必修5数列等比

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高中数学必修五--等比数列

2 4 8 16
这些数列有什么共同点
概念形成
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 an q (q 0) ． an1
概念形成
二、等比数列的通项公式
概念形成
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，
即 an2 an1 an1 (n 2) ．
（2）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即
a1 an a2 an1 a3 an2 L ．
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an ap aq ．
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an
bn} ，{k
an}
(k
0)
，{ 1 an
} 仍为等比数列，公比分别为
q1
q2
，
q1 ，
1 q1
．Байду номын сангаас
（5）等比数列依次每 n 项的和仍为等比数列，公比为 qn
n
（6） a1 a2 L an (a1 an )2 ．（正项数列中）
课堂小结
四、等比数列的性质
一个思想类比思想
两个方法不完全归纳法
叠乘法
三个公式
谢谢大家
人教版高中数学必修五
不完全归纳法
叠乘法
概念形成
二、等比数列的通项公式
【问题3】怎样用函数观点来分析等比数列的通项公式呢？
类比思想
概念形成

高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)

等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛砖在等比数列{an}中：引玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1
性质一性质二
等差数列
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ，则 am+an=ap+aq 。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
Hale Waihona Puke 追踪利用等比数列的性质填空：
练在等比数列{an}中：习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。

必修5课件2.3.1等比数列的概念

2 . 3 等比数列
2 . 3. 1 等比数列的概念
回顾第 2. 1节开始我们遇到的数列3, 4, 再考察下面问题 : 放射线物质以一定的速度衰变, 该速度正比于当时该物质的
质量.如果某物质为 0 的放射性物质在时间中衰变到Q0 / 2, Q h 那么称h 为物质的半衰期镭的半衰期是1620 年, 如果从现有 . 的10 g 镭开始, 那么每隔1620 年, 剩余量依次为 1 1 1 10 , 10 , 10 , 10 , . 2 2 2 某桥车的售价约万元 , 年折旧率约为 % (就是说这辆车每 3 那么该车从购买当年算 , 逐年的价 10 起值依次为 36 , 36 0.9 , 36 0.92 , 36 0.93 , .
某人年初投资10000 万元 , 如果年收益率是5% , 那么按照复利, 5 年内各年末的本利和依次为 10000 1.05 , 10000 1.05 2 , , 10000 1.05 5 .
复利的本利和公式是本利和本金 1 利率 :
与等差数列相比上面这些数列有什么特 ? , 点
存期
.
一般地 , 如果一个数列从第2 项起 , 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列 ( geometr icprogress ) , 这个常数叫做等比数列的公比 (common) , 公 ion 比通常用字母q 表示.
2 根据题意, 得
所以 b 2 , c 1 .
b c , 4 b b 2, 1 解得 c 1 . c 2 , c b
an 1 在等比数列 an 中, 始终有 q. an
例1 判断下列数列是否为等比数列:

必修5-等比数列的概念及通项公式(实用)

是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，… 1，0，1，0，1，… 0，0，0，0，0，…
是,公比 q=1 是,公比q= -1 不是等比数列
不是等比数列
1, x , x , x , x , ( x 0)
2 3 4
是,公比 q= x
公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比；防止把被除数与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0
等差数列通项公式的推导: （不完全归纳）
a3 a2 d a1 2d
a4 a3 d a1 3d
方法:(累加法)
an an1 d

a n a1 (n 1)d, n N

a2 a1 d a3 a 2 d a 4 a3 d … … an1 an2 d
公式强化例1：在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
4
3 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 16 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 36 729 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q 2
其数学表达式
an 0
或
an q(n 2) an1
an1 * q(n N ) an
(判断一个数列是否为等比数列的依据)
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
( n, m N )
*
生活应用

高一数学必修5等比数列知识点自己总结

高一数学必修5等比数列知识点自己总结等比数列是数学中常见的数列，其特点是每个数与前一个数的比例保持不变。

等比数列在高中数学中常用于解题和推导。

下面是关于高一数学必修5中等比数列的知识点总结。

一、等比数列的定义等比数列是一种数列，它的每一项与前一项之比都相等。

记作a1、a2、a3、...、an、...的等比数列，它的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。

二、等比数列的性质1. 公比为0时，等比数列为常数列。

2. 公比大于1时，等比数列呈递增趋势。

3. 公比小于1但大于0时，等比数列呈递减趋势。

4. 公比小于-1但大于-1时，等比数列呈交替增减趋势。

5. 等比数列的首项与公比的正负关系决定了数列的增减趋势。

三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过下述推导得出：设等比数列的首项是a1，公比是r，第n项是an，第n-1项是an-1。

an=a1*r^(n-1) （等比数列的通项公式）an-1=a1*r^(n-2) （等比数列的通项公式）将第一个式子除以第二个式子得：an/an-1=(a1*r^(n-1))/(a1*r^(n-2))=r即等比数列的两项之比恒等于公比r。

四、等比数列的和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算得出：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r) （等比数列的前n项和公式）其中Sn是前n项的和。

特殊情况下，当公比r=1时，等比数列的前n项和可以简化为Sn=n*a1。

五、等比中项等比数列中，若数列中的某个数是它前后两个数的几何平均数，则称该数为等比数列的等比中项。

设该数为x，前一项是a，后一项是b，根据等比数列的性质可得：a/x=x/b即x^2=ab，解得x=√(ab)。

六、等比数列的应用1. 判断一组数是否构成等比数列，可通过两项之比是否恒等于公比来判断。

2. 求等比数列的前n项和，可使用等比数列的前n项和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。

高二人数学必修五课件时等比数列的性质

以上内容仅供参考，具体教学内容和顺序请根据实际教学情况进行调整。
04
等比数列在生活中的应用举例
储蓄存款中的复利计算
复利概念
储蓄存款中的复利是指本金和利息共同产生的利息，即“利滚利
”现象。
等比数列与复利
在复利计算中，每期产生的利息构成等比数列，首项为本金与利率的乘积，公比为1加上利率。
计算方法
02
自然界中的等比现象
自然界中许多现象也呈现出等比关系，如音阶中相邻两个音的频率之比
、斐波那契数列中相邻两项的比值趋近于黄金分割比等。这些现象可以
用等比数列进行描述和分析。
03
计算机科学中的应用
在计算机科学中，等比数列也有广泛应用，如数据压缩算法中的哈夫曼
编码、图像处理中的图像缩放算法等。这些算法利用等比数列的性在概率论中，当事件相互独立时，可以利用等比数列的性质计算多个事件同时发生的概率。
概率生成函数
概率生成函数是概率论中用于描述离散随机变量分布的一种函数，它与等比数列密切相关，可以通过等比数列的性质研究概率生成函数的性质和计算方法。
统计推断中的应用
在统计推断中，有时需要利用等比数列的性质对样本数据进行处理和分析，如计算样本的几何均值和调和均值等。
现了高效的数据处理和图像变换。
05
等比数列与其他知识点联系
与等差数列对比分析
定义差异
等差数列是相邻两项之差为常数，而等比数列是相邻两项之比为常数。
性质对比
等差数列具有线性性质，如求和公式和通项公式；等比数列具有指数性质，如求和公式和通项公式涉及指数运算。
应用场景
等差数列在解决线性增长或减少的问题中常见，如计算平均速度；等比数列在解决指数增长或减少的问题中常见，如计算复利。

人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件

的公比，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比，公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中（1）an=akqn-k；（2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义：或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得

高中数学必修5：等差数列与等比数列知识对比表

高中数学必修5：等差数列与等比数列知识比较一览表等差数列等差数列等比数列等比数列定义一般地,如果一个数列{}n a 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个的前一项的差等于同一个常数常数d ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫公差．等差数列的等差数列的单调性单调性：数列{}n a 为等差数列,则当公差0d >，则为递增等差数列，，则为递增等差数列，当公差0d <，则为递减等差数列，，则为递减等差数列，当公差0d =，则为常数列．，则为常数列．一般地，如果一个数列{}n a 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ，那么这个数列就叫等比数列．这个常数q 叫公比．叫公比．等比数列的单调性：等比数列的单调性：数列{}n a 为等比数列,则当1q >时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递为递减数减数列；当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列当q=1时,该数列为常数列，也为等差数列; 当q<0时,该数列为摆动数列.判定判定方法方法等差数列的判定方法等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或 d a a n n =-+1(常数*ÎN n )Û{}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a （3）通项公式：b kn a n +=（b k ,是常数）是常数） Û数列{}n a 是等差数列是等差数列（4）前n 项和公式：数列{}n a 是等差数列是等差数列 Û2n S An Bn =+,（其中（其中AA 、B 是常数）。

高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质

数学必修5
第二章数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学必修5
第二章数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学必修5
第二章数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41，又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178，又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学必修5
第二章数列
【错因】上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似，但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的讨论和说明．

2018-必修5-等比数列(性质)

1、等比数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示（q ≠0），即： ①32121...n n a a a a a a -==== （q ≠0） ②1n n a a -=2、公比q 满足的条件是3、要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，1n na a +是一个不为0的常数就行了.1、如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G b G ab G a G=⇒=⇒=2、等比数列{a n }中，a 3=-6，a 7=-12，则a 3,a 7的等比中项为3、等比数列{a n }中，a 1=1,q=2，求a 4,a 8等比中项。

4、已知数列{b n }是等比数列，b 9是1和3的等差中项，则b 2b 16（）5．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是(b ，c )，则ad 等于 .以1,2,4,8,16,32,64,.... ...为例，分析：a 1a 7=a 2a 6=_____a 5=(a 4)2在等比数列{a n }中，m+n=p+q=2k ，则 a m a n =a p a q =( )21、在等比数列{a n }中，若a 7a 9=4,a 4a 12=_____.2、已知｛a n ｝是等比数列.若a 1=5，a 9a 10=100 ，求a 18；3、在等比数列{a n }中，若a 5a 6=8，a 2=2，则a 9=_____.4、在等比数列｛a n ｝中，若a 3=4，a 9=1，则a 6=5、在等比数列｛a n ｝中,若a 3=4，a 11=1，则a 7= .6、等比数列{a n }中，a 3=-6，a 7=-12，则a 5= ________7、在等比数列{a n}中, 若a1,a10是方程3x2-2x-6=0的两根，则a4a7=___________8、已知1,a,b,c,5五个数成等比数列，则b的值为（）9、若a,b,c成等比数列，则y=ax2+bx+c图像与x轴交点个数为________10、在等比数列{a n}中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11= .11、如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（）A、b=3,ac=9B、b=-3,ac=9C、b=3,ac=-9D、b=-3,ac=-912、在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2-11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）13、在等比数列｛a n｝中，b4=3，求该数列前七项之积，b1b2b3b4b5b6b7=_________ 14．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则a1a2a3a4a5=__________15、在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2-3x+2=0的两个根，则a6的值是________ 15．在83和272之间插入三个数，使这5个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．16、已知{a n}是等比数列,若a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25, 求a3+a5.1、在等差数列{a n}中，a3+a11=8，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8的值为（）A．2 B．4 C．8 D．162、已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a9=2(a5)2，则公比q=（）3、公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，那么log2a7＝( )4、若等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a20=e5，则lna1+lna2+…+lna20________．5、已知等比数列{a n}的首项a1=1公比q=2，则log2a2+log2a2+...+log2a11（）6、若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e3（e为自然对数的底数），则lna1+lna2+...+lna20= A．20 B．30 C．40 D．505、各项均为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为log2a7+log2a11的值为（）A．4 B．3 C．2 D．16、已知等比数列{a n}中，a1a4=10，则数列{lga n}的前4项和等于 .7、在正项等比数列{a n}中，若a2·a4·a6·a8·a10＝32，则log2a1+log2a11＝( )8、等比{a n}满足a n>0，n∈N*，且a3·a2n－3＝4(n>1)，则n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1、在等比数列中，a5a7＝6，a2＋a10＝5. 求a2，a10及q2、比数列{a n}中，a2+a7=66，a3a6=128，求等比数列的通项公式a n.3、在等比数列 {a n} 中，a5a7=2，a2+a10=3 ,a12/a4（）4、在等比数列{a n }中,a 1a 4＝8，a 2＋a 3＝6. 求a 2，a 3及q.5、在等比数列{a n }中,a 1 a 2a 3＝8，a 1+a 2+a 3＝7. 求a 2，a 1， a 3及q.1、若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8D ．162、等比数列{a n }的前n 项和S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意n ∈N ＋都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则公比________.3、设由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 2a 3a 4...a 30=230，则a 3a 6a 9...a 30等于（） A ．210B ．220C ．216D ．2154、若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则a n 等于________5、a,b,c 等比，m,n 分别是a,b 的等差中项，则ncm a=______________________1、在由正数组成的等比数列{a n }中,a 1+a 2=1，a 3+a 4=4则a 5+a 6=2、已知{a n }是等比数列，a 1+a 2=30,a 3+a 4=60，求a 7+a 8=___________3、已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6= （）4.已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )1. 等比数列的性质： (1)a n =a m q n-m（m,n ∈N *）；(2)对于k 、L 、m 、n ∈N*，若m+n=p+q ，则 .；(3)每隔k 项（k ∈N *）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列； (4)在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

高三数学必修5课件：等比数列

等比数列
学习目标
1.判断一个数列是否为等比数列. 1.判断一个数列是否为等比数列. 判断一个数列是否为等比数列 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 等比数列的通项公式的推导及应用 3.体会等比数列与指数函数的关系. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 体会等比数列与指数函数的关系
成等比数列。
能力训练
已知数列
{a n }是正数等比数列，q=2,
30
满足， 1a 2a 3.... 30 = 2 , 求a 3ia 6ia 9... a 30 i a a 的值。
能力训练
1. 已知数列
{a n } 满足， a
1
= 1,
a
n +1
= 2 a n + 1, 求 a n的通项公式。
an +1 an = q或 = q ( n ≥ 2) an an −1
等比数列的通项公式
an n −1 = q ( n ≥ 2 ) ⇒ an = a1q an −1
等比数列的性质
1 。从{an }中取出下标成等差的若干项 am+k，am+2 k，am+3k，仍成等比数列 ⋯
设 {an } 为公比为q的等比数列
2。m，n，p, q ∈ N +且m + n = p + q则am an = a p aq m + n = 2 p则am an = a p
n−m
2
an 3。an = am q ⇒ q = am 4。数列S n，S 2 n -S n，S3n -S 2 n，，Skn -S( k −1)n， ⋯ ⋯
n−m
也为等比数列

高中数学必修5等比数列的性质

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探究 2 在探究 1 中，若将 an＋1＝2an＋1 两边都加 1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？
【提示】在 an＋1＝2an＋1 两边都加 1 得 an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，以 q＝2 为公比的等比数列．
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a8＝
.
【解析】 ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24，∴a24＋a28＝41，又 a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7. 【答案】 7
又 cn＝an－1，∴q＝12.
∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．
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(2)由(1)可知 cn＝－12·12n－1＝－12n， ∴an＝cn＋1＝1－12n. ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n. 又 b1＝a1＝12，代入上式也符合，∴bn＝12n.
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已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－ 1(n≥2)，且 an＋Sn＝n.
(1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．【精彩点拨】 (1)先由 an＋Sn＝n，利用 Sn 与 an 的关系得{an}的递推关系式，然后构造出数列{an－1}，利用定义证明即可． (2)由(1)求出 an 代入 bn＝an－an－1(n≥2)即可．
又 a1＝1，故 b1＝a1－1 2＝－1，所以bn＋23是首项为－13，公比为 4 的等比数列，所以 bn＋23＝－13×4n－1， bn＝－4n3－1－23.

高中数学必修5 13.等比数列的概念

13.等比数列的概念教学目标班级：_____ 姓名：____________1.了解等比数列的定义；掌握等比数列的通项公式；掌握等比中项的性质.2.能熟练应用等比数列的通项公式解决有关问题.教学过程一、等比数列的概念.观察下面数列，看看它们有什么特点？（1） 1，2，4，8，16，……（2） 1，-21，41，-81，161，...... （3） 5，5，5，5，5，......_________________________________________________________________1.等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q 表示. 即)0(1≠=+q q a a nn . 注意：（1）等比数列的定义通常用来证明等比数列；（2）等比数列各项均不为0，公比也不为0.2.等比中项：若三个数c b a ,,构成等比数列，则b 叫做a 与c 的等比中项，且ac b =2，即ac b ±=.注意：（1）一般“三个数成等比数列”，用等比中项的性质来解决.（2）同号两数有等比中项（且有两值，互为相反数），异号两数无等比中项.3.等比数列的通项公式: 等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为q ，则其通项公式为_________________________________________________________________学法指导：学习等比数列时，注意与等差数列类比，找到它们的区别与联系.二、等比数列的应用.例1：在等比数列}{n a 中，203=a ，1606=a ，求10a .练1：在等比数列}{n a 中，321=+a a ，632=+a a ，求7a 的值.例2：求45和80的等比中项.练2：在等比数列}{n a 中，44=a ，则_____62=⋅a a .例3：已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且))(1(31*∈-=N n a S n n . （1）求1a ，2a ；（2）证明：数列}{n a 是等比数列.作业：等比数列x ，33+x ，66+x ，...的第4项是多少？。

高中数学必修五-等比数列

等比数列知识集结知识元等比数列的通项公式知识讲解1．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．例题精讲等比数列的通项公式例1.若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=64，则a6等于（）A．1B．2C．4D．8例2.已知等比数列{a n}前9项的积为512，且a8=32，则a2=（）A．B．C．D．例3.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1∙a4=32，a2+a3=12，则下列说法错误的是（）A．q=2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8=510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列等比数列的性质知识讲解1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，a n为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S n＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．例题精讲等比数列的性质例1.已知等比数列{a n}中a5=1，若+++=5，则a2+a4+a6+a8=（）A．4B．5C．16D．25例2.等比数列{a n}的各项均为正数，且a4a6+a3a7=18，则log3a1+log3a2+log3a3++log3a9=（）A．12B．10C．9D．2+log35例3.已知数列{a n}为等比数列，且a2a3a4=-a72=-64，则tan=（）A．B．C．D．当堂练习单选题练习1.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=（）A．16B．64C．128D．256练习2.在等比数列{a n}中，a1=1，=8，则a6的值为（）A．4B．8C．16D．32练习3.等比数列{a n}的各项均为正数，已知向量=（a4，a5），=（a7，a6），且∙=4，则log2a1+log2a2+…+log2a10=（）A．12B．10C．5D．2+log25练习4.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2B．4C．8D．16练习5.设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5<K6，K6=K7>K8，则下列结论错误的是（）A．0<q<1B．a7=1C．K9>K5D．K6与K7均为K n的最大值填空题练习1.已知数列{a n}的前n项和S n=3n-1，则首项a1=___，通项公式a n=________．练习2.已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a3∈（1，2），a4∈（2，4），则a6的取值范围为__．练习3.在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a8+a9+a10=_____．练习4.在等比数列{a n}中，a4，a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根，则a2a6a10=____．练习5.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=_____．练习6.已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*，sin a n=1，则数列{a n}公比q的取值集合为______________．解答题练习1.'（1）在等差数列{a n}中，已知a1=3，d=4，a n=59，求n；（2）在等比数列{a n}中，已知，求a1与q．'练习2.'已知等差数列{a n}中，a2+a3=14，a4-a1=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a1，b3=a3，若b6=a m，求实数m的值．'练习3.'已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a>0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）当{b n}是公比为a-1的等比数列时，{a n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．'。

必修5《等比数列》剖析

q ≠0
n ∈N +)
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
an=2 n－1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
1 an 2 n 2
an 8 7
·
可见，表示这个等比数列 x 1 的各点都在函数 2 的图象上，如右图所示。
6
5 4
y 2
·
3
· an 的图象是其对应的结论：等比数列
n n
bn 的公比为证明：设数列a n 的公比为p， q，那么数列 a n bn 的第n项与第n+1项分 n 1 n n 别为 a1p n 1 b1q n 1 与 a1p b1q ，即 a1b1 (pq) n 与 a1b1 (pq) ．
因为
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq 为公比的等比数列．
n n
bn 的公比为证明：设数列a n 的公比为p， q，那么数列 a n bn 的第n项与第n+1项分 n 1 n n 别为 a1p n 1 b1q n 1 与 a1p b1q ，即 a1b1 (pq) n 与 a1b1 (pq) ．
因为
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq 为公比的等比数列．
2.中项法:
an1 an1 an ( 0)
2
三个数a,b,c成等比数列
2 ac b
五、等比数列的性质
1、若m, n, p, q N , 且m n p q,
则a m a n a p a q
2、a1 .an a2 .an1 a3 .an2 ...
3.如果 a n bn 是项数相同的等比数列,那么 a n bn 也是等比数列．

必修5 2.4.2等比数列的性质及简单应用

64
练习:

⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458 . ⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
6 _ a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= . ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 270 或-270 a60 =__________.
n
n 2
2an1 2(an1 2an )
∴ bn1 2bn
即 bn 是公比为2的等比数列 2 ∵
an cn n 2
bn 3 2n1
∴
n1
c n 1 cn
a n 1 a n a n 1 2a n bn 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n 1

⒋在等比数列 {an} 中， a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .
解题技巧的类比应用：三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。

分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数 a 再由方程组可得：q=2 为：， a,a • q. q
由①得：
q
2
代入②得： a 2 , q 5 或
5 a 9
4பைடு நூலகம் 2 a
38 ,q 5
5 38 1444 , , 故原来的三个数是：2,10,50. 或 9 45 9
Sn 是它的前 n 项和，并且练习:已知数列 an 中，
a1 1, Sn1 4an 2.
1 2
设 bn an1 2an ,求证数列 bn 是等比数列；设 cn