幂函数(第一课时)

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幂函数(第1课时)课件4

1.21
1.331 1.048808848
"y=x^2" y=x^3 y=x^(1/2)
图象的性质
幂函数f(x)=x的性质： 1。>0时，(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）；
(2)图象在第一象限是增函数。 2。 <0时，(1)图象都经过点（1，1）；
(2)图象在第一象限是减函数,且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。
学生练习
利用上面所学的图像的性质，比
较下列各组值的大小：
1
1
（1）5.232 5.242
(2)0.26-1 0.27-1
(3)(-0.72)3 (-0.75)3
1
1
解：（1） 5.232 5.242
（2） 0.26-1 > 0.27-1 (3) (-0.72)3 < (-0.75)3
例3:
0.8
0.64
0.512 0.894427191
-2
0.85
0.7225 0.614125 0.921954446
0.9
0.81
0.729 0.948683298
-3
0.95
0.9025 0.857375 0.974679434
1
1
1
1
1.05
1.1025 1.157625 1.024695077
1.1
0.0625 0.015625
0.5
2
0.3
0.09
0.027 0.547722558
0.35
0.1225 0.042875 0.591607978
0.4
0.16
0.064 0.632455532
1

幂函数(第1课时)课件5

（1）函数的图象都过点（0，0）和（1，1）；
（2）在第一象限内，函数的图象随 x的增大而上升，
函数在区间 [0, ) 上是单调增函数.
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§2.4 幂函数
函数定义方法回忆简单举例函数性质应用举例达标测试小结作业
画幂函数 y x ( 0)图象
利用幂函数性质比较大小
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§2.4 幂函数
函数定义方法回忆简单举例函数性质应用举例达标测试小结作业
1、求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
1
(1) y x4 (2) y x4 (3) y x3
2
5
3
(4) y x5 (5) y x8 (6) y x 5
2、比较下列各组数中两个值的大小：
函数奇偶性判断的一般步骤： 1.看定义域是否关于原点对称； 2.在定义域关于原点对称的前提下判断：
满足 f (x) f (x) 是偶函数；满足 f (x) f (x) 是奇函数.
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2.4 幂函数
函数定义方法回忆简单举例函数性质应用举例达标测试小结作业
幂函数 y x ( 0) 的性质
研究对象
函数的性质通常包含几个方面：定义域、值域、单调性、奇偶性等等.
研究方法
研究函数时，我们通常从函数的定义或解析式入手找出定义域，判断奇偶性，在通过图像研究单调性和其它性质.
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§2.4 幂函数
函数定义方法回忆简简单单举举例例函数性质应用举例达标测试小结作业
求幂函数定义域的关键是：将分数指数幂写成根式；优点：一幕了然
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§2.4 幂函数
函数定义方法回忆简单举例函数性质应用举例达标测试小结作业

幂函数(第一课时)

（一）
问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？
问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？问题3：再举出几个这样的函数．
函数特征分析
(1) 都是形如 y x a 的函数； (2) 指数为常数； (3) 均是以自变量为底的幂.
一般地，函数y＝xa叫做幂函数，
其中x是自变量，a是常数. 注意: 幂函数中a的可以为任意实数.
1 1 B．2，2，－2，－2 1 1 D．2，2，－2，－2
的图象.
1 2
1
O
x
幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1)． (2)α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当 α>1 时，幂函数的图象下凸；当 0<α<1 时，幂函数的图象上凸． (3)α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴；当 x 趋于＋∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．
变式函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
幂函数的图象
[例 2] (1)如图，图中曲线是幂函数 y＝xα
1 在第一象限的大致图象，已知 α 取－2，－2， 1 2，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3， C4 的 α 的值依次为 1 1 A．－2，－2，2，2 1 1 C．－2，－2,2，2 ( )
练习 1. 判断下列函数是否为幂函数
1 2
(1) y x
4
( 2) y x
2

2.5.1简单的幂函数第一课时(幂函数的概念)

(1)点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，求 f（x）的解析式 1 (2)点(－2，4)在幂函数 g(x)的图象上．求 g（x）的解析式
【思路点拨】由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式.
【解析】
设 f(x)＝xn，由题意得 2＝( 2)n，
∴n＝2，即 f(x)＝x2. 再设 g(x)＝xm， 1 由题意得4＝(－2)m， ∴m＝－2，即 g(x)＝x－2.
2
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 解:(1)y=
(3)
-2 -2 2.5 5 与 2.7 5 x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
1．下列函数中是幂函数的是(
)
A．y＝3x2
B．y＝2x
C．y＝x－1＋1
D．y＝x3.14
【答案】 D
2 2 3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：则f(8)＝_______.
x f(x )
1 1
4 2
4.已知幂函数f（x）=(4m - 1)x1 - m (1) 若点(a , 3）在该函数的图像上，则a = 9 (2) f(x)的定义域是 [0，+ ∞ )
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)

幂函数第一课时

幂函数（第1课时）学习目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．新知探究：（1）创设情境：思考下列实际问题问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要付的钱数y = 元，问题2：如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积是y = ，问题3：如果正方体的边长为x ，那么正方体的体积是y = ，问题4:如果正方形场地的面积为x ，那么正方形的边长y= ，问题5：如果某人x h 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度y = km/h ，思考1:这些函数有什么共同的特征？总结：幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数，为未知数．例1：判断下列函数是否为幂函数：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；(5) y=2x 2；(6) y=x 3+2；(7) y= -x 2 ；（8）y=1例2、幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2），试求解析式.例3、已知函数()221(2)m m f x m m x+-=+ 是幂函数，试确定m 的值。

(2)幂函数性质探究由具体幂函数的图像和性质来探究幂函数的性质：思考2：幂函数的图象能过第四象限吗？例3、求下列函数的定义域和值域．总结：在研究幂函数的定义域时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式，然后由根式、分式有意义求定义域；。

2.3__幂函数_(第一课时)

2．3 幂函数（第一课时）1、下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A.31x y =B. 21-=xy C. 35x y = D. 32x y =2、如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123、以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错4、已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为( )A ．16 B.116 C.12D ．25、下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13 D ．y ＝x －346、已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( ) A ．－1或1 B ．－1,1或3 C ．1或3 D ．37、下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④8、在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9、幂函数f(x)＝x α满足x ＞1时f(x)＞1，则α满足条件( ) A ．α＞1 B ．0＜α＜1 C ．α＞0 D ．α＞0且α≠110、函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)12的定义域为________．11、幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________．12、设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R)的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．13、如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝a x 与幂函数g(x)＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．14、函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．15、已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？16、已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．17、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x 52；（2）y=x 43-；（3）y=x －2.18、比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1；（2）（－22）32-，（－710）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53；（4）31.4，51.5.19、幂函数f （x ）=ax mm82-（m ∈Z ）的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m.。

幂函数教学设计

课题：幂函数授课教师：***授课班级：高一（3）班授课时间：2010年10月26日上午第一节2.3.1幂函数（第一课时）【教学三位目标】1.知识与技能通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想.2.过程与方法使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到掌握研究幂函数性质的一般方法.3.情感、态度、价值观通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。

【教学重点】幂函数的概念、图像和性质.【教学难点】将函数图像的感性认识上升到理性认识，归纳概括成函数的性质.【教学方法与手段】自主探究，合作交流，借助多媒体【教学基本流程】【教学过程设计】（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数（y=x）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数（y=x2）(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数（y=x3）(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a=12S a是S的函数（y=12 x）(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V 是t的函数（y=x-1）问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，ɑ为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2 y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数）【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。

幂函数(课件)

04
利用导数研究幂函数的极值和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描述物体的运动规律，例如加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以描述气体分子的速度分布规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商品的需求量与价格的关系、消费者的购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函数值为1。

幂函数教案(第一课时)

幂函数教案（第一课时）无锡市八士中学李强教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。

本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。

幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数21132xy ,xy ,x y ,x y ,x y =====-。

组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。

对于幂函数，只需重点掌握21132xy ,x y ,x y ,x y ,x y =====-这五个函数的图象和性质。

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。

学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。

因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

教学目标：㈠知识和技能1．了解幂函数的概念，会画幂函数32x y ,x y ,x y ===，1x y -=，21xy =的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

2．了解几个常见的幂函数的性质。

㈡过程与方法1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

2．使学生进一步体会数形结合的思想。

㈢情感、态度与价值观1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

教学重点常见幂函数的概念和性质教学难点幂函数的单调性与幂指数的关系教学过程一、创设情景，引入新课问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？（总结：根据函数的定义可知，这里p 是w 的函数）问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数。

幂函数课件

幂函数的图像
图像的形状
幂函数的图像通常为曲线，其形状取决于指数n的取值。
图像的变化趋势
当n大于0时，幂函数的图像向上倾斜；当n小于0时，幂函数的图像向下倾斜。
图像与y轴的关系
幂函数的图像永远不过第三象限，且与y轴无限接近。
03 幂函数的运算
幂函数的加减乘除运算
幂函数加法运算
设$f(x) = x^{a}$和$g(x) = x^{b}$，则 $f(x) + g(x) = x^{a} + x^{b}$。
重要意义。
课程目标
掌握幂函数的定义、性质和图像表示方法。
培养学生的数学思维能力和创新意识。
能够熟练地运用幂函数解决实际问题。
课程大纲介绍
第一部分：幂函数的基本概念幂函数的定义与性质
幂函数的图像表示方法
课程大纲介绍
第二部分：幂函数的性质与图像分析幂函数的单调性、奇偶性和周期性
幂函数的极值和最值
、工程学、经济学等。
学生常见问题解答
幂函数的定义理解不深刻
对于一些复杂的幂函数表达式，学生往往无法准确地识别出其中的幂函数。
幂函数的性质运用不灵活
虽然学生能够记住幂函数的性质，但是在实际运用中却往往出现困难。
幂函数的图象绘制不准确
由于描点法绘制图象的精度要求较高，学生往往无法准确地绘制出幂函数的图象。
幂函数的复合运算
幂函数复合运算定义
设$f(x) = x^{a}$，$g(x) = x^{b}$ ，$h(x) = x^{c}$，若$f(g(h(x)))$，则称该表达式为幂函数的复合运算。
幂函数复合运算的求解
按照函数的运算顺序，先计算内层函数，再计算外层函数。

幂函数的图像和性质(第一课时)课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

新知探究| 几个常见的幂函数
其他的幂函数也可以这样去研究它的性质
分子有理化
利用函数性质指导作图再检验，更科学！！！
新知探究| 归纳幂函数的性质
பைடு நூலகம்
新知探究| 归纳幂函数的性质
所有幂函数都在y轴右侧有图像，并且都出现在第一象限，如何解释？
新知探究| 归纳幂函数的性质
幂函数图像都过点(1,1),你能在解析式中找到答案吗？
新知探究| 归纳幂函数的性质
代关数于方这法些的一证般明性验结证论了，我能们用观代察数图方像法得证到明的吗结？论。
新知探究|归纳幂函数的性质
后期我们就可以利用奇偶性把幂函数的图像补充完整。
新知探究| 幂函数性质的应用
思考题
新知探究| 幂函数性质的应用
思考题
3 典型例题
典型例题
典型例题
指数幂的方程或不等式，优先考虑化为同底
湘教版高中必修第一册
幂函数的图像和性质
教学课件
1 新课导入
新课导入
上述函数的解析式有什么共同特征呢？
2 新知探究
新知探究| 幂函数的定义
新知探究| 幂函数的定义
正整数次幂函数
整数次幂函数
幂函数
负整数次幂函数
分数次幂函数
这几个常见的幂函数是我们研究幂函数性质的窗口！！！
新知探究| 几个常见的幂函数
4 课堂练习
课堂练习
5 课堂小结
课堂小结
利用奇偶性就可以把图像补充完整。
6 作业布置
作业布置书面作业：习题4.1 8、13 补充作业：

幂函数的图像与性质教学设计

课题：幂函数的图像与性质（第一课时）一、教学目标1.知识与技能①引导学生发现幂函数性质及图像；②通过幂函数在第一象限的图像，能够画出幂函数在整个定义域的图像；③能运用幂函数的图像及性质进行分析；2.过程与方法①经历数学探究活动的过程，体会数学的简约、严谨之美；②实践由特殊到一般的归纳论证过程；3．情感、态度与价值观①通过总结幂函数的性质与图像，培养学生的探索精神和创新意识；②以数学的思维方式解决问题，领会数学的应用价值和科学价值.二、教学重点难点1.教学重点①幂函数的概念；②幂函数在第一象限的性质及图像；③利用奇偶性得出幂函数的整体性质。

2.教学难点①描点作图②幂函数在整个定义域的性质及图像三、教学方法与教学手段1．教学方法以学生为主体，问题为载体，引导探究，启发式教学2.辅助教学手段多媒体辅助教学四、教学流程设计五、教学过程（一）旧知回顾教师：前面我们已经学习了函数的性质，今天我们要去研究一类具体的函数：幂函数的图像及性质.先请同学们回顾幂的有关定义及运算.学生：（1）形如ba 的数称为幂，其中a 称为底数，b 称为指数.（2）正分数指数幂，负分数指数幂的定义： mna =m na-=（3）幂的运算法则：mnm na a a +⋅=，()()m nn mmna a a ==，()mmmab a b =⋅（二）创设情景，引入新课【问题1】如果圣诞节卡片每张1元，买x 张卡片需y 元，那么y 关于x 的函数解析式为,y x x N =∈；【问题2】如果正方形的边长为x ，正方形的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为0,2>=x x y ；【问题3】如果正方体的边长为x ，正方体的体积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为0,3>=x x y ；【问题4】如果正方形场地面积为x ，正方形的边长为y ，那么y 关于x 的函数解析式为0,21>=x x y ；【问题5】如果某人x 秒内骑车行进了km 1，他骑车的速度y ，那么y 关于x 的函数解析式为0,1>=-x x y ；教师：请同学们写出上面几个问题的对应函数解析式. 学生：注意作答.教师：请同学观察总结上面几个函数解析式的特点，找出其解析式的一般模型. （三）新课讲解1、幂函数的定义：一般地，我们把形如：yx α=（α是常数，Q α∈）的函数称为幂函数，其中x 是自变量；（即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.）对幂函数定义的几点说明：(i)自变量x 是在底数的位置上；指数为有理数.(ii)其形式特征可以归纳为“两个1”，即项数为1，系数为1；【例1】判断下列函数哪些是幂函数，若是，根据解析式写出其定义域并判断奇偶性；若不是，请说明理由.（1）0.2xy =；（2）15y x =-；（3）y x=；（4）31y x =；（5）22-=x y （6）2y x x =+；（7）()00y x x =≠；（8）1y =（9）23-=xy （10）23x y = （11）3x y = （12）32x y =学生：逐一作答（4）、（7）、（9）、（10）、（11）、（12）是幂函数（4）和（11）是奇函数；（7）和（12）是偶函数；（9）和（10）非奇非偶函数。