2012年水东中学高二圆锥曲线复习专题习题

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2012高考数学专题综合训练--圆锥曲线(分专题,含答案)

2012年高考圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C的焦点坐标为(0,27e =由1273e e =得13e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ∙=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 二、中点弦问题：3、已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =.（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k ++=-+∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴223 1.9k k k +-=-+ ∴2239k k k +=+，解得k=3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y=3x+3符合要求.4、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．解： (Ⅰ)由题意知，9834322=⋅=e ，所以322=e ．设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，322429)22(22=+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922=+y x ．（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=2212210210y y y x x x ，可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x ．若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19)21(22<+-y ，解得023*******<<-<<y y 或．将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19)1(1922222121y x y x)1()2(-得，09))(())((12121212=+-++-y y y y x x x x ，故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--=，所以AB k y 290=，则有029233233290<<-<<ABAB k k 或，解得33-<>AB AB k k 或，故存在直线l 满足条件，其倾斜角)32,2()2,3(ππππα⋃∈．三、定义与最值：5、已知动点P 与双曲线22x －32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF •2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积；（Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM = DN ，求实数的取值范围．解：①92x +42y =1；②2；③[51,5]四、弦长及面积：6、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 7、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-= 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离．所以h =122ABC S AB h == △．（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =．22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-．五、范围问题:8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

高二期末考试圆锥曲线专项训练

圆锥曲线专项训练一、填空题1．若双曲线221169x y -=的渐近线方程为。

x y 43±= 2.双曲线122=+yx m的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于。

41-3. 设双曲线以椭圆221259x y +=的长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为。

12±4．如图，在平面直角坐标系x o y 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是。

125．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =______.36.已知双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为。

37．已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 、为边作正三角形12MF F ，若1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为。

18．在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k （k ＞0）上任意一点P ，若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则|PM|•|PN|必为定值k ”、类比于此，对于双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，类似的命题为：。

若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则|PM|•|PN|必为定值ba b a 2222+9．已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是。

27 10.已知F 1、F 2是椭圆42x +y 2=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1|·|PF 2|的最大值是 . 4[解析]：由焦半径公式|PF 1|=ex a -，|PF 2|=ex a +|PF 1|·|PF 2|=（ex a -）（ex a +）=222x e a -，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是2a =4.11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于。

高二圆锥曲线基础练习题及答案

高二圆锥曲线基础练习题及答案一、选择题1. 下列关于椭圆的说法，正确的是：A. 所有椭圆都是对称图形。

B. 椭圆的离心率大于1。

C. 椭圆的长轴和短轴相等。

D. 椭圆的焦点个数与离心率有关。

答案：D2. 设椭圆的长轴长度为10，短轴长度为6，则该椭圆的离心率为：A. 3/5B. 1/2C. 2/3D. 5/6答案：C3. 下列关于双曲线的说法，正确的是：A. 所有双曲线都是开口向上的图形。

B. 双曲线的离心率等于1。

C. 双曲线的长轴和短轴相等。

D. 双曲线的焦点个数与离心率有关。

答案：D4. 设双曲线的长轴长度为8，短轴长度为4，则该双曲线的离心率为：A. 2B. 3/2C. 4/3D. 5/4答案：B5. 下列关于抛物线的说法，正确的是：A. 抛物线的焦点位于抛物线的顶点上。

B. 抛物线的离心率等于1。

C. 抛物线的长轴和短轴相等。

D. 抛物线的焦点个数与离心率有关。

答案：A二、填空题1. 设椭圆的长轴长度为12，短轴长度为8，则该椭圆的离心率为__________。

答案：2/32. 设直角双曲线的焦点到中心的距离为3，焦点到顶点的距离为5，则该直角双曲线的离心率为__________。

答案：4/53. 设抛物线的焦距为6，顶点到焦点的距离为4，则该抛物线的离心率为__________。

答案：3/2三、解答题1. 某椭圆的长轴长度为10，焦距为6，求离心率和短轴的长度。

解：设椭圆的离心率为e，短轴长度为b。

根据椭圆的定义，焦距的长度为ae，即6 = ae。

由此可以解得椭圆的离心率为e = 6/a。

又已知长轴长度为10，即2a = 10，解得a = 5。

将a = 5代入离心率的公式，可得e = 6/5。

由椭圆的定义可知，离心率e = √(1 - b²/a²)，代入已知的离心率和a的值，可得√(1 - b²/25) = 6/5。

将等式两边平方化简，得到1 - b²/25 = 36/25，即1 - b² = 36，解得b = √(1 - 36) = √(-35)。

圆锥曲线练习题(高二)

圆锥曲线练习题（高二）班别：学号：姓名：一、选择题：1、如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为 A ．23 B ．26 C ．23 D ．72、椭圆的中心在原点，短轴长为2，一个焦点恰与抛物线24y x =的焦点重合，则椭圆的方程是A 、2212x y +=B 、2212y x +=C 、2214y x += D 、2214x y += 3、点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为A ．0B ．1C ．2D ．24、椭圆短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆中心到其准线距离是A 5、下列双曲线中，与双曲线2213x y -=的渐近线相同的是 A 、22139x y -= B 、22139y x -= C 、2213y x -= D 、2213y x -=- 6、已知椭圆22110036x y +=上一点P 到它的右准线的距离为10，则点P 到它的左焦点的距离是： A 、8 B 、10 C 、12 D 、147、双曲线虚轴的一个端点M ，两个焦点12,F F ，012120FMF ∠=则双曲线的离心率为A 、、8、与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且经过点(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是A 、8B 、4C 、2D 、19、抛物线2y x =的焦点坐标为A 、1(,0)2B 、1(,0)4C 、1(0,)4D 、1(0,)210、若双曲线2213y x -=的两个焦点分别为12,F F ，点P 为双曲线上一点，01290F PF ∠=则12F PF ∆的面积等于 A 、12B 、1C 、 3D 、6 11、椭圆222212x y m n +=和双曲线222212x y m n-=有公共焦点，则椭圆的离心率是A 、2 B 12、若椭圆22143x y +=内有一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得2MP MF + 取值最小，则点M 为A 、(3 B 、3(1,)2± C 、3(1,)2- D 、(3±二、填空题：13、焦点在直线36y x =-上的抛物线的标准方程是：14、与椭圆2214924x y +=有相同焦点且以43y x =±为渐近线的双曲线方程是 15、一条直线过双曲线13422=-y x 的一个焦点并垂直于x 轴，与双曲线交于A 、B 两点，则=AB ______ 16、已知定点A 、B ，且4AB =，动点P 满足3PA PB -=，则PA 的最小值为三、解答题：17、已知椭圆的焦点在x 轴上，且16,3a e ==，求椭圆的标准方程18、已知抛物线的顶点在原点，它的准线经过曲线12222=-by a x 的左焦点，且与x 轴垂直，抛物线与此双曲线交于点（6,23），求抛物线与双曲线的方程．19、已知点(A 和B ，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长20、过双曲线221916x y -=的右焦点作一条渐近线的平行线，与此双曲线交于一点P ，求点P 与双曲线的两顶点所构成的三角形的面积。

高二数学圆锥曲线基础的练习题一

高二数学圆锥曲线基础练习题（一）一、选择题：1．抛物线x y 42=的焦点坐标为（）A ．)1,0(B ．)0,1(C ． )2,0(D ．)0,2(2．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （）A ．14-B ．4-C ．4D ．143．双曲线221916x y -=的一个焦点到渐近线距离为（）A ．6B ．5C ．4D ．34．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于（）A ．4B ．5C ．7D ．86．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = （） A ． 5B ．4C ．3D ．27．将抛物线2(2)1y x =-+按向量a 平移，使顶点与原点重合，则向量a 的坐标是（）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(2,1)-D ．(2,1)-8．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥， 12||||2PF PF ⋅=，则该双曲线的方程是（）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x 9．设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既非充分也非必要条件10．已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于（）A ．24B ．36C ．48D ．9611．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）A ．（14，-1） B ．（14，1） C ．（1，2） D ．（1，-2）12．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则以线段2PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切二、填空题：13．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是；14．已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值_________；15．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为；16．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为_______；以(m,n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个。

圆锥曲线考试试题

高二圆锥曲线考试试题一．选择题： 1. 双曲线),0(12222o b a by ax >>=-的两个焦点为21,F F ,若P 为其上一点，且212PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为( )A.（1，3）B.（1，3]C.（3，+∞）D. [3，+∞） 2. 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m = （） A ．1B ．2C ．3D ．43. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为 ( ) A2B22 C 21 D424. 双曲线22221x y ab-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2M F 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）AB C D 35. 设椭圆22221(00)x y m n mn+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( ) A ．2211216xy+= B ．2211612xy+= C ．2214864xy+=D ．2216448xy+=6已知A(－1,0)，B(1,0),点C(x,y)满足：214)1(22=-+-x yx ，则=+BC AC( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．不能确定 7. 直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（） A ．2 B ．2C ．26 D ．58. 直线143x y +=与椭圆221169xy+=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9. 方程22)1()1(-+-=+y x y x 所表示的曲线是 ( )A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．不能确定10. 已知曲线axy =2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A 和B ，如果过这两个交点的直线的倾斜角是︒45，则实数a 的值是 ( ) A ．1 B ．23C ．2D ．3二、填空题 11. 过椭圆22154xy+=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________ 12. 有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率)()(*21N n e nn ∈=，则所有这些椭圆的长轴长之和为 . 13. 沿向量a =(m, n)平移椭圆1522=+yx,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x －y+6=0上, 则m= 、n= .14. 定长为6的线段，其端点分别在x 轴、y 轴上移动，则AB 中点的轨迹方程为． 15. 从圆()()22111x y -+-=外一点()2,3P 向这个圆引切线，则切线方程为三．解答题（75分）16. 已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且AC ·BC =0，|BC |=2|AC |，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则是否存在实数λ,使PQ =λAB ？17. 如图所示，已知圆MA yx C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足NAM NP AP AM点,0,2=⋅=轨迹为曲线E.（1）求曲线E 的方程；（2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FHFG λ=，求λ的取值范围.18. 如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MBMA=．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90=∠EMF，求EMF ∆的重心G 的轨迹方程．19. 已知定点(1,0)F ，动点P （异于原点）在y 轴上运动，连接PF ，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长M P 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PN PM = .（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-且，求直线l 的斜率k的取值范围．20. 如图,在ABC Rt ∆中，22,2,90===∠AC AB CAB，一曲线E 过点C，动点P 在曲线E 上运动，且保持+PAPB的值不变，直线ABm ⊥于BOAO O =,.（1）建立适当的坐标系,求曲线E 的方程; （2）设D 为直线m 上一点,ACOD=,过点D 引直线l 交曲线E 于NM ,两点,且保持直线l 与AB 成45角,求四边形MANB 的面积.21.已知离心率为2=e 的双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by ax C ，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离是3（1）求双曲线C 的方程（2）过点)0,5(M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，交y 轴于N 点，当 BM AM NM μλ==，且2225711⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛μλ时，求直线l 的方程参考答案一．选择题。

圆锥曲线高二练习题

圆锥曲线高二练习题1. 设一条圆锥曲线的方程为：$ax^2+by^2=cz^2$。

已知该曲线过点$A(1,1,1)$和$B(-1,-1,2)$，且曲线与平面$x-y+z=0$相切于点$C$，求曲线的方程。

解：首先，利用已知条件求出曲线过点$A(1,1,1)$和$B(-1,-1,2)$的方程。

将$A$和$B$的坐标代入曲线方程，得到以下方程组：$（1）a+b=c$$（2）a+b=2c$由方程组解得$a=\frac{4}{3}c, b=\frac{-1}{3}c$。

接下来，由题意，曲线与平面$x-y+z=0$相切于点$C$，则曲线上任意一点$(x,y,z)$与平面$x-y+z=0$的法向量成正交关系。

因此，曲线在点$C$的切线与平面$x-y+z=0$的法向量垂直。

计算平面$x-y+z=0$的法向量为$(1,-1,1)$。

由于切线的方向向量与该法向量垂直，则切线的方向向量为垂直于法向量的一个向量，例如$(k,k,-2k)$。

以点$C$为基点，方向向量为$(k,k,-2k)$的直线方程为$(x,y,z)=(1,1,1)+t(k,k,-2k)$。

该直线上的任意点都满足曲线的方程，因此将直线方程代入曲线方程，得到以下方程组：$（3）a(1+tk)^2+b(1+tk)^2=c(1-2tk)^2$$（4）a(1+tk)^2+b(1+tk)^2=cz^2$将$a=\frac{4}{3}c, b=\frac{-1}{3}c$代入方程组，整理后得到：$3(1+tk)^2-(1+tk)^2=(1-2tk)^2$$(1+tk)^2=cz^2$进一步进行化简，得到：$2(1+tk)^2=(1-2tk)^2$$(1+tk)^2=cz^2$将方程（3）与方程（4）进行比较，得到$k=\frac{1}{2}$。

因此，曲线的方程为$2(x+1)^2=(1-2z)^2$。

2. 求过点$P(2,1,3)$且与曲线$x^2+y^2+2z^2=1$相切的平面的方程。

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(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0，解出 x1＝－1,x2＝3，由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
A. B. C. D.
6．双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（）
A． B． C． D．
7.若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ()
(A)2(B)3(C)4(D)4
8．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A B C D
9、无论为何值，方程所表示的曲线必不是（）
20在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？
21.A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，故．
，即．而，
于是．
所以时，，故．
当时，，．
，
而，
所以．
21A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

(完整版)高二圆锥曲线经典练习题含答案(可编辑修改word版)

一．求离心率问题1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+13.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ]5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A.B．C．D．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．28.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、圆锥曲线小题综合9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．613.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2 分别是两曲线C1，C2 的离心率，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1614.已知点M（1，0），A，B 是椭圆+y2＝1 上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[ ，1] B．[1，9] C．[ ，9] D．[ ，3]15.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px （p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．917.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．1218.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+120.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．三．求轨迹方程问题21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．四、直线和圆锥的关系问题26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P 的直线l，使l 与椭圆C 交于A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．28.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F 的坐标为，点P 坐标为（﹣2，2），且直线PA1⊥x 轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点B 的上方），直线OP 与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线QA1 的斜率为k1，直线A1B 的斜率为k2，问：k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．30.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C上异于O 的两点．（I）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．31.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A 在椭圆C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P，Q 的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．32.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4 x 的焦点恰好使椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程（2）过点D（0，3）作直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点N 满足＝（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．33.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 ＝0 的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．34.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F1，F2 是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．35.如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．36.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．37.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，且交椭圆C 于A，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点D（，0），连结BD，过点A 作垂直于y 轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P 恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．38.已知动点P 到定点F（1，0）和直线l：x＝2 的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n 与曲线E 交于C，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x2+y2＝1 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．39.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P 在椭圆C 上，且满足△PF1F2 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．40.已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2 到直线l1：3x+4y＝0 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l 与椭圆C 相交于E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x＝3 于点M，N，线段MN 的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．一．选择题（共20 小题）1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线l 的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，所以，故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+1【分析】如图所示，△PF1F2 为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【解答】解：如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，则2c+2c＝2a，解得e＝＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解E 的坐标，推出M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b ＝±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP 的方程为：y＝﹣（x﹣a），x＝0 时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），则AE 的方程为：y＝（x+a），则M（﹣c，﹣），M 是线段PF 的中点，可得2•（﹣）＝，即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ] 【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1 为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e 关于∠ABF2 的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1 为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[ ]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0 垂直，得a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，F1到渐近线bx+ay＝0 的距离为d＝＝b，在等腰三角形OPF1 中，O 到PF1 的距离为a，即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，可得e＝＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．10.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由双曲线方程求出a 及c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2 交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F 的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2 ，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b 的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2 ，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．1 2 1 21 2 1 2 【解答】解：由题设知抛物线 y 2＝2px 的准线为 x ＝﹣ ，代入双曲线方程﹣x 2＝1 解得 y ＝±，由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形，∴∠FMN ＝，∴tan ∠FMN ＝＝1，∴p 2＝3+ ，即 p ＝2 ，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．13. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点 F 1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF 1⊥PF 2，e 1，e 2 分别是两曲线 C 1，C 2 的离心率，则的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a 2+a 2＝2c 2，由此能求出 9e 2+e 2 的最小值．【解答】解：由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2＝2a 2+2a 2，④将④代入③，得 a 2+a 2＝2c 2，∴9e 12+e 22＝+＝5++≥8，即的最小值是 8．1 2 故选：C ．【点评】本题考查 9e 2+e 2的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 14. 已知点 M （1，0），A ，B 是椭圆+y 2＝1 上的动点，且＝0，则 • 的取值是（）A ．[ ，1]B ．[1，9]C ．[ ，9]D ．[，3]【分析】利用＝0，可得 •＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），可得＝（2cos α﹣1）2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），则＝（2cos α﹣1）2+sin 2α＝3cos 2α﹣4cos α+2＝3（cos α﹣ ）2+，∴cos α＝时，的最小值为；cos α＝﹣1 时，的最大值为 9，故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线 y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（） A ．B ．C ．D ．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m +5＝9，求出 m ＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线 y 2＝12x 的焦点为（3，0）， ∴双曲线的一个焦点为（3，0），即 c ＝3．双曲线可得∴m +5＝9，∴m ＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM 平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．∴抛物线y2＝16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．17.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B 坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y 得x2± x+2＝0∵渐近线与抛物线有交点∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a∴e＝≥3．则双曲线的离心率 e 的取值范围：e≥3．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+1【分析】利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点M 的坐标代入，即可求得结论．【解答】解：∵M 在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，∴M 的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得∴∴故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，可得点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M 的坐标；根据双曲线的性质，可得A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得＝，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即|1+ |＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A 的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y＝±x；而K AM＝，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有＝，解可得a＝；故选：B．【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．二．解答题（共20 小题）21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5 为半径的圆．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l 被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2 符合题意．当直线l 的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l 的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l 的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l 的方程为x﹣y+ ＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l 的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P 代入椭圆方程，即可求得线段PA 中点M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点P 在椭圆上，∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）∴线段PA 中点M 的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．【分析】欲求点M 的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y 之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y 的关系式．【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⇒，又Q 是OP 的中点∴⇒，∵P 在抛物线y2＝4x 上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），所以M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E 的轨迹C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P 纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E 的轨迹C 的方程为，x ．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＝8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，设MN 的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，令x＝0，得y P＝，当k＞0 时，∵2k+ ，∴0＜；当k＜0 时，因为2k+≤﹣2 ，所以0＞y P≥﹣＝﹣．综上所述，点P 纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．【分析】利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设点P（x，y），则直线AP 的斜率，直线BP 的斜率．由题意得．化简得：．∴点P 的轨迹方程是椭圆．【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，则E 的方程为；… ....................... （4 分）（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6 分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，… ...... （7 分），∴。

高二圆锥曲线练习题

高二圆锥曲线练习题1. 已知椭圆C的中心为原点O，焦点为F，直径AB的长为2a，且b < a。

(a) 椭圆C的方程为什么？(b) 若点P(x, y)为椭圆C上的一点，且线段PF的斜率为k，求证：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1。

2. 椭圆C的中心为点O(0, 0)，长轴与x轴平行，且焦点为F(6, 0)，离心率为e。

(a) 椭圆C的方程为什么？(b) 若点P(x, y)为椭圆C上的一点，且线段PF的斜率为k，求证：(x - 3)^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1。

3. 已知椭圆C的中心为O(0, 0)，长轴与x轴平行，离心率为1/2。

(a) 椭圆C的方程为什么？(b) 设椭圆C的焦点为F1和F2，点M(x, 0)为椭圆上的一点，且线段MF1与线段MF2的长度分别为d1和d2，求证：d1 + d2 = 2a。

4. 抛物线P的焦点为F(0, p)，准线方程为x = -p。

(a) 抛物线P的方程为什么？(b) 若点M(x, y)为抛物线P上的一点，求证：y = x^2 / (4p)。

5. 已知双曲线H的中心为原点O，焦点为F，准线方程为x = -c，离心率为e。

(a) 双曲线H的方程为什么？(b) 若点P(x, y)为双曲线H上的一点，且线段PF的斜率为k，求证：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1。

6. 双曲线H的中心为O(0, 0)，离心率为e，焦点为F1和F2。

(a) 双曲线H的方程为什么？(b) 若点P(x, y)为双曲线H上的一点，求证：PF1 - PF2 = 2a。

7. 已知双曲线H的中心为O(0, 0)，离心率为2，焦点为F1和F2。

(a) 双曲线H的方程为什么？(b) 设点A为双曲线H上与x轴相交的点，点B为双曲线H上与y轴相交的点，点M(x, y)为双曲线H上的一点，且线段AM的斜率为k1，线段BM的斜率为k2，求证： k2 - k1 = 2。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

高二圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（） A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.A.2 B. 12C. 2D. 14．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对8．方程02=+ny mx 与)02+mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）B 二、填空9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标。

完整版)高二数学圆锥曲线基础练习题(一)

完整版)高二数学圆锥曲线基础练习题(一)高二数学圆锥曲线基础练题（一）1.抛物线 $y^2=4x$ 的焦点坐标为（）A．$(1,0)$ B．$(0,1)$ C．$(-1,0)$ D．$(0,-1)$2.双曲线 $mx+y=1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则$m=$（）A．$-\frac{1}{2}$ B．$-4$ C．$4$ D．$\frac{1}{4}$3.双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的一个焦点到渐近线距离为3，则双曲线的另一个焦点到渐近线的距离为（）A．$6$ B．$5$ C．$4$ D．$3$4.已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $B$、$C$ 在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上，顶点 $A$ 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在 $BC$ 边上，则 $\triangleABC$ 的周长是（）A．$23$ B．$6$ C．$43$ D．$12$5.已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 右支上的一点，双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的一条渐近线方程为 $3x-y=0$。

设该点到该渐近线的距离为 $a$，则该点到双曲线的焦点距离为（）A．$5\sqrt{2}$ B．$4\sqrt{2}$ C．$3\sqrt{2}$ D．$2\sqrt{2}$6.已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F_1$、左焦点为 $F_2$。

若$PF_2=3$，则 $PF_1=$（）A．$5\sqrt{2}$ B．$4$ C．$3$ D．$2$7.将抛物线 $y=(x-2)^2+1$ 按向量 $a$ 平移，使顶点与原点重合，则向量 $a$ 的坐标是（）A．$(-2,-1)$ B．$(2,1)$ C．$(2,-1)$ D．$(-2,1)$8.已知双曲线的两个焦点为 $F_1(-5,0)$，$F_2(5,0)$，$P$ 是此双曲线上的一点，且 $PF_1\perp PF_2$，$|PF_1|\cdot|PF_2|=2$，则该双曲线的方程是（）A．$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ B．$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ C．$y^2=1-\frac{x^2}{16}$ D．$x^2-\frac{y^2}{9}=1$9.设 $A(x_1,y_1)$，$B(4,0)$，$C(x_2,y_2)$ 是右焦点为$F$ 的椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 上三个不同的点，则“$AF,BF,CF$ 成等差数列”是“$x_1+x_2=8$”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件10.已知双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的左右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$P$ 为此双曲线上一点，且$PF_2=F_1F_2$，则 $\triangle PF_1F_2$ 的面积等于（）A．$24$ B．$36$ C．$48$ D．$96$11.已知点 $P$ 在抛物线 $y=4x$ 上，那么点 $P$ 到点$Q(2,-1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为（）A．$(\frac{1}{3},1)$ B．$(-\frac{1}{3},-1)$ C．$(1,2)$ D．$(1,-2)$12.设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ 上的一点，若 $2P$ 是该双曲线上的点，则 $P$ 的坐标为（）A．$(\sqrt{2},\sqrt{2})$ B．$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ C．$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ D．$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$1.在第一行加上“已知”，并且将“F1、F2”改为“左、右焦点”，将“ab圆”改为“以线段PF2为直径的圆”，将“双曲线的实轴”改为“实轴”，最后将选项改为“内切、外切或不相切”。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（）2.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （）A ．23B ．3C ．27D ．43．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（）A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.A.B. C. 2 D. 16．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2 (B)3(C)48．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对10．方程02=+ny mx 与)02>+n mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）B 11.以双曲线169的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A . B.C .D.12．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x二、填空题：13．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .14．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 15、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的16．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点，则焦点坐标是 .; 三、解答题：17．已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.（12分） 18．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F（1）求△21PF F 的面积；（2）求P 点的坐标．（14分） 19、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程.（14分）20 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？ 21.A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？22、点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。

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高二数学《圆锥曲线》复习（三）一、基础练习：1. 已知点P 在抛物线y2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 .2. 设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.3. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线有条.4．已知抛物线y ＝14x 2，则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为________．5．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2，2)，则|AB |等于________． 6．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. 8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．9．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>x 2，y 1>0，y 2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使AF →＋λBF →＝0，|AB →|＝254.(1)求直线AB 的方程； (2)求△AOB 的外接圆的方程．二、知识梳理：1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2Py +；② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.③ AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 42p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++3. px y 22=的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数），py x 22=的参数方程为⎩⎨⎧==222pt y ptx （t 为参数）.★重难点突破★重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质三、典型例题1、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(—3,2) (2)焦点在直线240x y --=上2、过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示)，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，求此抛物线的方程.3、在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标.4、已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l ．（1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？5、椭圆12222=+b y a x 上有一点M （-4，59）在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.四、随堂检测及反馈1．抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是_____．2．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为__________．3．(2010年苏州调研)已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是________．4．已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则抛物线的焦点坐标是________；梯形PQRF 的面积是________．5．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝______.6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (2,1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．7．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．9．已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，切点分别为M 、N ，则|MN |的最小值是________．10．已知F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，以F 2为焦点的抛物线，自点F 1引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的交点，点P 关于x 轴的对称点记为M .设F 1P →＝λF 1Q →.(1)求曲线C 的方程；(2)证明：F 2M →＝－λF 2Q →.11．已知抛物线x 2＝4y 及定点P (0,8)，A 、B 是抛物线上的两动点，且AP →＝λPB →(λ>0)．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .(1)证明：点M 的纵坐标为定值；(2)是否存在定点Q ，使得无论AB 怎样运动，都有∠AQP ＝∠BQP ？证明你的结论．12．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m,4)到其焦点的距离为174.(1)求p 与m 的值；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N .若MN 是C 的切线，求t 的最小值．一、基础练习答案：1、[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3.2、【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p .3、 [解析]44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4,故1条或2条.（p=1,直线有两条！）4、解析：抛物线的焦点是(0,1)，且对称轴为x ＝0，故所求直线方程为y ＝1.答案：y ＝15、解析：设A (x 1，x 124)，B (x 2，x 224)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，x 124＋x 224＝4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝4，即A (0,0)，B (4,4)，故|AB |＝4 2.答案：4 26、解析：设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 12＝ax 1， ①y 22＝ax 2， ② ∴①－②得y 12－y 22＝a (x 1－x 2)， ∴(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝a ，∴a ＝4×1＝4，∴y 2＝4x .7、解析：如图，过点N 向准线引垂线，垂足为P ，由抛物线的定义知|NF |＝|NP |，又|NF |＝32·|MN |，即|NP |＝32|MN |，所以在Rt △NMP 中，sin ∠NMP ＝|NP ||NM |＝32，即∠NMP ＝π3，故∠NMF ＝π6.答案：π68、解析：据抛物线的定义可知d 1等于点P 到焦点的距离，故求d 1＋d 2的最小值即为确定抛物线上的点到焦点的距离与到直线的距离之和最小，又抛物线与已知直线无交点，易知当且仅当点P 为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d 1＋d 2有最小值，故(d 1＋d 2)min ＝125.答案：1259、解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，F (1,0)．∵AF →＋λBF →＝0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB →|＝x 1＋x 2＋2.由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB ：y ＝k (x －1)，而k ＝y 1－y 2x 1－x 2，x 1>x 2，y 1>0，y 2<0，∴k >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，|AB →|＝x 1＋x 2＋2＝2(k 2＋2)k 2＋2＝254，∴k 2＝169.从而k ＝43，故直线AB 的方程为y ＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －4＝0，y 2＝4x ，求得A (4,4)，B (14，－1)．设△AOB 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx＋Ey ＋H ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧H ＝0，16＋16＋4D ＋4E ＋H ＝0，116＋1＋14D ＋(－E )＋H ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－294，E ＝－34，H ＝0.故△AOB 的外接圆的方程为x 2＋y 2－294x －34y ＝0.三、典型例题答案1、【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>,∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或∴2934p p ==或∴抛物线方程为243y x =-或292x y=, 前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =-(2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p=,∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p=∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.2、3、[解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2x x P ，点P 到直线的距离17|544|2+-=x x d 1717417|4)21(4|2≥+-=x ，当且仅当21=x 时取等号，故所求的点为），（121解法2：当平行于直线45y x =-且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ，由01616=+=∆b 得21,1=-=x b ，故所求的点为），（121【解析】点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC |＝2|BF |得点B 到准线的距离为|BF |，则|BF ||BC |＝12，∴l 与准线的夹角为30°，则直线l 的倾斜角为60°.由|AF |＝3得cos60°＝3－p 3，故p ＝32. ∴抛物线方程为y 2＝3x .4、解：（1）抛物线方程为y a x 12=故焦点F 的坐标为)41,0(a（2）设2000 ),(ax y y x P =则2 ,2'0ax k P ax y =∴=）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在直线l 的方程是)(2 0020x x ax ax y -=-0 2 200=-ax y x ax －即. 411441)1()2(410 20222020ax a aax ax ad ≥+=-+--=∴)0,0( 0 0的坐标是此时时上式取“＝”当且仅当P x = .L F 0,0)(P 的距离最小到切线处时，焦点在当∴5、解：（1）∵12222=+b y a x 上的点M 在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8……①∵M （-4，59）在椭圆上 ∴125811622=+b a ……②∵222c b a +=……③ ∴由①②③解得：a=5、b=3∴椭圆为192522=+y x由p=8得抛物线为x y 162= 设椭圆焦点为F （4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF|∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|=541)059()44(22=-+--，即为所求的最小值. 四、随堂检测及反馈答案1、解析：由抛物线定义可得A 、B 两点到准线x ＝－12的距离之和为5，则线段AB 中点到y 轴的距离为52－12＝2.答案：22、解析：由抛物线方程y 2＝4x 易得准线l 的方程为：x ＝－1，又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，所以S △MPF ＝12×5×4＝10.3、解析：由两点式直线方程得AB 的方程为y ＝4t x －1，代入抛物线C 的方程得2x 2－4t x ＋1＝0，由Δ＝16t 2－8<0得t 2>2，则t ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4、解析：代入(1,2)得a ＝2，所以抛物线为x 2＝12y ，故焦点F (0，18)．又R (0，－18)，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178，所以梯形的面积为12×(14＋178)×1＝1916.答案：(0，18) 19165、解析：由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2α，得|AB |＝2p sin 245°，∴2p ＝|AB |·12，∴p ＝8×14＝2. 6、解析：由于OA 的中垂线方程为y －12＝－2(x －1)，令y ＝0，得x ＝54，即抛物线的焦点坐标为(54，0)，因此，准线方程为x ＝－54.7、解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，由F A →＋FB →＋FC →＝0，可取FB →＝(－1,0)，此时，F A →＋FC →＝(1,0)，由对称性，得A (32，6)、C (32，－6)．于是，可得|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝2(32－1)2＋(6)2＋1＝5＋1＝6. 8、解析：建立平面直角坐标系如图，设开始水面与抛物线的交点为A ，由题意可知A (4，－2)，故可求得抛物线的方程为y ＝－18x 2，水面上升后交点为B ，则点B 的纵坐标为－32，代入抛物线方程y ＝－18x 2，可求出B 点的横坐标为23，所以水面宽为4 3.9、解析：如图，设P (x ，y )，C 为圆心，则根据圆的切线的性质可知，PC 垂直平分MN ，且CM 与PM ，CN 与PN 分别垂直，则S △PMC ＝12×1×|PM |＝12|PM |，又S △PMC ＝12×|PC |×12|MN |＝14|PC |·|MN |，所以|MN |＝2|PM ||PC |，则|MN |2＝4|PM |2|PC |2＝4[(x －3)2＋y 2－1](x －3)2＋y 2＝4(x 2－4x ＋8)x 2－4x ＋9＝4(1－1x 2－4x ＋9)＝4[1－1(x －2)2＋5]，所以当x ＝2时，|MN |有最小值455.答案：455 10、解：(1)椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 2的坐标为(1,0)，∴可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，∴p ＝2，曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)．∵F 1P →＝λF 1Q →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，①y 1＝λy 2.②∴y 12＝λ2y 22.∵y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，∴x 1＝λ2x 2.③ ③代入①得λ2x 2＋1＝λx 2＋λ，∴λx 2(λ－1)＝λ－1.∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，∴F 2M →＝(x 1－1，－y 1)．由②知，－y 1＝－λy 2，∴F 2M →＝－λ(1λ－1，y 2)＝－λF 2Q →，故F 2M →＝－λF 2Q →.11、解：(1)证明：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别为y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22，解得M (x 1＋x 22，x 1x 24)．又AP →＝λPB →(λ>0)，得(－x 1,8－y 1)＝λ(x 2，y 2－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2， ①8－y 1＝λ(y 2－8)， ②将①式两边平方并代入y 1＝14x 12，y 2＝14x 22，得y 1＝λ2y 2，再代入②式得λy 2＝8，解得y 1＝8λ，y 2＝8λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－32，所以点M 的纵坐标为－8.法二：∵直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋8.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋8，y ＝14x2可得x 2－4kx －32＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－32，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，∴过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝12x 1，k 2＝12x 2，∴MA ：y －14x 12＝12x 1(x －x 1)； MB ：y －14x 22＝12x 2(x －x 2)，解得y M ＝－14x 12x 2＋14x 1x 22x 2－x 1＝14x 1x 2＝－8，即点M 的纵坐标为定值－8.(2)考虑到AB ∥x 轴时，显然要使∠AQP ＝∠BQP ，则点Q 必定在y 轴上，设点Q (0，t )，此时k AQ ＝y 1－t x 1，k BQ ＝y 2－t x 2，结合(1)x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－32，故k AQ ＋k BQ ＝x 124－t x 1＋x 224－t x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2)－4t (x 1＋x 2)4x 1x 2＝0对一切k 恒成立，即k (8＋t )＝0，故当t ＝－8，即Q (0，－8)时，使得无论AB 怎样运动，都有∠AQP ＝∠BQP .12、解：(1)由抛物线的定义，得4－(－p 2)＝174，又m 2＝8p ，所以p ＝12，m ＝±2. (2)由p ＝12，得抛物线的方程为y ＝x 2.由题意可知，直线PQ 的斜率存在且不为0. 设直线PQ 的方程为：y －t 2＝k (x －t )(k ≠0)，令y ＝0，得M (t －t 2k ，0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －t 2＝k (x －t )，y ＝x 2，得Q (k －t ，(k －t )2)．由NQ ⊥PQ ，得直线NQ 的方程为：y －(k －t )2＝－1k(x ＋t －k )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －(k －t )2＝－1k (x ＋t －k )，y ＝x 2，得N (t －k －1k ，(t －k －1k )2)．于是抛物线C 在点N 处的切线方程为y －(t －k －1k )2＝2(t －k －1k )(x ＋k ＋1k－t )． ① 将点M 的坐标代入①，得(t －k －1k )(k ＋1k ＋t －2t 2k)＝0， ② 当t －k －1k ＝0时，t ＝k ＋1k >0，故k >0，此时，t ＝k ＋1k≥2 k ·1k＝2；1 k ≠0时，由②得k＋1k＋t－2t2k＝0，即k2＋tk＋1－2t2＝0，此时，Δ＝9t2－4≥0.当t－k－。

高二数学圆锥曲线测试题及参考答案

高二数学圆锥曲线测试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．椭圆22146x y +=的长轴长为（）A ．2BC ．4D ．622. 设椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m 的值是（） A ．３ B ．316或３ C ．316 D ．316或２ 3．抛物线24y x =的焦点坐标是（） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1(,0)16 D ．1(0,)164．双曲线221916x y -=右支上一点P 到右焦点的距离是4，则点P 到左焦点的距离为（） A.10 B.16 C.9 D.155. 顶点在原点，焦点在对称轴上的抛物线过圆096222=++-+y x y x 的圆心，则其方程为（） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2 ）A ．2y x =±B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．12y x =± 7.曲线21x xy +=的图像关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称8．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．9．双曲线22x y k -=的一个焦点为，则k 的值为_________.10．如果方程224kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是．11．与椭圆2216x y +=共焦点且过点Q 的双曲线方程是．12．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是．13．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为________.14.若直线l 与抛物线216y x =交于点A ，B ，且弦AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为__________. 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分12分）已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。

高二数学圆锥曲线题型分类训练

高二数学圆锥曲线题型分类训练一、有关求值问题1.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．2.圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．3.已知抛物线1C :3x ＝y ，圆2C :22(4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程二、有关证明问题4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB5.已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R .（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.三、有关求范围和最值问题6.椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．8.如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q APBQ 面积的最小值．9.在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x py =(0)p >的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点?M 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当12k ≤≤时，22||||AB DE +的最小值．10.椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于C1的长半轴长。

2012年水东中学高二圆锥曲线复习专题习题

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