运筹学一般单纯形法
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运筹学单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法，又称单纯性法，是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它在运筹学中发挥着重要作用。它主要应用于决策及资源分配问题，可以帮助决策者更好地把握资源的优化配置，并寻求最优解。
单纯性法是以线性规划问题作为理论基础，它是将该问题转化为一系列形如Ax=b的线性方程组的运筹学方法。在这个方程组通过调整方程中的系数和右面常数而变换为形如Cx≤d的不等式形式，而这种不等式系统称为单纯性约束条件。单纯性法从不等式中寻找一系列基向量，并通过改变基向量来实现改变不等式的求解方程之间的关系，从而求出最优解的问题。
传统的单纯性法分为有界单纯性和无界单纯性两种情形。无界单纯性以简单费用曲线方法、扩展的简单费用曲线方法和增广次数法三大类。有界单纯性主要是对对角单纯性和非对角单纯性这两类单纯性系统分别使用不同的方法进行求解。
单纯性求解方法在线性规划问题求解中具有重要应用，它能通过求解线性规划问题中的一系列互不相关的子问题来求出最优解。使用该方法，可以以最少的成本达到最优的收益，它包括费用最低优化、网络流优化、全格研究和数学优化模型等。
运筹学 第三章 单纯形法(1,2两节)
第一节 线性规划问题的几何意义
X（1） X（2）
（A）
X（1）
X（2）
（B）
第一节 线性规划问题的几何意义
凸集定义的另外一种表示形式： 设X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））是n维欧氏空间（高 等数学中常用名词，参看文献（3）中的一个点集， 任意两点X（1）、X（2）∈K 的连线上一切点[αX（1）+ （1-α）X（2）] ∈K（0<α<1）,则称K为凸集。
在上一章第三节我们已经得出这样的结论，若两 个或三个变量的线性规划问题的最优解存在，则可以 在问题的可行域的顶点上达到。这个结论可以推广到 三个以上变量的线性规划问题上去，以下内容是与此 有关的说明与论证。
凸集。若任意两点X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））在 某个点集中，且连接这两点的线段上的所有点也在这 个点集之中，称这个点集为凸集。
第一节 线性规划问题的几何意义
全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变 换)；所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素 同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常 数后再加到另一行，过程与我们中学学过的解方程组 的消元法完全一致。详细内容请参看文献（3）中与 此有关的内容。
令不与基本矩阵中列向量对应的变量（这些变量 就叫非基变量 ）为零后，约束方程中剩余的与基本矩 阵对应的变量就可唯一求得（这些变量就叫基变量）， 求得的这个解就叫基本解（参看课本16页）。
运筹学5-单纯形法
10
5 1 B23 2 0
5 0
1 0
B24 2 1 B34 0 1
C42
4!
2!4 2!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0, 所以有6个基阵和
6个基本解。
对于基阵
3 B12 6
5 2
令 x3 0 x4 0
则 3x1 5x2 15 6x1 2x2 24
X 15 3 0 0T
a2m1
amm1
a1m2 a2m2
amm2
a1n a2n amn
非 基 向 量
X B x1 x2 xm T
X N xm1 xm2 xn T
基变量
非基变量
AX b
A B N
X
X X
B N
B
N
Hale Waihona Puke Baidu
X X
B N
b
BX B NX N b
BX B b NX N
X B B1b B1NX N
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
运筹学单纯形法
运筹学
Operations Research
2.2 单纯形法
Baidu Nhomakorabea
2.2.1 线性规划模型的标准形式
一、标准型要求：
（1）目标最大化（max） （2）约束是“=”约束 （3）右端项非负 （4）所有变量非负 标准型
二、非标准型化为标准型
(1) min CX
加负号
max(-CX)
min z=2x1+4x2 (令z’=-z) max z’=-2x1-4x2 (2) AX≤b
加松弛变量Xs
AX+IXs=b
X≥0
X,Xs≥0
-x1+x2+4x3≤2 (引入松弛变量x4) -x1+x2+4x3+x4=2 松弛变量的意义：未被充分利用（剩余）的资源， 松弛变量的价格系数是0（c4=0）。
(3) -x1+x2+4x3≥2 (引入剩余变量x5) -x1+x2+4x3-x5=2 剩余变量的意义：超用的资源（c5=0）
(4) xj≤0
( 令 xj’= -xj )
x j ’≥ 0
(5) xj为自由变量
( 令xj=xj’-xj’’ )
xj’≥0, xj’’≥0
例1：在煤电油例中，其线性规划模型为： maxz = 7x1+12x2 9x1+ 4x2≤360 4x1+ 5x2≤200 s.t. 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0 化标准型：增加松弛变量x3、x4、x5 maxz = 7x1+12x2+0x3+0x4+0x5 9x1+ 4x2 +x3 =360 +x4 =200 s.t. 4x1+ 5x2 3x1+10x2 +x5 =300 x1,…,x5≥0
Operations Research
2.2 单纯形法
Baidu Nhomakorabea
2.2.1 线性规划模型的标准形式
一、标准型要求：
（1）目标最大化（max） （2）约束是“=”约束 （3）右端项非负 （4）所有变量非负 标准型
二、非标准型化为标准型
(1) min CX
加负号
max(-CX)
min z=2x1+4x2 (令z’=-z) max z’=-2x1-4x2 (2) AX≤b
加松弛变量Xs
AX+IXs=b
X≥0
X,Xs≥0
-x1+x2+4x3≤2 (引入松弛变量x4) -x1+x2+4x3+x4=2 松弛变量的意义：未被充分利用（剩余）的资源， 松弛变量的价格系数是0（c4=0）。
(3) -x1+x2+4x3≥2 (引入剩余变量x5) -x1+x2+4x3-x5=2 剩余变量的意义：超用的资源（c5=0）
(4) xj≤0
( 令 xj’= -xj )
x j ’≥ 0
(5) xj为自由变量
( 令xj=xj’-xj’’ )
xj’≥0, xj’’≥0
例1：在煤电油例中，其线性规划模型为： maxz = 7x1+12x2 9x1+ 4x2≤360 4x1+ 5x2≤200 s.t. 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0 化标准型：增加松弛变量x3、x4、x5 maxz = 7x1+12x2+0x3+0x4+0x5 9x1+ 4x2 +x3 =360 +x4 =200 s.t. 4x1+ 5x2 3x1+10x2 +x5 =300 x1,…,x5≥0
物流运筹学单纯形法
B b X1 360 200 300 9 4 3 0 7 X2 4 5 10 ★ 0 12 ★ X3 1 0 0 0 X4 0 1 0 0 X5 0 0 1 0
-1
7
12
0
0
0
θ检验数（用来 确定出基变量） θ1 =360/4=90 θ2 =200/5=40
★ θ3 =300/10=30
Z=
σj = cj-CB B-1Pj
x1 x 2
x3 x4 x5
1 0 0
为了求解初始基本可行解的方 便，选择单位矩阵为初始基。
9
A=
4
4
3
5
10
0
0
基 本 解、 基 本 可 行 解
1
0
0
1
N
基
B 1 P3 P4 1 P5 0 0 0 1 0 0 0 1
B
令x1 , x2 0
0 x3 360 x 200 4 X 360 s.t. x5 300 200 x3 , x4 , x5 0 300 0
Байду номын сангаас
初始基
非 基 9 4 向 N1 P1 P2 4 5 量 3 10 矩 阵 非 基 变 xN1 x1 x2 量
基 变 量 x B1 x3 x4 x5
运筹学 第二章 单纯形法
x 4 x5 b
目标函数系数行
按最小非负比值规则：
1 1 Z 8 x2 x4 3 3
1 3 15 4 min , , 5 1/ 3 2 / 3 2
12
x1 x2 x3
5 0 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3 5 0 1 1/ 3 0 1 0 1/ 3 1 1
x4 , x 5
7
中选一个离开基转为非基变量，称为出基。谁出基？
又因为 x 2 仍留作非基变量，故仍有 x2 0
（2）式变为
0 x3 15 x4 24 6 x1 0 x 5 x 0 1 5
24 x1 6
x1 5
24 再让 x1 从零增加，能取得的最大值为 x1 min{ ,5} 4. 6
3
换一种思路：若从某一基本可行解（今后称 之为初始基本可行解）出发，每次总是寻找 比上一个更“好”的基本可行解，逐步改善， 直至最优。这需要解决以下三个问题： 1.如何找到一个初始的基本可行解。 2.如何判别当前的基本可行解是否已达到了 最优解。 3.若当前解不是最优解，如何去寻找一个改 善了的基本可行解。
20
max S 0 x1 0 x2 x3 x4 0 x5 1
x3 0 当 时，不管 x2 取何值，均有目标函数 x4 0 x1 2 x2 1 取得最大值1。此时约束方程为：3 x x 5 2 5
运筹学02-单纯形法
(2.1)
xn+1, xn+2, … , xn+m 称为人工变量。
初始基本可行解：( 人造基本解 )
X0 = ( 0, 0, … , 0, b1, b2, …, bm )T
n个
18
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
基本思想：
人造解 X0 不是原LP问题的基本可行解。 但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟 的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即 人工变量xn+1 = xn+2 = … = xn+m = 0），则X0的 前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。
基 解
cj
cn xn
x1 1 0
┇
x2 … xm 0 … 1 …
┇
xm+1
…
比值
c1 c2
┇
x1 x2
┇
b1 b2
┇
0 0
┇
a1,m+1 … a1n a2,m+1 … a2n
┇ ┇
cm xm
检验行
bm z0
0 0
0 … 0 …
1 0
am,m+1 … amn
σm+1
… σm
11
第2章
单纯形法
2.2 单纯形法的计算过程
0 5 第 0
运筹学---单纯形法
运筹学---单纯形法
单纯形法是一种解线性规划问题的有效算法。在这个问题中，我们寻找一组决策变量，以便最大化或最小化一个线性目标函数，同时满足一系列线性限制条件。单纯形法通过暴
力搜索可行解并逐步优化目标函数来求解该问题。
单纯形法的主要思想是从一个初始可行解开始，并通过迭代来逐步移动到更优的解。
在每一步迭代中，算法将当前解移动到一个相邻的顶点，直到找到一个优于当前解的顶点。具体操作包括选择一个非基变量，并将其作为入基变量，同时选择一个基变量并将其作为
出基变量。新的基变量将替换原来的非基变量，并且目标函数的值将被更新。
关键是如何选择入基变量和出基变量。为此，单纯形法使用一个称为单纯形表的矩阵
来跟踪线性规划问题的状态。单纯形表包含目标函数系数，限制条件系数，决策变量的当
前值以及对角线上的单位矩阵。通过适当地操作这个表，可以确定要移动到哪个相邻顶点，并相应地更新解和目标函数的值。
一般来说，单纯形法需要在指数时间内解决线性规划问题，因为需要遍历所有可能的
可行解。但是，在实际应用中，单纯形法往往比其他算法更快和更有效。此外，在使用单
纯形法时，需要注意陷入无限循环或者找不到一个可行解的可能性。
单纯形法的主要优点是：它是一种简单而直观的求解线性规划问题的方法；它易于实现，并且在许多情况下可以很快地求解问题。它还可以用于解决大规模问题，包括具有成
千上万个变量和限制条件的问题。
在实际应用中，单纯形法经常与其他算法结合使用，例如内点法或分支定界法。这些
方法可以提供更好的性能和结果。但是，在许多情况下，单纯形法仍然是解决线性规划问
管 理 运 筹 学第5章 单纯形法
管 理 运 筹 学
15
z0 = ∑ ci bi ,
σ j = cj zj;
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列 向量为 p′j ( j = 1, 2,L , n ) 则 z j = ( c B 1 , L , c Bm ) p ′j = ( c B ) p ′j , 其中，(cB)是由第1列第m行各约束方程中的基变量相应的目标函数依 次组成的有序行向量。 单纯形法的表格形式是把用单纯形法求出基本可行解、检验其最优性、 迭代某步骤都用表格的方式来计算求出，其表格的形式有些像增广矩阵， 而其计算的方法也大体上使用矩阵的行的初等变换。以下用单纯形表格来 求解第二章的例1。 max 50x1+100x2+0s1+0s2+0s3. x1+x2+s1=300， 2x1+x2+s2=400， x2+s3=250， x1, x2, s1, s2, s3≥0. 把上面的数据填入如下的单纯形表格
管
理
运
筹
学
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如， 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向 量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等 于零。
15
z0 = ∑ ci bi ,
σ j = cj zj;
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列 向量为 p′j ( j = 1, 2,L , n ) 则 z j = ( c B 1 , L , c Bm ) p ′j = ( c B ) p ′j , 其中，(cB)是由第1列第m行各约束方程中的基变量相应的目标函数依 次组成的有序行向量。 单纯形法的表格形式是把用单纯形法求出基本可行解、检验其最优性、 迭代某步骤都用表格的方式来计算求出，其表格的形式有些像增广矩阵， 而其计算的方法也大体上使用矩阵的行的初等变换。以下用单纯形表格来 求解第二章的例1。 max 50x1+100x2+0s1+0s2+0s3. x1+x2+s1=300， 2x1+x2+s2=400， x2+s3=250， x1, x2, s1, s2, s3≥0. 把上面的数据填入如下的单纯形表格
管
理
运
筹
学
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如， 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向 量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等 于零。
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
m
( p j aij pi ) 0 i 1
m
p j aij pi 相减，然后乘上一个正数θ ,加上
i 1
m
pi xi(0) b 经过整理得到：
i1
m
m
m
( p j aij pi ) pi xi0 b, (xi0 aij )pi p j b
i 1
i 1
i 1
n源自文库
找到满足约束方程组 p j x j b 的另一点：
j 1
第j个大于0
只变换1个变量；
X (1) (x10 a1j ,...,xm0 amj ,0,...,,...0)T
前m个变量必须换 出1个
单纯形法基本原理
其中θ 是X（1）的第j个坐标的值，要使X（1）是一个 基可行解，对所有的i=1,…,m,存在
n
MaxZ c j x j j 1
代入约束条件有
s.t.
n
Pj x j b
j 1
x j 0( j 1,2,3...n)
m
pi xi0 b
i1
单纯形法基本原理
系数矩阵的增广矩阵
p1 p2 ... pm pm1 ... p j ... pn b
1 0 ..... 0 a1,m1 ..... a1, j . a1,n b1
运筹学-单纯型法
STEP 0 找到一个初始的基础可行解，确定基变量和非 基变量。转STEP 1。 STEP 1 将目标函数和基变量分别用非基变量表示。转 STEP 2。 STEP 2 如果目标函数中所有非基变量的系数全部为负 数，则已经获得最优解。运算终止。否则，选 取系数为正数并且绝对值最大的非基变量进基。 转STEP 3。 STEP 3 如果进基变量增加时，基变量都不减少，则可 行域开放，目标函数无界。运算终止。否则， 随着进基变量的增加，最先下降到0的基变量 离基。转STEP 1。
线性规划基本概念练习
9、从O到D的单纯形迭代， 进基变量是（ x2 ）， 离基变量是（ x4 ）。 从D到C的单纯形迭代， 进基变量是（ x1 ）， 离基变量是（ x3 ）。 从C到E的单纯形迭代， 进基变量是（ x4 ）， 离基变量是（ x5 ）。 x5=0
I
-2 x2
F 6 E G 4 H D 3
两阶段法的算法流程图
min z=x1+x2 s.t. 3x1+2x2 -x3 =35 x1- x2 -x4=28 x1, x2, x3, x4≥0
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解 引进人工变量x5，x6，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为 所有人工变量之和
min z’=x5+x6 s.t. 3x1+2x2 -x3 +x5 =35 x1- x2 -x4 +x6=28 x1, x2, x3, x4, x5, x6≥0
线性规划基本概念练习
9、从O到D的单纯形迭代， 进基变量是（ x2 ）， 离基变量是（ x4 ）。 从D到C的单纯形迭代， 进基变量是（ x1 ）， 离基变量是（ x3 ）。 从C到E的单纯形迭代， 进基变量是（ x4 ）， 离基变量是（ x5 ）。 x5=0
I
-2 x2
F 6 E G 4 H D 3
两阶段法的算法流程图
min z=x1+x2 s.t. 3x1+2x2 -x3 =35 x1- x2 -x4=28 x1, x2, x3, x4≥0
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解 引进人工变量x5，x6，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为 所有人工变量之和
min z’=x5+x6 s.t. 3x1+2x2 -x3 +x5 =35 x1- x2 -x4 +x6=28 x1, x2, x3, x4, x5, x6≥0
运筹学-第1章 3-单纯形法
9
3.基变换
• 变换目的：使目标函数Z值得到改善，接近最优解，一次基变换， 是从该顶点到相邻顶点，即一次基变换仅变换一个基变量。 换入变量的确定（入基变量）
σk>0,aik 至少一个大于0，若σk=Max{σj| σj>0},则xk为换入变量。
换出变量的确定（出基变量）
bi bl bi , i 1,, m, min | aik 0 aik aik alk
11
1.4 单纯形法计算步骤
求初始基可行解 最优性检验
基变换
12
单纯形法原理—单纯形法总结
STEP 0 STEP 1 STEP 2 找到一个初始的基础可行解，确定基变量和非基变量。转 STEP 1。 将目标函数和基变量分别用非基变量表示。转STEP 2。 如果目标函数中所有非基变量的检验数全部为非正数，则 已经获得最优解，如果全为负数，则为唯一最优解，运算 终止。 ；如果有为0的非基变量检验数，则有无穷多最优 解。运算终止。如果有某非基变量检验数为正，且工艺系 数全非正，则无界，运算终止。 否则，选取检验数为正数最大的非基变量进基。转STEP 3。 STEP 3 选择最小比值对应的基变量离基，进行系数初等行变换， 得新的基可行解，转STEP 1。
0 1 0 0 0 1 0 0
1 x2 5 2 1 1
5 1/3 [ 2/3 ] [1/3] 0 0 1 0
运筹学一般单纯形法
0 P4 0 1 0 0
0 Qi P5 0 0 1 0 3 6 2 → 注
Cj-Zj
0
2
0
4
x4
x2 → 2 0
0
1 0 0 1
Cj-Zj
Cj 段 ↓ 0
→ 基 x3
0 b 6
3 P1 1
4 P2 2
0 P3 1
0 P4 0
0 Qi P5 0 3 注
1
0
0
x4
x5 → x3 x4
12
2 0 2 8
Cj-Zj
结论
所有检验数均为非正，得最优解、最优值。
最优解即基变量对应的ｂ列数值，不在基变量范
围的其他变量数值为０；
最优值检验数对应的ｂ列数值的相反数。
段 1
Cj
↓ 0
→
基 x3
0
b 24
3
P1 3
10
P2 4
0
P3 1
0
P4 0 Qi 6 注
0
0
x4
→ x3
15
0 12
-1
3 (19/5)
1/5 -2
Cj-Zj
3 3 10
Cj-Zj
换基迭代，计算新元素（原主元行）
Cj → 基 x3 0 b 24 3 P1 3 10 P2 4 0 P3 1 0 P4 0 Qi 6 注
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
单纯形法基本原理
问题
①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎么办？ 构造单位阵 ②初始可行基一定要选单位阵？ b列正好就是基变量的取值，因此称b列 为解答列
单纯形法基本原理
Biblioteka Baidu（2）写出初始基可行解——
令非基变量取 0 ，基变量对应 b(i) ，一起构 成初始基可行解
p1 p2 ... pm pm 1 ... p j ... pn . a1,n . a2 , n . . . am , n b b1 b2 . bm 1 0 ..... 0 a1,m 1 ..... a1, j 0 1 ... 0 a ..... a2, j 2 , m 1 . . . . . . . 0 0 . 1 am,m 1 . am, j
当线性规划的约束条件均为≤，其松弛变量的系数矩阵为单位 矩阵；当线性规划的约束条件均为≥或=，为便于找到初始基 可行解，构造人工变量，人为产生一个单位矩阵。
单纯形法基本原理
式中p1,„,pm 为基变量,同其所对应的 x1,x2,„..,xm为基变量；其它变量 xm+1,xm+2，„„,xn为非基变量。令所有的非基变量 等于零。
初始基本可行解：
X ( 0) ( x1 , x2 ,, xm ,0,0,...,0)T (b1 , b2 ,......,bm ,0,0,...,0)T
运筹学1-4单纯型法的计算步骤
max Z 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.
4 4
x1 x2
16 12
x1, x2 0
(台时约束) （原材料约束）
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
阵变成如下形式：
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 0 0
0
a1,m1
a1,m2
0
a2,m1
a2,m2
1
运筹学单纯形法例题
= =
2x1 + x2 x1 + 3x2
+ +
x3 x4
就等价的代换成
⎪⎧30 ⎨ ⎪10 ⎩
= =
5
3 1
3
x1 x1
+ +
x3 x2
− +
1
3 1
3
x4 x4
将这些系数填入表格中。
3
4
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
bi aik
40
0
x3
40
2
1
1
= 40
0
1
0
x4
30
1
[3]
0
30
1
= 10
3
σ
3
4
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
bi aik
40
0
x3
40
2
1
1
= 40
0
1
0
x4
30
1
[3]
0
σ
(1) j
=cj
− CB
⋅ Pj
3
4
0
1
30 = 10
3
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步骤1
▪ 引入松弛变量等，将问题化成标准形式；
max F 3x1 10x2 0x3 0x4 s.t. 3x1 4x2 x3 24 x1 5x2 x4 15 x j 0, j 1,2,3,4
步骤2
▪ 具体写出各系数矩阵Ａ，B，Ｐj和Ｃ; ▪ 特别注意：A矩阵中有否完全单位向量组。
cj → 0 3 10 0
0
段 ↓ 基 b P1 P2 P3
P4
θi 注
1
Fra Baidu bibliotek
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 5 0
1
cj-zj
→
cj → 0 3 10 0
0
段 ↓ 基 b P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 5 0
1
cj-zj
→
3 10 0 0
步骤4.2：判断
▪ （１）若所有检验数均≤０时，即得到最优解和 最优值；
▪ （２）若检验数存在正值，继续下一步。
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基 b
P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 5 0
1
cj-zj
→
3 10 0 0
▪ 本例中：c1-z1>0，c2-z2>0
步骤5：换基迭代
其余均为0。
Cj
→
0
3
10
0
0
段
↓基
b
P1
P2
P3
P4
θi
注
1
0
x3
24
3
4
1
0
6
0
x4
15
-1
(5)
0
1
3 调出
Cj-Zj
→
3
10
0
0
2
0
x3
0
10
x2
3 -1/5 1
0
1/5
Cj-Zj
→
则：A=-4
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基
b
P1
P2
P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
计算检验数，判断检验数
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基 b
P1 P2 P3
P4
Qi 注
1
0
x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3 12 19/5 0
10 x2 3 -1/5 1
Cj-Zj →
1 -4/5 0 1/5
计算检验数，判断检验数
pi* j*
将原主元行上的元素，分别除以主元素，使主元素
为“1”。即：
Cj → 0
3 10 0
0
段↓基
b
P1
P2
P3
P4
θi 注
1
0
x3 24
3
4
1
0
6
0
x4 15
-1 (5)
0
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3
10 x2
Cj-Zj →
例：
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基
b
P1 P2
▪ 5.1决定主元素 ▪ 5.2换基迭代 ▪ 5.3计算新元素
5.1 决定主元素：
▪ 当表中出现正检验数时，找出其中绝对值最大的一个所在的列作为主元 列，记为Pj*，然后用主元列中各正分量去除b列中相应的分量，得到θ i，接 着取θ i中最小的分量所在的行为主元行，记为Pi*；主元行与主元列相交处 的元素即主元素，记为Pi*j*；找到主元素后，打上一个圈以示区别。
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3 12 19/5 0
1
-4/5
10 x2 3 -1/5 1 0 1/5
Cj-Zj →
步骤6：回到第4步
▪ 步骤4：计算检验数、判断检验数
➢ 计算检验数Ｃｊ-Ｚｊ：
（１）若所有检验数均≤０时，即得到最优解和最优值； （２）若检验数存在正值，继续下一步。
主元素
6 主元行
3
5.2：换基
▪ 把主元行对应的变量（出基变量/调出变量）从基底调出，
用主元列对应的变量（入基变量/调入变量）代替之，进入
下一段。
例中：x4调出，x2调入。
Cj → 0 3 10 0 0
段 ↓基 b
P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
P4
θi 注
1
cj-zj →
例
cj → 0 3 10 0 段 ↓ 基 b P1 P2 P3
0 P4
θi 注
1 0 x3 24 3 4 1 0 0 x4 15 -1 5 0 1
cj-zj →
步骤4.1
c j z j c j cB p j
▪ 计算检验数Ｃｊ－Ｚｊ：其中Ｚｊ等于Ｐｊ中各分 量与相应的左边各Ｃｊ的乘积之和，Ｃｊ－Ｚｊ等 于Ｐｊ上面对应的Ｃｊ减去Ｚｊ；
A
3 1
4 5
1 0
0 1
B 1254
3
4
1
0
P1 1 P2 5 P3 0 P4 1
C 3 10 0 0
步骤3
▪ 形成初始表如下，表中基变量为Ａ矩阵中完 全单位向量组对应的变量。
段 cj → ↓基
C
b
p1 p2 … pn
θi
注
基变 基 1 量对 变
应的 量
cj
例
cj → 段 ↓ 基 b P1 P2 P3
第三章 单纯形法
▪ 单纯形法适用于任何线性规划问题的求解。
▪ 单纯形法的一般解法 ▪ 大M法和两阶段法 ▪ 修正单纯形法 ▪ 单纯形法的数学原理
第一节 单纯形法的一般解法
▪ 例：
max F 3x1 10x2 s.t. 3x1 4x2 24 x1 5x2 15 x1 0, x2 0
1
3
Cj-Zj →
3 10 0 0
换基后
Cj → 0 3 10 0
0
段
↓基 b
P1 P2 P3
P4
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 (5) 0
1
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0 x3
10 x2
Cj-Zj →
θi 注
6 3
5.3：计算新元素
5.3.1 原主元行上元素的计算：
pi*t p i*t '
Cj → 0 3 10 0 0
段↓基
b
P1 P2 P3
P4
θi 注
1
0 x3 24 3
4
1
0
0 x4 15 -1 5 0
1
Cj-Zj →
3 10 0 0
例： 主元列
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基
b
P1
P2
P3
P4
θi 注
0 1
0 Cj-Zj
x3 24 3 4
x4 15 -1 (5)
→
3 10
10 01 00
Cj → 0 3 10 0
0
段↓基 b
P1 P2 P3
P4
Qi 注
1
0
x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3 12 (19/5) 0
10 x2 3 -1/5 1
P3
P4
θi 注
1
0
x3 24 3
4
1
0
6
0 x4 15 -1 (5) 0
1
3 调出
Cj-Zj →
3 10 0
0
2
0
x3
10 x2 3 -1/5 1 0 1/5
Cj-Zj →
5.3 计算新元素
▪ 5.3.2 原非主元行上元素的计算：
先将原主元行上的新元素乘以某一数A后，分别加上原非主
元行上的元素，使原主元列上各元素除了原主元素为“1”外，