第七章：线性映射

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第07章线性映射

→
V'
，即证 ⎧ (k Α )(α + β ) = ( kΑ )α + ( kΑ ) β
⎨ ⎩ ( k Α )(lα ) = l ( k Α )α
α ↦ (k Α )α = k Αα ∈V '
(k Α)(α + β ) = k Α(α + β ) = k( Αα + Αβ ) = k Αα + k Αβ =( k Α)α +( k Α) β (k Α)(lα ) = k Α( lα ) = klΑα = lkΑα = l( kΑ )α
b b b
b
例 Α:
K [ x] → K [ x] ， Α( f( x ) + g( x ) ) = Αf (x ) + Αg (x ) ， ( f( x ) + g( x ) )' = f('x ) + g(' x ) ， Α (kf(x ) ) = kΑ f( x) 。 f ( x ) ↦ f( 'x) = Α f( x)
2、线性映射的性质（ Α :V →V ' ）（1） Α0 = 0 ： Α (0α ) = 0Αα = 0 ； Α(−α ) = −Αα 。（2）若 α1 ,⋯, αs 线性相关，则 Αα1 ,⋯ ,Ααs 线性相关。证明： k1α1 + ⋯ + ksα s = 0 ， Α ( k1α1 + ⋯ + ksα s ) = Α 0 = 0 = k1Α α 1 + ⋯ + ks Α α s = 0 （3）若 Α 为单线性映射， α1 ,⋯ , α s 线性无关 ⇔ Α α1, ⋯, Α α s 线性无关。证明： “ ⇒ ” k1Αα 1 + ⋯ + ks Αα s = Α( k1α 1 + ⋯ + ks α s ) = Α0 = 0 “ ⇐ ” k1Αα1 + ⋯+ ks Αα s = Α(k1α1 + ⋯+ ksα s ) = Α0

第七章线性变换.ppt

所以是V的一个线性变换
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().
所以kσ是V的一个线性变换.
2020-12-11
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15
线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
如果 , V而 ( ) (). 那么 ( ) ( ) () 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
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如果线性映射 :V W 有逆映射 1 ，那么是W
到V 的一个线性映射.
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7.2 线性变换的运算
（4） ( )
2020-12-11
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线性变换的数乘满足下列算律：
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间.
在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
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9
特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个
子空间，叫做σ的象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，
一、内容分布
7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式

线性空间上的线性映射理论

线性空间上的线性映射理论线性映射是线性空间中的重要概念，它在各种数学和应用领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍线性空间上的线性映射的定义、性质和相关定理，以及它在代数、几何和物理等领域中的应用。

1. 线性空间的定义线性空间是指一个集合，其中包含了一个数域（通常是实数域或复数域）的所有元素，同时满足一些特定的条件。

这些条件包括封闭性、加法运算的结合律和交换律、标量乘法的结合律和分配律等。

2. 线性映射的定义线性映射是指一个线性空间到另一个线性空间的映射，它保持向量的线性组合和标量乘法。

具体来说，设V和W是两个线性空间，f是从V到W的映射。

如果对于V中的任意两个向量u和v，以及任意的标量a，满足以下条件：- f(u + v) = f(u) + f(v) （保持向量的线性组合）- f(av) = af(v) （保持标量乘法）那么称f是一个线性映射。

3. 线性映射的性质线性映射有许多重要性质，其中一些是：- 零映射是一个线性映射，它将线性空间V中所有向量映射成零向量。

- 线性映射保持零向量：f(0) = 0。

- 恒等映射是一个线性映射，它将线性空间V中的任何向量映射为其自身。

- 线性映射的像是一个线性空间，它包含在目标空间W中。

- 线性映射的核是一个线性空间，它包含在起始空间V中。

- 线性映射在向量加法和标量乘法下保持封闭性。

4. 线性映射的相关定理线性映射具有许多重要的定理，其中一些是：- 利用矩阵表示：对于线性映射f，可以通过一个矩阵A来表示，称为线性映射的矩阵表示。

这个矩阵可以用来计算线性映射的像和核，以及进行线性变换等操作。

- 像空间和核空间的维数定理：对于线性映射f，其像空间和核空间的维数之和等于起始空间V的维数。

- 一一映射和满射：若线性映射f是一一映射，则其核为空空间，如果f是满射，则其像为目标空间。

- Rn和Rm之间的线性映射：对于线性映射f从Rn到Rm，可以通过线性变换矩阵来表示，这个矩阵可以用来计算矩阵的秩和零空间等。

线性映射与线性变换

线性映射与线性变换线性映射与线性变换是线性代数中重要的概念，它们在许多数学和工程领域中有着广泛应用。

本文将对线性映射与线性变换进行详细的讨论，介绍它们的定义、性质以及应用。

一、线性映射的定义与性质线性映射，也称为线性变换或线性算子，是指两个向量空间之间的映射，满足以下两个条件：加法保持性和数乘保持性。

具体而言，对于向量空间V和W，若存在一个映射L: V -> W，对于任意的向量v1和v2以及标量k，满足以下条件：1. 加法保持性：L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2)；2. 数乘保持性：L(kv) = kL(v)。

线性映射的性质包括：1. 对于零向量的映射：L(0) = 0；2. 对于任意向量的零映射：L(v) = 0，当且仅当v = 0；3. 像的包含关系：若v1和v2是向量v的线性组合，那么L(v1)和L(v2)是L(v)的线性组合；4. 等比例保持性：若v1和v2成比例，即v1 = kv2，那么L(v1)和L(v2)也成比例。

二、线性变换的定义与性质线性变换是特殊类型的线性映射，即线性映射的定义域和值域为同一个向量空间。

具体而言，对于向量空间V，若存在一个映射T: V -> V，满足线性映射的加法保持性和数乘保持性，则称T为线性变换。

线性变换的性质包括：1. 零变换：存在一个零变换O，对于任意的向量v，有O(v) = 0；2. 单位变换：存在一个单位变换I，对于任意的向量v，有I(v) = v；3. 复合变换：若存在两个线性变换T1和T2，则它们的复合变换T1 ∘ T2也是线性变换；4. 逆变换：若存在一个线性变换T，满足T(v) = 0的解只有唯一解v = 0，则T存在逆变换。

三、线性映射与线性变换的应用线性映射与线性变换在数学和工程领域中有许多应用。

以下列举了一些常见的应用场景：1. 图像处理：线性映射常用于图像处理中的滤波操作，可以对图像进行平滑处理、边缘检测等；2. 数据压缩：线性变换可以用于数据降维和压缩，如主成分分析(PCA)等；3. 信号处理：线性映射可以用于信号的滤波和降噪，如用于音频信号处理；4. 线性规划：线性变换可以被用于线性规划中的变量转换和约束条件的变换；5. 电路分析：线性变换可以用于电路中的电压分析和电流分析。

线性空间与线性映射的基本理论

线性空间与线性映射的基本理论线性空间是数学中一种重要的结构，广泛应用于线性代数、函数分析等领域。

线性映射作为线性空间之间的一种变换方式，对于研究线性空间的性质及其应用有着重要的作用。

本文将介绍线性空间与线性映射的基本理论，包括定义、性质以及相关定理的证明。

一、线性空间的定义与性质线性空间是指一个具有加法运算和数乘运算的集合，且满足一定的公理。

设V为一个集合，如果满足以下条件：1. 加法运算：对于任意的u、v∈V，存在一个元素u+v∈V，使得加法对于V中元素的操作满足交换律、结合律和存在零元素的性质。

2. 数乘运算：对于任意的α∈F（其中F为一个数域）和u∈V，存在一个元素αu∈V，使得数乘对于V中元素的操作满足结合律、分配律和单位元素的性质。

3. 加法单位元：存在一个元素0∈V，使得对于任意的u∈V，有u+0=u。

4. 相反元素存在：对于任意的u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0。

5. 数乘单位元：对于任意的u∈V，有1u=u。

若V满足上述条件，则称V为线性空间，V中的元素称为向量。

线性空间的定义体现了加法和数乘运算的基本性质。

二、线性映射的定义与性质线性映射是指将一个线性空间的向量映射到另一个线性空间的映射。

设V和W为两个线性空间，f: V→W是一个映射。

如果满足以下条件：1. 直线性：对于任意的u、v∈V和任意的α、β∈F，有f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)。

2. 零元映射：f(0_V)=0_W，即零向量在V中的映射值为0_W。

则称f为从V到W的线性映射。

线性映射的定义保持了线性空间的运算性质，即通过映射后仍然保持加法和数乘的运算性质。

三、线性映射的性质与定理1. 线性映射的零核与满射性质：设f: V→W是一个线性映射，则f是满射（surjective）当且仅当它的像空间W即为整个目标空间W；f是单射（injective）当且仅当它的核空间（即所有映射为零向量的V中的向量构成的集合）为零空间{0_V}。

线性映射讲义

第七章线性映射§7.1线性映射（一）教学目的：①理解线性映射的定义，掌握线性映射的性质②掌握线性映射单，满的刻划教学重点与难点：线性映射的定义，性质以及单射，满射的刻划授课内容与过程：一基本概念定义1：线性映射：设σ是V 到W 的一个映射，如果下列条件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射.（ⅰ）对于任意()()()V ξησξησξση∈++，，=；（ⅱ）对于任意()(),,a F V a a ξσξσξ∈∈=.注：1：要验证一个映射是否为线性映射只须验证（ⅰ）（ⅱ）两条即可.2：定义中的（ⅰ）（ⅱ）⇔（ⅲ）,,,a b F V ξη∀∈∀∈有()()()a b a b σξησξση+=+证明（略）二举例例1 令A 是数域F 上一个m n ⨯矩阵.对于n 元列空间nF 的每一向量12n x x x ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，规定：()A σξξ=.()σξ是一个1m ⨯矩阵，即是空间m F 的一个向量.根据矩阵运算的性质，易证σ是一个映射并且对于,,na F F ξη∈∈，我们有()()()()()()()();A A A a A a a A a σξηξηξησξσησξξξσξ+=+=+=+===所以，σ是nF 到mF 的一个线性映射.例2 对于[]F x 的每一多项式()f x ，令它的导数()f x '与它对应.根据导数的基本性质.这样定义的映射是[]F x 到自身的一个线性映射.例3令[],C a b 是定义在[],a b 上一切连续实函数所成的R 上向量空间.对于每一()[],f x C a b ∈，规定()()().xaf x f t dt σ=⎰()()f x σ仍是[],a b 上一个连续实函数.根据积分的基本性质，σ是[],C a b 到自身的一个线性映射.三几个特殊的线性映射1：零映射：令V 和W 是数域F 上向量空间.对于V 的每一向量ξ，令W 的零向量0与它对应，这是V 到W 的一个线性映射，叫做零映射，即：:fV Wξ→.2：位似：令V 是数域F 上一个向量空间，取定F 的一个数k ，对于任意V ξ∈，定义()k σξξ=容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射.这样一个线性映射叫做V 的一个位似. 注：单位映射和零映射都是位似的特殊情形.思考与练习：设V 是数域F 上一个一维向量空间.证明V 到自身的一个映射σ是线性映射的充要条件是：对于任意V ξ∈，都有()a σξξ=这里a 是F 中一个定数. 3：nF 上一个线性型.取定F 上的一个n 元数列()12,,,n a a a ，对于n F 的每一向量()12,,,n x x x ξ=，规定()1122n n a x a x a x F σξ=+++∈容易验证，σ是nF 到F 的一个线性映射.这个线性映射也叫做F 上一个n 元线性函数或nF 上一个线性型.四线性映射的一些基本性质性质1：线性映射将零向量映成零向量. 证明（略）性质2：任意12,,,n a a a F ∈和任意12,,,n V ξξξ∈都有()()()()11221122n n n n a a a a a a σξξξσξσξσξ+++=+++.[可用数学归纳法证明]设σ是向量空间V 到W 的一个线性映射，如果V V ⊆'，那么(){}|V σξξ'∈是W 的一个子集，叫做V '在σ之下的像，记作()V σ'.设W W '⊆，则(){}|V W ξσξ'∈∈是V 的一个子集，叫做W '在σ之下的原像.定理7.1.1：设V 和W 是数域F 上向量空间，而:V W σ→是一个线性映射.那么V 的任意子空间在σ之下的像是W 的一个子空间，而W 的任意子空间在σ之下的原像是V 的一个子空间. 证明：设V '是V 的一个子空间.如果ξ，η是()V σ'的任意向量，那么总有,V ξη'∈，使()(),ξσξηση==因为σ是线性映射，所以对于任意,a b F ∈，()()()a b a b a b ξησξσησξη+=+=+但V '是V 的子空间，所以 a b V ξη'+∈，因而()a b V ξησ'+∈这就证明了()V σ'是W 的一个子空间.现在设W '是W 的一个子空间.令V '是W '在σ之下的原像.显然0V '∈.如果,V ξη'∈，那么()(),W σξση'∈.因为σ是线性映射而W '是子空间，所以对于任意,a b F ∈，()()()a b a b W σξησξση'+=+∈即a b V ξη'+∈.这就证明了V '是V 的一个子空间.特别，向量空间V 在σ之下的像是W 的一个子空间，叫做σ的像，记作()Im σ，即()(){}()Im |V V σσξξσ=∈=.另一方面，W 的零子空间{}0在σ之下的原像是V 的一个子空间，叫做σ的核，记作()Ker σ，即()(){}|0Ker V σξσξ=∈=下面，我们给出线性映射是单，满射的刻划.定理7.1.2：设V 和W 是数域F 上向量空间，而:V W σ→是一个线性映射，那么（ⅰ）σ是满射()Im W σ⇔=. （ⅱ）σ是单射(){}0Ker σ⇔=证明：论断（ⅰ）是显然的.我们只论断（ⅱ）.如果σ是单射，那么()Ker σ只能含有唯一的零向量.反过来设(){}0Ker σ=.如果,V ξη∈而()()σξση=.那么()()()0σξησξση-=-=，从而(){}0Ker ξησ-∈=，所以ξη=，即σ是单射.（注：在证明过程中主要向学生灌输证明映射是单射，满射的方法）作业： P120 1，3。

高等代数课件第七章

①对于任意 , V , ( ) ( ) (). ②对于任意 a F, V , (a ) a ( )
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,

线性变换

n1
k1 K
其中有一个n－1级子式不为0.
∴ 秩 (0 E B ) n 1. 从而 (0 E A) n 1. 故 (0 E A) X 0 的基础解系只含一个向量. 即，A的属于 0的线性无关的特征向量只有一个.
dimV0 1.
三、特征多项式与最小多项式 1、特征多项式
例4
设 End F (V ),，证明：
教材P167 习题5
1
（1）可逆无零特征值；（2）可逆时，若是的特征值，则是 1 的特征值.

例 5 设 L Vn ( P ) ，证明：
教材P163 习题1
（1）存在 f x P x ，且次 f x n2 ，使得 f 0 ；（2）如果 f x , g x P x 的最大公因式为 d x ，且

3）、数量乘法的数量乘积 k 为： k k , 则 k 也是V的线性变换. 设为向量空间V的线性变换，k P , 定义 k与
V
•基本性质
(i) ( kl ) k ( l ) (ii) ( k l ) k l (iii) k ( ) k k (iv) 1
（P159习题9）
例 2、设 A, B F nn ，证明：
（P162例3）
rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).
例 3、 End K (V ), dimK V n ，设证明：对任意 End K (V )， dimImσ≤dimKerτ+dimIm(στ).
则也是V的线性变换. •基本性质

线性映射

第七章线性变换7.1 线性映射假定V 和W 都是数域F 上的向量空间.一、定义和例子定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条件被满足, 就称σ是V 到W 的一个线性映射:(i) ,, ()()();V ξησξησξση∀∈+=+(ii) ,, ()().a F V a a ξσξσξ∀∈∀∈=例1 设V 和W 是数域F 上两个向量空间, f 是V 到W 的一个同构映射, 则 f 是V 到W 的线性映射.例2 令F 是数域, 212 :(,)T F x x ξξ∀∈=, 规定 11212()(,,).T x x x x x σξ=-+ 则σ是F 2到F 3的线性映射.例3 令F 是数域, . :m n n A F F ξ⨯∈∀∈12(,,,)T n x x x ξ=, 规定 ().A σξξ= 则σ是F n 到F m 的线性映射.特别地，取n = 2, m = 3,1011,11A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则得例2的线性映射1121212()(,,), (,).T T x x x x x x x σξξ=-+∀=例4 在例3中取m = 1, 这时12(,,,)n A a a a =, 而1122().n n a x a x a x σξ=+++σ是F n 到F 的线性映射.(F 上的n 元线性函数或F n 上的线性型)例5 V 到W 的零映射σ是一个线性映射:: , 0 .V W σξ→例6 设V 是数域F 上的向量空间. 取定k F ∈, 规定(), ,k V σξξξ=∀∈则σ是V 到自身(即V 到V )的线性映射. 称σ为V 的位似.例7 在向量空间F [x ]中，令(())().D f x f x '=则D 是F [x ]到自身的线性映射.例8 令C [a , b ] 是定义在 [a , b ] 上一切连续实函数所成的R 上向量空间. 规定(())(), ()[,].xaJ f x f t dt f x C a b =∀∈⎰则J 是C [a , b ] 到自身的线性映射.二、线性映射的基本性质1. 定义1中的条件 (i) 和 (ii) 等价于以下条件:(iii) ,,,,a b F V ξη∀∈∀∈()()().a b a b σξησξση+=+2. σ(0) = 0 .3. ,,V ξη∀∈()(), ()()().σξσξσξησξση-=--=-4. ,,1,2,,,i i a F V i n ξ∀∈∈=11().n ni i i i i i a a σξσξ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑5. 如果 12,,,n V ξξξ∈线性相关, 那么12(),(),,()n W σξσξσξ∈也线性相关.注反过来一般不成立.三、线性映射的合成及逆映射1. 线性映射的合成映射还是线性映射设U , V 和W 都是数域F 上向量空间, 而:,:U V V W τσ→→是线性映射. 那么:U W στ→是一个线性映射.2. 可逆的线性映射之逆映射也是(可逆的)线性映射四、子空间的(原)像1. 设 , V V V σ''⊆在之下的像(){()|}.V V W σσξξ''=∈⊆2. 设 , W W W σ''⊆在之下的原像1(){|()}.W V W V σξσξ-''=∈∈⊆定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射. 那么V 的任意子空间在σ之下的像是W 的一个子空间. 而W 的任意子空间在σ之下的原像是V 的一个子空间.五、线性映射的像与核1. σ的像 (或值域) 是W 的子空间: Im(σ)=σ(V )2. σ的核是V 的子空间: Ker(σ) =1σ-({0}) =1σ-(0)Ker(){ | ()0 }V σξσξ=∈=例9 令F 是数域, .m nA F ⨯∈ 考虑线性映射:, .n m F F A σξξ→那么（1）σ的像就是矩阵A 的列空间；（2）σ的核就是齐次线性方程组Ax = 0的解空间.证明 K e r (){ | ()0 }{ |n n F F A σξσξξξ=∈==∈= 1212112Im(){ () | }{ | }=(,,,),1,2,, =,1,2,,=(,,,).n n n i n n i i i i n F A F a a a F i n a a a F i n L σσξξξξααααααα==∈=∈⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎧⎫∈=⎨⎬⎩⎭∑ 这里12,,,n ααα是矩阵A 的列向量组.定理7.1.2 设V 和W 是数域F 上向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射. 那么(i) .)Im( W =⇔σσ是满射(ii) }.0{)Ker(=⇔σσ是单射。

线性映射基本定理

线性映射基本定理线性映射基本定理是指，对任意线性映射可以简化为其矩阵表示形式。

它认为，由一组线性(或线性相关)的输入变量(x1， x2，x3，..., xn)映射到一组输出变量(y1, y2, y3，..., yn)，可以表示为：y1 = a11x1+a12x2+a13x3+……+a1n xn ;y2 = a21x1+a22x2+a23x3+……+a2n xn ;y3 = a31x1+a32x2+a33x3+……+a3n xn ;...yn = an1x1+an2x2+an3x3+……+ann xn ;其中aij和xj(j =1,2，...，n) 为系数和自变量，i = 1，2，3，…，n。

因此，线性映射基本定理要求，我们把这组线性方程的右边放到矩阵的左边，把系数要乘的自变量放到矩阵的右边，便可得出线性映射的矩阵表示形式，即：y = Ax ; （1）其中，A是系数宽度n的方阵，x和y分别是n维输入输出列向量。

线性映射基本定理是学习数学和应用线性代数最基本的定理，广泛用于控制系统以及机器学习，是数学理论领域里一个重要的基础定理。

首先，线性映射基本定理体现了线性映射系统的关系，它在工程学、控制理论和应用线性代数中都有突出的应用价值。

其次，线性映射基本定理允许多维向量可以用矩阵的方式表示，从而清楚地表明线性映射的多重性质，使得具体的线性问题更加简单和符合逻辑性。

另外，由于多维向量可以使用矩阵的形式表示，这也为实现向量运算提供了必要的工具和方法。

例如，当我们要表示一组三维向量时，可以是一个3×3的矩阵，运用线性映射基本定理后，我们就可以更容易地实现向量运算和计算，分析结果也更加清晰。

此外，线性映射基本定理还可以用于简化矩阵的解法方法。

由于线性映射的概念，我们可以使用线性映射的方式，将比较复杂的矩阵按一定的模式，将矩阵进行简化，这样求解会变得更加容易。

有时，为了更容易求解复杂的矩阵，我们会将复杂的矩阵表示为一个特殊的矩阵，形式化地用多项式方式表示矩阵，这样也可以把复杂的问题简化，便于求解。

线性空间上的线性映射理论

线性空间上的线性映射理论线性映射是线性空间中的一个重要概念，它在数学和工程领域中扮演着关键角色。

本文将深入探讨线性空间上的线性映射理论，重点介绍线性映射的性质、定义以及与矩阵的关系。

一、线性映射的定义与性质在介绍线性映射之前，我们先来了解线性空间的概念。

线性空间是指在加法和标量乘法下构成一个向量空间的集合。

线性映射是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量的线性组合性质。

具体地，设V和W是两个线性空间，一个从V到W的线性映射L 满足以下两个条件：1. 对于任意的u和v属于V，L(u+v) = L(u) + L(v)，即L保持向量的加法运算性质。

2. 对于任意的u属于V和任意的c属于标量域，L(cu) = cL(u)，即L保持向量的标量乘法性质。

线性映射的性质包括可加性和齐次性。

即线性映射对于向量的加法和标量乘法操作都是保持的，这一点在定义中已经强调。

线性映射还具有零映射的性质，即L(0) = 0。

二、线性映射与矩阵的关系线性映射与矩阵之间存在着密切的关系。

事实上，对于给定的线性映射L，我们可以找到一个矩阵A，使得L(u) = Au，其中u是向量。

具体地，假设V是n维线性空间，W是m维线性空间，选择V和W的基，分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wm}。

对于L中的向量u，我们有u = a1v1 + a2v2 + ... + anvn，其中a1,a2,...,an是标量。

那么L(u)可以表示为L(u) = c1w1 + c2w2 + ... + cmwm，其中c1,c2,...,cm是标量。

将L(u)和u表示为矩阵形式，我们有：⎡L(v1) L(v2) ... L(vn)⎤⎡a1⎤⎢L(u) = ⎢⎥ = ⎢a2⎥⎢⎣L(vn) ⎥⎣...⎦⎡w1⎤⎢⎥⎢w2⎥⎢⎥⎢...⎥⎣wm⎦定义矩阵A为⎡L(v1) L(v2) ... L(vn)⎤，向量u为⎡a1⎤，我们可以得到L(u) = Au的形式。

第七章线性变换

第七章线性变换§7.1 线性映射=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射哪些是R3到自身的1．令（1）(ξ) =ξ+ α，α是R3的一个固定向量．（2）(ξ) = (2x1–x2 + x3，x2 + x3，–x3)（3）(ξ) =（x12，x22，x32）．（4）σ() =（cos x1，sin x2，0）．2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射是线性V，都有() = a，这里a是F中一个映射的充要条件是：对于任意3．令M n (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A M n (F).对任意(F)，定义(X) = A X–X A．X Mn(i)证明：是M n (F)是自身的线性映射。

(ii)证明：对于任意X，Y M n (F)，(XY) = (X)Y+X (Y) ．4．令F4表示数域F上四元列空间，取A=对于F4，令() = A．求线性映射的核和像的维数．5．设V和W都是数域F上向量空间，且dim V = n．令是V到W的一个线性映射．我们如此选取V的一个基：1，…，s，s+1，…，n，使得1，…，s，是Ker()的一个基．证明：（i）(s+1)，…，(n)组成Im()的一个基；（ii）dim Ker() + dim Im() = n.。

6．设是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，并且V = W1W2．证明：有逆映射的充要条件是V = (W1)(W1) ．§7.2 线性变换的运算1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律．2．在F[x]中，定义：f (x) f’(x) ，：f (x) xf (x) ，这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, ,都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数n都有n–n = n n-13．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的：（i）是满射； (ii)Ker() = {0}; (iii) 非奇异．当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？L(V)，V，并且，()，…，k-1()都不等于零，4．设但k() = 0．证明：，()，…，k-1() 线性无关．Ker()当且仅当2 = ；(1) Im()(2)(3)(i) 证明：是F n的一个线性变换，且n = ；(ii) 求Ker()和Im() 的维数．§7.3 线性变换和矩阵1．令Fn[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，：f (x) f’(x) ，求关于以下两个基的矩阵：(1) 1，x ，x2，…，x n，(2) 1，x –c ，，…，，c F ．2．设F 上三维向量空间的线性变换关于基 {1，2，3}的矩阵是求关于基1 = 21 +32 +3，2= 31+42+3，3=1+22+23，的矩阵．设= 2 1 +2–3．求( )关于基1，2，3的坐标．3．设{1，2，…，n}是n 维向量空间V 的一个基．j= ，= ， j = 1，2，…，n ，并且1，2，…，n线性无关．又设是V 的一个线性变换，使得 (j) =，j = 1，2，…，n ，求关于基，，…，的矩阵．4．设A ，B 是n 阶矩阵，且A 可逆，证明，AB 与BA 相似．5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 0．6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要关于V的任意基的矩阵都相等．7．令M n (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A M n (F) ．对任意X M n (F)，定义(X) = A X–X A．由7.1习题3知是M n (F)的一个线性变换，设A =是一个对角形矩阵．证明，关于Mn (F)的标准基{Eij|1}(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切a i–a j(1).[建议先具体计算一下n = 3的情形．]8．设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的两个基{1，2，…，n}和{1，2，…，n}，使得对于V的任意向量来说，如果=，则() =，这里0是一个定数。

高等代数第七章线性变换

高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。

二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。

只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。

某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。

三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。

高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记

第七章线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记：以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ，因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定，从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ，从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)，同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质：设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。

高等代数第7章线性变换PPT课件

特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以用于分析和预测经济系统的稳定性和发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、数乘等运算可以通过其对应的矩阵性质来体现。例如，两个线性变换的和对应两个矩阵的和；线性变换的复合对应两个矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线性变换，则T在基e1,e2,...,en下的矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂，从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得，从而简化相关计算。

线性映射与线性变换

线性映射与线性变换线性映射和线性变换是线性代数中常见且重要的概念。

它们在数学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍线性映射和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。

1. 线性映射的定义与性质线性映射是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的映射，同时满足下列两个条件：(1) 对于任意的向量u和v，有映射L(u+v) = L(u) + L(v)；(2) 对于任意的向量u和标量k，有映射L(ku) = kL(u)。

线性映射可以用矩阵来表示，若向量u在向量空间的基下的坐标为[u]，线性映射对应的矩阵为A，则映射后的向量v在另一个向量空间的基下的坐标为[v] = A[u]。

一些线性映射的常见例子包括平移、旋转和缩放等。

2. 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到其本身的线性映射。

也就是说，线性变换是一种特殊的线性映射，它将一个向量空间中的向量映射到自身。

线性变换可以用矩阵来表示，若线性变换对应的矩阵为A，则向量v经过线性变换后的坐标为[v] = A[v]。

和线性映射一样，线性变换也满足线性性质，即对于任意的向量u和v，以及标量k，存在线性变换T使得：(1) T(u+v) = T(u) + T(v)；(2) T(ku) = kT(u)。

线性变换的一个重要特性是它可以保持向量空间中的线性关系，例如保持直线不变或保持平行关系。

3. 线性映射与线性变换的关系线性变换是线性映射的一种特殊情况，即线性变换是一种将向量空间映射到自身的线性映射。

线性变换通常用于描述向量空间的变化或操作，而线性映射更加通用，可以将一个向量空间映射到另一个向量空间。

对于给定的线性变换T，若向量v经过线性变换后的坐标为[v']，则可以表示为[v'] = A[v]，其中矩阵A是T对应的线性变换的矩阵。

线性映射和线性变换之间的关系可以通过矩阵乘法进行推导和证明。

具体而言，设线性映射L将向量空间V映射到向量空间W，线性变换T将向量空间V映射到自身。

(整理)线性映射

一．线性映射上一节课研究了数域P 上线性空间的结构。

在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即保持加法和数量乘法两种运算，我们称这样的映射为线性映射。

1.1线性映射的定义及其性质1.1.1 【定义】设1V 、2V 是数域P 的两个线性空间，σ是1V 到2V 的一个映射，如果对1V 中任意两个向量α，β和任意数k P ∈，都有()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=即能向量线性关系的不变性，则称σ是1V 到2V 的线性映射或线性算子。

上面两式所涉及到的加法和数量乘法是线性空间里边定义的加法和数量乘法。

与上一节说到的线性空间1V 到2V 的同构映射相比，线性映射比同构映射少了单映射和满映射这两条要求。

因此线性映射比同构映射更广泛。

线性空间1V 到2V 的线性映射也称为同态映射。

例1 将线性空间1V 中每一个向量映射成线性空间2V 中零向量的映射是一个线性映射，称为零映射，记为O ，即1(),V ααO =O ∀∈例2 线性空间V 到自身的恒等映射是一个线性映射，记为V ϕ，即(),V V ϕααα=∀∈例3 任意给定数k P ∈，数域P 上线性空间V 到自身的一个映射K (),k V ααα=∀∈是一个线性映射，称为V 上的由数决定的数乘映射。

例4 设σ是线性空间1V 到2V 的一个线性映射，定义1V 到2V 的映射1()()(),V σασαα-=-∀∈则σ-是线性空间1V 到2V 的线性映射，称为σ的负映射。

1.1.2【性质】设σ是线性空间1V 到2V 的线性映射，则（1）()σO =O ；（2）1()()(),V σασαα-=-∀∈；（3）线性映射保持线性组合与线性关系式不变，即若β是12,,,m αααL 的线性组合，且存在12,,,m k k k P ∈L ，有1122m m k k k βααα=+++L则经过线性映射σ之后，()σβ是12(),(),()m σασασαL 同样的线性组合：11221122()()()()m m m m k k k k k k σααασασασα+++=++L L（4）如果12,,,m αααL 是1V 的一组线性相关向量，则12(),(),()m σασασαL 是2V 中的一组线性相关的向量；并且当且仅当σ是一一映射时，1V 中线性无关向量组的像是2V 中的线性无关向量组。

线性映射

一．线性映射上一节课研究了数域P 上线性空间的结构。

上面两式所涉及到的加法和数量乘法是线性空间里边定义的加法和数量乘法。

与上一节说到的线性空间1V 到2V 的同构映射相比，线性映射比同构映射少了单映射和满映射这两条要求。

因此线性映射比同构映射更广泛。

线性空间1V 到2V 的线性映射也称为同态映射。

例4 设σ是线性空间1V 到2V 的一个线性映射，定义1V 到2V 的映射1()()(),V σασαα-=-∀∈则σ-是线性空间1V 到2V 的线性映射，称为σ的负映射。

线性映射总结

线性映射总结1. 线性映射的概念在线性代数中，线性映射是指将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间中的元素的函数。

线性映射满足两个基本性质：加法性和齐次性。

加法性表示线性映射对向量的加法保持，齐次性表示线性映射对标量的乘法保持。

2. 线性映射的表示线性映射可以用矩阵表示。

设有两个向量空间V和W，如果线性映射T: V -> W，那么对于V中的任意向量x，都有一个在W中的唯一对应的向量y，可以表示为y = T(x)。

而这个线性映射T可以用一个大小为(m, n)的矩阵A来表示，其中m和n分别为V和W的维度。

对于V中的每个向量x，可以通过矩阵与向量的乘法得到对应的线性映射结果。

3. 线性映射的性质线性映射具有一些重要的性质，包括保持加法、保持标量乘法、零向量的映射为零向量以及线性映射的复合。

以下是这些性质的详细描述：3.1 保持加法设有线性映射T: V -> W，对于V中的任意两个向量x1和x2，有T(x1 + x2) = T(x1) + T(x2)。

这意味着线性映射保持向量加法运算。

3.2 保持标量乘法设有线性映射T: V -> W，对于V中的任意标量a和向量x，有T(ax) = aT(x)。

这意味着线性映射保持向量与标量的乘法运算。

3.3 零向量的映射为零向量设有线性映射T: V -> W，对于V中的零向量0，有T(0) = 0。

这表示线性映射会将零向量映射为零向量。

3.4 线性映射的复合设有两个线性映射T: U -> V 和 S: V -> W，那么它们的复合映射可以表示为 S o T : U -> W，即先将U中的向量通过T映射到V中，再将V中的向量通过S映射到W中。

4. 线性映射的应用线性映射在实际应用中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：4.1 图像处理在线性代数中，图像可以表示为一个由像素值组成的向量。

通过线性映射，可以对图像进行各种处理，如平移、缩放、旋转等。

第七章：线性映射

第07章 线性映射

第七章线性变换.ppt

线性空间上的线性映射理论

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线性变换

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