用动态规划法实现有向图的最短路径问题。
动态规划求最短路径的两种方法

动态规划1.最短路线问题解(1):将上图该画成下图:记a (1,2)=4,a(1,3)=5,依次类推,表示每个点和值的关系。
逆序递推方程:⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态:逆序递推,找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。
例如,当K=4时,状态 它们到F 点需经过中途 点E ,需一一分析从E 到 F 的最短路:先说从D1到F 的最短路 有两种选择:经过 E1, E2, 比较最短。
这说明由 D1 到F 的最短距离为7,其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段 第2阶段 第3阶段 第4阶段 第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为:s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析:s 表示每个点到终点的最短距离,那么最短路程为17。
动态规划算法解决路径规划问题

动态规划算法解决路径规划问题路径规划问题是人们在日常生活中经常遇到的问题,就拿地图导航为例,如何规划最短的路线是我们需要解决的问题之一。
在解决这个问题过程中,动态规划算法广泛应用。
下文将详细介绍动态规划算法在路径规划问题中的应用以及算法的实现过程。
一、动态规划算法的基本思想动态规划算法是一种解决多阶段决策问题的近似方法。
在路径规划问题中,能够将整个规划问题转化为多个子问题。
动态规划的核心思想就是将问题划分为多个规模更小的子问题,依次求解并通过子问题的最优解来得到原问题的最优解。
二、动态规划算法在路径规划问题中的应用1. 无障碍路径规划:动态规划算法可以应用于无障碍路径规划问题。
问题的关键在于如何找到一条路径,使得该路径长度最短,同时又具有无障碍的特点。
这里的无障碍指的是路径上没有障碍物,如墙壁、垃圾箱等。
这个问题可以转化为一个最短路径求解问题。
我们可以将整个地图按照一定的步长进行划分,然后根据已知信息求出从当前节点出发到下一个节点的路径长度。
由此,我们可以得到整张地图的最短路径。
2. 避障路径规划:动态规划算法同样适用于避障路径规划问题。
避障路径规划问题与无障碍路径规划问题不同的是,路径上有可能存在一些障碍物。
如何规划避开障碍物的最短路径是该问题的核心。
类似于无障碍路径规划问题,我们可以将整张地图按照一定的步长进行划分,并且将有障碍物的节点标记为不可达,然后以此为基础寻找最短路径。
在实际应用中,我们可以使用A*算法等经典避障算法来进行优化。
三、动态规划算法的实现过程在实现动态规划算法时,需要考虑三个因素:状态、方程和初始状态。
1. 状态:在路径规划问题中,状态代表一个节点的状态和特性,例如所处节点和到达该节点的路径长度。
图的每个节点都可以看作一个状态,不同的状态表示不同的阶段。
2. 方程:在计算下一个子问题时,需要依据已知信息、状态以及阶段之间的关系来求解。
这里的方程通常被称为状态转移方程。
通过利用已知的最短路径信息以及下一个子问题的信息,我们可以推导出相应的状态转移方程。
最短路径的算法

最短路径的算法介绍最短路径问题是在图论中经常遇到的一个问题,它的目标是找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径的算法有很多种,每种算法都有自己的特点和适用场景。
本文将介绍几种常用的最短路径算法,并对它们的原理和应用进行详细探讨。
Dijkstra算法Dijkstra算法是最经典的最短路径算法之一,它适用于有权重的有向图。
该算法通过逐步扩展路径来求解最短路径。
具体步骤如下:1.初始化距离数组和访问数组,将起始顶点的距离设为0,其余顶点的距离设为无穷大,将起始顶点设为当前顶点。
2.遍历当前顶点的所有邻居顶点,更新其距离值。
如果新的距离值小于原来的距离值,则更新距离值。
3.标记当前顶点为已访问,并将距离最小的未访问顶点设为当前顶点。
4.重复步骤2和步骤3,直到所有顶点都被访问过或者找到目标顶点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2),其中V为顶点数。
该算法可以用于求解单源最短路径问题,即求解一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种用于解决带有负权边的最短路径问题的算法。
该算法通过逐步放松边来求解最短路径。
具体步骤如下:1.初始化距离数组,将起始顶点的距离设为0,其余顶点的距离设为无穷大。
2.重复以下步骤V-1次,其中V为顶点数:–遍历图中的所有边,对每条边进行放松操作。
放松操作是指通过比较边的起点和终点的距离来更新终点的距离值。
3.检查是否存在负权回路。
如果在第2步的操作中,仍然存在可以放松的边,则说明存在负权回路,无法求解最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE),其中V为顶点数,E为边数。
该算法可以用于求解单源最短路径问题,并且可以处理带有负权边的图。
Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种用于解决所有顶点对之间最短路径的算法。
该算法通过动态规划的思想来求解最短路径。
具体步骤如下:1.初始化距离矩阵,将矩阵的对角线元素设为0,如果两个顶点之间存在边,则将矩阵对应位置的元素设为边的权重,否则设为无穷大。
图的最短路径算法

图的最短路径算法图是一种常见的数据结构,它由节点和连接节点的边组成。
在现实生活中,我们常常会遇到需要找到两个节点之间最短路径的问题,比如导航系统中寻找最快的路线。
图的最短路径算法就是解决这类问题的重要工具。
本文将介绍两种常用的最短路径算法:Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法,即从一个节点出发,计算该节点到图中其他节点的最短路径。
该算法采用贪心策略,逐步扩展最短路径的范围,直到找到从起始节点到其他节点的最短路径。
具体步骤如下:1)初始化距离数组dist和已访问节点集合visited。
将起始节点的距离设为0,其他节点的距离设为无穷大,同时将所有节点标记为未访问。
2)进入循环,重复以下步骤直到所有节点都被访问:a) 从距离数组dist中选择未访问节点中距离最小的节点u作为当前节点。
b) 将节点u标记为已访问。
c) 遍历当前节点u的所有邻居节点v,并更新其距离dist[v],如果从起始节点经过节点u到达节点v的距离比当前的距离小。
3)循环结束后,距离数组dist中存储的即为起始节点到其他节点的最短路径。
2. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种用于求解多源最短路径的算法,即计算图中任意两个节点之间的最短路径。
与Dijkstra算法不同,Floyd-Warshall算法采用动态规划的思想,通过中间节点的遍历来逐步更新当前最短路径。
具体步骤如下:1)初始化距离矩阵dist,其中dist[i][j]表示节点i到节点j的距离。
如果节点i和节点j之间没有直接连接的边,则距离设为无穷大。
2)三重循环依次遍历节点k、i和j。
对于每对节点i和j,如果经过节点k的路径比当前的最短路径更短,则更新最短路径。
dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])3)循环结束后,距离矩阵dist中存储的即为任意两个节点之间的最短路径。
动态规划实现最短路径问题

动态规划实现最短路径问题⼀、设计最短路径的动态规划算法 <算法导论>中⼀般将设计动态规划算法归纳为下⾯⼏个步骤: 1)分析最优解的结构 2)递归定义最优解的值 3)⾃底向上计算最优解的值 4)从计算的最优解的值上⾯构建出最优解⼆、最短路径的结构 从最优解的结构开始分析(我们假设没有权值为负的路径),对于图G<V,E>的所有结点对最短路径的问题,我们能知道⼀条最短路径的⼦路径都是最短路径。
假设⽤邻接矩阵W=w(ij)来表⽰输⼊带权图,考虑从结点i到结点j的⼀条最短路径p,如果p最多有m(m为有限值)条边。
若i=j,则p的权值为0⽽且不包含其他边。
若i ≠ j,可以将i到j的路径转换为i -> k、k->j。
三、⼀个给定的图 1)给定⼀个有向图 2)我们可以给出这个有向图的邻接矩阵四、C++实现1 #include <iostream>2 #include<fstream>3 #include<sstream>4 #include<vector>5 #include<string>6using namespace std;7const int Max_Num = 100;89 typedef struct Point {10int n; //点的个数11double p[Max_Num];12double q[Max_Num];13int root[Max_Num][Max_Num];14double w[Max_Num][Max_Num];15double e[Max_Num][Max_Num];16 }Point;1718 vector<Point> points;19 vector<string> res;20 vector<int> num;2122void file_read();23void createPoint();24void optimalBST();25void printRoot(Point P);26void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite);27 template <class Type>28 Type stringToNum(const string& str) {29 istringstream iss(str);30 Type num;31 iss >> num;32 iss.str("");33return num;34 }3536void file_read() {37string str2, str1 = "", result;38 ifstream fileRead("in.dat");39if (fileRead.is_open()) {40while (getline(fileRead, str2, '\n')) {41if (str2.find("") != -1) {42 str1.append(str2 + "");43 }44else {45 num.push_back(stringToNum<int>(str2));46if (str1 != "") {47 res.push_back(str1);48 }49 str1 = "";50 }51 }52 res.push_back(str1);53 fileRead.close();54 }55 }5657void createPoint() {58string temp;59 Point P;60for (int i = 0; i < res.size(); i++) {61 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字62int n = num[i];63 stringstream input(res[i]);64while (input >> temp) {65 temp_str.push_back(temp);66 }67 P.n = n;68for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);69for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]);70 points.push_back(P);71 }72 }7374//根据书上的伪代码:接收概率列表p1....pn和q0.....qn以及规模n作为输⼊计算出e和root75void optimalBST(){76 Point P;77for(int i = 0; i<res.size(); i++) {78 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字79int n = num[i];80string temp;81 stringstream input(res[i]);82while (input >> temp) {83 temp_str.push_back(temp);84 }85 P.n = n;8687for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);88for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]); 8990//初始化只包括虚拟键的⼦树91for (int i = 1;i <= P.n + 1;++i){92 P.w[i][i-1] = P.q[i-1];93 P.e[i][i-1] = P.q[i-1];94 }95//由下到上,由左到右逐步计算96for (int len = 1;len <= P.n;++len){97for (int i = 1;i <= P.n - len + 1;++i){98int j = i + len - 1;99 P.e[i][j] = Max_Num;100 P.w[i][j] = P.w[i][j-1] + P.p[j] + P.q[j];101//求取最⼩代价的⼦树的根102for (int r = i;r <= j;++r)103 {104double temp = P.e[i][r-1] + P.e[r+1][j] + P.w[i][j];105if (temp < P.e[i][j])106 {107 P.e[i][j] = temp;108 P.root[i][j] = r;109 }110 }111 }112 }113 points.push_back(P);114 }115 }116117void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite){118int root_node = P.root[i][j];//⼦树根节点119if (root_node == P.root[1][P.n]){120//输出整棵树的根121 fileWrite << "k" << root_node << "是根" << endl;122 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);123 printOptimalBST(root_node +1 , j, root_node, P, fileWrite);124return;125 }126127if (j < i - 1){128return;129 }else if (j == i - 1){//遇到虚拟键130if (j < r)131 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl;132else133 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl;134return;135 }136else{//遇到内部结点137if (root_node < r)138 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl; 139else140 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl; 141 }142 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);143 printOptimalBST(root_node + 1, j, root_node, P, fileWrite);144 }145146//输出最优⼆叉查找树所有⼦树的根147void printRoot(Point P){148 cout << "各⼦树的根:" << endl;149for (int i = 1;i <= P.n;++i){150for (int j = 1;j <= P.n;++j){151 cout << P.root[i][j] << "";152 }153 cout << endl;154 }155 cout << endl;156 }157158int main(){159 file_read();160 optimalBST();161 ofstream fileWrite("out.dat");162 Point P ;163for(int i = 0; i<points.size(); i++) {164 P = points[i];165 printRoot(P);166 printOptimalBST(1,P.n,-1, P, fileWrite);167 }168 fileWrite.clear();169return0;170 } 上述代码是将给定的邻接矩阵从⽂件中读取 然后根据输⼊的邻接矩阵求出最短路径。
动态规划算法在路径规划中的应用

动态规划算法在路径规划中的应用路径规划在日常生活中随处可见,比如搜索最短路线、规划旅游路线、寻找交通路线等等。
其中,动态规划算法被广泛应用于路径规划领域,可解决诸如最短路径、最小花费路径等问题。
这篇文章将介绍动态规划算法在路径规划中的应用。
一、动态规划算法的基本原理动态规划算法是一种求解多阶段决策问题的优化方法。
它将问题分成多个子问题,并分别求解这些子问题的最优解。
最后通过不断合并子问题的最优解得到原问题的最优解。
其基本思想可以用以下三个步骤来概括:1.确定状态:将原问题分解成若干个子问题,每个子问题对应一个状态。
2.确定状态转移方程:确定每个状态之间的转移关系。
3.确定边界条件:确定初始状态和结束状态。
动态规划算法通常包括两种方法:自顶向下的记忆化搜索和自底向上的迭代法。
其中,自顶向下的记忆化搜索依赖于递归调用子问题的解,而自底向上的迭代法则通过维护状态表来解决问题。
二、动态规划算法在路径规划中的应用路径规划是动态规划算法的一个重要应用场景。
动态规划算法可以用来求解最短路径、最小花费路径、最大价值路径等问题。
这里以求解最短路径为例,介绍动态规划算法在路径规划中的应用。
1.问题定义假设我们需要从城市A走到城市B,中途经过若干个城市。
每个城市之间的距离已知,现在需要求出从城市A到城市B的最短路径。
这个问题可以用动态规划算法来求解。
2.状态定义在这个问题中,我们可以用一个二元组(u, v)表示从城市u到城市v的一条路径。
因此,在求解最短路径问题时,我们需要进行状态定义。
通常情况下,状态定义成一个包含一个或多个变量的元组,这些变量描述了在路径中的某个位置、某种状态和其他有关的信息。
在这个问题中,状态定义为S(i,j),它表示从城市A到城市j的一条路径,该路径经过了城市集合{1, 2, …, i}。
3.状态转移方程状态转移方程描述了相邻状态之间的关系,即从一个状态到另一个状态的计算方法。
在求解最短路径问题时,状态转移方程可以定义为:d(i, j) = min{d(i-1, j), d(i, k) + w(k, j)}其中,d(i,j)表示从城市A到城市j经过城市集合{1, 2, …, i}的最短路径长度。
最短路径问题算法

最短路径问题算法最短路径问题算法概述:在图论中,最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中,从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中,权值和最小的那条路径。
最短路径问题是图论中的经典问题,在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。
Dijkstra算法:Dijkstra算法是一种贪心算法,用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题,即给定一个起点s,求出从s到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略,并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。
实现步骤:1. 初始化:将起始节点标记为已访问,并将所有其他节点标记为未访问。
2. 将起始节点加入优先队列,并设置其距离为0。
3. 重复以下步骤直至队列为空:a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。
b. 遍历u的所有邻居v:i. 如果v未被访问过,则将其标记为已访问,并计算v到起始节点的距离,更新v的距离。
ii. 如果v已被访问过,则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离,如果更小则更新v的距离。
c. 将所有邻居节点加入优先队列中。
优缺点:Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径,并且保证在有向图中不会出现负权回路。
但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图,因为负权边会导致算法失效。
Bellman-Ford算法:Bellman-Ford算法是一种动态规划算法,用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。
与Dijkstra算法不同,Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
实现步骤:1. 初始化:将起始节点标记为已访问,并将所有其他节点标记为未访问。
2. 对于每个节点v,初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。
3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。
4. 重复以下步骤n-1次(n为顶点数):a. 遍历所有边(u, v),如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离,则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。
动态规划在最短路径问题中的应用

动态规划在最短路径问题中的应用动态规划是一种解决复杂问题的方法,它将问题分解成更小的子问题,并通过保存子问题的解来避免重复计算,从而提高解决问题的效率。
最短路径问题是在图或者网络中找到从起点到终点的最短路径的问题,可以使用动态规划算法来解决。
本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用及其算法实现。
一、最短路径问题在最短路径问题中,我们需要在图或网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
最短路径可以通过边的权重来衡量,权重可以表示距离、时间、代价等。
最短路径问题有多种变体,其中最常见的是单源最短路径和全源最短路径。
单源最短路径问题是在给定一个起点的情况下,找到该起点到其他所有节点的最短路径。
最常用的算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
二、动态规划原理动态规划通过保存子问题的解来避免重复计算,从而提高算法的效率。
它将问题分解成更小的子问题,并使用递推关系来计算子问题的解。
在最短路径问题中,我们可以使用动态规划来计算从起点到每个节点的最短路径。
首先,我们定义一个一维数组dist[]来保存从起点到每个节点的最短路径长度。
初始化时,dist[]的值为无穷大,表示路径长度未知。
然后,我们从起点开始逐步计算每个节点的最短路径长度。
具体的动态规划算法如下:1. 初始化dist[]为无穷大,起点的dist[]为0。
2. 对于每个节点v,按照拓扑顺序进行如下操作:2.1. 对于节点v的所有邻接节点u,如果dist[v] + weight(v, u) < dist[u],则更新dist[u]。
2.2. 拓扑顺序可以根据节点的拓扑顺序进行计算或者使用深度优先搜索(DFS)算法。
三、算法实现下面是使用动态规划算法解决最短路径问题的示例代码:```// 定义图的邻接矩阵和节点个数int graph[MAX][MAX];int numNodes;// 定义dist[]数组来保存最短路径长度int dist[MAX];// 定义拓扑排序和DFS算法需要的变量bool visited[MAX];stack<int> s;// 动态规划算法求解最短路径void shortestPath(int startNode) {// 初始化dist[]数组为无穷大for (int i = 0; i < numNodes; i++) {dist[i] = INT_MAX;}dist[startNode] = 0;// 拓扑排序或DFS计算每个节点的最短路径长度 for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (!visited[i]) {DFS(i);}}// 输出最短路径长度for (int i = 0; i < numNodes; i++) {cout << "Node " << i << ": " << dist[i] << endl; }}// 深度优先搜索void DFS(int node) {visited[node] = true;for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (graph[node][i] != 0 && !visited[i]) {DFS(i);}}s.push(node);}```以上示例代码演示了使用动态规划算法求解最短路径问题的基本原理和步骤。
最短路径问题的动态规划算法

最短路径问题的动态规划算法动态规划是一种解决复杂问题的有效算法。
最短路径问题是指在给定的图中找到从起点到终点路径中距离最短的路径。
本文将介绍动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
1. 最短路径问题简介最短路径问题是图论中的经典问题之一,旨在找到从图中一点到另一点的最短路径。
通常使用距离或权重来衡量路径的长度。
最短路径问题有多种算法可以解决,其中动态规划算法是一种常用且高效的方法。
2. 动态规划算法原理动态规划算法的核心思想是将原问题分解为更小的子问题,并存储已解决子问题的结果,以供后续使用。
通过逐步解决子问题,最终得到原问题的解。
在最短路径问题中,动态规划算法将路径分解为多个子路径,并计算每个子路径的最短距离。
3. 动态规划算法步骤(1)定义状态:将问题转化为一个状态集合,每个状态表示一个子问题。
(2)确定状态转移方程:通过递推或计算得到子问题之间的关系,得到状态转移方程。
(3)确定初始状态:设置与最小子问题相关的初始状态。
(4)递推求解:根据状态转移方程,逐步计算中间状态,直到得到最终解。
(5)回溯路径:根据存储的中间状态,找到最短路径。
4. 动态规划算法示例以经典的Dijkstra算法为例,演示动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
假设有带权重的有向图G,其中节点数为n,边数为m。
算法步骤如下:(1)定义状态:对于图G中的每个节点v,定义状态d[v]代表从起点到节点v的最短距离。
(2)确定状态转移方程:d[v] = min(d[u]+w[u,v]),其中u为节点v 的直接前驱节点,w[u,v]为边(u,v)的权重。
(3)确定初始状态:设置起点s的最短距离d[s]为0,其他节点的最短距离d[v]为无穷大。
(4)递推求解:根据状态转移方程逐步计算中间状态d[v],更新最短距离。
(5)回溯路径:根据存储的前驱节点,从终点t开始回溯,得到最短路径。
5. 动态规划算法的优缺点优点:(1)求解速度快,适用于大规模问题。
最短距离求解题技巧

最短距离求解题技巧最短距离求解问题是在计算机科学和运筹学中非常重要的一个问题。
它在许多领域中都有广泛的应用,包括路径规划、网络优化、数据挖掘等。
在本文中,我将介绍一些求解最短距离问题的常用技巧。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的一种经典算法。
它通过逐步确定从源点到其他节点的最短路径,并使用一个优先级队列来选择下一个最近的节点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV),其中V是节点数,E是边数。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的另一种经典算法。
与Dijkstra算法不同的是,Bellman-Ford算法可以处理图中存在负权边的情况。
Bellman-Ford算法通过对所有边进行V-1轮的松弛操作来逐步确定最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE),其中V是节点数,E是边数。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是求解全源最短路径问题的一种经典算法。
它通过动态规划的方式计算从任意两个节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3),其中V是节点数。
Floyd-Warshall算法的优势是可以处理有向图或无向图中存在负权边的情况。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法,用于求解从起点到终点的最短路径。
它综合使用节点距离和启发式函数来评估节点的优先级,以选择下一个节点进行扩展。
A*算法通常在路径规划和游戏AI中使用。
A*算法的时间复杂度取决于启发函数的复杂度。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是一种用于求解无向图的最短路径问题的算法。
它通过选择边来构建一个连通的生成树,使得树的权重和最小。
常见的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法的时间复杂度为O(ElogV),Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
用动态规划法实现有向图的最短路径问题。

动态规划法实现有向图的最短路径实验实验题目:设计一个求解有向图,单源最短路径的算法实验目的:1)了解,并掌握分支限界算法思想2)会编写常见算法。
实验要求:1.编写实验代码2.分析算法时间和空间复杂度实验主要步骤:1 算法代码package suanfa;publicclass ShortPath{privatestatic Integer M = Integer.MAX_VALUE;publicstaticvoid main(String[]args){int[][]c={{M,4,2,3,M,M,M,M,M,M},{M,M,M,M,9,8,M,M,M,M},{M,M,M,M,6,7,8,M,M,M},{M,M,M,M,M,4,7,M,M,M},{M,M,M,M,M,M,M,5,6,M},{M,M,M,M,M,M,M,8,6,M},{M,M,M,M,M,M,M,6,5,M},{M,M,M,M,M,M,M,M,M,7},{M,M,M,M,M,M,M,M,M,3},{M,M,M,M,M,M,M,M,M,M}};shortPath(10,c);}publicstaticvoid shortPath(int n,int[][]c){int[] cost=newint[n];//cost[i]存储i到n-1的子问题的最短路径值int[] path=newint[n];//path[i]存储状态,使cij+cost[i]最小的j值//对数组cost[n]和path[n]进行初始化for(int i=0;i<n-1;i++){cost[i]=M;path[i]=-1;}cost[9]=0;for(int i=n-2;i>=0;i--){for(int j=n-1;j>=i;j--){//得到i的邻接点if(c[i][j]<M&&cost[i]>(c[i][j]+cost[j])){cost[i]=c[i][j]+cost[j];path[i]=j;}}}System.out.println("最短路径长度为:"+cost[0]);System.out.print("最短路径为:");int i=0;System.out.print("0");while(i!=n-1){System.out.print("-->"+path[i]);i=path[i];}}}2 程序运行结果4 算法复杂度分析设节点个数为n个算法的循环的次数为n*n次,算法的时间复杂度为O(n^2)算法需要保存一个矩阵,故算法的空间复杂度为O(n^2)。
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告

动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告算法设计与分析实验报告实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 理解最优子结构的问题。
有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段,而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态,与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。
这类问题的解决是多阶段的决策过程。
在50年代,贝尔曼(Richard Bellman )等人提出了解决这类问题的“最优化原理”,从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法-动态规划。
对于一个多阶段过程问题,是否可以分段实现最优决策,依赖于该问题是否有最优子结构性质,能否采用动态规划的方法,还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。
最优子结构性质:原问题的最优解包含了其子问题的最优解。
子问题重叠性质:每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。
问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。
2.理解分段决策Bellman 方程。
每一点最优都是上一点最优加上这段长度。
即当前最优只与上一步有关。
U s 初始值,u j 第j 段的最优值。
⎪⎩⎪⎨⎧+==≠}.{min ,0ijiji js w u u u3.一般方法1)找出最优解的性质,并刻画其结构特征;2)递归地定义最优值(写出动态规划方程);3)以自底向上的方式计算出最优值;4)根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。
步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形,步骤4可以省略,步骤3中记录的信息也较少;若需要求出问题的一个最优解,则必须执行步骤4,步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。
二.实验内容1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规划算法。
2.图的数据结构采用邻接表。
3.要求用文件装入5个多段图数据,编写从文件到邻接表的函数。
4.验证算法的时间复杂性。
最短路径问题的动态规划算法

最短路径问题的动态规划算法最短路径问题的动态规划算法是一种常用的解决路径优化的方法。
动态规划算法的核心思想是将原问题拆分成若干个子问题,通过递推关系找到最优解。
在最短路径问题中,我们通常希望找到从起点到终点的最短路径。
首先,我们需要定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示从起点到达坐标(i, j)的最短路径长度。
初始化dp数组,将起点的值设为0,其他位置的值设为无穷大(即表示不可达)。
接下来,我们需要确定动态规划的状态转移方程。
对于任意一个坐标(i, j),它可以从上方的坐标(i-1, j)、左方的坐标(i, j-1)、右方的坐标(i, j+1)、下方的坐标(i+1, j)四个位置中的某一个到达。
因此,可以得到状态转移方程如下:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i][j+1], dp[i+1][j]) + 1
其中,min表示取其中的最小值。
通过以上状态转移方程,我们可以逐步更新dp数组,直到最终得到终点的最短路径长度。
需要注意的是,动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2),其中n 表示问题规模。
因此,在处理大规模最短路径问题时,需要考虑算法的效率,可能需要进行剪枝等优化操作。
总的来说,最短路径问题的动态规划算法在路径优化领域有着重要的应用价值,通过合理定义状态转移方程和优化算法效率,可以找到从起点到终点的最短路径长度,为路径规划提供有效的解决方案。
迪杰斯特拉算法

迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于在无向图或有向图中找到从一个节点到另一个节点的最短路径的算法,也称为最短路径算法。
它是由著名的科学家爱迪生发明的,后来被保罗迪杰斯特拉命名。
迪杰斯特拉算法是一种基于动态规划的算法,旨在在给定的有向图中找到最短路径。
它的主要特点是将一个大问题分成若干小问题,然后一个个地解决它们,最终获得最优解。
迪杰斯特拉算法的步骤如下:1.始化:根据图的拓扑构造表,确定出发节点和目的节点;2.算:从出发节点开始,逐一计算每个节点到目的节点的最短路径距离;3.踪:跟踪每个节点到目的节点的最短路径;4. 优化:检查每个节点的最短路径距离,如果存在更优的路径,则更新最短路径距离;5.成:当所有节点的最短路径距离都计算出来后,算法结束。
迪杰斯特拉算法虽然很简单,但是却非常有效,只要图是联通的,就能够找到每个节点到目的节点的最短路径,却不必考虑太多复杂性。
迪杰斯特拉算法可以用于许多领域,如交通和物流,电路设计,社会网络分析,计算机网络和银行的交易处理等。
例如,在交通和物流领域,迪杰斯特拉算法可以用来规划最佳路线,即找到从一个地点到另一个地点的最短路径,以便节省旅行时间并最大化出行费用。
对于物流行业,可以使用迪杰斯特拉算法来优化货物快递系统,可以利用它来规划最佳路线,以便尽可能快地将货物运输到指定地点。
此外,迪杰斯特拉算法还可以用于解决计算机网络中的路由问题,如在大型网络内如何转发信息,在多个回路之间如何寻找最短路径等。
它能够有效地处理小延迟和大延迟等不同类型的网络服务。
最后,迪杰斯特拉算法可以用作银行的结算系统,以最快的时间将款项从发件人转移到收件人,以最少的费用和最少的时间。
为此,迪杰斯特拉算法可以提供一种方便快捷的解决方案,通过此方法,可以有效地缩短支付时间,降低银行费用。
以上就是迪杰斯特拉算法的基本原理以及它的应用场景,它在我们的日常生活中发挥着重要的作用,是一种非常有效的算法,值得我们去学习和研究。
图论中的最短路径问题及其算法实现

图论中的最短路径问题及其算法实现引言:图论是离散数学的一个重要分支,研究的是表示物体间关系的图及其性质、结构和相关算法。
其中,最短路径问题是图论中的一类经典问题,它在实际应用中有着广泛的应用价值。
本文将探讨最短路径问题的定义、性质以及常见的算法实现,旨在帮助读者深入了解这一重要的图论问题。
一、最短路径问题的定义和特性在图论中,最短路径问题是指在有向图或无向图中找到连接两个顶点之间路径长度最短的路径。
根据具体的问题,最短路径可以有不同的定义,如边的权重、顶点的权重等。
下面介绍最常见的两种最短路径问题:单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中,从一个源顶点出发,找到到达其余所有顶点的最短路径。
其中,最短路径可以使用不同的度量标准来定义,如路径长度、路径权重等。
研究单源最短路径问题的常见算法有迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
2. 全源最短路径问题全源最短路径问题是指在给定图中,找到任意两个顶点之间的最短路径。
全源最短路径问题可以通过多次应用单源最短路径算法来解决。
在常见的全源最短路径算法中,弗洛伊德算法和约翰逊算法是两种常用的解法。
二、常见最短路径算法的实现1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是用于解决单源最短路径问题的一种贪心算法。
其主要思想是通过不断更新从源顶点到其他顶点的距离,直到找到最短路径。
具体实现步骤如下:- 初始化距离数组dist,将源顶点到其他顶点的距离初始化为无穷大(或一个很大的数),源顶点的距离初始化为0。
- 在未访问顶点集合中选择距离最短的顶点,将其标记为已访问。
- 更新源顶点到其他顶点的距离,如果经过当前顶点的路径比之前记录的距离要短,则更新距离数组dist。
- 重复上述步骤,直到所有顶点都被标记为已访问。
2. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于解决单源最短路径问题的动态规划算法。
与迪杰斯特拉算法不同的是,贝尔曼-福特算法可以处理带有负权边的图。
迪杰斯塔拉的最短路径算法

迪杰斯塔拉的最短路径算法什么是迪杰斯塔拉的最短路径算法?迪杰斯塔拉的最短路径算法,又称为Dijkstra算法,是一种用于寻找图中两个顶点之间最短路径的算法。
它通过动态规划的思想,从起始顶点出发,逐步更新其他顶点的距离值,直到找到目标顶点的最短路径。
为了解释迪杰斯塔拉算法的原理和过程,我们需要先了解两个概念:顶点和权重。
顶点是指图中的一个节点,可以表示一个地点或者一个事件。
在迪杰斯塔拉算法中,图的顶点通常用编号来表示。
比如在地图中,每个交叉路口可以是一个顶点,编号从1开始。
权重是指连接两个顶点之间的边上的数值。
在地图中,两个交叉路口之间的距离可以作为权重。
权重可以表示两个顶点之间的距离、时间、花费等等。
迪杰斯塔拉算法的执行过程如下:1. 创建一个距离数组和一个集合,用来存放每个顶点的最短距离和已访问的顶点。
2. 将起始顶点的距离值设为0,其他顶点的距离值设为无穷大,并将起始顶点加入集合。
3. 选择距离数组中最小距离的顶点,并将其加入到集合中。
4. 对于与被选中的顶点相邻的顶点,更新其距离值。
如果通过被选中的顶点到某个顶点的路径比当前路径更短,更新该顶点的距离值。
5. 重复第3步和第4步,直到所有的顶点都被加入到集合中。
6. 根据距离数组可以得到到达目标顶点的最短路径。
下面我们通过一个实际的例子来说明迪杰斯塔拉算法的应用。
假设我们有一个无向图,如下所示:5 6A - B/1 2/ 7/C - D3在该图中,顶点A、B、C、D分别代表四个交叉路口,权重表示两个交叉路口之间的距离(单位:千米)。
想要找到A到D的最短路径,我们可以采用迪杰斯塔拉算法。
首先,我们创建一个距离数组和一个集合。
距离数组用来存放每个顶点的最短距离,集合用来存放已访问的顶点。
起始时,距离数组为[0, INF, INF, INF],集合为空。
然后,选择距离数组中最小距离的顶点A,并将其加入到集合中。
此时,距离数组更新为[0, INF, INF, INF],集合中有A。
动态规划算法在路径规划中的应用

动态规划算法在路径规划中的应用第一章简介动态规划算法是一种用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题的有效方法。
它通过将问题分解为较小的重复子问题,以找到问题的最优解。
本文将探讨动态规划算法在路径规划中的应用。
第二章路径规划问题路径规划问题是指在给定地图和起始点与目标点的情况下,寻找一条最优路径的问题。
该问题可以应用于各种领域,如物流运输、无人机飞行和机器人导航等。
路径规划问题通常以图的形式表示,其中节点表示地点,边表示路径。
第三章最短路径问题最短路径问题是路径规划问题中的一个重要分支。
它的目标是寻找两个节点之间最短距离的路径。
动态规划算法可以应用于最短路径问题中,通过计算从起始点到每个节点的最短距离来找到最短路径。
第四章动态规划算法原理动态规划算法的核心思想是利用之前计算得到的结果来解决当前问题,以避免重复计算。
在最短路径问题中,可以使用动态规划算法来计算每个节点的最短路径。
具体而言,可以定义一个数组来存储从起始点到当前节点的最短距离,并通过迭代计算更新这个数组,最终得到最短路径。
第五章动态规划算法步骤动态规划算法通常包括以下步骤:1. 定义状态:确定问题的状态表示,例如在最短路径问题中,可以将每个节点的最短距离作为状态。
2. 定义状态转移方程:根据问题的最优子结构特性,定义状态之间的转移方程。
在最短路径问题中,状态转移方程可以表示为从起始点到当前节点的最短距离是通过从前一个节点到当前节点的最短距离和边的权重之和来计算的。
3. 初始条件:确定初始状态和边界条件。
在最短路径问题中,初始状态是起始点,初始距离为0。
4. 递推计算:从初始状态开始,根据状态转移方程逐步计算每个状态的最优解。
在最短路径问题中,可以使用迭代的方式计算每个节点的最短距离,直到达到目标节点。
5. 解的构造:根据计算得到的最优解和状态转移方程,构造出问题的最优解。
第六章动态规划在路径规划中的应用实例动态规划算法在路径规划中有着广泛的应用。
多段图的最短路劲问题,动态规划法 分析最优性原理

多段图的最短路劲问题,动态规划法分析最优性原理我们都知道,无论是初中还是高中,数理化的学习过程中都是非常重要的。
其中,最短路劲问题,是数学考试当中常考的题型之一。
它的难度在初中数学中是比较大的。
很多同学在学习该题的时候也十分头疼,因为该问题通常采用动态规划法求解即可。
所谓动态规划法,其实就是由求解方程组而得到结论最优的方法。
那么今天我们就来学习一下如何进行简单易操作并将其运用于实际之中吧!一、解题思路通过观察题目,我们可以得到题目中由图 a,图 b组成的最短路劲问题的求解法:求 a={a, b, c},其中 a、 b、 c表示两段图之间的相交点。
求 a最短路劲,我们可以根据不同的情况选择不同的方法来求解。
当我们在做题过程中遇到困难时,可以通过求解最短路劲问题来了解分析它所需要处理的基本数学原理,从而达到解决此题的目的。
根据题目中提供的信息可知,多段图对于图 b而言,最短路劲要求它具有不同的解题思路。
二、求最优解的基本方法最优解的求解方法有两种:一者为连续变量的最大值问题,二者为连续不变量。
这种问题的解决方法一般为:以图中 A点的起始位置(也就是 A与 B)作为计算基点,依次以 A点、 B 点进行一次求解方程组,再将方程组进行解析,得到最优解;或者以相同的方法求出各点的余数,得出最优解。
求解过程中需要注意两个问题:第一个问题是求方程组时不一定要选择整数、整列代入、整阶运算;第二个问题只要找到方程中关键的最优解即可。
所以在求最优解时需要掌握正确的方法,同时也要注意以下几个方面:三、动态规划法分析分析:将图中已知状态矩阵代入所求题中,可得到:设图中状态矩阵 B和状态矩阵 A是多段图中唯一正确状态的解,因此 B和 C是正确的解;设状态矩阵 A是已知状态矩阵-状态式解,则 AC和 AC是正确的解;由于状态矩阵 B和状态矩阵 A是正确方程组式外部分与状态矩阵 a、b、 c、 d四等分函数相关,因此 AC和 AC就是正确方程组。
最短路径问题解题技巧

最短路径问题解题技巧
解决最短路径问题可以使用以下的技巧:
1. Dijkstra算法:Dijkstra算法是解决带权重有向图的单源最短
路径问题的经典算法。
它采用贪心策略,从起点开始,依次确定与起点距离最短的节点,然后通过这个节点更新与其相邻节点的距离,直到到达目标节点。
2. Bellman-Ford算法:Bellman-Ford算法是解决带负权重边的
有向图的单源最短路径问题的算法。
它采用动态规划的思想,通过多次迭代,逐步更新各个节点的最短路径。
3. Floyd-Warshall算法:Floyd-Warshall算法是解决带权重有向图的所有节点对之间的最短路径问题的算法。
它采用动态规划的思想,通过多次迭代,逐步更新各个节点对之间的最短路径。
4. A*算法:A*算法是一种启发式搜索算法,用于解决带权重
的有向图的单源最短路径问题。
它综合考虑节点的实际距离和启发函数预测的剩余距离,选择当前最有可能达到目标的节点进行搜索。
5. SPFA算法:SPFA算法是Bellman-Ford算法的一种优化版本,用于解决带负权重边的有向图的单源最短路径问题。
它采用队列来存储待更新的节点,避免了重复更新节点的操作,从而提高了算法的效率。
以上是几种常用的解决最短路径问题的算法技巧,根据具体问
题的要求和图的特征,选择适合的算法可以较好地解决最短路径问题。
动态规划在最短路径问题中的应用

动态规划在最短路径问题中的应用最短路径问题是计算两个给定节点之间的最短路径的问题。
在现实生活和计算机科学中,这个问题经常出现。
一种常用的解决方法是动态规划。
本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用。
动态规划是一种用于解决优化问题的算法思想。
它通常用于寻找最优解,避免重复计算。
在最短路径问题中,动态规划可以帮助我们找到从起点到终点的最短路径。
为了更好地理解动态规划在最短路径问题中的应用,我们先来介绍一下最短路径问题的定义。
最短路径问题可以建模成一个图的问题,其中节点表示位置,边表示路径。
每条边都有一个相关的权重,表示从一个节点到另一个节点的代价或距离。
目标是找到从起点到终点的最短路径。
现在,我们来看一下动态规划如何解决最短路径问题。
首先,我们定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示从起点到节点i的最短路径的权重。
我们将所有的dp[i][j]初始值设为无穷大,表示路径不存在。
接下来,我们需要定义一些转移方程来更新dp数组的值。
对于节点i和节点j之间存在一条边的情况,我们可以使用如下的转移方程来更新dp[i][j]:dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+w[i][j])其中,k是一个介于i和j之间的节点,w[i][j]是从节点i到节点j的边的权重。
这个转移方程表示,如果从起点到节点k的路径加上从节点k到终点的路径再加上边的权重,比当前的dp[i][j]的值小,那么我们更新dp[i][j]的值。
通过不断更新dp数组的值,我们最终可以得到从起点到终点的最短路径的权重。
同时,我们还可以通过修改转移方程来记录路径上的节点,从而得到最短路径。
在实际应用中,动态规划在最短路径问题中有着广泛的应用。
例如,在导航系统中,我们可以使用动态规划算法来计算从当前位置到目的地的最短路径。
在网络路由中,动态规划可以帮助我们找到从源节点到目标节点的最短路径。
总结一下,动态规划是一种解决优化问题的算法思想,在最短路径问题中有着重要的应用。
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动态规划法实现有向图的最短路径实验
实验题目:
设计一个求解有向图,单源最短路径的算法
实验目的:
1)了解,并掌握分支限界算法思想
2)会编写常见算法。
实验要求:
1.编写实验代码
2.分析算法时间和空间复杂度
实验主要步骤:
1 算法代码
package suanfa;
publicclass ShortPath{
privatestatic Integer M = Integer.MAX_VALUE;
publicstaticvoid main(String[]args){
int[][]c={{M,4,2,3,M,M,M,M,M,M},
{M,M,M,M,9,8,M,M,M,M},
{M,M,M,M,6,7,8,M,M,M},
{M,M,M,M,M,4,7,M,M,M},
{M,M,M,M,M,M,M,5,6,M},
{M,M,M,M,M,M,M,8,6,M},
{M,M,M,M,M,M,M,6,5,M},
{M,M,M,M,M,M,M,M,M,7},
{M,M,M,M,M,M,M,M,M,3},
{M,M,M,M,M,M,M,M,M,M}};
shortPath(10,c);
}
publicstaticvoid shortPath(int n,int[][]c){
int[] cost=newint[n];//cost[i]存储i到n-1的子问题的最短路径值
int[] path=newint[n];//path[i]存储状态,使cij+cost[i]最小的j值
//对数组cost[n]和path[n]进行初始化
for(int i=0;i<n-1;i++){
cost[i]=M;
path[i]=-1;
}
cost[9]=0;
for(int i=n-2;i>=0;i--){
for(int j=n-1;j>=i;j--){
//得到i的邻接点
if(c[i][j]<M&&cost[i]>(c[i][j]+cost[j])){
cost[i]=c[i][j]+cost[j];
path[i]=j;
}
}
}
System.out.println("最短路径长度为:"+cost[0]);
System.out.print("最短路径为:");
int i=0;
System.out.print("0");
while(i!=n-1){
System.out.print("-->"+path[i]);
i=path[i];
}
}
}
2 程序运行结果
4 算法复杂度分析
设节点个数为n个
算法的循环的次数为n*n次,算法的时间复杂度为O(n^2)
算法需要保存一个矩阵,故算法的空间复杂度为O(n^2)。