 解: 根据二次根式的定义,被开方数11a -≥0,即a-1＞0∵(a -=故选(A) 评注：根号外面的因式移到根号内,运用根式化简的逆向思维,即2(0)a a =≥,所以应选判断(a-1)的正负,若为正,则把这个数写成它的平方移到根号内.课堂检测1、 已知y +6，则y x＝ .2、 已知3x -+y 2+4y ＝0，求x y z x y z -+++的值.3a 、x 、y 是两两不同的实数，求22223yxy x y xy x +--+的值.4、若实数x 、y 、a ，试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.参考答案1、根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x ≥0且x －3≥0，即x ≤3且x ≥3，所以x 只能等于3，所以y ＝6.故y x ＝63＝2.2、本题可变形为3x -+(y +2)20，因为是三个非负数的和为0，所以x －3＝0，y +2＝0，z －1＝0，即x ＝3，y ＝－2，z ＝1，故x y z x y z -+++＝3(2)1321--+-+＝3.3、由a (x －a )≥0及x －a ≥0得a ≥0；由a (y －a )≥0及a －y ≥0得a ≤0，故a ＝0，，x ＝－y ≠0，故原式＝2222223y y y y y y ++--＝31. 4、由x +y －8≥0，8－x －y ≥0，得x +y ≥8，x +y ≤8.所以8≤x+y ≤8，x +y ＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，，00.从而3x －y －a ＝0，x －2y +a +3＝0.这两个等式相加，得4x －3y ＝－3.联立x +y ＝8和4x －3y ＝－3，得8,43 3.x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得3,5.x y =⎧⎨=⎩这时a ＝3x －y ＝4.因为x 、y 、a 中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x 、y 、a 的三条线段能组成一个三角形.因为x 2+a 2＝y 2，所以长度分别为x 、y 、a 的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.。
八年级数学《二次根式》知识点归纳和题型归类
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二.知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.； 2.； 3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广：(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．2．二次根式的加减运算 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. (3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数． 4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： ○1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．○2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 三.典型题训练一. 利用二次根式的双重非负性0≥a （a ≥0），1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3）45++x x （4）（5）(6). （7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（8）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ； 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．1213-+-x x4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
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最新八年级下册数学--二次根式知识点整理1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变.如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2.不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分.如｛3、分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如，a （a≥0）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号.★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“，”，“，”的根指数为2，即“2，”，我们一般省略根指数2，写作“，”.如2，5 可以写作，5 .（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.（3）式子，a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，，a ≥0.其中a≥0是，a 有意义的前提条件.（4）在具体问题中，如果已知二次根式，a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件. （5）形如b，a （a≥0）的式子也是二次根式，b与，a 是相乘的关系.要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如错误!错误!可写成错误!，但不能写成2 错误!错误!.练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1），6 ；（2），-18 ；（3），x2+1 ；（4）3，-8 ；（5），x2+2x+1 ；（6）3，｜x｜；（7），1+2x （x＜-错误!）二、当x取什么实数时，下列各式有意义？（1），2-5x ；（2），4x2+4x+1 二、二次根式的性质：练习：计算（1）（错误!）2 (2) （4错误!）2 (3) 错误!（4）- 错误!（6）错误!+ 错误!（1≤x≤3）★（，a ）2（a≥0）与，a2 的区别与联系：三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式.例：3，x，x+y，，3x （x≥0），-ab，错误!（t≠0，x3都是代数式注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式.如2x+3＞3x-5是关系式.练习：下列式子：①0；②π2③2+x=4；④错误!＞1；⑤2a+3b；⑥错误!(x≤2)，其中是代数式的有（）列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.（2）公式法：根据公式列出代数式.（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来.练习：列代数式（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（）典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1），x+5-，3-2x；（2）错误!；（3）错误!+错误!题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知a2+，b-2=4a-4，求，ab的值.题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数x，y满足｜x-4｜+，y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用，a2 =｜a｜并结合数轴化简求值已知实数a，b在数轴上的位置如图所示.试化简：，a2+，b2+，（a-b）2+，（b-1）2-，（a-1）2题型五：，a2 =｜a｜与三角形三边关系的综合应用在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简，（a-b+c）2-2｜c-a-b｜题型六：逆用（，a ）2 = a（a≥0）在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4二次根式的乘除1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.一、二次根式的乘法法则，a ．，b =，ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件. （2）推广①，a ．，b ．，c =，abc （a≥0，b≥0，c≥0）②a，b ．c，d =ac，bd③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用.练习：（1），28 ．，7 ；（2）错误!．错误!；（3）4错误!．错误!(4)6错误!．（-2错误!）二、二次根式乘法法则的逆用，ab =，a ．，b （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外.注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如，（-4）×（-9）≠，-4 ．，-9 .（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.推广：，abcd =，a ．，b ．，c ．，d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）练习：化简（1），300 ；（2），（-14）×（-112）；（3），200a5b4c3 ；（4），132-122 ；（5），16x4+32x2三、二次根式的除法法则错误!=错误!（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立.若a，b都是负数，虽然错误!＞0，错误!有意义，但错误!，错误!在实数范围内无意义；若b=0，则错误!无意义.（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如错误!必须先化成错误!，以免出现错误! =，4 ×错误!这样的错误.（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式.推广：（m，a ）÷（n，b ）=（m÷n）×（，a ÷，b ），其中a≥0，b＞0，n≠0.练习：计算（1），48 ÷，6 ；（2）-，27 ÷（错误!错误!）；（3）错误!错误!÷（-错误!；（4）错误!四、二次根式除法法则的逆用错误!=错误!（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0.公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要错误!≥0即可.例如计算错误!，不能写为错误!=错误!，而应写为错误!=错误!=错误!=错误!.利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为错误!（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可.当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数.练习：化简（1）错误!；（2）错误!；（3）错误!五、最简二次根式的概念★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.★化简二次根式的一般方法练习：下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由.（1），0.3 ；（2）错误!；（3）错误!；（4）错误!；（5）错误!；（6）错误!；（7）错误!；（8）错误!拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化.分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式．．．．．（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号.分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜.常用的有理化因式有：，a与，a；，a+b与，a+b；，a-b 与，a-b；，a+，b与，a-，b；a，b+c，d与a，b-c，d等.练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1），240；（2），1.25；（3）错误!；（4），75a2b典型例题剖析题型一：二次根式乘除法法则成立的条件（1）若，x+3．，x-3=，（x+3）（x-3）成立，则（）A、x≥3B、x≥-3C、-3≤x≤3D、x为任意实数（2）如果错误!=错误!成立，那么（）A、x≥6B、0≤x≤6C、x≥0D、x＞6题型二：二次根式的化简化简：（1），12ab．错误!；（2）错误!；（3）错误!题型三：二次根式的乘法混合运算计算：（1）错误!÷3错误!×（-5错误!）；（2）2错误!×错误!÷（错误!错误!）题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内：（1）5错误!；（2）-3错误!；（3）-2a错误!；（4）-a错误!；（5）x错误!（x＜0，y＜0）题型五：二次根式的大小比较比较大小：（1）7，2与3，11；（2）-2，11与-3，5二次根式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变.3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b25、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn一、可以合并的二次根式★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m，a+n，a=（m+n），a练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式.（1），27；（2）-错误!错误!；（3）错误!；（4）错误!（a＞0，b＞0）；（5）b错误!；（6）2，243；（7）错误!（a＞0，b＞0）；（8）3错误!（a＞0，b＞0）；二、二次根式的加减★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并.★二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.练习：计算：（1）错误!错误!+6错误! - 2x错误!；（2）（错误!-错误!+2错误!）-（错误! - 错误!）二、二次根式的混合运算★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用.注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简.练习：计算（1），3（，6+，8）；（2）（4，3-3，6）÷2，3；（3）（，6+2）（，6-3）（4）（5+，7）（5-，7）；（5）（，5+2）2；（6）（2，3-，2）2；典型例题剖析题型一：二次根式的化简求值问题已知a=错误!，b=错误!，求错误!题型二：巧解二次根式的混合运算题计算：（1）（2，3-，18）（，12+3，2）；（2）（，3-1）2+（，3+2）2-2（，3 -1）（，3+2）（3）（，2+，3-，5）2-（，2-，3+，5）2；（4）错误! - 错误!11 / 11。