角的特殊关系 g

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特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值三角函数是数学中常见且重要的概念之一，它描述了角度与三角比之间的关系。

在三角函数中，存在一些特殊角，它们的三角函数值具有特殊的性质和数值。

本文将探讨这些特殊角的三角函数值，并分析其应用。

1. 0度的三角函数值当角度为0度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(0°) = 0- 余弦函数cos(0°) = 1- 正切函数tan(0°) = 0- 余切函数cot(0°) = 无穷由于三角函数与圆的关系，正弦函数和余切函数在0度时对应的值为0，即在单位圆上，角度为0度时，对应的点位于圆的原点位置；而余弦函数在0度时对应的值为1，即在单位圆上，角度为0度时，对应的点位于圆的X轴正方向上。

2. 30度的三角函数值当角度为30度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(30°) = 1/2- 余弦函数cos(30°) = √3/2- 余切函数cot(30°) = √330度是一个较为常见的特殊角度，可以通过正六边形的内角和等于180度，再进行角度变换得到。

在单位圆上，角度为30度时，对应的点位于圆的边界上，与圆心连线成30度的角度。

3. 45度的三角函数值当角度为45度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(45°) = √2/2- 余弦函数cos(45°) = √2/2- 正切函数tan(45°) = 1- 余切函数cot(45°) = 145度是一个特殊的直角三角形中，两个直角边相等时的角度。

在单位圆上，角度为45度时，对应的点位于圆的边界上，与圆心连线成45度的角度。

4. 60度的三角函数值当角度为60度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(60°) = √3/2- 余弦函数cos(60°) = 1/2- 余切函数cot(60°) = 1/√360度是一个常见的特殊角度，可以通过正六边形的内角和等于180度，再进行角度变换得到。

三角特殊角的三角函数值表

三角特殊角的三角函数值表在数学中，三角函数是研究角和三角形相互关系的重要工具。

而三角特殊角是指具有特殊角度的三角函数值，它们的数值是可以直接计算得到的，不需要使用计算器或查表。

本文将为大家介绍三角特殊角的三角函数值表。

一、正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，表示一个角的对边与斜边的比值。

在三角特殊角中，我们可以得到以下三个角的正弦函数值：1. sin(0°) = 0：当角度为0°时，对边为0，斜边不为0，所以sin(0°) = 0。

2. sin(30°) = 1/2：当角度为30°时，对边为斜边的一半，所以sin(30°) = 1/2。

3. sin(45°) = √2/2：当角度为45°时，对边与斜边相等，所以sin(45°) = √2/2。

二、余弦函数（cos）余弦函数是三角函数中另一个基本的函数，表示一个角的邻边与斜边的比值。

在三角特殊角中，我们可以得到以下三个角的余弦函数值：1. cos(0°) = 1：当角度为0°时，邻边为斜边，所以cos(0°) = 1。

2. cos(30°) = √3/2：当角度为30°时，邻边为斜边的一半，所以co s(30°) = √3/2。

3. cos(45°) = √2/2：当角度为45°时，邻边与斜边相等，所以cos(45°) = √2/2。

三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中最后一个基本的函数，表示一个角的对边与邻边的比值。

在三角特殊角中，我们可以得到以下三个角的正切函数值：1. tan(0°) = 0：当角度为0°时，对边为0，邻边不为0，所以tan(0°) = 0。

2. tan(30°) = 1/√3：当角度为30°时，对边为邻边的三分之一，所以tan(30°) = 1/√3。

特殊角的三角形各边的关系

浅谈特殊角的三角形各边的关系以及其面积与各边的关系九号风景工作室只要是授完初中教育的人，大家都知道直角三角形各边的关系可以由勾股定理可得: 斜边的平方等于两条直角边的平方和，且其面积等于直角边之积的二分之一。

这里我要探讨的问题是三角形中已知一个特殊角（如：30度角，45度角，60度角，120度角，135度角，150度角）及其各边，那么情形又如何呢？三角形各边是否也存在着某种特殊关系呢？其面积是否也与三角形各边存在着某种直接或接近的关系呢？下面我们就此问题一起来分析探讨论证（30度角，45度角，60度角，120度角，135度角，150度角）的三角形各边之间以及面积与各边之间是否存在着某种具体数量关系。

如图①所示：在△ABC 中，已知：∠A=300，a,b,c 分别为∠A ，∠B, ∠C 的对边，那么三角形各边a,b,c 会有怎样的数量关系呢？此三角形的面积又会与其各边a,b,c 存在怎样的数量关系呢？分析：假设∠B 为钝角，则过点C 作CD ⊥AB 且交AB 的延长线于点D ，所以： ∠ADC=∠BDC=900 .在直角三角形ADC 中,∠ADC=90，∠A=300,所以：CD=12 AC=12 b, AD= 32 AC =32 b. 同时在直角三角形BDC 中, ∠BDC=900,由图①可得：BD=AD-AB=32b-c, 由勾股定理可得：BC 2 =BD 2 +DC 2 .即：a 2 =（32 b-c ）2 +（12 b ）2。

化简可得：a 2= b 2 -3 bc+c 2 ，所以：S ABC ∆ =12AB ·CD=12 c ·12 b=4bc 。

如图②所示：假设：∠B 为锐角时,是否也能得到同样的结论呢？分析：过点C 作CD ⊥AB 且交AB 于点D ，所以：∠ADC=∠BDC=900。

在直角三角形ADC 中,∠ADC=900，∠A=300所以：CD=12 AC=12b ，AD= 32 AC =32 b. 同时在直角三角形BDC 中, ∠BDC=900，由图②可得：BD=AB-AD= c-32b.由勾股定理可得：BC 2 = DC 2+BD 2 .即：a 2 =（12 b ）2+（c-32 b ）2。

三角函数的特殊值与特殊角

三角函数的特殊值与特殊角三角函数是数学中重要的函数之一，它通过三角比（即三角形中的边长比）来描述角度与边长之间的关系。

在计算和解决几何问题中，三角函数起到了重要的作用。

在数学中，我们常常会遇到一些特殊的角度和特殊的三角函数值，它们在实际问题中具有重大的意义。

本文将介绍三角函数的特殊值和特殊角。

一、正弦函数和余弦函数的特殊值正弦函数和余弦函数是常见的三角函数，它们描述了角度与三角比的关系。

1. 正弦函数的特殊值正弦函数的取值范围在-1到1之间。

在特殊的角度下，正弦函数具有特殊的值。

当角度为0度时，正弦函数的值为sin(0°) = 0。

当角度为30度时，正弦函数的值为sin(30°) = 0.5。

当角度为45度时，正弦函数的值为sin(45°) = 1 / √2 ≈ 0.707。

当角度为60度时，正弦函数的值为sin(60°) = √3 / 2 ≈ 0.866。

当角度为90度时，正弦函数的值为sin(90°) = 1。

2. 余弦函数的特殊值余弦函数的取值范围也在-1到1之间，它与正弦函数在特殊的角度下有着相似的特殊值。

当角度为0度时，余弦函数的值为cos(0°) = 1。

当角度为30度时，余弦函数的值为cos(30°) = √3 / 2 ≈ 0.866。

当角度为45度时，余弦函数的值为cos(45°) = 1 / √2 ≈ 0.707。

当角度为60度时，余弦函数的值为cos(60°) = 0.5。

当角度为90度时，余弦函数的值为cos(90°) = 0。

二、正切函数的特殊值正切函数描述了角度的切线与角度正方向的交点在坐标轴上的纵坐标比。

正切函数在特殊的角度下也有着特殊的值。

1. 正切函数的特殊值当角度为0度时，正切函数的值为tan(0°) = 0。

当角度为30度时，正切函数的值为tan(30°) = 1 / √3 ≈ 0.577。

特殊角的三角函数

特殊角的三角函数特殊角的三角函数在数学中，三角函数是研究角的一种函数关系。

在平面几何中，角是指由两条射线共享一个公共端点而形成的图形。

经典的三角函数包括正弦、余弦和正切函数，它们在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。

常见的三角函数可以在单位圆上进行定义。

我们可以将单位圆的圆心放在坐标系的原点上，然后画出和半径相交的射线。

射线与单位圆的交点将定义出特殊角（特殊角通常是指30°、45°、60°等特殊的角度）。

在此基础上，我们可以定义出特殊角的三角函数值。

首先，我们来定义特殊角的正弦函数。

对于单位圆上的特殊角A，正弦函数的值等于射线在单位圆上的交点纵坐标的值。

例如，对于二等分特殊角，即45°角，正弦函数的值为根号二分之一或1/根号二。

同样地，对于1/3等分特殊角，即60°角，正弦函数的值为根号三分之一或1/根号三。

接下来我们来定义特殊角的余弦函数。

对于单位圆上的特殊角A，余弦函数的值等于射线在单位圆上的交点横坐标的值。

例如，对于二等分特殊角，即45°角，余弦函数的值也为根号二分之一或1/根号二。

对于1/3等分特殊角，即60°角，余弦函数的值为半。

另外一个常见的特殊角函数是正切函数。

对于单位圆上的特殊角A，正切函数的值等于射线在单位圆上的交点纵坐标和横坐标的比值。

例如，对于二等分特殊角，即45°角，正切函数的值为1。

对于1/3等分特殊角，即60°角，正切函数的值为根号三。

特殊角的三角函数在数学和物理学中都有广泛的应用。

它们可以帮助我们计算各种角度的三角函数值，从而应用到各种实际问题中。

例如，在三角学和几何学中，我们可以利用正弦、余弦和正切函数计算和解决各种三角形的相关问题。

在物理学中，特殊角的三角函数也经常用于描述和计算物体的运动和力学性质。

特殊角的三角函数在数学教育中也有重要的地位。

它们作为基础概念的一部分，帮助学生建立对三角函数的直观认识和理解。

角的特殊关系-

7.6角的特殊关系
杭外初一数学组
量一量
A
1 ?2 ?
1 2 ?
1与2 的和是什么角？
D
12 B
C
问:图形中的角保持大小不变， (拉开更远些或多变换几种位置)。它们的和还是 90°吗？
互为余角：如果两个锐角的和是一个直角，就说这两个角互为余角 (complementary angle); 简称互余; 也可以说其角，就说这两个角互为补角 (supplementary angle) ，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角
式子表示：1 2 180 1和 2互补
1 2
一副三角板里面有哪些角互为补角，哪些角互为余角？从中我们讨论下面的四个问题? (1)以上定义中的“互为”是什么意思？
(2)如果1 2 3 90,那么1, 2, 3
互为余角对吗?
(3)互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？
(4)钝角没有余角但一定有补角对吗?
判一判
1. 已知1 42, 2 138, 3 48
问:有没有互余或互补的角?若有,请把它写出来,并说明理由.
例4:求, 的余角和补角?
如果那么它们的补角与余角有何
关系?请说明理由?
结论同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
找一找:
已知: AOC BOD Rt,
指出图中还有哪些角相等,并说明理由.
DC
B
O
A
探究活动:
如图:射线OA表示北偏西30 (一般不说成
式子表示：
1 2 90 1和2互余 1
2
再量一量
1 ?2 ?
1 2 ?
1与2 的和是什么角？

七年级数学角的度量

04 角的特殊关系与证明
平行线与同位角、内错角、同旁内角
平行线的定义及性质
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的性质包括同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补。
内错角的识别与度量
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。内错角的度量方法同样是通过量角器测量角度大小。
（任何多边形的外角和为360°）。
应用举例：三角函数中的角度计算
锐角三角函数
理解正弦、余弦、正切等锐角三角函数的基本概念，掌握这些函数在特殊角度（如30°、45°、60°）
的值。
角度与弧度的转换
了解角度与弧度两种度量方式之间的转换方法，知道如何在三角函数中使用弧度进行计算。
解直角三角形
掌握利用正弦、余弦、正切等三角函数解直角三角形的方法，能够求解三角形的未知边或未知角。
同位角的识别与度量
当两条直线被第三条直线所截，位于这两条直线同一侧的两个内角叫做同位角。同位角的度量方法是通过量角器测量角度大小。
同旁内角的识别与度量
两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同一侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角。同旁内角的度量方法也是通过量角器测量角度大小。
应用举例：几何图形中的角度计算
01
三角形的内角和
任何三角形的内角和为180°。利用这一性质可以求解三角形中的未知角。
02
平行线与交叉线
理解平行线和交叉线所形成的同位角、内错角、同旁内角等概念，并会
利用这些角的关系进行计算。
03
多边形的内角和与外角和
掌握多边形内角和的计算公式（（n-2）×180°）以及外角和的性质

特殊角的三角形各边的关系

如图①所示：在△ABC中，已知：∠A=300，a,b,c分别为∠A，∠B, ∠C的对边，那么三角形各边a,b,c会有怎样的数量关系呢？此三角形的面积又会与其各边a,b,c存在怎样的数量关系呢？分析：假设∠B为钝角，则过点C作CD⊥AB且交AB的延长线于点D，所以：∠ADC=∠BDC=900.在直角三角形ADC中,∠ADC=90，∠A=300,所以：CD=12AC=12b,AD=32AC =32b. 同时在直角三角形BDC中, ∠BDC=900,由图①可得：BD=AD-AB=32b-c,由勾股定理可得：BC2=BD2+DC2.即：a2=（32b-c）2+（12b）2。

化简可得：a2= b2-3bc+c2，所以：SABC∆=12AB·CD=12c·12b=4bc。

如图②所示：假设：∠B为锐角时,是否也能得到同样的结论呢？分析：过点C作CD⊥AB且交AB于点D，所以：∠ADC=∠BDC=900。

在直角三角形ADC中,∠ADC=900，∠A=300所以：CD=12AC=12b，AD=3AC =3b. 同时在直角三角形BDC中, ∠BDC=900，由图②可得：BD=AB-AD=c-3b.由勾股定理可得：BC2= DC2+BD2.即：a2=（12b）2+（c-32b）2。

高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧

高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧三角函数是数学中的重要概念，而在高中数学中，我们经常会遇到需要计算三角函数值的情况。

为了简化计算过程，我们可以利用特殊角值的技巧，来快速得到结果。

本文将介绍一些常见的特殊角值，并说明如何利用这些特殊角值简化计算。

一、特殊角值的定义在三角函数中，我们通常会用到正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

而特殊角值指的是一些特定角的函数值，这些值具有简单的表达式，可以方便我们进行计算。

下面是一些常见的特殊角值及其函数值：1. 0度：sin 0° = 0，cos 0° = 1，tan 0° = 02. 30度：sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√33. 45度：sin 45° = √2/2，cos 45° = √2/2，tan 45° = 14. 60度：sin 60° = √3/2，cos 60° = 1/2，tan 60° = √3以上是一些常见的特殊角值，我们可以将它们牢记于心，以便在计算过程中使用。

二、利用特殊角值简化计算的技巧1. 利用特殊角的三角关系在三角函数中，存在一些特殊的角之间的关系，如30度角、45度角、60度角之间的关系。

通过利用这些关系，我们可以推导出其他角的函数值，从而简化计算。

以30度角为例，我们已知 sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√3。

利用这些已知值，我们可以得到其他角的函数值：- sin 60° = sin (2 * 30°) = 2 * sin 30° * cos 30° = √3/2- cos 60° = cos (2 * 30°) = cos² 30° - sin² 30° = 1/2- tan 60° = tan (2 * 30°) = 2 * tan 30° / (1 - tan² 30°) = √3通过这种方法，我们可以快速得到其他角度的三角函数值，从而简化计算过程。

角

4.6.3 角的特殊关系一．【学习重难点】：掌握余、补角的定义，认识对顶角，理解余、补角的性质二．【易错点】：对互补、互余概念理解不透彻三．【情景导入】四．【点题设疑】五．【课堂预习】：课本第157~158页六．【练习展示】：1.72°20'的角的余角等于；25°31'的角的补角等于 .2.已知∠1=45°25'，求∠1的余角和补角.3.在下图中，∠1=30°15'，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度?七．【自我测试】已知∠B=30°, ∠GFB=100°，那么∠FGB、∠DFA、∠CGE和∠GFC各等于多少度?八．【善总结·常反思】：收获不足4.7.1 垂线一．【学习重难点】：垂线的定义及性质，点到线的距离、线和线的位置关系二．【易错点】：垂线的性质，点到线的距离三．【情景导入】：四．【点题设疑】：五．【课堂预习】：课本第160~161页六．【练习展示】：1.经过直线b外一点A，画出垂直于直线b的直线七．【自我测试】：1.如图，∠ABD=90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字。

（1）点B在直线上，点D在直线外；（2）直线与直线相交于点 A，点 D 是直线与直线的交点，也是直线与直线的交点，又是直线与直线的交点；（3）直线⊥直线，垂足为点；（4）过点D有且只有条直线与直线AC垂直。

八．【善总结·常反思】：收获不足4.7.2 相交线中的角一．【学习重难点】：识别同位角，内错角，同旁内角二．【易错点】：同位角，内错角，同旁内角的识别三．【情景导入】：四．【点题设疑】：五．【课堂预习】：课本第163~165页六．【练习展示】：如图，与∠1同位角的角是，与∠2是内错角的角是，与∠6是同旁内角的角是。

同位角有对，他们是，内错角有对，他们是，同旁内角有对，他们是。

七．【自我测试】：如图，与∠1同位角的角是，与∠3是内错角的角是，与∠6是同旁内角的角是。

高中数学三角函数特殊角值表

sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）
公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα
sin（3π/2＋α）＝－cosα sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα tan（3π/2－α）＝cotα
（以上k∈Z）
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
利用公式二和公式三可以得到的三角函数值之间的关系
一、特殊角三角函数值
角度
函数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°

角的特殊关系

式子表示：1 2 180 1和 2互补
1 2
一副三角板里面有哪些角互为补角，哪些角互为余角？从中我们讨论下面的四个问题? (1)以上定义中的“互为”是什么意思？
(2)如果1 2 3 90,那么1, 2, 3
互为余角对吗?
(3)互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？
(4)钝角没有余角但一定有补角对吗?
.
.
.
.
.
.
Hale Waihona Puke .；绘本馆加盟美术加盟
互为余角：如果两个锐角的和是一个直角，就说这两个角互为余角 (complementary angle); 简称互余; 也可以说其中一个角是另一个角的余角。
式子表示：
1 2 90 1和2互余 1
2
互为补角：如果两个角的和是一个平角，就说这两个角互为补角 (supplementary angle) ，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角

角的特殊关系

＝５８ ° ＋４７ °
＝１０５ °
（3）如果测的AB的图上距离是4cm,AC的图上距 (2)检录处C在起点A的北偏东60°的方向如图所示，C点在A点北偏东60的方向，离是6cm,那么，一个服务同学从A点跑到C点，在上，那么起点A在检录处C的什么方向上呢？在B点北偏西40的方向，求C点的位置从C点跑回A点，他实际上跑了多少路程？
B
4、两条直线相交得四个角，其中一
E D
个角是90°其余各角是
。
5、已知直线AB、CD相交于点O，
A
O C B
∠AOC =28°，OE平分∠AOD，求
∠EOB的度数。
归纳小结
角的名称特征性质相同点
对顶角相等
不同点
对顶角
①两条直线相交形成的角 ②有一个公共顶点； ③没有公共边
等角的余角相等
∠1 分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____ ∠3 由∠3与∠4互补,可得∠4=180°-_____
答:因为∠1=∠3,
这就是∠2=∠4
如图,∠1与∠2互补, ∠1=∠3, ∠3与∠4 互补, 那么∠2与∠4 什么关系?
所以180°-∠1= 180°-∠3,
等角的补角相等
（2）只有锐角才有余角。
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
1
850
1
850
4
3
A
O
B
3
4
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3

三角形度数计算机公式角度数换算公式

三角形度数计算机公式角度数换算公式三角形是一个有三条边和三个角的多边形。

在三角形中，角度是一个重要的概念，可以用来计算和描述三角形的特性和性质。

以下是三角形度数计算的一些公式和换算公式。

1.三角形内角和公式：三角形的内角和是一个固定值，等于180度。

对于一个普通的三角形，可以用以下公式计算内角和：内角和=第一个角度+第二个角度+第三个角度2.三角形外角和公式：如果将三角形的每个内角延长成一条射线，那么这些射线的外角和等于360度。

对于一个普通的三角形，可以用以下公式计算外角和：外角和=360度-内角和3.三角形内角的关系：在一个三角形中，三个内角之间有一些特殊的关系。

这些关系可以用以下公式表示：第一个角度+第二个角度>第三个角度第一个角度+第三个角度>第二个角度第二个角度+第三个角度>第一个角度4.直角三角形的特殊角度关系：直角三角形是一个至少有一个内角为90度的三角形。

在直角三角形中，有以下特殊的角度关系：第一个角度+第二个角度+第三个角度=180度第三个角度等于90度5.三角形的边角关系：在一个三角形中，三个内角和三个对应的边之间有一些特殊的关系。

这些关系可以用以下公式表示：sin(A) = a / c （正弦定理）sin(B) = b / csin(C) = a / bcos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc) （余弦定理）cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac)cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)6.三角形的面积公式：三角形的面积可以通过以下公式计算：面积=0.5*底边长*高面积 = 0.5 * a * b * sin(C) （正弦定理）面积 = 0.5 * a * b * sin(C) = 0.5 * b * c * sin(A) = 0.5 * a * c * sin(B) （海伦公式）以上是三角形度数计算的一些公式和换算公式。

直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。

在直角三角形中，三条边有着特殊的关系，我们可以通过三角函数来描述这种关系。

本文将详细介绍直角三角形中的边角关系。

首先，我们来看直角三角形的边，分别记为a、b和c。

其中，a和b是直角的两条边，而c是斜边。

在直角三角形中，边长有着特定的关系。

根据勾股定理，我们知道a、b和c之间的关系可以表示为：c² = a² + b²这个关系告诉我们，在直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。

这是直角三角形的基本性质之一。

接下来，我们来介绍直角三角形中的角度关系。

在直角三角形中，较小的角被称为锐角，较大的角被称为钝角。

而直角角度为90度，是三角形中的最大角度。

由于直角三角形中的三个角度之和始终为180度，因此其他两个角的和必然是90度。

在直角三角形中，我们还可以利用三角函数来描述边和角之间的关系。

下面是一些常用的三角函数：正弦函数（sin）：sinθ = 对边/斜边 = a/c余弦函数（cos）：cosθ = 邻边/斜边 = b/c正切函数（tan）：tanθ = 对边/邻边 = a/b这些函数将角度与边长之间建立了一种关系。

通过这些三角函数，我们可以根据已知的边长计算角度，或者根据已知的角度计算边长。

这些函数在数学和物理学中经常被使用。

此外，在直角三角形中还有一个特殊的比值，被称为勾股数。

在一个直角三角形中，如果两边的长度都是正整数，并且满足勾股定理，那么这个直角三角形被称为勾股数。

例如，3、4、5是一个勾股数，因为3²+4²=5²。

上面我们介绍了直角三角形的边角关系。

通过勾股定理、角度关系和三角函数，我们可以研究和解决直角三角形的各种问题。

直角三角形的边角关系在数学和实际应用中都具有重要的地位，并且被广泛应用于各个领域的计算和测量中。

总结起来，直角三角形的边角关系包括边长关系、角度关系和三角函数。

1.3.4 角的特殊关系

1.3.4 角的特殊关系【知识精华点击】课标要求⑴认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质；⑵了解方位角，能确定具体物体的方位。

本节课的重点是认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位. 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。

教材详析1.互为余角、互为补角正确理解概念（1）互为余角的定义：如果两个角的和等于直角，称这两个角互为余角．符号表示：若∠1+∠2=900，那么∠1与∠2叫做互为余角，其中∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．理解这个定义要注意下列三个条件：①两个角之间的关系；②两个角相加等于900；③只与角的度数有关，与角的位置无关．（2）互为补角的定义：如果两个角的和等于平角，称这两个角互为补角符号表示：若∠1+∠2=1800，那么∠1与∠2叫做互为补角，其中∠1是∠2的补角，∠2也是∠1的补角．理解这个定义要注意下列三个条件：①两个角之间的关系；②两个角相加等于1800；③只与角的度数有关，与角的位置无关．（3）互为余角与余角、互为补角与补角区别它们都是不同的概念，互为余角或互为补角是指两角之间的特定的数量关系，余角与补角是一个角相对于另一个角而言的．（4）同一个角的余角与补角的关系∠α的余角是90°-∠α；∠α的补角是180°-∠α.一个角的补角比它的余角大90°.2. 余角、补角的性质（1）同角或等角的余角相等.推理格式如：∵∠A+∠1=90°, ∠A+∠2=90°,∴∠1=∠2；∵∠A+∠1=90°, ∠B+∠2=90°, ∠A=∠B,∴∠1=∠2.（2）同角或等角的补角相等.推理格式如：∵∠A+∠1=180°, ∠A+∠2=180°,∴∠1=∠2；∵∠A+∠1=180°, ∠B+∠2=180°, ∠A=∠B,∴∠1=∠2. 说明：同角或等角的余角相等，包含两方面内容：一是：同一个角的余角相等；二是相等的角的余角相等．同角或等角的补角相等也是这样理解的． 3.方位角如图1-3.4-1，画两条互相垂直的直线AB 和CD 相交于点O ，其中一条为水平线，图中四条射线所指方向分别是东西南北四大方向：向上的射线ＯＡ表示正北方向，向下的射线ＯＢ表示正南Ａ北图1-3.4-1 Ｏ东Ｄ西ＣＢ南方向，向右的射线ＯＤ表示正东方向，向左的射线ＯＣ表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四方向线后，对于点Ｐ，如果点Ｐ在射线OA 上，则称点Ｐ在正北方向；如果点Ｐ在射线OB 上，则称点Ｐ在正南方向；如果点Ｐ在射线 OC 上，则称点Ｐ在正西方向；如果点Ｐ在射线OD 上，则称点Ｐ在正东方向．如果点Ｐ在正北方向线OA 与正东（或正西）方向线OD （或OC ）的夹角内，且射线 OP 与正北方向线OA 的夹角是ｍ°，则称点Ｐ在北偏东（或西）ｍ°方向；如果点Ｐ在正南方向线OB 与正东（或正西）方向线OD （或OC ）的夹角内，且射线ＯOP 与正南方向线OB 的夹角为ｍ°，则称点Ｐ在南偏东（或西）ｍ°方向．如图1-3.4-２中的射线OA 、OB 、OC 、OD 分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°．这里要注意OD 不要说成是东偏南70°，同样，OC 也不要说成是西偏南45°．对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南（北）方向或西南（北）方向．如图1-3.4-２中的OC ，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【名师优质讲堂】例题精析例1 已知∠α，用两种不同的方法，画出∠α的余角∠β和∠α的补角∠γ．图1-3.4-3分析（1）作∠α的余角：①在顶点处作一边的垂线，这条垂线与另一边组成的锐角为∠α的余角；②在顶点处作另一边的垂线，与一边组成的锐角即为∠α的余角．（2）作∠α的补角：①过∠α的一边作其反向延长线，延长线与另一边所组成的角为∠α的补角；②过另一条边作其反向延长线，延长线与一边所组成的钝角即为∠α的补角．解 ∠α的余角如图1-3.4-4（1）、（2），∠α的补角如图1-3.4-4（3）、（4）：图1-3.4-4说明一个角的余角与这个角刚好拼成一个直角；一个角的补角与这个角刚好拼成一个平角．【变式1】下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（）A ．B ．C ．D ． 65° 北图1-3.4-２Ｏ东西南ＣＢＡ 70° 45° 40° Ｄ分析先求出70°角的补角，然后结合各选项即可选择．解 70°角的补角=180°-70°=110°，是钝角，只有D 选项是钝角，所以，最有可能与70°角互补的是D 选项的角．故选D ．例2 一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是（）A ．60° B.45° C.30° D.15°分析由于一个角和它的补角的和是平角，与它的余角的和是直角，如果设这个角为∠A ，则它的补角是180°-∠A ，余角是90°-∠A ，由题目中的所给的数量关系列出等式，便可以解决问题.解设这个角的∠A ，则根据题意，得180°-∠A=3(90°-∠A)，所以180°-∠A=270°-3∠A ，所以∠A=45°，选B.【变式1】互余两个角的差是20°,求这两个角中较小的那个角的补角.分析 “互余两个角的和是90°”，它们的差又是20°，所以设其中一个角为x°，则它的余角是90°- x°，根据已知条件可列方程求这两个角，进而求到较小角的余角.解设其中一个角是x°，则另一个角是90°- x°，根据题意，得90°- x°- x°=20°，所以x =35，90°- x°=55°，所以较小的角的补角是180°-35°=145°.【变式2】∠α和∠β互余，且∠α：∠β=1：5，求∠α和∠β的补角各是多少度？分析先根据∠α和∠β互余，且∠α：∠β=1：5，设∠α=x ，则∠β=5x ，利用余角的性质求出∠α和∠β的度数，再根据补角的性质即可解答．解 ∵∠α和∠β互余，且∠α：∠β=1：5，∴设∠α=x ，则∠β=5x ，∴x+5x=90，解得x=15°，∴∠α=15°，∠β=5×15°=75°，∴∠α的补角是180°-15°=165°，∠β的补角是180°-75°=105°．例3 如图1-3.4-6，直线AB 与CD 相交于O ，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠COD ．（1）图中与∠COA 互补的角是；（把符合条件的所有角都写出来）（2）如果∠AOC=35°，求∠EOF 的度数．分析（1）找与∠COA刚好拼成一个平角的角即是∠COA的补角．（2）根据OE平分∠AOB，OF平分∠COD求得∠AOE=90°，∠COF=90°然后即可求得∠EOF的度数．图1-3.4-6解（1）图中与∠COA互补的角是∠AOD或∠COB．（2）∵OE平分∠AOB，OF平分∠COD．∴∠AOE=90°，∠COF=90°，∵∠AOC=35°，∴∠EOF=∠AOE+∠COF-∠AOC=90°+90°-35°=145°．说明从图形中寻找互余的角和互补的角，是我们必须练就的本领．的余角．∠AOC-∠AOB 表示出∠MON 并求出其度数是解题的关键，也是本题的难点【变式】如图1-3.4-10所示，∠AOB 是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM ，ON 分别是∠AOC ，∠BOD 的平分线，∠MON 等于度．图1-3.4-10分析根据平角和角平分线的定义求得．解 ∵∠AOB 是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，∴∠COD=90°（互为补角）∵OM ，ON 分别是∠AOC ，∠BOD 的平分线，∴∠MOC+∠NOD=21（30°+60°）=45°（角平分线定义） ∴∠MON=90°+45°=135°．例5 将一张长方形纸ABCD 的两个角按如图1-3.4-11所示方式折叠，且BE 与EC 的一部分重合，请问，∠α与∠β是有什么关系的两个角，并说明理由．图1-3.4-11 图1-3.4-12分析由折叠的性质知，∠B′EF=∠BEF ，∠GEC′=∠CEG ，则这四个角的和为180°进而求解得∠α+∠β的值．解互余（即∠α+∠β=90°），理由：由折叠可知∠B′EF=∠α，∠GEC′=∠β，而∠BEC=180°，所以∠α+∠FEB′+∠GEC+∠GEC′=180°，即2∠α+2∠β=180°，所以∠α+∠β=90°．说明本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②一个平角是180度．【变式】如图1-3.4-12所示，将书面折过去，该角顶点A 落在A ′处，BC 为折痕，BD 为∠A ′BE 的平分线，则∠CBD 等于多少度？试着说明其中的道理．分析根据角平分线的定义得到∠A ′BC=21∠A ′BA ，∠A ′BD=21∠A ′BE ，∴∠CBD=∠A ′BC+∠A′BD=21（∠A ′BA+∠A ′BE ），（∠A ′BA+∠A ′BE ）是平角180°，这样就可求出∠CBD 的度数．解 ∠CBD=90°，理由如下：由折线的过程可知，∵∠A′BC=21∠A′BA ，∠A′BD=21∠A′BE ， ∴∠CBD=∠A′BC+∠A′BD=21（∠A′BA+∠A′BE ）=21×180°=90度．故∠CBD 为90°．例6 如图1-3.4-13所示，OA 是表示北偏东30°方向的一条射线，依照这条射线，画出表示下列方向的射线.（1）南偏东25°；（2）北偏西60°.分析由图（1）可知，点O 的左边是西，右边是东，上边表示北，下边表示南. 南偏东25°即是从正南方向的射线绕点O 向东旋转25°后的位置，北偏西60°则是从正北方向的射线绕点O 向西旋转60°后的位置.解如图（20所示.（1）射线OB 表示南偏东25°方向；（2）射线OC 表示北偏西60°方向.说明（1）方向是针对某一具体点来说的，东、南、西、北也是针对这一点而言的，这一点也是射线的端点；（2）画表示某一方向（相对于这一点）的射线时，首先要找准端点、基准线，然后再根据射线的偏向（偏东或偏西）和方位角的度数画图.【变式】如图1-3.4-14,下列说法中错误的是( )A.OA 方向是北偏东40°B.OB 方向是北偏西15°C.OC 方向是南偏西30°D.OD 方向是东南方向分析图中OA 偏离正东方向40°，故射线OA 绕点A 从正北向东旋转90°-40°=50°，即射线OA 表示北偏东50°的方向而不是北偏东40°方向. A 的说法是错误的，选A.说明（1）方位角是表示方向的射线与正北（或正南）方向的夹角，如B 中射线OB 与正北方向的夹角为90°-75°=15°，故它表示北偏西15°的方向；射线OD 与正南方向的夹角为90°-45°=45°，故它表示南偏东45°即东南方向.（2）东南方向表示南偏东45°方向，东北方向表示北偏东45°方向，西南方向表示南偏西45°方向，西北方向表示北偏西45°方向. 为什么错 1.理解错误例7 如果∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则图1-3.4-15中互补的角有对．错解 ∵∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，∴图中互补的角有7对，∠AOC 与∠COB ，∠AOC 与∠AOD ，∠AOD 与∠COD ，∠BOC 与∠COD ，∠BOD 与∠AOD ，∠BOD 与∠COB ，∠AOC 、∠COD 与∠BOD ．北 O 南东西 30° A （1）北O东西 25°60° C 南 B （2）图1-3.4-13图1-3.4-14例8 如图1-3.4-16，已知∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，问图中是否有与∠COE 互补的角？错解观察图形可知，图中没有与∠COE 互补的角.分析图中真的没有与∠COE 互补的角吗？由∠AOC=90°可知，∠AOD 与∠COD 互为余角；由∠DOE ＝90°可知，∠COE 与∠COD 互为余角，根据“同角的余角相等”得∠COE ＝∠AOD.可见，要找与∠COE 互补的角，可转化为找与∠AOD 互补的角，观察图形知，∠BOD 与∠AOD 互为补角，因此与∠COE 互补的角是∠BOD.由上可知，在识图时，我们不单单要认真观察图形，而且还要仔细分析题设条件，这样才能作出正确的判断.正解图中有与∠COE 互补的角，它是∠BOD.探究平台例9 如图1-3.4-17是一个由16个小正方形拼成的大正方形，则∠1+∠2+∠3+…∠16的度数是（）A ．840°B ．720°C ．675°D ．630°图1-3.4-17分析把正方形沿对角线对折，就会发现这些角分8对，每对中的两个角拼成一个直角，如：∠1+∠16=90°；而对角线上的每个角都是45°。

三角函数特殊角值表

利用公式二和公式三可以得到的三角函数值之间的关系
一、特殊角三角函数值
角度
120
180
0° 30° 45° 60° 90°
135° 150°
函数
°
°
270 360°
°
角 a 的弧 0
度

sin
0
1
0 —1 0
cos
1
0 —1 — 2
2
2
— 3
—1
0
1
2
tan
0
1
二、诱导公式
—
- 3 —1
0 3
0
3
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）
公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关
系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
公式六： π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
sin（－α）＝－sinα
——仅供参考
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα

特殊角与三角函数

特殊角与三角函数在数学中，角度是一个非常重要的概念。

它描述了物体相对于某一参考点的旋转方向和角度大小。

角度的度量方法有很多种，其中一种常见的方法是使用特殊角和三角函数来表示。

特殊角是指那些角度大小为特定数值的角，在三角函数中也有特殊角对应的数值。

本文将探讨特殊角与三角函数之间的关系。

首先我们来了解一下什么是特殊角。

在三角学中，0°、30°、45°、60°、90°、180°等角度被称为特殊角。

这些角的度数是固定不变的，因此它们在三角函数中有特定的数值对应。

特殊角的意义在于它们的数值计算相对简单，可以用于快速计算三角函数的数值。

接下来，我们来看一下特殊角与三角函数之间的关系。

在直角三角形中，sin、cos和tan是三个基本的三角函数。

对于特殊角而言，它们的三角函数数值如下所示：- 0°的三角函数值：sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0；- 30°的三角函数值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3；- 45°的三角函数值：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1；- 60°的三角函数值：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3；- 90°的三角函数值：sin90°=1，cos90°=0，tan90°=无穷大。

这些特殊角的三角函数值是根据三角形的边长比例计算得出的。

例如，对于30°角而言，sin30°的值等于对边长度与斜边长度的比值，cos30°的值等于邻边长度与斜边长度的比值，tan30°的值等于对边长度与邻边长度的比值。

三角函数公式特殊角值

三角函数公式特殊角值【实用版】目录1.三角函数的定义与意义2.特殊角值的概念3.常见三角函数的特殊角值4.记忆方法与应用正文一、三角函数的定义与意义三角函数是一类数学函数，用于描述直角三角形中角度与边长之间的关系。

在实际生活和科学研究中，三角函数具有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学等领域都有重要的作用。

二、特殊角值的概念特殊角值是指在特定角度下，三角函数所对应的函数值。

这些值通常具有规律性和特殊性，可以简化计算过程。

在实际应用中，掌握特殊角值有助于提高解题效率。

三、常见三角函数的特殊角值1.正弦函数（sine，sin）：在单位圆上，对于角度θ，其正弦值 sin θ等于对边长与斜边长的比值。

常见特殊角值如下：sin 30° = 1/2sin 45° = √2/2sin 60° = √3/2sin 90° = 12.余弦函数（cosine，cos）：在单位圆上，对于角度θ，其余弦值 cos θ等于邻边长与斜边长的比值。

常见特殊角值如下：cos 30° = √3/2cos 45° = √2/2cos 60° = 1/2cos 90° = 03.正切函数（tangent，tan）：在单位圆上，对于角度θ，其正切值 tan θ等于对边长与邻边长的比值。

常见特殊角值如下：tan 30° = √3/3tan 45° = 1tan 60° = √3tan 90° = 不存在4.余切函数（cotangent，cot）：在单位圆上，对于角度θ，其余切值 cotθ等于邻边长与对边长的比值。

常见特殊角值如下：cot 30° = √3cot 45° = 1cot 60° = √3/3cot 90° = 不存在四、记忆方法与应用为了方便记忆这些特殊角值，可以采用以下方法：1.联想法：将特殊角值与生活中的实际场景、几何图形等联系起来，形成直观的印象。