卡方检验
卡方检验的基本原理
卡方检验的基本原理
卡方检验是一种常用的统计方法，用于检验两个分类变量之间是否存在相关性。在实际应用中，我们经常需要了解不同变量之间是否存在相关性，卡方检验就是一种有效的工具。本文将介绍卡方检验的基本原理，帮助读者更好地理解和应用这一统计方法。
一、卡方检验的概念
卡方检验是由卡尔·皮尔逊于1900年提出的一种统计方法，用于检验观察频数与期望频数之间的偏差程度，进而判断两个变量之间是否存在相关性。在卡方检验中，我们通常会得到一个卡方值，通过比较这个卡方值与临界值，来判断两个变量之间是否存在显著性差异。
二、卡方检验的基本原理
1. 建立假设
在进行卡方检验之前，我们首先需要建立零假设（H0）和备择假设（H1）。零假设通常是指两个变量之间不存在相关性，备择假设则是指两个变量之间存在相关性。在卡方检验中，我们的目标是通过观察数据来判断是支持零假设还是备择假设。
2. 计算期望频数
在进行卡方检验时，我们需要计算期望频数。期望频数是指在零假设成立的情况下，我们预期每个分类变量的频数是多少。通过对观察频数和期望频数进行比较，可以得出两者之间的偏差情况。
3. 计算卡方值
计算卡方值是卡方检验的核心步骤。卡方值的计算公式为：
χ² = Σ((观察频数-期望频数)² / 期望频数)
其中，Σ表示对所有分类变量进行求和。通过计算卡方值，我们可以得到一个反映观察频数与期望频数偏差程度的统计量。
4. 确定显著性水平
在进行卡方检验时，我们需要设定显著性水平（α），通常取0.05或0.01。显著性水平表示我们所能接受的偶然性概率，即在零假设成立的情况下，观察到当前结果的概率。
卡方检验基本概念
卡方检验基本概念
卡方检验是一种用于检验两个分类变量之间是否存在相关性的统计方法。它是通过比较实际观察值与理论预期值之间的差异，来判断两个变量是否独立。
卡方检验的基本概念包括以下几点：
1. 实际观察值（Observed frequencies）：研究者通过实际观察
或者实验得到的数据，用来计算卡方值。
2. 理论预期值（Expected frequencies）：通过某种假设或模型
计算得出的在变量独立的情况下，每个分类的期望频数。
3. 自由度（Degrees of freedom）：自由度是指可以自主变化的参数的个数。在卡方检验中，自由度的计算方法为(df = (r-1) * (c-1)，其中r是行数，c是列数。
4. 卡方统计量（Chi-square statistic）：卡方统计量是用来衡量
实际观察值与理论预期值之间的差异的统计量。计算方法为卡方统计量= Σ( (观察值-理论值)^2 / 理论值 )。
5. 卡方分布（Chi-square distribution）：卡方分布是一种特殊
的概率分布，其形状取决于自由度。在卡方检验中，可以利用卡方分布表或统计软件计算出相应的卡方分布P值。
卡方检验
第16章无序分类变量的统计推断——卡方检验
通过前面的介绍可以知道，变量可以被分为连续性变量（定距、定比）和分类变量，后者又被细分为有序、无序变量两种。对于各组所在总体的定量变量（即连续性变量）的平均水平，可以使用t检验和方差分析方法进行比较，秩和检验则用于比较各组所在总体为有序分类变量的分布情况是否相同。这里将要介绍的卡方检验主要用于
是在应用的程度上可以和t检验相媲美的另一种常用检验方法。
连续变量两组t检验
多组方差分析
分类变量有序秩和检验
无序卡方检验
16.1 卡方检验概述
16.1.1 卡方检验的基本原理
1. 卡方检验的基本思想
卡方检验是以χ2分布为基础的一种常用假设检验方法，
它的无效假设为H0是：观察频数与期望频数没有差异。
卡方检验的基本思想是：首先假设H0成立，基于此前提计算出χ2值，它表示观察值与理论值之间的偏离程度。根据χ2分布及自由度可以确H0假设成立的情况下获得当前统计量及更极端情况的概率P。如果P值很小，说明观察值与理论值偏离程度太大，应当拒绝原假设，表示比较资料之间有显著差异；否则不能拒绝无效假设，尚不能认为样本所代表的实际情况和理论假设有差别。
2.卡方值的计算与意义
见复印资料柯惠新等人编著《调查研究中的统计分析法》
卡方统计量，由于它最初是由英国统计学家Karl Pearson 在1900年首次提出的，因此也称之为Pearson χ2。
由卡方的计算公式可知，当观察频数与期望频数完全一致时，χ2值为0；观察频数与期望频数越接近，两者之间的差异越小，χ2值越小；反之，观察频数与期望频数差别越大，两者之间的差异越大，χ2值越大。换言之，大的χ2值表明观察频数远离期望频数，即表明远离假设。
卡方检验
卡方检验是一种基于χ2分布的假设检验方法，其应用十分广泛，特别是在离散变量的分析中，χ2分布最早于1875年由F.Helmet提出，他计算出来自正态总体的样本方差分布服从χ2分布，1900年Karl Pearson在做拟合优度研究时也得出χ2分布，并且提出χ2统计量，将其用于假设检验。
【卡方检验的主要用途包括以下几个方面】
1.检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布相一致。如是否符合正态分布、是否服从均匀分布、是否服从Poisson分布等
2.某无序分类变量各属性出现的概率是否等于指定概率，如骰子各面出现的概率是否等于1 \6,硬币正反两面是否等于0.5等
3.检验两个无序分类变量之间是否独立，有无关联，如收入与性别是否有关。
4.控制某种分类因素之后，检验两个无序分类变量各属性之间是否独立，如上述控制年龄因素之后，收入与性别是否有关，
5.检验两个或多个样本率（总体率）或构成比之间是否存在差别，也称为同质性检验。
6.多个样本（总体）之间的多重比较
7.不同的方法作用于同一个变量时，产生的效果是否一致（配对检验）。如两种治疗方法作用于同一组病人，疗效是否一样
在以上用途中，除了第一点是针对连续变量之外，其余都是针对无序分类变量，由此可见，卡方检验大部分是用在分类变量的检验中发挥作用。
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【卡方检验基本思想】
卡方检验是以渐进χ2分布为基础，它的零假设H0是：观察频数与期望频数没有差别。
通过构造χ2统计量，得出P值，并以此进行检验。
卡方检验
17
四格表可能组合数 = 6 + 1 = 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 9 0 8 0 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 2 3 4 5 6 7 P新-P旧 0.042 0.278 0.514 0.75 =-0.667 -0.431 -0.194 P= 0.0068 0.0814 0.2851 0.3801 0.2036 0.0407 0.0023 双侧： （ 双侧：P（| P新-P旧| ≥ 0.514）= 0.0023 + 0.0407 + 0.0068 ） = 0.0498 上侧：新药不比旧药差， 上侧：新药不比旧药差， P（ P新-P旧 ≥ 0.514） =0.0023 + 0.0407 = 0.0430 （ ） 下侧：新药不比旧药好，P（ P新-P旧 < - 0.514）= 0.0068 下侧：新药不比旧药好， （ ）
18
4. χ2检验与两个率比较 检验之间的关系 检验与两个率比较u检验之间的关系 界值为双侧u界值的平方 界值的平方， (1) ν=1时， χ2界值为双侧 界值的平方，在比 时 较两个率时，两者等价。 较两个率时，两者等价。 χ2α，1= ( u α/2 ) 2 (2) u检验可作单侧、双侧检验， χ2检验只作 检验可作单侧、 检验可作单侧 双侧检验， 双侧检验。 双侧检验。 (3) π与π0比较时，不能用χ2检验，只能用 检 比较时，不能用χ 检验，只能用u检 验或二项分布直接计算概率法。 验或二项分布直接计算概率法。 检验的条件不如正态近似法严格。 (4) χ2检验的条件不如正态近似法严格。
卡方检验的注意事项
卡方检验的注意事项
卡方检验是一种常用的统计方法，用于检验两个或多个类别变量之间是否存在显著性差异。在进行卡方检验时，有一些注意事项需要注意，以确保结果的准确性和可靠性。
首先，样本的选择和采集需要具有代表性。在进行卡方检验前，需要明确研究目的，并根据目的选择合适的样本。样本应该能够从总体中随机选择，并且要覆盖研究问题的各个方面。只有具有代表性的样本才能保证检验结果的可靠性。
其次，变量的测量要准确无误。卡方检验需要对不同的类别变量进行计数，因此对变量进行测量时，应该确保测量结果的准确性和一致性。在进行计数时，要避免漏计或重复计数的情况出现。
另外，卡方检验需要考虑样本的独立性和随机性。在进行卡方检验时，需要确保样本之间是相互独立和随机选择的，否则就可能导致结果的偏差。如果样本之间存在依赖关系或者选择偏倚，则可能会影响卡方检验的结果。
此外，要确保统计量的条件满足。卡方检验使用卡方统计量来判断变量之间是否存在显著性差异。在计算卡方统计量之前，需要确保每个类别中的样本数目都足够大，以便满足条件。如果某个类别中的样本数目过小，可能会导致卡方统计量不可靠或无效。
最后，要正确解读卡方检验的结果。卡方检验的结果通常以P
值的形式表示，P值越小表示变量之间的差异越显著。当P值
小于设定的显著性水平时，可以拒绝原假设，表明变量之间存在显著性差异。但是需要注意，显著性差异并不等于实际差异，还需要根据实际情况进行合理解释。
总之，卡方检验是一种常用的统计方法，但在使用过程中需要注意上述事项，以确保检验结果的准确性和可靠性。正确使用卡方检验可以提供有力的数据支持，从而更好地了解变量之间的关系。
卡方检验
卡方检验
■ 频数分布拟合优度的 χ2检验
频数拟合优度检验的方法
（1）.卡方检验法
Βιβλιοθήκη Baidu
（2）.正态性检验的W法（Shapiro-wilk法）、
D法 （Kolmogorov-Smirnov法）
有专门的软件用于拟合优度检验。用SAS编写程序也可实现，但较麻烦。
卡方检验
■ 频数分布拟合优度的 χ2检验
判断样本观察频数（Observed frequency）与理论(期望)频数（ Expected frequency ）之差是否由抽样误差所引起。
卡方检验
■ χ2分布
χ2分布的分布函数和χ2分位数：
卡方检验
■ χ2分布
χ2分布与正态分布的关系：
卡方检验
■ χ2分布
χ2分布的用途：
卡方检验
■ χ2检验的基本思想
例题 某医院欲比较异梨醇口服液（试验组）和氢氯噻嗪+地塞米松（对照 组）降低颅内压的疗效。将200例颅内压增高症患者随机分为两组，结果 见表1。问两组降低颅内压的总体有效率有无差别？
卡方检验
■ 四格表资料的χ2检验
3.当n<40，或T<1时，用四格表资料的Fisher确切概率法。 Fisher确切概率法的基本思想
在四格表周边合计数不变的条件下， 利用超几何分布直接计算样本事件及 比样本事件更极端情形发生的概率。
卡方检验 公式
卡方检验公式
卡方检验，也称卡方分布检验，是一种常用的假设检验方法，用于检验两个分类变量之间是否存在相关性。在统计学中，卡方检验是基于卡方分布的检验方法，用于比较实际观察值与理论期望值之间的差异。
卡方检验的原理是比较观察到的频数与期望的频数之间的差异，以判断两个变量是否相关。它通过计算观察频数与期望频数之间的卡方值，然后根据卡方分布的概率密度函数计算出对应的P值，进而判断两个变量之间的关联性。
卡方检验的公式可以表示为：
卡方值(X^2) = Σ (观察频数-期望频数)^2 / 期望频数
其中，Σ表示求和，观察频数和期望频数分别表示对应格子中的实际观察值和理论期望值。
在进行卡方检验时，首先需要根据实际数据计算出期望频数。期望频数是基于某种假设模型计算得出的，它表示在变量之间不存在相关性的情况下，每个分类中的期望频数。然后，将观察频数和期望频数代入公式中进行计算，得出卡方值。
接下来，需要根据卡方值的大小来判断两个变量之间的关联性。通常情况下，我们会将卡方值与临界值进行比较。临界值是根据给定
的显著性水平和自由度确定的，用于判断卡方值是否显著。如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，即认为两个变量之间存在相关性；反之，则接受原假设，即认为两个变量之间不存在相关性。
卡方检验的应用非常广泛。例如，在医学研究中，可以使用卡方检验来判断某种疾病与某种基因型之间是否存在关联；在市场调研中，可以使用卡方检验来分析不同年龄段人群对某个产品的偏好程度；在教育评估中，可以使用卡方检验来比较不同教学方法对学生成绩的影响。
卡方检验
理论值按一定要求
例2 某校高一学生的作文成绩，90分以 上、80-89分、70-79分、60-69分、60 分以下者的比例为1:2:4:2.5:0.5，现 从该校高一学生中随机抽取60名学生的 作文成绩，90分以上的5人、80-89分的 16人、70-79分的21人、60-69分的14人、 60分以下的4人。根据这一调查资料， 推断该校报告的比例是否可靠。
某个所在行的边际和 该格所在列的边际和 n1 n2 fe 总次数 N
2×2列联表的独立性检验
例4 60名男生、50名女生数学成绩测验，成绩及格 情况是否与性别有关？
及格 男 女 nj 43(44.73) 39(37.27) 82
不及格
ni
17(15.27) 60 11(12.73) 50 28 110
Χ2检验应用
2
检验在教育研究中的主 要用途有两个：
1、用于按一个分类标志 分类的资料， 检验各类实际观察次数 与理论次数 是否相符合，即适应性 检验； 2、用于按两个分类标志 分类的资料， 检验这两个分类标志（ 或因素）之间 是否独立，即独立性检 验。
适应性检验-----按一个标志分类
2检验的步骤：
C
2 N 2
例6 随机抽取200名学生的期末语文和数学考 试成绩，见下表，语文和数学成绩之间的相关 情Biblioteka Baidu如何？
卡方检验知识点总结
卡方检验知识点总结
卡方检验的原理是基于观测值与期望值的差异来进行判断的。在卡方检验中，我们会对观
测频数和期望频数进行比较，从而得出相关性的结论。下面将详细介绍卡方检验的相关知
识点。
1. 卡方检验的基本思想
卡方检验的基本思想是比较观测频数与期望频数之间的差异，通过检验这种差异是否显著
来判断两个变量之间的关系是否存在。当观测频数与期望频数之间的差异较大时，可以认
为两个变量之间存在相关性；当观测频数与期望频数之间的差异较小时，可以认为两个变
量之间不存在相关性。
2. 卡方检验的适用条件
在进行卡方检验时，需要满足一定的条件才能得到可靠的结果。首先，变量的测量水平必
须是分类（或者说是定性的）。其次，样本的观测数据必须是频数形式，而且样本量要足
够大（通常要求每个单元的期望频数不小于5）。最后，在进行卡方检验前，需要明确变
量之间的关系是独立的还是相关的。
3. 卡方检验的类型
卡方检验有两种类型：独立性检验和拟合优度检验。独立性检验是用于判断两个分类变量
之间是否存在相关性，可以用于解决“两个变量关系是否显著”这类问题；拟合优度检验是
用于判断观测频数与期望频数之间是否存在差异，可以用于解决“观测数据是否符合某种
理论模型”这类问题。
4. 卡方检验的步骤
进行卡方检验时，首先要确定研究的问题类型（是独立性检验还是拟合优度检验），然后
计算卡方值，最后根据卡方值进行显著性检验。具体的步骤如下：
- 确定问题类型：根据研究的问题类型选择相应的卡方检验类型，是独立性检验还是拟合
优度检验。
- 构建假设：根据问题类型构建原假设和备择假设，通常原假设是变量之间不存在相关性，备择假设是变量之间存在相关性。
卡方检验
卡方检验基础
卡方检验通用公式
由英国统计学家Karl Pearson于1900年首 次提出，故被称为Pearson χ2 。
2
A T
T
2
其中为A实际频数，T为理论频数。反映 了实际频数与理论频数吻合的程度。
卡方检验的用途
1.检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布一致，如是否符合 正态分布，Possion分布等
行×列表的χ2检 验
卡方检验
Pearson 卡方 似然比 线性和线性组合
结果分析
值 a 34.060
35.113 32.304
df
5 5 1
渐进 Sig. (双侧) .000
.000 .000
有效案例中的 N
293
a. 1 单元格(8.3%) 的期望计数少于 5。最小期望计数为 2.87。 此表为χ2检验的结果，χ2＝34.060，P<0.000，差异有统计学意义,在此 例中，仅有1个单元格（8.3%）期望计数<5，仍选用Pearson卡方的统 计结果，若>1/5格子期望值<5，则需要对数据进行处理再进行计算。
2.检验某个分类变量各类的出现概率是否等于指定概率，如掷硬币 时正反两面出现的概率是否均为0.5
3.检验两个分类变量是否相互独立，如吸烟是否与呼吸道疾病有关
4.检验控制某种或某几种分类变量因素的作用之后，另两个分类变 量是否独立，如上例控制年龄、性别之后，吸烟是否与呼吸道疾 病有关
统计学中的卡方检验
统计学中的卡方检验
卡方检验是一种常用的统计学方法，用于判断两个或多个变量之间
是否存在显著性差异。本文将介绍卡方检验的原理、应用场景以及实
际操作步骤。
一、卡方检验原理
卡方检验基于观察数据与理论数据之间的差异来判断变量之间的相
关性。它通过计算卡方值来衡量观察值与理论值之间的偏离程度，进
而判断差异是否具有统计学意义。
二、卡方检验的应用场景
卡方检验广泛应用于以下几个方面：
1. 样本观察与理论值比较：用于比较观察数据与理论数据之间的差异，例如检验一个硬币是否是公平的。
2. 不同群体之间的差异性：用于比较不同群体之间某一属性的差异，例如男性和女性在某一疾病患病率上是否存在显著性差异。
3. 假设检验：用于判断两个或多个变量之间是否存在显著性关联，
例如是否存在两个变量之间的相关性。
三、卡方检验的基本思路
卡方检验的基本思路是建立原假设和备择假设，通过计算卡方值和
查表得到结果。具体步骤如下：
1. 建立假设：设立原假设H0和备择假设H1。原假设通常假定两个
变量之间不存在显著性关联，备择假设则相反。
2. 构建列联表：将观察数据按照行和列分别分类计数，得到列联表。
3. 计算期望频数：根据原假设计算每个单元格的期望频数，即在假
设成立的条件下，各个单元格的理论频数。
4. 计算卡方值：根据观察频数和期望频数计算卡方值，计算公式为
Χ²=∑[（O-E）^2/E]，其中O为观察频数，E为期望频数。
5. 查找临界值：根据自由度和显著性水平，在卡方分布表中找到对
应的临界值。
6. 判断结果：比较计算得到的卡方值与临界值，若卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为差异具有统计学意义。
卡方检验的解释
卡方检验是一种统计检验方法，用于比较两个或多个分类变量之间的差异是否具有统计学意义。它主要用于推断两个分类变量之间是否存在关联或独立性。
卡方检验的原理是通过比较实际观察到的频数与期望频数之间的差异来判断两个变量之间是否存在显著的关联。在卡方检验中，首先计算每个单元格中的实际频数与期望频数之间的差异，然后将这些差异平方后相加，得到卡方值。最后，根据卡方分布的概率密度函数来确定卡方值是否落在拒绝域内，从而判断两个变量之间的关联是否具有统计学意义。
卡方检验可以用于多种情况，如检验两个分类变量之间是否存在关联、检验多个分类变量之间的独立性、检验频数分布的拟合优度等。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的卡方检验方法，并结合样本大小和显著性水平来判断结果的可靠性。
需要注意的是，卡方检验的前提是样本必须是随机样本，并且每个单元格中的频数不应过小。如果样本不满足这些条件，可能会导致卡方检验的结果不准确。此外，卡方检验只是一种统计推断方法，不能证明因果关系的存在，需要结合实际情况进行综合分析。
卡方检验基本公式检验方法
卡方检验基本公式检验方法
卡方检验（Chi-square test）是一种常用的统计方法，用于检验观察值与理论
预期值之间的差异是否显著。它适用于分类变量或频数数据的分析，广泛应用于生物医学研究、社会科学调查、市场调研等领域。本文将介绍卡方检验的基本公式和检验方法。
1. 卡方检验的基本公式
在进行卡方检验之前，我们需要先了解几个基本公式。
1.1 观察频数（O）
观察频数指的是实际观察到的频数，也就是实际测量或观察得到的数据。通常
用O表示。
1.2 理论频数（E）
理论频数是根据假设或理论计算得到的预期频数，用于与观察频数进行比较。
通常用E表示。
1.3 卡方值（χ²）
卡方值是通过观察频数和理论频数的比较计算得到的统计量，用于衡量观察值
和理论值之间的差异程度。卡方值的计算公式为：
χ² = Σ [(O - E)² / E]
其中，Σ表示对所有分类或组别进行求和。
2. 卡方检验的检验方法
卡方检验的检验方法主要分为以下几步：
2.1 建立假设
在进行卡方检验之前，需要明确要进行的假设检验类型，包括原假设（H0）和备择假设（H1）。原假设通常是没有差异或关联，备择假设则是存在差异或关联。
2.2 计算卡方值
根据观察频数和理论频数的公式，计算出卡方值。
2.3 确定自由度
自由度是卡方分布中的参数，它与样本量及分类数相关。自由度的计算公式为：df = (r - 1) * (c - 1)
其中，r表示行数，c表示列数。
2.4 查表确定临界值
根据所选的显著性水平和自由度，查找卡方分布表中的临界值。显著性水平通
常选择0.05或0.01，表示可接受的异常结果的概率。
卡方检验应用的条件
卡方检验是一种用于比较两组或多组数据之间差异的统计方法，它基于卡方统计量，用于检测实际观测值与理论模型之间的差异。卡方检验通常应用于以下条件：
1. 观察值具有独立性和同分布性，即观察值之间没有相互影响，并且具有相同的分布。这是进行卡方检验的基本前提，因为卡方检验是基于概率和频率的统计方法，如果观察值不满足独立性和同分布性，卡方检验的结果可能会受到干扰。
2. 观察值数量足够大，可以保证卡方检验的准确性和可靠性。如果观察值数量过小，卡方检验的结果可能会受到偶然误差的影响，从而导致误判。
3. 观察值符合一定的频率分布，即观察值应该均匀地分布在一定的频数范围内。如果观察值不符合一定的频率分布，卡方检验的结果可能会受到干扰。
在实际应用中，卡方检验通常适用于以下情况：
1. 比较两组或多组数据的分类变量之间的差异。例如，比较不同性别、年龄、职业等人群在某些特征上的分布是否存在差异。
2. 分析定性变量的相关关系。虽然卡方检验主要用于比较两组数据的差异，但它也可以用于分析定性变量之间的相关关系。通过卡方检验，可以确定变量之间的相关程度和可能的原因。
3. 检测分类变量之间是否存在逻辑关系。例如，通过卡方检验可以检测某个分类变量是否与另一个分类变量存在一定的关联关系，如性别与婚姻状况的关系等。
需要注意的是，卡方检验是一种假设检验方法，需要设定一定的显著性水平来决定是否拒绝零假设。通常，显著性水平越低，说明对零假设的拒绝越果断。但在实际应用中，需要注意过低的显著性水平可能会导致过度判断错误的风险。因此，在进行卡方检验时，需要根据具体情况选择合适的显著性水平，并谨慎评估检验结果的可信度。同时，对于一些特殊情况，如样本量较小、数据分布不均匀等，可能需要采用其他统计方法或进行适当的调整来保证卡方检验的准确性和可靠性。
卡方检验
列联表独立性检验 四格表独立性检验
列联表独立性检验：
用于独立性检验的数据一般整理成列联表（contingency table） 的形式
列 行 A D 列总计 A+D B E B+E C F C+F 行总计 A+B+C D+E+F N
一个分类标准把数据分为若干列，另一个分类标准把数据分为 若干行，行列交叉形成一个个方格（cell）每一行和每一列都 有一个总计，书写在一行或一列的末尾，称为“边际总和”。 所有的边际总和加起来就是全部数据的个数或样本容量N 列联表行的数目一般用r表示，列的数目用k表示，因此 一个列联表可以表示为r×k 例如 上表可表示为2×3
Hale Waihona Puke Baidu
*
*对观测数据之间的差异性检验是
相对简单的单因素检验，只检验 分成多项的单因素频数之间有没 有显著性差异。
某大学英语老师为了了解学生学习英语的动机做了一次小 范围的问卷调查，该问卷调查共6项，调查对象是150名普通 高校非英语专业大二学生，调查结果整理后如 下表第二行 所示。从调查结果上看有无显著性差异？如果有显著性差 异，其主要动机是什么呢？
期望次数的计算步骤：
1.计算样本的平均值与标准差
x x z s
2.把每组的上限转换成标准分Z（即上限离开平均值的标准 差单位数），并从正态分布表中查出对应的正态曲线下的面 积A 注：A是Z值与平均值之间所夹面积 3.求每组的面积，该面积就是每组的期望次数 用一组的上限标准 分对应面积减去下 的比例P 一组上限对应面积 4.用每组期望次数的比例乘以样本容量(P×N），即 得每组的期望次数E 注意：如果某组的期望次数低于5，就要与邻组的 期 望次数合并，直到合并后的期望次数等于或大于5， 否则就会影响卡方检验的可靠性。
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(|184 175.3 | 0.5) 2 (| 200 208.7 | 0.5) 2 4.27 175.3 208.7
（四）统计推断 当自由度 df =1 时， 查 得20.05(1) =3.84， 20.01(1) =6.63， 20.05(1)< 2c<20.01(1)，0.01<P<0.05，否定H0，接受H1 ，表明 种子灭菌与否和散黑穗病发病多少呈显著相关；种子灭菌的发
当df≥2时，可采用SPSS进行分析：
DataWeight Cases… 设置实际次数 Analyze Nonparametric Tests Chi-Square 设置理论次数
例7-4
输出：
P =0.439>0.05，不显著，表 明实际观察次数与理论次数差异
不显著，可以认为消费者对3种
3. Pearson 2的连续性矫
当df =1时，皮尔逊2与标准卡方分布偏差较大，需要进行矫正 正：
。df ≥2时，要求各组内的理论次数不小于5。 当
当df ≥2时，不作连续性矫正
样本容量n ≥ 50
当df =1，需作连续性矫正。
2 （ | O E | 0.5) i i c 2 Ei i 1 k
第七讲
卡方检验
内容框架
(一) 皮尔逊 皮尔逊 的连续性矫正 2 适合性检验的意义 (二)适合性检验 适合性检验的方法
2
皮尔逊2的意义
(三)独立性检验 (四)方差齐性检验
独立性检验的意义 独立性检验的方法
1. 统计推断（如u检验、t检验、F检验）均以服从某一
分布（如正态分布）为假定条件。
总体分布的检验
2=
i 1
k
(Oi Ei ) Ei
2
适合性检验df =k-1
独立性检验df =（横行属性类别数1）×（直列属性类别数-1）
（二）适合性检验
1. 定义：判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属
性类别分配理论或比例的假设检验。
2. 资料分布类型的适合性检验：
例7-1：检验100株高梁某品种的株高是否服从正态分布？
——该统计量近似地服从自由度为df=k-1的卡方分布。
受到O1+O2=E1+E2这一条件的的限制
统计量2的意义：
统计量2可以用来检验随机变量之间是否相互独立 ，也可用来检测统计模型/观察频数是否符合实际要求/理 论频数。 可应用于： （1）适合性检验（Goodness-of-fit test）
例：某医院研究导致手术切口感染的原因，怀疑手术时
间长短可能是一个危险因素。于是，收集了305例手术患
者的情况列于下表，问手术时间长短对患者切口是否感 染有无影响？
两种手术时间下患者的切口感染情况 感染情况 手术时 感染 未感染 （小时）
≤5 >5 13 7 229 56
合计
242 63
列联表：观测数据按两个或更多属性（定性变量）
460
例7-5：为防治小麦散黑病，播种前用某种药剂对小麦种子进行
灭菌处理，以未经灭菌处理的小麦种子为对照。观察结果为：种子 灭菌76株中有26株发病，50株未发病；种子未灭菌的384株中有184 株发病，200株未发病。分析种子灭菌对防止小麦散黑穗病是否有效 ?
处理项目 种子灭菌 种子未灭菌 合计
择题中的28题，现在要判断该生是否是完全凭猜测做题。
例7-4：根据以往的调查，消费者对啤酒（a），白酒（b
），葡萄酒（c）的满意度分别为0.51，0.31，0.18。现随机选
择600个消费者对上述3种酒进行嗜好性检验，从中选出各自最
喜欢的产品。结果有300人选a，120人选c，试问消费者对3种 酒类产品的嗜好性是否有所改变？
3. 属性类别分配的适合性检验： 例7-2：有一批棉花种子，规定发芽率达80%为合格，现随
机抽取200粒作发芽试验，得发芽种子为150粒，问是否合格？
（一）提出假设 H0：发芽率符合80%的合格比例； HA：发芽率不符合80%的合格比例。 （二）计算理论次数 理论发芽种子数：E1=200×80%=160（粒） 理论未发芽种子数：E2=200×20%=40（粒）
76 384
210
250
460wk.baidu.com
P(发病)=P(发病|种子灭菌)=P(发病|种子未灭菌) P(未发病)=P(未发病|种子灭菌)=P(未发病|种子未灭菌)
处理项目 种子灭菌 种子未灭菌 合计
发病穗数
26(34.7)
未发病穗数
50(41.3)
合计
76
184(175.3)
210
200(208.7)
250
384
分类时所列出的频数表。
属性
B1 O11 O21 T.1 B2 O12 O22 T.2
行合计
T1. T2.
2×2列联表
A1 A2
列合计
总计T..
自由度df =（横行属性类别数-1）×（直列属性类别数-1
）
理论次数的计算
处理项目 种子灭菌 种子未灭菌 合计 发病穗数
26 184
未发病穗数
50 200
合计
（20%、10%、70%）、（2、3、4、1）就叫权数。 这种方法叫加权法。
SPSS中的加权个案
加权个案是指对变量，特别是频数变量赋以权重，常用于计数频
数表资料，加权以后的变量被说明为频数。通常在做卡方检验的时
候用的比较多~在做卡方检验之前需要对频数变量进行加权。 如果有168个相同的观察数据，每一行就是一个记录， 则需要输入168行，这样做非常麻烦。 Weight Cases（加权个案） 使用频数格式录入数据，即相同取值的观测只录入一
酒类产品的嗜好性没有改变。
SPSS操作： 例7-4：根据以往的调查，消费者对啤酒（a），白酒（b
），葡萄酒（c）的满意度分别为0.51，0.31，0.18。现随机选
择600个消费者对上述3种酒进行嗜好性检验，从中选出各自最
喜欢的产品。结果有300人选a，120人选c，试问消费者对3种 酒类产品的嗜好性是否有所改变？
（总次数，&由样本估计了总体的平均数和标准差）
2 0.05(3) 7.81 2，p 0.05，接受H0
查2表（附表7）， 得
统计结论：
这100株高梁某品种的株高服从正态分布
分析 描述统计 探索 SPSS分析：
例7-1
SPSS操作：
例7-1：检验100株高梁某品种的株高是否服从正态分布？
加权平均值
——即将各数值乘以相应的单位数，然后加总求和得到总 体值，再除以总的单位数。 某同学《生物统计》的考评成绩：平时作业80，考勤90，期末95 某人射击十次，其中二次射中10环，三次射中8环，四次射中7环 ，一次射中9环，那么他平均射中的环数为： （10 *2+8*3+7*4+9*1）/10 = 8.1
致癌剂2 合计
39 91
3 22
42 113
92.86 80.33
（一）卡方检验的原理
1. 统计量2：由K. Pearson于1899年提出， 反映实
际观察次数与理论次数吻合程度的一个统计量。
2 ( O E ) i 2 i Ei i 1 k
k
为组数
Oi 为第i 组的实际观察次数
Ei 为第i 组的理论次数
小结
2 ( O E ) 1.卡方统计量：次数资料。 2 i i Ei i 1 k
应用：适合性检验、独立性检验、方差齐性检验。
步骤 ： 步骤：注意矫正
2.适合性检验：定义
应用：分布类型、属性类别比例 。 理论次数的计算： SPSS操作：weight cases
小知识（1）——加权
（三） 计算2：
由于本例是涉及到两组（发芽与未发芽），属性类别分类数 k=2，自由度df=k-1=1，须使用矫正公式来计算 c2 。
（|Ai Ei | 0.5)2 （| 150 160 | 0.5)2 （| 50 40 | 0.5)2 c 2.82 Ei 160 40 i 1
（1）提出假设
H0：符合正态分布；HA： 不符合正态分布
（2）将观测值分为k组(10组)，制频数分布表；计 算样本平均数、标准差，及标准正态离差；
x 156.1cm，s 4.98cm
假设高粱株高符合正态分布（μ, σ）。根据参数 估计原理， μ用 x 估计 ， σ用s估计。 计算各组标准正态离差u，l为组下限值。
次，另加一个频数变量记录该数值共出现了多少次。
小结
1.常用术语：试验指标、观测值、试验因素、因素水
平、试验处理、重复、对照、总体、样本等。
2.统计分析案例：
单个样本平均数的t 检验： 两个样本平均数的t 检验： 配对设计的两个样本平均数的t 检验：
小结
2 ( O E ) 1.卡方统计量：次数资料。 2 i i Ei i 1 k
2. 实际工作中需要了解样本观察次数（Observed
frequency，简记为O）是否与某一理论频数（Expected
frequency，简记为E）相符。
类别比例的检验
例：某医院一年中出生的婴儿共计1521人，其中男婴802人
，女婴719人，试问能否认为男婴、女婴出生概率相同？
例：要检验一颗骰子是否是均匀的，那么可以将该骰子抛掷若
例：研究玉米果穗是否发病与种子是否灭菌这两个因素
是否相关，即灭菌处理对防止果穗发病是否有效?
例：工农业从业者的高血压患病率的比较研究。调查首
钢50-59岁男性工人1281人，高血压患者386人，患病率 30.13%。石景山区农民387人，高血压患者65人，患病率
16.80%，试问从事工农业生产的男性患病率有无差别?
应用：适合性检验、独立性检验、方差齐性检验。
步骤 ： 步骤：注意矫正
2.适合性检验：定义
应用：分布类型、属性类别比例 。 理论次数的计算： SPSS操作：weight cases
（三）独立性检验
1.定义：分析各有多项分类的两个或两个以上的因
素之间是否有关联或是否独立的假设检验。
2 k
（四）统计推断
当自由度 df =1 时， 查得20.05(1) =3.84， 20.01(1) =6.63，计 算的2c<20.05(1)，P>0.05，不能否定H0，表明实际观察次数与 理论次数差异不显著，可以认为发芽率符合80%的合格比例。
例7-3：在英语四级考试中，某学生做对了80个四选一选
种子未灭菌的理论未发病穗数：E21=384×250/460=208.7
（三） 计算2： df=(2-1)*(2-1)=1，应进行连续性矫正，计算c2
(| Ai Ei | 0.5) 2 (| 26 34.7 | 0.5) 2 (| 50 41.3 | 0.5) 2 Ei 34.7 41.3 i 1
病发病穗多少有关，二者彼此相关；
处理项目 种子灭菌 种子未灭菌 合计 发病穗数
26 184 210
未发病穗数
50 200 250
合计
76 384 460
（二）计算理论次数
种子灭菌的理论发病穗数：E11=76×210/460=34.7 种子灭菌的理论未发病穗数：E12=76×250/460=41.3
种子未灭菌的理论发病穗数：E12=384×210/460=175.3
（2）独立性检验（Independence test）
（3）同质性检验（齐性检验）
2. Pearson 2的检验程序
（1）将观测值分为k组； ： （2）计算n次观测值中每组的观测次数，记为Oi； （3）根据变量的分布规律或概率运算法则，计算每组的理论
次数，记为Ei；
（4）计算统计量Pearson2 ； （5）检验Oi与Ei的差异显著性，判断两者之间的吻合程度， 作出统计推断。
发病穗数
26(34.7)
184(175.3) 210
未发病穗数
50(41.3)
200(208.7) 250
合计
76
384 460
（一）提出假设
H0：种子灭菌对防止小麦散黑穗病无效，即种子灭菌与否与 散黑穗病发病穗多少无关，二者相互独立； HA：种子灭菌对防止小麦散黑穗病有效，即种子灭菌与否与散黑穗
u lx s
（3）求各组的理论频数 ；
正态分布表（附表1）
合并组
合并组
（4）求Pearson卡方；
(Oi Ei )2 (7 9.09)2 (14 13.82)2 ...+ =2.06 Ei 9.09 13.82 i 1
2 k
（5）统计推断；
自由度df=组数k（合并后）-受限因子数=6-3=3
干次，记录每一面出现的次数，从这些数据出发去检验各面出
现的概率是否都是1/6.
3. 在次数资料分析中，需要了解两类因子是相互独立还
是彼此相关。
因子独立性检验
例：两组大白鼠在不同致癌剂作用下的发癌率如下，问
致癌剂的不同是否对发癌率有影响？
处理 致癌剂1 发癌数 52 未发癌数 19 合计 71 发癌率% 73.24