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概率论与数理统计ppt课件(完整版)

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§3. 概率的概念 一. 古典定义:
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S={1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点,则事件A的概率定义为
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(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集,在每次试验中总是 发生的,称为必然事件。
不可能事件:空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生,称为不可能事件。
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例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
(2)A B
A B
(3)A B
S 高校教育精品PPT
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4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)A B
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5.事件的互不相容(互斥): 若A B ,则称A与B是互不相容的,或互斥的,即

数理统计基础及应用概述PPT课件( 56页)

数理统计基础及应用概述PPT课件( 56页)

二、控制图法
控制图是通过对过程中各特性值进行测定、记录、 评估和监察过程是否处于控制状态的一种用统计方 法设计的图。
在控制图中有两条平行的上下控制界限和中心线, 并有按时间序列排列的样本统计量数值的描点序列。
如果控制图中描点落在控制界限之内,则表明过程 正常;
若控制图中描点落在控制界限之外或描点序列在界 限之间有某一种或几种不正常的趋势,则表明过程 异常。
(1)这种误差与某一因素有明显的相关关系, 可能是某一因素的函数,也可能是一个常 数。
(2)如果重复测量某一相同质量特征值,系 统误差可能重复出现,且正负号不变。
(3)测量的结果经过修正后,可接近实际值。
6.可避免因素评论
这种质量误差与某一因素有明显的相关关系,用数 理统计的方法进行分析,可以很快找出原因,加以 纠正,使误差值控制在要求的范围内。但是,既是 误差并不超出允许的范围,这种误差也有可能存在, 也应找出原因加以纠正。
Rxmaxxmin
(4)标准偏差:反映质量数据分散程度。
S
1 n1(xi
x)2
(5)变异系数:表示数据相对波动大小的指标,Cv
值越小表示离散性越小,则均匀性越好。
Cv S *100% x
例2.1
四、数据的分布特征
质量数据具有一定的规律性,这种规律 性一般用概率分布来描述。
• 正态分布
根据它的特征用数学表达式来表示,是正态分布函 数,这种误差在工程中是不可避免的,只要质量波 动在允许的范围内,就不必纠正,是生产过程中的 正常现象。
在一定的科学技术条件下,要强行消除这类因素, 不仅在技术上难以达到,而且也不经济。
6.可避免因素
称为系统性因素或非偶然因素,其对质量特 征值的影响具有以下特征:

数理统计知识点PPT课件

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]
为底边,作高为 fi xi'
频率直方图.
的矩形,xi' xi'1 xi' , i 1,2,, n 1 ,即得
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三、几个在统计中常用的概率分布
1、正态分布 N (m,s 2 )
密度函数: p(x)
1
( xm )2
e 2s 2 分布函数:F (x)
2p s
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
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4. F 分布 F(n1,n2) 若 X~ 2 (n1),Y~ 2 (n2),且相互独立,则随机变量
X
F n1 Y
n2
服从自由度为(n1,n2)的 F 分布,记作 F~ F(n1,n2).
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1、总体方差s 2 已知
用 u 检验,检验的拒绝域为
W {z u } 1 2
即 W {z u1 或z u1 }
2
2
2.总体方差s 2 未知
用样本方差s 2 代替总体方差s 2 ,这种检验叫 t 检验.
H0
H1
Ⅰ m m0 m m0 Ⅱ m m0 m m0 Ⅲ m m0 m m0
其中 m 为均值,s 2 为方差, x .
1
e dy x
( ym )2 2s 2
2ps
标准正态分布:N(0,1)
0.4
密度函数
j (x)

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化学
在化学领域,概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布,如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中,概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布, 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n),在概 率论中,分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合,样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ,如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数,如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间,表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设,然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验,X,Y是定义在E上,取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X,Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X,Y)是一个二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y),在概率论中,分别定义了X的边缘分布和Y的

数学数理统计PPT课件

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b}P{anpnnpbnp}
npq npq npq
(bnp)(anp)
npq
npq
-25-
例 某单位有200台电话分机,每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的,问该单位总机要安装多少条外线,才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待?
解:设有X部分机同时使用外线,则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0. n ,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
去掉,代之以 (Markov) 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
-11-
二 随机变量的收敛性
定义1 设 X1,X2,,Xn, 为一列随机变量,如果
存在常数 a使得对于任意的 0, 有
ln i P m X n a 1
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为 Xn Pa
定义2 设 X1, X2, ,为一列随机变量,X是随机变量
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 X为一随机变量, 其数学期望 E( X )和方差 D( X )
都存在,则对于任意 0, 有
PXE(X) 22
2) A.L.Cauchy-Schwarz不等式.
设 r.v (X ,Y) ,满足 EX 2 , EY 2 则有
E(XY)2 EX2EY2
-3-
贝努里(Bernoulli) 大数定律
n i1
Xi
b}P{ani1
Xi n bn
}
n
n
n
(bn)(an)
n
n
-20-

应用数理统计讲义(PPT77张)

应用数理统计讲义(PPT77张)
i 1 n
则 称 X , ,X 是 相 互 独 立 的 。 1 n
定 理 1 如 果 { X i ,i=1, ,n} 是 一 族 独 立 的 离 散 型 随 机 变 量 , 则 P ( X t1 x1 , , X tn x n )
P(X
i 1
n
ti
xi ) , n.

其 中 x i 是 X ti 的 任 意 可 能 值 , i 1, 则 f ( x1 , , xn )
Chapter 1 预备知识
§1 概率空间
一、随机试验
具有下列三个特征的试验称为随机试验: (1)可以在相同条件下重复进行; (2)每次试验的可能结果不止一个,并且 预先知道所有可能的结果。称所有可能 的结果组成的集合为样本空间,记作Ω; (3)每次试验前不能确定那个结果会出现。
二、随机事件
样本空间Ω的元素称为基本事件或样 本点,Ω的子集称为事件。
2
, E Y ,则
2 2 2 2
[E ( X Y )] E X E Y 7 .单 调 收 敛 定 理 若 0 X n X ,则 lim E X n E X .
n
§4 常用分布族
一 、 分 布 族 定 义1 若 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 函 数 为 1 x x e , x 0, f ( x ; , ) ( ) 0 , x 0.
二、分布函数的性质
(1)F(x)↗; (2)F(-∞)=0,F(∞)=1,F(X)∈[0,1]; (3) F(x)右连续,即F(X+0)=F(x)。
三、n维随机变量
定义 2 设 ( ,F ,P )为概率空间, X ( ) ( X 1 ( ),

南京理工大学应用数理统计PPT(第八章 正交实验设计)

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即对于在 A1下的四次试验和 A下2 的四次试验来说,
虽然其它条件(B、C、D)在变动,但这种变动是
“平等的”,所以 A和1 A2之间差异反映了A的两
个水平的不同,由于
A1 A2 91.5 89.5 2 0
所以说因子A 取 A1 时平均收率较高。 同样可以比较因子B、C、D的两个水平的好坏, 各项计算都可以在正交表上进行,十分简便。
6
多因子试验的分类。 在考查A,B,C,D,…等n个因子对指标y的
作用时,若每个因子都取两个水平,则称为 2 n
因子试验问题。
若被考查的n个因子都取三个水平,则称为 3n
因子试验问题。
若被考查的因子有n+m个,其中,其中n个因子
取两水平,m个因子取三水平,则称为 2n 3m
因子试验问题。
7
§8.2 正交表
正交表是试验设计中合理安排试验,并对数据 进行统计分析的主要工具。
正交表用符号 Lp (nm ) 表示。
“ L ”代表正交表, “ p ”表示表中的行数,即要作的试验次数, “ m ”表示表中有m列,即最多允许安排的因 子个数, “ n ”表示水平数。
可以证明:n,m,p满足 m(n 1) p 1
A×C B×C D
试验
结果
yi
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
86
1
1
1
2
2
2
2
16
表头 A
B
C
D
试验
设计
结果
列号
试验 1
2
3
4

应用数理统计课件

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证明 不妨设A,B独立,则
P( AB ) P( A B ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A )P( B ) P( A )(1 P( B )) P( A )P( B )
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法:
① 由定义判断,是否满足公式;
② 由问题的性质从直观上去判断.
P ( A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 乘法公式一般用于计算n个事件同时发生的概率 19
3. 全概率公式 设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An
满足:
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)
i 1
Ai
, P( Ai )
A是B的子集,表示若事件A发生,事件B一定发生.
(2) A B(A B),
A与B的并(和).表示事件A,B至少有一个发生.
(3) A B(AB), A与B的交(积).表示事件A和B同时发生.
(4) A B , 表示事件A和B不能同时发生,称A与B互斥 (或互不相容).
(5) A B ,且A B .
(1) Ai Aj (i j);
n
(2)
i 1
Ai
, P( Ai )
0(i
1,2,, n)
则 对于任何一个正概率事件B,有
P(Aj | B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
( j 1,2,..., n)
注:
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
1.以上两个公式中的A1,A2,...,An可以看作是导致事件B
0(i
1,2,, n)
则 对于任何一个事件B,有

应用数理统计课件

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SPSS在统计中的应用
数据输入与管理
SPSS提供了数据编辑器,方便用户输入和 管理数据。
描述性统计
SPSS可以进行描述性统计,包括频数、均 值、标准差等计算。
高级统计分析
SPSS支持多种高级统计分析方法,如回归 分析、因子分析、聚类分析等。
报告生成
SPSS可以将分析结果导出为各种格式的报 告,方便用户进行汇报和交流。
季节性指数
计算时间序列的季节性指数,通过比较不同时间段的数据,了解季 节性变化对整个序列的影响程度。
季节性图
绘制时间序列的季节性图,直观地展示时间序列的季节性规律和变 化趋势。
08 统计软件应用
Excel在统计中的应用
描述性统计
Excel提供了丰富的函数和工具,可以 进行平均数、中位数、众数、方差、标
应用数理统计课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 概率论基础 • 统计推断 • 回归分析 • 方差分析 • 多元统计分析 • 时间序列分析 • 统计软件应用
01 引言
什么是应用数理统计
定义
应用数理统计是一门将数学原理和统 计方法应用于实际问题求解的学科。 它利用概率论和数理统计的理论,通 过对数据的收集、整理、分析和推断 ,为决策提供依据。
03 统计推断
点估计
总结词
点估计是一种用确定的数值对未知参数进行估计的方法。
详细描述
点估计的基本思想是用一个数值来近似表示未知参数的值。常见的点估计方法包括最大似然估计和最小二乘估计 等。这些方法通过构造适当的统计量,使得估计的参数值尽可能地接近真实值。
区间估计
总结词
区间估计是一种给出未知参数可能取值范围的方法。
核心概念

第1章应用数理统计

第1章应用数理统计

个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 X i 表示.
样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 ( X 1 , X 2 , , X n ) 表示, n为样本容量 称 ( x1 , x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值,或称样本的一个实现.
例如 (1) 设总体X具有一个样本值 1,2,3, 则经验分布函数F3(x)的 观察值为
0, 1 3 , F3 ( x ) 2 , 3 1, 若x 1, 若1 x 2, 若2 x 3, 若x 3.
(2) 设总体F具有一个样本值 1,1,2, 则经验分布函数F3(x)的观 察值为
解 令
( x1 , x2 ,, x10 ) ( 210 , 243 , 185 , 240 , 215 , 228 , 196 , 235 , 200 , 199 )
1 则 x (230 243 185 240 215 10 228 196 235 200 199) 217.19
存在
(n) 0 满足 2 P{X (n)} ,
2
为 2 (n) 分布的上分位点。 则称 (n)
2
( n)
2
4. t分布
定义1.2.4 若随机变量T具有概率密度 n1 ( ) t 2 n2 1 2 f ( t ; n) (1 ) , t n n n ( ) 2 则称T 服从自由度为n的t分布,记为 T ~ t ( n)
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
简单随机样本 若总体 X 的样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足: (1) X 1 , X 2 ,, X n 与X 有相同的分布

应用数理统计课件第一章

应用数理统计课件第一章

1. SPSS
Statistical Package for the Social Science (社会科学统计软件包) Statistical Product and Service Solutions (统计产品与服务解决方案) 用户遍布于通讯、医疗、银行、证券、 保险、制造、商业、市场研究、科研教育 等多个领域和行业,是世界上应用最广泛 的专业统计软件。
《应用数理统计》
孙 平 东北大学数学系
plsun@
1. 预 备 知 识
2.参数 估计
4.方差 分析
3.假设 检验
5.回归 分析
第1章 预备知识
第1.1节 基本概念与主要内容 第1.2节 概率论基础 第1.3节 统计量与抽样分布
统计学 ( Statistics ) 是一门收集与分析数据, 并且根据数据进行推断的艺术与科学。 ———— 《大英百科全书》 统计学理论主要包含三个部分: 1.数据收集,2.数据分析,3.由数据做出决策。
0, x ≤ x(1) k — , x(k) < x ≤ x(k+1) n 1, x > x(n)
这个函数实际上是观察值 x1,…,xn中 小于 x 的频率,即 Fn (x) = { x1,…,xn中小于 x 的个数} / n
y

2/n 1/n O ○ x(1) x(2) x(3) x ○
可以证明,经验分布函数 Fn (x) 将依概率、 甚至是几乎处处收敛到 F (x) 。
回归与相关分析
数理统计学重要应用之一
讨论数值变量之间的效应关系问题 一元线性回归 比如说,想了解儿子身高与父亲身高之间的关系。 在每个被调查的家庭中同时获得这两个变量的 观察值,分析它们是否有某种(函数)关系,… 多元线性回归 例如,钢的去碳量与不同矿石、融化时间、 炼钢炉体积等等是否有关?关系如何?…

应用数理统计课件

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目录
• 引言 • 基础知识 • 描述性统计方法 • 推断性统计方法 • 实验设计与数据分析案例
目录
• 质量控制与可靠性评估方法 • 总结与展望
01
引言
数理统计简介
01
定义
数理统计是应用概率论对数据 进行收集、整理、分析和推断
的数学学科。
02
发展历程
介绍数理统计的历史背景、发 展过程和重要里程碑。
假设检验原理及应用举例
01
原假设与备择假设
明确待检验的假设,设定原假设 和备择假设。
03
拒绝域与显著性水平
设定拒绝域和显著性水平,判断 原假设是否成立。
02
检验统计量
根据原假设选择合适的检验统计 量,如Z检验、t检验、χ²检验等

04
应用举例
通过实际案例展示假设检验的应 用,如检验两种不同教学方法的
01
数据清洗
去除异常值、缺失值和重复值,确 保数据质量。
推论性统计
运用假设检验、方差分析等方法, 推断实验结果的可靠性和有效性。
03
02
描述性统计
计算均值、中位数、标准差等指标 ,以描述数据的基本特征。
可视化展示
利用图表直观展示数据分布和趋势 ,便于理解和分析。
04
实际案例展示与讨论
案例一
某种新药的临床试验。通过 随机双盲对照实验,比较新 药与安慰剂对病患的疗效差 异,并运用统计方法进行数
效果是否有显著差异。
方差分析与回归分析简介
01
方差分析
02
回归分析
研究不同因素对观测变量影响的显著性,判断因素之间是否存在交互 作用。例如,分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响。
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例如
掷一颗质地均匀的骰子,观察其出现的点数.
设i 表示出现的点数为i(i 1,2,,6), 则i为样本点,

{1 , 2 ,, 6} A=“出现奇数点” {1 , 3 , 5} B=“点数大于零” {1 , 2 ,, 6 } C=“点数大于6”

(1) ABC .
(2) AB C A BC A B C (3) A B C AB C A BC A B C
(4) A B C A B C
11
3、随机事件的概率
(1)古典概型 设Ω 为随机试验E的样本空间,若 ①(有限性)Ω 只含有限个样本点, ②(等概性)每个基本事件出现的可能性相等, 则称E为古典概型。 (2)古典概型中事件概率的定义
21
P( A j | B)
P( A j ) P( B | A j )
n
( j 1,2,..., n)
5. 独立性
定义
若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立,简称A与B独立。
注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事 件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
取值为有限个和至多可列个值 的随机变量.
连续型 可以取区间内一切值的随机变量.
26
1.2.2 常见的随机变量及其描述
(一)离散型随机变量 1、离散型随机变量的描述——分布律
定义 设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,...,xn,...,且
pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为X的概率分布或分布律.
17

1. 条件概率
对于两个事件A、B,若P(A)>0,则称 P(B|A)=P(AB)/ P(A) 为事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 注意 (1)P(B|A)是在改变了的样本空间下考虑概率值. (2)条件概率P(B|A)满足概率的三条公理. (3) P(B|Ω)=P(B); P(B|B)=1; (4) 若B1,B2互不相容,则有: P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A) (5) P( B |A)=1-P(B|A) ……
在计算条件概率时,一般有两种方法: (1) 由条件概率的公式;
18
定义
(2) 由P(B|A)的实际意义计算.
2. 乘法公式 对于两个事件A与B, 有 P(AB)=P(A)P(B|A), 也有 P(AB)=P(B)P(A|B), P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 推广情形 对 于 n 个 事 件 A1 ,A2,…,An , 则 有
9Leabharlann (6) A B,表示事件A发生,而事件B不发生.且 A B AB .
(7) A B A B , (8) A B A B ,
注 (7)(8)结果可推广为
Ai Ai , Ai Ai
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
10
例1.2 设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示 下列事件: (1) A、B发生,C不发生; (2) A、B、C中恰有一个发生; (3) A、B、C中至多有一个发生; (4) A、B、C中至少有一个发生.
性质 6 P( A B) P( A) P( B) P( AB) ;

15
4、概率的公理化定义
由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很 多计算随机事件概率的方法.但它们都要求具有下面三 个基本性质. 设P(A)为随机事件的实值函数,若P(A)满足 ① 非负性 P(A) ≥0; ② 规范性 P(Ω)=1;
(2) Ai , P( Ai ) 0(i 1,2,, n)
i 1
n
则 对于任何一个正概率事件B,有
P( Ai ) P( B | Ai ) 注: i 1 1.以上两个公式中的A1,A2,...,An可以看作是导致事件B 出现的因素(原因);
2.P(Aj|B)一般称为 “后验概率”;Bayes公式又称为 “后验概率公式”或“逆概公式”;P(Aj)对应可以称 为“先验概率”.
事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与 运算一致,只是术语不同。 记号 Ω φ ω 概率论 样本空间,必然事件 不可能事件 样本点 集合论 空间,全集 空集 元素
A
事件
集合
A
A的对立事件(逆事件)
A的余(补)集
8
(1) A B,
A是B的子集,表示若事件A发生,事件B一定发生.
(2) A B( A B),
1.1.2 随机现象及研究 1、自然界中的两种现象:
确定性现象; 随机现象: 在条件相同的一系列重复观察中,会时 而出现时而不出现,呈现出不确定性,并且 在每次观察之前不能准确预料其是否出现, 这类现象称之为随机现象。
3
随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一试验或观察时, 其各种结果会表现出一定的量的规律性,这种 规律性称之为统计规律性。 概率论与数理统计的研究对象 概率论与数理统计是研究随机现象统计规 律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定 了它的广泛应用性。
第1章
概率论复习与补充
•§1.1 基本概念 •§1.2 一维随机变量及相关内容 •§1.3 多维随机变量及相关内容 •§1.4 大数定律与中心极限定理
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§1.1
基本概念
1.1.1 概率统计发展历史
16世纪 概率论起源于赌博问题 Fermat; Pascal; Huggens 等 17~19世纪 Bernoulli; Poisson; Buffon; Laplace; Gauss 等 20世纪30年代 苏联数学家 Kolmogrov建立了 概率论的公理化结构 19世纪末20世纪初 Fisher; Pearson; Neyman 等 数理统计发展 2 参考《数理统计学简史》 陈希孺 湖南教育出版社
注意:随机事件发生当且仅当该事件包含的某一个样本 点出现。 6
例1.1:写出下列试验的样本空间:
1.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、 C, 有2个黄球,编号D、F,现从中任取一个球,观察颜色. 若是观察编号呢?
2.观察某路口在某时间段经过的人数; 3.测量某个电子元器件的寿命。
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事件的关系与运算
③ 可列可加性 若Ai (i 1,2,)是两两互不相容的事件组,
(即Ai A j , i j ), 则P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1


则称P(A)为概率的公理化定义.
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概率的重要性质



(1)P(φ)=0,P(Ω)=1,逆不一定成立. (2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互 斥事件的情形.即:若A1,A2,…,An两两互斥,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A);P(A)≤P(B); (4)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB), (加法公式) P(A ∪ B ∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形.
i 1 n
则 对于任何一个事件B,有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)
BA1
B = BA1 BA2 BAn
BA2
…... …...
S
BAn
A1
A2
An
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4. 贝叶斯(Bayes)公式
设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An满 足: (1) Ai A j (i j );
P( AB ) P( A B ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A )P( B ) P( A )( 1 P( B )) P( A )P( B )
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法: ① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
推论1 A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
证明:A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
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推论2 在 A 与 B, A与 B, A 与 B , A 与 B这四对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。 证明 不妨设A,B独立,则
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(3)古典概型概率的性质 ① P(A) ≥0; ② P(Ω)=1;
③ 若Ai (i 1,2,, n)是两两互不相容的事件组
P( A1 A2 An) P( A1) P( A2) P( An)
性质 4 P() 0 ;
性质 5 P ( A ) 1 P ( A) ;
§1.2
一维随机变量及相关内容
1.2.1 随机变量的概念及描述
1. 为什么要引入随机变量? 2. 什么是随机变量?
定义 设E为随机试验,它的样本空间记为Ω={ω},如
果对于每一个ω都有实数X(ω)与之对应,则称这个定 义在Ω上的单值实函数X(ω)为随机变量.
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3. 随机变量的类型

离散型 非离散型
或者 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn ... ...
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性质 (1)pn≥0,n=1,2,... ; (2)p1+p2+...+pn+…=1;
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