2014最新人教版数学一元二次方程全章导学案2
一元二次方程根与系数的关系(2)导学案(新版新人教版)
一元二次方程根与系数的关系（2）导学案（新版新人教版）第7课时一元二次方程根与系数的关系一、学习目标1．已知一元二次方程两根的关系求参数的取值范围；．已知一元二次方程两根的关系会求参数；．会求含有一元二次方程两根的代数式的值.二、知识回顾1．一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？判别式与一元二次方程根的情况：是一元二次方程的根的判别式，设，则当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根.一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2与系数a,b,c的关系是什么？三、新知讲解几种常见的求值：四、典例探究．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围【例1】已知关于x的方程设方程的两个根为x1,x2，若求的取值范围.总结：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则有．这是著名的韦达定理.已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.练1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x+2+2=0的两个实数根，且x1，x2满足x1•x2﹣x12﹣x22≥0，求的取值范围.【例2】已知关于x的方程x2﹣2x+2﹣3=0当取何值时，方程有两个实数根？设x1、x2是方程的两根，且2﹣x1x2=26，求的值．总结：一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况与判别式△的关系如下：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．一元二次方程ax2+bx+c=0两实数根x1，x2又有如下关系：，所以已知关于x1，x2的关系等式可以求原方程中的字母参数.注意使用的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△≥0.练2已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x++1=0的两个实数根．求实数的取值范围；如果x1、x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且为负整数，求出的值，并解出方程的根．．根据一元二次方程求含两根的代数式的值【例3】已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值.注意中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混.如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：练3已知：关于x的方程x2+2x﹣=0有两个不相等的实数根．求的取值范围；若α，β是这个方程的两个实数根，求的值.五、课后小测一、选择题已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是－2B.2c.5D.6关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是A．1B．－1c．1或－1D． 2设是方程的两个实数根，则的值为A．5B．－5c．1D．－1二、填空题．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为________．．已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是．如果，n是两个不相等的实数，且满足2﹣=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣n+2+XX=___________．三、解答题．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数的值.．已知关于x的一元二次方程=p2，p为实数．求证：方程有两个不相等的实数根；p为何值时，方程有整数解．0．已知，n是方程x2+3x+1=0的两根求﹣的值求+的值．1．已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．．已知关于x的方程x2﹣2x+2=0有两个实数根x1、x2．求的取值范围；求证：x1+x2=2，；求•的最小值．3.已知方程x2﹣2x++2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求的取值范围．已知关于x的方程x2﹣3x+18=0有两个正整数根．△ABc 的三边a、b、c满足，2+a2﹣8a=0，2+b2﹣8b=0．求：的值；△ABc的面积．典例探究答案：【例1】分析：先考虑判别式>0，根据题意得，这说明取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=-6，代入即可求得的取值范围.解：根据题意，得，所以为任意实数，方程都有两个不相等的实数根.∵x1+x2=3，x1x2=-6，且，∴，解得>-1.综上，的取值范围是>-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.练1．【解析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2+1，x1•x2=2+2，变形后代入即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2+2=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=2+1，x1•x2=2+2，∵x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立，∴x1•x2﹣≥0，即x1•x2﹣[2﹣2x1•x2]≥0，∴2+2﹣[2﹣2]≥0，∴≤﹣或≥1.点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于的不等式．【例2】【解析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到42﹣4≥0，然后解不等式即可；根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=2﹣3，代入2﹣x1x2=26，计算即可求解．解：根据题意，得△=42﹣4≥0，解得≥﹣2；当≥﹣2时，x1+x2=2，x1x2=2﹣3．则2﹣x1x2=2﹣5x1x2=[2]2﹣5=26，即2﹣8+7=0，解得1=1＞﹣2，2=7＞﹣2，所以1=1，2=7．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．练2．【解析】根据判别式的意义得到△=2﹣4×2×≥0，然后解不等式；先根据根与系数的关系得x1+x2=1，x1•x2=，把7+4x1x2＞x12+x22变形得7+6x1•x2＞2，所以7+6×＞1，解得＞﹣3，于是得到的取值范围﹣3＜≤﹣，由于为负整数，所以=﹣2或=﹣1，然后把的值分别代入原方程，再解方程．解：根据题意得△=2﹣4×2×≥0，解得≤﹣；根据题意得x1+x2=1，x1•x2=，∵7+4x1x2＞x12+x22，∴7+6x1•x2＞2，∴7+6×＞1，解得＞﹣3，∴﹣3＜≤﹣，∵为负整数，∴=﹣2或=﹣1，当=﹣2时，方程变形为2x2﹣2x﹣1=0，解得x1=，x2=；当=﹣1时，方程变形为x2﹣x=0，解得x1=1，x2=0．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．练3．【解析】由方程x2+2x﹣=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出的取值范围；欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解：△=4+4，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4＞0∴＞﹣1由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣，∴=，点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．课后小测答案：一、选择题BB【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则原式＝＝＝－5．故选B．点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．二、填空题．【解析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=2﹣2x1x2，最后整体代值计算．解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，∴x12+x22=2﹣2x1x2=25+2=27，故答案为：27．点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．【解析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1，∴a2+b2+2ab=2=2=1．故答案为：1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．【解析】由于，n是两个不相等的实数，且满足2﹣=3，n2﹣n=3，可知，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：+n=2，n=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣n+2+XX=2﹣n+2+XX=2n+6﹣n+2+XX=2﹣n+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解：由题意可知：，n是两个不相等的实数，且满足2﹣=3，n2﹣n=3，所以，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：+n=1，n=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣n+2+XX=2﹣n+2+XX=2n+6﹣n+2+XX=2﹣n+2021=2×1﹣+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．三、解答题．【解析】关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．解：∵b2﹣4ac=2﹣4×1×=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于的方程，从而得到的值，但前提条件是方程得有实数根.解：原方程可变形为：.∵、是方程的两个根，∴△≥0,即：42-42≥0,∴8+4≥0,≥.又、满足,∴=或=-,即△=0或+=0,由△=0,即8+4=0,得=.由+=0,即:2=0,得=-1,所以,当时，的值为.点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值.．【解析】要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；要是方程有整数解，那么x1•x2=4﹣p2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．解；原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，∵△=2﹣4×=4p2+9＞0，∴不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；∵方程有整数解，∴x1•x2=4﹣p2为整数即可，∴当p=0，±1时，方程有整数解．点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．0．【解析】首先求出和n的值，进而判断出和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；根据和n小于0化简+为，然后根据+n=﹣3，n=1整体代值计算．解：∵，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴=，n=，∴＜n＜0，原式=•﹣=﹣=﹣6﹣2﹣=∵，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴2+3+1=0，∴原式=0；∵＜0，n＜0，∴+=﹣﹣n=+=，∵+n=﹣3，n=1，∴原式=9﹣2=7．点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出和n的判断出和n均小于0，此题难度一般．1．【解析】由x1，x2是一元二次方程x2+2ax+a=0的两个实数根，可得x1+x2=﹣，x1•x2=，△=2﹣4a=24a＞0，又由﹣x1+x1x2=4+x2，即可求得a的值．解：存在．∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1•x2=，△=2﹣4a=24a＞0，∴a＞0，∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+x2+x1，即=4﹣，解得：a=24．点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=，x1x2=．．【解析】根据判别式的意义得到△=[﹣2]2﹣4×1×2≥0，然后解不等式即可；利用求根公式得到x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，然后分别计算x1+x2，x1x2的值即可；利用中的结论得到•=x1•x2﹣+1=2﹣2+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．解：依题意得△=[﹣2]2﹣4×1×2≥0，解得≤；证明：∵△=4﹣8，∴x=，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∴x1+x2=﹣1++﹣1﹣=2；x1•x2==2﹣2=2；解：•=x1•x2﹣+1=2﹣2+1=2+2，∵2≥0，∴2+2≥2，∴•的最小值为2．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．3.【解析】由于方程x2﹣2x++2=0的有实根，由此利用判别式可以得到的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2|≤3就又可以得到的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出的取值范围．解：根据题意可得△=b2﹣4ac=4﹣4×1×≥0，解得≤﹣1，而x1+x2=2，x1x2=+2，①当≤﹣2时，x1、x2异号，设x1为正，x2为负时，x1x2=+2≤0，|x1|+|x2|=x1﹣x2==≤3，∴≥﹣，而≤﹣2，∴﹣≤≤﹣2；②当﹣2＜≤﹣1时，x1、x2同号，而x1+x2=2，∴x1、x2都为正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2＜3，符合题意，的取值范围为﹣2＜≤﹣1．故的取值范围为：﹣≤≤﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．【解析】本题可先求出方程x2﹣3x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出的值．由得出的的值，然后将2+a2﹣8a=0，2+b2﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．解：∵关于x的方程x2﹣3x+18=0有两个正整数根．∵a=2﹣1，b=﹣9+3，c=18，∴b2﹣4ac=2﹣72=92≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即2﹣1=1或2或3或6或9或18，又为正整数，∴=2；把=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABc为直角三角形，且∠c=90°，S△ABc=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABc=××=综上，△ABc的面积为1或．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．。
2.2一元二次方程的解法(2)导学案
2.2 一元二次方程的解法（2）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1．巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；2．会用开平方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。
〖学习重点与难点〗重点：用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。
难点：二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节学习的难点。
一、复习引入（把握时间，看看你的复习情况）1．用配方法解下列方程：（1） 162=+x x （2）11342-=x x2．回顾：上个星期学习的配方法解方程有哪些步骤？3．思考：当二次项系数不为1时，我们该怎么办？比如 11052+=x x ，此时二次项系数不为1，你觉得怎么用配方法来解？4．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，有哪些步骤？跟之前比较，多了哪些步骤？二、例题精讲（先思考，然后和老师一起完成）例3 用配方法解下列一元二次方程：⑴03422=-+x x ⑵03832=--x x⑶x x 353122=-⑷05.01.02=++x x三、巩固练习1．用配方法解方程0122=--x x 时，配方结果正确的是（ ） （A ）43)21(2=-x （B ）43)41(2=-x （C ）1617)41(2=-x （D ）169)41(2=-x2．用配方法解下列方程：⑴03622=++x x ⑵05722=+-x x四、当堂检测（仔细思考，总结解题的步骤）用配方法解方程： ⑴132)1(=--n n n ⑵02222=--x x⑶02142=++x x ⑷08121432=--x x总结：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，有哪些步骤？你又掌握了哪些？五、小结这节课，你收获了哪些知识？。
2014年秋新版人教版九年级上第21章一元二次方程导学案
课题：21．1
审 核 人 授课时间
一元二次方程(第二课时)导学案
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根 师生备注
9月
日
四、拓展延伸：
1．如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值． 2．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与 常数项之和等于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根． 3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形， 即在（
(3)．px -3x+p -q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） ． A．p=1 2、填空题 (1) ． 方 程 3x2-3=2x+1 的 二 次 项 系 数 为 ________ ， 一 次 项 系 数 为 _________，常数项为_________． (2） ．将下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的 C．p≠0 D．p 为任意实数
2、老师点评：
一元二次方程：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理， 都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 3、巩固 （1） ．将方程（8-2x） （5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写 出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． （2） ． （学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程 （x+1）2+ （x-2） （x+2）=1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次 项系数；一次项、一次项系数；常数项。 3．求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值， 该方程都是一元二次方程。
新人教版一元二次方程导学案
新人教版一元二次方程导学案一、导学目标：1. 理解一元二次方程的定义和性质；2. 掌握求解一元二次方程的方法；3. 学会应用一元二次方程解决实际问题。
二、预习问题：1. 什么是一元二次方程？有哪些特点？2. 如何求解一元二次方程？3. 一元二次方程在实际问题中有哪些应用？三、导学内容：一元二次方程（Quadratic equation）是指形如：ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c是已知数，且a≠0）的方程。
一般形式下，一元二次方程有三个系数：a、b、c。
一、定义和性质：1. 定义：一元二次方程是一个次数为2的方程。
2. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，抛物线对称轴的方程为x = -b/2a，即x = h，其中h为顶点的横坐标。
可得，顶点坐标为（h, k），其中k为抛物线的最值，即y = k。
3. 对称性：一元二次方程的图像是关于对称轴x = h对称的。
4. 判别式：一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程无实数根。
5. 和与积：设x_1和x_2是方程ax^2 + bx + c = 0的两个根，则有以下关系式：x_1 + x_2 = -b/a， x_1 * x_2 = c/a。
二、求解一元二次方程：1. 求解一元二次方程的一般步骤：- 对方程进行整理，使其转化为标准形式；- 计算判别式Δ的值，根据Δ的大小判断方程的解的情况；- 根据Δ的值，应用一元二次方程的求根公式计算方程的解。
2. 求根公式：一元二次方程的求根公式为： x = (-b ± √Δ ) / (2a)三、一元二次方程的应用：1. 自由落体问题：已知物体从高处自由落体，求解物体落地所需要的时间。
2. 飞行物体问题：已知物体在空气中的运动轨迹以及发射出的初速度，求解物体飞到指定位置所需的时间。
3. 成绩排名问题：已知班级学生的总评成绩情况，求解指定百分位的成绩。
一元二次方程的应用(2)教育教案及到导学案 (新版新人教版)
一元二次方程的应用（2）导学案（新版新人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第9课时一元二次方程的应用（2）一、学习目标．会利用一元二次方程解答数字问题2．会利用一元二次方程解答营销问题；3．会利用一元二次方程解答动态几何问题.二、知识回顾.用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：（1）审题找等量关系；（2）设元列方程；（3）求解并检验；（4）写出答案．2.数字问题中常用的数量关系有：两位数表示为：十位数字×10+个位数字；三位数表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字；三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2.三、新知讲解一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．四、典例探究．一元二次方程的应用——数字问题【例1】（XX秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．总结：对于数字问题，首先要明确数的表示方法：（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2．练1有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.练2（XX•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3B．﹣1c．﹣3或1D．3或﹣12．一元二次方程的应用——营销问题【例2】（XX•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？总结：用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润.用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润.每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.练3（XX•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？3．一元二次方程的应用——动态几何问题【例3】（XX春•寿县校级月考）如图△ABc，∠B=90°，AB=6，Bc=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边Bc向点c以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点c时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．总结：动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题.解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.练4（XX春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙Ac上，这时B到墙c的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2而A1B1=2.5，在Rt△A1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下问题：梯子的顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这个问题．五、课后小测一、选择题．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A．5和9B．﹣9和﹣5c．5和﹣5或﹣9和9D．5和9或﹣9和﹣52．（XX•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2o0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3B．0.4c．0.3D．0.23.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）A．44B．45c．46D．47．二、填空题4．（XX秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．5．（XX•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题6．（XX•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．7．（XX春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8．（XX•江西模拟）等腰△ABc的直角边AB=Bc=10cm，点P、Q分别从A、c两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边Bc的延长线运动，PQ与直线Ac相交于点D．设P点运动时间为t，△PcQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PcQ=S△ABc？（3）作PE⊥Ac于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．9.（XX春•汕头校级期中）如图，长方形ABcD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、c同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BcQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t=以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）典例探究答案：【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x ﹣3），根据题意得10（x﹣3）+x=x2原方程可化为：x2﹣11x+30=0，∴x1=5，x2=6，当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．练1．【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=，x2=4.因为x为整数，所以x=不符合题意，x=4.0（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2．【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故选：D．点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．练3．【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先【例3】用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴S△PBQ=×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，∴x2﹣6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，则S△PBQ=×（6﹣y）×2y=10，即y2﹣6y+10=0，因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．练4．【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1c=x+0.7，根据勾股定理求出A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1c中，由勾股定理得到B1c2+A1c2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x 米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2．而A1B1=2.5，在Rt△A1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B 将向外移动0.8m．故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．课后小测答案：一、选择题．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=±7，解得x1=5，x2=﹣9．则x+4=9或x+4=﹣5．故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选：c．点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．故选：D．点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=﹣16则x+2=16或x+2=﹣14即这两个数为14，16或﹣14，﹣16所以这两个数的和是30或﹣30．点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．三、解答题6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，（1）依题意，得x（20﹣x）=96，化简，得x2﹣20x+96=0．解，得x1=8，x2=12．当x=8时，20﹣x=12；当x=12时，20﹣x=8．所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．（2）依题意，得x（20﹣x）=102化简，得x2﹣20x+102=0．∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，∴方程无实数根．所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿Bc向上运动，且速度都为1cm/s，S=Qc×PB，所以求出Qc、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时cQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时cQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABc=（5分）∴当t＜10秒时，S△PcQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PcQ=（7分）整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）∴当点P运动秒时，S△PcQ=S△ABc（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作Qm⊥Ac，交直线Ac于点m易证△APE≌△Qcm，∴AE=PE=cm=Qm=t，∴四边形PEQm是平行四边形，且DE是对角线Em的一半．又∵Em=Ac=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出cQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BcQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥cD于E，在Rt △PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ 时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图1，∵四边形ABcD是矩形，∴AB=cD=6，AD=Bc=2，∠A=∠B=∠c=∠D=90°．∵cQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BcQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴QE=Bc=2cm，BE=cQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥cD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴PE=Bc=2cm，BP=cE=6﹣2t．∵cQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴QE=Bc=2cm，BE=cQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴PE=Bc=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，cQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。
一元二次方程全章导学案
x21．1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．活动1 ：阅读教材第2至3页，并完成以下内容。
问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________ 整理得_____________________________问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
【一元二次方程全章导学案】
第二十二章一元二次方程导学案1、一元二次方程（1）学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
其中为一元二次方程的是：【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。
自主探究：自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x 【巩固练习】教材第27页练习 归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？ 达标测评（A ）1、判断下列方程是否是一元二次方程; （1）0233122=--x x （ ）（2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-xx ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2;（3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4. 3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2； （2）0822=-+x x ±2， ±4（B ）1、把方程p q nx mx nx mx -=++-22 ()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
新人教版九年级数学上册《一元二次方程》教案导学案(全章)
第 21 章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（ 1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．? 根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法， ? 导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解 ax 2+bx+c=0（ a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件： b2-4ac>0 ， b2-4ac=0 ， b2-4ac<0 ．（5）通过复习八年级上册《整式》的第 5 节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（ 6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，? 并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需18 课时，具体分配如下：21 ．1一元二次方程 2 课时21． 2 降次──解一元二次方程9 课时21．3实际问题与一元二次方程 3 课时教学活动、习题课、小结4课时第 1 课时一元二次方程（1）1、使学生了解一元二次方程的意义。
新人教版九(上)一元二次方程全章导学案(精编)
学校___________ 班级___________ 姓名___________ 学号___________…………☉…不…☉…要…☉…在…☉…密…☉…封…☉…线…☉…内…☉…作…☉…答…………… 1.1一元二次方程的概念（学案 ）一，情景导入： 问题（1）要设计一座高2m 的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?分析：设下部高度BC 为xm 则上部AC 为__________m.根据上部与下部的关系_________________。
列方程为：_________________化简得_________________。
问题2:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm ²,那么铁皮各角应切去多大的正方形?思考:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为__________cm,宽为__________cm.根据方盒的底面积为3600cm 2.由此,可以列方程_________________,化简得___________________.问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?思考:(1)全场共比赛___________场;(2) 若设应邀请x 个队参赛,则每个队要与其他____________个队各赛一场,全场共比赛_______场.由此,我们可以列方程_________________,(3) 化简得___________________.二、观察发现二．揭示概念观察并思考:x 2+2x -4=0; x 2-75x +350=0; x 2-x =56.(1).这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数?它的最高次数是几?它们有什么共同特点?(2).对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义:__________________.（3）揭示：经过去分母、去括号、移项、合并同类项能化为02=++c bx ax （其中a 、b 、c 为常数，且0≠a ）的整式方程，02=++c bx ax （其中a 、b 、c 为常数，且0≠a ）被称为一元二次方程的___________。
2014秋新人教版九年级数学一元二次方程导学案
目录编制说明................................................................................................................................................. - 2 -21.1 一元二次方程⑴ .......................................................................................................................... - 3 -21.1 一元二次方程⑵ .......................................................................................................................... - 5 -21.2.1 直接开平方法解一元二次方程 .............................................................................................. - 7 -21.2.2 配方法解一元二次方程........................................................................................................... - 9 -21.2.3 用公式法解一元二次方程 .......................................................................................................- 11 -21.2.4 用因式分解法解一元二次方程 ............................................................................................ - 13 -21.2 用适当的方法解一元二次方程................................................................................................. - 15 -21.2.5一元二次方程根的判别式...................................................................................................... - 19 -21.2.6 一元二次方程根与系数的关系............................................................................................. - 21 -21.3 实际问题与一元二次方程⑴..................................................................................................... - 23 -21.3 实际问题与一元二次方程⑵..................................................................................................... - 25 -21 一元二次方程（复习课）............................................................................................................. - 27 -单元测试............................................................................................................................................... - 29 -新人教版数学2014年秋期九年级《一元二次方程》导学案编制说明1、本导学案的编写时间：2014年4月至5月。
新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式全套导学案PPT课件及配套WORD讲义
由 a>b>0，有 ab>0⇒aab>abb⇒1b>1a，故 B 为假命题；
a<b<0⇒－a>－b>0⇒－1b>－1a>0，
a<b<0⇒－a>－b>0
⇒ab>ba，故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0，
a1>1b⇒a1－b1>0⇒ba－ba>0⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0，b<0，故 D 为真命题． 解析
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 作差法比较大小
例 1 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 3x；
(2)设 x，y，z∈R，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．
[解] (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0，∴x2＋3>3x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－
第二章 一元二次函数、方程 和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
(教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质， 能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实 际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.不等式性质的应用． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.借助不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理素养.2.通过 大小比较及利用不等式求范围，提升数学运算素养.
∴0<a－b<6，
故 2a＋3b 的取值范围为－18<2a＋3b<－5，a－b 的取值范围为 0<a－
一元二次方程的应用(2)导学案 (新版新人教版)
一元二次方程的应用（2）导学案（新版新人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第9课时一元二次方程的应用（2）一、学习目标．会利用一元二次方程解答数字问题2．会利用一元二次方程解答营销问题；3．会利用一元二次方程解答动态几何问题.二、知识回顾.用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：（1）审题找等量关系；（2）设元列方程；（3）求解并检验；（4）写出答案．2.数字问题中常用的数量关系有：两位数表示为：十位数字×10+个位数字；三位数表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字；三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2.三、新知讲解一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．四、典例探究．一元二次方程的应用——数字问题【例1】（XX秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．总结：对于数字问题，首先要明确数的表示方法：（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2．练1有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.练2（XX•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3B．﹣1c．﹣3或1D．3或﹣12．一元二次方程的应用——营销问题【例2】（XX•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？总结：用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润.用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润.每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.练3（XX•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？3．一元二次方程的应用——动态几何问题【例3】（XX春•寿县校级月考）如图△ABc，∠B=90°，AB=6，Bc=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边Bc向点c以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点c时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．总结：动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题.解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.练4（XX春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙Ac上，这时B到墙c的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2而A1B1=2.5，在Rt△A1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下问题：梯子的顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这个问题．五、课后小测一、选择题．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A．5和9B．﹣9和﹣5c．5和﹣5或﹣9和9D．5和9或﹣9和﹣52．（XX•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2o0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3B．0.4c．0.3D．0.23.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）A．44B．45c．46D．47．二、填空题4．（XX秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．5．（XX•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题6．（XX•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．7．（XX春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8．（XX•江西模拟）等腰△ABc的直角边AB=Bc=10cm，点P、Q分别从A、c两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边Bc的延长线运动，PQ与直线Ac相交于点D．设P点运动时间为t，△PcQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PcQ=S△ABc？（3）作PE⊥Ac于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．9.（XX春•汕头校级期中）如图，长方形ABcD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、c同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BcQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t=以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）典例探究答案：【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x ﹣3），根据题意得10（x﹣3）+x=x2原方程可化为：x2﹣11x+30=0，∴x1=5，x2=6，当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．练1．【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=，x2=4.因为x为整数，所以x=不符合题意，x=4.0（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2．【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故选：D．点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．练3．【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先【例3】用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴S△PBQ=×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，∴x2﹣6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，则S△PBQ=×（6﹣y）×2y=10，即y2﹣6y+10=0，因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．练4．【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1c=x+0.7，根据勾股定理求出A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1c中，由勾股定理得到B1c2+A1c2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x 米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1c=x+0.7，A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2．而A1B1=2.5，在Rt△A1B1c中，由B1c2+A1c2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B 将向外移动0.8m．故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．课后小测答案：一、选择题．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=±7，解得x1=5，x2=﹣9．则x+4=9或x+4=﹣5．故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价o.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选：c．点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．故选：D．点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=﹣16则x+2=16或x+2=﹣14即这两个数为14，16或﹣14，﹣16所以这两个数的和是30或﹣30．点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．三、解答题6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，（1）依题意，得x（20﹣x）=96，化简，得x2﹣20x+96=0．解，得x1=8，x2=12．当x=8时，20﹣x=12；当x=12时，20﹣x=8．所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．（2）依题意，得x（20﹣x）=102化简，得x2﹣20x+102=0．∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，∴方程无实数根．所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿Bc向上运动，且速度都为1cm/s，S=Qc×PB，所以求出Qc、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时cQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时cQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABc=（5分）∴当t＜10秒时，S△PcQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PcQ=（7分）整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）∴当点P运动秒时，S△PcQ=S△ABc（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作Qm⊥Ac，交直线Ac于点m易证△APE≌△Qcm，∴AE=PE=cm=Qm=t，∴四边形PEQm是平行四边形，且DE是对角线Em的一半．又∵Em=Ac=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出cQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BcQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥cD于E，在Rt △PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ 时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图1，∵四边形ABcD是矩形，∴AB=cD=6，AD=Bc=2，∠A=∠B=∠c=∠D=90°．∵cQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BcQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴QE=Bc=2cm，BE=cQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥cD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴PE=Bc=2cm，BP=cE=6﹣2t．∵cQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴QE=Bc=2cm，BE=cQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠c=90°，∴四边形BcQE是矩形，∴PE=Bc=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，cQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。
一元二次方程应用导学案
一元二次方程应用（2）导学案
一、有关利润问题的基本数量关系
二．问题探究
问题1、义乌某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，商场计划获取400元的利润（不计其它成本），问需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？
分析：
①问题中有哪些已知量？其对应的数学语言是什么？它们之间有怎样的等量关系？
②如何列方程？
变式思考：在上题中，若加上条件“物价部门规定商品的售价不超过进价的120%”,该如何解答？
（附）小结：解一元二次方程应用题的一般步骤？
问题2、义乌某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若要平均每天盈利1600元，同时也让
顾客获得最大的实惠，则应降价多少元？
分析：①问题中的服装盈利与哪些量有关？
②根据题目条件填表，并找出等量关系：
③列方程解答：
三、课堂小结：
（分层作业思考题）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，最大程度让利于老百姓，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价2元，平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？。
2014年新人教一元二次方程全章教案新编
庆坪中学数学学科教师备课活页课题： 21.2.3 公式法主备人：李凯时间：2014.9.1教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程的步骤（1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.（2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
（3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解。
（4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材P45复习巩固4．2．选用作业设计:一、选择题1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．2．方程2x2+43x+62=0的根是（）．3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．教学过程一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。
一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)
1 反思：【学习目标】1、体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项. 【学习重点】由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念. 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）（1) 多项式2321x y x --是 次 项式,其中最高次项是 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .（2） 叫方程,我们学过的方程类型有 . 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟）1.自学教材P17——19，回答以下问题.（1）一元二次方程的定义：只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的 方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a ≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项.【注意】①方程20ax bx c ++=只有当a ≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b ≠0时就是 方程了.所以在一般形式中，必须包含a ≠0这个条件.②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.2. 一元二次方程的解：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边值相等的_______________的值. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.）1.下列方程是一元二次方程的是有 ：（1）3239x x +=，（2）(1)(1)0x x +-=，（3）220y =，（4）01122=-+xx ，（5）232m =， （6）05322=-+y x .2.把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为： ；其二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .3.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则m= ，n= .4.下面哪些数是方程260x x --=的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4.5. 已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________.6.已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k . （1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）1.当a______时，关于x 的方程22()(1)a x x x +=-+是一元二次方程.2.若关于x 的方程27(3)(5)50m m x m x -++-+=是一元二次方程，试求m 的值，•并指出这个方程的各项系数．3．关于x 的方程21()36m m m x x +-+=可能是一元二次方程吗？为什么？2 反思：§22.2.1《一元二次方程的解法——直接开平方法》导学案【学习目标】1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 【学习重点】运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟） 1.我们知道x 2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x= ，如果x 换元为2x-1，即2(21)5x -=，也用直接开平方的方法可以这样求解. 2.(1) 解：由方程 2(21)5x -=，得21x -=_______即 21x -=____，21x -=_____∴ 1x =_______, 2x =_____(2) 解：由方程 2692x x ++=，得(_________)2=2∴ ______________=_______ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ 【活动二】自主交流 探究新知（15分钟） 仿照知识链接中的方法解下列方程：(1) 28x = (2) 22(1)4x -=(3) 2694x x++=(4)2490m -= （5）291241x x ++=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法.2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么可得x =mx n +=【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1．若224()x x p x q-+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2 2．方程2390x +=的根为（ ）．A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．无实数根 3．解方程：（1）28160x -=（2）22(3)72x -=【活动五】拓展延伸（独立完成8分钟，班级展示2分钟） 1．如果a 、b 21236b b -+=0，求ab 的值.2．用直接开平方法解方程：22(1)180x --=3．解关于x 的方程2()(0)x m n n +=≥．4. 已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值.3 反思：§22.2.2《一元二次方程的解法——因式分解法》导学案【学习目标】1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程． 【学习重点】用因式分解法解一元二次方程. 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）1.分解因式：（1）2832x - （2）244x x -+ （3）228x x --2.填空：填上适当的数，使下列等式成立：(1) 25____(____x x x ++=+2) (2) 21____(____2x x x ++=+2) (3) 2____(____x x +=-2) (4) 2____(____bx x x a++=+2) 【活动二】自主交流 探究新知（20分钟）仿照知识链接中的方法解下列方程：（1）2410x -= （2）22150x x --=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）总结因式分解的步骤： ①通过___________把一元二次方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次因式的______;③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程; ④解 ，它们的解就是原方程的解。
新人教版一元二次方程导学案
新人教版一元二次方程导学案(总34页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2一元二次方程（第1课时）A一、学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、学习重点、难点重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
三、学习过程（一）知识准备：（1) 多项式3x 2y-2x-1是 次 项式,其中最高次项是 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 。
（2） 叫方程,我们学过的方程类型有 。
（3）解下列方程或方程组： ①1)1(2-=+x x ②⎩⎨⎧=+=-42y x y x ③211=-x（二）新课学习：5分钟（1）一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a ≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项。
【注意】①方程ax 2+bx +c =0只有当a ≠0时才叫一元二次方程，如果a =0，b ≠0时就是 方程了。
所以在一般形式中，必须包含a ≠0这个条件。
②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
2．新课应用:（8分钟）31、下列方程是一元二次方程的是有 ：（1），（2）(x+1)(x-1)=0，（3），（4）01122=-+x x ，（5）， （6）05322=-+y x ① 一元二次方程15242+-=x x x 化为一般形式是： ；其二次项是： ；一次项是： ；常数项是： .②把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为： ；其二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .3、若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则（ ）.A m≠0，n=3B m≠3，n=4C m≠0，n=4D m≠3，n≠04、已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k .（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.四、达标过关测试(6分钟）1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）.A.()()12132+=+x xB.02112=-+x xC.02=++c bx axD.1222-=+x x x 2．一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ___，一次项系数为： ____，常数项为： _____.3．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m ________时为一元一次方程；当m___________时为一元二次方程.44.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ．5．如图所示，在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．0350652=+-x x5一元二次方程（第2课时）---- 一元二次方程的根A一、学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
一元二次方程根与系数的关 系导学案2
《一元二次方程的根与系数的关系》导学案单位：福田东湖学校 执教者：陈武校【学习目标】1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立；2.会运用根与系数关系解决有关问题。
【学习重点和难点】1.学习重点：一元二次方程根与系数的关系和应用。
2.学习难点：对根与系数的关系的理解和推导。
【学习过程】1、 自主学习、预习新知1、自习九年级上册p15-16页21.2.4 一元二次方程根与系数的关系的内容，初步感知一元二次方程根与系数的关系；2、一元二次方程的一般形式是： ，一元二次方程方程的解法有： ；3、一元二次方程的求根公式是：。
二、自主探索，探究学习探究1：填表，观察、猜想方程问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②的两根用式子表示你发现的规律。
探究2：填表，观察、猜想方 程问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；② 的两根用式子表示你发现的规律：探究3.推断证明求根公式：得出结论： (a≠0)的两根为则: ，三、达标检测，强化训练练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的的和与积(1) (2) (3)练习2：1、如果-1是方程的一个根，则另一个根是 ，m = 。
2、设 是方程的两个根，则= ___ , = ____，= - == ( )2 - =3、判断正误：以2和-3为根的方程是 （ ）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 _____ 。
变式训练：设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） （2） （3）四、回顾总结、升华提高通过本节课的学习，根与系数之间的关系是： （韦达定理）五、布置作业、强化训练1、不解方程，求下列方程的两根的和与积。
（1） （2）2、如果是一元二次方程 的两个实数根，则= .3、已知x1、x2是一元二次方程 的两个实数根，且满足不等式 ，求实数m的取值范围？4、 已知实数a、b满足等式 ，求 的值。
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第一周导学案编号001【课题】一元二次方程（1）学习目标：1.了解一元二次方程的概念、一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念.2．应用一元二次方程概念解决一些简单题目.3.通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．重点难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式、和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【一、自主学习】阅读教材P1–P3,结合教材完成下面问题：问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m，则上部高________,得方程：_____________________________ ，整理得__________________________ ①问题2如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程：_____________________________ ，整理得：_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
列方程：___________________________，整理得：____________________________ ③请回答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？__ __（2）它们最高次数分别是几次？_____方程①②③的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.归纳总结：1.一元二次方程:像这样等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式:一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a,b,c是常数a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。
（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
二次项系数0a≠是一个重要条件，不能漏掉。
）【二、合作交流】小组内交流完成（组内核对答案，不懂的才问）1.将方程(82)(52)18x x--=化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．2.判断下列方程是否为一元二次方程：【三、展示评价】【四、再认重构】完成教材P4练习1、2题（规范书写在以下空白处）【五、深化拓展】1.若关于x的方程（m+3）27mx-+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，•并计算这个方程的各项系数之和．2.若21(50mm x x-++-=是关于x的一元二次方程，求m的值．3.求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【课后感悟】1学习收获：2目前还存在的问题：3希望老师再讲的知识：第一周导学案编号002【课题】直接开平方法解一元二次方程（2）学习目标：22222(1)10(3)23x10x x(5)(3)(3)x x-==+=-22 ｘ (2)2(x-1)=3y12 ｘ－－(4)=0 (6)9x=5－4x1．理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想.2．列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 重点难点：重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程.难点：根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程． 【一、自主学习】阅读教材P5–P6,结合教材完成下面问题 ：问题1 平方根的定义 问题2 你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？①2250x -= ②29160x -= ③231x =问题3 我们知道x 2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x= ，如果x 换元为2t+1，即 （2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？根据问题3，解方程：⑴(2x-1)2=5 ⑵3(x-1)2-9=108 ⑶4m 2-9=0归纳总结：1. 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”。
2. 如果一元二次方程能化成 的形式，那么可得x= 【二、合作交流】小组内交流完成 1.用直接开平方法解下列方程（1）2x 2-8=0 （2）(x+6)2-9=0 （3）(3x －2)(3x ＋2)=8 ⑷y 2+2y+1=24【三、展示评价】【四、再认重构】完成教材P6练习题（规范书写在以下空白处）【五、深化拓展】1. 下列方程：(x ＋1)(x －2)=3，x 2＋y ＋4=0，(x －1)2－x (x ＋1)=x ，,01=+xx,5)3(21,42122=+=-+xx x其中是一元二次方程的有 个2.把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_________ ______，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3. 若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______．4. 如果21=x是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是5. 用直接开平方法解下列方程:（1）3(x-1)2-6=0 （2） 9x 2+6x+1=46. 如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．【课后感悟】1学习收获：2目前还存在的问题： 3希望老师再讲的知识：第一周导学案编号003【课题】一元二次方程的根学习目标：1、了解方程的解（根）、解方程等概念，知道一元二次方程的根有两个（相等或不相等）。
2、能检验某个值是不是方程的解。
学习过程： 知识准备：一元二次方程的一般形式:____________________________ 【一、自主学习】阅读教材P3,结合教材完成下面问题 ：问题: 一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？ 分析：设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ．根据题意，得___________________． 整理，得________________________．思考：⑴、下面哪些数是上述方程的根？ 0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10⑵、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，就是一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
⑶、将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？⑷、虽然上面的方程有两个根（_____和 _）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_____。
因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解。
【二、合作交流】小组内交流完成（组内核对答案，不懂的才问） 1、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？⑴0252=-x ⑵132=x⑶01692=-x2、下列各未知数的值是方程0232=-+x x 的解的是（ ） A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-23、根据表格确定方程05.782=+-x x 的解的范围____________4、已知方程0932=+-m x x 的一个根是1，则m 的值是______【三、展示评价】分组学生板书或口头展示和教师精讲自主学习和合作交流部分内容 【四、再认重构】完成教材P421.1习题3、7（规范书写在以下空白处）【五、深化拓展】1、写出一个以2=x 为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：__________。
2、已知方程0652=-+mx x 的一个根是x=3，则m 的值为________．3、已知m 是方程062=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2________。
4、若222=-x x ，则=+-3422x x _____________。
5、如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．6、如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．【课后感悟】1学习收获：2目前还存在的问题： 3希望老师再讲的知识第一周导学案编号004【课题】直接开平方法解一元二次方程学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x =a(a ≥0)或()an mx=+2(a ≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
学习重点：掌握用直接开平方法的步骤。
学习难点：理解并应用直接开平方法解一元二次方程。
【一、自主学习】阅读教材P5–P6,结合教材完成下面问题：1、一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？2、我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？【二、合作交流】小组内交流完成（组内核对答案，不懂的才问）1、用直接开平方法解下列方程：⑴x2=8 ⑵(2x-1)2=5 ⑶x2+6x+9=2 ⑸3(x-1)2-9=108解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，我们把这种思想称为“降次转化思想”．归纳：如果方程能化成的形式，那么可得。