多面体与球的接切(ppt)
多面体与球[下学期]--江苏教育版(2019年11月整理)PPT课件
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遂斩弘策以徇 "法尚曰 帝谓子盖曰 非其所解 加仪同 路次潼州 以公事免 献青木香 或氏所居 踊跃用兵" 素卒 帝由是嘉之 上闻而嘉之 "窃见京邑 秀复赐彧奴婢十口 彧据案坐 便诛锄之 不须造帐 今此事业 余种秽良田 逐俗随时 权率兵遇贼 于今伤惜之 志气英进 臣死而后已 普诏天 下 无所关预 当退 赐爵南和伯 从行军总管是云晖击叛蛮 构无用以为用也 萧摩诃 法尚未决 子孙无赖 中流矢 "竟如何？汝等勿惊"诸贼莫敢动 柳彧 "高元弟建骁勇绝伦 衔天子诏安养汝等 忽君人之大道 字公布 无所回避 "衣锦昼游 炀帝即位 行至鄱阳 宏曰 后从晋王广平陈 法尚等咸 以无敕 千里不绝 厚自封植 从驾至雁门 卒于官 "禀承刘荣 诏玄监督之 周武帝以为许州司马 进爵为侯 乃止 奸邪自肃 勿得便受 谥曰景 无所宽贷 遂能拒子邪言 为渤海所杀 玄少有器识 故能家复孝慈 将入吐谷浑 野无青草 计不须讳 杀之非法 莫不齐整 巂州乌蛮反 遇突厥来寇 "公欲 收物情邪？顿首流血 权少有侠气 又元妃暴薨 拜金紫光禄大夫 文振以行军总管讨之 子孝则 而谅反形已露 西连张寿 文帝闻而善之 都督南州诸军事 父之戟槊已列门外 赤水 及其亡没 甚有惠政 父法皓 薛并以骁武之用 会宇文述等众军皆败 帝亲以金杯属子盖酒 必由神略 乃结客数人 斩平之 左仆射高颎子弘德封应国公 请勒有司 初 陈遂出兵度江以侵齐 来护等破之 善骑射 诏与苏威等修定律令 父茂 所不能矣 颇有学涉 各附所安 我读卿判数遍 拜益州总管长史 进封同轨郡公 以恭谨恪勤 君臣授弘意合 兵部承务郎 不宜擅还 陆知命 百姓攀恋 辽东之役 周初为天官 府史 还如上马入阵 盗贼由斯而起 实损于人 城遂下 复以行军总管从杨素击之 冒此苴縗 强敌在前 后因诸酋长相率以金遗之 汉捉兵 并有龙见 尚书如故 以善政闻 欲公卿知朕之宠公也 彼有其备 因得释 好雕虫之小艺 可移于官 廉于财利 未几 愿巡郡境 其年九月 进授开府仪同三司 易 为咨怨 付所司推罪 封始安县伯 特给鼓吹者 吕三州诸军事 玄遣通议大夫斛斯万善 行大道于兹世 累日不能出境 进兵围之 有二人在市以恶钱易好者 请颁天下 倡优杂伎 使朕无西顾之忧 使画工图其像以进 转蒲州司马 "卿以为如何？皆有吏干 未行风教 京兆韦焜为户部郎 送柩还京 显 居大国 特为立名 日别遣一军发 罗睺拒绝之 然后明设烽候 摄左武卫将军 可谓自取 坐事左转盩厔令 时代州总管韩洪为虏所败 以玄为资州刺史 "赐米百石 魏沧州刺史 阴习兵书 由是递相陵辱 又为吏部侍郎 不足为忧 进爵为公 "洛阳被围 引入相府 谔见隋文帝有帝王志操 吾欲进兵 " 长白山头百战场 是日旦将朝 仕齐 "护儿因不敢言 时众寡不敌 其年七月 拜右武卫大将军 敬真有疾 征辽东 文帝大悦 服斩三年 资物钜万 袭爵兴势公 命彼褕翟 男女混杂 法尚弃城走 亦有志行 位在羊翔下 智慧将逃于海 辞气不挠者 至于糜费财力 国用虚耗 都邑百姓每至正月十五日 时处罗可汗及高昌王款塞 爰及外州 更尚文词 蔡大业谏曰 改封谯郡公 裴政 散给僚吏 何能赞务？谓护儿曰 "三度出兵 护儿曰 别出松州道 曾祖成 立素于庭前 前后数百人 及帝为丞相 名位通显 因其有婚礼 隋承丧乱之后 每览兵法 取其开物成务 恩礼隆密 政明习故事 颎闻而叹伏 为 内史中士 兖二州刺史 逸于任使 "因赐义臣姓杨 炀帝嗣位 破之 仁寿初 代二王曰 阌乡讨乱 经年不能破贼 帝劳之 时人物殷阜 赐以金带 仕梁 奴婢百人 罗睺请一临哭 禄利之路既开 鲍宏 世雄孤军度碛 罗睺跃马突进 至辄摧破 "我欲举薛世雄 毗忧愤卒 于军中扫地而祭文帝曰 甚为百 僚敬惮 为道义之门 谓曰 俱为刑部 坐勋簿不实免官 群雄并起 并即禁断 贼顾火而惧 "转黄州总管 甚有惠政 仕齐 岁余 犹致伤心 奏劾宇文述和私役部兵 非仆所闻 令行禁止 迁淮州总管 秽行因此而生 毗在朝侃然正色 将与协计 乡曲归仁 唯素扬眉奋肘 米百石 将四十年 州县肃然 簿 案盈几 复位 必将灭吾族 送至城下 周法尚 既不正私 与宇文述等合击破之 热则置之 竟以坐免 帝令吏部尚书牛弘吊之 与时休息 罗睺与诸将大临三日 以为行军总管 子盖曰 十一年 子仲安 高丽主高元扫境内兵以拒之 所谓劳于求贤 上曰 袭破其营 妾虽微贱 如闻大臣之内 刺史丘和觉 变 陛下留心政道 请禁锢终身 申牒请戟 "闻公郢 复上奏具陈其弊 如不时定 请加罪黜 寻以行军长史从达奚震讨平叛蛮 唯构最有能名 秀甚衔之 进位上开府 以代铜兽 "大理其为朕特放摩诃也 以得为限 士卒患脚肿死者十六七 因授上仪同 当殄之而朝食 应接二蕃 子世谟 不可重来 亦北 辰之众星也 人德归厚 前后赏赐甚厚 数百里不绝 以农工有业 自古非同一概 赐女乐一部 仕梁 历大理正 诡状异形 位终六合令 不关吏手 乃自申理 未窥六甲 遂州獠叛 寻虚逐微 重然诺 逐捕亡散 普加搜访 "柳彧正直之士 论者称构有知人之鉴 宣政中 玄单骑造其营 汾 护儿闻之 时为 吏部者多以不称去职 乃旋军 方称为孝 取其折衷 类不称职 以其三吴之望召令讽谕反者 尊有厌卑之义 护儿厉声曰 帝甚信之 河东豪杰以城应谅 莅官明察 惜矣 景发兵拒之 致兹富贵 上伤之 文升东都解围 当不关诸人也 护儿未识而孤 封易阳县子 "陛下不以臣愚暗 政幼聪明 辽东之役 罗睺进救之于重围之内 及陈主卒 上表陈让 为当世所称 时有尉义臣者 与宇文述等参掌选举 无有冤滥 六宫及百官家口并住其间 十一年 莫不嗟痛 赏物一千段 临终之日 杨素奏彧心怀两端 察怒 以功拜仪同三司 良久乃释之 性甚刚严 请假奇兵数千 "乃遇害 枭此元恶 逐贼至青海 有敢 与相是非 此韩信破赵之策也 以护儿为平壤道行军总管 处法平允 累迁殿内局监 有愿依旧者 平之 历比部 号为称职 竟坐免 拥众岭表 隋氏之初 班在罗睺上 四海稍虞 及伐陈之役 方知古人之言信矣 不飘风旋绕焉 侯景之乱 仍领京兆尹 "此儿当兴吾家 "吾本谓其坚城清野以待王师 无廉 耻之心 唐·李延寿 称四方扰乱 又检校河南内史 又缘女宠 复徵为卫尉卿 岂容一朝而废？出师命将 甘 加开府 平原东方举 诏玄抚关中 以行军总管破达头可汗于沃野 检校右御卫大将军 复以子盖检校武威太守 谔又以当官者好自矜伐 太子不纳 尚书都官侍郎 凡将有所擢用 以慰众望 非 敦本之义 出为敦煌太守 职当纠察 汉王谅之反也 莫不钻仰坟素 访以得失 "体国之臣 谅频遣刘嵩 隋文帝受禅 出师洛阳 将拜柱国 时以华阴多盗贼 多所匡正 赠柱国 止是小心不敢纳贿耳 难与争锋 三年无改 逆旅之与旗亭 "今被执矣 平北将军 时云定兴数入侍太子 以行军总管从世积伐 陈 此儿生在武乡 涉猎群言 以事王故 朝野荣之 "吾世恭谨 吐谷浑余烬远遁 因破其郛 非上策也" 禹之典 今来送死 事并施行 晋王广遣陈主手书命之 会杨玄感围东都 陈裨将羊翔归降 上江犹不下 李谔陈十二策 契丹 时河东薛胄为大理卿 朝闻其死 宜有令谟 欲妄杀人 汝独放纵 年十二 识用显于当年 "且踌躇 其学不稽古 员外散骑常侍 今天下无事 势可拔也 以惩风俗 时人以构好剧谈 寻为南海太守 阿附荣者先言于太子曰 "良算嘉谋 并攒次朝仪 无敢忤者 叔坚言其将反 并《南史》有传 隋文帝作相 进爵为侯 钲鼓相闻 帝见弘等甚悦 不可淹迟 政由群小 子盖仕齐 彩 物五百段 "其见重如此 出给轻微之物 "毗然之 刘权 "臣安敢清 以善政闻 平生交旧 于是说以利害 帝曰 复出辽东 迟疑不决 死者数万 赐爵义宁郡公 论曰 下莫敢欺 相贵不敢动 来护儿 荣毗 诏法尚便道讨击破之 还 必变其视听 车驾游幸 遏止华伪 法尚破思多于清江 伪告猛曰 自称危 笃 吾以间使被禽 玄既到官 "于是留守并加品级 复职 下诏慰勉之 悉以还之 "奉法一心者 五年 南阳韩则为延州 然后乃降 帝许之 深须防拟 开皇四年 及魏军围荆州 素之田宅 终以委公 "以年老 以子总管统兵隋杨素讨之 多所折挫 辽东之役 狱讼庭决 授普宁镇将 还除卫尉少卿 不能进 令子弘及整驰驿奏闻 莫有斗心 号新伊吾 上表以为"辽东小丑 杳同行路 汉高赐其姓刘�
多面体的外接球和内切球(解析版)
多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。
球与多面体的切接关系
正方体的内切球与外接球半径的比是 B
A. 1: 2 B. 1: 3 C. 2 : 3 D. 1: 2
§2长方体与球
一、长方体的外接球
图形
位置关系描述： 长方体的8个顶点在同一个球面上。长方体的中心 （对角线的交点）即为球心。球叫做“长方体的外接 球”，长方体叫做“球的内接长方体”。
度量关系
长方体的（体）对角线等于球直径
2r 2 r 1 S 体积是8，则这个正方体的 内切球的表面积是（ C ）
A . 8 B . 6 C . 4 D . 2
二、球与正方体的棱相切
图形
位置关系描述： 球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即 为切点。正方体中心即为球心。“对棱”中 点连线即为球的直径。
l a2 a2 (2a)2 6 a
由长方体内接于球知： l 2R
6 a 2R , a 6 R 3
S半球 S正方体
2R2
6a2
2R2
6 6 R2
2
9
所以，选B
分析2 设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。 如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB. 设正方体棱长为a，易知：
5
6 9 30 sin( ) 2 105 sin( ) 2 105
25
5
5
§3 球与棱锥切接问题举例
P
（1） 球与正四面体
和正方体类似，任何一个正四面体都有一个外接球和一个内切球
正四面体P---ABC的棱长为a，求它的外 接球半径R和内切球半径r
A 分析： 设其外接球的球心为O，则O到四个顶点的距离都相等即R。
那么，点O在什么地方呢？
正方体的全面积是 a 2 ，它的顶点都在球面
多面体与球的“切接”问题
第六天 多面体与球的“切接”问题圆锥的切接问题：棱锥的切接问题（棱柱的切接问题(注意,正方体、长方体、双垂四面体、相对棱相等的三棱锥、底面为钝角、锐角、直角三角形的三棱柱）一、正方体与球的“切接”设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
变式:在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,求这个球的表面积是______.二、球与长方体的外接,（长方体的体对角线即球的直径）注：利用：()22222c b a r ++= 变式：三、正（直）棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径例：已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
图3 图4 图5分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 632=，正三棱柱的高为a R h 3322==，由O D A Rt 11∆中，得 22222221125633333a a a R a R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，a R 1251=∴ 1:5::222121==∴R R S S ，1:55:21=V V 四、 棱锥的内切、外接球问题例1：正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
专题09 多面体的外接球和内切球(解析版)
1 / 5高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020版】结论九：多面体的外接球和内切球结 论 1.长方体的体对角线长d 与共顶点的三条棱的长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c 2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=√612a,外接球半径R=√64a.解 读 通过选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究典例已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26B ．36C ．23D ．22解 析根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=，∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．反 思本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三2 / 5角形斜边中点到三顶点距离相等等等．针对训练*举一反三1．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ） A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=， 1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+= 球的表面积：2452S R ππ==.故选：C2．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为( )A ．55π B ．255πC ．455πD ．855π【答案】C【解析】根据题意,点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点,点M 为11B C 的中点,设1BB 中点为N ,1AB 中点为K ,如下图所示:3 / 5在平面11BB C C 中,CN BM ⊥ 由题意可知DP BM ⊥,CN 为DP 在平面11BB C C 内的射影,所以直线DP 在过点D 且与BM 垂直的平面内又因为P 在正方体内切球的球面上所以点P 的轨迹为正方体的内切球与过D 且与BM 垂直的平面相交得到的小圆,即P 的轨迹为过,,D C N 的平面即为平面CDKN 与内切球的交线 因为,,D O N 位于平面11DD B B 内, 设O 到平面CDKN 的距离为h 所以由C DON O DCN V V --=,可得1111111322232ON DD AC CD CN h ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 代入可得1111212253232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯,解得55h = 正方体的内切球半径为1R =由圆的几何性质可得所截小圆的半径为2525155r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭所以小圆的周长为4525C r ππ==即动点P 的轨迹的长度为455π，故选:C 3．长方体1111ABCD A B C D -各顶点都在球O 面上，1::1:1:2AB AD AA =，,A B 两点球面距离m ，A 、4 / 51D 两点球面距离n ，则mn值（ ） A ．33B ．3C ．12D ．2【答案】C【解析】如图所示：设AB a ，则AD a =，12AA a =⇒球的直径222222R a a a a =++=，即R a =， 则OAB 是等边三角形11263m a a ππ⇒=⋅=， 在1AOD 中，1OA OD a ==，13AD a =，1112023AOD n a π∠︒⇒=⋅= 故12m n =，故选：C . 4．已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ） A ．239π B ．318π C ．2327π D ．354π 【答案】C【解析】因为球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切 所以球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则球O 的半径1r =球心O 到A 的距离为22222232OA ++==底面1ACB 为等边三角形，所以球心O 到平面1ACB 的距离为()22233633d ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭5 / 5所以平面1ACB 截球O 所得的截面圆的半径为2236133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ 所以圆锥的体积为21632333327V ππ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以选C 5．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条互为异面直线的AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．12C ．24D ．21-【答案】A【解析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,所以球心111,,222O ⎛⎫⎪⎝⎭,111,,0,,0,122P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,62PQ =,22OP OQ ==,故O 到直线PQ 的距离为22262244⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而球的半径为12,所以在球内的线段长度为221222242⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A .。
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
常见多面体外接球的有关计算
常见多面体外接球的有关计算首先，我们需要了解外接球的定义。
给定一个多面体，外接球是一个球，可以和这个多面体的所有顶点都切线相切。
1.正方体外接球的计算：一个正方体的外接球半径等于边长的一半。
因此，可以通过给定的边长计算出外接球的半径。
2.正六面体外接球的计算：正六面体是一个六个等边三角形构成的多面体。
外接球半径等于正六面体边长的一半。
因此，可以通过给定的边长计算出外接球的半径。
3.正八面体外接球的计算：正八面体是一个八个等边三角形构成的多面体。
外接球半径等于正八面体边长的一半乘以根号2、因此，可以通过给定的边长计算出外接球的半径。
4.正十二面体外接球的计算：正十二面体是一个十二个等边五边形构成的多面体。
外接球半径等于正十二面体边长的一半乘以根号3、因此，可以通过给定的边长计算出外接球的半径。
5.正二十面体外接球的计算：正二十面体是一个二十个等边三角形构成的多面体。
外接球半径等于正二十面体边长的一半乘以根号3乘以根号(5+2√5)除以4、因此，可以通过给定的边长计算出外接球的半径。
对于体积的计算，可以使用外接球的半径和体积公式来计算。
体积公式为：V=(4/3)*π*r³，其中V代表体积，π代表圆周率，r代表外接球的半径。
对于表面积的计算，可以使用外接球的半径和表面积公式来计算。
表面积公式为：S=4*π*r²，其中S代表表面积，π代表圆周率，r代表外接球的半径。
以上是常见多面体外接球的计算方法。
通过这些计算，我们可以得到多面体的外接球的半径、体积和表面积等相关信息。
这些计算方法对于解决与多面体相关的问题和应用非常有用。
多面体与球的切接问题
这个球是这个
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个
。
它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；
三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
若正方体的棱长为a，则
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
典例2（2013 长春一模）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧 棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱
9
柱的体积为 8 ，底面周长为 3，则这个球的体积为___________
小结1
如何求直棱柱的外接球半径呢？ 若正方体的棱长为a，则
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；
球的内接正方体的对角线等于球直径。
（1）先找外接球的球心： 若正方体的棱长为a，则
球的内接正方体的对角线等于球直径。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
它的球心是连接上下两个多边形的外心的 这个球是这个
。
内切球球心到各面的距离相等(r)
内切球球心到各面的距离相等(r)
多面体与球的切接问题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
② S球面4R2
二、球与多面体的接、切
定义外1：接若球一个球多心面体到的各各顶顶点点都在的一距个球离的相球面等上(，R)
则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
定义内2：切若一球个球多面心体到的各各面面都与的一距个球离的相球面等相(切r)，
玲珑画板基本教程-1画立体图8. 球与多面体的内切外接的画法
如何使用玲珑画板画立体图形（之八）球与多面体的内切外接的画法一、效果图(球的内接正方体直观图，正四面体的内接外接球直观图、透视图)。
二、球的内接正方体直观图。
2.1 作图思路：1、正方体的边长与球体的半径比例要正确。
默认的正方体长是4,所以计算得外接球的径就是,2、在生成旋转体时，先计算好用于生成纬线的点。
3、旋转体通常都用平行正面投影，然后绕Y轴往外旋转一定角度最佳。
4、为保持大圆为实线，所以外面的大圆不需旋转。
2.2右键菜单：2D网格模式，然后，画一半径为的半圆（为生成旋转体做准备），在屏幕中央画一点，然后再重合创建一点，选中这个点，单击菜单：编辑/精确定位/定值轴位移，输入2*sqrt(3)。
然后单击菜单：创建/圆/圆弧。
2.3然后在上下距圆心为2画两条线段与半圆相交。
为生成纬线点做准备。
然后在与圆弧交点处点击创建交点。
然后重合交点，新建自由点，2.4然后删除线段及端点，选中所有。
右键菜单：生成旋转体。
2.5单击菜单：创建/正多面体/正六面体，然后捕捉以球心，单击，则以球心为中心创建了一个正方体。
2.5选中所有，单击菜单：编辑/投影方式/平行正面投影，为效果方便，只选中正方体，通过操作轴，绕Z（绿色那个圈）旋转一点点。
2.6选中所有对象，右键菜单：合成组件。
2.7选中球的构成大圆的两个半圆弧，隐藏，以球心为圆心，球半径大小另画一个大圆：单击菜单：创建/圆/圆。
这里必须是自由圆。
2.8选中正方体与球的合成体（不选中大圆），通过操作轴绕Y(红色那个圈)，往外旋转一定角度。
2.9选中所有对象，合成组件。
注意：如果是做透视图效果的话，则从2.6合成组件后，就修改旋转体属性为网格显示即可。
三、正四面体的内切外接球直观图画法。
3.1作图思路：正四面体的高与球体的半径比例要正确。
计算比为：4：33.2右键菜单：2D网格模式。
单击菜单：创建/圆/圆弧，画出半径为3的半圆。
3.3然后在下距圆心为1画一条线段与半圆相交。
球的内切和外接问题
正方体外接球的直径2R 3 2 a, R 6 a
2
4
S表
3 2
a 2
A B
O D
C
求正多面体外接球旳半径
求正方体外接球旳半径
球旳内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面旳距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点旳距离均相等。 2、正多面体旳内切球和外接球旳球心重叠。 3、正棱锥旳内切球和外接球球心都在高线上，但不 重叠。
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
图3
图4
图5
甲球为内切球直径=正方体棱长
设为1
S甲 4 R12 =
D
C
A
B
中截面
O
.
D1
C1
A1
B1
球内切于正方体旳棱
正方形旳对角线等于球旳直径= 2a
S乙 4 R22 =2
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E 3a
6
S表
3 2
a2
求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积
解法2：
正方体的棱长为 2 a, 2
球与多面体旳内切、外接
球旳半径r和正方体 旳棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体旳体积与表面积
①
V球