最新八年级下册数学--二次根式知识点整理

最新八年级下册数学--二次根式知识点整理

1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做

a的算术平方根.

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变.如：

-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2.不等式组的解集是两个不等式解集的公共

部分.如｛3、

分母≠0

4、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）

一、二次根式的概念

一般地，我们把形如，a （a≥0）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号.

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：

（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“，”，“，”的根指数为2，即“2，”，我们一般省略根指数2，写作“，”.如2，5 可以写作，5 .

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.

（3）式子，a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，，a ≥0.其中a≥0是，a 有意义的前提条件.

（4）在具体问题中，如果已知二次根式，a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件. （5）形如b，a （a≥0）的式子也是二次根式，b与，a 是相乘的关系.要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如错误!错误!可写成错误!，但不能写成2 错误!错误!.

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1），6 ；（2），-18 ；（3），x2+1 ；（4）3，-8 ；（5），x2+2x+1 ；（6）3，｜x｜；（7），1+2x （x＜-

错误!）

二、当x取什么实数时，下列各式有意义？（1），2-5x ；（2），4x2+4x+1 二、二次根式的性质：

练习：计算（1）（错误!）2 (2) （4错误!）2 (3) 错误!

（4）- 错误!（6）错误!+ 错误!（1≤x≤3）

★（，a ）2（a≥0）与，a2 的区别与联系：

三、代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式.例：3，x，x+y，，3x （x≥0），-ab，错误!（t≠0，x3都是代数

式

注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式.如2x+3＞3x-5是关系式.

练习：下列式子：①0；②π2③2+x=4；④错误!＞1；⑤2a+3b；⑥错误!(x≤2)，其中是代数式的有（）

列代数式的常用方法：

（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.

（2）公式法：根据公式列出代数式.

（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来.

练习：列代数式

（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（）

典型例题剖析

题型一：二次根式有意义的条件

当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？

（1），x+5-，3-2x；（2）错误!；（3）错误!+错误!

题型二：利用二次根式的非负性化简求值

已知a2+，b-2=4a-4，求，ab的值.

题型三：二次根式非负性的简单应用

已知实数x，y满足｜x-4｜+，y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

题型四：利用，a2 =｜a｜并结合数轴化简求值

已知实数a，b在数轴上的位置如图所示.

试化简：，a2+，b2+，（a-b）2+，（b-1）2-，（a-1）2

题型五：，a2 =｜a｜与三角形三边关系的综合应用

在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简，（a-b+c）2-2｜c-a-b｜

题型六：逆用（，a ）2 = a（a≥0）在实数范围内分解因式

在实数范围内分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4

二次根式的乘除

1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个

单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在

被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

一、二次根式的乘法法则

，a ．，b =，ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变

（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件. （2）推广①，a ．，b ．，c =，abc （a≥0，b≥0，c≥0）②a，b ．c，d =ac，bd

③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用.

练习：（1），28 ．，7 ；（2）错误!．错误!；（3）4错误!．错误!(4)6错误!．（-2错误!）

二、二次根式乘法法则的逆用

，ab =，a ．，b （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积

利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外.

注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如，（-4）×（-9）≠，-4 ．，-9 .（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.

推广：，abcd =，a ．，b ．，c ．，d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）

练习：化简（1），300 ；（2），（-14）×（-112）；

（3），200a5b4c3 ；（4），132-122 ；（5），16x4+32x2

三、二次根式的除法法则

错误!=错误!（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立.若a，b都是负数，虽然错误!＞0，错误!有意义，但错误!，错误!在实数范围内无意义；若b=0，则错误!无意义.

（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如错误!必须先化成错误!，以免出现错误! =，4 ×错误!这样的错误.

（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式.

推广：（m，a ）÷（n，b ）=（m÷n）×（，a ÷，b ），其中a≥0，b＞0，n≠0.

练习：计算（1），48 ÷，6 ；（2）-，27 ÷（错误!错误!）；

（3）错误!错误!÷（-错误!；（4）错误!

四、二次根式除法法则的逆用

错误!=错误!（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0.公式中的a，