1-4复变函数及其极限与连续
复变函数的极限和连续
场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直于该方
向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。本节对
解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍。
解析函数，实、虚部是共轭调和函数，曲线族u=常数
与v＝常数是正交曲线族。 1. 平面静电场
在无电荷区，静电场电势满足拉普拉斯方程，电场所
在区域上的某一解析函数的实部（或虚部）就可以用
来表示该区域上的静电场的电势。这个解析函数称为
平面静电场的复势。其实部或虚部就是电势。
为叙述方便，这里说u是电势。u=常数，是等势线族。
曲线族v(x,y)=常量，垂直于等势线族，因而v=常量，
是电场线族。
数学物理方法 第一章
30
例1. 已知平面电场的电势为u=x2－y2，求电场线方程
分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数 的实部与虚部，满足C-R条件
例22.已知解析函数的虚部 v(x,y) x x2y2，求实部
和这个解析函数
方法三d提u 示 ：u d u d
u
u
d
(
)
2 cos ( )
2
u sin ( )
22
( ) 0, ( ) C
数学物理方法 第一章
29
1.5 平面标量场
场在物理上和工程技术上得到广泛应用。当所研究的
满足C-R条件。
x y x y
证明（板书）：
数学物理方法 第一章
13
作业：试推导极坐标系中的C-R条 件
数学物理方法 第一章
14
数学物理方法 第一章
15
1.点解析
解析z 0 ；
2.区域解析 若函数在区域B内处处可导，则称f(z)在 区域B内解析；
复变函数1-4章
(三) 复变函数的积分（8学时)
内容：复变函数积分的定义、性质和计算；柯西－古萨（Cauchy－Goursat） 基本定理及其推广-复合闭路定理；Cauchy积分公式及解析函数的高阶导数； 解析函数与调和函数的关系。 1.基本要求 （1） 理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的基本性质及一般计算 方法。 （2） 理解柯西－古萨基本定理及其推论。 （3） 熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分的方法。 （4） 了解摩勒拉(Morera）定理。 （5） 了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求 其虚（实）部。； 2.重点、难点 重点：柯西－古萨基本定理及柯西积分公式。 难点：摩勒拉(Morera）定理。 3.说明：本章内容是整个复变函数理论的基础。
3
复变函数发展的三个节点：
1、Euler公式 在复数域 下把三角函数、双曲函数和指数函数统一起来； 2、Cauchy-Riemann条件 u ; u
x y y x
eix cos x i sin x
定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，即 f (z)dz 0 3、幂函数闭路积分
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z z | z |2
18
z1 z1 ( ) z2 z2
2 2
( 3 ) z z R e ( z ) Im ( z ) x y
2
2
例1 : 设z1 5 5i , z 2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
Complex Analysis
复变函数总复习资料
总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应 用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断 函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等 。这些应用在物理学、工程学、经济学等领 域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方 程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有 着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有 着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中， 解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
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总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计 算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问 题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺 序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。
复变函数的极限与连续性
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
复变函数的基本概念及运算
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
复变函数的极限和连续性
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
z z0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
张 长 华
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
本章难点与重点
难点复复杂杂函函数数的的极几限何概描念述————理映解射。；
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
f (z)在z0点连续 实、虚部函数 u(x, y) 、v(x, y) 均在点(x0 , y0 )处连续。
3、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材P17Th 1.4.4
4、有界闭区域 D上连续函数的最大小模存在定理。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数及连续性
第三节复变函数的极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性一、复变函数的概念1. 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z ∈E , 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用w =f (z )表示.E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z ∈E 所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数.(){()|}() A f E f z z E w f z ==∈=称为复函的值域数.2. 复变函数与自变量之间的关系:() :w z w f z =复变函数与自变量之间的关系相当于两个实函数),,(),,(y x v v y x u u ==例3 , 2z w =函数,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−= : 2数对应于两个二元实变函于是函数z w =,22y x u −=.2xy v =,,z x iy w u iv =+=+因为，若记则()Re ()Im ()(,)(,).w f z f z i f z u x y iv x y ==+=+例4解,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−=,22y x u −=.2xy v =所以222424 4.w z z x y xy w u v =−====于是将平面上的双曲线与分别映为平面上直线和222,42w z z x y xy w =−== 设复函数试问它将平面上的双曲线 与 分别映为平面上的何种曲线？7函数w =z 2对应于两个二元实变函数: u =x 2−y 2, v =2xy 把z 平面上的两族双曲线x 2−y 2 = c 1 , 2xy = c 2 分别映射成w 平面上的两族平行直线u =c 1 , v =c 2 .101−1−1−10−8−6−4−2x 2468v =101y −10−8−6−4−2u =02468uv 1010−10−10⎯⎯→⎯=2z w θr ϕρ二、复变函数的极限1.复变函数极限的定义定义1.200000,()0,0,,0|||()|,()lim(),lim ().z z z E z z w f z E C z E C z E z z f z z z f z f z f z αεδδαεααα→∈→=⊂∈∀>∃>∈<−<−<== 设复函数在点集上有定义，为的一个聚点， 。
复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
复变函数的极限和连续性
如果函数$f(z)$在点$z_0$处连续，则对于任意实数$a$，有$f(z+a)=f(z)+a$，且对于 任意复数$b$，有$f(z+b)=f(z)+b$。
连续性的判定方法
要点一
极限判定法
如果对于复数域内的任意点$z_0$，都有$lim_{z to z_0} f(z)=f(z_0)$，则函数$f(z)$在点$z_0$处连续。
VS
极限法
如果函数在某点的极限存在，且极限值等 于函数值，则该函数在该点可微。
可微性的性质和定理
局部性质
如果复变函数在某点可微，则该函数在该点的导数存在。
链式法则
如果两个复变函数通过乘法或除法组合，且各自在某点可微，则组 合后的函数在该点也可微，且其导数等于各自导数的乘积或商。
参数方程表示
如果复变函数由参数方程表示，且参数方程在某点可微，则该复变函 数在该点也可微。
05
复变函数的应用
在物理中的应用
量子力学
01
复变函数在量子力学中用于描述波函数，通过复数形式表达波
函数的实部和虚部。
电磁学
02
在电磁学中，复数形式的复变函数被用于描述电场和磁场，以
及相关的波动现象。
光学
03
光学中的波动理论使用复变函数来描述光波的传播和性质，如
折射、反射和干涉等现象。
在工程中的应用
04
复变函数的可微性
可微性的定义和性质
定义
如果对于复变函数f(z)，其导数f'(z)在某点z0 存在，则称f(z)在z0可微。
性质
复变函数在某点的可微性意味着该函数在该 点有切线，且切线的斜率等于函数的导数值
。
第一章 复变函数解析
lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.
复变函数
lim f(z) = f(z0)
在集 E 上连续.
则称 f(z) 在 点z0 连续.若 f(z) 在集 E 的每一个聚点连续, 则称f(z) 注: 设 z = x+iy, z0 = x0+i y0, f(z) = u(x,y) + i v(x,y). 则
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0) = u(x0, y0) + i v(x0, y0) ⇔
这一映照可以看成由 ω = 对于复变函数 f(z), 由于 f(z) ∈ C, 故而一般地有表示:
1
f(z) = u(x,y) + i v(x,y),
2 2 2
(x,y) ∈ E.
2 2 2
例 4: w = f(z) = z = (x+iy) = x - y + 2xyi. 则 u(x,y) = x - y , v(x,y) = 2xy. 下面我们讨论复变函数的极限与连续性. 定义: 设函数 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 为 E 之聚点, α 为一复常数. 如果 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 时, 有 | f(z) - α | < ε 则称当 z 趋于 z0 时, f(z) 有极限 α. 记作
第二章
复变函数
（Complex Variable Functions）
本章介绍复变函数及其极限与连续等的概念与性质; 引入判断函数可微和解析的主要条 件---柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件; 把实的初等函数推广到复数域上并研究复变函数的 性质, 其中包括几类多值函数的性质；最后引入了调和函数的概念，给出调和函数和解析函 数之间的关系。
复数及其运算(完整版本)
.
25
(2) zsinicos
55 显r然 z1,
sin5cos25
cos3
10
,
co5ssin25
sin
3
10
,
故
zco3sisin 3
3 i
e10 .
10 10
26
乘幂与方根
设复z1数 和z2的三角形式分别为
z 1 r 1 (c1 o issi1 ） n , z 2 r 2 (c2 o issi2 ） ,n
其中 x,y为实数，z分 的别 实称 部,为 和虚
记 x 作 R z )e ,y (Im z ). ( 当 x0, y0时 ,ziy 称为;纯虚数
当y0时 , zx0i,我们把它x看 . 作 复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部
分别相等（求解复方程的基础）
z1 x1 y1i，z2x2y2i
24
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
( 1 )z 1 2 2 i; ( 2 )z si n ico ; s 55
解 (1) rz1 244, 因z在第三象, 限
arcta2 1 n2 πarcta3n3
5 6
,
故
z4 co s 6 5 isi n6 5
5i
4e 6
所 z 1 z 以 2 c o 3 s6 is i n 3 6 i,
z1c o s isi n 3 1 i.
z2 36 36 2 2
32
z1z2 z1 z2
a rg (z 1 z 2 ) a rg (z 1 ) a rg (z2 )
使用复数的语言， 任何平面几何问题 都能以清晰的面貌 重新呈现。
z 1 z 2 r 1 (1 c i s o 1 ) i r 2 ( n s 2 c i s o 2 ) in s r1r2[(c 1c oo s 2 ssi1 n si2 n ) i(s1 icno 2 sco 1ssi2 n )]
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结在复变函数的学习中，极限与连续性是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种复变函数的问题至关重要。
下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨复变函数的极限与连续性，并对相关知识点进行总结。
一、复变函数极限的定义设函数＼（w ＝ f(z)＼）定义在＼（z_0\）的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数＼（＼epsilon\），总存在正数＼（＼delta\），使得当＼（ 0 ＜｜z z_0| ＜＼delta\）时，都有＼（｜f(z) A| ＜＼epsilon\），则称＼（ A\）为＼（ f(z)＼）当＼（ z\）趋于＼（ z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
二、复变函数连续性的定义如果函数＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处满足＼（＼lim_{z ＼toz_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处连续。
如果＼（ f(z)＼）在区域＼（ D\）内处处连续，则称＼（ f(z)＼）在＼（ D\）内连续。
三、例题解析例 1：求＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2)＼）解：将＼（ z ＝ 1 ＋ i\）代入＼（ z^2 2z ＋ 2\）得：＼begin{align}＆（1 ＋ i)＾2 2(1 ＋ i) ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i ＋ i^2 2 2i ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i 1 2 2i ＋ 2\＼＝＆0＼end{align}＼所以＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2) ＝ 0\）例 2：判断函数＼（ f(z) ＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼）在＼（ z ＝1\）处的连续性。
解：先对函数进行化简：＼＼begin{align}f(z)＆＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼＼＆＝＼frac{（z 1)（z ＋ 1)｝｛z 1}＼＼＆＝ z ＋ 1＼end{align}当＼（ z ＼to 1\）时，＼（＼lim_{z ＼to 1} f(z) ＝ 2\），而＼（ f(1)＼）不存在，所以函数＼（ f(z)＼）在＼（ z ＝ 1\）处不连续。
复变函数复习
不考内容《复变函数》第一章：§复球面§区域§5 第二部分：映射的概念§6 复变函数的极限与连续性第四章§1 复数项级数第五章§3 留数在定积分上的应用、《积分变换》第一章：傅立叶变换第二章：§4 卷积注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。
复变函数复习第一章 复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y 为实数.(2)复数的几何表示:复数z = x + i y 可以用xy 平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P 点的平面向量来表示.(3)复数的三角表示:复数()θθsin cos i r z += 复数的模 22y x r z +==复数的辐角Argz=θ, ()xyArgz tg = , 复数的辐角的主值argzArgz=argz+2k π(k 为整数). 规定-π＜argz ≤π当0=z 时,|z|=0,辐角没有意义.当∞=z 时,|z|=+∞,没有实部,虚部和辐角. argz(0≠z )与反正切xy Arctg 的主值x y arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx y arctg 的关系：第一、四象限 xy arctg z =arg x ﹥0第二象限 π+=xyarctg z arg x ﹤0,y ﹥0第三象限 π-=xy arctg z arg x ﹤0,y ﹤0 正虚轴 2arg π=z x=0,y ﹥0 负虚轴 2arg π-=z x=0,y ﹤0负实轴 π=z arg x ﹤0,y=0(4)复数的指数表示：θi re z z =≠,0时2.复数的运算设z 1= x 1+iy 1=()111sin cos θθi r +, z 2 = x 2+iy 2()222sin cos θθi r +=(1)相等 z 1= z 2 ⇔ x 1=x 2 y 1=y 2 (2)加(减)法 z 1±z 2=(x 1±x 2)+i(y 1±y 2) (3)乘法 z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 2y 1+x 1y 2)()()[]212121)(21sin cos 21θθθθθθ+++==+i r r e r r i(4)除法222121z z z z z z ⋅⋅==22222121y x y y x x +++i 22222112y x y x y x +-()2121θθ-=i e r r )]sin()[cos(212121θθθθ-+-=i r r (z 2≠0)(5)乘幂 )sin (cos θθθn i n r e r z n in n n +==特别 |z|=1时, (cos θ+isin θ)n =cosn θ+isinn θ (棣莫弗公式) (6)方根,2sin 2cos1⎪⎭⎫⎝⎛+++=n k i n k r z n nπθπθ ()1,,2,1,0-=n k (7)共轭 z = x-iy=re -i θ , 21z z ±=1z 2z ±, 121z z z =2z , 2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ;z z = ; 22y x z z += ; x z z 2=+, iy z z 2=- .注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:2121z z z z ⋅= ,()2121Argz Argz z z Arg +=2121z z z z = , Arg ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21z z =21Argz Argz - (z 2≠0) 3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z 变化方式的任意性,即z →z 0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x →x 0只能沿x 轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t 的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β) 其中 x=x(t), y=y(t) (α≤t ≤β) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章 解析函数1. 复变函数的导数(1)定义 函数w = f (z)在其定义域D 内一点z 0处(可导)的导数()()()()()000000000limlim lim z z z f z f z z f z z f z wdzdwz f z z z z z z --=∆-∆+=∆∆=='→→∆→∆= 若函数w = f (z)在区域D 内处处可导,称 f (z)在D 内可导. (2) f(z)在z 0可导连续(3)求导法则 若f(z),g(z)在点z 可导,则()1-='b bbzz(b 为复数);()()[]()()z g z f z g z f '±'='±; ()()[]()()()()z g z f z g z f z g z f '+'=';()()()()()()()[]z g z f z g z f z g z g z f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,()0≠z g .()[]{}()()z g w f zg f ''=',其中 ()z g w = . ()()w z f ϕ'='1,其中()z f w =与()w z ϕ=是两个互为反函数的单值函数,且 ()0≠'w ϕ. 2.解析函数(1)定义 如果函数f(z)在z 0及z 0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z 0解析.如果f(z)在z 0不解析,则称z 0为f(z)的奇点. 如果f(z)在区域D 内每一点解析,那末称f(z)在D 内解析,或称f(z)是D 内的一个解析函数.(2)性质 两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析 有理分式函数)()(z Q z P 在复平面内除了使分母为零的点外处处解析 (3)柯西-黎曼方程 (C-R 方程)函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在定义域D 内(解析)一点iy x z +=可导⇔u(x,y)与v(x,y)在(D 内)点(x,y)可微,并且满足C-R 方程 yv x u ∂∂=∂∂,x v y u ∂∂-=∂∂.推论 若f (z)在z 处可导, 则 ()yui y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=' . 3.初等函数 定义 定义区域 单值多值性 解析区域 (1) 对数函数Lnz=lnz+2 kπi 整个复平面 多值 整个复平面iArgz z Lnz +=ln (z0) (除原点和负实轴)(k=0,±1,±2,…) 主值分支z i z z arg ln ln +=(2)乘幂 a b = e bL n a =e blna+2bki多值(k=0,±1,±2,…) 主值分支e b l n ab 为正整数n 单值 整个复平面nb 1= n 个分支 (除原点和负实轴)定义 定义区域 解析区域 单值多值性 基本周期 奇偶性(3)指数函数 e z(4)双曲函数2zz e e chz -+=2i 偶2zz e e shz --=整个复平面 单值 奇(5)三角函数2cos iziz e e z -+=2偶ie e z iziz 2sin --= 奇第三章 复变函数的积分1.积分的计算 ()()[]()t d t z t z f z d z f C '=⎰⎰βα光滑曲线C 参数方程: ()()()βα≥≤+==t t iy t x t z z ,, 正向t 增加()⎰+-Cn z z dz10⎩⎨⎧≠==0002n n i πC 是包围z 0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质 f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续(1) ()()dz z f dz z f C C ⎰⎰-=- ; (2) ()()dz z f k dz z kf C C ⎰⎰=;(k 为常数) (3) ()[()]()()dz z g dz z f dz z g z f C C C ⎰⎰⎰±=±(4)设曲线C 的长度为L,函数f(z)在C 上满足()M z f ≤,那末()()ML ds z f dz z f C C ≤≤⎰⎰.3.柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连域B 内处处解析，那末函数f(z)沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ()0=⎰dz z f C.推广:(1)闭路变形原理 在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.(2)复合闭路定理 设C 为多连域D 内的一条简单闭曲线，C 1，C 2，…，C n 是在C 内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C ，C 1，C 2，…，C n 为边界的区域全含于D.如果f(z)在D 内解析,那末1) ()()dz z f dz z f nk C CK∑⎰⎰==1 ,其中C 及C k 均取正向.2) 0)(=⎰Γdz z f ,这里г为由C 及C k ―（k=1，2，…，n ）所组成的复合闭路,其方向是:C 逆时针，C k ―顺时针. 推论:(1) ()()dz z f dz z f Z Z C ⎰⎰=10,Ｃ是连结z 0与z 1的任一曲线.(2)函数()()ςςd f z F ZZ ⎰=0必为B 内的—个解析函数,并且()()z f z F ='.5.原函数 如果在区域B 内φ/(z)=f(z),那末φ(z)称为f(z)在区域B 内的原函数不定积分 ()()c z dz z f +=⎰ϕ ,其中ｃ为任意复常数.()()()0110z z dz z f Z Z ϕϕ-=⎰,其中z 0 ,z 1是B 内任意两点6.柯西积分公式 如果f(z)在区域D 内处处解析,C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z 0为C 内的任一点,那末()()dz z z z f i z f C ⎰-=0021π 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,上式两边形式上对z 0求n 阶导数得到高阶导数公式 ()()()()dz z z z f i n z fC n n ⎰+-=1002!π . 7.调和函数 如果二元实变函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yxϕϕ,那末称φ(x,y)为区域D 内的调和函数任何在区域D 内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D 内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数. 8.已知实部或虚部求解析函数(1)偏积分法 如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程 x u y v ∂∂=∂∂,将x 当成常数,对y 积分得 ()()x g dy xuy x v +∂∂=⎰,,再利用 x v y u ∂∂-=∂∂ 确定g(x). 也可以利用 yux v ∂∂-=∂∂ ,将y 当成常数，对x 积分得()()y h dx yu y x v +∂∂-=⎰, ,再利用 y v x u ∂∂=∂∂ 确定h(y).(2)不定积分法 由于 ()xvi x u z f ∂∂+∂∂=', 利用柯西一黎曼方程得到 ()()z U yui x u z f =∂∂-∂∂=' ,则 ()()c dz z U z f +=⎰ .或 ()()z V xv i y v z f =∂∂+∂∂=' ,则 ()()c dz z V z f +=⎰ . 第四章 级数1.幂级数 形为()()()() +-++-+-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c a z c c a z c 22100或 +++++=∑∞=n n n n n z c z c z c c z c 22100的级数称为幂级数.(1)阿贝尔定理 如果级数∑∞=0n n n z c 在()00≠=z z 收敛,那末对满足0z z <的z,级数必绝对收敛. 如果在0z z =级数发散,那末对满足0z z >的z,级数必发散.(2)对于幂级数()nn n a z c -∑∞=0或 ∑∞=0n n n z c ,存在以a 或0为中心,R 为半径的圆周C R .在C R 的内部,级数绝对收敛;在C R 的外部，级数发散.圆周C R 称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R 称为收敛半径. 特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散2)R=∞,级数在复平面内处处收敛(3)对于幂级数∑∞=0n nn z c ,如果λ=+∞→nn n c c 1lim或λ=∞→n n n c lim 那末收敛半径 λ1=R .(包括R=0或R=)(4)在收敛圆内幂级数()n n n a z c -∑∞=0的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆R a z <-内,式()()nn n a z c z f -=∑∞=0,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算.2.泰勒级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心,z 0到f(z)的最近的一个奇点的距离为半径R=-z 0的解析圆域z-z 0<R 内展开为泰勒级数.()()()()n n n z z n z f z f 000!-=∑∞= 泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式. 常用的已知函数的展开式为+++++=-nz z z z2111 , 1<z . ++++++=!!3!2132n z z z z e n z 3.洛朗级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心的解析的圆环域 R 1<z-z 0<R 2内展开为洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=,其中 ()()() ,2,1,0.2110±±=-=⎰+n d z f i c C n n ςςςπ 这里C 为在圆环域内绕z 0的任何一条正向简单闭曲线.洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式.第五章 留数1.孤立奇点的概念和分类(1)定义 如果函数f(z)虽在z 0不解析，但在z 0的某一个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析，则将z 0称为f(z)的孤立奇点.(2)孤立奇点的分类和判定z 0为f(z)的 ()z f z z 0lim → f(z)在z 0的去心邻域内的洛朗级数 可去奇点 存在且有限 没有负幂项 极点 ∞有限多个负幂项本性奇点不存在且不为∞ 无穷多个负幂项z 0是f(z)的m 级极点()()()z g z z z f m01-=⇔ ,其中g(z)是在δ<-0z z 内解析的函数，且 ()00≠z g .(3)函数的零点及其与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 ()()()z z z z f m ϕ0-= 其中()z ϕ在z 0解析并且()00≠z ϕ,m 为某一正整数,那末z 0称为f(z)的m 级零点.如果f(z)在z 0解析，那末z 0为f(z)的m 级零点 ⇔ ()()()()()0,1,,2,1,0,000≠-==z f m n z f m nz 0是f(z)的m 级极点⇔z 0是()z f 1的m 级零点.如果()()()z h z g z f =,而z 0是g(z)的m 级零点,h(z)的n 级零点,那末z 0为()z f 1的(n-m)级零点,为f(z)的(n-m)级极点.(4)函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点∞=z 的去心邻域+∞<<z R 内解析，那末称点∞为f(z)的孤立奇点.f(z)在+∞<<z R 内的洛朗展开式 ()n n n nn n z c c zc z f ∑∑∞=-∞=-++=101其中 ()() ,2,1,0,211±±==⎰+n d f ic C n n ςςςπ,C 为+∞<<z R 内绕原点的任一正向简单闭曲线.洛朗级数 z=∞是f(z)的 ()z f z ∞→lim没有正幂项 → 可去奇点 ← 存在且有限 有限正幂项(最高m 次) → 极点(m 级) ← ∞ 无限正幂项 → 本性奇点 ← 不存在且不为∞ 2.留数与留数的计算(1)留数定义 如果z 0为f(z)的一个孤立奇点,C 是z 0的去心邻域R z z <-<00 内包围z 0的任意一条正向简单闭曲线,函数f(z)在此邻域内展开成洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=, 则f(z)在z 0处的留数 ()[]()dz z f ic z z f s C⎰==-π21,Re 10 (2)留数定理 设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末()()[]∑⎰==nk k Cz z f s i dz z f 1,Re 2π(3)留数的计算1)可用洛朗级数计算 ()[]10,Re -=c z z f s当z 0为可去奇点时, ()[]0,Re 0=z z f s ;当z 0为本性奇点时,只能用此法, 2)当z 0为一级极点时, ()[])]()[(lim ,Re 000z f z z z z f s z z -=→若()()()z Q z P z f =，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果()(),0,000=≠z Q z P()00≠'z Q ，那末z 0为f(z)的一级极点，而 ()[]()()000,Re z Q z P z z f s '=. 3)如果z 0为f(z)的m 级极点,那末()[]()()(){}z f z z dzd m z z f s mm m z z 01100lim !11,Re --=--→4.无穷远点处的留数函数f(z)在圆环域+∞<<z R 内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， f(z)在∞点的留数 ()[]()dz z f i z f s C ⎰-=∞π21,Re . 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re ,Re 2z z f s z f s ])。
复变函数第一章讲义全
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。
复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。
1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)40x x -=的根。
他求出形式的根为5525(15)40--=。
但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。
因而复数在历史上长期不能为人们所承受。
“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。
直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅，L Euler ⋅等人逐步说明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们缍承受并理解了复数。
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。
到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科与数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。
第一章复数与复变函数教学重点：复变函数的极限和连续性 教学难点：复平面上点集的n 个概念教学基本要求：1、了解复数定义与其几何意义，熟练掌握复数运算 2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续§1复数 1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位。
两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y⇔==. 虚部为零的复数可看作实数。
因此，全体实数是全体复数的一部分。
x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+.复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。
复变函数第一章
区域:
连通的开集称为区域.
闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,
记为D.
有界区域 如果一个区域可以被包含在一个以原点
为中心的圆里面,则称D为有界的. 即存在正数M, 使区域D的每个点z都满足|z|<M.
r r1 2 z0
如果在圆环域内去掉一个(或几个)点, 它仍然构成区域, 只是区域的边界由 两个圆周和一个(或几个)孤立的点所 构成
-n
r n cos(n ) i sin(n )
四 复数的方根
定义 如果 n z, 则称为z的n次根, 记作 = n z.
n 当z 0时，z有n个不同的根:
2k 2k k = z r cos i sin , n n k 0,1, 2,, n 1.
1) 集合G称为f (z)的定义集合(定义域);
2) G中所有z对应的全体值所组成的集合G , 称为函数值集合(值域).
3)
如果对z G，它仅有一个值与之
对应,则称函数f ( z )是单值函数;
如果z0 G，它有多个值与之对应, 则称函数f ( z )是多值函数.
2 复变函数与二元实函数的关系
n in
(n为整数)
1 定义 z,当 | z |n.则当n为负整数时上i式仍然成立. 特别地 r 1时,即z cos sin , 有: z 1n cos 0 i sin 0 n z (cos i sin n) (cos n i sin n ) 棣莫弗公式 z r n (cos n i sin n )
y
2z
2z相当与将z伸长2倍.
z 2 2i
x
o
复变函数及其极限与连续性
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
复变函数极限的性质
（1）唯一性 （2）有界性 （3）有理运算法则
注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变 函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复 杂得多，要求也苛刻的多。
例3
证明当
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b ).
光滑曲线
如果 x t , y t 均连续，且 t,[x t ]2 [ y t ]2 0
则称曲线是光滑的. 分段光滑曲线
简单曲线或约当曲线
没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.
z(a )
z(b ) z(a )
(1)圆环域: r1 z z0 r2; (2)上半平面: Im z 0; (3)角形域: 1 arg z 2;
(4)带形域: a Im z b.
r2
r1z0
y
o
x
连续曲线
如果x=x(t), y=y(t) (atb)为连续函数时, 则称
C
:
x y
x y
t t
a
t
b
为连续曲线.
z0 时,函数
Re z
f (z)
极限不存在.
z
方法1. 沿 y kx
方法2. 沿不同射线 arg z
复变函数的连续性
设
f (z)在z0的邻域内有定义,
且 lim f (z) z z0
f (z0 )
则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
使得当 0 z z0 时，总有 f (z) A
成立,则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
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z(w),它称为w函 f数 (z)的反函 ,也数 称
为映w射 f(z)的逆映 . 射
15
根据反函数的定义,
wG*,wf[(w)],
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
uivxiyxx 2 iyy 2,
于是 uxx2 xy2,
v
y
x2
y
y2
,
圆周 z2的参数方: 程为
x2cos y2sin,
02π
34
所以象的参数方程为
u
5cos
2
v
3sin
,
2
0 2π
表
示 w平面上的:椭 u522圆 2
证 设 f( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y ), 则 f(z ) u (x ,y ) i(v x ,y ), 由f(z)在 z0连,续 知 u (x ,y)和 v(x ,y)在 (x 0,y 0)处都 , 连 于 u ( x ,y 是 ) 和 v ( x ,y ) 也 ( x 0 ,y 0 在 ) 处 , 连 故f(z)在z0连.续
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
6. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
有 uu 02,
vv02,
22
f ( z ) A ( u u 0 ) i ( v v 0 )
uu 0vv0
故 0 当 z z 0时 , f(z)A,
所l以 im f(z)A . z z0
说明
[证毕]
该定理将求复 f(z)变 u(函 x,y)数 iv(x,y) 的极限,转 问化 题为求两个 函二 数 u(元 x,y)实变 和v(x,y)的极限. 问题
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
且是全同图形.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
x2y2
x0 x2 (kx)2
36
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
所以 limu(x,y)不存, 在 limv(x,y)0,
xx0 yy0
xx0 yy0
根据定理一可知, limf(z)不存. 在 z0
证 (二) 令 z r(c oiss i)n,
则f(z)rcoscos,
它把 z平面上的两族 线分 y别 x和 以坐 直 标轴为渐近线 曲的 线等轴双
x2y2c1, 2xyc2,
分别映射w成 平面上的两族平行直线
uc1, vc2.
(如下页图)
12
(2)函数 wz2构成的. 映射
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
13
(2)函数 wz2构成的. 映射
26
定理四 (1在 )z0连续的f两 (z)和 个 g(z)的 函和 数、 积、 (分商 母 z0不 在为 )在 z零 0处仍 . 连续 (2如 ) 果 h 函 g(z)在 数 z0连,函 续w 数 f(h)在 h 0g(z0)连,那 续末复 w合 f[g(z)函 在 ] z0处 数 连. 续
27
y
zz3 1o z 2
x
w2
v
w
o
1
w3
u
10
(2)函数 wz2构成的. 映射
根据复数的乘法公式可知,
映射 wz2将z的辐角增. 大一倍
y
v
o
x
2
o
u
将 z平面上与实 的轴 角交 形角 域 w为 映 平面上与2实 的 轴 角 交 .形 角 域 为
11
(2)函数 wz2构成的. 映射
函数 wz2对应于两个二数 元: 实变函 ux2y2, v2x.y
29
argz 在z＝－2处连续否？
•
2
结论：不连续
四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.
注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
23
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
24
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
9
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
31
思考题
1. “函数”、“映射”、“变换”等名词有 无区别？
32
思考题答案
在复变函数中, 对“函数”、“映射”、 “变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只 是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换 一般是就点的对应而言的.
放映结束，按Esc退出.
33
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
连续的充 :u(x,y 要 )和 v(条 x,y)在 件 (x0,y 是 0) 处连 . 续
例如, f(z ) ln x 2 y (2 ) i(x 2 y 2 ), u(x, y)lnx(2 y2)在复平面内除原点外 处连,续v(x,y)x2y2在复平面内处, 处连 故f(x,y)在复平面内除原 处点 连外 .续处
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
19
二、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f(z)定义在 z0的去心邻域
0zz0 内,如果有一确定A存 的在 数 , 对于任意给定 0的 ,相应地必有一(正) 数 使得当 0zz0 (0 )时,有f(z)A
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
r
37
当 z沿不同 ar z的 g 趋 射于 线 , 零时
f (z)趋于不同的.值 例z如 沿正 ar 实 z g 0趋 轴于 , f(零 z)1,时
沿arzgπ趋于零 , f时 (z)0, 2
故lim f(z)不存. 在 z0
38
例5 证明f函 (z)z数 (z0)当 z 0时的极 z
限不. 存在
5
5.映射的概念
引入: 对于复变函 ,由数 于它反映了两u对,v变量
和x, y之间的对应,因 关而 系无法用同一平面 的几何图形表示 ,必出须来看成是两个上 复平面 的点集之间的对.应关系
6
映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变z的量值,
而用另一个平w面平面上的点表示函w数的 值,那末函数w f (z)在几何上就可以看作 是把z 平面上的一个点G集(定义集合)变到 w 平 面 上 的 一 个 点G集* (函 数 值 集 合 )的 映 射 (或变换).
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(1)线0段 r2,π;
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,4217
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
故 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 .
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
y y 0
y y 0
那 0 么 ( x x 0 ) 2 当 ( y y 0 ) 2 时 ,