《数学奥林匹克专题讲座》三
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转《数学奥林匹克专题讲座》五(2009-01-31 12:31:12)标签：杂谈分类：他山之石转《数学奥林匹克专题讲座》五二、立体图形的侧面展开图例7 左下图是一个立体图形的侧面展开图（单位：cm），求这个立体图形的表面积和体积。
解：这个立体图形是一个圆柱的四分之一（如右上图），圆柱的底面半径为10cm，高为8cm。
它的表面积为例8左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。
请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。
解：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。
（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。
（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。
边AC在ABCD面上，AP在ABFE 面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。
（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。
需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。
连好线的图形如右上图。
例9如右图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）。
这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面。
这个多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样。
因此，多面体的顶点总数为9×2=18（个）。
在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条。
因为每条虚线表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以多面体的总棱数为19＋34÷2=36（条）。
综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为20+18＋36＝74。
数学奥林匹克专题讲座
数学奥林匹克专题讲座
数学奥林匹克专题讲座第01讲数论的方法技巧（上）数学奥林匹克专题讲座第02讲数论的方法技巧（下）数学奥林匹克专题讲座第03讲奇偶分析
数学奥林匹克专题讲座第04讲整数的分拆
数学奥林匹克专题讲座第05讲有趣的数字
数学奥林匹克专题讲座第06讲与年号有关的竞赛题
数学奥林匹克专题讲座第07讲图形与面积
数学奥林匹克专题讲座第08讲_立体图形
数学奥林匹克专题讲座第09讲列方程解应用题
数学奥林匹克专题讲座第10讲应用问题选讲
数学奥林匹克专题讲座第11讲计数的方法与原理
数学奥林匹克专题讲座第12讲染色和赋值
数学奥林匹克专题讲座第13讲抽屉原理
数学奥林匹克专题讲座第14讲估计与估算
数学奥林匹克专题讲座第15讲离散最值问题
数学奥林匹克专题讲座第16讲枚举、归纳与猜想数学奥林匹克专题讲座第17讲数学方法选讲（上）数学奥林匹克专题讲座第18讲数学方法选讲（下）。
华罗庚数学奥林匹克讲座pdf
幼儿园教师培训工作总结引言概述：幼儿园教师培训工作是提高教师专业素养和教学水平的重要途径，对于幼儿园教育的发展具有重要意义。
本文将从五个大点出发，详细阐述幼儿园教师培训工作的重要性和具体内容。
正文内容：1. 培训需求分析1.1 教师专业素养提升- 培训教师在教育理论、教学方法、教育心理学等方面的知识和技能，提高教师的专业素养。
- 培训教师在幼儿园教育特点、教育目标、教育内容等方面的了解，提高教师对幼儿园教育的认识和理解。
- 培训教师在幼儿园教育实践中的问题和挑战，提高教师的解决问题和应对挑战的能力。
1.2 教师教学能力提升- 培训教师在课程设计、教学方法、教学评价等方面的知识和技能，提高教师的教学能力。
- 培训教师在幼儿园教学实践中的经验和案例分享，提高教师在教学中的应用能力。
- 培训教师在教学反思和改进方面的指导，帮助教师不断提升教学质量。
2. 培训内容设计2.1 教育理论知识培训- 介绍幼儿园教育的理论基础，如儿童发展理论、学习理论等，帮助教师深入理解幼儿园教育的本质和目标。
- 探讨幼儿园教育的特点和要求，如关注幼儿的个体差异、培养幼儿的综合能力等，引导教师在实践中更好地发挥作用。
2.2 教学方法与策略培训- 介绍幼儿园教学中常用的教学方法和策略，如启发式教学、游戏教学等，帮助教师选择适合幼儿园教学的方法。
- 分析幼儿园教学实践中的问题和挑战，提供解决问题和应对挑战的方法和策略，帮助教师提升教学效果。
2.3 教学资源与工具培训- 介绍幼儿园教学中常用的教学资源和工具，如教具、多媒体设备等，帮助教师丰富教学内容和方法。
- 指导教师如何有效地利用教学资源和工具，提高教学效果和教学质量。
3. 培训方式与方法3.1 理论学习与案例分析- 通过讲座、研讨会等形式，向教师传授教育理论知识，引导教师深入理解幼儿园教育的本质和目标。
- 通过案例分析，让教师了解幼儿园教育实践中的问题和挑战，并提供解决问题和应对挑战的方法和策略。
发掘初中数学的数学奥林匹克
发掘初中数学的数学奥林匹克数学奥林匹克是一项激发学生数学潜能、提高数学能力的竞赛。
它不仅仅是一场普通的数学竞赛，更是一种学习方法和思维方式的培养。
初中数学作为数学奥林匹克的基础，提供了培养学生数学思维和解决问题的能力的重要平台。
本文将探讨如何通过数学奥林匹克发掘初中数学的潜力。
首先，数学奥林匹克有助于拓展数学知识面。
传统的课堂教学注重基础知识的传授和应用能力的培养，而数学奥林匹克则更加注重对于问题的深入探究和解决思路的拓展。
参与数学奥林匹克的学生需要不断思考、尝试新的解题方法，从而发现和学习更多的数学知识。
通过参与奥林匹克比赛，学生将接触到一系列高深的数学问题和方法，从而增加数学知识的广度和深度。
其次，数学奥林匹克能够提高学生的问题解决能力。
数学奥林匹克不仅仅是为了得到某个答案，更加强调解题思路和过程的合理性和创造性。
参与奥林匹克的学生需要充分调动自己的智力和潜力，通过分析、推理、演绎等思维方式解决问题。
这种锻炼思维的过程，能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力，让他们能够具备解决复杂问题的能力。
此外，数学奥林匹克还能提高学生的创新意识和团队合作能力。
在解决数学奥林匹克问题的过程中，学生需要思维开阔，积极探索各种可能性，培养创新和发散性思维。
同时，数学奥林匹克也是一个团队活动，学生需要与队友紧密合作，共同解决问题。
通过团队合作，学生能够学习到集思广益的方法，发现问题、解决问题的能力得到全面提升。
此外，在数学奥林匹克中，学生还可以培养自信心和竞争意识。
数学奥林匹克是一场竞赛，学生需要与其他优秀的选手竞争，在竞争中不断提高自己。
通过数学奥林匹克的挑战，学生可以充分展示自己的才华，培养自信心。
同时，也能够从其他学生的优势之处进行学习，不断提升自己的水平。
总结而言，数学奥林匹克作为一种培养学生数学思维和解决问题能力的竞赛，对于发掘初中数学的潜力具有重要意义。
通过参与数学奥林匹克，学生能够拓展数学知识面，提高问题解决能力，培养创新意识和团队合作能力，同时也能够增强自信心和竞争意识。
数学奥林匹克专题讲座
数学奥林匹克专题讲座一、立体图形空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。
我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，但有关立体图形的概念还需要深化，空间想象能力还需要提高。
将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常用思路。
（一）立体图形的表面积和体积计算例1：一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯内侧的底面积是72cm2，在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？解：水的体积为72×2.5=180（cm3），放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6×6=32（cm2）的柱体，所以它的高为180÷32=5（cm）。
例2：右图表示一个正方体，它的棱长为4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体，问：此图的表面积是多少？分析：正方体有6个面，而每个面中间有一个正方形的孔，在计算时要减去小正方形的面积。
各面又挖去一个小正方体，这时要考虑两头小正方体是否接通，这与表面积有关系。
由于大正方体的棱长为4cm，而小正方体的棱长为1cm，所以没有接通。
每个小正方体孔共有5个面，在计算表面积时都要考虑。
解：大正方体每个面的面积为4×4-1×1=15（cm2），6个面的面积和为15×6=90（cm2）。
小正方体的每个面的面积为1×1=1（cm2），5个面的面积和为1×5=5（cm2），6个小正方体孔的表面积之和为5×6=30（cm2），因此所求的表面积为90＋30=120（cm2）。
想一想，当挖去的小正方体的棱长是2cm时，表面积是多少？请同学们把它计算出来。
例3：正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数。
数学奥林匹克命题人讲座pdf
数学奥林匹克命题⼈讲座
数学奥林匹克命题⼈讲座
数学奥林匹克命题⼈讲座是⼀场由数学领域内资深专家所主持的学术讲座。
该讲座主要⾯
向对数学有浓厚兴趣的学⽣和教师，旨在探讨数学的基础理论和应⽤实践。
在讲座中，讲者将分享⾃⼰多年来在数学教育和研究⽅⾯的经验和⼼得，介绍数学奥林匹
克的历史和发展，以及命题⼈在奥林匹克⽐赛中扮演的⾓⾊和责任。
此外，讲者还将为参
会者提供⼀些有关解决复杂数学问题的技巧和⽅法。
通过数学奥林匹克命题⼈讲座，参会者可以深⼊了解数学的精髓和魅⼒，了解数学研究的
前沿和趋势，同时也可以提⾼⾃⼰的数学能⼒和解决问题的能⼒。
因此，该讲座对于数学
教育和科研⼯作者以及对数学感兴趣的学⽣来说，具有重要的意义和价值。
如果您对数学奥林匹克命题⼈讲座感兴趣，不妨关注相关的学术活动和学术机构，了解最
新的讲座信息和讲座时间。
相信这将是您提⾼数学素养和探索数学魅⼒的⼀次难得机会。
数学奥林匹克命题⼈讲座1。
数学奥林匹克竞赛培训
数学奥林匹克竞赛培训数学奥林匹克竞赛是一个为中学生提供挑战性学习机会的国际性竞赛，将数学知识和思维能力应用在实践中。
它可以丰富学生的知识，增强学生的认知能力，培养学生的创新思维，提高学生的自信心。
为了让学生能够更好地参加数学奥林匹克竞赛，给学生提供更高质量的培训是十分必要的。
针对数学奥林匹克竞赛培训，应当把握三个方面的内容：首先，增强学生的专业知识，使学生掌握思维和算法的基本原理；其次，锻炼学生的实践能力，让学生在实践中学习和积累经验；最后，强化学生的抗压能力，培养学生在竞争中保持积极乐观的态度。
一、强化数学知识在数学奥林匹克竞赛培训中，首先应该重点强化学生的数学专业知识，提高学生的计算能力，改善学生的算法思维。
为此，应从数学基础知识入手，从求解几何问题，到熟练掌握多项式等数学运算原理，让学生掌握基本的数学思维，熟练掌握数学计算能力。
二、实践指导在数学奥林匹克竞赛培训中，还应当进行实践指导，给学生提供机会，让学生在实践中学习经验。
这可以通过指导学生参加数学奥林匹克竞赛，模拟试题，尝试解决练习数学题目等方式来实现，以便让学生在不断的实践中，逐步锻炼算法思维，掌握数学解题的步骤，积累经验。
三、健全心理素质在培训过程中，还应当做好心理指导，培养学生的心理素质，使学生在竞赛中进行理性的思考，保持积极乐观的态度。
而且，参加数学奥林匹克竞赛会带来一定的压力，因此要让学生懂得紧张与释放的技巧，懂得如何比拼自己，保持自信，增强自身的抗压能力。
数学奥林匹克竞赛培训，是为了帮助学生更好地参加数学奥林匹克竞赛，从而增强学生的数学知识，培养学生的抗压能力及实践能力，塑造学生的创新思维。
因此，培训应充分结合学生的实际情况，多采用互动的方式，有针对性的指导学生的学习，以提高学生的参赛成绩。
高中数学竞赛有哪些值得推荐的辅导书？从入门到高阶，数竞党必读！
又到了新一轮竞赛学习，不少学生反映不知道买哪些参考书，今天就来给大家推荐一些书目，从入门、进阶到拔高，适合各个不同阶段，欢迎大家对号入座~一、入门1、《奥数教程》，华东师范大学出版社这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本， 是比较基础、入门级的竞赛教程 。
《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点。
每本书包含基础篇和拔高篇，基础篇主要是一试相关内容，拔高篇是二试相关内容。
共30讲，每讲又分为“内容概述”、“例题精解”、“读一读”和“巩固训练”四个部分， 系统地梳理了数学竞赛知识，比较适合刚接触竞赛的学生使用。
《奥数教程-能力测试》是配套的练习用书，每讲配备了1个小时左右的练习量，确保学生更好地掌握知识。
《奥数教程-学习手册》详细解答了《奥数教程》中“巩固训练”，并对该年级的竞赛热点进行精讲，并配有真题用作练习。
2、《2018年全国高中数学联赛备考手册》，华东师范大学出版社这本书每年出版一本，集合了各个省市联赛预赛的试题及答案详解，预赛命题人员大多为各省市数学会成员，题型和难度一般和高联一试相当，可以在学完一遍一试后作为练习题使用。
二、进阶1、《数学奥林匹克小丛书》，华东师范大学出版社俗称“小蓝本”，这套书共14册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，可以说是竞赛生人手一套的“圣书”。
力图用各种方法介绍数学竞赛中的14个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。
2、《奥赛经典》，湖南师范大学出版社这套书分为《奥林匹克数学中的组合问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的数论问题》、《奥林匹克数学中的真题分析》五册。
三年级奥林匹克数学专题讲解三阶幻方理论A篇和练习B篇
三年级奥林匹克数学专题讲解——三阶幻方理论A 篇幻方实际上是一种填数游戏，它不仅有三阶，还有四阶、五阶……直到任意阶。
一般地，在n 行n 列的方格里，既不重复也不遗漏地填上n n ⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上n 个自然数的和相等，我们把这几个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的图形叫做n 阶幻方。
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上33⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
通常这样的图形叫做三阶幻方。
三阶幻方的一些基本规律：幻和=九个数之和÷3，中间数=幻和÷3。
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。
例题1 在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等于24。
分析： 解决问题的突破口：找出每行、每列和每条对角线上的任意两个数，就可以根据幻和求出第三个数。
例题2 下图中，每个字母代表一个数。
已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相等，若4,16,17,5a l d h ====。
求b 与f 为多少？分析： 根据幻和相等：a e l c e g b e h d e f ++=++=++=++，这4个算式中都有中间数e ，所以有：a l c g b h df +=+=+=+。
再代入4,16,17,5a l d h ====即可。
一、知识介绍二、例题讲解例题3 编出一个三阶幻方，使其幻和为27。
分析： 先根据幻和求中间数，然后填其他数。
请你试一试：调换数的位置，还可以得到几种答案？例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
分析： 先求幻和，再根据幻和求中间数，然后填其他数。
例题5 下图中，a g 7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a ”所代表的数字是多少？分析： 根据幻方的概念：每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
高中数学奥林匹克竞赛讲座 33三角函数
竞赛讲座33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：（1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.解当A=90°时，sinA和cosA=1；当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，∴sinA+cosA＞当A=45°时，sinA+cosA=当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞∴sinA+cosA＞∵1, 都大于.∴淘汰（A）、（C），选（B）.例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（）（A）-1 （B）2-（C）-1（D）（E）分析构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，ctg67°30′=ctg∠DCB=∴选(A).例3(1990年南昌市初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆⊙O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:R≤a·证明作△ABC的内切圆O′,分别切三边于G,H,K.由对称性知GE=KF(如图36-2).设GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.则x+a=y+b, ①且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,x-a=y-b. ②①+②得,x=y.从而知a=b.∴GE=BC=a.设⊙O′半径为r.显然R+r≤OO′ (当AB=AC)时取等号.作O′M⊥EO于M,则O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例4（1985年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：x2+2xsinA1+sinA2=0 ①x2+2xsinA2+sinA3=0 ②x2+2xsinA3+sinA1=0 ③都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.解∵各内角只能是、、、，∴正弦值只能取当sinA1=时，∵sinA2≥sinA3≥∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）=0.方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.综上所述，可知sinA1=1，A1=.同理，A2=A3=.这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于又n为自然数，∴n=1,凸n边形为6边形,且A4+A5+A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.（1）解三角形例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面积之比是( ).(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα解如图，因为AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.∴应选(C).例6 (1982年上海初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt△斜边AB=c,∠A=α,求内接正方形的边长.解过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得又∵△ABC∽△GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难.例7（1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在△A BC中，BE、CF是高，∠A=，则△AFE和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4解由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在Rt△ABE中，∠ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例8 (1981年上海中学生数学竞赛题)在△ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.证明如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB) ①∵∠C是钝角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②由①、②和代数基本不等式，得例9 （第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.解如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例10 (1964年福建中学数学竞赛题)设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3,求证:a n+b n＜c n.分析如图34-8,注意到Rt△ABC的边角关系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sin nα+cos nα＜1来讨论.证明设直角三角形一锐角∠BAC=α(如图),则。
数学的魔力解密数学奥林匹克课堂实录
数学的魔力解密数学奥林匹克课堂实录数学的魔力：解密数学奥林匹克课堂实录数学是一门神奇而又充满挑战的学科，它的魔力隐藏在它的逻辑性和创造性之中。
而在数学奥林匹克课堂上，这种魔力得到了更加真切地展现。
本文将为大家揭秘数学奥林匹克课堂的实录，带领读者感受数学的魅力。
1. 前言数学奥林匹克作为培养学生数学能力和兴趣的重要途径，依托课堂的教学活动起到了关键的作用。
在数学奥林匹克课堂里，教师们以悦耳动听的声音，结合生动有趣的案例和问题，引导学生发现数学的美妙之处。
2. 基础篇：数学逻辑的拓展首先，数学奥林匹克课堂注重培养学生的逻辑思维能力。
在课堂上，老师巧妙地组织学生进行逻辑推理训练，通过解决一系列富有挑战性的数学问题，激发学生的思维活力。
例如，老师会提出一个问题，并引导学生利用已学知识进行推理和分析，鼓励他们灵活运用数学方法，寻找最优解。
3. 深化篇：数学思维的培养其次，数学奥林匹克课堂注重培养学生的创新思维能力。
在课堂上，老师鼓励学生跳出传统的数学思维模式，提供不同的解题思路和方法，激发他们的求知欲和创造力。
例如，老师可能会给学生一个具有多种解法的问题，鼓励他们从不同的角度出发，挖掘问题的本质，并寻找更加巧妙的解法。
4. 拓展篇：数学的应用与研究数学奥林匹克课堂不仅培养学生的数学思维能力，还关注数学的应用与研究。
在课堂中，老师会引导学生探索数学在实际生活中的应用，培养他们将数学知识运用到解决实际问题的能力。
同时，老师也会向学生介绍一些前沿的数学研究成果，鼓励他们参与到数学领域的研究中，激发他们对数学的浓厚兴趣。
5. 结语数学奥林匹克课堂是数学魔力的真实写照。
通过培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力，引导他们解决复杂问题并将数学知识应用到实际生活中，数学奥林匹克课堂为学生打开了一扇通往数学世界的大门。
相信通过这样的课堂实录，更多的学生将感受到数学的魅力，激发对数学的热爱与追求。
让我们一起拥抱数学，开启探索之旅！通过以上篇章的描述，我们一同见证了数学的魔力在数学奥林匹克课堂中的展现。
八年级奥林匹克数学竞赛超级讲义(共91页)
八年级奥林匹克数学竞赛超级讲义史瑞东吕梁高级实验中学目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。
注：有(*) 标注的为选做内容。
第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
数学奥林匹克专题讲座 第02讲 数论的方法技巧(下)
《数学奥林匹克专题讲座》第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
数学奥林匹克高级教程
数学奥林匹克高级教程第一章：数论数学奥林匹克高级教程中的第一章是数论。
数论是研究整数的性质和相互关系的学科。
在数论中，我们将学习一些重要的概念和定理，如素数、同余、欧拉定理等。
数论是奥林匹克数学竞赛中的重要领域，通过学习数论，我们可以培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
第二章：代数代数是数学奥林匹克高级教程的第二章。
代数是研究数学结构和运算规律的学科。
在代数中，我们将学习一些重要的概念和技巧，如多项式、方程、群论等。
代数是数学奥林匹克竞赛中的重要领域，通过学习代数，我们可以培养我们的抽象思维和问题解决能力。
第三章：几何几何是数学奥林匹克高级教程的第三章。
几何是研究空间和图形的性质和相互关系的学科。
在几何中，我们将学习一些重要的概念和定理，如平面几何、立体几何、相似三角形等。
几何是数学奥林匹克竞赛中的重要领域，通过学习几何，我们可以培养我们的几何直观和问题解决能力。
第四章：组合数学组合数学是数学奥林匹克高级教程的第四章。
组合数学是研究离散结构和计数方法的学科。
在组合数学中，我们将学习一些重要的概念和技巧，如排列组合、图论、概率等。
组合数学是数学奥林匹克竞赛中的重要领域，通过学习组合数学，我们可以培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
第五章：数学思维数学思维是数学奥林匹克高级教程的第五章。
数学思维是指运用数学的方法和思维方式解决问题的能力。
在数学思维中，我们将学习一些重要的方法和技巧，如归纳法、逆向思维、反证法等。
数学思维是数学奥林匹克竞赛中的重要能力，通过学习数学思维，我们可以培养我们的创造力和问题解决能力。
第六章：数学竞赛技巧数学竞赛技巧是数学奥林匹克高级教程的第六章。
数学竞赛技巧是指在数学竞赛中提高成绩的方法和技巧。
在数学竞赛技巧中，我们将学习一些重要的方法和技巧，如速算技巧、选择题答题技巧、解题策略等。
数学竞赛技巧是数学奥林匹克竞赛中的重要能力，通过学习数学竞赛技巧，我们可以在竞赛中取得优异的成绩。
初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学奥林匹克竞赛教程数学奥林匹克竞赛是一个旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力的竞赛。
对于初中阶段的学生来说，参加数学奥林匹克竞赛有着重要的意义。
下面是一个初中数学奥林匹克竞赛的教程，以帮助学生更好地参与竞赛。
一、了解数学奥林匹克竞赛的基本知识数学奥林匹克竞赛是一项高难度的数学竞赛，考察的内容有代数、几何、数论、组合数学等。
参加竞赛的学生应对这些知识有一定的了解和掌握。
二、积累数学题目要参加数学奥林匹克竞赛，需要积累大量的数学题目，并针对不同的题型进行分类整理。
可以通过做一些奥数辅导班的习题册，也可以通过向老师请教等方式来积累。
三、练习解题思路数学奥林匹克竞赛注重解题思路和数学方法的运用，因此要想在竞赛中取得好成绩，需要不断地练习解题思路。
可以选择一些经典案例，研究其中的解题思路和方法。
四、参加模拟竞赛数学奥林匹克竞赛是一项实战竞赛，为了更好地应对竞赛压力，可以参加一些模拟竞赛活动。
这样可以提前熟悉竞赛环境和竞赛模式，增强自己的竞赛实力。
五、增加数学知识的广度和深度数学奥林匹克竞赛不仅要求学生对基础的数学知识有深入的掌握，还要求学生对一些高级的数学知识有所了解。
因此要想在竞赛中取得好成绩，需要增加数学知识的广度和深度。
六、合理分配时间在参加数学奥林匹克竞赛时，要合理分配时间。
要根据每道题的难度和分值来合理安排时间，确保能够准确地完成每道题目。
七、培养团队合作精神数学奥林匹克竞赛有一些团队比赛的项目，这就需要学生培养团队合作精神。
要学会与队友相互配合，共同解决问题。
八、保持积极乐观的心态数学奥林匹克竞赛是一个较为困难的竞赛，可能会遇到各种困难和挫折。
学生要保持积极乐观的心态，相信自己的能力，并且相信只要努力，就一定能够克服困难。
九、重视总结和复习针对每次竞赛的经验和问题，要及时进行总结和复习。
通过总结和复习，可以发现自己的问题所在，认识到自己的不足，并且加以改进。
总的来说，参加初中数学奥林匹克竞赛需要学生在数学知识和解题思路上都有一定的积累和提高。
五年级数学奥林匹克活动讲座
五年级数学奥林匹克活动讲座平均例1：一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是95、87、94、100、98。
那么他的平均成绩是多少？例2：小明4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了97分，5次测验的平均成绩是多少？例3：小强4次语文测验的平均成绩是87分，5次语文测验的平均成绩是88.4分，问第5次测验他得了多少分？例4：小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？例5：暑假中，小明兴致勃勃地读《西游记》，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2页，问小明在第五天读了多少页？例6：甲、乙、丙三人，平均体重63千克，甲与乙的平均体重之和比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克。
求乙的体重。
例7：下面是一串有规律的数5，9，13，17，21，25，29。
从小到大排列，后一个数与前一个数的差都是4，求这串数的平均数。
例8：小强在前五天平均每天做了36道数学题，第四、五两天共做了5题。
第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？例9：某次考试，21位男同学的平均成绩是82分，19位女同学的平均成绩是87分。
全体同学的平均成绩是多少？例10：甲班52人，乙班48人，语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是78分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分，两个班的平均成绩各是多少？例11：女同学人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少千克？例12：某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次。
结果，前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分。
一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均成绩，加上后20名的平均成绩，再除以2，错误地认为这就是全班的平均成绩。
这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高了多少或降低多少？例13：某学校入学考试，确定了录取分数线。
数学奥林匹克竞赛培训
数学奥林匹克竞赛培训
数学奥林匹克竞赛作为一项国际性的竞赛活动，为参赛者提供了一个发挥自身才能，展示数学实力的平台。
为了帮助学生们更好地参加奥林匹克竞赛，内蒙古大学数学科学学院秉承“培养具有较强创新意识和实践能力的高素质数学人才”的教育宗旨，宣布将开展“数学奥林匹克竞赛培训”，以加强学生的数学知识和能力。
数学奥林匹克竞赛培训以让学生们更好地参加国际奥林匹克竞
赛为主旨，以互动式学习和比赛体验为主要方式，通过系列数学讲座介绍数学奥林匹克竞赛最新发展动态，让学生们更深入地认识数学奥林匹克竞赛，提高数学实际运用能力，培养学生的独立思考能力和创新能力。
在培训期间，学院尊重学生的个性和潜能，提供多元化的数学知识学习方式，帮助学生掌握和熟悉数学专业具体的知识点。
学院优秀的教师团队，将在每一项培训中，提供针对性和系统性的数学讲解，深入浅出地传授科学知识和学习心得，让参加培训的学生们更加深入理解数学知识。
周末，学院安排教师带领学生参加联赛，让学生们在联赛中获得实践经验，磨练奥林匹克竞赛的技巧和能力。
此外，学院为学生提供了一系列的支持，如：安排学院经验丰富的教师及时解答学生学习上的困惑，以及学院安排专业教师给学生提供全方位的辅导，结合课堂学习，给学生提供有效的指导和备考策略。
数学奥林匹克竞赛培训是一个为学生提供有效发挥数学潜能，扎实掌握数学知识的最佳机会，学院将秉承“培养具有较强创新意识和
实践能力的高素质数学人才”的教育宗旨，结合数学奥林匹克竞赛的实际，为学生们提供竞赛前的良好素质提升和课堂教学备考，助力学生获得更好的竞赛成绩。
小学数学奥林匹克竞赛辅导系列讲座共49讲
小学数学奥林匹克竞赛辅导系列讲座共49讲(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除小学数学奥林匹克竞赛辅导系列讲座共49讲小学数学奥林匹克竞赛辅导系列讲座共49讲小学奥数辅导01 小学奥数辅导02 小学奥数辅导03 小学奥数辅导04小学奥数辅导05 小学奥数辅导06 小学奥数辅导07 小学奥数辅导08小学奥数辅导09 小学奥数辅导10 小学奥数辅导11 小学奥数辅导12小学奥数辅导13 小学奥数辅导14 小学奥数辅导15 小学奥数辅导16小学奥数辅导17 小学奥数辅导18 小学奥数辅导19 小学奥数辅导20小学奥数辅导21 小学奥数辅导22 小学奥数辅导23 小学奥数辅导24小学奥数辅导25 小学奥数辅导26 小学奥数辅导27 小学奥数辅导28小学奥数辅导29 小学奥数辅导30 小学奥数辅导31 小学奥数辅导32小学奥数辅导33 小学奥数辅导34 小学奥数辅导35 小学奥数辅导36小学奥数辅导37 小学奥数辅导38 小学奥数辅导39 小学奥数辅导40小学奥数辅导41 小学奥数辅导42 小学奥数辅导43 小学奥数辅导44小学奥数辅导45 小学奥数辅导46 小学奥数辅导47 小学奥数辅导48小学奥数辅导49这部小学数学奥林匹克竞赛辅导系列讲座视频是一部不可多得的优质视频，它会为您涉及小学奥数的重点和难点的详细讲解。
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奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。
国际数学奥林匹克(InternationalMathematicalOlympiads)简称IMO，是一项以数学为内容，以中学生为对象的国际性竞赛活动，至今已有30余年的历史。
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转《数学奥林匹克专题讲座》三第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2=1+1+3=2+3=1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
说明：本题是组合学中有限条件的整数分拆问题的一个特例。
例3把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23，=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
说明：本题属于迄今尚无普遍处理办法的问题，只是硬凑。
比37小的最大质数是31，但37-31=6，6不能分拆为不同的质数之和，故不取；再下去比37小的质数是29，37-29=8，而8=3+5。
其余的分拆考虑与此类似。
例4求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。
解：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍。
这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。
对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。
例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。
于是495=45+46+ (54)同理可得495=51+52+...+59=40+41+ (50)例5若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。
小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子。
问：一共有多少只盒子？分析与解：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，由于小明没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，这只盒子里原来装有（a+1）个小球。
同理，现在另有一个盒子里装有（a+1）个小球，这只盒子里原来装有（a+2）个小球。
依此类推，原来还有一只盒子装有（a+3）个小球，（a+4）个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数。
现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数。
又因42=14×3，故可将42写成13+14+15，一共有3个加数。
又因42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。
于是原题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。
例6机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色（比如23可表示为两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色）。
问：被染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少？请说明理由。
解：显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色，3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。
可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染黄色。
下面说明其它自然数n都要染红色。
（1）当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2（k-2）。
由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）与4均为合数，且不相等。
也就是说，大于等于10的偶数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。
（1）当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2（k-4）。
由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2（k-4）与9均为合数，且不相等。
也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。
综上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第（k+10）个自然数（k≥2）。
所以第2000个染为红色的数是2000+10=2010。
下面看一类有规律的最优化问题。
例7把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？分析与解：把12分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有1+11，2+10，3+9，4+8，5+7，6+6六种方法。
它们的乘积分别是1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。
显然，把12分拆成6+6时，有最大的积6×6=36。
例8把11分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？分析与解：把11分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五种方法。
它们的乘积分别是1×10=10，2×9=18，3×8=24，4×7=28，5×6=30。
显然，把11分拆成5+6时，有最大的积5×6=30。
说明：由上面的两个例子可以看出，在自然数n的所有二项分拆中，当n是偶数2m 时，以分成m+m时乘积最大；当n是奇数2m+1时，以分成m+（m+1）时乘积最大。
换句话说，把自然数S（S＞1）分拆为两个自然数m与n的和，使其积mn最大的条件是：m=n，或m=n+1。
例9试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
分析：反复使用上述结论，可知要使分拆成的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1。
解：因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。
说明：一般地，把自然数S=pq+r（0≤r＜p，p与q是自然数）分拆为p个自然数的和，使其乘积M为最大，则M为q p-r×（q+1）r。
例10把14分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积是多少？分析与解：我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先，分成的数中不能有1，这是显然的。
其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。
再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3。
注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中若有三个2，则不如换成两个3，换句话说，分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。
根据上面的讨论，我们应该把14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五数的积有最大值3×3×3×3×2=162。
说明：这类问题最早出现于1976年第18届国际数学奥林匹克试卷中。
该试卷第4题是：若干个正整数的和为1976，求这些正整数的积的最大值。
答案是2×3658。
这是由美国提供的一个题目，时隔两年，它又出现在美国大学生数学竞赛中。
1979年美国第40届普特南数学竞赛A-1题是：求出正整数n及a1，a2，…，an的值，使a1+a2+…+an=1979且乘积最大。
答案是n=660。
1992年武汉市小学数学竞赛第一题的第6题是：将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是____。
答案：这些数应是664个3。
上述三题的逻辑结构并不随和的数据而改变，所以分别冠以当年的年份1976，1979和1992，这种改换数据的方法是数学竞赛命题中最简单的方法，多用于不同地区不同级别不同年份的竞赛中，所改换的数据一般都是出于对竞赛年份的考虑。
将上述三题的结论推广为一般情形便是：把自然数S（S＞1）分拆为若干个自然数的和：S=a1+a2+…+an，则当a1，a2，…，an中至多有两个2，其余都是3时，其连乘积m=a1a2…an有最大值。
例11把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？解：由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法，使得这些自然数的乘积最大。