高考数学二轮复习 第一单元 集合、简易逻辑、函数综合测试

2008高考数学二轮复习 第一单元 集合、简易逻辑、函数综合测
试
一、选择题：
1．设集合}21{≤≤-=x x A ，}40{≤≤=x x B ，则=B A
（ A ）
（A ）[0，2] （B ）[1，2] （C ）[0，4] （D ）[1，4] 2．函数x y 2log =的定义域是
（ D ）
（A ）(0，1］
（B ） (0，+∞) （C ） (1，+∞)
（D ） ［1，+∞) 3．曲线34y x x =-在点)3,1(--处的切线方程是
（ B ）
（A ）74y x =+ （B ）2y x =- （C ）4y x =- （D ）72y x =+ 4．已知112
2
log log 0m n <<则
（ D ）
（A ）1<<m n （B ）1<<n m （C ）n m <<1 （D ）m n <<1 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
（ C ）
（A ）x 1() ,2
y x R =∈ （B ）sin ,y x x R =∈ （C ）3 ,y x x R =-∈
（D ） ,y x x R =∈ 6．“0,0>>b a ”是“0>ab ”的
（ A ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
7．设12
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，
则的值为，
（ C ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
8．如果函数)(x f y =的图像与函数 y =3-2x 的图像关于坐标原点对称，则)(x f y =的表达式为
（ D ）
（A ）23y x =- （B ）23y x =+ （C ）23y x =-+ （D ）23y x =--
二、填空题：
9．函数1
21)(+=
x
x f 的值域是)1,0(
10．方程x x 323log 1)10(log +=-的解集是}5{
11．函数)1(1log 2>-=x x x
y 的反函数是)0(1
22>-=x y x
x 12．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 20 吨．
13．已知条件134:≤-x p ；条件0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ．若¬p 是¬q 的必要不充分
条件，则实数a 的取值范围是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2
1,0
14．已知.1)1(145)7()0(1)
0()0(23)(2-=-=⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>-=f f x x x x x f ，，则π
三、解答题：
15．设函数54)(2--=x x x f ．
（Ⅰ）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （
Ⅱ
）
设
集
合
{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A ． 试判断
集合A 和B 之间的关系，并给出证明； 解：（Ⅰ）如图；
（Ⅱ）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于
)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和)
,5[∞+上调递增，
因此),142[]4,0[]142,(∞++--∞= A ， 由于6142<+，2142->-，所以A B ⊂
16．设函数a
x ax x f --=2
5lg
)( 的定义域为A ，若命题A p ∈3:与A q ∈5:有且只有一个为真
命题，求实数a 的取值范围．
解：⎭⎬
⎫⎩⎨⎧
>--=05
2a x ax x
A ，若A p ∈3:为真，则0953>--a a ，即935<<a ； 若A q ∈5:为真，则
0255
5>--a
a ，即251<<a ； 若p 真q 假，则⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤<<2519
35
a a a 或所以a 无解；
若p 假q 真，则⎪⎩
⎪⎨⎧
<<≥≤25
19
3
5a a a 或，所以351≤<a 或259≤≤a ．综上，)25,9[]35,1( ∈a
17．设函数()32f x x ax bx c =+++在1x =处取得极值2-．试用c 表示a 和b ，并求
)(x f 的单调区间．
解：依题意有0)1(,2)1('
=-=f f ，而'
2
(1)32,f x ax b =++故12
320a b c a b +++=-⎧⎨++=⎩
，解得
23
a c
b c =⎧⎨
=--⎩，从而'2()32(23)(323)(1)f x x cx c x c x =+-+=++-． 令'()0f x =，得1x =或332+-
=c x ．由于()f x 在1x =处取得极值，故13
3
2≠+-c ，即3c ≠-．
（1）若1332<+-
c ，即3->c 时，则当)332,(+--∞∈c x 时，'
()0f x >；当)1,3
32(+-∈c x 时，'()0f x <；当),1[+∞时，'()0f x >；从而()f x 的单调增区间为)3
3
2,(+-
-∞∈c x ，),1[+∞；单调减区间为]1,3
3
2[+-c ； （2）若1332>+-c ，即3c <-时，则当)1,(-∞∈x 时，'()0f x >；当)3
32,1(+-∈c x 时，'
()0f x <；
当),332(+∞+-
∈c x 时，'
()0f x >；从而()f x 的单调增区间为]1,(-∞，),332[+∞+-c ；单调减区间为]3
3
2,1[+-
c 18．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点),(00y x 为函数的不动点．
（Ⅰ）已知函数)0()(2
≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值； （Ⅱ）若对于任意实数b ，函数)0()(2
≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数．
解：（Ⅰ）由不动点的定义：0)(=-x x f ，所以0)1(2=--+b x b ax ，代入1=x 知1=a ，
又由3-=x 及1=a 知3=b ，故1=a ，3=b ．
（Ⅱ）对任意实数b ，)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b ，方程0)(=-x x f 总有两个相异的实数根．∴0)1(2=--+b x b ax 中04)1(2>+-=∆ab b ，即01)24(2>+-+b a b 恒成立．故04)24(21<--=∆a ，∴10<<a ．故当10<<a 时，对任意的实数b ，方程)(x f 总有两个相异的不动点．
（Ⅲ）)(x g 是R 上的奇函数，则0)0(=g ，∴（0，0）是函数)(x g 的不动点．若)(x g 有异于 （0，0）的不动点),(00x x ，则00)(x x g =．又000)()(x x g x g -=-=-，∴),(00x x --是函数)(x g 的不动点．所以，)(x g 有限个不动点除原点外，都是成对出现的，有k 2个（Z k ∈），加上原点，共有12+=k n 个。