中考数学专题知识突破专题十动点型问题(含详细参考答案)

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中考动点问题专项训练(含详细解析)

8. 已知：如图，在平行四边形
中，
动，速度为
；点从点出发，沿
，
，
方向匀速运动，速度为
，点从点出发，沿
方向匀速运
，连接并延长
交的延长线于点
，过作
，垂足是，设运动时间为
．
（ 1）当为何值时，四边形
是平行四边形 ?
（ 2）证明：在，运动的过程中，总有
；
（ 3）是否存在某一时刻，使四边形
的面积为矩形
面积的；
（ 4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上．
6. 已知：如图①，在
速度为
；点
中，由出发沿
，方向向点
，
，点
匀速运动，速度为
（
），解答下列问题：
由出发沿方向向点匀速运动，；连接．若设运动的时间为
（ 1）当为何值时，
（ 2）设
的面积为
? ，求与之间的函数关系式；
的面积是平行四边形
不存在，说明理由．
面积的一半 ?若存在，求出相应的值；若
9. 如图，在梯形方向向点
中，
，
匀速运动，速度为
，
，
；点从点出发，沿
，方向向点
．点从点出发沿折线
匀速运动，速度为
，
，同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点
，运动的时间是
．
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因为
，
，
，
所以
，
所以
，
设点，运动的时间是
，
，
形，
有
，
所以
，
解得：

专题10 动点类综合题目探究(解析版)

专题10 动点类综合题目探究题型一：二次函数中三角形面积最值存及平行四边形存在性问题例1. （2019·巴中）如图，抛物线25y ax bx =++（a ≠0）经过x 轴上的点A (1,0)和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+.（1）求抛物线解析式；（2）动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时动点E 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动. 当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动. 设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值.（3）过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过抛物线上一动点N (不与B 、C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于Q ，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标.【分析】（1）由OB =OC ，得B 点坐标为(5,0)，将A （1,0）及B (5,0)代入25y ax bx =++，可求得a 、b ；（2）过点E 作EH 垂直x 轴于H ，用时间t 表示出线段BP 、EH 的长，利用S △PBE =12BP EH ⋅求得面积最大值及t 值；（3）由AM ∥NQ 可知，平行四边形有两种情况，AMQN 和AMNQ ，即A 点对点有可能是N 或Q ，利用平面直角坐标系中平行四边形对点横坐标和及纵坐标和相等求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：C （0,5），由直线y =x +n 过点B 、C ，得：OB =OC =5，∴B (5,0)，将A (1,0)、B (5,0)代入25y ax bx =++，得： 5025550a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：16a b =-⎧⎨=⎩，即抛物线解析式为：265y x x =-++.（2）过点E 作EH ⊥x 轴于H ，由OC =OB 知，∠OBC =45°，∴EH =2BE ，由题意知：AP =t ，BP =4－t ，BE =2t ，EH ，0≤t ≤2，∴()1422BEH S EH BP t =⋅=-△)222t =--+∴当t =2时，△BEH 的面积取最大值，最大值为（3）由（2）知：AM =2AB =∴M (3,－2),设N （m ，-m 2+6m －5），Q （x ，x －5）当平行四边形为AMNQ 时，得：2136525m xm m x +=+⎧⎨-+-=-+-⎩，解得：x 或x ；当平行四边形为AMQN 时，得：2136525x m m m x +=+⎧⎨-+--=-⎩，解得：x =1（舍去）或x =4；综上所述，N 点的横坐标为52+、52或4. 题型二：一次函数与圆结合及特殊三角形存在性问题例2.（2019·湖州）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1分别交x 轴和y 轴于点A (－3,0)，B （3,0）.（1）如图1，已知圆P 经过点O ，且与直线l 1相切于点B ，求圆P 的直径长；（2）如图2，已知直线l 2：y =3x －3分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线l 2上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆.①当点Q 与点C 重合时，求证：直线l 1与圆Q 相切；②设圆Q 与直线l 1相交于M 、N 两点，连接QM 、QN ，问：是否存在这样的点Q ，使得△QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由.【分析】（1）连接BP 、OP ，可得：△OBP 是等腰直角三角形，进而求得圆P 的半径OP ；（2）①过C 作CE ⊥l 1于E ，求出CE 的长，利用切线定义证明；②设直线l 1与l 2相交于点F ，根据Q 的位置分两种情况讨论：Q 在线段BF 上或Q 在线段BF 的延长线上.【答案】见解析.【解析】解：（1）连接BP 、OP ，由题意知：OB =OA =3，∴∠BAO =∠ABO =45°，又∵AB 与圆P 相切于B ，∴∠PBA =90°，∴∠OBP =45°，又BP =OP ，∴∠POB =45°，∠BPO =90°，即△OBP 是等腰直角三角形，∴BP= 22=，故圆P的直径为（2）①过C 作CE ⊥l 1于E ，如下图所示，=4，∴CE =2AC =,∵点Q 与点C 重合时，圆Q 的半径为l 1∴直线l 1与圆Q 相切.②设直线l 1与l 2相交于点F ，当Q 在线段DF 上时，如下图所示，=45°，得：MQ ∥x 轴，NQ ∥y 轴，设Q (t ，3t －3)，则M (3t －6,3 t －3)，N (t ,t +3)，由MQ=得：t －（3t －6）=解得：t =3，3 t －3=6－∴点Q 的坐标为：（3，6－）；当点Q 在线段DF 延长线时，如下图所示，t +3)，由MQ =得：3t －3－（t +3）=11解得：t ，3 t －∴点Q 的坐标为：（，）；综上所述，当△QMN 是等腰直角三角形时，点Q 的坐标为：（3，6－）或（，）. 题型三：二次函数中线段最值问题及特殊平行四边形存在性问题例3.（2019·南充）如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3,0），且OB =OC .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，且∠POB =∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m +4.点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E .∠求DE 的最大值.∠点D 关于点E 的对称点为F . 当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？【分析】（1）由题意得C (0,－3)，将A 、B 、C 点坐标代入c bx ax y ++=2求得a 、b 、c 值；（2）根据P点所处位置不同分类讨论，借助三角函数或相似三角形性质求解；（3）①利用待定系数法求出直线MN 的解析式，进而根据D 、E 的位置关系求得DE 的值为两点纵坐标的差；②利用矩形的性质，得： 2224MN DF DE ==代入求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵OB =OC ，B （-3,0），∴C （0，-3）可得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩解得：3,4,1-=-=-=c b a .即抛物线解析式为：342---=x x y .（2）过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如下图所示，由题意知：∠BAG =∠ABG =45°，∴BG =AG =AB ·sin 45°=2BC =232=OB ，∴CG =BC -BG =22，∴tan ∠ACG =12AGCG =设P （34,2---t t t ），过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，tan ∠POQ =tan ∠ACG =21.∠当P 在x 轴上方时，20,430t t t <--->则PQ =243,t t OQ t ---=-，tan ∠POQ =2431,2PQ t t OQ t ---==-即06722=++t t 解得23,221-=-=t t ， ∴1233(2,1),(,)24P P --∠当点P 在第三象限时，24312t y t ++=-，即06922=++t t ，解得：34t t ==，∴34(P P∠当点P 在第四象限时，∠POB ＞90°，而∠ACB ＜90°，故点P 不在第四象限；综上所述，点P 坐标为(2,1)-，33(,)24-，，(.（3）∠∵22(,43),(4,(4)4(4)3)M m m m N m m m ---+-+-+-即)3512,4(2---+m m m N ，设直线MN 解析式为n kx y +=，可得：2243(4)1235km n m m k m n m m ⎧+=---⎪⎨++=---⎪⎩解得：22843k m n m m =--⎧⎨=+-⎩故MN 解析式为：2(8)(43)y m x m m =--++-设)34,(2---t t t D ，2(,(28)(43))E t m t m m --++-∴DE =2(43)t t ----2[(28)(43)]m t m m --++-[]2222(2)(4)(2)4t m t m m t m =-++-+=--++，即当2+=m t 时，DE 最大值为4.∠当DE 最大时，点2(2,819)E m m m +---为线段MN 的中点.∵点E 为DF 的中点，∴当DE 最大时，四边形MDNF 为平行四边形.如果□MDNF 为矩形，则2224,MN DF DE ==故2224(832)44m ++=⨯，化简得，23(4)4m +=，解得：4m =-.当42m =-+或42--时，四边形MDNF 为矩形题型四：二次函数中给定动线段平方和最值存在性问题例4.（2019·安徽）一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得，k +4=-2，解得k =-2，二次函数顶点为（0,4），∴c =4，把（1,2）代入二次函数表达式得：a +c =2，解得a =-2（2）由（1）得二次函数解析式为y =-2x 2+4，令y =m ，得2x 2+m -4=0即x=±，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则12x x +∴W =OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（） ∴当m =1时，W 取得最小值7.题型五：二次函数中给定动线段平方和最值存在性问题例5.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，把正方形OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点. 点P 为抛物线()22y x m m =--++的顶点.（1）当m =0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数；（2）当m =3时，求该抛物线上好点坐标；（3）若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m 的取值范围.【分析】（1）（2）分别作出图形，可求得好点的个数及坐标；（3）根据抛物线顶点坐标，作出图形，分析m 的取值范围.【答案】见答案.【解析】解：（1）当m =0时，二次函数的表达式为，画出如下函数图象，∵当x =0时，y =2; 当x =1时，y =1,∴抛物线经过点（0,2）和（1,1）.22y x =-+∴好点有：（0,0），（0,1），（0,2），（1,0）和（1,1），共5个.（2）当m =3时，二次函数的表达式为，画出函数图象,∵当x =1时，y =1; 当x =2时，y =4; 当x =4时，y =4.∴该抛物线上存在好点，坐标分别是（1,1），（2,4）和（4,4）.（3）∵抛物线顶点P 的坐标为（m ,m +2）,故点P 在直线y=x +2上.由于点P 在正方形内部，则0＜m ＜2.由图知：点E (2,1), F (2,2).∴当顶点P 在正方形OABC 内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外）. 当抛物线经过点E （2,1）时，,解得：，（舍去）.当抛物线经过点F （2,2）时， ,解得：m 3=1,m 4=4(舍去).时，顶点P 在正方形OABC 内，恰好存在8个好点.2(3)5y x =--+2(2)2=1m m --++1=m 2m 2(2)2=2m m --++1m ＜题型六：二次函数中双动点及图形存在性问题例6.（2019·连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L 1：y ＝x 2+bx +c 过点C （0，﹣3），与抛物线L 2：y ＝﹣12x 2﹣32x +2的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L 1、L 2上的动点．（1）求抛物线L 1对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L 1上另一个动点，且CA 平分∠PCR ．若OQ ∥PR ，求出点Q 的坐标．【分析】（1）先求出A 点的坐标，用待定系数法求出函数解析式；（2）设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），分三种情况讨论：平行四边形为ACPQ 、ACQP 或APCQ ，列出方程求解；（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ，当点P 在y 轴右侧时，设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，过点P 作PH ⊥TR 于点H ，设点P 坐标为（x 1，y 1），点R 坐标为（x 2，y 2），证明△PSC ∽△RTC ，由相似比得到x 1+x 2＝4，进而得tan ∠PRH 的值，过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，由tan ∠QOK ＝tan ∠PRH 求解．【答案】见解析.【解答】解：（1）将x ＝2代入y ＝﹣12x 2﹣12x +2，得y ＝﹣3，故点A 的坐标为（2，﹣3），将A （2，﹣3），C （0，﹣3）代入y ＝x 2+bx +c ，得4233b c c ++=-⎧⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线L 1：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），Q (n , ﹣12n 2﹣32n +2)，当四边形ACPQ 为平行四边形时，可得：222133233222x nx x n n +=⎧⎪⎨-+--=---+⎪⎩，解得：x =0（舍去）或x =－1，即P 点坐标为（－1,0）.当四边形ACQP 为平行四边形时，可得：222133232322n xn n x x +=⎧⎪⎨---+=-+--⎪⎩，解得：x =3（舍去）或x =－43，即点P 的坐标为（3，0）或（﹣43，139）；当四边形AQCP 为平行四边形时，可得：2220133323222n xx x n n +=+⎧⎪⎨--=+----+⎪⎩，解得：x =0（舍去）或x =－3，即点P 的坐标为（－3，12）；综上所述，点P 的坐标为：（－1,0）或（3，0）或（﹣43，139）或（－3，12）.（3）当点P 在y 轴左侧时，抛物线L 1不存在点R 使得CA 平分∠PCR ，当点P 在y 轴右侧时，不妨设点P 在CA 的上方，点R 在CA 的下方，过点P 、R 分别作y 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，过点P 作PH ⊥TR 于点H ，则有∠PSC ＝∠RTC ＝90°，由CA 平分∠PCR ，得∠PCA ＝∠RCA ，则∠PCS ＝∠RCT ，∴△PSC ∽△RTC ， ∴PSRTCS CT =，设点P 坐标为（x 1，21123x x --），点R 坐标为（x 2，22223x x --），∴()()22221112323233x x x x x x --------=即x 1+x 2＝4，在Rt △PRH 中，tan ∠PRH ＝()2211221212232322x x x x x xx x -----=+-=-过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，设点Q 坐标为（m ，﹣12m 2﹣32m +2），若OQ ∥PR ，则∠QOK ＝∠PRH ，tan ∠QOK ＝tan ∠PRH ＝2，∴2m ＝﹣12m 2﹣32m +2，解得，m，所以点Q坐标为（72-，﹣772-，﹣．。

中考数学动点问题(含答案)

中考数学之动点问题一、选择题：1. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停顿，设点P运动的路程为*，△ABP的面积为y，如果y关于*的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是〔〕A、10B、16C、18D、20二、填空题：1. 如上右图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________〔把你认为正确的序号都填上〕。

三、解答题：1．〔2008年大连〕如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、C H于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线A B于点F．设PD的长为*，EF的长为y．⑴求PM的长(用*表示)；⑵求y与*的函数关系式及自变量*的取值范围(图13为备用图)；⑶当点E在线段AH上时，求*的取值范围(图14为备用图)．2.〔2008年福建宁德〕如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时0＜x＜，△DCQ的8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为*秒()8面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．⑴求y1与*的函数关系，并在图2中画出y1的图象；⑵如图2，y2的图象是抛物线的一局部，其顶点坐标是〔4，12〕，求点P的速度及AC的长；⑶在图2中，点G是*轴正半轴上一点〔0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于*轴，分别交y1、y2于点E、F．①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜*＜６时，求线段EF长的最大值．3.〔2008年白银〕如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为〔4，3〕．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿*轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t 〔秒〕． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t=秒或秒时，MN=21AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？假设有，求出最大值；假设没有，要说明理由．参考答案一、选择 A二、填空：〔1〕〔2〕〔3〕〔5〕三、解答： 2、解：⑴∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21，CD ＝3，CQ ＝*， ∴x y 231=．图象如下图．⑵方法一：CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －*k ，CQ ＝*， ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．∵抛物线顶点坐标是〔4，12〕，∴12444212=⋅+⋅-k k ．解得23=k ．图1C Q → B图2则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法二：观察图象知，当*=4时，△PCQ 面积为12．此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得 12244=⨯k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2． ∵图象过〔0，0〕，〔4，12〕，〔8，0〕，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，，解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，， ∴x x y 64322+-=． ①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －*k ，CQ ＝*，∴kx kx y 42122+-=． ②比拟①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．⑶①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差〔或△PDQ 面积〕． ②由⑵得 x x y 64322+-=.〔方法二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=〕∵EF ＝y 2－y 1， ∴EF ＝x x x x x 29432364322+-=-+-， ∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，427=EF 最大． 3、解：(1)〔4，0〕，〔0，3〕； 2分 (2) 2，6； 4分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ．由△OMN ∽△OAC ，得OCONOA OM =， ∴ ON =t 43，S=283t ． 6分当4＜t ＜8时，如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4．方法一：由△DAM ∽△AOC ，可得AM =)4(43-t ，∴ BM =6-t 43． 7分由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 34=8-t ，∴ CN =t-4． 8分S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-)4(23-t -21〔8-t 〕〔6-t 43〕-)4(23-t =t t 3832+-． ·························· 10分方法二：易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-4，BN =8-t ．7分由△BMN ∽△BAC ，可得BM =BN 43=6-t 43，∴ AM =)4(43-t ．8分以下同方法一． (4) 有最大值．方法一：当0＜t ≤4时，∵ 抛物线S=283t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值2483⨯=6； 11分当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t 3832+-的开口向下，它的顶点是〔4，6〕，∴ S ＜6．综上，当t=4时，S 有最大值6． 12分方法二：∵ S=22304833488t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩，≤，∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如下图． 11分显然，当t=4时，S有最大值6． 12分说明：只有当第〔3〕问解答正确时，第〔4〕问只答复"有最大值〞无其它步骤，可给1分；否则，不给分．。

初中数学动点问题及练习题带答案

初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。

专题十：因动点产生的与圆相切的问题

专题十：因动点产生的与圆相切的问题零点突破【例1】如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=7.点E、F分别在边AD、BC上，且点B、F 关于过点E的直线对称.如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE=.【例3】已知：如图，选段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，联结PC，过点C作CD∥AB，且CD=PC，过点D作DE∥PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q．（1）若点P与点A重合，求BE的长；（2）设PC=x， =y，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域；（3）当点Q在半圆O上时，求PC的长．【例4】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P 的坐标．【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=14，43tan A ，点D 是边AC 上一点，AD=8，点E 是边AB 上一点，以点E 为圆心，EA 为半径作圆，经过点D，点F 是边AC 上一动点（点F 不与A、C 重合），作FG ⊥EF，交射线BC 于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E 的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G 的边BC 上时，设AF=x，CG=y，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG 与△FCG 相似时，推理判断以点G 为圆心、CG 为半径的圆G 与圆E 可能产生的各种位置关系．变式训练真题直面1.（2016•湘潭）如图，抛物线n mx x y ++-=241的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx +b 的图象经过点A，交x 轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B 位于点P 的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k ＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C 同时与x 轴和直线AP 都相切，如果存在，请求出点C 的坐标，如果不存在，请说明理由．2.（2013•上海）在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，连接BP，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x 的值．。

专题10：动点问题的常见题型和解题方法(终稿)

2017—2018学年度第二学期初三数学中考复习专题十：动点问题的常见题型和解题方法（提高）动点问题是近年来中考的的一个热点问题．常求：等腰、直角、相似三角形和四边形的形状，一般都要分类；面积、周长、线段和差的关系和最值．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解．常用：几何方法——相似（全等）、勾股定理、面积关系建立方程或函数．代数方法——设坐标或元，通过图形中特殊关系建立方程或函数．特别注意：几何方法和代数方法往往是不是孤立的，是相互交融的，即数形结合．一、热点再练1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为(4,0)，∠AOC ＝60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N (点M 在点N 的上方)，若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒(0≤t ≤4)，则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是()A B C D2．如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止．已知△PAD 的面积S （单位：cm 2）与点P 移动的时间（单位：s ）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）．3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6，BC=16，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间t = 秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．4．如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q ．第2题第3题（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PDQB 是菱形．二、规律剖析（一）因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图【基本方法】等腰三角形的存在性问题，一般要分类讨论；两腰相等可能转化为两角相等或者转化为其他线段之间关系，一般会用到勾股定理或相似中的比例式列方程．【思路点拨】1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．（二）因动点产生的直角三角形问题例 2如图，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A （-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【基本方法】直角三角形的存在性问题，一般要分类讨论；遇到直角时一般考虑勾股定理或直角三角形相似或三角函数或代数法中的直线解析式．【思路点拨】1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点． 2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程． 4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．【变式】条件不变，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．（三）因动点产生的相似三角形问题例3如图，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,【基本方法】相似三角形的存在性问题，一般都要分类讨论；如果有两个角相等，那这两个角一般是对应角，所以只要讨论两种情况．【思路点拨】1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．（四）因动点产生的平行四边形问题例4如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC 向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．图1 图2【基本方法】平行四边形的存在性问题，一般都要分类讨论；比如已知的边是平行四边形的边或对角线，但本题四边形PDBQ 为菱形，只要满足一组对边平行且相等和一组邻边相等．【思路点拨】1．菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在∠ABC 的平分线上，PQ //AB ．先求出点P 运动的时间t ，再根据PQ //AB ，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度．2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径．（五）因动点产生的面积问题例5如图，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．【基本方法】面积问题的关键是用坐标表示线段长度．【思路点拨】1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方．4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值．三、分层作业1．如图(1)所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图(2)(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD ＝BE ＝5；②cos ∠ABE ＝35；③当0＜t ≤5时，y ＝25t 2；④当t ＝294秒时，△ABE ∽△QBP ；其中正确的结论是__ __(填序号)．图(1) 图(2)第1题Q第2题第3题2．如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2π B．4π C．32D．43．如图，在△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点，设BP＝x．若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90º，则x的取值范围是．4．直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与B（0，－3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过秒第4题后动圆与直线AB相切．5．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（2m ,m ），翻折矩形OABC ,使点A 与点C 重合，得到折痕DE ．设点B 的对应点为F ,折痕DE 所在直线与y 轴相交于点G ，经过点C 、F 、D 的抛物线为c bx ax ++=2y ．（1）求点D 的坐标（用含m 的式子表示）（2）若点G 的坐标为（0，－3），求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段CD 的中点为M ，在线段CD 上方的抛物线上是否存在点P ,使PM =21EA ?若存在，直接写出P 的坐标，若不存在，说明理由．。

(含答案)中考数学复习动点专题

中考数学复习动点专题动态几何问题是近几年各地中考试题常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。

动点题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X 、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

1、如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转30°，使点A 落在抛物线2ax y =（0<a ）图像上。

（1）求抛物线方程。

（2）正方形OABC 继续顺时针旋转多少度时，点A 再次落在抛物线2ax y =的图像上？并求这个点的坐标。

解：（1）设旋转后点A 落在抛物线上点A 1处，OA 1=1，过A 1作A 1M ⊥x 轴于M ，则OM=23，211=M A ，)21,23(1-A ，由2ax y =上得2)23(21a =-，解得32-=a∴232x y -= （2）由抛物线关于y 轴对称，再次旋转后A 落在抛物线上的点A 2处，点A 2与点A 1关于y 轴对称，易见继续旋转120°，点A 2的坐标为)21,23(--2、如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，对角线AC 上有一个动点P （不包括A 和C ），设AP=x ，四边形PBCD 的面积为y ，（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围。

（2）有人提出一个判断“关于动点P ，△PBC 面积与△PAD 面积之和为常。

” 请说明此判断是否正确，并说明理由。

中考专题十：猜想、动态问题

中考专题十：猜想、动点问题一、选择题1．(2009年四川省内江市)如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20O，再前进5米后又向右转20O，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米B．100米C．90米D．120米2．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（）粒。

A、12+n B、12-n C、n2D、2+n3．（2009年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P 的运动时间t之间的函数图象大致为（）4．（2009年重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．22n+B．44n+C．44n-D．4n5.（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，MNR△的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当9x=时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处6．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）．（图1）……第1个第2个第3个O20o20oA ．π5168 B ．π24 C ．π584 D ．π127．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+318．（2009 年佛山市）将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( )A ．1圈B ．1.5圈C ．2圈D ．2.5圈二、填空题1．（2009仙桃）如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n 个正方形的边长为________________．2.（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时4=1+3 9=3+616=6+10图7…针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．3．（2009年桂林市、百色市）如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009，得∠A 2009 ．则∠A 2009＝．4．（2009重庆綦江）观察下列等式：221.4135-=⨯；222.5237-=⨯；223.6339-=⨯224.74311-=⨯；…………则第n （n 是正整数）个等式为________.5．（2009年益阳市）图6是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由个基础图形组成．-6．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ★ ．（用n 的代数式表示s ）……n =1 n =2 n =3B AC D第18题图 A 1A 2AEC (F )B 图（1） E A G BC (F )D 图（2）图6(1)(2) (3) ……7．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．【答案】3三、解答题1.（2009年崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(02)A ，，点(10)C -，，如图所示：抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2009仙桃）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN ＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： (1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB ＝k ·AC(k ＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．（第1４题）3．(2009年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P,Q 分别从A,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒)(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t ＜92时,△P Q F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△P QF 为等腰三角形?请写出解答过程．4.（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a=-+≠经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．。

中考压轴题十大类型之动点问题

念书破万卷下笔如有神第一讲中考压轴题十大种类之动点问题一、解题策略和解法精讲解决动点问题的要点是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解题过程中浸透空间见解和合情推理。

在动点的运动过程中察看图形的变化情况，理解图形在不同样地址的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”研究题的基本思路 ,这也是动向几何数学问题中最中心的数学本质。

二、精讲精练1.（2011 吉林）如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC，∠ BAD=90°， CE⊥ AD 于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时辰开始，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，运动速度均为 1cm/s，动点 P 沿 A-B-C-E 方向运动，到点 E 停止；动点 Q 沿 B-C-E- D 方向运动，到点 D 停止，设运动时间为x s，△ PAQ 2的面积为 y cm ，（这里规定：线段是面积为0 的三角形）解答以下问题：（1）当x=2s 时， y=_____ cm2；当x =9 s 时， y=_______ cm2．2（2）当5 ≤x ≤14时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出y4S 梯形ABCD时x 的值．15（4）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所．．有 x 的值．2.（2007 河北）如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点 P 从点 B 出发沿折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动；点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 向上作射线 QK⊥BC，交折线段 CD-DA-AB 于点 E．点 P、Q 同时开始运动，当点 P 与点 C 重合时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（ t＞0）．（1）当点 P 抵达终点 C 时，求 t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点 P 运动到 AD 上时， t 为何值能使 PQ∥DC ？（3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S，分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时， S 与 t 的关系式；（4）△PQE 可否成为直角三角形？若能，写出 t 的取值范围；若不能够，请说明原因．A DK A DP EBQ CBC备用图3.（2008 河北）如图，在Rt△ABC中，∠ C=90°， AB=50，AC=30，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点．点 P 从点D出发沿折线 DE-EF-FC-CD 以每秒7 个单位长的速度匀速运动；点Q从点 B 出发沿BA方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作射线 QK AB ，交折线BC-CA于点 G ．点 P，Q 同时出发，当点 P 绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P， Q 运动的时间是t秒（ t 0 ）．（1）D，F两点间的距离是；（2）射线QK可否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能够，说明原因；（3）当点 P 运动到折线EF FC 上，且点P又恰巧落在射线 QK 上时，求t的值；（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出 t 的值．．．C K CD F D FP GA EQB A E B备用图4（.2011 山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形．直线 l 经过O、C两点．点A的坐标为( 8，0)，点B的坐标为( 11，4)，动点P在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A出发以每秒 2 个单位的速度沿A→ B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O- C- B 订交于点 M．当 P、 Q 两点中有一点抵达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 ( t 0 ) ，△ MPQ 的面积为 S．（1）点 C 的坐标为 ________，直线l的剖析式为 __________．（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围．（3）试求题 ( 2) 中当 t 为何值时， S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 订交于点N．试试究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出 t 的值．ylC BM Qyl C QBMOP AxylC M Q BO P A x5.（ 2011四川重庆）如图，矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝2 3，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP＝ 3．一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿OA 匀速运动，抵达A 点后，立刻以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动．在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边△EFG，使△EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧，设运动的时间为 t 秒（t≥0）．（1）当等边△EFG 的边 FG 恰巧经过点 C 时，求运动时间 t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边△ EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S与 t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，可否存在这样的 t，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明原因．D C D CEO B F P A E O B F P备用图 1D CAE O BF P备用图 2三、测试提高1．（2011 山东烟台）如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上，底边 CD 的端点 D 在 y 轴上．直线 CB 的表达式为 y4 x16，点 A 、D3 3的坐标分别为（－ 4，0），（0，4）．动点 P 自 A 点出发，在 AB 上匀速运动．动点 Q 自点 B 出发，在折线 BCD 上匀速运动，速度均为每秒 1 个单位．当其中一个动点抵达终点时，它们同时停止运动．设点 P 运动 t （秒）时，△OPQ 的面积为 S （不能够组成△ OPQ 的动点除外）．（1）求出点 B 、C 的坐标；（2）求 S 随 t 变化的函数关系式；（3）当 t 为何值时 S 有最大值？并求出最大值．备用图。

动点专题(含答案)

动点专题一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.6B.5C.4D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP，DP．设点P的运动时间为t 秒．当t为( )秒时，△DCP≌△CDE．A.7B.3C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P 的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△BPD与△CQP可能全等．A. B.C.3D.3或4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒1cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P的运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，则点Q的运动速度是( )A. B.3cm/s或4cm/sC.1cm/sD.4cm/s答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到点E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒．当t为( )秒时，△ABP和△DEC全等.A.2B.2或12C.1D.1或6答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.如图，在长方形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，动点P以4cm/s的速度从B点出发，沿BA 方向向点A移动，同时动点Q以1cm/s的速度，沿CD方向向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当t为( )秒时，线段PQ恰好平分长方形ABCD的面积．A.3B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=4，BC=6，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向终点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为( )时，△MNC是以MN为底的等腰三角形．A.1B.2C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.如图，在长方形ABCD中，∠B=90°，AB=6m，BC=8m，动点P以3m/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C移动，同时动点Q以2m/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动；当P，Q两点中其中一点到达终点时，则停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )秒时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.2B.5C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G—C—D—E—F—H，相应的△ABP的面积y（）关于运动时间t （s）的图象如图2．若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有( )①图1中的BC长是4cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24；③图1中的CD长是4cm；④图2中的N点表示第12秒时y的值为18．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象10.如图1，在长方形ABCD中，动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿BC-CD-DA运动到A 点停止，设点P的运动时间为x（s），△ABP的面积为y()，y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的面积是( )．A.4B.8C.10D.16答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象。

中考数学专题复习动点型问题(含详细参考答案)

专题十动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1（2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O.与∠α 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r （r ＞0）变化的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

部编数学七年级上册专题10线段中的动点问题与数学思想专题讲练(解析版)含答案

专题10 线段中的动点问题与数学思想专题讲练线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。

本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。

1、知识储备考点1. 线段中点有关的动点问题考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题考点4. 阅读理解型（新定义）问题考点5. 分类讨论思想考点6. 数形结合思想考点7. 整体思想考点8. 方程思想2、经典基础题3、优选提升题1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设x 列方程；2.线段等量代换模型：若FG EH =，则HG FG HG EH ±=±，即FHEG =3.定和型中点模型：若M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则AB MN 21 线段的动点问题解题步骤：1.设入未知量t 表示动点运动的距离；2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3.根据题设条件建立方程求解；4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。

考点1. 线段中点有关的动点问题变式1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC ＝10厘米，BC ＝6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．（1）求线段MN 的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC ＝a ，BC ＝b ，其他条件不变，求MN 的长度．（3）动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．当C 、P 、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t ．变式1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且14AB =，动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (0)t >秒：（1）写出数轴上点B 表示的数为______，点P 表示的数为______ （用含t 的代数式表示）；（2）动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q ？（3）若M 为AP 的中点，N 为PB 的中点，点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．【答案】（1）-6，84t -；（2）点P 运动7秒时追上点Q ；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为7【分析】（1）根据点A 表示的数和AB 的长度即可求解；（2）根据题意列出方程4214t t =+，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时，②当点P 运动到点B 的左侧时，根据中点的定义即可求解．【详解】（1）解：∵数轴上点A 表示的数为8，且14AB =，∴点B 表示的数为6-，点P 表示的数为84t -，故答案为：-6，84t -；（2）设点P 、Q 同时出发，点P 运动时间t 秒追上Q ，依题意得，4214t t =+，解得7t =，∴点P 运动7秒时追上点Q ；（3）线段MN 的长度没有发生变化都等于7；理由如下：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时：MN MP NP =+1122AP BP =+1()2AP BP =+12AB =1142=´7=，②当点P 运动到点B 的左侧时：MN MP NP=-1122AP BP=-1()2AP BP=-12AB=7=，∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题例1．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，线段28AB=厘米，点D和点C在线段AB上，且:5:2AC BC=，:1:4DC AB=．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当7PQ=厘米时，求t的值．变式1．（2022·天津和平·七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为；此时，Q点所到的点表示的数为．（用含t的代数式表示）②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．变式2．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=13AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧．(1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长；(2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长；(3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求CDAC的值．考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题例1．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB 上，线段24AB =，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB 上运动．M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，设点P 的运动时间为t 秒．(1)若点P 在线段AB 上的运动，当10PM =时，PN = ；(2)若点P 在射线AB 上的运动，当2PM PN =时，求点P 的运动时间t 的值；(3)当点P 在线段AB 的反向延长线上运动时，线段AB 、PM 、PN 有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．变式1．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝　，n＝　；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E 是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）m=12，n= 4；（2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=12AC ，DN=BN=12BD∴MN=CM+CD+DN=12AC+CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=1 2(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：81013231a a+++=++解得：a=2在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点∴CE= BE=12BC=2+t；Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．考点4. 阅读理解型（新定义）问题例1．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC 时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D 是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是；NM的内二倍分割点表示的数是．（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．①线段BP的长为；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．变式1．（2022·河南南阳·七年级期中）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）-和40，点C是线段AB的巧点，求点C在【问题解决】（2）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20数轴上表示的数。

中考数学备考专题复习动点综合问题(含解析)

动点综合问题一、单选题（共12题;共24分）1、（2016•安徽)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为( ）A 、B、2C 、D 、2、（2016•台州）如图,在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是( ）A、6B、2 +1C、9D 、3、（2016•十堰）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中,C是AB边上的动点（不与端点A，B重合）,作CD⊥OB于点D,若点C，D都在双曲线y= 上（k＞0，x＞0），则k 的值为（）A、25B、18C、9D、94、（2016•娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D 沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合),作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（)A、不变B、增大C、减小D、先变大再变小5、（2016•宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A、4.8B、5C、6D、7.26、（2016•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1,AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A、1B、2C、3D、47、（2016•漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8，D是线段BC 上的动点(不含端点B、C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（)A、5个B、4个C、3个D、2个8、(2016•荆门)如图，正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C 停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP 的面积y（cm2）关于x（cm)的函数关系的图象是（)A 、B 、C 、D 、9、(2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心,M 是BC的中点,动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M 时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S(cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A 、B 、C 、D 、10、（2016•西宁）如图，在△ABC 中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是( ）A、18cm2B、12cm2C、9cm2D、3cm211、（2016•西宁）如图，点A的坐标为（0,1），点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角△ABC,使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A 、B 、C 、D 、12、（2016•济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5,BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3,点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后,另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S,运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（ )A 、B 、C 、D 、二、填空题(共5题;共5分）13、（2016•内江)如图所示,已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点,D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________．14、（2016•舟山)如图,在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y 轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P 从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．15、（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN,ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________16、（2016•龙东）如图，MN是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．17、（2016•日照）如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0,﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ的最小是________．三、综合题(共7题;共95分）18、（2016•江西）如图，AB是⊙O的直径,点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB,垂足为E，射线EP交于点F,交过点C的切线于点D．(1)求证：DC=DP；（2)若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O,C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．19、（2016•南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上,且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．（1)如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN;AM=AN；（2）①如图二,在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）②是否存在满足条件的点P，使得PC= ?请说明理由．20、(2016•海南)如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0）,与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．（1)求该抛物线所对应的函数解析式;（2）若点P的坐标为（﹣2,3），请求出此时△APC的面积；(3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．①若∠APE=∠CPE，求证: ;②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．21、（2016•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°,动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5），连接MN．(1）若BM=BN,求t的值;（2)若△MBN与△ABC相似,求t的值；(3）当t为何值时,四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．22、（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D,交抛物线于点C．设运动时间为t（秒)．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式;(2)连接BC,当t= 时，求△BCP的面积；(3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA 上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ,将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．23、（2016•呼和浩特）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣)，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．(1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；(2）求｜PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；(3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a｜x｜2﹣2a｜x｜+c的图象只有一个公共点,求t的取值．24、（2016•遵义）如图，△ABC中，∠BAC=120°,AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）当BP=2 时,试说明射线CA与⊙P是否相切．（3）连接PA，若S△APE = S△ABC , 求BP的长．答案解析部分一、单选题【答案】B【考点】圆周角定理，点与圆的位置关系【解析】【解答】解:∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC交⊙O于点P，此时PC最小, 在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3,∴OC= =5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识,解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．【答案】C【考点】切线的性质【解析】【解答】解：如图,设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1 ,此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1﹣OQ1 ,∵AB=10，AC=8，BC=6,∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°,∴OP1∥AC∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1= AC=4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．【答案】C【考点】等边三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．∵△OAB为边长为10的正三角形，∴点A的坐标为（10,0)、点B的坐标为（5，5 ),点E的坐标为（，)．∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴ ．设=n(0＜n＜1），∴点D的坐标为（，）,点C的坐标为（5+5n,5 ﹣5 n)．∵点C、D均在反比例函数y= 图象上，∴，解得：．故选C．【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB,AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出，令该比例=n，根据比例关系找出点D、C的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质,解题的关键是找出点D、C的坐标．本题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示点的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．【答案】C【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBF，设CD=a,DB=b，∠DCF=∠DEB=α，∴CF=DC•cosα,BE=DB•cosα,∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，∵∠ABC=90°，∴O＜α＜90°,当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，∴cosα的值是逐渐减小的，∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．故选C．【分析】设CD=a,DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识,利用三角函数的定义,得到BE+CF=BC•cosα,记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．【答案】A【考点】三角形的面积,矩形的性质【解析】【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,∴S矩形ABCD=AB•BC=48,OA=OC，OB=OD，AC=BD=10,∴OA=OD=5,∴S△ACD = S矩形ABCD=24,∴S△AOD = S△ACD=12,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP = OA•PE+ OD•PF= ×5×PE+ ×5×PF= （PE+PF）=12，解得:PE+PF=4.8．故选：A．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,可求得OA=OD=5,△AOD的面积,然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP = OA•PE+OD•PF求得答案．此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中,注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．【答案】C【考点】菱形的性质，轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP 的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2,AE=1,∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【分析】作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．【答案】C【考点】等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【解答】解:过A作AE⊥BC,∵AB=AC，∴EC=BE= BC=4，∴AE= =3，∵D是线段BC上的动点(不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4,∵线段AD长为正整数，∴点D的个数共有3个,故选：C．【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短,首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．【答案】A【考点】一次函数的图象，三角形的面积，与一次函数有关的动态几何问题【解析】【解答】解:当P点由A运动到B点时,即0≤x≤2时，y= ×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y= ×2×2=2,符合题意的函数关系的图象是A；故选:A．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时,面积逐渐增大，由B运动到C时,面积不变,从而得出函数关系的图象．本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．【答案】A【考点】函数的图象，正方形的性质【解析】【解答】解：分两种情况:①当0≤t＜4时，作OM⊥AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°,AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AM=BM=OM= AB=2cm，∴S= AP•OM= ×t×2=t（cm2）；②当t≥4时，作OM⊥AB于M，如图2所示：S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积= ×2×2+ （2+t﹣4）×2=t(cm2）;综上所述:面积S(cm2）与时间t(s)的关系的图象是过原点的线段，故选A．【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质,求出S与t的函数关系式是解决问题的关键．分两种情况:①当0≤t＜4时,作OM⊥AB于M，由正方形的性质得出∠B=90°,AD=AB=BC=4cm，AM=BM=OM= AB=2cm,由三角形的面积得出S= AP•OM=t（cm2）；②当t≥4时,S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积=t(cm2）;得出面积S(cm2)与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段,即可得出结论．【答案】C【考点】二次函数的最值,解直角三角形【解析】【解答】解:∵tan∠C= ，AB=6cm，∴ = = ，∴BC=8，由题意得：AP=t,BP=6﹣t，BQ=2t，设△PBQ的面积为S,则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣(t﹣3）2+9，P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4,∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时,△PBQ的最大面积为9cm2；故选C．【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题,解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）;这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：作AD∥x轴,作CD⊥AD于点D，若右图所示, 由已知可得,OB=x，OA=1,∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，,∴△OAB≌△DAC（AAS)，∴OB=CD,∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1,∴y=x+1（x＞0）．故选：A．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB 的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．【答案】D【考点】分段函数，三角形的面积，矩形的性质，与一次函数有关的动态几何问题，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【解答】解:∵AD=5,AN=3，∴DN=2,如图1,过点D作DF⊥AB，∴DF=BC=4，在RT△ADF中，AD=5，DF=4，根据勾股定理得，AF= =3，∴BF=CD=2，当点Q到点D时用了2s，∴点P也运动2s,∴AP=3，即QP⊥AB，∴只分三种情况:①当0＜t≤2时，如图1，过Q作QG⊥AB,过点D作DF⊥AB，QG∥DF，∴，由题意得，NQ=t，MP=t，∵AM=1，AN=3，∴AQ=t+3，∴ ,∴QG= (t+3），∵AP=t+1,∴S=S△APQ = AP×QG= ×（t+1)× （t+3）= （t+2）2﹣，当t=2时，S=6，②当2＜t≤4时,如图2，∵AP=AM+t=1+t，∴S=S△APQ = AP×BC= （1+t）×4=2（t+1）=2t+2,当t=4时，S=8，③当4＜t≤5时，如图3，由题意得CQ=t﹣4,PB=t+AM﹣AB=t+1﹣5=t﹣4,∴PQ=BC﹣CQ﹣PB=4﹣(t﹣4）﹣（t﹣4）=12﹣2t，∴S=S△APQ = PQ×AB= ×(12﹣2t）×5=﹣5t+50，当t=5时，S=5，∴S与t的函数关系式分别是①S=S△APQ = （t+2）2﹣，当t=2时，S=6,②S=S△APQ=2t+2,当t=4时，S=8，③∴S=S△APQ=﹣5t+50，当t=5时,S=5，综合以上三种情况，D正确故选D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时,PQ⊥AB是易错的地方．二、填空题【答案】10【考点】轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″(7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC 的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″= =10．故答案为10．【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣1,0）,点C关于直线AB的对称点C″（7，6)，连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．【答案】4【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1,∴AB=2，BO= = ，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB,则∠ACQ=90°∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°= ∴AQ= =2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1,③当点P从C→A时,如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4【分析】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．【答案】或【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM 于点O′,此时∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位线,∴DE∥BC,DE= BC=10，∵DN′∥EF,∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°,∴四边形DEFN′是矩形，∴EF=DN′，DE=FN′=10，∵AB=AC,∠A=90°，∴∠B=∠C=45°,∴BN′=DN′=EF=FC=5，∴ = ，∴ = ，∴DO′= ．当∠MON=90°时，∵△DOE∽△EFM，∴ = ，∵EM= =13,∴DO= ，故答案为或．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据= 计算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得= 计算即可．本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论,学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【答案】2【考点】圆周角定理，轴对称—最短路线问题【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴ = ，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中,OA′=2，∴A′B=2A′Q=2 ,即PA+PB的最小值2 ．故答案为：2 ．【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知= ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【答案】【考点】切线的性质【解析】【解答】解：过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C 的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．直线AB的解析式为y=﹣，即3x+4y﹣12=0，∴CP= = ．∵PQ为⊙C的切线，∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°,∴PQ= = ．故答案为: ．【分析】过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ,由点到直线的距离求出CP的长度,再根据勾股定理即可求出PQ的长度．本题考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理,解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大,解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键．三、综合题【答案】(1）证明：连接BC、OC，∵AB是⊙O的直径,∴∠OCD=90°,∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°,∵CD为切线,∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°,∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）解:以A，O，C,F为顶点的四边形是菱形；∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形,∴∠AOC=120°，连接OF，AF,∵F是的中点,∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四边形OACF为菱形．【考点】垂径定理,切线的性质【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．（1)连接BC、OC,利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB,易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代换可得∠DPC=∠ACD,可证得结论；（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中点，易得△AOF与△COF 均为等边三角形,可得AF=AO=OC=CF，易得以A,O，C,F为顶点的四边形是菱形．【答案】（1）证明:如图一中∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM,∴∠PAM=∠P BC, ，∴∠PBC+∠PBA=90°,∴∠PAM+∠PBA=90°,∴∠APB=90°,∴AP⊥BN,∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴ ，∴ ，∵AB=BC，∴AN=AM．（2）解:①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．理由如图二中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°,∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN,∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA,∴ ，∴∵AB=BC，∴AN=AM．②这样的点P不存在．理由：假设PC= ，如图三中，以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆, CO= = ＞1+ ,∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC= 的点P不存在【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用【解析】【分析】（1)由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出= = ，由△BAP∽△BNA,推出= ，得到= ,由此即可证明．（2)①结论仍然成立,证明方法类似(1)．②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC= ，推出矛盾即可．本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题,最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题．【答案】（1）解：解:设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），把C（0,﹣5）代入得a•5•1=﹣5,解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5 （2）解：解:设直线AC的解析式为y=mx+n,把A（﹣5,0），C（0,﹣5）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），∴PQ=3﹣(﹣3）=6，∴S△APC=S△APQ+S△CPQ = •PQ•5= ×6×5=15；（3）解:①证明：∵∠APE=∠CPE，而PH⊥AD，∴△PAD为等腰三角形，∴AH=DH，设P（x,﹣x2﹣6x﹣5),则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，∵PH∥OC,∴△PHD∽△COD,∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5):5=DH：（﹣x﹣DH），∴DH=﹣x﹣，而AH+OH=5,∴﹣x﹣x﹣=5,整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣,x2=﹣5（舍去）,∴OH= , ∴AH=5﹣= ，∵HE∥OC，∴ = = ；②能．设P(x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x,﹣x﹣5），当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0)；当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=｜﹣x﹣5｜，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去)，x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去）,x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3)；当E′A=E′P，如图2，AE′= E ′H′=（x+5）,P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x,则x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去),x2= ，此时P点坐标为( ，﹣7﹣6 ），综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3）,（，﹣7﹣6 )【考点】二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）(x+1），然后把C 点坐标代入求出a即可;（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P(x，﹣x2﹣6x﹣5)，则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH 的长,然后利用平行线分线段成比例定理计算出= ; ②设P （x，﹣x2﹣6x﹣5），则E(x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5｜,当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5）,P′E′=x2+5x，则x2+5x=（x+5）,然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定;会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，∴BN=5 —t，∵BM=BN，∴2t=5 —t解得：．（2）解：分两种情况:①当△MBN∽△ABC时,则，即，解得:t= ．②当△NBM∽△ABC时，则，即,解得:t= ．综上所述：当t= 或t= 时,△MBN与△ABC相似．（3）解:过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴ ,即，解得：MD=t．设四边形ACNM的面积为y，∴y= = =．∴根据二次函数的性质可知,当t= 时，y的值最小．此时, ．【考点】二次函数的性质，相似三角形的性质【解析】【分析】（1）由已知条件得出AB=10,BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，BN=5 - t，由BM=BN得出方程2t=5 —t，解方程即可;(2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式,即可得出t的值;②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式,即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC于点D,则MD∥AC,证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积,得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【答案】（1)解:把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得：解得,∴二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式为：y=﹣x2+ x+4（2）解:如图1，当t= 时，AP=2t，∵PC∥x轴，∴ ，∴ ，∴OD= = × = ，当y= 时，=﹣x2+ x+4，3x2﹣5x﹣8=0，x1=﹣1,x2= ，∴C（﹣1，）,由得,则PD=2，∴S△BCP = ×PC×BD= ×3× =4（3）解:如图3，当点E在AB上时，由（2)得OD=QM=ME= ，∴EQ= ，由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴∴ ，∴ ,∴t=，同理得:PD=3﹣，∴当0≤t≤ 时,S=S△PDQ = ×PD×MQ= ×（3﹣）× , S=﹣t2+ t; 当＜t≤2.5时,如图4,P′D′=3﹣，点Q与点E关于直线P′C′对称,则Q（t,0）、E（t，），∵AB的解析式为:y=﹣x+4，D′E的解析式为：y= x+ t，则交点N（，），∴S=S△P′D′N = ×P′D′×FN= ×（3﹣）（﹣），∴S= t2﹣t+ ．【考点】二次函数的应用【解析】【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；(2）如图1，要想求△BCP的面积,必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤ 时,如图2所示,重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当＜t≤2。

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ（D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。

初中数学动点问题及练习题附参考答案

初中数学动点问题及练习题附参考答案动点问题是初中数学中的一个重要部分，它涉及到点的运动与位置的变化。

通过解决动点问题，我们可以锻炼自己的逻辑思维能力，提高数学解题的能力。

本文将介绍初中数学中常见的动点问题，并附带一些练习题及其参考答案。

1. 直线运动问题直线运动是最简单的动点问题之一。

在直线运动中，点从一个位置沿直线运动到另一个位置。

我们通常需要确定点的位移、速度和时间等，以解决相关问题。

例如，小明从家里骑自行车出发，经过15分钟骑行到达学校，全程约5公里。

求小明的平均速度。

解：根据题意，小明骑行的时间为15分钟，即0.25小时。

位移为5公里。

根据速度的定义，速度等于位移除以时间，所以小明的平均速度为5公里/0.25小时=20公里/小时。

2. 圆周运动问题圆周运动是另一类常见的动点问题。

在圆周运动中，点围绕某一中心点做圆周运动。

我们通常需要确定点的角度、半径和时间等，以解决相关问题。

例如，一个车轮的半径为30厘米，转动一周需要走过的距离是多少？解：根据题意，车轮转动的一周是一个半径为30厘米的圆的周长。

周长等于2πr，其中π取3.14，r是半径。

所以车轮转动一周需要走过的距离为2×3.14×30=188.4厘米。

练习题：1. 小明以每小时60公里的速度从A地出发，向B地行驶，2小时后小刚以每小时80公里的速度从B地出发，向A地行驶。

求他们相遇时的距离。

2. 一个半径为15厘米的车轮转了5分钟，这段时间内车轮走过的距离是多少？参考答案：1. 解：小明行驶的距离为60公里/小时×2小时=120公里。

小刚行驶的距离为80公里/小时×2小时=160公里。

所以他们相遇时的距离为120公里+160公里=280公里。

2. 解：根据题意，车轮转了5分钟，即1/12小时。

车轮的周长为2×3.14×15=94.2厘米。

所以车轮走过的距离为94.2厘米/小时×(1/12)小时=7.85厘米。