2019-2020学年重庆市南开中学高三(上)第一次质检数学试卷(理科)(9月份)

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重庆市南开中学高2019届高三数学(理)测试题(2019.03.10)(解析版)

9×8 2
× ( ‒ 3) = 207
，解得即可．
8.
3
A. 8
��
��
B. 4
5
C. 24
7
��
D. 24
【答案】D
1
【解析】解：根据三视图知，该几何体是在圆柱的上面削掉4的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的体积为 �� = 4��2 ⋅ ℎ ‒ 2 ⋅ 3��3 = �� ⋅ (2)2 ⋅ (4 ⋅ 2 ‒ 3 ⋅ 2) = 24 故选：D．
= 2 ��2�� +
3
1 + ��2�� 2 ， 1
= ��(2�� + 6) + 2
��
，
�� 把函数的图象向左平移6个单位，
得到函数令
��(��) = ��(2�� + 3 + 6) + 2 = ��2�� + 2
��
= 3 + 52 + 2 × 3 × 2 13 × �� < ⃗ ‒ ⃗ + ⃗, ⃗ + 2⃗ > = 55 + 4 39 × �� < ⃗ ‒ ⃗ + ⃗, ⃗ + 2⃗ >

重庆市南开中学高2019届高三数学(理)测试题(2019.03.10)(解析版)

重庆市南开中学高2019届高三数学（理）测试题（2019.03.10）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C.D.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则．故选：C．阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可．正确理解集合M、N所表达的含义，以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.设，则“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，；．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．4.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，，，的所在区间为．故选：B．据函数零点的判定定理，判断，，，的符号，即可求得结论．考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，令，解得：，当时，函数的对称中心为故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n等于A. 22B. 23C. 20D. 21【答案】A【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余1，被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则A. 23B. 32C. 35D. 38【答案】C【解析】解：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得，故选：C．由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得即可．本题考查了等差数列的应用，属于基础题．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为．故选：D．根据三视图知该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是中档题．9.若平面向量满足，，，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意，可得：，．．．．则的最大值为．故选：D．本题可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，这样就能方便于计算，切记不要直接计算．本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点本题属中档题．10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有1种，“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．故选：B．利用隔板法求出共计有种领法，由此能求出“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，由此能求出甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设，分别是椭圆：的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，分别是椭圆：的左、右焦点，，．直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，可得，则，解得可得：即：，．解得．故选：A．利用已知条件求出C与A的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.若对于任意的实数t，函数在R上都是增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在R上都是增函数，在R上恒成立，，，令，则，上，，上，，时，，的最小值为，，故选：A．利用在R上都是增函数，可得在R上恒成立，分离参数，再求出右边的最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z满足是虚数单位，则复数z的共轭复数______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.已知的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则______．【答案】2【解析】解：由二项式系数和为，得，又令，得各项系数和为，，．故答案为：2．先根据二项式系数的和为，列出方程求出n的值；在对二项式中的x赋值1列出关于a的方程求出a的值．本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键．15.已知定点，点的坐标满足，当为坐标原点的最小值是2时，实数a的值是______．【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分定点，点，，设，要使当为坐标原点的最小值是2时，即时，点P落在直线上，此时．作出不等式对应的平面区域，利用数量积将进行化简，然后根据图象平移确定a的值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，，将绕直线BE、绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为______．【答案】【解析】解：AB不动，由于，故无论直线DF运动到那里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为．若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF不动，可计算出两者的夹角是，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为，取到最大值．故答案为：两者同时动，则线线关系不易确定，可以先固定一个探究规律，再作出判断本题考查两异面直线所成的角，由于本题中两条线不固定，在同时变动的情况下，两线的位置关系变化不好确定，故本题采取了先固定一个，进行研究得出规律．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知中，，，．Ⅰ若，求CD的长；Ⅱ若，，求的值．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ由，可得：，在中，由余弦定理可得：，解得：分由，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，故分【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可解得BD的值，根据余弦定理即可解得CD 的值．由已知可得，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，即可计算得解的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：根据表中数据，建立y关于t的线性回归方；根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，参考数据：，计算结果保留小数点后两位【答案】解由题意可知：，，，，又所以y关于t的线性回归方程为由可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨．【解析】先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；将2019年的年份代码代入线性回归方程可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．19.如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB；点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【答案】证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以，，，，是平行四边形，可得，平面PAB，平面PAB，直线平面PAB；解：四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设，则，，，直线BM与底面ABCD所成角为，可得：，，，可得：，，，作于Q，连接MQ，，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：．【解析】取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A、B，过F与直线垂直的直线与椭圆交于C、D，与直线：交于P．求四边形ABCD面积的最小值；求证：直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【答案】解：Ⅰ椭圆C：的离心率为，，，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．，，椭圆的方程为；Ⅱ斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程可得，，，四边形ABCD面积为；斜率不为0时，方程为，代入椭圆方程可得设，，则，，，同理，，，，，四边形ABCD面积的最小值为；的斜率存在时，则直线的方程为．令，则，．的斜率不存在时，由对称性知，．直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【解析】Ⅰ椭圆C：的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，求出b，即可求椭圆C的方程；Ⅱ分类讨论，设出方程代入椭圆方程，利用基本不等式，即可求四边形ABCD面积的最小值；分类讨论，设出方程，证明，即可证明直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于难题．21.设函数，．当时，函数有两个极值点，求a的取值范围；若在点处的切线与x轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，．．令，．时，，在单调递增，不符合题意．时，令，，在上单调递增．令，，在上单调递减．令，．又，，且．时，有两个极值点．综上所述，在点处的切线与x轴平行，且，，且，，在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角即当时，恒成立，令，，设，，，，，在上单调递增，即在上单调递增，，当时，且时，，在上单调递增，成立，当，在单调递增，，，存在有，当时，，单调递减，，不恒成立；实数a的取值范围为【解析】先求导，再分类讨论，利用导数判断函数的单调性，即可求出判断函数的极值点的情况，即可求出a的范围；先根据导数的几何意义求出，再根据函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，可得恒成立，构造函数，利用导数，即可求出a的范围本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，训练了利用分离变量求参数的取值范围，考查了学生的运算能力，在分类讨论时，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，设点N的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程；在的条件下，若射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，且有定点，求的面积．【答案】解：曲线的参数方程为为参数．由题设，得的直角坐标方程为，即，分故C的极坐标方程为，即分M是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，点N的轨迹为曲线．设点，则由已知得，代入的极坐标方程得，的极坐标方程为分射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，将代入，的极坐标方程得，分又，，分，分分【解析】由曲线的参数方程能求出的直角坐标方程，由此能求出的极坐标方程；设点，由已知得，代入的极坐标方程，能求出的极坐标方程．将代入，的极坐标方程得，由，能求出的面积．本题考查曲线的极坐标的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知a，b均为正实数，且．求的最大值；求的最大值．【答案】解：，当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12．原式，因为，当且仅当，即时，取等号，以，故原式的最大值为．【解析】利用平方以及柯西不等式转化求解即可．利用基本不等式，转化求解函数的最值．本题考查不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

重庆市南开中学高2019届高三数学(理)测试题(2019.03.10)(解析版)

重庆市南开中学高2019届高三数学（理）测试题（2019.03.10）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则．故选：C．阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可．正确理解集合M、N所表达的含义，以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.设，则“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，；．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．4.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，，，的所在区间为．故选：B．据函数零点的判定定理，判断，，，的符号，即可求得结论．考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，令，解得：，当时，函数的对称中心为故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n等于A. 22B. 23C. 20D. 21【答案】A【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余1，被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则A. 23B. 32C. 35D. 38【答案】C【解析】解：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得，故选：C．由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得即可．本题考查了等差数列的应用，属于基础题．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为．故选：D．根据三视图知该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是中档题．9.若平面向量满足，，，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意，可得：，．．．．则的最大值为．故选：D．本题可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，这样就能方便于计算，切记不要直接计算．本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点本题属中档题．10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有1种，“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．故选：B．利用隔板法求出共计有种领法，由此能求出“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，由此能求出甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设，分别是椭圆：的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，分别是椭圆：的左、右焦点，，．直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，可得，则，解得可得：即：，．解得．故选：A．利用已知条件求出C与A的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.若对于任意的实数t，函数在R上都是增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在R上都是增函数，在R上恒成立，，，令，则，上，，上，，时，，的最小值为，，故选：A．利用在R上都是增函数，可得在R上恒成立，分离参数，再求出右边的最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z满足是虚数单位，则复数z的共轭复数______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.已知的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则______．【答案】2【解析】解：由二项式系数和为，得，又令，得各项系数和为，，．故答案为：2．先根据二项式系数的和为，列出方程求出n的值；在对二项式中的x赋值1列出关于a的方程求出a的值．本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键．15.已知定点，点的坐标满足，当为坐标原点的最小值是2时，实数a的值是______．【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分定点，点，，设，要使当为坐标原点的最小值是2时，即时，点P落在直线上，此时．作出不等式对应的平面区域，利用数量积将进行化简，然后根据图象平移确定a的值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，，将绕直线BE、绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为______．【答案】【解析】解：AB不动，由于，故无论直线DF运动到那里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为．若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF不动，可计算出两者的夹角是，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为，取到最大值．故答案为：两者同时动，则线线关系不易确定，可以先固定一个探究规律，再作出判断本题考查两异面直线所成的角，由于本题中两条线不固定，在同时变动的情况下，两线的位置关系变化不好确定，故本题采取了先固定一个，进行研究得出规律．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知中，，，．Ⅰ若，求CD的长；Ⅱ若，，求的值．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ由，可得：，在中，由余弦定理可得：，解得：分由，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，故分【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可解得BD的值，根据余弦定理即可解得CD的值．由已知可得，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，即可计算得解的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：根据表中数据，建立y关于t的线性回归方；根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，参考数据：，计算结果保留小数点后两位【答案】解由题意可知：，，，，又所以y关于t的线性回归方程为由可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨．【解析】先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；将2019年的年份代码代入线性回归方程可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．19.如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB；点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【答案】证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以，，，，是平行四边形，可得，平面PAB，平面PAB，直线平面PAB；解：四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设，则，，，直线BM与底面ABCD所成角为，可得：，，，可得：，，，作于Q，连接MQ，，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：．【解析】取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A、B，过F与直线垂直的直线与椭圆交于C、D，与直线：交于P．求四边形ABCD面积的最小值；求证：直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【答案】解：Ⅰ椭圆C：的离心率为，，，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．，，椭圆的方程为；Ⅱ斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程可得，，，四边形ABCD面积为；斜率不为0时，方程为，代入椭圆方程可得设，，则，，，同理，，，，，四边形ABCD面积的最小值为；的斜率存在时，则直线的方程为．令，则，．的斜率不存在时，由对称性知，．直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【解析】Ⅰ椭圆C：的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，求出b，即可求椭圆C的方程；Ⅱ分类讨论，设出方程代入椭圆方程，利用基本不等式，即可求四边形ABCD面积的最小值；分类讨论，设出方程，证明，即可证明直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于难题．21.设函数，．当时，函数有两个极值点，求a的取值范围；若在点处的切线与x轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，．．令，．时，，在单调递增，不符合题意．时，令，，在上单调递增．令，，在上单调递减．令，．又，，且．时，有两个极值点．综上所述，在点处的切线与x轴平行，且，，且，，在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角即当时，恒成立，令，，设，，，，，在上单调递增，即在上单调递增，，当时，且时，，在上单调递增，成立，当，在单调递增，，，存在有，当时，，单调递减，，不恒成立；实数a的取值范围为【解析】先求导，再分类讨论，利用导数判断函数的单调性，即可求出判断函数的极值点的情况，即可求出a的范围；先根据导数的几何意义求出，再根据函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，可得恒成立，构造函数，利用导数，即可求出a的范围本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，训练了利用分离变量求参数的取值范围，考查了学生的运算能力，在分类讨论时，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，设点N的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程；在的条件下，若射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，且有定点，求的面积．【答案】解：曲线的参数方程为为参数．由题设，得的直角坐标方程为，即，分故C的极坐标方程为，即分M是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，点N的轨迹为曲线．设点，则由已知得，代入的极坐标方程得，的极坐标方程为分射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，将代入，的极坐标方程得，分又，，分，分分【解析】由曲线的参数方程能求出的直角坐标方程，由此能求出的极坐标方程；设点，由已知得，代入的极坐标方程，能求出的极坐标方程．将代入，的极坐标方程得，由，能求出的面积．本题考查曲线的极坐标的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知a，b均为正实数，且．求的最大值；求的最大值．【答案】解：，当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12．原式，因为，当且仅当，即时，取等号，以，故原式的最大值为．【解析】利用平方以及柯西不等式转化求解即可．利用基本不等式，转化求解函数的最值．本题考查不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2020届重庆市南开中学高三上学期第一次教学质量检测考试数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市南开中学高三上学期第一次教学质量检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =（）A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞，所以(]1,3AB =，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足()()12z i i i -+=，则z =（） A ．12i + B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得. 【详解】由已知得21i z i i-=+，所以()()()211211i i z i i i i -=+=++-，所以12.z i =- 故选B. 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念，属于基础题. 3．命题“若220x y +=，则0x =，0y =”的否命题为（） A ．若220x y +=，则0x ≠，0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若x y +≠220，则0x =，0y = D ．若x y +≠220，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得. 【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D. 【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4．关于函数()y f x =与()ln y f x =，下列说法一定正确的是（） A ．定义域相同 B ．值域相同C ．单调区间相同D ．奇偶性相同【答案】B【解析】根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得. 【详解】对于A 答案：()y f x =的定义域是R ，而()ln y f x =的定义域是()0,∞+，故A 错误；对于C 答案：()ln y f x =是复合函数，其单调需遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故C 错误；对于D 答案：()ln y f x =的定义域是()0,∞+的子集，故()ln y f x =不具有奇偶性,故D 错误；因为ln y x =的值域是R ，故B 正确. 【点睛】本题考查函数的的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题. 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】由函数的奇偶性的判定方法，知C 选项是奇函数，所以排除C 选项，又因为在(),0-∞上单调递减，在,,A C D 选项中，只有D 选项符合，故选D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.6．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．516B ．54C ．52D ．5【答案】A【解析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数()R x 定义在[]0,1上，且()()1,,,0,010,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当为正整数为既约真分数当或或内的无理数，则以下说法：①()R x 的值域为[]0,1；②方程()R x x =有无穷多个解；③()R x 的图像关于直线12x =对称；其中正确的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由函数的定义判断选项，可以选取特殊的值验证求解. 【详解】由黎曼函数的定义可知()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中p 是大于或等于2的自然数），故①错误；方程()R x x =的解有：11111,,,,,,234p，（其中p 是大于或等于2的自然数），故②正确；对于任何的自然数2p ≥，根据()()f f 1x x =-，所以()R x 的图像关于直线12x =对称，故③正确；故选C. 【点睛】本题考查新定义函数，思考时牢牢抓住函数的定义，属于中档题. 8．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】运用中介值“1 ”，和指数的同指或同底时的大小比较得解. 【详解】0.30.3log 0.2log 0.31b =>=,0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>故选B. 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.9．若函数()()213log 28f x ax x =++的值域为[)2,-+∞，则()f x 的单调递增区间为（） A ．(),2-∞- B ．(]2,1- C ．[)1,4D ．()4,+∞【答案】C【解析】根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解. 【详解】由已知得令228t ax x =++的最大值是9，所以解得1a =-，所以 ()()213log 28f x x x =-++，又因为228t ax x =++在()2,4-上0,t >且在(],1-∞上单调递增，在[)1,∞上单调递减，根据复合函数的单调性得C 选项正确. 故选C. 【点睛】本题考查对数函数的值域和单调性，属于中档题. 10．下图可能是下列哪个函数的图像（）A ．()221x x y x -=- B ．()2ln 1x x y x -=-C ．2ln 1y x x =- D ．()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C【解析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手. 【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项中的0,y >C 选项中的0,y < 故选C. 【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.11．已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()20f =，当0x ≠时，()()2'f x f x x>，则不等式()()10x f x -<的解集为（） A ．()(),20,2-∞- B ．()()2,02,-+∞C ．()(),21,2-∞-D ．()()2,01,2-U【答案】D【解析】将已知的含导函数的不等式构造成某个函数的导函数，得这个函数的单调性，再根据奇偶性得这个函数的大致图像趋势，并且得出其函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负求解. 【详解】当0x >时，由()()2'f x f x x >得()()2'0f x f x x ->，即()()'20xf x f x x->，所以()()24'20x f x xf x x ->，即()'20f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以令()()2f x g x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递增，且()20g =，又因为()f x 上奇函数，所以()g x 也是奇函数，且在()()2,02,-+∞时()0g x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0g x <，又因为20x >，所以在()()2,02,-+∞时()0f x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0f x <解不等式()()10x f x -<中，当1x >时，()0f x <，所以其解集为()1,2；当1x <时，()0f x >，所以其解集为()2,0-. 故得解. 【点睛】本题的关键在于构造函数分析其单调性、奇偶性和函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负的取值范围，属于难度题.12．已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（）A ．34B ．2C ．52D ．4【答案】A【解析】由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解. 【详解】因为()()()12f x f x f x +=⋅+，∴()()()213f x f x f x +=+⋅+，又()0f x > 故()()13f x f x +=，即()()6f x f x += 所以函数的周期为6，由已知可得当0x =时，()()20f f =，()()()102f f f =⋅，又()0f x >，所以()()202f f ==，并且()()()()1113,4,5,62242f f f f ====，所以()()()()1132019202034244f f f f +=+=+=，故选A. 【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.二、填空题13．曲线()()2ln 1f x x x =-+在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】0x y +=【解析】先根据导函数求值得切线的斜率，再用点斜式方程得切线方程. 【详解】由已知得()'121fx x x =-+，所以()'01f =-，又因为()00f =，所以在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=-⨯-，即0x y +=，故得解. 【点睛】本题考查根据导函数求切线方程，属于基础题.14．已知函数()y f x =与函数()lg 1y x =-的图像关于点()1,0对称，则()f x =______.【答案】()lg 1x --【解析】根据图像上的点关于点对称其坐标的关系得解. 【详解】设()y f x =上任意一点(),P x y ，点P 关于点()1,0对称的点(),Q m n 则2m xn y=-⎧⎨=-⎩ 且在函数()lg 1y x =-的图像上，所以()lg 12y x -=--⎡⎤⎣⎦，即()lg 1y x =--，故得解. 【点睛】本题考查根据图像的对称性求解析式的问题，属于中档题.15．若关于x 的方程14220x x a +-⋅+=有两个不等正实根，则实数a 的取值范围是______.32a <<【解析】令21x t =＞，即方程2t 2t 20a -+=有两个大于1的不等正实根. 【详解】令21x t =＞，即方程2t 2t 20a -+=有两个大于1的不等正实根，∴24a 80x=a 11-2a+20⎧-⎪⎨⎪⎩＞＞＞,3.2a <<【点睛】本题利用换元法转化为二次方程根的分布问题，属于中档题.16．若函数()2f x x ax =-，[]1,3x ∈的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是______.【答案】16a ≤≤【解析】分别讨论对称轴与给定的区间的关系，得出函数在给定的区间上的单调性，从而得出最值求解不等式组. 【详解】(1)当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞单调递增，当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()()1,3f f ⎡⎤⎣⎦，不满足题意； (2) 当01a <<时，()f x 在[),a +∞单调递增，当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()()1,3f f ⎡⎤⎣⎦，不满足题意； (3) 当12,a ≤≤时，()f x 在[]1,a 单调递减，在[),a +∞单调递增，要使当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则需()()13f f ≤；即193a a -≤-，解得12a ≤≤；(4) 当2a >时，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[),a +∞单调递增，要使当[]1,3x ∈时，()f x 的值域为()0,3f ⎡⎤⎣⎦，则需()32a f f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；即229322a a a ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，解得26a ≤≤-+综上得知实数a 的取值范围是16a ≤≤. 故得解. 【点睛】本题关键在于讨论出函数在给定的区间的图像趋势得到最值，属于中档题.三、解答题17．已知函数()231x af x =+-为奇函数. （1）求实数a 的值；（2）求不等式()3log 1f x x <+的解集. 【答案】（1）4a =（2）()3log 2,+∞ 【解析】(1)根据奇函数的定义可求得；(2)化简不等式转化为指数不等式求解. 【详解】（1）()23231x x a f x ⋅+-=-，()()2322323113xx x xa a f x ---⋅+⋅+--==--，由题知()()f x f x -=-，故22a -=即4a =；（2）3232232log 103131x x xx x ⋅+⋅+<+⇔>--①，且1232331x x x +⋅+<-②，又30x>，故由①得31x>，此时12232333532031x x x x x +⋅+<⇔⋅-⋅->-()()323310x x ⇔-⋅+>，故32x >，∴3log 2x >，即不等式的解集为()3log 2,+∞. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和指数不等式，属于中档题. 18．已知命题p ：函数()3213f x x x ax =--不单调，命题q ：[]01,2x ∃∈，2210x ax --<.（1）若q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≤（2）1a ≤-或1a >. 【解析】(1)由非命题的真假判断得不等式求解；(2)根据复合命题的真假判断条件，建立不等式组求解. 【详解】（1）[]01,2x ∃∈，[]202101,2x ax x --<⇔∃∈，12a x x>-，故min 12a x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，又12y x x=-在[]1,2上单增，∴min 12211x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴1a >，由题知q 为假命题，故1a ≤；（2）()2'2f x x x a =--，故()f x 不单调440a ⇔+>即1a >-，即p 为真命题1a ⇔>-，由（1）知q ⌝为真命题1a ⇔≤，故()p q ∧⌝为真命题11a ⇔-<≤，所以()p q ∧⌝为假命题1a ⇔≤-或1a >. 【点睛】本题考查复合命题的真假判断以及利用导函数研究函数的单调性，属于难度题. 19．某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取100人的成绩进行统计，发现这100名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为4:1，成绩一般的男、女生人数之比为8:7.已知从这100名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是0.6.（1）请将下表补充完整，并判断是否有95%的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取3人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++；临界值表供参考：【答案】（1）填表见解析,有95%的把握认为二者有关；（2）详见解析【解析】(1)由已知概率和比例完善列联表，进行独立性检验得解；(2)随机变量服从二项分布，根据二项分布的数据特征值求解.【详解】解析：（1）根据表中所给数据计算可得：()22100203540550 3.841604025759K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为二者有关；（2）由题知13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，故X 的分布列为：()13355E X =⨯=.【点睛】本题考查独立性检验和二项分布，属于中档题.20．已知点P 到直线3y =-的距离比点P 到点()0,1A 的距离多2. （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点()0,2Q 的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得MRQ NRQ ∠=∠？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24x y =（2）存在满足条件的定点()0,2R -,详见解析【解析】(1)根据抛物线的定义可得解；(2)将角的相等关系转化到直线的斜率的关系，进而转化到交点的坐标的关系求解. 【详解】（1）由题知，PA =点P 到直线1y =-的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点、1y =-为准线的抛物线，所以其方程为24x y =；（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为()0,r .此时0MR NR MRQ NRQ k k ∠=∠⇔+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12120y r y rx x --+=，由题知直线l 的斜率存在，设其方程为2y kx =+，与24x y =联立得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，1212121222y r y r kx r kx rx x x x --+-+-+=+()()()1212222202r x x k r k k x x -+-=+=-=，故2r =-，即存在满足条件的定点()0,2R -. 【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的关系，对于第二小问是常规题，转化成坐标的关系是关键，并且能最终转化成与韦达定理的关系，属于中档题. 21．已知a R ∈，函数()()2222ln 5f x x a x a x =-+++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数()212ln 2g x x x x m =-++，若()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，且当12x x x <<时，()()0f x g x <<，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）12m ≥-【解析】(1)对函数求导函数后，讨论参数的范围使之能判断导函数的符号，从而得原函数的单调性；(2)由(1)得两个零点的范围，从而得参数的范围，建立不等式求解. 【详解】解析：（1）()()()()212'222x x a a f x x a x x--=-++=，∵0x >，故当0a ≤时，()f x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增；当01a <<时，()f x 在()0,a 和()1,+∞上单增，在(),1a 上单减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单增；当1a >时，()f x 在()0,1和(),a +∞上单增，在()1,a 上单减；（2）结合（1）知1a ≠；当0a ≤时，()1420f a =->，故()0f x >，不存在零点；又当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，当01a <<时，()1420f a =->，∴()f x 只有一个零点；故1a >，此时()f x 存在两个零点且当12x x x <<时()()010f x f <⇔=即2a =，此时11x =，22x >，()()()212'1x x g x x x x-+=-+=，()g x 在[)1,2上单增，(]22,x 上单减，而()()222221112ln 22g x g x x x -=-+-①，又222264ln 50x x x -++=，代入①式得 ()()()()22222214313g x g x x x x -=-+-=--，又()34ln340f =->，故()22,3x ∈， ∴()()210g x g ->即()()21g x g >， ∴()10g ≥即可，∴12m ≥-. 【点睛】本题考查根据导函数的正负研究原函数的图像趋势，进而解决相关的零点、不等式恒成立或满足不等式求解参数的范围等问题，属于难度题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，点0,4A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，直线l 经过点02,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭且与直线OA 垂直.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）已知点P 在曲线C 上运动（异于O 点），射线OP 交直线l 于点Q ，求线段PQ 的中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2）3sin 04sin 4πρθθπθ⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭ 【解析】(1)由已知条件先求出直线的普通方程，再转化成极坐标方程；(2)直接用极坐标表示P 、Q 两点，运用中点坐标公式求解. 【详解】解析：（1）由题知4A π⎫⎪⎭，4B π⎛⎫⎪⎝⎭，故点B 的直角坐标为()2,2，由l OA ⊥知直线l 的倾斜角为34π，故直线l 的直角坐标方程为4x y +=，所以其极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）由题知可设()1,P ρθ，()2,Q ρθ，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则PQ 中点的极坐标为12,2ρρθ+⎛⎫⎪⎝⎭，由P 在曲线C 上得12sin ρθ=，由Q 在直线l 上得2sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故PQ中点的极坐标为sin ,sin 4θθπθ⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以PQ中点轨迹的极坐标方程为3sin 04sin 4πρθθπθ⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标互化，属于中档题. 23．已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x <+的解集；（2）设,,a b c ∈R ，若()()()22212a b c f x ++-+≤对任意x ∈R 成立，求a b c -+的最大值.【答案】（1）()0,1x ∈（2）32- 【解析】(1)根据对含两个绝对值符号的三段式讨论化简函数表达式求解不等式；(2)构造柯西不等式求最值. 【详解】解析：（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩，当12x ≥时，32x x <+即1x <，∴112x ≤<；当112x -<<时，22x x -<+即0x >，∴102x <<；当1x ≤-时，32x x -<+即12x >-，无解；综上，()0,1x ∈；（2）由（1）知，当12x =时，()f x 取到最小值32，故()()()22212a b c f x ++-+≤对任意x ∈R 成立，即()()2223122a b c ++-+≤，由柯西不等式知()()()()22221211112a b c a b c ⎡⎤++-+++≥++-+⎣⎦，当且仅当12a b c +=-=时等号成立， ∴()2932a b c -++≤，即3322a b c --≤-+≤-，当12a =-，22b =-，2c =时，右边等号成立，∴a b c -+的最大值为32-. 【点睛】本题考查含两个绝对值符号的讨论方法和构造柯西不等式，属于中档题.。

重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题-含答案

重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题2019.03.10一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，1218x N x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-2．设01a <<，则“log 1a b >”是“b a <”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知21log 3a =，35b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55．将函数()23sin cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个对称中心是（） A ．1,42π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,42π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,122π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,122π⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．20B ．21C ．22D ．237．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =（） A ．23B ．32C ．35D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．38πB ．4πC ．524πD ．724π 9．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（）A 3B 733C ．133D ．213310．某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（） A ．13B ．821C ．37D ．51811．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（） AB 3C ．13D ．1611．若对任意的实数t ，函数()()()333t f x x t x e ax =-+--在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2⎛-∞ ⎝⎦D ．2⎛-∞ ⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z 满足2i1iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =________． 14、已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．15．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430352500x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，当OP OA OA ⋅（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是________．16．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE 绕直线BE 、CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．三、解答题17．已知ABC 中，2BC =，45B =︒，AD AB λ=（01λ<<）．（1）若1BCDS=，求CD 的长；（2）若30A =︒，13λ=，求sin sin ACDDCB∠∠的值．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（I ）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…， (),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt t t ==--==--∑∑．（参考数据：()()612.8ii i tty y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于C 、D ，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C ，D ，与3:4l x =交于P ，求证：直线PA ，PF ，PB 的斜率PA k ，PF k ，PB k 成等差数列． 21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()xg x e ex =-．（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()5cos 55sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0T ，求TAB △的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知a ，b 均为正实数，且1a b +=．（1）求24141a b ++的最大值；（2）求1aba+的最大值．重庆南开中学高2019级高三数学（理）测试（3．10）一、选择题CBABA CCDDB AA 二、填空题13．1i -- 14．2 15．2 16．70︒三、解答题 17．（1）由12··sin451222BCDSBC BD BD BD =︒==⇒=，在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos4542422CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由123AD AB BD AD =⇒=，在ADC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD ADACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠，在BDC △中，由正弦定理可知sin 2sin sin sin 2CD BD B BD BDBCD B BCD CD CD ⋅=⇒∠==∠，故sin 22sin 42222ADACD CD BCD BD BD ∠====∠．18．（1）由题意可知：123456 3.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5l i t t =-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5n i ii ni t t y y b t t ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44b a y t =-=-⨯=，∴y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时0.168 6.447.72y =⨯+= 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7．72万吨．19．（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ，又12BC AD =，所以EF BC ，四边形BCEF 为平行四边形，CEBF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE平面PAB ．（2）已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，(3P ．(1,0,3),(1,0,0)PC AB ==，则(1,,),(,1,3)BM x y z PM x y z =-=- ．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以2222cos ,sin 45,2(1)BM n x y z =︒=-++，即222(1)0x y z -+-=．又M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则,1,33x y z λλ===，由①，②21216x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去），21216x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩261M ⎛- ⎝⎭，从而261AM ⎛= ⎝⎭．设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000(22)2600x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(0,6,2)m =-．于是10cos ,||||5m n m n m n ⋅==．因此二面角M AB D --的余弦值为105．20．（1）由题意知12c e a ==，所以22214a b a -=，即2243a b =，又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222x y b +=，与直线60x y -+=相切，所以632b ==，所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为()1y k x =-．由()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=．①设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由题意知直线2l AE 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为()11y x k =-- 令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭ ()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-=⨯+⨯-++-++ 2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ ()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++ 即2PA PB PF k k k +=，所以,,PA PF PB k k k 成等差数列；21．（1））当b =0时，2()ln ,()ln 2f x x x ax x f x x ax '=--=-，所以2()ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个． ∵21ln ()xm x x -'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当,()x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，()m x 有极大值1e ．又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<．当1,2a e ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个；当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln xm x x =的图象的交点有2个；综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2 f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220,xx e ax a e +-+->令()ln 22xt x x e ax a e =+-+-，∴()12xt x e a x'=+- 设211()2,()x x x e a x e x x ϕϕ'=+-=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，即()t x '在(1,)+∞单调递增， ∴()()112t t e a x ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥．所以()ln 22xt x x e ax a e =+-+-在(1,)+∞单调递增，∴()()10t x t >=成立．当12ea +>，因为()t x '在(1)+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<， ()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为1(,1)1,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦． 22．（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=，故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．设点(),N ρθ(0)ρ≠，则由已知得,2M a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin 2πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即()10sin 0ρθρ=≠．（2）将3πθ=代12,C C 的极坐标方程得53,,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()4,0T ，所以11||||sin 15,||||sin 532323TOA TOB S OA OT S OB OT ππ∆∆=⋅==⋅= 所以1553TAB TOA TOB S S S ∆∆∆=-=- 23．（1）(224141141141a b a b ++=++()2211(4141)a b ≤+⋅+++()2422(412)12a b =++=⨯+=⎡⎤⎣⎦，当且仅当44141a b +=+12a b ==时，取等号，故原式的最大值为12．（2）原式=112122ab b a b a ab a b===+++，因为121222()123b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322≥+=+2b a a b =，即2122a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3322≤=-+ 故原式的最大值为322-．。

重庆市南开中学2020届高三数学上学期第一次教学质量检测考试试题文

重庆市南开中学2020届高三数学上学期第一次教学质量检测考试试题文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知集合{}|sin 0A x x ==，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =I （） A. {}0 B. {}π C. {}0,πD. 2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵A ＝{x |x ＝k π，k ∈Z }，B ＝{x |0＜x ＜4}， ∴A ∩B ＝{π}．故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，涉及三角方程的解法以及对数函数的单调性的应用．2.命题“若0x >，则21x >”的否命题是（） A. 若0x >，则21x ≤ B. 若0x ≤，则21x > C. 若0x ≤，则21x ≤ D. 若21x >，则0x >【答案】C 【解析】分析】根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可．【详解】命题“若x ＞0，则2x ＞1的否命题是：若x ≤0，则2x ≤1，故选C ．【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系应用。

3.已知复数z ，若z 的实部为1，且zi的模长为2，则z =（） A. 1i - B. 1i ±C. 13i +D. 13i ±【答案】D 【解析】【分析】由已知设z ＝1+mi （m ∈R ），代入zi，再由模长为2列式求得m 值，则z 可求．【详解】设z ＝1+mi （m ∈R ），则|z i |＝|1mii+|2112mi m i +==+=，解得m 3=±．∴z ＝13i ±．故选D ．【点睛】本题主要考查复数的定义以及复数模的公式应用。

天津市南开中学2019届高三上第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

天津市南开中学2019届高三上第一次月考数学试卷（理科）（解析版）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．做图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，，．故选：C．先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.已知命题p：，，命题q：，，则下列说法中正确的是A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：，，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，命题是假命题，命题￢是真命题，命题￢是真命题，故选：C．先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题等知识点，难度中档．3.已知函数，则A. 4B.C.D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．4.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，，故排除C，D，，，故排除A，故选：B当时，，，故选：B．利用特殊值排排除即可本题考了函数的图象的识别，排除是关键，属于基础题5.在下列那个区间必有零点A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，，，，，在单调递减，在单调递增．，，在内存在零点，故选：C．求解，运用导数判断在单调递减，在单调递增，根据零点存在性定理得出，，在内存在零点．本题考查了函数的单调性，运用导数判断，零点问题，属于中档题，难度不大．6.已知函数，，则的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为，所以，，则，即．则函数的值域为，故选：B．根据对数函数的性质结合函数值域的对应进行求解即可．本題考查函数的值域，考查运算求解能力结合对数函数的运算性质是解决本题的关键．7.已知函数在处的切线倾斜角为，则A. B. C. 0 D. 3【答案】C【解析】解：函数的导数，又在处的切线倾斜角为，可得，即，故选：C．求得的导数，可得切线的斜率，由斜率的几何意义，可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，时，显然不成立，时，只需，解得：或，因为题目要求充分不必要，因此只有D选项符合要求，故选：D．求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．9.如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：矩形，，，阴影故豆子落在图中阴影部分的概率为，故选：A．分别求出矩形和阴影部分的面积即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．10.已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则A. 45B. 15C. 10D. 0【答案】A【解析】解：根据题意，函数为定义域R上的奇函数，则有，，若，即，即，，又由为定义域R上的奇函数，且在R上是单调函数，是9项的和且和为0，必有，则有，即，在等差数列中，，即，则；故选：A．根据题意，由奇函数的性质可得，又由且，可得，结合等差数列的性质可得，进而可得，即，进而计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于中档题．11.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：构造，则，，，在定义域内单调递增，又，则不等式，化为，即，，则，得，综上，不等式的解集为．故选：A．由题意，构造函数，利用导数可得在定义域内单调递增，把不等式转化为，利用单调性求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．12.对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”若函数与互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C的零点为．设的零点为，若函数与互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则，，如图．由于必过点，故要使其零点在区间上，则或，解得，故选：C．先得出函数的零点为再设的零点为，根据函数与互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有，从而得出的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合2，，，若，则非零实数m的数值是______．【答案】2【解析】解：集合2，，，，或或，解得．非零实数m的数值是2．故答案为：2．利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m的数值．本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：例如，尽管对任意的都成立，当上为增函数，在为减函数，故答案为：．本题答案不唯一，符合要求即可．本题考查了函数的单调性，属于基础题．15.设函数在区间上的值域是，则的取值的范围是______．【答案】【解析】解：令解得或，令得．又在上单调递增，在上单调递减，当，时，取得最小值0，当，时，取得最大值4．故答案为．分别求出和的解，根据的单调性得出的最值．本题考查了二次函数的性质，属于中档题．16.若函数在处取得极小值，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：，由于函数在处取得极小值，则显然成立，令，由于是函数的极小值点，则左边附近，，即；在右边附近，，即．则，则，解得，故答案为：．令，将函数在处取得极小值，转化为，从而实数m 的取值范围．本题考察导数与函数的极值，将极小值点进行转化，是解本题的关键，属于中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，集合．求集合A；若，求实数a的取值范围．【答案】解：由，得，．，，，由，得，所以或所以a的范围为，．【解析】通过解分式不等式求得集合A；求得，根据，则，利用数轴确定a满足的条件，从而求出a 的取值范围．本题主要考查了集合的运算，考查了集合的包含关系中参数的取值范围，体现了数形结合思想．18.已知命题p：，．若p为真命题，求实数m的取值范围；若有命题q：，，当为真命题且为假命题时，求实数m的取值范围．【答案】解：，，时不成立．且，解得．为真命题时，．对于命题q：，，，又时，，．为真命题且为假命题时，真q假或p假q真，当p假q真，有，解得；当p真q假，有，解得；为真命题且为假命题时，或．【解析】根据二次函数的性质求出p为真时m的范围即可；，，时不成立可得且，解得m范围对于命题q：，，根据时，利用函数的单调性即可得出由为真命题且为假命题时，可得p 真q假或p假q真．本题考查了函数与不等式的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数在处有极值．求常数a、b；求曲线与x轴所包围的面积．【答案】解：，由及得：，解得；由知当或时，，当或时，，曲线与x轴所包围的面积：．【解析】求导函数，利用函数在处有极值，建立方程组，即可求得a，b的值；确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查利用定积分求面积，正确求导是关键．20.已知函数．求函数的单调区间；求函数的极值；求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】解：，，由，得或．由，得，函数的单调增区间为，，单调减区间为；由可得，函数在，上单调递增，在上单调递减单调递减．当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为；由知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，又，，函数在上的最小值为，最大值为4．【解析】求出原函数的导函数，由导函数大于0求得x的范围可得原函数的增区间，由导函数小于0求得x的范围可得原函数的减区间；由可得原函数的单调性，从而得到极值点，进一步求得极值；由知，函数在上单调递减，在上单调递增，然后求出极值与端点值，比较得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．21.已知函数．当时，求的单调增区间；若在上是增函数，求a得取值范围．【答案】解：当时，；，由得，或，故所求的单调增区间为，；，在上是增函数，在上恒成立，即恒成立，当且仅当时取等号所以，当时，易知在上也是增函数，所以．【解析】求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；已知在区间上是增函数，即在区间上恒成立，然后用分离参数求最值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．22.已知函数，其中．Ⅰ设是的导函数，讨论的单调性；Ⅱ证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．【答案】解：函数，其中可得：．，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．证明：由，解得，令，则，，存在，使得，令，其中，由，可得：函数在区间上单调递增．，即，当时，有，．再由可知：在区间上单调递增，当时，，；当时，，；又当，．故当时，恒成立．综上所述：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．【解析】函数，其中可得：，可得，分别解出，，即可得出单调性．由，可得，代入可得：，利用函数零点存在定理可得：存在，使得，令，再利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。

2019年9月重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前重庆市南开中学2020届高三年级上学期第一次教学质量检测考试数学(理)试题(解析版)2019年9月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2|230A x x x =--≤,{}|21x B y y ==+,则A B =I （）A. ∅B. (]1,3C. (]0,3D. ()1,+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得.【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞,所以(]1,3A B =I ,故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算,属于基础题.2.已知复数z 满足()()12z i i i -+=,则z =（）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得. 【详解】由已知得21i z i i -=+, 所以()()()211211i i z i i i i -=+=++-, 所以12.z i =-故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念,属于基础题.3.命题“若220x y +=,则0x =,0y =”的否命题为（）A. 若220x y +=,则0x ≠,0y ≠B. 若220x y +=,则0x ≠或0y ≠ C. 若x y +≠220,则0x =,0y = D. 若x y +≠220,则0x ≠或0y ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定,故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”,属于基础题.4.关于函数()y f x =与()ln y f x =,下列说法一定正确的是（）A. 定义域相同B. 值域相同C. 单调区间相同D. 奇偶性相同【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得.。

重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(含参考答案)

重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题2019.03.10一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，1218x N x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-2．设01a <<，则“log 1a b >”是“b a <”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知21log 3a =，35b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55．将函数()2cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个对称中心是（） A ．1,42π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,42π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1,122π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,122π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．20B ．21C ．22D ．237．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =（） A ．23B ．32C ．35D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．38πB ．4πC ．524πD ．724π 9．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（）ABC ．D ．10．某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（） A ．13B ．821C ．37D ．51811．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（） A．3B．6C ．13D ．1611．若对任意的实数t ，函数()()()333t f x x t x e ax =-+--在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．,2⎛-∞ ⎝⎦D．,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z 满足2i1iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =________． 14、已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．15．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430352500x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，当OP OA OA ⋅（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是________．16．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE 绕直线BE 、CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．三、解答题17．已知ABC 中，2BC =，45B =︒，AD AB λ=（01λ<<）．（1）若1BCDS=，求CD 的长；（2）若30A =︒，13λ=，求sin sin ACDDCB∠∠的值．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（I ）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+；（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…， (),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt tt==--==--∑∑．（参考数据：()()612.8ii i tty y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于C 、D ，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C ，D ，与3:4l x =交于P ，求证：直线PA ，PF ，PB 的斜率PA k ，PF k ，PB k 成等差数列． 21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()xg x e ex =-．（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()5cos 55sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0T ，求TAB △的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知a ，b 均为正实数，且1a b +=．（1）求2的最大值；（2）求1aba+的最大值．重庆南开中学高2019级高三数学（理）测试（3．10）一、选择题CBABA CCDDB AA 二、填空题13．1i -- 14．2 15．2 16．70︒三、解答题 17．（1）由1··sin45122BCDSBC BD BD BD =︒==⇒= 在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos454242CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由123AD AB BD AD =⇒=，在ADC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD ADACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠，在BDC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin CD BD B BD BCD B BCD CD ⋅=⇒∠==∠，故sin sin 2ADACD BCD CD∠====∠18．（1）由题意可知：123456 3.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5l i t t =-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5niii ni t t y y bt t ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44b a y t =-=-⨯=，∴y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时0.168 6.447.72y =⨯+= 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7．72万吨．19．（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ，又12BC AD =，所以EF BC ，四边形BCEF 为平行四边形，CEBF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE平面PAB ．（2）已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C，(P ．(1,0,(1,0,0)PC AB ==，则(1,,),(,1,BM x y z PM x y z =-=- ．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45,2BM n =︒=，即222(1)0x y z -+-=．又M 在棱PC上，设PM PC λ=，则,1,x y z λ===，由①，②112x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（舍去），112x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩122M ⎛-⎝⎭，从而122AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000(2200x y x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(0,6,2)m =-．于是10cos ,||||m n m n m n ⋅==．因此二面角M AB D --20．（1）由题意知12c e a ==，所以22214a b a -=，即2243a b =，又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222x y b +=，与直线0x y -+=相切，所以b ==，所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为()1y k x =-．由()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=．①设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由题意知直线2l AE 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为()11y x k =-- 令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-=⨯+⨯-++-++ 2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ ()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++即2PA PB PF k k k +=，所以,,PA PF PB k k k 成等差数列；21．（1））当b =0时，2()ln ,()ln 2f x x x ax x f x x ax '=--=-，所以2()ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个． ∵21ln ()xm x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当,()x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，()m x 有极大值1e ．又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<．当1,2a e ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个；当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln xm x x =的图象的交点有2个；综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2 f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220,xx e ax a e +-+->令()ln 22xt x x e ax a e =+-+-，∴()12xt x e a x'=+- 设211()2,()x x x e a x e x x ϕϕ'=+-=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，即()t x '在(1,)+∞单调递增， ∴()()112t t e a x ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥．所以()ln 22xt x x e ax a e =+-+-在(1,)+∞单调递增，∴()()10t x t >=成立．当12ea +>，因为()t x '在(1)+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<， ()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为1(,1)1,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦． 22．（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=，故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．设点(),N ρθ(0)ρ≠，则由已知得,2M a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin 2πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即()10sin 0ρθρ=≠．（2）将3πθ=代12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()4,0T，所以11||||sin 15,||||sin 2323TOA TOB S OA OT S OB OT ππ∆∆=⋅==⋅=所以15TAB TOA TOB S S S ∆∆∆=-=- 23．（1）(2211=()2211(4141)a b ≤+⋅+++()2422(412)12a b =++=⨯+=⎡⎤⎣⎦，当且仅当=12a b ==时，取等号，故原式的最大值为12．（2）原式=112122ab b a b a ab a b===+++，因为121222()123b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33≥+=+2b a a b =，即12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩3≤=-故原式的最大值为3-．。

重庆南开中学2019年高三数学理测试题含解析

重庆南开中学2019年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则下列结论正确的是（）A．在区间内单调递增B．在区间内单调递减C.是偶函数D．是奇函数，且在区间内单调递增参考答案：D2. 已知,则等于A 2mBC D参考答案：C3. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：C4. 已知等比数列，分别表示其前项积，且，则（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是A． B．C． D．参考答案：C【知识点】函数与方程B9解析：令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.当时，易知临界位置为过点和，分别求出这两个位置的斜率和，由图可知此时当时，设过点向函数的图象作切线的切点为，则由函数的导数为得解得，得切线的斜率为，而过点的斜率为，由图知此时，【思路点拨】令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.然后对m分类讨论.6. （理）已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C，其中，存在实数λ，μ满足，则实数λ，μ的关系为( )A．λ2+μ2=1 B．C．λμ=1D．λ+μ=1参考答案：A考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得||=||=||=1，且，再把=﹣λ﹣μ，平方可得结论．解答：解：由题意可得||=||=||=1，且．∵，即=﹣λ﹣μ，平方可得1=λ2+μ2，故选：A．点评：本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多，属于基础题．7. 已知集合, 则=( )A. B. C. D. (－1,1]参考答案：B8. 设是方程的两个实根，则的最小值是A、B、C、D、不存在参考答案：C略9. 是集合A到集合B的一个函数，其中，则为单调递增函数的概率是（）A B C D参考答案：D略10. 已知数列满足：a1＝1，，(n∈N*)，若，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( ) ( )A．λ>2 B．λ>3 C．λ<2 D．λ<3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量不共线，，，如果，则k=______．参考答案：【分析】由向量，所以，得到且，即可求解，得到答案。

天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷

天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷一、单选题1、已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合={1,2,3,5}A ，={2,4}B ，则()U A B ⋃ð=（） A.{0,2,4}B.{4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}2、设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（） A.0 B.3 C.6 D.12 3、设x R ∈，则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-3≤x ≤3”的（） A.充分不必要区间 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则（） A.x ＜y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x5、已知函数224,2()log ,2x x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A.[1,0)-B.(1,2]C.(1,)+∞D.(2,)+∞6、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，22(log )(22)f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（） A.(0,1]B.1[,2]2C.(0,2]D.[2,)+∞7、已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为'()f x ，则以下4个命题：①()f x 的单调减区间是2(,2)3-；②()f x 的极小值是-15； ③()f x 有且只有一个零点；④当0a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()'()()f x f a f a x a >+-。

其中真命题的个数为（） A.1 B.2 C.3D.48、已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，22log (1),(1,0]()173,(,1]22x x f x x x x --∈-⎧⎪=⎨---∈-∞-⎪⎩，若关于x 的方程()=()f x t t R ∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345++++x x x x x 的取值范围是（） A.(2,1)-- B.(1,1)- C.(1,2) D.(2,3)二、填空题9．设i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则a 的值为______． 10．若（x ＋）8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________．11．数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n 为奇数为偶数⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =_________．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22.2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 上的点到直线l 距离的最小值为________________.13．已知函数()2ln f x x x =-与()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是__________．14．已知函数()1,0,0x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩，其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ¹，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若关于x 的方程()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________________.三、解答题15．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC ＋(cosA － sinA)cosB ＝0． (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．16．甲、乙、丙三个口袋内部分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球.（Ⅰ）求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率；（Ⅱ）求摸出的3个球中含有有色球个数ξ的概率分布列和数学期望.17．已知函数()()21202f x ax x a =+≠，()ln g x x =. （Ⅰ）若()()()h x f x g x =-存在单调增区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()()21g x f x a x'=-+在区间1,e e⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a 的取值范围？若不存在，请说明理由.18．已知等比数列的公比，且，． Ⅰ 求数列的通项公式；Ⅱ 设，是数列的前n 项和，对任意正整数n 不等式恒成立，求实数a 的取值范围．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．20．已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()xg x e '=，且()()01g g e '=，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于()0,x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-.0)(1)(0)y k x k =-≠x P C ,A B天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷一、单选题1、已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合={1,2,3,5}A ，={2,4}B ，则()U A B ⋃ð=（） A .{0,2,4}B.{4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}2、设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（） A.0 B.3 C .6 D.12 3、设x R ∈，则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-3≤x ≤3”的（） A .充分不必要区间 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则（） A.x ＜y<zB.z<x<yC.z<y<xD .y<z<x5、已知函数224,2()log ,2x x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A.[1,0)-B.(1,2]C .(1,)+∞D.(2,)+∞6、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，22(log )(22)f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（） A.(0,1]B .1[,2]2C.(0,2]D.[2,)+∞7、已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为'()f x ，则以下4个命题：①()f x 的单调减区间是2(,2)3-；②()f x 的极小值是-15； ③()f x 有且只有一个零点；④当0a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()'()()f x f a f a x a >+-。

2019年天津市南开中学高三上学期第一次月考(理科)数学试题(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5南开中学高三第一次月者数学试卷本试卷分第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，祝各位考生考试腰利！一、选择题（每题5分，共40分）1．设集合{}{}2S=x|x>-2,|340T x x x =+-≤，则S T =（）A ．(]2,1-B ．(],4-∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．在四边形ABCD 中，0,AB BC BC AD ⋅=⋅，则四边形ABCD 是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．己知向量0,AB BC BC AD ⋅=⋅，若0,AB BC BC AD ⋅=⋅，则n=( )A ．-3B ． 3C ．1D ．-14．函数2sin cos 2y x x x θ=+( )A ．2(,3πB ．5(,6πC ．2(3π-D ．(3π 5．已知曲线的极坐标方程为24cos22θρ=-，则其直角坐标下的方程是( ) A ．22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1x y +-=6．不等式252(1)x x +≥-的解集是( ) A ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(]1,11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在CB 方向上的投影为( )AB ． 3 C． D ．-38．已知1212120a a b b c c ≠，命题111222:a b c p a b c ==，命题q:两个关于x 的不等式221112220,0a x b x c a x b x c ++>++>解集相同则命题p 是命题q 的( )条件A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要二、填空题（每题5分，共30分）9．已知5sin 04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________ 10．在△ABC 中，90,60ABC C A ∠=∠=，过C 作ABC D 的外接圆的切线CD,BD CD ⊥与外接圆交于点E ，则DE 的长为_______________.11．在ABC D 中，角A ，B ，C 所对的边分别为d ，b ，c,若bcosA 、ccosC 、acosB 成等差数列，则角C=_____________12．将函数2sin(2)4y x π=-图象上所有点的纵坐标缩小到原来的12，横坐标伸长到原来的2倍，再将图象向左平移4π，则所得图象解析式为y=____________ 1 3．已知E ，F 为平行四边形ABCD 中边BC 与边CD 的中点，且160AF AE EAF ==∠=，则AB BC ⋅=_____________14.命题p:关于x 的方程240x ax -+=有实根，命题q:关于x 的函数224y x ax =++在[),b +∞上是增函数，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则b 的取值范围是___________三．解答题（15-18每题13分，19,20每题14分）15．已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- (,0)x x R ω∈>，相邻两条对称轴之间的距离等于2π (1)求()4f π的值(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值. 16某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。