1-4复变函数及其极限与连续

它把 z平面上的两族 线分 y别 x和 以坐 直 标轴为渐近线 曲的 线等轴双
x2y2c1, 2xyc2,
分别映射w成 平面上的两族平行直线
uc1, vc2.
(如下页图)
12
(2)函数 wz2构成的. 映射
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中
同一个长方形.
y
y
o
x
o
x
13
(2)函数 wz2构成的. 映射
z z 0
注意: 定义z 中z0的方式是. 任意的
20
2. 极限计算的定理
定理一
设f(z)u(x,y)iv(x,y), Au0 iv0,
z0
x0
iy0, 那
末limf zz0
(z)
A的
充
要
条
件
是
limu(x,
xx0
y)
u0,
limv(x,
xx0
y)
v0.
yy0
yy0
证 (1) 必要性. 如l果 im f(z)A , z z0
函数值集 w平合 面为 上的 G*,那 集末 G 合 *中的 每一个 w必 点将对G中 应的 着(一 或个 几)点 个 . 于是G在 *上就确定了一 (或个 多)单 函 值值 数
z(w),它称为w函 f数 (z)的反函 ,也数 称
为映w射 f(z)的逆映 . 射
15
根据反函数的定义,
wG*,wf[(w)],
直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
6. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
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二、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f(z)定义在 z0的去心邻域
0zz0 内,如果有一确定A存 的在 数 , 对于任意给定 0的 ,相应地必有一(正) 数 使得当 0zz0 (0 )时,有f(z)A
那末称 A为f(z)当z趋向于 z0时的极. 限 记 lif 作 ( m z ) A .( 或 f( z ) z z 0 A )
有 uu 02,
vv02,
22
f ( z ) A ( u u 0 ) i ( v v 0 )
uu 0vv0
故 0 当 z z 0时 , f(z)A,
所l以 im f(z)A . z z0
说明
[证毕]
该定理将求复 f(z)变 u(函 x,y)数 iv(x,y) 的极限,转 问化 题为求两个 函二 数 u(元 x,y)实变 和v(x,y)的极限. 问题
三、复变函数的连续性
1. 连续的定义: 如果 lz izm 0 f(z)f(z0),那末我们 f(z就 ) 说
在z0处连.如 续果 f(z)在区D域 内处处, 连续 我们f说 (z)在D内连. 续
函数 f(z)在曲C线 上z0处连续的意义 lz izm 0 f(z)f(z0), zC.
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定理三 函f数 (z)u(x,y)i(vx,y)在 z0x0i0 y
x2y2
x0 x2 (kx)2
36
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
所以 limu(x,y)不存, 在 limv(x,y)0,
xx0 yy0
xx0 yy0
根据定理一可知, limf(z)不存. 在 z0
证 (二) 令 z r(c oiss i)n,
则f(z)rcoscos,
v 3 2
2
2
1.
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例4 证明函 f(z) 数 Rez)当 ( z0时的极限 z
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n , 对复平面内的 z都所是有连点 ;续的
(2) 有理分式函数
w P(z), Q(z)
其中 P(z)和Q(z)都是多 , 项式
在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
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例2 证 :如 明 f(z ) 果 在 z 0 连 ,那 续 f(z ) 末 在 z 0 也.连续
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
uivxiyxx 2 iyy 2,
于是 uxx2 xy2,
v
y
x2
y
y2
,
圆周 z2的参数方: 程为
x2cos y2sin,
02π
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所以象的参数方程为
u
5cos
2
v
3sin
,
2
0 2π
表
示 w平面上的:椭 u522圆 2
故 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 .
y y 0
y y 0
(2) 充分性. 若 x l x i0u m (x ,y ) u 0 , x l x i0v m (x ,y ) v 0 ,
y y 0
y y 0
那 0 么 ( x x 0 ) 2 当 ( y y 0 ) 2 时 ,
证 设 f( z ) u ( x ,y ) i( x v ,y ), 则 f(z ) u (x ,y ) i(v x ,y ), 由f(z)在 z0连,续 知 u (x ,y)和 v(x ,y)在 (x 0,y 0)处都 , 连 于 u ( x ,y 是 ) 和 v ( x ,y ) 也 ( x 0 ,y 0 在 ) 处 , 连 故f(z)在z0连.续
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
且是全同图形.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
根据极限的定义 当 0 ( x i) y ( x 0 i0 ) y 时 ,
(u i) v (u 0 i0 v ),
21
或 0 当 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 时 ,
(u u 0 ) i(v v 0 ), u u 0 ,v v 0 ,
4. 复变函数与自变量之间的关系: 复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
u u ( x ,y )v , v ( x ,y ), 它们确定了x自 和y变 的量 两为 个二元. 实 例如, 函w 数 z2, 令 z x i,y w u i,v 则 uiv (xi)y2x2y22xy, i 于是函 w数 z2对应于两个二 数:元实变 ux2y2, v2xy.
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定理四 (1在 )z0连续的f两 (z)和 个 g(z)的 函和 数、 积、 (分商 母 z0不 在为 )在 z零 0处仍 . 连续 (2如 ) 果 h 函 g(z)在 数 z0连,函 续w 数 f(h)在 h 0g(z0)连,那 续末复 w合 f[g(z)函 在 ] z0处 数 连. 续
27
31
思考题
1. “函数”、“映射”、“变换”等名词有 无区别？
32
思考题答案
在复变函数中, 对“函数”、“映射”、 “变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只 是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换 一般是就点的对应而言的.
放映结束，按Esc退出.
33
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
上的: 象
(1)线0段 r2,π;
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,
4
2
17
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
则uivx2y22xy, i ux2y2,
x2 y2 4 u 4,
y 2 o 2
v
w z2
x
o
4u
平行v于 轴的直 . 线
18
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(3 )扇形 0 域 π ,0r2 .
4
解 设 z rie , w e i,则 r2, 2 ,
故扇形域 0 π,
5
5.映射的概念
引入: 对于复变函 ,由数 于它反映了两u对,v变量
和x, y之间的对应,因 关而 系无法用同一平面 的几何图形表示 ,必出须来看成是两个上 复平面 的点集之间的对.应关系
6
映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变z的量值,
而用另一个平w面平面上的点表示函w数的 值,那末函数w f (z)在几何上就可以看作 是把z 平面上的一个点G集(定义集合)变到 w 平 面 上 的 一 个 点G集* (函 数 值 集 合 )的 映 射 (或变换).
C
o
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
9
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
这个映射通常函简数 w称 f为 (z) 由 所构成的 . 映射
如G 果 中的 z被 点 映 w射 f(z)映射 G*成 中的 w,那 点 w 末 称z为 的(映 象)象 而 , z称w 为 的原 . 象
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两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
连续的充 :u(x,y 要 )和 v(条 x,y)在 件 (x0,y 是 0) 处连 . 续
例如, f(z ) ln x 2 y (2 ) i(x 2 y 2 ), u(x, y)lnx(2 y2)在复平面内除原点外 处连,续v(x,y)x2y2在复平面内处, 处连 故f(x,y)在复平面内除原 处点 连外 .续处
29
argz 在z＝－2处连续否？
•
2
结论：不连续
四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.
注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
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定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
24
y
zz3 1o z 2
x
w2
v
w
o
1
w3
u
10
(2)函数 wz2构成的. 映射
根据复数的乘法公式可知,
映射 wz2将z的辐角增. 大一倍
y
v
o
x
2
o
u
将 z平面上与实 的轴 角交 形角 域 w为 映 平面上与2实 的 轴 角 交 .形 角 域 为
11
(2)函数 wz2构成的. 映射
函数 wz2对应于两个二数 元: 实变函 ux2y2, v2x.y
证
令 z x i,yf( z ) u i,v
则u(x,y)xx22yy22,
v(x,
y)
2xy x2 y2
,
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lx i0m v(x,y)lx i0mx22xyy2
r
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当 z沿不同 ar z的 g 趋 射于 线 , 零时
f (z)趋于不同的.值 例z如 沿正 ar 实 z g 0趋 轴于 , f(零 z)1,时
沿arzgπ趋于零 , f时 (z)0, 2
故lim f(z)不存. 在 z0
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例5 证明f函 (z)z数 (z0)当 z 0时的极 z
限不. 存在