高考数学文二轮复习讲义第三编考前冲刺攻略第三步应试技能专训一客观题专练 Word版含解析

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2018高考数学文二轮复习课件：第三编考前冲刺攻略第二步高考题型大突破第三讲 10大模板规范

批阅笔记 1.①本题第1问的关键为三角恒等变换及整体的应用意识.
②第2问注意平移的相关应用，结合周期性求出结论. 2.本题易错点：①公式变换与平移变换不准确而得不出正确的解析式造成错解. ②不能由一个周期内的零点个数转化到所给区间[0，b] 上.
模板二三角变换与解三角形
例2Βιβλιοθήκη 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，
构建解题程序第一步：运用三角恒等变换，将 fx化成 y＝Asinωx＋φ的形式.
第二步：将 ωx＋φ 视为一个整体，代入 y＝sint 的单调区间内求解 x 的范围.
第三步：结合函数图象的平移得出 gx的表达式. 第四步：通过解方程得出其一个周期内的零点个数，再结合其周期性求出 b 的最小值.
1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1. 其平均数为 x 乙＝195＝35；
方差为 s2乙＝1151－352×9＋0－352×6＝265. 因为 x 甲> x 乙，s2甲<s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记 E 为事件：恰有一组研发成功，在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是 (a， b )，( a ，b)，(a， b )，( a ，b)，(a， b )，(a， b )， ( a ，b)，共 7 个，故事件 E 发生的频率为175. 将频率视为概率，即得所求概率为 P(E)＝175.
批阅笔记 1.本题第(1)问利用 Sn 与 an 的关系，根据递推关系式可得 an 与 an＋1 的关系，从而判断{an}是等比数列可求其通项公式；而{bn}中可设出公差 d 利用题中条件解方程组得 b1，d，即知{bn}的通项公式．第(2)问根据{an，bn}的通项公式特点可知求其和 Tn 时用错位相减法．

广东高考数学三轮复习方法优选份

广东高考数学三轮复习方法优选份第一轮复习：梳理知识点，强化基础第一轮复习是为了巩固数学的基础知识，梳理知识框架，这样才能更好地进行后续内容的学习。

以下是第一轮复习的主要内容：1.查漏补缺：通过自测或作业等方式，找出自己的薄弱环节，并进行有针对性的查漏补缺。

可以寻求老师的帮助，或借助各种参考书进行巩固。

2.整理知识框架：将教材或课堂上的知识点整理成思维导图或Xmind 图，明确各章节的主要内容以及重要知识点的归类，为后续的复习做好准备。

3.刷题巩固：多做一些基础题来巩固所学知识，特别是对于一些基础的运算和概念要牢固掌握。

可以选择一些题目较全面、难度适中的题目，例如教材中的习题或历年高考真题。

第二轮复习：提升解题能力，做题技巧的培养在第二轮复习中，要提高学生的解题能力，培养一定的做题技巧。

以下是第二轮复习的主要内容：1.理解题目：学会读懂题目，明确问题要求，知道如何把一句或几句话转化为数学语言。

要仔细理解和分析题目中的条件和关系，对于一些经典的解题方法要有所了解。

2.解题技巧：熟悉常见的解题方法和技巧，比如找规律、辅助线、单位换算、代数化简等等。

掌握这些技巧可以帮助学生更快更准确地解决问题。

3.刷题巩固：以各类典型题型为主，多做一些难度适中或略微超出自己能力范围的题目，加强对知识点的记忆和理解，培养一定的解题能力。

第三轮复习：强化能力提升，真题集训在第三轮复习中，要强化能力提升，进行真题集训，提高解题的速度和准确率。

以下是第三轮复习的主要内容：2.模拟考试：进行模拟考试，模拟考试应该是按照真题的难度和时间限制进行，以检验自己的复习成果。

在模拟考试后，对错题进行仔细分析和总结，找出自己的薄弱环节，及时进行针对性的巩固。

3.错题集训：将模拟考试或平时的错题整理成错题集，重点对错题进行反复训练，查找问题的根源并及时纠正，以提高解题的准确性。

总结：广东高考数学的三轮复习方法是一个系统而复杂的过程，需要学生付出大量的时间和精力。

高考三轮数学复习方法计划(2023)

高考三轮数学复习方法计划(2023)高考三轮数学复习方法计划第一轮复习：熟悉考纲：详细了解数学高考的考试内容和要求，包括考试形式、考试范围、难度及基本要求。

泛读教材：学习教材，并逐步理解其中的基本概念和定义，尤其要注意重点难点概念的理解和记忆完成练习：完成基本的习题，巩固基础知识的理解，通过举一反三来加深掌握和记忆。

第二轮复习：查漏补缺：查漏补缺并巩固难点，强化重点知识，并进行有针对性的辅导和练习。

做和复习真题：做历年高考真题，结合自己的考试情况进行复习和总结，掌握考试趋势和重点难点。

定期做模拟题：进行模拟考试来检测自己复习情况，对弱项进行适量练习与强化，适当调整复习方法。

第三轮复习：总结知识点：逐个知识点进行统计和总结，并按照优先级进行安排，从基础开始巩固，逐步深入，强化重点。

模拟考试：逐步进行模拟考试，找到考试策略，加强考试心态调适。

针对性复习：重点关注易混点、考试重点和应变技巧，针对性进行复习，并强化解题技巧和策略。

局部突破：针对前两轮复习中整理出的薄弱环节和技能要求，进行精细化攻关，进行相应练习以突破局部难题。

高考数学满分答题技巧方法有哪些1、高考数学提前进入数学情境高考数学考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿高考数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考，保证数学满分答题状态。

2、高考数学集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是高考数学满分的基础，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松好的情绪可以帮助考试在高考数学时取得满分。

高三数学(文科)二轮复习教学计划

高三数学（文科）二轮复习教学计划一、复习思路：如果把高三复习的教学比作捕鱼,一轮复习用密网,大小鱼虾一网打;二轮复习用鱼叉,瞄准大的把它拿；如果把一轮复习比作"火力覆盖"的话,二轮复习应叫做"重点打击"。

这轮复习是使知识系统化、条理化，促进灵活应用的关键时期，启到了承上启下的作用。

我们高三文科备课组将以全品二轮复习专题训练为主线，穿插各模拟卷和针对性练习。

结合学生特点，建立以“强化基础夯实，重点突出，难点分解，各个击破，综合提高。

”的二轮复习思路，确保数学学科在高考中取得好成绩！二、课程目标（一）知识目标1.系统性：贯通各模块相关知识。

通过纵向延伸和连接，构建完整、系统的知识结构。

2.综合性：建立不同知识，不同方法、不同学科之间联系。

通过横向拓展、问题解决等，综合所学知识。

3.灵活性：通过对重点知识的讲解和变式训练，加深理解，掌握本质和内在联系，能灵活应用知识解决问题。

4.严谨性：通过讲解、讨论、辨析，克服学习难点、易错点和容易混淆的知识点，形成严谨、准确的知识体系。

（二）能力目标核心为数学思维能力：会对问题和资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑地、准确地表达。

1.运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

是思维能力和运算技能的结合。

2.空间想象能力：能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

3.抽象概括能力：对具体、生动的实例能在抽象、概括的过程中，发现对象的本质；从给定的大量信息材料中，能概括出一些结论，并能将其用于解决问题或做出判断。

4.推理论证能力：能根据已知事实或命题，论证教学命题的真实性。

高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题1考前教材重温2函数与导数教学案理(2021学年)

20１8版高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题1 考前教材重温２函数与导数教学案理编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2０1８版高考数学二轮复习第３部分考前增分策略专题 1 考前教材重温 2 函数与导数教学案理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为２０18版高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题１考前教材重温 2 函数与导数教学案理的全部内容。

２.函数与导数■要点重温…………………………………………………………………………·１.几种常规函数:（1）一次函数：ｆ(x)＝ax＋b（a≠0)．当b＝0时，ｆ（x）为奇函数.［应用1] 若一次函数y=f(x）在区间[-１,2]上的最大值为３,最小值为1,则ｆ（x)的解析式为_＿＿_____．[答案] ｆ（x）=＼f（２,3)ｘ+错误!,或f(ｘ)＝－错误!x＋错误!.(2)二次函数:①一般式:f(x)＝aｘ2＋ｂｘ+c（a≠0);②顶点式：ｆ（x)＝ａ（x－ｈ)２＋k(a≠０)；③零点式：f（x)＝ａ（ｘ-ｘ1)（x-ｘ２）（a≠0）;④区间最值：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.[应用2］若函数y=1２x2－2x+4的定义域、值域都是[2,２b],则b＝______＿＿。

【导学号:0７804１60】［答案］２[应用3］设函数f(x）=ｘ2＋2(a-1)x+1在区间(－∞,４)上是减函数，则ａ的取值范围是_＿_＿____.[答案] a≤－３(3)三次函数的解析式的两种形式：①一般式：ｆ（x）=aｘ3+bx2+cx＋d(a≠0);②零点式:f（ｘ)=a(ｘ－x1)(x-ｘ2）（x-ｘ3）(a≠０)．［应用4］已知函数f（x)=ax３+bx2＋cx+ｄ的图象如图２,则b的取值范围是____＿___．图２[答案] b<0[应用５］若函数f（x)＝x3＋３ａx2＋３(a＋2）x＋3既有极大值又有极小值,则a的取值范围为___＿＿___.[答案］a＞2或a<-1(４)反比例函数:y=错误!(x≠０)平移⇒y=ａ+错误!(x≠0)（中心为（ｂ,ａ)).(５)分段函数：分段处理，有时结合函数图象来研究问题．［应用6] 已知实数a≠0，函数f(ｘ）＝错误!，若ｆ（1-a）＝f（1+a),则a=___＿_＿＿_.［解析] 当ａ<0时，－(1-a）-2a＝2（1＋a）＋a，a＝－3４；当a＞0时,-(1＋a)-２a=2（1-a）+a,ａ=-＼f(3，2)(舍);综上可知a=－错误!．[答案] －错误![应用７] 设函数f（x）=错误!若f(x0）〉１，则x0的取值范围是____＿___。

高三数学二轮复习计划安排归纳

高三数学二轮复习计划安排归纳引言进入高三下学期，学生们迎来了更为紧张和关键的二轮复习阶段。

这一阶段的复习重点在于强化知识点的掌握，提升解题技巧，以及通过模拟测试熟悉考试流程。

本文旨在为高三学生提供一个详细的二轮复习计划，帮助学生系统地复习数学知识，提高解题能力。

第一部分：复习心态与目标设定1.1 建立正确的复习心态高三二轮复习是提升和巩固的阶段，需要学生保持冷静和专注。

1.2 明确复习目标目标应具体、可衡量，如掌握特定数量的习题，提高解题速度等。

第二部分：复习内容规划2.1 知识点的深入理解对一轮复习中的知识点进行更深入的理解和应用。

2.2 解题技巧的掌握学习并练习各种题型的解题技巧，如代数、几何、概率等。

2.3 重点难点的攻克针对一轮复习中发现的重点难点进行专项训练。

第三部分：复习方法与技巧3.1 制定个人复习计划根据个人情况，制定详细的日计划、周计划和月计划。

3.2 采用有效的学习方法如SQ3R阅读法、费曼技巧等，提高学习效率。

3.3 习题训练与总结通过大量习题训练，总结解题规律，提炼技巧。

第四部分：模拟测试与评估4.1 模拟测试的安排定期进行全真模拟测试，模拟高考环境。

4.2 测试结果的分析对模拟测试结果进行详细分析，找出薄弱环节。

4.3 针对性的强化训练根据测试结果，对薄弱环节进行有针对性的强化训练。

第五部分：时间管理与生活习惯5.1 合理安排学习时间制定学习时间表，合理分配学习和休息时间。

5.2 健康的生活习惯保证充足的睡眠，合理的饮食，适度的运动。

第六部分：心理调适与压力管理6.1 心理调适的重要性良好的心理状态对复习效果和考试表现至关重要。

6.2 压力管理的方法学习一些压力管理的技巧，如冥想、呼吸练习等。

第七部分：教师、家长和同学的支持7.1 教师的指导与帮助教师的专业知识和经验可以为学生提供宝贵的指导。

7.2 家长的鼓励与支持家长的理解和支持对学生的复习有着积极的影响。

7.3 同学间的交流与合作与同学交流学习经验，共同进步。

高考数学二轮复习第二编考前冲刺攻略 3.3数学思想与方法文

解 (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当 m＝a 时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为 a＋b＋d≤c＋b＋d，且 a＋c＋d≤c＋b＋d，所以 T2(P)≤T2(P′)．当 m＝d 时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为 a＋b＋d≤c＋a＋b，且 a＋c＋d≤c＋a＋b，所以 T2(P)≤T2(P′)．所以无论 m＝a 还是 m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．
第二编考前冲刺攻略
大二轮·文
第三步数学思想与方法
第三讲分类讨论思想
1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略． 2.分类讨论的常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．
第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.
解 (1)由题意得，5a3·a1＝(2a2＋2)2，即 5(a1＋2d)·a1＝(2a1＋2d＋2)2 d2－3d－4＝0，解得 d＝－1 或 d＝4，
所以 an＝－n＋11 或 an＝4n＋6.
(2)若 d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 解 (2)设数列{an}前 n 项和为 Sn，因为 d<0，所以 d＝－1，an＝－n＋11，则由 an≥0，即－n＋11≥0 得 n≤11. 所以当 n≤11 时，an≥0，n≥12 时，an<0. 所以 n≤11 时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋221n； n≥12 时，|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－…－an＝S11－(Sn－S11)＝－Sn ＋2S11＝12n2－221n＋110. 综上所述，|a1|＋|a2|＋…＋|an|

高三数学第二轮复习技巧怎么做

高三数学第二轮复习技巧怎么做高三数学第二轮复习技巧首先，做好承下。

同学们在自己的第二轮复习的时候首先需要做的就是要做好承下的工作，也就说同学们要在自己开展第二轮复习的时候先把自己第一轮的复习做好总结，让自己在第一轮的复习中没有什么问题的遗留，这样同学们才能够为自己的第二轮复习打下一个好的基础，而且也能够让自己的第一轮复习有一个好的总结，所以同学们要做好自己的第一轮复习的总结工作。

第二，心态上要摆正了。

接下来同学们需要做的就是要把自己的心态摆正了，这个时候同学们不要再去想什么第一轮复习中的问题，因为已经做好了总结了，这个时候再去想只能是浪费自己的时间，这个时候同学们要把自己的心态摆正了，明确自己在第二轮复习的目标，在心里面重视自己的二轮复习，这样同学们才能够在复习的时候取得一个好的成绩。

第三，查漏补缺。

更后同学们需要做的就是在二轮复习的时候对自己的学习进行一个好的查漏补缺，因为在一轮复习的时候同学们已经把所有的基础知识都复习完了，所以同学们接下来需要做的就是在二轮复习一些比较难的知识点的时候去查漏补缺，看看自己在哪一块的学习上还不足，同学们在复习的过程中如果能够很好的进行查漏补缺，那么才能够有一个好的复习。

高三二轮复习策略一、抓《考试说明》与信息研究第二轮复习中，不可能再面面俱到。

要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。

二、突出对课本基础知识的再挖掘近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。

强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。

尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。

高考数学第二轮复习计划书

高考数学第二轮复习计划书一、复习目标本次复习旨在巩固和强化高考数学知识，提高解题能力和应试能力。

通过系统地复习数学各个知识点，帮助学生构建全面的数学知识体系，增强计算能力和思维能力，为高考取得优异成绩打下坚实基础。

二、复习内容1. 微积分•求导与导数•函数图像与性质•极值与最值•一元函数的积分与微元法•定积分与不定积分•微分方程与应用2. 三角函数•角度与弧度制•三角函数基本关系•反三角函数•三角函数的诱导公式•向量与三角函数•三角函数与图像的关系3. 几何与向量•空间几何与立体图形•向量的基本性质•向量共线与垂直•平面与直线的位置关系•平面向量的运算•解析几何应用题4. 概率与统计•随机事件与概率•条件概率与独立性•二项分布与正态分布•样本与抽样分布•参数估计与假设检验•统计图表与数据分析5. 数列与数学归纳法•数列的概念与性质•等差数列与等比数列•通项公式与求和公式•数学归纳法的应用•数列与函数的关系•应用问题与求解三、复习计划本次复习计划分为基础巩固和提高拓展两个阶段，每个阶段会安排相应的学习内容和复习任务。

1. 基础巩固阶段在这个阶段，主要目标是过一遍高考数学的基础知识，理解各个知识点的概念和基本性质，并能够熟练应用基本的解题方法。

•第一周：复习微积分的基本概念和求导运算，完成对应的习题练习。

•第二周：复习三角函数的基本关系和图像性质，完成对应的习题练习。

•第三周：复习几何与向量的基本知识和运算，完成对应的习题练习。

•第四周：复习概率与统计的基本概念和应用题，完成对应的习题练习。

•第五周：复习数列与数学归纳法的基本理论和应用问题，完成对应的习题练习。

2. 提高拓展阶段在基础巩固阶段完成后，进入提高拓展阶段，主要目标是深入理解数学知识，掌握更高级的解题方法和技巧，提高解题速度和准确率。

•第六周：深入学习微积分的应用题和微分方程，掌握常用的解题思路和技巧。

•第七周：深入学习三角函数与向量的复杂应用题，提高解题能力和分析问题的能力。

2018版高考数学文科二轮复习讲义：第3部分专题2 考前“三注意”

专题二考前应试技巧
考前“三注意”
1．考前做“熟题”找感觉
挑选部分有代表性的习题演练一遍，体会如何运用基础知识解决问题，提炼具有普遍性的解题方法，以不变应万变最重要．掌握数学思想方法可从两方面入手：一是归纳重要的数学思想方法；二是归纳重要题型的解题方法．还要注意典型方法的适用范围和使用条件，防止形式套用时导致错
误．顺应时间安排：数学考试安排在下午，故而考生平时复习数学的时间也尽量安排在下午时段．每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，保持思维的灵活和流畅．
2．先易后难多拿分
改变解题习惯：不要从头到尾按顺序做题．无论是大题还是小题，都要先抢会做的题，接着抢有门的题，然后才拼有困难的题，最后再抠不会的题．先抢占有利地势，可以保证在有限的时间内多拿分．
3．新题难题解不出来先跳过
调整好考试心态，有的同学碰到不会做或比较新颖的题就很紧张，严重影响了考试情绪．高考会出现新题，遇到难题或新题时，要学会静下来想一想，如果暂时还想不出来，跳过去做另一道题，没准下道题目做出来后你已经比较冷静了，那就再回过头来解答．在近期复习中，抓容易题和中档题，不宜去攻难题．因为这段时间做难题，容易导致学生心理急躁，自信心丧失．通过每一次练习、测试的机会，培养自己的应试技巧，提高得分能力．
1。

高考数学大二轮专题复习冲刺方案-文数(经典版)文档：第二编专题三第3讲数列的综合问题

第3讲数列的综合问题「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.核心知识回顾数列综合应用主要体现在以下两点：(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．热点考向探究考向1 数列与函数的综合问题例1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2|对任意的x ∈[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ∈N *)．(1)当x ∈[0,10]时，写出方程2x －x 2＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)；(2)若b n ＝a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 an (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，都有S n <m 成立，求m 的取值范围．解 (1)因为x ∈[0,10]时，易知方程2x －x 2＝0的解为x ＝2，x ＝4，由不等式|f (x )|≤2019|2x－x 2|对任意的x ∈[0,10]都成立，可得⎩⎨⎧|f (2)|≤0，|f (4)|≤0，即⎩⎨⎧f (2)＝4＋2a ＋b ＝0，f (4)＝16＋4a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝8，所以f (x )＝x 2－6x ＋8，又数列{a n }是以7＋a ＝1为首项，公差为1的等差数列，所以a n ＝n .(2)由(1)知b n ＝a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1·13＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，① 13S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，② ①－②得，23S n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＋1，整理得，S n ＝34－2n ＋34·3n ，由2n ＋34·3n >0可得S n<34，由S n <m 恒成立，可得m ≥34.数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1，12，满足条件a ∥b .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，数列{b n }满足条件b 1＝1，f (b n ＋1)＝1f (－b n －1).①求数列{b n }的通项公式；②设c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)∵a ∥b ，∴12S n ＝2n －1，S n ＝2n ＋1－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，满足上式，∴a n ＝2n . (2)①∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f (b n ＋1)＝1f (－1－b n )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12b n ＋1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－bn ，∴12bn ＋1＝121＋bn . ∴bn ＋1＝b n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1.又∵b 1＝1，∴{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n . ②c n ＝b n a n ＝n 2n ，T n ＝121＋222＋…＋n －12n －1＋n 2n ，两边同乘12得，12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，上述两式相减得12T n ＝121＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n (n ∈N *)．考向2 数列与不等式的综合问题例2 (2019·云南玉溪第一中学高三第五次调研)若数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0且2S n ＝a 2n ＋a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n >0，令b n ＝4a n (a n ＋2)，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <m 恒成立，m∈Z ，求m 的最小值．解 (1)当n ＝1时，2S 1＝a 21＋a 1，则a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2n ＋a n 2－a 2n －1＋a n －12，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0⇒a n ＝－a n －1或a n ＝a n －1＋1， ∴a n ＝(－1)n －1或a n ＝n (n ≥2)，又a 1＝1满足上式，所以a n ＝(－1)n －1或a n ＝n ，n ∈N *. (2)由a n >0，∴a n ＝n ，b n ＝4n (n ＋2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝3－4n ＋6(n ＋1)(n ＋2)<3，若T n <m 恒成立，则m ≥3，又m ∈Z ，∴m min ＝3.(1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n 项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩．(2)注意放缩的尺度：如1n 2<1n (n －1)，1n 2<1n 2－1.(2019·安徽黄山高三第二次质检)已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n a n －1的前n 项和S n ＝n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2n ＋1(a n －1)2(a n ＋1－1)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：对于任意的n∈N *，都有T n <1.解 (1)因为S n ＝n ， ① 当n ≥2时，S n －1＝n －1， ② 由①－②，得na n －1＝1，故a n ＝n ＋1 又因为a 1＝2适合上式，所以a n ＝n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)知，b n ＝2n ＋1(a n －1)2(a n ＋1－1)2＝2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋1)2＝1－1(n ＋1)2，所以T n <1.考向3 奇(偶)数项和问题例3 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .解 (1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有 a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列．因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，当n 为偶数时，数列中的奇数项与偶数项相同，分别为n2项；当n 为奇数时，数列中的奇数项比偶数项多一项，此时偶数项为n －12项，奇数项为n －12＋1＝n ＋12项．已知函数f (x )＝ln x ＋cos x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－92x 的导数为f ′(x )，且数列{a n }满足a n ＋1＋a n＝nf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＋2n 2≥0成立，求a 1的取值范围．解 f ′(x )＝1x －sin x －6π＋92，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4，故a n ＋1＋a n ＝4n ＋3.(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd ，由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n ＋3，解得d ＝2，a 1＝52. (2)由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋7，两式相减得a n ＋2－a n ＝4，故数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列；数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，又a 1＋a 2＝7，a 2＝7－a 1，所以a n ＝⎩⎨⎧2n －2＋a 1(n 为奇数)，2n ＋3－a 1(n 为偶数).①当n 为奇数时，a n ＝2n －2＋a 1，a n ＋2n 2≥0，则有a 1≥－2n 2－2n ＋2对任意的奇数n 恒成立，令f (n )＝－2n 2－2n ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＋52，n 为奇数，则f (n )max ＝f (1)＝－2，所以a 1≥－2.②当n 为偶数时，a n ＝2n ＋3－a 1，a n ＋2n 2≥0，则有－a 1≥－2n 2－2n －3对任意的偶数n 恒成立，令g (n )＝－2n 2－2n －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－52，n 为偶数，则g (n )max ＝g (2)＝－15，故－a 1≥－15，解得a 1≤15.综上，a 1的取值范围是[－2,15]．真题押题『真题模拟』1．(2019·齐齐哈尔高三二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝120，a 2－a 1，a 4－a 2，a 1＋a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和，求满足T n >1522的最小的n 值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10＝120得10a 1＋45d ＝120,2a 1＋9d ＝24，由a 2－a 1，a 4－a 2，a 1＋a 2成等比数列，得d (2a 1＋d )＝4d 2且d ≠0，∴2a 1＝3d ，∴a 1＝3，d ＝2，∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)·2＝2n ＋1. (2)∵S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (n ＋2)，∴1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2，由T n >1522得1n ＋1＋1n ＋2<322，n (3n －35)>60，∴n 的最小值为14.2．(2019·河北衡水中学高三下学期一调)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足1S n －1－1S n －1S n S n －1＝0，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{a n }的前100项中，是否存在两项a m ，a t (m ，t ∈N *，且m <t )，使得1a 2，1a m ，1a t 三项成等比数列？若存在，求出所有的m ，t 的取值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为1S n －1－1S n －1S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＝1，所以S n ＝1＋(n －1)＝n ，所以S n ＝n 2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又2×1－1＝1＝a 1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)若1a 2，1a m，1a t三项成等比数列，则1a 2×1a t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a m 2，即13×12t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －12，即(2m －1)2＝3(2t －1)．因为t ≤100，所以(2m －1)2≤597，又m ∈N *，所以2m －1≤24，所以m ≤12. 又2m －1为3的奇数倍，所以m ＝2,5,8,11，验证得⎩⎨⎧ m ＝5，t ＝14，⎩⎨⎧ m ＝8，t ＝38，⎩⎨⎧m ＝11，t ＝74.3．(2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2n ，n ∈N *. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2.从而a n ＝2n －2，n ∈N *.所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *. 由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列，得 (S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )．解得b n ＝1d (S 2n ＋1－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)证明：c n ＝a n2b n ＝2n －22n (n ＋1)＝n －1n (n ＋1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即c 1＋c 2＋…＋c k <2k . 那么，当n ＝k ＋1时， c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋ k(k ＋1)(k ＋2)<2k ＋1k ＋1<2k ＋2k ＋1＋k＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n <2n 对任意n ∈N *成立．『金版押题』4．已知函数f (x )＝3cosπx －sinπx (x ∈R )的所有正的零点构成递增数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋23，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)f (x )＝3cosπx －sinπx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，由题意令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )．又函数f (x )的所有正的零点构成递增数列{a n }，所以{a n }是以13为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n －23(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋23＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，则T n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，① 12T n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ·121－12－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以T n ＝2－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 配套作业1.(2019·北京市海淀区高三4月模拟)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，且a 2＋a 5＝2，{a n }的前n 项和为S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若S m ，a 9，a 15成等比数列，求m 的值．解 (1)因为a 5＋a 2＝2，d ＝2，所以2a 1＋5d ＝2a 1＋10＝2，所以a 1＝－4，所以a n ＝2n －6.(2)S m ＝(a 1＋a m )m 2＝m 2－5m ，又a 9＝12，a 15＝24，因为S m ，a 9，a 15是等比数列，所以a 29＝S m a 15，所以m 2－5m －6＝0，m ＝6或m ＝－1，因为m ∈N *，所以m ＝6.2．设数列{a n }的前n 项和是S n ，若点A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，其中c 是与x 无关的常数，且a 1＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．解 (1)因为点A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，所以S n n ＝－n ＋c ，所以S n ＝－n 2＋cn .因为a 1＝3，所以c ＝4，所以S n ＝－n 2＋4n ，所以a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5(n ≥2)．又a 1＝3满足上式，所以a n ＝－2n ＋5(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝a a n ＝－2a n ＋5＝－2(－2n ＋5)＋5＝4n －5，所以{b n }为等差数列，所以T n ＝n (b 1＋b n )2＝2n 2－3n ，当n ＝1时，T n 取最小值，所以T n 的最小值是T 1＝－1.3．(2019·广东东莞高三二调)已知数列{a n }满足a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，设b n ＝a n ＋1.(1)求a 1，a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1.解 (1)数列{a n }满足a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，当n ＝1时，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1. 当n ＝2时，解得a 3＝7.(2)当n ＝1时，b 1＝2，所以b n ＋1b n ＝a n ＋1＋1a n ＋1＝2(常数)，则数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (3)由(1)和(2)得a n ＝2n －1，所以a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(21＋23＋…＋22n ＋1)－(n ＋1)＝2(4n ＋1－1)4－1－(n ＋1)＝8×4n －3n －53.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝13，3S n ＋1＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 13a n ，数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)当n ＝1时，3S 2＝43，a 2＝19，∴3a 2＝a 1；当n ≥2时，3S n ＝S n －1＋1，∴3a n ＋1＝a n (n ≥2)，故数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列，则a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由(1)知b n ＝log 13a n ＝n ，则a n ·b n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n. 从而T n ＝1×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，① 13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，②由①－②得，23T n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，因此T n ＝34－14(2n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 5．(2019·衡水第二中学高三上学期期中)已知等差数列{a n }与公比为正数的等比数列{b n }满足b 1＝2a 1＝2，a 2＋b 3＝10，a 3＋b 2＝7.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝b n ＋1(a n ＋b n )·(a n ＋1＋b n ＋1)，求数列{c n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意a 1＝1，b 1＝2.设公差为d ，公比为q ，则⎩⎨⎧ 1＋d ＋2q 2＝10，1＋2d ＋2q ＝7，解得⎩⎨⎧ d ＝1，q ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b n ＝b 1·q n －1＝2n .(2)因为c n ＝b n ＋1(a n ＋b n )·(a n ＋1＋b n ＋1)，所以c n ＝2n ＋1(2n ＋n )(2n ＋1＋n ＋1)＝12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1，故S n ＝121＋1－122＋2＋122＋2－123＋3＋…＋12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1＝13－12n ＋1＋n ＋1. 6．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知得，b 7＝2 a 7，b 8＝2 a 8＝4b 7，有2 a 8＝4×2 a 7＝2a 7＋2.所以d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)f ′(x )＝2x ln 2，f ′(a 2)＝2 a 2ln 2，故函数f (x )＝2x 的图象在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln 2(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意得，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b n＝n 2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1. 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n . 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 7．(2019·安徽六安第一中学高三模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，其面积S ＝3，B ＝60°，a 2＋c 2＝2b 2，在等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b .数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋1＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)S ＝12ac sin B ＝12ac ·32＝3，∴ac ＝4，又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝ac ＝4，∴b ＝2，从而(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝16，得a ＋c ＝4，∴a ＝c ＝2，故可得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n . ∵T n －2b n ＋1＝0， ①∴当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋1＝0， ②①－②，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝2n －1.(2)由(1)得c n ＝2n ·2n －1＝n ·2n ，∴S n ＝a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ③ ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ④③－④得－S n ＝1×21＋(22＋23＋…＋2n )－n ·2n ＋1，即－S n ＝(1－n )2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.8．(2019·贵州凯里第一中学高三下学期模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 4＝84－a 5，a 8＝36. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n ＋20n 的最小值．解 (1)由a 3＋a 4＝84－a 5，得a 4＝28，∴由⎩⎨⎧ a 1＋3d ＝28，a 1＋7d ＝36，得⎩⎨⎧ a 1＝22，d ＝2，即数列{a n }的通项公式为a n ＝22＋(n －1)×2＝2n ＋20.(2)由(1)得，S n ＝22n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋21n ， ∴S n ＋20n ＝n ＋20n ＋21，令f (x )＝x ＋20x ＋21，n ∈N *，f ′(x )＝1－20x 2，当x ∈(0,25)时，f ′(x )<0；当x ∈(25，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )在(0,25)上单调递减，在(25，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，f (4)＝f (5)＝30，∴当n ＝4或5时，f (n )取到最小值30，即S n ＋20n 的最小值为30.数列类解答题(12分)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n∈N *，满足S n ＝13a 1(a n －1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89. 解题思路 (1)根据S n －S n －1＝a n (n ≥2)及递推关系式化简得a n 和a n －1的关系式，从而求出a n ；(2)采用错位相减法求T n ，从而证明结论．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1(a 1－1)＝13a 21－13a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝4.(2分)∴S n ＝43(a n －1)，∴当n ≥2时，S n －1＝43(a n －1－1)，两式相减得a n＝4a n－1(n≥2)，(4分)∴数列{a n}是首项为4，公比为4的等比数列，∴a n＝4n.(6分)(2)证明：∵a n b n＝log2a n＝2n，∴b n＝2n4n，(7分)∴T n＝241＋442＋643＋…＋2n4n，14T n＝242＋443＋644＋…＋2n4n＋1，(8分)两式相减得34T n＝24＋242＋243＋244＋…＋24n－2n4n＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n－2n4n＋1＝2×14⎝⎛⎭⎪⎫1－14n1－14－2n4n＋1＝23－23×4n－2n4n＋1＝23－6n＋83×4n＋1.(10分)∴T n＝89－6n＋89×4n<89.(12分)1．正确求出a1的值给2分．2．利用a n与S n的关系构造等比数列给2分．3．写出数列{a n}的通项公式给2分．4．求出数列{b n}的通项公式给1分．5．采取错位相减法给1分．6．两式相减后的正确化简计算给2分．7．放缩法证明不等式给2分．1．由a n与S n的关系求通项公式，易忽略条件n≥2而出错．2．错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有n－1项，整个式子共有n ＋1项．3．放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明的目的．[跟踪训练](2019·沈阳模拟)(12分)设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S2n＝a n⎝⎛⎭⎪⎫S n－12 (n≥2)．(1)求S n；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，由S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12得，S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，整理得，S n －1－S n ＝2S n －1S n ⇒1S n －1S n －1＝2，(3分) 又1S 1＝1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为公差、以1为首项的等差数列，则1S n ＝1＋2(n －1)，故S n ＝12n －1.(6分) (2)由(1)知，b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，(9分) ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.(12分)。

高考数学复习讲座(二轮和三轮)

理念2：提供多样课程，适应个性选择
选择性是新课程改革的创新点，在高考数学的选做题上得到有效考查；多样性是新课程改革的出发点，通过高考数学的低档题、中档题、高档题、创新题等对不同水平的考生进行有效考查。
理念3：
倡导积极主动、勇于探索的学习方式丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法，使学生学会自主学习，为终身学习和发展打下良好的基础，这是新课程追求的基本理念之一。高考数学通过探究型和建模型问题对学生独立思考、主动探索和创造能力进行有效考查。
二. 考试基本原则的理解稳中求变变中求新
1.“稳”是压倒一切的大局
(1)试卷形式保持稳定； (2)试卷结构保持稳定； (3)考核目标保持稳定； (4)考核范围保持稳定； (5)考试内容保持稳定； (6)考试要求保持稳定； (7)主干知识考核稳定； (8)试题难度保持稳定。
2.“变”是课程发展的需要
了解函数奇偶性的含义
能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题掌握确定直线方程的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系
考试内容
07年
08年
09年
10年
11年
12年
5．算法初步
6．统计
要求一致
要求一致
7．概率
8．基本初等函数Ⅱ（三角函数） 9．平面向量
理念8：体现数学的文化价值此理念是通过对个性品质的考查具体体现：要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义。克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-理数(经典版)文档：第三编讲应试 Word版含解析

先易后难．就是先做简单题，再做综合题．应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪．可采取缺步解答、跳步解答、退步解答、辅助解答等多种方式，力争多得分．先熟后生．通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处．对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难．通过这种暗示，确保情绪稳定．对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较完整、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目．这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、心情愉悦，超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的．先同后异．就是说，可考虑先做同学科同类型的题目．这样思考比较集中，知识或方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益．一般说来，考试解题必须进行“兴奋灶”转移，思考必须进行代数学科与几何学科的相互换位，必须进行从这一章节到那一章节的跳跃，但“先同后异”可以避免“兴奋灶”过急、过频和过陡的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力．先小后大．小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理气氛．先点后面．近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面．先局部后整体．对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数．如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分．还有像完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分．而且可以在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，从而获得解题成功．先面后点．解决应用性问题，首先要全面审查题意，迅速接受概念，此为“面”；透过冗长叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为“线”．如此将应用性问题转化为纯数学问题．当然，求解过程和结果都不能离开实际背景．先高(分)后低(分)．这里主要是指在考试的后半段时要特别注重时间效益，如两道题都会做，先做高分题，后做低分题，以使时间不足时少失分；到了最后十分钟，也应对那些拿不下来的题目就高分题“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分．建议教师组织专门特训，向学生说明特训的目的，在考试时应使用的思想方法、解题方法、应试技巧等，进行有针对性使用！在讲评时，教师也应重点讲评应试技巧在每一题中是怎样使用的！为方便您理解，我们特意命制了一套样题供您参考．本套试卷知识点覆盖全面，试题常规，难度中等，着重考查基础知识、基本方法与基本技能，着重考查数学的四大思想和选、填题的特殊技法，着重考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．特训样题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{y|y＝2－x＋1，x∈R}，M∩N＝N，则集合N不可能是()命题意图本题考查集合的概念和运算，考查转化与化归的数学思想．答案 D解析2．设复数z 满足z ＋|z －|＝2＋i ，则z ＝( )A ．－34＋i B.34＋iC ．－34－i D.34－i 命题意图本题考查复数的运算，考查函数与方程思想的应用．答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1，故z ＝34＋i ，∴选B.3．等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．14B ．21C ．28D ．63命题意图本题需要将问题转化为基本量(首项和公比)的运算，另外还需注意数列中不同两项之间的关系式的灵活应用，以减少计算量．答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝1＋q ＋q 2＝7，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3，又a n >0，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝4×7＝28.故选C.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 命题意图本题考查线性规划，意在考查考生的数形结合能力、运算求解能力．答案 D 解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z 2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.5．如图，CD ，BE 分别是边长为4的等边△ABC 的中线，圆O 是△ABC 的内切圆，线段OB 与圆O 交于点F .在△ABC 中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是( )A.3π54B.π18C.3π27D.3π108命题意图本题考查运用平面几何知识求几何概型的概率．答案 A解析在△BOD 中，∠ODB ＝90°，∠OBD ＝30°，因为BD ＝12AB ＝2，所以OD ＝2tan30°＝233，即圆O 的半径为233，由此可得图中阴影部分的面积等于16×π×(233)2＝2π9，因为△ABC 的面积为43，故所求概率P ＝2π9×43＝3π54.故选A.6．已知等边三角形ABC 的边长为2，其重心为G ，则BG →·CG→＝( ) A ．2 B ．－14 C ．－23 D ．3命题意图本题考查了向量的线性运算和数量积，考查了向量坐标法和数形结合思想．答案 C解析如图，建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，得重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，则BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，CG →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，33，所以BG →·CG →＝－1×1＋33×33＝－23，故选C.7．“十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山，一人去西藏，一人去云南．回来后，三人对自己的去向，作如下陈述：甲：“我去了泰山，乙去了西藏．”乙：“甲去了西藏，丙去了泰山．”丙：“甲去了云南，乙去了泰山．”事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半．根据如上信息，可判断下面正确的是( )A ．甲去了西藏B ．乙去了泰山C ．丙去了西藏D ．甲去了云南命题意图本题考查学生的逻辑推理能力，解题时常将反证法与分析法综合使用．答案 D解析若甲的陈述“我去了泰山”正确，则“乙去了西藏”错误，则乙去了云南，丙去了西藏，则乙、丙的陈述都错误；若甲的陈述“我去了泰山”错误，则“乙去了西藏”正确，则甲去了云南，丙去了泰山，验证乙、丙的陈述，都说对了一半，符合题意，故选D.8．已知数列{a n }中，a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则∑2019i ＝1 1a i＝( ) A.20181010 B.20191010 C.20192018 D.20202019 命题意图本题考查数列的递推公式、累加法、裂项求和等知识，考查赋值法和转化与化归的能力．答案 B解析令m ＝1，则a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，又a 1＝1，所以a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，把以上n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝n (n ＋1)2，所以1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以∑2019i ＝1 1a i ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12019－12020＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12020＝20191010，故选B.A ．2－πB ．π－2C ．2D ．π命题意图本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数再求出结果或运用函数的奇偶性压缩思维来求解．答案 B解析10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x －3|－1，x ≥0，－x 2＋2，x <0，函数g (x )＝mx ，若函数y ＝f (x )－2g (x )恰有三个零点，则实数m 的取值范围是( )命题意图本题考查了数形结合的解题方法：画出需要的函数图象，将函数的零点个数问题化归为同一坐标系内两个不同函数图象的交点个数的问题，进一步求出参数的取值范围．答案 A解析由题意，画出函数f (x )＝⎩⎨⎧|x －3|－1，x ≥0，－x 2＋2，x <0的图象如图所示，y ＝f (x )－2g (x )恰有三个零点，即y ＝f (x )，y ＝2mx 的图象有三个不同交点，由图象可知，当直线y ＝2mx 的斜率在区间(k OA ，k OB )时，y ＝f (x )，y ＝2mx 的图象有三个不同交点，即k OA <2m <k OB ，所以－13<2m <1，可得－16<m <12，故选A.11．如图，直角梯形ABCD ，∠ABC ＝90°，CD ＝2，AB ＝BC ＝1，E 是边CD 的中点，△ADE 沿AE 翻折成四棱锥D ′－ABCE ，则点C 到平面ABD ′距离的最大值为( )A.12B.22C.63 D ．1命题意图本题综合考查立体几何中的线、面的位置关系和点到平面距离的计算，解题的方法之一是根据线面平行的性质，将所求点到平面的距离转化为另外一个特殊点到同一平面的距离．另外在求得点到平面距离的表达式后再运用基本不等式求最大值时，需要注意验证等号成立的条件．答案 B解析由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D ′－ABCE 中，底面ABCE 为边长是1的正方形，在侧面D ′EA 中，D ′E ⊥AE ，且D ′E ＝AE ＝1.∵AE ⊥D ′E ，AE ⊥CE ，D ′E ∩CE ＝E ，∴AE ⊥平面D ′CE .作D ′M ⊥CE 于M ，作MN ⊥AB 于N ，连接D ′N ，则由AE ⊥平面D ′CE ，可得D ′M ⊥AE ，∴D ′M ⊥平面ABCE .又AB ⊂平面ABCE ，∴D ′M ⊥AB .∵MN ⊥AB ，D ′M ∩MN ＝M ，∴AB ⊥平面D ′MN .在△D ′MN 中，作MH ⊥D ′N 于H ，则MH ⊥平面ABD ′.又由题意可得CE∥平面ABD′，∴MH的长即为点C到平面ABD′的距离．在Rt△D′MN中，D′M⊥MN，MN＝1，设D′M＝x，则0<x≤D′E＝1，∴D′N＝1＋x2. 由D′M·MN＝D′N·MH，得x＝1＋x2·MH，∴MH＝x1＋x2＝11＋1x2≤22，当x＝1时等号成立，此时D′E⊥平面ABCE，综上可得点C到平面ABD′距离的最大值为22.故选B.12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x＞0都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，则()A．4f(－2)＜9f(3) B．4f(－2)＞9f(3)C．2f(3)＞3f(－2) D．3f(－3)＜2f(－2)命题意图本题借助于导数构造新的函数来解题，考查了学生转化与化归的能力．答案 A解析根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，又对任意x＞0都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，则当x＞0时，有g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]＞0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)＜g(3)，则有g(－2)＜g(3)，即有4f(－2)＜9f(3)．故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝ln (x－1)－8x－1x＋1，则函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为________．命题意图本题考查在函数图象上一点处求其切线方程．答案y＋5＝0解析因为f(x)＝ln (x－1)－8x－1x＋1，所以f(2)＝－5，可知点(2，－5)在曲线上，而f ′(x )＝1x －1－8(x ＋1)－(8x －1)(x ＋1)2＝1x －1－9(x ＋1)2，则f ′(2)＝1－1＝0，即切线的斜率为0，又因为过点(2，－5)，所以切线方程为y ＋5＝0.14．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a x n (a ＞0)的展开式中，二项式系数之和为64，含x 3的项的系数为154，则a ＝________.命题意图本题考查二项展开式的系数与通项问题，考查函数与方程的数学思想．答案 2解析因为二项式系数之和为64，所以2n ＝64，解得n ＝6，15．如图，点F 是抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，点A ，B 分别在抛物线C 和圆x 2＋(y －1)2＝4的实线部分上运动，且AB 总是平行于y 轴，则△AFB 周长的取值范围是________．命题意图本题考查抛物线的定义与圆的标准方程及其性质，考查推理能力与计算能力．答案 (4,6)解析抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，准线方程为y ＝－1，圆x 2＋(y －1)2＝4的圆心为(0,1)，与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2，∴|FB |＝2，|AF |＝y A ＋1，|AB |＝y B －y A ，∴三角形ABF 的周长＝2＋y A ＋1＋y B －y A ＝y B ＋3，∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 周长的取值范围是(4,6)．16．已知在三棱锥A －BCD 中，底面△BCD 是边长为3的等边三角形，且AC ＝AD ＝13，若AB ＝2，则三棱锥A －BCD 外接球的表面积是________．命题意图本题利用构造法解决多面体和球的问题，考查学生的空间想象力和转化能力．答案 16π解析 ∵AB 2＋BC 2＝AC 2，AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .又BC ∩BD ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，因而可以将三棱锥A －BCD 补形成三棱柱AEF －BCD (如图所示)，则上、下底面正三角形的中心O 1与O 2连线的中点O 为三棱锥A －BCD 外接球的球心．易知，BO 2＝3，O 2O ＝1，∴BO ＝BO 22＋O 2O 2＝2，∴三棱锥A －BCD 外接球的表面积S ＝4π×22＝16π.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若23cos 2A ＋cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值；(2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．命题意图本题考查三角恒等变换和解三角形．考查学生的函数与方程思想和转化与化归的能力．解 (1)∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15，而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)，∴b ＝5.(5分)(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴12＜sin(B ＋π6)≤1，∴b ＋c ∈(3，23]．(12分)解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ，即(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c ＞3，∴b ＋c ∈(3，23]．(12分)18．(本小题满分12分)如图四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，△ACD 是边长为2的等边三角形，且AB ＝BC ＝2，P A ＝2，点M 是棱PC 上的动点．(1)求证：平面P AC ⊥平面PBD ；(2)当线段MB 最小时，求直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值．命题意图运用空间中线与面的位置关系的判断与性质定理证明两个平面互相垂直；恰当建立空间直角坐标系，将解空间角的有关问题转化为计算空间向量的数量积．解 (1)证明：∵P A ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴P A ⊥BD .取AC 的中点O ，连接OB ，OD ，∵△ACD 是等边三角形，AB ＝BC ，∴AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，∴点O ，B ，D 共线，从而得AC ⊥BD ，(2分)又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面P AC ⊥平面PBD .(5分)(2)取CP 的中点E ，连接OE ，则OE ∥P A ，∴EO ⊥底面ABCD ，∴OC ，OD ，OE 两两垂直．以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，(6分)则B (0，－1,0)，C (1,0,0)，D (0，3，0)，P (－1,0,2)，∴BD→＝(0，3＋1,0)，BP →＝(－1,1,2)，设平面PBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝(3＋1)y ＝0，n ·BP →＝－x ＋y ＋2z ＝0，得⎩⎨⎧y ＝0，x ＝2z ，令z ＝1，得n ＝(2,0,1)．(8分)设CM→＝λCP →(0≤λ≤1)，则BM →＝BC →＋CM →＝(1－2λ，1,2λ)，设当线段MB 最小时，直线MB 与平面PBD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈BM →，n 〉|＝|BM →·n ||BM →||n |＝1＋1262×5＝3010， ∴直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值为3010.(12分)19．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设点A ，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程思想的应用．解 (1)由题设知b ＝3，又c a ＝12，所以a ＝2c ，于是a 2＝4c 2，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，于是c 2＝1，b 2＝3，a 2＝4，则椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(5分) (2)设直线CD 的方程为x ＝ky ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，与椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1联立得(3k 2＋4)y 2＋6ky －9＝0.∴y 1＋y 2＝－6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4.(7分) ∴S 四边形OCAD ＝S △OCA ＋S △ODA＝12×2×|y 1|＋12×2×|y 2|＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12k 2＋13k 2＋4＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t(其中t ＝k 2＋1，t ≥1)．(10分) ∵当t ≥1时，y ＝3t ＋1t 单调递增，∴3t ＋1t ≥4， ∴S 四边形OCAD ≤3(当k ＝0时取等号)，即四边形OCAD 面积的最大值为3.(12分)20．(本小题满分12分)某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办随机统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x －(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x －，σ2近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝6.92.利用该正态分布，求：①在2018年脱贫攻坚工作中，该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中年收入不少于12.14千元的人数约为多少？参考数据： 6.92≈2.63.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.6827；P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)＝0.9545；P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝0.9973.命题意图本题主要考查概率与统计的相关知识，解题的关键是对平均值公式、正态曲线、独立重复试验等正确的理解与运用．解 (1)x －＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(4分)(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)，①因为P (X >μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414，(6分)所以μ－σ＝14.77时满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．(8分)②因为P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝12＋0.95452≈0.9773，所以每位农民的年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，(10分)记1000位农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，p ＝0.9773，于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k 1000p k (1－p )1000－k ，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )p k (1－p )>1，k <1001p ≈978.2773，所以当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)<P (ξ＝k )，当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)>P (ξ＝k )，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数大约为978.(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x b (a ≠0)．(1)当b ＝2时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＋b ＝0，b ＞0时，对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，恒有f (x )≤e －1成立，求实数b 的取值范围．命题意图本题主要利用导数研究函数的单调性问题和不等式恒成立问题．考查分类讨论的思想和转化与化归的思想．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当b ＝2时，f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x . ①当a ＞0时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a 2(负值舍去)，当0＜x ＜－a 2时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减；当x ＞－a 2时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．(3分) 综上所述，当b ＝2，a ＞0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当b ＝2，a ＜0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．(4分) (2)因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，恒有f (x )≤e －1成立，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，f (x )max ≤e －1.(5分)当a ＋b ＝0，b ＞0时，f (x )＝－b ln x ＋x b ，f ′(x )＝－b x ＋bx b －1＝b (x b －1)x .令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1；令f ′(x )＞0，得x ＞1.所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增， f (x )max 为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝b ＋e －b 与f (e)＝－b ＋e b 中的较大者．(7分) f (e)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e b －e －b －2b ，令g (m )＝e m －e －m －2m ，则当m ＞0时，g ′(m )＝e m ＋e －m －2＞2e m ·e －m －2＝0，所以g (m )在(0，＋∞)上单调递增，故g (m )＞g (0)＝0，所以f (e)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，从而f (x )max ＝f (e)＝－b ＋e b .(9分)所以－b ＋e b ≤e －1，即e b －b －e ＋1≤0.设φ(t )＝e t －t －e ＋1(t ＞0)，则φ′(t )＝e t －1＞0，所以φ(t )在(0，＋∞)上单调递增．又φ(1)＝0，所以e b －b －e ＋1≤0的解集为(0,1]．所以b 的取值范围为(0,1]．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，A (2,0)，P 为曲线C 上的一动点．(1)求动点P 对应的参数从π3变动到2π3时，线段AP 所扫过的图形面积；(2)若直线AP 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得P 为线段AQ 的中点？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由．命题意图本题第一问是考查圆的参数方程中参数的几何意义，即为一个旋转角，再运用平面几何知识进行计算；第二问是将圆的参数方程转化为普通方程，再运用圆的参数方程设出动点的坐标，最后代入圆的普通方程进行计算．解 (1)设θ＝π3时对应的点为M ，θ＝2π3时对应的点为N ，由题意，得MN ∥x轴，则线段AP 扫过的面积＝S △AMN ＋S 弓形＝S △OMN ＋S 弓形＝S 扇形OMN ＝12×12×π3＝π6.(5分)(2)设P (cos θ，sin θ)，A (2,0)，∵P 为线段AQ 的中点，∴Q (2cos θ－2,2sin θ)，∵Q 在曲线C 上，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，∴(2cos θ－2)2＋(2sin θ)2＝1，整理，得8cos θ＝7，∴cos θ＝78，∴sin θ＝±1－cos 2θ＝±158，∴存在点P 满足题意，且点的坐标为P 78，±158.(10分)23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |.(1)若a ＝1，解不等式f (x )＋g (x )≥3；(2)若不等式f (x )＞g (x )至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．命题意图本题考查绝对值不等式的相关计算，考查分类讨论思想、数形结合思想．解 (1)若a ＝1，则不等式f (x )＋g (x )≥3化为2－x 2＋|x －1|≥3.当x ≥1时，2－x 2＋x －1≥3，即x 2－x ＋2≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≤0不成立；当x ＜1时，2－x 2－x ＋1≥3，即x 2＋x ≤0，解得－1≤x ≤0.综上，不等式f (x )＋g (x )≥3的解集为{x |－1≤x ≤0}．(5分)(2)作出y ＝f (x )的图象如图所示，当a ＜0时，g (x )的图象如折线①所示，由⎩⎨⎧y ＝x －a ，y ＝2－x2得x 2＋x －a －2＝0，若相切，则Δ＝1＋4(a ＋2)＝0，得a ＝－94，由数形结合，知当a ≤－94时，不等式无负数解，则－94＜a ＜0.当a ＝0时，满足f (x )＞g (x )至少有一个负数解．当a ＞0时，g (x )的图象如折线②所示，此时当a ＝2时恰好无负数解，由数形结合，知当a ≥2时，不等式无负数解，则0＜a ＜2.综上所述，若不等式f (x )＞g (x )至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2.(10分)。

高三数学二轮、三轮复习备考方案

高三数学二轮、三轮复习备考方案一轮复习是对知识、方法等逐个扫描和梳理，二轮复习的首要任务是要把整个高中数学知识有机地结合成一个整体，构建高中数学的知识网络，综合训练主要训练学生的解题能力、解题速度、规范性书写等。

一、二轮复习的内容及具体做法二轮复习分七个专题：函数与导数、数列与数学归纳法、不等式、平面向量与三角、解析几何、立体几何、概率与统计，大约一个半月的时间在五月上旬完成。

具体教学过程必须注意以下几点：（1）专题复习不能做到面面都有而要有针对性，重点构建知识网络，从知识的联系与整体上把握基础知识。

（2）认真领悟数学思想，然后掌握数学方法，正确应用它们解决和分析问题。

数学思想与方法必然与数学基础知识的考察结合起来。

在平时的解题训练中注意提炼其中的数学方法、思想，并加以指导。

数学思想方法主要有以下四大类：（1）分类讨论思想。

这是数学的一大思想，在整个高中数学中占有很重要位置。

如：函数与导数等一些题中都要渗透这种思想。

分类原则必须做到不重不漏。

如何分类？具体做法：明确对象的全体→确定分类标准→科学分类→逐一讨论→归纳小结。

这是复习中的重点也是难点。

（2）函数与方程的思想是贯穿数学的一条主线。

（3）变换与转化思想。

在研究数学问题时常常利用某种手段进行命题变换以达到解题目的。

主要有以下三种方法：①把复杂问题通过转化，变为较简单问题。

②把较难问题通过变换，转化为较易问题。

③把没有解决过的问题通过变换，转化成已解决过的一类问题。

（4）数形结合思想，是把抽象数学语言与直观的图形结合起来。

通过数与形的结合可达到以下几个目的：①寻求解题切入点。

②简化解题过程。

③等价地转换命题。

④验证结论的正确与完整，使问题更加直观。

特别在研究函数过程中往往把函数与图像结合起来，更加形象直观地研究函数的性质。

二轮复习的具体做法如下：1.把专题复习与综合复习结合起来。

一个专题配一套综合训练卷，主要目的有：①避免专题复习的单调性与过难过繁。