高三理科数学上学期质量检测
陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测理科数学试题
陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测理科数学一、单选题（共60分）1.已知集合{}2,M x x n n Z ==∈，{}2,N x x n n Z ==+∈，则M N = （）A.∅ B.MC.ND.R 2.在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则2z =（）A. B. C.2i D.2i-3.若偶函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是（）A.2个 B.3个 C.4个 D.多于4个4.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3V kD =，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a ），等边圆柱（底面圆的直径为a ），正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k =）A.::232ππ B.::264ππ C.::132ππ D.::164ππ5.设函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上为增函数，在,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，则ω的可能取值为（）A.362k +，k Z ∈ B.32 C.364k +，k Z ∈ D.346.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且212cos 7sin 240αα+-=，若tan()3αβ+=，则tan β=（）A.113- B.711-或1 C.1 D.113-或－77.设两个独立事件A ，B 都不发生的概率为19.则A 与B 都发生的概率值可能为（）A.89 B.23 C.59 D.298.若x ，y 满足条件202602x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y =+的最小值是（）A. B.2 C.4 D.6899.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20190S >，20200S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（）A.1009 B.1010 C.1011 D.101210.如图，已知1F ，2F 是双曲线C ：()22221,0y b a bx a -=>的上、下焦点，直线12l F F ⊥且l 与双曲线C 交于A ，B 两点，若2F AB △是正三角形且点1F 是2F AB △的内心，则双曲线C 的离心率是（） A.312+B.+C. D.6211.设2021ln 2019a =，2020b =，2019ln 2021c =，则（）A.a b c >> B.c b a >> C.a c b >> D.b a c>>12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11B D 上的动点，则下列说法不正确的是（）A.直线DP 与1BC 是异面直线B.CP ∥平面1A BDC.1A P PB +的最小值是2D.当P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球半径为32二、填空题（共20分）13.已知非零向量a ，b 满足a b a b +=- ，且a b = ，则a 和b a - 的夹角为_________.14.52(31)1x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________.15.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进米后到点E 后，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为_________米.16.若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题（共70分）（一）必考题：共60分.17.（本题12分）某研究机构为了研究华为公司由于技术创新对订单产生的影响，调查了技术创新前、后华为（1）是否有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单？（2）现从技术创新前、后华为在欧洲的订单数中，采用分层抽样的方法抽取5个进行调查，若从抽得的5个订单中随机抽取2个进行调查结果的比较，求这2个订单中恰好有一个是技术创新后的订单的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d +++-+=，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.706 3.841 6.63510.82818.（本题12分）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-.19.（本题12分）已知抛物线C ：23y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB = ，求AB .20.（本题12分）已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为.设二面角P AC B --与二面角P BC A --的大小分别为α，β.（1）求2211tan tan αβ+的值；（2）若tan βα=，求二面角A PC B --的余弦值.21.（本题12分）已知函数()(0)x f x ae a ≠，21()2g x x =.（1）当2a =-时，求曲线()f x 与()g x 的公切线方程；（2）若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，且213x x ≥，求实数a 的取值范围.（二）选考题：10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=->与直线l 交于点A ，点B 在曲线C 上，且3AOB π∠=，求AB .23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2g x x =-，()f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式1()()02g x f x -->；（2）若正数a ，b ，c ，d 满足22(4)a b g +=，221c d +=，求ac bd +的最大值.第三次质量检测数学参数答案题号123456789101112答案B DCD D A D B B A A C 13．135°14．3115．1516．]1，（∞-11．设211ln ln (),()+1(1)x x x f x f x x x +-'==+，当2[e ,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<在2[,)e +∞上单调递减，(2019)(2020)f f >，即ln 2019ln 202020202021>，2021ln 20192020ln 2020>，所以a b >；设211ln ln (),()1(1)x x x g x g x x x --'==--，当2[e ,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '<在2[,)e +∞上单调递减，(2020)(2021)g g >，即ln 2020ln 202120192020>，2020ln 20202019ln 2021>，所以b c >，所以a b c >>.故选：A.12．C C 选项，延长1BB 到2B ，使得1211B B B D ==21B D ，在21B D 上取点M ，使得11111D M A D ==，则111A D P MD P ≅ ，有1MP PA =.故1A P PB MP PB BM +=+≥.过点M 作12MN B B ⊥，交12B B 于点N ，在121B B D 中，因为1211B B B D ==，所以212B D =，又111D M =，所以2MN=，1B N ，1BN =BM ==所以1A P PB +，故选项C 错误；16解：设()(0)x a f x e lnx a x -=-->，则()0f x 对一切正实数x 恒成立，即()0min f x ，由1()x a f x e x -'=-，令1()x a h x e x -=-，则21()0x a h x e x -'=+>恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞，则在(0,)+∞上，存在0x 使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <，当0x x >时，()0h x >，故函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，所以函数()f x 在0x x =处取得最小值为000()0x a f x e lnx a -=-- ，因为001x a e x -=，即00x a lnx -=-，所以0010x a a x +-- 恒成立，即0012a x x + ，又0012x x += ，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，故22a ，所以1a ．故选：C ．17．（1）有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单；（2）35.（1）由题意知，22150(20403060) 5.357 3.841708050100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单.（2）由题意知，从技术创新前､后的订单数中应分别抽取的订单数为2个和3个.将来自技术创新前的订单分别记作12,A A ，来自技术创新后的订单分别记作123B B B ，，.则从这5个订单中抽取2个订单的所有结果有()()()()()()121112132122,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B ，()()()()23121323,,,,,,,A B B B B B B B ，共10种，其中恰有一个是来自技术后的订单的结果有()()()()()()111213212223,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共6种，故所求概率63105P ==.19．（1）2n n a =；（2）2382(1)55n n +--（1）设等比数列{}n a 的公比为q （q >1），则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=.（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.20．（1）12870x y --=；（2（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+=则()2212121440m m ∆=-->12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --=（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --=则4120t ∆=+>13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3A P P B = 123y y ∴=-21y ∴=-，13y =123y y ∴=-则AB ==21．（1）12；（2）（1）连结PO ，OC ．因为PA PB =，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥．因为C 是圆O 上异于A ，B 的一点，AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥，从而AO CO =．又因为PA PC =，PO PO =，所以 ≌PAO PCO ，所以∠=∠POC POA ，即PO AC ⊥．因为,AO CO ⊂平面ABC ，AO CO O = ，所以PO ⊥平面ABC ．分别取AC ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，OM ，PN ，ON ，则在圆O 中，OM AC ⊥．由PO ⊥平面ABC ，得PO AC ⊥．又PO OM O = ，故AC ⊥平面PMO ，所以AC PM ⊥．所以∠=PMO α．同理，∠=PNO β．于是22222222111tan tan 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭OM ON OC OC OP OP OP AP OA αβ．（2）因为tan βα，所以BC ==在圆O 中，CA CB ⊥，以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．则(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,B ．又因为PO ⊥平面ABC，所以OP//z轴，从而P ．则(2,0,0)CA =，=CB，= CP ．设平面PAC 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m CA m CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，不妨取y =0x =，z =，此时(0,m = ．同理，平面PBC的一个法向量n = ．所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅ A PC B --为钝二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为22．（1）22y x =--；（2）ln 3]解：（1）2a =-时，()2x f x e =-，设曲线()f x 上的切点为11(,2)x x e -，则切线方程为11122()x x y e e x x +=--，设曲线()g x 上的切点为2221(,)2x x ，则切线方程为22221()2y x x x x -=-由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则1202x x =⎧⎨=-⎩，所以，公切线方程为22y x =--；（2）21()()2x y f x g x ae x =-=-，x y ae x '=-，设其零点为1x ，2x ，1212x x ae x ae x -=- ，1212x x x x a e e ∴==，令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1k x k =-令ln ()(3)1x h x x x =≥-，211ln ()(1)x x h x x --'=-，又令1()1ln (3)t x x x x =--≥，21()0x t x x -'=<，则()t x 单调递减，2()(3)ln 303t x t ≤=-<，()0h x '∴<，()h x 单调递减，ln 3()2h x ≤，易知()0h x >，1ln 3(0,2x ∴∈，令()x x x e ϕ=，1()x x x e ϕ-'=，则()ϕx 在(,1]-∞上递增，113]x xa e ∴=∈23．（1）4sin ρθ=，0x -=；（2）2.（1）曲线C 的普通方程22(2)4x y +-=，所以极坐标方程为4sin ρθ=.由cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(cos cos sin sin )33ππρθθ-=即cos sin ρθθ=l的直角坐标方程为0x -=.（2）由,6cos 3πθπρθ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩得2,,6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭射线OB 的极坐标方程为63ππθ=-+，即6πθ=.由,64sin ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3AOB AOB π∠=∴ 为等边三角形，2AB ∴=24．（1）5|4x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（2.（1）当1a =时，()()102g x f x -->，即1212x x --->，当1x ≤时，()1212x x --->，即112>恒成立，故1x ≤，当12x <<时，()()1212x x ---->，即1322x ->，解得：514x <<，当2x ≥时，()()1212x x --->，112->不成立，不等式无解，综上，不等式的解集是5|4x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（2）由题意得：()224422a b g +==-=，且221c d +=，()()()2222ac bd ac abcd bd ∴+=++()()()()2222ac bd ad bc ≤+++()()22222a b c d =++=，ac bd ∴+≤a ，b ，c ，d 都是正数，∴当且仅当1a b ==，c d ==“=”，ac bd +。
上学期高三质量检测理科试题
广西省南宁二中—上学期高三质量检测数学试题（理科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n （k ）=kn k k n P P C --)1(球的体积公式：334R V π=球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i i212+-= （ ）A ．i -B ．iC ．1D ．—12．已知集合N C N Z x x x M M 那么},2,1{},,2|1||{=∈≤-=等于 （ ）A ．{1，2}B ．{—1，0，3}C ．{0，3}D ．{—1，0，1}3．长方体的对角线长度是25，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．π220B ．π225C ．π50D ．π200 4．在等差数列d a a a a n 则公差中,3,8,}{231==⋅= （ ）A ．1B ．—1C ．1±D ．2± 5．已知单位向量|2|,3,b a b a +那么的夹角为π等于（ ） A ．7 B ．3C ．7D ．66．αβα//,,,,a b a 则表示直线表示平面的一个充分不必要条件是 （ ）A ．ββα⊥⊥a 且B ．b a b //且=βαC ．αα////b b 且D ．b a //且βα7．在平面直角坐标系，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a的值是（ ）A ．223+B ．223+-C ．—5D ．18．设函数)(),0(1)6sin()(x f x x f 则>-+=ωπω的图象的一条对称轴的方程是 （ ）A ．9π=x B ．6π=x C ．3π=x D ．2π=x9．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别分层随机抽样，试问能组成课外兴趣小组的概率是 （ ）A ．615615A CB ．61535310C C C C ．61525410C C C D ．61525410A C C 10．设数列=+++=+=∞→+n n n n n n n P a a a a a a P n S n a lim ,111,1}{132212则项和的前 （ ）A ．61B ．31 C ．21 D ．1 11．已知函数)(,42)(x f x x x f 则函数-+=的值域为（ ）A ．[2，4]B ．]52,0[C ．]52,4[D ．]52,2[12．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 （ ） A ．6种 B ．8种 C ．36种 D ．48种二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三上学期教学质量检测(四)理科数学试题(解析版)
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理角化边可证；
（2）先求得 ，再根据 计算面积．
【小问1详解】
证明：∵外接圆半径为 ，且 ，
∴ ，
由正弦定理得
，
；
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故等比数列 的公比q＝3，
令n＝1，得 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由题可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
19.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）不等式 的最小值为 ，若 ， 为正数，且 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式 的解集.
【答案】
【解析】
【分析】设出 ， ， ，结合题干条件得到 ， ，从而求出四棱台的体积和外接球的体积，得到比值.
【详解】设 ， ， ，
因为以 为球心， 为半径的球与平面 相切，所以 ，
因为 是该四棱台的外接球球心，所以 ，即 ，
所以四棱台的体积 ，
且外接球 体积 ，则 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
由上知 ，有 （当且仅当 时取等号），
又有 ，（当且仅当 时取等号），
故有 .
【点睛】基本不等式的运用，常见的有 ，也即 ，要注意等号成立的条件.
20.如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， 底面AB ，且 分别为 中点.
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷含答案
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。
若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一 个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。
2020届高三上学期期末理科数学质量检测卷(全解全析)
2020届高三上学期期末教学质量检测卷理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设z=i（2+i），则z=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i2．已知集合M={x|x2+x–2<0}，N={x|log2x<1}，则M∩N=A．（–2，1）B．（–1，2）C．（0，1）D．（1，2）3．二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2的系数是A．5 B．–20 C．20 D．–54．已知变量x，y满足240260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，，则k13yx+=-的取值范围是A．k12>或k≤–5 B．–5≤k12<C．–5≤k12≤D．k12≥或k≤–55．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师．若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是A．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师6．若ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin 5α=，()sin 10αβ-=-，则sin β=A ．10 B ．2C ．12D ．1107．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照“语文、数学、英语”+“6选3”的模式设置的其中，“6选3”是指从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理6科中任选3科．某考生已经确定选一科物理，现在他还要从剩余的5科中再选2科，则在历史与地理两科中至少选一科的概率为A ．310B ．35 C ．710D ．458．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A ．BC ．2D ．49．函数()sin 2f x x x =在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和是A ．π3- B ．π6- C ．π6 D ．π310．已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1，则异面直线A 1D 与B 1D 1所成角为A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π211．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 1与C 交于M ，N 两点，则M ，N 两点到直线l 2：x –y +1=0的距离之和的最小值为A B ．2C ．34D ．12．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点O 1为球心的球面上，且AB =AC =AD BC =BD CD =8．若球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切，则球O 2直径的最大值为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知|a |=1，|b |=2，向量a 与b 的夹角为2π3，=c 2+a b ，|c |等于__________． 14．已知O 是椭圆E 的对称中心，F 1，F 2是E 的焦点．以O 为圆心，OF 1为半径的圆与E 的一个交点为A ．若1AF 与2AF 的长度之比为2：1，则E 的离心率等于__________．15．设函数f （x ）=ln x +ax 232x -，若x =1是函数f （x ）是极大值点，则函数f （x ）的极小值为__________．16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B +b cos A =2，sin sin A B C ⋅=，则△ABC周长的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）数列{a n }中，a 1=1，a n +a n +1=λn +1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求λ的值；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =1，AD =2，CD = （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若M 是棱PC 上的一点，且满足3PM MC =，求二面角M –BQ –C 的大小．19．（本小题满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 20．（本小题满分12分）已知圆(2264M x y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，，点G 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线12y x =和12y x =-分别交于P 、Q 两点，当1|2k >时，求△OPQ （O 为坐标原点）面积的取值范围． 21．（本小题满分12分）设函数23()ln(1)f x x x a x =-++，其中0a ≠．（1）若4a =-，求曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程；（2）若函数23()()2g x f x x =+在定义域内有3个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N ，使得当n N ≥时，不等式311ln n n n n+->恒成立？若存在，求出N ，若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，直线l的参数方程为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求直线l及曲线C1的直角坐标方程，并判断曲线C1的形状；（2）已知点P（1，1），直线l交曲线C1于A，B两点，求11PA PB的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知f（x）=|x–1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）>4的解集；（2）若关于x的不等式|x+1|–|x–m|≥|t–1|+|2t+3|（t∈R）能成立，求实数m的取值范围．2020届高三上学期期末教学质量检测卷03理科数学·全解全析1．【答案】D【解析】∵z=i（2+i）=–1+2i，∴z=-1–2i，故选D．2．【答案】C【解析】集合M={x|x2+x–2<0}=（–2，1），N={x|log2x<1}=（0，2），则M∩N=（0，1），故选C．3．【答案】A【解析】二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2是从5个式子中取3个12x和2个–2y相乘，∴二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2的系数是：332252110C()C(2)428-=⨯=5．故选A．4．【答案】A【解析】由变量x，y满足240 260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，作出可行域如图，由260xx y=⎧⎨+-=⎩解得A（2，4），k13yx+=-的几何意义为可行域内动点与定点D（3，–1）连线的斜率．∵k DA4123+==--5，x–2y+4=0的斜率为12，∴k13yx+=-的取值范围是k12>或k≤–5．故选A．5．【答案】C【解析】“甲的年龄和英语老师不同”和“英语老师的年龄比乙小”可以推得丙是英语老师，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比语文老师大”，可知甲是语文老师，故乙是数学老师．故选C．【解析】ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin α=可得cos α==()sin αβ-=，可得sin αcos β–cos αsin β10=-5cos β5+sin β10=-，即2cos β+sin β=sin 2β+cos 2β=1，解得sin β=B ． 7．【答案】C【解析】5选2共有n 25C ==10种结果，历史和地理至少选一科有两种情况：第一种情况为选一科的，共有1123C C =6种结果，第二种情况为两科都选的，结果有22C =1种结果，∴在历史与地理两科中至少选一科的概率为：P 6171010+==．故选C ． 8．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD =DC =BD =2，∠ADC =120°，BD ⊥平面ADC ，其直观图如图所示：AB =BC ，AC底面△BCD 的面积为：12⨯2×2=2，侧面△ABD 的面积为：12⨯2×2=2，侧面△ADC 的面积为：12⨯2×22=ACB 是腰长为，底长=12⨯=B ．【解析】令函数()sin 2f x x x ==2sin （2x π3-）=0，可得2x π3-=k π，求得x ππ26k =+，k ∈Z ．根据x ∈区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得x π3=-，π6， 故函数在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和为πππ366-+=-，故选B ．10．【答案】C【解析】连接BD ，BA 1，因为B 1D 1∥DB ，所以∠A 1DB （或其补角）为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角， 在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =DB =A 1B =A 1DB π3=，故选C ．11．【答案】A【解析】由于抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），直线l 1的斜率不为0，所以可设直线l 1的方程为ty =x –1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，y 2–4ty –4=0，∴y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=2+4t 2， ∴线段MN 的中点Q 的坐标为（2t 2+1，2t ）．设点M 到直线l 的距离为d M ，点N 到直线l 的距离为d N ，点Q 到直线l 的距离为d ， 则d M +d N =2d，∴当t 12=时，可使M 、N 两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为2．故选A ．12．【答案】D【解析】如图三棱锥A –BCD ，底面为等腰直角三角形，斜边为CD ，底面圆心为CD 中点F ，由AB =AC =AD ，可得AF ⊥平面BCD ，球心O 1在直线AF 上，AF ==2，设球O 1的半径为r 1，可得r 12=（r 1–2）2+16，解得r 1=5，由球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切， 则球心O 2在直线AE 上，球O 2直径的最大值为10–2=8．故选D ．13．【答案】2【解析】由题意可得 a •=b 1×2×cos 2π3=-1，2=c 42+a 4a •2+=b b 4×1+4×（–1）+4=4，∴|c |=2．故答案为：2．14 1【解析】设椭圆方程为2222x y a b+=1（a >b >0），圆的圆心为原点，半径为c ，若1AF 与2AF 的长度之比为2：1，可得∠AOF 1=120°，∠AOF 2=60°，即有|AF 2|=c ，|AF 1|=，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=+c =2a ，则ec a ===11．15．【答案】ln2–2【解析】函数f （x ）=ln x +ax 232x -，函数定义域为：（0，+∞），f ′（x ）1x =+2ax 32-，若x =1是函数f （x ）是极大值点，则f ′（1）=0，解得a 14=，所以f （x ）=ln x 14+x 232x -，f ′（x ）112x =+x ()()2312332222x x x x x x ---+-==，当f ′（x ）>0时，0<x <1或x >2，函数在（0，1）和（2，+∞）上单调递增， 当f ′（x ）<0时，1<x <2，函数在（1，2）上单调递减，所以函数在x =1时有极大值；函数在x =2时有极小值为：f （2）=ln2–2，故答案为：ln2–2． 16．【答案】6【解析】由a cos B +b cos A =2得，c =2，设△ABC 的外接圆的直径为2R ，AB 边上的高为h ，∵12ab sin C 12=ch ，即12⨯2R sin A ×2R sin B sin C 12=⨯2h ，即12（2R ）22⨯（sin C ）2=h ，2=h ，∴h =4=C 作AB 的平行线l ，设A 关于l 的对称点为A 1，则AC =A 1C ，∴AC +BC =A 1C +BC ≥A 1B ==4，（当且仅当A 1，C ，B 三点共线时取等号．） 故三角形周长的最小值为2+4=6．故答案为：6．17．【解析】（1）易得a 2=λ，a 3=λ+1，a 4=2λ，（2分）∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴2214a a a =⋅，∴λ2=1•2λ，∴λ=2或λ=0，（舍去） ∴λ=2．（4分）（2）方法一：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1，（5分）n 为偶数时，S n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a n –1+a n ）=3+7+11+…+（2n –1）()2321222nn n n+-+==，（8分） n 为奇数时，S n =a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a n –1+a n ）=1+5+9+13+…+（2n –1）()21121222n n n n++-+==，（11分） 综上，{a n }的前n 项和22n n nS +=．（12分）方法二：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1， 由1122123n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，得a n +2–a n =2，（6分）n 为奇数时，11122n n a a n +⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭，（8分） n 为偶数时，2122n n a a n ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，（10分） ∴a n =n ，（11分）∴22n n nS +=．（12分）方法三：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1， ∴a n +1–（n +1）+a n –n =0，（7分） 设b n =a n –n ，∴b n +1+b n =0，∴b n +1=–b n ， ∵b 1=a 1–1=0，∴b n =0，∴a n =n ，（10分）∴22n n nS +=．（12分）18．【解析】（1）∵AD ∥BC ，BC 12AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC =90°，∴∠AQB =90°，∴QB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（5分） （2）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，如图，以Q 为原点，分别以QA ，QC ，QP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 平面BQC 的法向量为=n （0，0，1），Q （0，0，0），P （0，0B （00），C （–1，0），设M （x ，y ，z ）， 则PM =（x ，y ，z ），MC =（–1–xy ，–z ），（9分）∵PM =3MC ，∴())()3133x x y y z z ⎧=--⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得34x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴M （34-，4，4），设平面MBQ 的法向量=m （x ，y ，z），则30304QB y QM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ， 取x =1，得=m （1，0M –BQ –C 的大小为θ，则cos θ=|cos ，m n |⋅===⋅m n m nθπ6=， ∴二面角M –BQ –C 的大小为π6．（12分）19．【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100–5–30–25=40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率P40100==0.4．（4分）（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X=0）18101806 302575025 =⨯==，P（X=1）1815121039013 3025302575025 =⨯+⨯==，P（X=2）12151806 302575025 =⨯==，∴X的分布列为：数学期望E（X）012252525=⨯+⨯+⨯=1．（8分）（3）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p 33330C 1C 4060==，虽然概率较小，但发生的可能性为14060． 故不能认为认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．（12分） 20．【解析】（1）已知圆(2264M x y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，， B 为AN 的中点，且GB ⊥AN ，得GB 是线段AN 的中垂线， ∴|AG |=|GN |，又|GM |+|GN |=|GM |+|GA |=|AM=|MN |， ∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，设椭圓方程为2222x y a b +=1（a >b >0），则a =4，cb ==2∴曲线C 的方程为：22164x y +=1．（4分） （2）直线1：y =kx +m （k ≠12±），则由题意y =kx +m ， 与22164x y +=1联立方程组，消去y ， 可得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2–16=0； 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以∆=64k 2m 2–4（1+4k 2）（4m 2–16）=0，即m 2=16k 2+4．① 又由y =kx +m 与x –2y =0，可得P （212m k -，12mk-）， 同理可得Q （–212m k +，12mk+），（8分） 由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|PQ|=x P –x Q |，S △OPQ 12=d |PQ|=|x P –x Q |=|22214m k -|，②将①代入②可得：S △OPQ 12=d |PQ|=|x P –x Q |=|22214m k -|=8|224141k k +-|， 当k 214>时，S △OPQ =8|224141k k +-|=8（224141k k +-）=8（12241k +-）>8， 综上，△OPQ 面积的取值范围是（8，+∞）．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，知()f x 的定义域为． 当4a =-时，23()4ln(1)f x x x x =--+，（1分） 则(0)0f =，即切点为(0,0)A ． 又因为24()231f x x x x '=--+，所以切线的斜率(0)4k f '==-，（3分） 故曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程为4y x =-．（4分） （2）22335()()ln(1)22g x f x x x x a x =+=-++，定义域为，所以2()53g x x x '=-2325311a x x x ax x +-++=++． 所以由题意知方程()0g x '=在上有3个不同实数根， 即方程32325a x x x =--在上有3个不同实数根．令32()325(1)h x x x x x =-->-，则y a =与()y h x =的图象有3个不同交点． 而2()945(95)(1)h x x x x x '=--=+-，（7分）易证()h x 在5(1,)9--和(1,)+∞上单调递增，在5(,1)9-上单调递减，且5400(1)0,()9243h h -=-=，(1)4h =-．结合y a =与()y h x =的图象，两者有3个不同交点时，需满足4000243a <<． 故符合题意的实数a 的取值范围为400(0,)243． （3）当1a =-时，函数23()ln(1)(1)f x x x x x =--+>-，21()231f x x x x '=--=+323(1)1x x x ---+，（9分） 则当[0,)x ∈+∞时，()0f x '<恒成立，故函数()f x 在上单调递减；),1(+∞-),1(+∞-),1(+∞-),1(+∞-),0[+∞又(0)0,f =则当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0f x f <=， 即23ln(1)x x x -<+对(0,)x ∈+∞恒成立． 只需取，则有恒成立． 故存在最小正整数1N =，使得n N ≥时，不等式311lnn n n n+->恒成立．（12分） 22．【解析】（1）∵直线l的参数方程为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．∴直线l的直角坐标方程为)11y x -=-，1y =+-∵曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，∴曲线C 1的直角坐标方程为（x –2）2+（y –2）2=8，是以（2，2）为圆心，5分） （2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程得)2160t t --=．记该方程的两根为t 1，t 2，由直线参数方程的几何意义可得|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，121t t +=，t 1t 2=–6，故1212121211t t t t PA PB t t t t +-+===．（10分） 23．【解析】（1）由题意可得|x –1|+|2x +3|>4，当x ≥1时，x –1+2x +3>4，解得x ≥1；当32-<x <1时，1–x +2x +3>4，解得0<x <1； 当x 32≤-时，1–x –2x –3>4，解得x <–2．可得原不等式的解集为（–∞，–2）∪（0，+∞）．（5分）（2）由（1）可得|t –1|+|2t +3|32134123322t t t t t t ⎧⎪+≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，，，， ),0(1+∞∈=n x 3211)11ln(nn n ->+可得t32=-时，|t–1|+|2t+3|取得最小值52，关于x的不等式|x+1|–|x–m|≥|t–1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为52≤|x+1|–|x–m|的最大值，由|x+1|–|x–m|≤|m+1|，可得|m+1|52≥，解得m32≥或m72≤-．（12分）。
高三数学上学期质量检测数学(附答案)
第一学期高三年级质量检测数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分。
在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。
1．奇函数y =f （x ）（x ≠0）：当x ∈（0：+∞）时：f （x ）=x －1：则函数f （x －1）的图象为（ ）2. 设a >b >c ：且ca nc b b a -≥-+-11：则n 的最大值为 （ ）3．命题甲：2≠x 或3≠y ：命题乙：5≠+y x ：则 （ ） A.甲是乙的充分非必要条件： B.甲是乙的必要非充分条件：C. 甲是乙的充要条件：D.甲既不是乙的充分条件：也不是乙的必要条件.4．函数1)42(sin )42(cos )(22-++-=ππx x x f 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D 。
周期为2π的偶函数5．双曲线的焦点在y 轴上：且它的一个焦点在直线5x -2y +20=0上：两焦点关于原点对称：35=a c ：则此双曲线的方程是（ ） A.1366422-=-y x B.1366422=-y x C.1643622-=-y x D.1643622=-y x 6. 函数x x x f +=3)(：R x ∈：当20πθ≤≤时：0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立：则实数m 的取值范围是 （ ）A. )1,0(B. )0,(-∞C. )21,(-∞ D 。
)1,(-∞ 7. 已知函数)(x f y =的定义域为R ：它的反函数为)(1x fy -=：如果)(1a x f y +=-与)(a x f y +=互为反函数且a a f =)(。
（a 为非零常数）则)2(a f 的值为 （ ） A ．a - B 。
0 C 。
a D 。
a 28．数列}{n a 满足121,12210,2{1<≤-<≤=+n n n n n a a a a a ：若761=a ：则2004a 的值为（ ） A.76 B. 75 C. 73 D 。
陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)
（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x 2 x3 x e x 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．m，n 为空间中两条不重合直线， 为空间中一平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 m // n ， n ，则 m / /
B．若 m ， m // n ，则 n
7．A 【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
y
cos
2x
3
cos
2x
5 6
2
sin
2x
5 6
sin
2
x
5 12
故可由
y
sin2x 的图象向左平移
5 12
个单位长度得到.
故选：A.
8．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
三、解答题
17．已知 a,b, c 分别为 ABC 内角 A, B,C 的对边，且 2b a cosC c cosA
(1)求角 C ； (2)若 c2 2ab,ABC 的面积为 3 ，求 a b 的值. 18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形， ABB FA 2ED 2 .
A．
1 3
B． 2 5
C．
1 2
D． 3 5
11．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的实轴的两个端点与抛物线
x2
8by
的焦点是一个直
角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是A．B．C．D．2. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic ，模型：，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：，）A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元3. 若函数满足，且当时，，则（ ）A ．－1B．C ．0D．4. 若复数满足，则（ ）A．B．C．D．5. 设函数，则（ ）A ．-8B ．-6C ．6D ．86. 把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种7.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8. 已知中，，，，点P 为边AB 上的动点，则的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．49. 下列说法正确的是（ ）A．经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点B ．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C ．设随机变量服从正态分布，若，则D ．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变10. 下列命题正确的有（ ）A ．空间中两两相交的三条直线一定共面B ．已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线C ．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行D ．已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或11. 设，为正实数，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题三、填空题四、解答题12. 若，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A．B．C．D．13. 已知集合，，若则实数的值为________14. 已知抛物线的焦点为F ，斜率为1的直线l 过F 与C 交于A ，B 两点，AB 的中点到抛物线准线的距离为8，则______．15. 已知，且，则等于______．16.已知函数的最大值为2．(1)求函数在上的单调递减区间；(2)中，，，分别是角，，所对的边，，，且，求的面积．17. 人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015年－2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x 表示年份代码(2015年用1表示，2016年用2表示，依次类推)，用y 表示市场规模(单位：亿元)，试回答：(1)根据条形统计图中数据，计算变量y 与x 的相关系数r ，并用r 判断两个变量y 与x 相关关系的强弱(精确到小数点后2位)；(2)若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2022年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元).附：线性回归方程，其中；相关系数；参考数据：.18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知.（1）求角B 的大小；（2）求的取值范围.19. 如图，在三棱锥中，分别是AC ，PC 的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．(1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．(2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．21. 如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直.已知，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设几何体、的体积分别为，求的值.。
河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期9月质量检测试题数学理科试卷
(2) 2 3 + 6
【18 题答案】
【答案】(1)0, 2 ；
(2){m∣m 11}.
【19 题答案】
【答案】(1)
f
(x)
=
2sin
2x
+
3
(2) a − 2 3 【20 题答案】
【答案】(1) f ( x) (0, 2) 上单调递增,在 (2, +) 上单调递减；
(2)
0,
1 2
(1)若 x = 1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 的单调区间；
(2)若关于 x 的方程 f (x) =1+ ln a 恰有一个解,求 a 的取值范围.
22.已知函数 f ( x) = sin x cos 2x , g ( x) = a + cos x sin 2x .
(1)求 g ( x) 在 (0, π) 上的极小值点；
0
称#所以)'#/3(/(''!%#(=0'%0! /'!
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上学期高三第三次质量检测数学理科 试题
；
2
15、假设实数 a，b 满足 a＋b＝2，那么 3a 3b 的最小值是
.
16、16、在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差
数列，每一纵列成等比数列，那么 a b c 的值是
.
三、解答题〔此题一共 6 小题 74 分，应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤〕
2
17、〔满分是 12 分〕如图，| BC | 2 | AB || OA | 2a, ∠OAB＝∠ABC＝ ，求点 B 与点
那么实数 a 的取值范围是〔 〕
A．[1,5] B． (1,5)
C．[1,5) D． (1,5]
6、等比数列{an}中， a3 4, a5 16,则a9 〔 〕
A．256
B．－256
C．128
D. －128
7、点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 OA OB OB OC OC OA ，那么点 O
〔1〕求数列{an}的通项公式； 〔2〕证明 1 1 1 1
a2 a1 a3 a2
an1 an
22、〔本小题满分是 14 分〕 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架. 三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大
〔〕
A． 〔1，2〕
B． 〔0，2〕
C． ［1，2］
D． ［0，2］
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、命题甲：(1) x ,21x ,2x2 成等比数列命题乙：lg x, lg(x 1),lg(x 3) 成等差数列那么甲是 2
乙的 〔 〕
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非
充分又非必要条件
5、集合 A {x || x 2 | 3, x R} ， B {x | x2 (1 a)x a 0, x R} ，假设 B A，
高三理科数学上学期质量检测
高三理科数学上学期质量检测数学试题〔理科〕一、选择题〔本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的,将正确选项的字母填在做题卡相应的表格中.〕 1．假设不等式a x <-|1|成立的充分条件是,40<<x 那么实数a 的取值范围是 〔 〕A ．),3[+∞B ．]3,(-∞C ．),1[+∞D ．]1,(-∞2．集合Φ=+==-==N M b x y y x N x y y x M 且},|),{(},9),{(2,那么b 应满足 的条件是〔 〕A ．23||≥bB ．20<<b C ．233≤≤-b D ．323-<>b b 或 3．如果9,,,,1--c b a 成等比数列,那么〔 〕A ．9,3==ac bB ．9,3=-=ac bC ．9,3-==ac bD ．9,3-=-=ac b4．假设函数]1,2[)2(2)(2--+-=在区间x x x f λλ上是增函数,那么实数λ的取值范围是〔 〕A ．]2,(--∞B ．[－2,1]C ．),1[+∞D ．〔－2,1〕5．等差数列{an}的前n 项和为S n ,假设,1110OC a OA a OB +=且A 、B 、C 三点共线〔该直线不过点O 〕,那么S 20=〔 〕A ．10B ．11C ．20D ．216．函数)1(log )(2>=x x x f 的反函数为ba b f a f x f 11,2)4()(),(111+=⋅---则若 的最小值是〔 〕A ．6B ．7C ．8D ．97．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c,假设△ABC 的面积22)(b a c S --=,那么2tan C等于 〔 〕A ．21 B ．41 C ．81 D ．48．过点M 〔3,0〕的直线交⊙4)2(:22=+-y x C 于A 、B 两点,C 为圆心,那么AC AB ⋅ 的最小值是 〔 〕A ．8B ．6C ．532 D ．49．如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别 为BB 1、B 1C 1的中点,P 为平面DMN 内的一动点,假设点P 到平面BCC 1B 1的距离等于PD 时,那么点的轨 迹是 〔 〕 A ．圆或圆的一局部 B ．抛物线的一局部 C ．双曲线的一局部 D ．椭圆的一局部10．设定义域为R 的函数)(),(x g x f 都有反函数,并且)22()1(1---x g x f 和函数的图像关于直线)1(,2008)2(,f g x y 则若对称==的值为〔 〕A ．1005B ．2022C ．1003D ．以上结果均不对第二卷〔非选择题,共100分〕二、填空题〔本大题共5小题,每题5分,共25分,将答案写在做题卡相应的横线上.〕 11．在三棱锥P —ABC 中,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,且PA=PB=PC=2,那么三棱锥P —ABC的外接球的球面面积是 . 12．设数列}{},{n n b a 是等差数列,T n 、S n 分别是数列}{},{n n b a 的前n 项和,且,12-=n n S T n n 那么=66b a .13．给出以下命题：①函数)6,2()3sin(πππ--=的区间x y 内单调递增； ②函数|sin 2|x y =的最小正周期为π； ③函数)3cos(π+=x y 的图形是关于直线6π=x 成轴对称的图形；④函数)3tan(π+=x y 的图形是关于点)0,6(π成中央对称的图形. 其中正确命题有 .14．设F 为抛物线的焦点x y 42=A 、B 、C 为该抛物线上三点,假设032=++FC FB FA ,那么||3||2||FC FB FA ++= .15．A 〔3,3〕,O 为原点,点||,002303),(OA OP OA y y x y x y x P ⋅⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-则的坐标满足的最大值是 ,此时点P 的坐标是 .三、解做题〔本大题共6小题,共75分.解容许写出文字说明、证实过程和演算步骤,将答案写在做题卡相应处.〕16．〔本小题总分值12分〕关于x 的不等式2)(log 2)1(log 411222-->++->---x a x a xa x a 和的解集分别为A 和B,且B A C R ∈∈1,2,求实数a 的取值范围.17．〔本小题总分值12分〕平面向量向量).23,21(),1,3(=-=b a 向量 〔1〕求证：b a ⊥；〔2〕令απααααα求角若),,0(,,)(cos )2sin 41(,)cos 22(sin 2∈⊥+=-+=n m b a n b a m .18．〔本小题总分值12分〕如图,平面EAD ⊥平面ABCD,△ADE 是等边三角形,ABCD 是矩形,AD=2,AB=2,2F 、G 分别是AB 、AD 的中点. 〔1〕求证：CF ⊥平面EFG ；〔2〕假设P 为线段CE 上一点,且,31CE CP =求DP 与平面EFG 所成的角.19．〔本小题总分值12分〕设数列}{n a 的各项都是正数,对任意n n n n S a S a N n 其中都有,2*2-=∈ 为数列}{n a 的前n 项和.〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕设n an n n b 2)1(31⋅-+=-λ〔λ为非零整数,*N n ∈〕,试确定λ的值,使得对任意*N n ∈都有n n b b >+1成立.20．〔本小题总分值13分〕有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+〞,类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x 〞,过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线,切点为 A 、B.〔1〕求证：直线AB 恒过一定点；〔2〕当点M 在的纵坐标为1时,求△ABM 的面积.21．〔本小题总分值14分〕函数x x x a R b a x b ax x f 是关于212,),0,,(1)1()(>∈+-+=的方程0)(=x f 的两个不等实根.〔1〕假设b x x x 求且,1||),1,1(121=--∈的取值范围；〔2〕假设)()()(,),(,1,222112x x x f x g x x x x x a -+=∈=-≥函数时当且的最小值为)(),(a h a h 求的最大值.参考答案一、选择题1—10 ADBBA DBBDA 二、填空题 11．12π 12．211113．②④ 14．12 15．)3,1(;3 三、解做题16．解：∵,2A C U ∈∴0202)3)(7(0242132=-≤--+⇒=--≤--a a a a a a a 或或 3270)2)(3)(7(≤≤-≤⇒≤--+⇒a a a a a 或 ①…………5分又∵,1B ∈∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<<⇒->+⇒-->+01714)1(22)1(log 2)2(log 222a a a a a a ②…………10分 由①②知32≤≤a ,即a 的取值集合M=[2,3].……………………12分 17．解：〔1〕∵,023213=-⋅=⋅b a ∴b a ⊥.……………………2分 〔2〕易知.0,1||,4||22=⋅==b a b a∵n m ⊥∴0=⋅n m …………………………4分 即0||)cos 22(sin cos ||2sin 41222=--+⋅b a αααα ∴0cos 2cos 2sin 2sin 22=-⋅+αααα0)cos 2)(sin cos 22(sin =-+⇒αααα0)1sin 2)(1(sin cos 22=-+⇒ααα………………9分∵),0(πα∈ ∴.65,2,6πππα=……………………12分 18．解：〔1〕∵平面EAD ⊥平面ABCD,EG ⊥AD,∴EG ⊥平面ABCD,且EG=3 以GE 为z 轴、AD 为y 轴建立如下图空间直角坐标系,那么E 〔0,0,3〕,D 〔0,1,0〕, C 〔22,1,0〕,F 〔2,－1,0〕.).0,2,2(),3,1,2(),0,1,2(=--=-=FC EF GF∴0,0=⋅=⋅FC EF FC GF∴CF ⊥FG,CF ⊥EF,那么CF ⊥平面EFG .……………………6分 〔2〕∵)0,0,22()33,31,322()3,1,22(3131=--=--⋅==CE CP ∴).33,31,324(-=+=CP DC DP ……………………8分 由〔1〕知=)0,2,2(为平面EFG 的一个法向量, ∵2||,6||,2===⋅DP FC FC DP∴66),cos(=FC DP ……………………10分 ∴DP 与平面EFG 所成的角为.66sinar ……………………12分 19．解：〔1〕∵由,当n=1时,,21121a a a -=,01>a∴11=a ………………………………1分∵n n n a S a -=22①∴当11212,2----=≥n n n a S a n 时 ②①—②得111212)(2-+--+=+--=-n n n n n n n n a a a a S S a a∵0>n a∴.11=--n n a a …………………………3分因此,数列}{n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故得n a n =………………4分〔2〕nn n n b 2)1(31⋅-+=-λ要使n n b b >+1恒成立即使.)1(3322)1(32)1(311111--+++--⨯=⋅---⋅-+=-n n n n n n n n n n b b λλλ02>n 恒成立,即11)23()1(--<-n n λ恒成立.当n 为偶数时,即为1)23(-->n λ恒成立,又23)23(1---的最大值为n ∴.23->λ…………………………………………9分 当n 为奇数时,即为1)23(-<n λ恒成立,又1)23(1的最小值为-n∴.1<λ……………………………………………………………………11分∴,,0,123Z ∈≠<<-λλλ又 ∴1-=λ∴1-=λ,使得任何.*,1n n b b N n >∈+都有……………………12分 20．解：〔1〕设M 14),,(),(),)(,334(11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ………………1分∵点M 在MA 上 ∴13311=+ty x ①……………………3分同理可得13322=+ty x ②…………………………5分 由①②知AB 的方程为)1(3,133ty x ty x -==+即…………7分 易知右焦点F 〔0,3〕满足③式,故AB 恒过椭圆C 的右焦点F 〔0,3〕……9分〔2〕把AB 的方程0167,14)1(322=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+⋅+=AB ……………………11分 又M 到AB 的距离33231|334|=+=d ∴△ABM 的面积21316||21=⋅⋅=d AB S ……………………13分 21．解：〔1〕∵a a b aab x x 4)1(,14)1(,1||22221+=-=--=-即①……2分又,0121>=ax x ∴21,x x 同号.……………………3分 当,)0,1(1时-∈x ∵,1||21=-x x ∴)1,2(2--∈x∴⎩⎨⎧>+-=-<+-=-0324)2(02)1(b a f b a f∴21>a 代入①式得2125-<>b b 或……………………6分当,)1,0(1时∈x ∵,1||21=-x x ∴)2,1(2∈x∴⎩⎨⎧>-+=<+=0124)2(0)1(b a f b a f∴21>a 代入①式得2125<>b b 或 ∴b 的取值范围为),25()21,(+∞-∞ ……………………8分〔2〕),(),1)(()())(x ()(2122221x x x ax x x x a x x x x x a x g ∈+--=-+--= …………10分∵,21,1,21112x x ax x x a <<-=-≥易知 对称轴为ax x x a x x 2122)1(2121-+=+-= 且0212121212)212(12121>-=-=--=--+aa a a x x x a x x …………12分 ∴)212()()(21ax x g a h x g -+=的最小值为 )212)(212(1221a x x a x x a +---= )2)(21(41)2121)(2121(≥++-=+--=a a a a a a 易知),2[)(+∞在a h 上单调递减, ∴)(a h 的最大值为2,89)2(=-=a h 当且仅当时取得.…………………………14分。
2020届高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题+参考答案+评分标准
2019~2020学年度上学期期末教学质量监测高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝{ x |x －2＜0}，则A ∩B ＝A ．(－1，2)B ．(2，3)C ．(－3，－1)D ．(－∞，2) 2．复数z ＝3－i 1＋i的模|z |＝A ．1B ． 2C ．2D ． 5 3．某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误．．的是 A ．P 产品的销售额极差较大 B ．P 产品销售额的中位数较大 C ．Q 产品的销售额平均值较大 D ．Q 产品的销售额波动较小 4．(1＋2x 2 )(1＋x )4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．2425 30 20 15 10 5 01月2月3月4月5月6月7月8月9月10月月 11月月 12月月 P 产品的销售额/万元 Q 产品的销售额/万元AB5．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a 6．若sin α＝2cos α，则cos 2α＋sin2α＝A ．125B ．95C ．1D ．457．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．设α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，下列命题错误．．的是 A ．如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ．B ．如果α∥β，m α，那么m ∥β．C ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β．D ．如果α内有两条相交直线与β平行，那么α∥β．9．甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以3:1获胜的概率为A ．316B ．14C ．38D ．1210．下列函数中，其图象与函数y ＝lg x 的图象关于点(1，0)对称的是A ．y ＝lg(1－x )B ．y ＝lg(2－x )C ．y ＝log 0.1(1－x )D ．y ＝log 0.1(2－x )11．关于函数f (x )＝|sin x |＋sin|x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间(－π2，0)单调递减③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①③④ D ．①④12．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则p＝A ．12B ．1C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三上学期第一次质检数学(理)试卷 含解析
2021年高三上学期第一次质检数学（理）试卷含解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．2．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．6．已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）= ．7．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．9．在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为．12．若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m的值为．13．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．14．一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有．（填上所有正确答案的序号）（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；①f1②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．17．（14分）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．18．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．21．（16分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．22．（16分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x ﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．23．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．xx学年江苏省徐州市沛县中学高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（xx秋•普宁市校级期中）函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f′（x）=2（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）在[1，+∞）递增，即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用，属于基础题．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，则复数z的虚部是：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是{} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，解之可得函数的定义域，注意写成集合的形式即可．【解答】解：由题意可得，解之可得故函数的定义域是{}．故答案为：{}【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是（﹣4，0] ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点O（0，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=﹣2×2=4，最小值z=0﹣0=0．即﹣4＜z≤0．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．6．（xx•长春三模）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．7．（xx•通州区一模）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是（0，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．9．（xx•通州区一模）在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．【考点】正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA=，∴cosA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的充分不必要条件条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a ＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．11．（xx•万州区模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．12．（2011秋•雁塔区校级期末）若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m 的值为．【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】化简函数y=sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出m即可．【解答】解：函数y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，，其图象关于直线对称，所以θ+=±，θ=，或θ=（舍去）所以tanθ=m=，故答案为：．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．13．（xx•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，∴||||=4∵=（+），∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1∴min=1故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（xx•安庆二模）一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有②③⑤．（填上所有正确答案的序号）①f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．【考点】进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣1，0]，不符合，故①舍去；对于②，f2（x）=sinx，x∈[，π]的值域为，故②正确；对于③，，于是f3（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[﹣2，2]，故③正确；对于④，，单调递增，其值域为[1，e2﹣2]，不符合题意，故④舍去；对于⑤，f5（0）=0，当x＞0时，（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）（xx秋•苏州期中）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．【点评】本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．17．（14分）（xx春•洛阳期末）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．18．（14分）（xx•玉溪三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC ﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=﹣sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=﹣，结合B为三角形内角，即可得解B的值．（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2=+，两边平方，设||=c，||=a，可得4=a2+c2﹣ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a=bcosC﹣csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinCsinB，∴cosBsinC=﹣sinCsinB，又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，∴tanB=﹣，又∵B为三角形内角，可得B=…（6分）（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，∴2=+，∴两边平方可得：4||2=||2+2||•||•cos∠ABC+||2，…（9分）又∵由（Ⅰ）知B=，设||=c，||=a，即：4=a2+c2﹣ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsin∠ABC=ac≤．∴S△ABC∴当且仅当a=c=2时，△ABC面积的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（14分）（xx•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．20．（16分）（xx•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈[0，1]（8分）当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）（10分）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得（11分）综上所述，为所求．（12分）【点评】本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．21．（16分）（xx春•成都校级期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．22．（16分）（xx•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．23．（16分）（xx•桂林模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．39179 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2022-2023学年河南省洛平许济第一次质量检测高三理数试题及答案
洛平许济2022—2023学年第一次质量检测高三理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合(2,3),{lg(1)}A B x y x ===-∣,则A B ⋂=A.(1,2)B.(2,3)C.(1,3)D.(1,)+∞2.已知i 为虚数单位,复数z 满足(1i)2i z +=-,则复数z 的虚部为A.32-B.3i2- C.32D.3i 23.已知2:,10;:,2x p x R x ax q x R a ∀∈-+∃∈< .若p q ∧⌝为真,则实数a 的取值范围为A.(-2,0]B.(-2,0)C.[-2,0]D.[-2,0)4.已知曲线2x y m =⋅在点(0,)m 处的切线与直线y x =垂直,则实数m 的值为A.2log e- B.2log eC.ln 2-D.ln 25.已知函数22tan2()1tan 2xf x x =+,当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 的最大值为A.12B.3C.2D.6.已知函数4123|||ln |(),(),()sin ,()cos e x x x f x f x f x x x f x x x x====这四个函数的都分图象如图所示,则函数1243(),(),(),()f x f x f x f x对应的图象依次是A.①③②④B.③②①④C.①④③②D.③④①②7.过抛物线2:4C y x =的焦点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点,则以AB 为直径的圆的方程是A.22(6)(5)16x y -+-=B.22(6)(5)64x y -+-=C.22(3)(2)16x y -+-= D.22(3)(2)64x y -+-=8.在ABC 中,2BD DC = ,点E 在线段AD 上且与端点不重合,若BE xBA yBC =+,则ln ln x y +的最大值为A.ln 6B.ln 6- C.2ln 2D.2ln 2-9.已知菱形ABCD 的边长为2,60,BAD E ︒∠=是AD 的中点,沿BE 将ABE 折起至PBE 的位置,使PD =则下列结论中错误的是A.平面PBE ⊥平面PDE B.平面PBE ⊥平面PBC C.平面PBE ⊥平面BCDED.平面PBD ⊥平面BCDE10.已知数列{}n a 的通项公式为221cos n n a n n nπ+=⋅+,若对于任意正整数n ,都有212321224n n a a a a a m m -+++++>-- ,则实数m 的取值范围是A.(-1,3)B.[-1,3]C.(-3,1)D.[-3,1]11.把函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位,再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.若函数()y g x =的图象与直线12y =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上至少有3个交点,则正数ω的取值范围是A.116,52⎛⎤ ⎥⎝⎦B.52,236⎛⎤ ⎥⎝⎦C.11,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.52,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为123,,2F F 分别是椭圆E 的左、右焦点,点A 在椭圆E 上且在以12F F 为直径的圆上.线段1F A 与y 轴交于点B ,118F A F B ⋅=,则12F AF 的面积为A.433B.833C.43D.83二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分。
宁夏银川一中2024届高三上学期第一次月考数学理科试题及参考答案
银川一中2024届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}1A x x =≤，{}20B x x a =-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．(],2-∞2．已知复数z 满足i zz =+-112，则复数z 的虚部是A.-1B.iC.1D.-i3．如图，可以表示函数()f x 的图象的是A ．B ．C ．D ．4．已知a ，b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个充分不必要条件为A ．11a b>B ．ln(1)ln(1)a b +>+C ．33a b >D 11a b ->-5．函数()214log 2y x x =--的单调递增区间为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞6．的大小关系为则，，设c b a c b a ,,,21(31log 2log 3.02131===A ．b c a <<B ．cb a <<C ．ca b <<D ．ac b <<7．已知函数ay x=，xy b=，log cy x=的图象如图所示，则A．e e ea c b<<B．e e eb a c<<C．e e ea b c<<D．e e eb c a<<8．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a∃∈---+-<”为假命题，则实数x的取值范围为A．[]1,4-B．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦9．已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxx⎧≥⎪==-⎨<⎪⎩，则函数()g x的图象大致是A．B．C．D．10．已知函数()()()314(1)1a x a xf x axx⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数1x，2x且12x x≠，都有[]1212()()()0f x f x x x--<，则实数a的取值范围为A．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知定义在R上的函数()f x在(],2-∞上单调递减，且()2f x+为偶函数，则不等式()()12f x f x->的解集为A．()5,6,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B．()5,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭C．5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D．51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知函数()ln1af x xx=++.若对任意1x，(]20,2x∈，且12x x≠，都有()()21211f x f xx x->--，则实数a的取值范围是A．27,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦B．(],2-∞C．27,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．(],8∞-二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)13．已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．14．已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是．15．若函数()21x mf x x +=+在区间[]0,1上的最大值为3，则实数=m _______.16．已知函数()e e 21x x f x x -=--+，则不等式(23)()2f x f x -+>的解集为____________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2021年高三上学期质量检测(数学理)
2021年高三上学期质量检测（数学理）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．的相应位置上．．．．．．．1．设复数满足（是虚数单位），则复数的模=___▲____．2．已知___▲___．3．已知则的值为___▲____．4．若是上周期为5的奇函数，且满足，则___▲___．5．在数列中，，，则___▲____．6．设数列是首相大于零的等比数列,则“”是“数列是递增数列”的___▲__条件．第11题7．函数的值域为___▲____．8．已知向量，，则的最大值为 ▲ ．9．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18， 则__▲__．10．函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围是 ▲ ． 11．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则___▲____．12．已知向量满足条件：，且=2，点P 是ABC 内一动点，则___▲____.13．已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为___▲____．14．已知函数①；②；③；④.其中对于定义域内的任意一个自变量都存在唯一个自变量=3成立的函数序号是____▲____．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤． 15．已知集合，（1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围．16．已知函数．（1）设，且，求的值；（2）在△ABC 中，AB =1，，且△ABC 的面积为，求sin A +sin B 的值．17．如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，CB已知，设， 均为锐角． （1）求； （2）求的值．18．如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．19．设函数，数列满足． ⑴ 求数列的通项公式；⑵ 设()11223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-，若对恒成立，求实数的取值范围；⑶ 是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．20． 已知函数.（1）求证：函数在上单调递增； （2）若函数有三个零点，求的值；（第18题甲） （第18题乙）（3）若存在，使得，试求的取值范围.（Ⅱ卷）1．已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．2．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A，B两点，求线段AB的长．3．如图，在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．⑴求PA的长；⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．4．已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-，（其中）⑴求及；⑵试比较与的大小，并说明理由．质量检测参考答案1．2；2．2；3．；4．－1；5．；6．充要；7．；8．6；9．64；10．；11．1005；12．18；13．18；14．③；16．（1）==．由，得，于是，因为，所以．（2）因为，由（1）知．因为△ABC的面积为，所以，于是. ①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.由余弦定理得，所以．②由①②可得或于是．由正弦定理得，所以．θTQPNMSRMN PQBCA甲乙18．（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =．…………2分由题意，△RST 在月牙形公园里， RT 与圆Q 只能相切或相离；……4分 RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立． 此时，场地面积的最大值为S △RST ==4（km 2）． …6分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ …8分令，则． ………… 11分 若，，又时，，时，， ………14分 函数在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km 2）． ………16分19．解：⑴因为()*111112312,,2133n n n n n a a f a n N n a a ----⨯+⎛⎫===+∈≥ ⎪⎝⎭⨯且， 所以．…………………………………………………2分 因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列． 所以．…………………………………………4分 ⑵①当时，()212122334452211m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+⋅⋅⋅+-()()()21343522121m m m a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-．……………………………………6分 ②当时，．…………………………………8分 所以要使对恒成立，只要使．只要使，故实数的取值范围为．………10分 ⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数． ① 如存在以为首项，公比为2或4的数列，，此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数．12分 ②当时，显然不存在这样的数列．当时，若存在以为首项，公比为3的数列，． 则，，，．所以满足条件的数列的通项公式为．…………………………16分20．解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln xxf x a a x a x a a '=+-=+-…………………3分 由于或，故当时，，所以，故函数在上单调递增 ………………………………………5分 （Ⅱ）当时，因为，且在R 上单调递增，故有唯一解…………………………………………7分 所以的变化情况如下表所示：而，所以，解得 ……………11分 （Ⅲ）因为存在，使得，所以当时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…12分由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，所以当时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-， 而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a--=+--++=--， 记，因为（当时取等号）， 所以在上单调递增，而， 所以当时，；当时，， 也就是当时，；当时，………14分①当时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥， ②当时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤， 综上知，所求的取值范围为……………………………16分附加题:1．解：由题意得，…………………………………………………5分 ，…………………………10分2．解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2 – x +3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2 = 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32)所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2= 33．解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ). 因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)， BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. …………………………………4分⑵由AD → = (0,1,0),M → = (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP →= ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> = n ·CP →|n |·|CP →|=22·3= 63.所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分4．解：⑴取，则；取，则，∴； ------4分⑵要比较与的大小，即比较：与的大小，当时，； 当时，；当时，； ------5分猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，时结论成立，假设当时结论成立，即，两边同乘以3 得：1212233(1)2222(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-+=+++-+--⎣⎦而22(3)2442(3)24(2)6(3)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>∴即时结论也成立. ∴当时，成立。
高三数学上学期质量监测试题一理含解析试题
2021届高三数学上学期质量监测试题〔一〕理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.{|2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，那么A B =〔 〕A. ∅B. {|3,x x >或者x ≤2}-C. {|3,x x >或者0}x <D. {|3,x x >或者2}x ≤【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|2A x x =≤-或者2}x ≥，{|0B x x =<或者3}x >，再根据集合的交集运算，即可求解．【详解】由题意，集合{|2}{|2A x x x x =≥=≤-或者2}x ≥， 集合2{|30}{|0B x x x x x =->=<或者3}x >，所以A B ={|3x x 或者2}x ，应选B ．【点睛】此题主要考察了不等式的解法，以及集合的交集运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．252i +i z =的一共轭复数z 在复平面上对应的点在〔 〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 那么z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，应选C ．【点睛】此题主要考察了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法那么，以及复数的表示是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．3.31()3a =，，13log 3c =，那么( ) A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】因为311()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=，所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<， 应选：C.【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比拟，首先确定数的正负，其次确定数的大小〔很多情况下都会和1作比拟〕，在比拟的过程中注意各函数单调性的使用.0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，那么b =( )A. 3-B. 1C. 3-或者1D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，那么圆心到直线的间隔 等于半径来求解.【详解】由圆心到切线的间隔=∴|1|2b +=∴13b b ==-或 应选：C.【点睛】此题考察直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的间隔 等于半径.5.2021年是HY 成立七十周年，HY 成立以来，我国文化事业得到了充分开展，尤其是HY 的十八大以来，文化事业开展更加迅速，以下图是从2021 年到 2021 年六年间我国公一共图书馆业机构数〔个〕与对应年份编号的散点图〔为便于计算，将 2021 年编号为 1，2021 年编号为 2，…，2021年编号为 6，把每年的公一共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进展回归分析〕，得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出以下结论，其中正确的个数是( )①公一共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公一共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2021 年公一共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb 和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公一共图书馆业机构数.【详解】由图知点分布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 应选：D.【点睛】回归直线方程中的ˆb的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6.中国传统扇文化有着极其深沉的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余局部的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD.52)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ， 那么51αβ-=，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 【点睛】此题考察圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.7.,,a b c 为直线，,,αβγ平面，那么以下说法正确的选项是( ) ①,a b αα⊥⊥，那么//a b ②,αγβγ⊥⊥，那么αβ⊥ ③//,//a b αα，那么//a b ④//,//αγβγ，那么//αβ A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进展判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，那么//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，那么//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，那么有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 应选：D.【点睛】对于用符号语言描绘的问题，最好能通过一个详细模型或者者是可以画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，那么11S =〔 〕 A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，求得64a =，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求解11S 的值，得到答案．【详解】由题意，等比数列{}n a 为等比数列，满足21a =，1016a =，根据等比数列的性质，可得266210116,0a a a a =⨯=>，可得64a =，所以664b a ==，那么11111611()11442b b b S +==⨯=，应选A ． 【点睛】此题主要考察了等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象〔局部图象如下图〕，那么()y f x =的解析式为〔 〕A.()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+ C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=-【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得()01f =，解得6π=ϕ，又由112sin()012ωπϕ⋅+=，解得2ω=，得到2sin(2)6y x π=+，在利用三角函数的图象变换，即可求得，得到答案．【详解】由图象可知，()02sin(0)1f ωϕ=⋅+=，即1sin ||22πϕϕ=<，解得6π=ϕ， 又由112sin()012ωπϕ⋅+=，即111111242sin()0π,01261261211k k Z T πππωπωπω⋅+=∴⋅+=∈<∴<<，解得2ω=，即函数的解析式为2sin(2)6y x π=+，将函数2sin(2)6y x π=+图象上点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+， 所以函数()f x 解析式2sin(4)6y x π=+.应选C ．【点睛】此题主要考察了利用三角函数的图象及三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，那么当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为〔 〕 A. 8- B. 1-C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数，进而利用[2,0]x ∈-时，函数()f x 的解析式和函数的奇偶性，即可求解[4,6]上的最小值，得到答案． 【详解】由题意知(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， 那么()()4[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-+=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，222()(4)(4)2(4)1024(5)1f x f x x x x x x =-=---=-+=--， 所以当5x =时，函数()f x 的最小值为(5)1f =-.应选B ．【点睛】此题主要考察了函数周期性的断定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中纯熟应用函数周期性的断定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，那么过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B 〔A 在x 轴上方〕两点，那么||||AF BF 的值是〔 〕B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得1213,3x x ==，进而可求得||||AF BF 的值．【详解】由椭圆22143x y +=，可得右焦点为(1,0)，所以12p =，解得2p =，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的定义可得1222816sin 6033p p AB x x p =++===，所以12103x x +=， 又由21214p x x ==，可得1213,3x x ==，所以12||31231||123px AF p BF x ++===++. 应选C ．【点睛】此题主要考察了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中纯熟应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．21()(2)e x f x x x -=-，假设当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，那么m 的取值范围为〔 〕 A. 1m B. 1m <- C. 1m >- D. m 1≥【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数21()(2)ex f x x -'=-，得到函数()f x 的单调性，以及()()1,(2),2f f f 的取值，再由导数的几何意义，即可求解。
四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题
四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟（三）数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．45.25m B．50.76mA．52B．10．已知实数0x>，则函数A．(0,)+¥B．11．若函数()y f x=满足由图知：AD BC EC ==，D Ð所以,DM EM AM CM ==，而令,AM a DM x a ==-且2a >所以222(6)()x x a a a -+-=Þ构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>，所以原问题等价于存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()f x f y =，显然函数()f m 不是正实数集上的单调函数，()()e 20m f m m t m ¢=-+>，设()()()e 20e 2m m g m m m g m ¢=->Þ=-，当ln 2m >时，()()0,g m g m ¢>单调递增，当0ln 2m <<时，()()0,g m g m ¢<单调递减，故()()minln 22ln 2g m g ==-，当2ln 20t -+³时，即ln 22t ³-时，()()0,f m f m ¢³单调递增，所以不符合题意；当2ln 20t -+<时，即ln 22t <-时，显然存在0m ，使得()00f m ¢=，因此一定存在区间()()00,0m m e e e -+>，使得()f m ¢在()()0000,,,m m m m e e -+上异号，因此函数()f m 在()()0000,,,m m m m e e -+上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x y x y x y t -+-=-成立，故答案为：),2l 2(n2-¥-【点睛】关键点睛：本题的关键是由()()e e x y x y x y t -+-=-构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>.17．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；。
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高三理科数学上学期质量检测数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的字母填在答题卡相应的表格中.） 1．若不等式a x <-|1|成立的充分条件是,40<<x 则实数a 的取值范围是 （ ）A ．),3[+∞B ．]3,(-∞C ．),1[+∞D ．]1,(-∞2．已知集合Φ=+==-==N M b x y y x N x y y x M 且},|),{(},9),{(2，则b 应满足的条件是（ ）A ．23||≥bB ．20<<bC ．233≤≤-bD ．323-<>b b 或 3．如果9,,,,1--c b a 成等比数列，那么（ ）A ．9,3==ac bB ．9,3=-=ac bC ．9,3-==ac bD ．9,3-=-=ac b4．若函数]1,2[)2(2)(2--+-=在区间x x x f λλ上是增函数，则实数λ的取值范围是（ ）A ．]2,(--∞B ．[－2，1]C ．),1[+∞D ．（－2，1）5．已知等差数列{an}的前n 项和为S n ，若,1110a OA a +=且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 20=（ ）A ．10B ．11C ．20D ．216．已知函数)1(log )(2>=x x x f 的反函数为ba b fa f x f11,2)4()(),(111+=⋅---则若 的最小值是 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．97．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积22)(b a c S --=，则2tanC等于 （ ）A ．21 B ．41 C ．81 D ．48．过点M （3，0）的直线交⊙4)2(:22=+-y x C 于A 、B 两点，C 为圆心，则AC AB ⋅的最小值是 （ ）A ．8B ．6C ．532 D ．49．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别 为BB 1、B 1C 1的中点，P 为平面DMN 内的一动点， 若点P 到平面BCC 1B 1的距离等于PD 时，则点的轨 迹是 （ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分10．设定义域为R 的函数)(),(x g x f 都有反函数，并且)22()1(1---x g x f 和函数的图像关于直线)1(,2008)2(,f g x y 则若对称==的值为 （ ）A ．1005B ．2008C ．1003D ．以上结果均不对第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案写在答题卡相应的横线上.） 11．在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P —ABC的外接球的球面面积是 . 12．设数列}{},{n n b a 是等差数列，T n 、S n 分别是数列}{},{n n b a 的前n 项和，且,12-=n nS T n n 则=66b a .13．给出下列命题：①函数)6,2()3sin(πππ--=的区间x y 内单调递增； ②函数|sin 2|x y =的最小正周期为π； ③函数)3cos(π+=x y 的图形是关于直线6π=x 成轴对称的图形；④函数)3tan(π+=x y 的图形是关于点)0,6(π成中心对称的图形. 其中正确命题有 .14．设F 为抛物线的焦点x y 42=A 、B 、C 为该抛物线上三点，若32=++，则||3||2||++=.15．已知A （3，3），O 为原点，点||,002303),(OA y y x y x y x P ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-的坐标满足的最大值是 ，此时点P 的坐标是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，将答案写在答题卡相应处.）16．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式2)(log 2)1(log 411222-->++->---x a x a xa x a 和的解集分别为A 和B ，且B A C R ∈∈1,2，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知平面向量向量).23,21(),1,3(=-=b a 向量 （1）求证：b a ⊥；（2）令απααααα求角若),,0(,,)(cos )2sin 41(,)cos 22(sin 2∈⊥+=-+=n .18．（本小题满分12分）如图，平面EAD ⊥平面ABCD ，△ADE 是等边三角形，ABCD 是矩形，AD=2，AB=2,2F 、G 分别是AB 、AD 的中点. （1）求证：CF ⊥平面EFG ； （2）若P 为线段CE 上一点，且,31=求DP 与平面EFG 所成的角.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的各项都是正数，对任意n n n n S a S a N n 其中都有,2*2-=∈为数列}{n a 的前n 项和. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n an n n b 2)1(31⋅-+=-λ（λ为非零整数，*N n ∈），试确定λ的值，使得对任意*N n ∈都有n n b b >+1成立.20．（本小题满分13分）有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B.（1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积.21．（本小题满分14分）已知函数xx x a R b a x b ax x f 是关于212,),0,,(1)1()(>∈+-+=的方程0)(=x f 的两个不等实根.（1）若b x x x 求且,1||),1,1(121=--∈的取值范围；（2）若)()()(,),(,1,222112x x x f x g x x x x x a -+=∈=-≥函数时当且的最小值为)(),(a h a h 求的最大值.参考答案一、选择题1—10 ADBBA DBBDA 二、填空题 11．12π 12．211113．②④ 14．12 15．)3,1(;3 三、解答题16．解：∵,2A C U ∈∴0202)3)(7(0242132=-≤--+⇒=--≤--a a a a a a a 或或 3270)2)(3)(7(≤≤-≤⇒≤--+⇒a a a a a 或 ①…………5分又∵,1B ∈∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<<⇒->+⇒-->+01714)1(22)1(log 2)2(log 222a a a a a a ②…………10分 由①②知32≤≤a ，即a 的取值集合M=[2，3].……………………12分 17．解：（1）∵,023213=-⋅=⋅ ∴⊥.……………………2分 （2）易知.0,1||,4||22=⋅==∵n m ⊥∴0=⋅…………………………4分 即0||)cos 22(sin cos ||2sin 41222=--+⋅αααα ∴0cos 2cos 2sin 2sin 22=-⋅+αααα0)cos 2)(sin cos 22(sin =-+⇒αααα0)1sin 2)(1(sin cos 22=-+⇒ααα………………9分∵),0(πα∈ ∴.65,2,6πππα=……………………12分 18．解：（1）∵平面EAD ⊥平面ABCD ，EG ⊥AD ，∴EG ⊥平面ABCD ，且EG=3 以GE 为z 轴、AD 为y 轴建立如图所示空间直角坐标系，则E （0，0，3），D （0，1，0）， C （22，1，0），F （2，－1，0）.).0,2,2(),3,1,2(),0,1,2(=--=-=∴0,0=⋅=⋅∴CF ⊥FG ，CF ⊥EF ，则CF ⊥平面EFG .……………………6分 （2）∵)0,0,22()33,31,322()3,1,22(3131=--=--⋅==∴).33,31,324(-=+=……………………8分 由（1）知=)0,2,2(为平面EFG 的一个法向量， ∵2||,6||,2===⋅∴66),cos(=……………………10分 ∴DP 与平面EFG 所成的角为.66sinar ……………………12分 19．解：（1）∵由已知，当n=1时，,21121a a a -=,01>a∴11=a ………………………………1分∵n n n a S a -=22①∴当11212,2----=≥n n n a S a n 时 ②①—②得111212)(2-+--+=+--=-n n n n n n n n a a a a S S a a∵0>n a∴.11=--n n a a …………………………3分因此，数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故得n a n =………………4分 （2）n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ要使n n b b >+1恒成立即使.)1(3322)1(32)1(311111--+++--⨯=⋅---⋅-+=-n n n n n n n n n n b b λλλ02>n 恒成立，即11)23()1(--<-n n λ恒成立.当n 为偶数时，即为1)23(-->n λ恒成立，又23)23(1---的最大值为n ∴.23->λ…………………………………………9分当n 为奇数时，即为1)23(-<n λ恒成立，又1)23(1的最小值为-n∴.1<λ……………………………………………………………………11分∴,,0,123Z ∈≠<<-λλλ又 ∴1-=λ∴1-=λ，使得任何.*,1n n b b N n >∈+都有……………………12分 20．解：（1）设M 14),,(),(),)(,334(11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ………………1分∵点M 在MA 上 ∴13311=+ty x ①……………………3分同理可得13322=+ty x ②…………………………5分 由①②知AB 的方程为)1(3,133ty x ty x -==+即…………7分 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）……9分（2）把AB 的方程0167,14)1(322=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+⋅+=AB ……………………11分 又M 到AB 的距离33231|334|=+=d ∴△ABM 的面积21316||21=⋅⋅=d AB S ……………………13分 21．解：（1）∵a a b aab x x 4)1(,14)1(,1||22221+=-=--=-即①……2分又,0121>=ax x ∴21,x x 同号.……………………3分 当,)0,1(1时-∈x ∵,1||21=-x x ∴)1,2(2--∈x∴⎩⎨⎧>+-=-<+-=-0324)2(02)1(b a f b a f∴21>a 代入①式得2125-<>b b 或……………………6分当,)1,0(1时∈x ∵,1||21=-x x ∴)2,1(2∈x∴⎩⎨⎧>-+=<+=0124)2(0)1(b a f b a f∴21>a 代入①式得2125<>b b 或 ∴b 的取值范围为),25()21,(+∞-∞ ……………………8分（2）),(),1)(()())(x ()(2122221x x x ax x x x a x x x x x a x g ∈+--=-+--= …………10分∵,21,1,21112x x ax x x a <<-=-≥易知 对称轴为ax x x a x x 2122)1(2121-+=+-= 且0212121212)212(12121>-=-=--=--+aa a a x x x a x x …………12分 ∴)212()()(21ax x g a h x g -+=的最小值为 )212)(212(1221ax x a x x a +---= )2)(21(41)2121)(2121(≥++-=+--=a aa a a a 易知),2[)(+∞在a h 上单调递减， ∴)(a h 的最大值为2,89)2(=-=a h 当且仅当时取得.…………………………14分。