河南省南阳市第一中学2016届高三数学第三次模拟考试试题理

2016年春期南阳市一中高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（ ）A.0B.1C.2D.0或22.若复数2i1i 1+++m 是实数，则实数=m （） A ．12 B ．1 C ．32D ．2 3．利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）A ．584B ．114C ．311D ．1464．已知双曲线122=-y x ，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若21PF PF ⊥，则||||21PF PF +的值为( )A ．2B ．22C ．32D ．525．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．?43≤SB ．?1211≤SC ．?2425≤S D ．?120137≤S 6.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′,若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为7.等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列．n S 为{}n a 的前n 项和，则36S S = A ．2 B ．87C ．89D ．458．5)2)(3(y x y x +-的展开式中，24y x 的系数为( )ABCDEFEDAA ．110B ．120C ．130D ．150 9.已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB|=10，|BF|=8，cos ∠ABF=，则C 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．12B ．18C ．24D ．3011．已知定义的R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-且在[1,)+∞上是增函数，不等式(2)(1)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A ．[3,1]--B ．[2,0]-C ．[5,1]--D ．[2,1]-12.（高考题改编）N 为圆122=+y x 上的一个动点，平面内动点M ),(00y x 满足10≥y 且030=∠OMN (O 为坐标原点)，则动点M 运动的区域面积为（ ） A.3238-π B.334-πC.332+πD.334+π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量a ，b 满足：a )1,3(-=，(a ＋2b )⊥a ，(a ＋b )⊥b ，则|b |= ．14．已知⎰=-2047d )sin(πϕx x ，则=ϕ2sin ． 15．（高考题改编）数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，则{}n a 的80项和为 .16．（周训练改编题）已知数列{}n a 的通项公式为n a n p =-+，数列{}n b 的通项公式为43n n b -=，设,n n n n n n na ab C b a b ≥⎧=⎨<⎩在数列{}nc 中，4n c c >()n N *∈,则实数p 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）点(,0)6π-已知函数()2sin(2)6f x x πω=+（其中01ω<<），若是函数()f x 图象的一个对称中心.（1）试求ω的值，并求出函数的单调增区间。

图象.（2）先列表，再作出函数()f x 在区间[,]x ππ∈-上的 18．（本小题满分12分）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（Ⅰ）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（Ⅱ）若从甲部门中随机选取3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X 的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，1==AD AB ，2==SD DC ，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ． （Ⅰ）证明：EB SE 2=；（Ⅱ）求二面角C DE A --的大小． 20．（本小题满分12分）已知)1,0(A ，)1,0(-B 是椭圆1222=+y x 的两个顶点，过其右焦点F 的直线l与椭圆交于C ，D 两点，与y 轴交于P 点（异于A ，B 两点），直线AC 与直线BD 交于Q 点． （Ⅰ）当223||=CD 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）求证：OQ OP ⋅为定值． 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：当]1 ,0[∈x 时，x x x ≤≤sin 22；（Ⅱ）若不等式4cos )2(2232≤++++x x x x ax 对]1 ,0[∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，已知3==BD AC ．（Ⅰ）求AD AB ⋅的值； （Ⅱ）求线段AE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 215,23（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 32=．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当||PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(bx a x x f ++-=的最小值为2．（Ⅰ）求b a +的值；（Ⅱ）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立．2016年春期南阳市一中第三次模拟考试理数答案答案：1-5 DB C C B 6-10 DCABC 11-12 BA 13. 2 14. 16915. 3240 16. )7,4( 17.解：（1）∵点(,0)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心，∴,36k k Z ωπππ-+=∈，∴132k ω=-+，∵01ω<<，∴0k =，12ω=.增区间为2(2,2)33k k k Z ππππ-+∈（2）由（1）知，()2sin()6f x x π=+，[,]x ππ∈-，列表如下：6x π+56π-2π-2π π76π Xπ-23π- 6π-3π 56π πy -1 -2 0 2 0-1则函数()f x 在区间[,]x ππ∈-上的如图所示.所以)(x f 在区间]44[ππ-，上的最大值为231+,最小值为0.18.解：（Ⅰ）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取10×25＝4人．记“至少有一人来自甲部门”为事件A ，则P (A )＝1－C 34C 38＝1314． 故至少有一人来自甲部门的概率为1314．…5分（Ⅱ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16．∴X 的分布列为∴E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95．…………………………12分19.解：（Ⅰ）以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D-xyz ，则A (1，0，0)，B (1,1，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2)，∴→SC ＝(0，2，－2)，→BC ＝(－1，1，0)，→DC ＝(0，2，0)．设平面SBC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，由m ⊥→SC ，m ⊥→BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·→SC ＝0，m ·→BC ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2b －2c ＝0，－a ＋b ＝0．取m ＝(1，1，1)．又设→SE ＝λ→EB （λ＞0），则E (λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ)，∴→DE ＝(λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ)．设平面EDC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥→DE ，n ⊥→DC ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·→DE ＝0，n ·→DC ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λ＋λy 1＋λ＋2z 1＋λ＝0，2y ＝0．n ＝(2，0，－λ)．由平面EDC ⊥平面SBC ，得m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2．SE ＝2EB ．6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知E (23，23，23)，∴→DE ＝(23，23，23)，→EC ＝(－23，43，－23)，∴→EC ·→DE ＝0，∴EC ⊥DE ．取DE 的中点F ，则F (13，13，13)，∴→FA ＝(23，－13，－13)，∴→FA ·→DE ＝0，∴FA ⊥DE ．∴向量→FA 与→EC 的夹角等于二面角A -DE -C 的平面角． 而cos ＜→FA ，→EC ＞＝→FA ·→EC |→FA ||→EC |＝－12，故二面角A -DE -C 的大小为120°．…12分20.解：（Ⅰ）由题设条件可知，直线l 的斜率一定存在，F (1，0)， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)（k ≠0且k ≠±1）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0．设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，∴|CD |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·(4k 21＋2k 2)2－4·2k 2－21＋2k 2＝22(1＋k 2)1＋2k． 由已知，得22(1＋k 2)1＋2k 2＝322，解得k ＝±22．故直线l 的方程为y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)，即x －2y －1＝0或x ＋2y －1＝0．………………………5分（Ⅱ）由C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，A (0，1)，B (0，－1)，得 直线AC 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BD 的方程为y ＝y 2＋1x 2x －1， 联立两条直线方程并消去x ，得y －1y ＋1＝x 2(y 1－1)x 1(y 2＋1)，∴y Q ＝x 1y 2＋x 2y 1＋x 1－x 2x 1y 2－x 2y 1＋x 1＋x 2． 由（Ⅰ），知y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，∴x 1y 2＋x 2y 1＋x 1－x 2＝kx 1(x 2－1)＋kx 2(x 1－1)＋x 1－x 2＝2kx 1x 2－k (x 1＋x 2)＋x 1－x 2＝2k ·2k 2－21＋2k 2－k ·4k 21＋2k 2＋x 1－x 2＝－4k1＋2k2＋x 1－x 2，x 1y 2－x 2y 1＋x 1＋x 2＝kx 1(x 2－1)－kx 2(x 1－1)＋x 1＋x 2 ＝k (x 2－x 1)＋x 1＋x 2＝k (x 2－x 1)＋4k 21＋2k 2＝－k (－4k 1＋2k 2＋x 1－x 2)，∴y Q ＝－1k ，∴Q (x Q ，－1k )．又P (0，－k )，∴→OP ·→OQ ＝(0，－k )·(x Q ，－1k)＝1．故→OP ·→OQ 为定值．…12分 21.解：（Ⅰ）记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22． 当x ∈(0，π4)时，F ′(x )＞0，F (x )在[0，π4]上是增函数；当x ∈(π4，1)时，F ′(x )＜0，F (x )在[π4，1]上是减函数．∵F (0)＝0，F (1)＞0，∴当x ∈[0，1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x ． 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0，1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0， ∴H (x )在[0，1]上是减函数，∴H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x ．综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0，1]．…4分（Ⅱ）∵当x ∈[0，1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x2≤(a ＋2)x ＋x2＋x 32－4(x ＋2)(24x )2＝(a ＋2)x ． ∴当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立．下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立．ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)(x 2)2＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x [x －23(a ＋2)]．∴存在x 0∈(0，1)（例如x 0取a ＋23和12中的较小者）满足ax 0＋x 2＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0， 即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤0对x ∈[0，1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．…………………12分 22.解：（Ⅰ）∵AC 切⊙O ′于A ，∴∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，∴△ACB ∽△DAB ，∴AC AD ＝AB BD，即AC ·BD ＝AB ·AD ． ∵AC ＝BD ＝3，∴AB ·AD ＝9．………5分（Ⅱ）∵AD 切⊙O 于A ，∴∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ， ∴AE AB ＝ADBD，即AE ·BD ＝AB ·AD ．由（Ⅰ）可知，AC ·BD ＝AB ·AD ，∴AE ＝AC ＝3． 23.解：（Ⅰ）由ρ＝23cos θ，得ρ2＝23ρcos θ，从而有x 2＋y 2＝23x ，∴(x －3)2＋y 2＝3．∴曲线C 是圆心为(3，0)，半径为3的圆．……5分（Ⅱ）由题设条件知，|PQ |＋|QC |≥|PC |，当且仅当P ，Q ，C 三点共线时，等号成立，即|PQ |≥|PC |－3，∴|PQ |min ＝|PC |min －3．设P (－32t ，－5＋12t )，又C (3，0)，则|PC|＝(－32t－3)2＋(－5＋12t)2＝t2－2t＋28＝(t－1)2＋27．当t＝1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，此时，点P的直角坐标为(－32，－92)．24.解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴f(x)＝|x－a|＋|x＋b|≥|(x－a)－(x＋b)|＝|－a－b|＝|a＋b|＝a＋b，∴f(x)min＝a＋b．由题设条件知f(x)min＝2，∴a＋b＝2．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2ab≤a＋b＝2，∴ab≤1．假设a2＋a＞2与b2＋b＞2同时成立，则由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．10分。