2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）A．B．C．2+i D．2．已知集合A={x|log2x≤1}，B={x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）3．已知=（2，m），=（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣24．已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，] C．（0，] D．（，+∞）5．执行如图程序，输出的结果为（）A．513 B．1023 C．1025 D．20476．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42 B．65 C．143 D．1697．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2 B．2+C．3+D．3+8．已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）A．B．﹣C．5 D．89．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω=πB．φ=C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z10．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）A． B． C．0 D．111．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．12．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B 关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）A．B．C．2+i D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（z﹣1）i=i﹣1，∴﹣i•（z﹣1）i=﹣i•（i﹣1），∴z﹣1=1+i，∴z=2+i．则|z|==．故选：D．2．已知集合A={x|log2x≤1}，B={x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求函数定义域求出集合A，解不等式求出集合B，根据补集与交集的定义写出A∩（∁R B）．【解答】解：集合A={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，B={x|＞1}={x|﹣1＞0}={x|0＜x＜1}，∴∁R B={x|x≤0或x≥1}，∴A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}=[1，2]．故选：C．3．已知=（2，m），=（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标可得+2=（4，m﹣4），又由∥（+2），则有4×m=2×（m﹣4），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，=（2，m），=（1，﹣2），则+2=（4，m﹣4），若∥（+2），则有4×m=2×（m﹣4），即m﹣4=2m，解可得m=﹣4；故选：A．4．已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，] C．（0，] D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，直线y=kx﹣1过定点（0，﹣1），利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分，∵直线y=k（x+1）过定点D（﹣1，0），∴由图象可知要使直线y=k（x+1）与区域Ω有公共点，则直线的斜率k≤k BD，由，得B（1，3），此时k BD=，故0＜k，故选：C．5．执行如图程序，输出的结果为（）A．513 B．1023 C．1025 D．2047【考点】程序框图．【分析】执行循环体，依此类推，当n=11，不满足条件此时s=2047，退出循环体，从而输出此时的s即可．【解答】第一次循环，x=3，i=2＜10，第二次循环，x=7，i=3＜10，第三次循环，x=15，i=4＜10，第四次循环，x=31，i=5＜10，第五次循环，x=63，i=6＜10，第六次循环，x=127，i=7＜10，第七次循环，x=255，i=8＜10，第八次循环，x=511，i=9＜10，第九次循环，x=1023，i=10≤10，第十次循环，x=2047，i=11＞10，输出x=2047，故选：D．6．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42 B．65 C．143 D．169【考点】归纳推理．【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．根据对角线条数的数据变化规律进行总结即得．【解答】解：可以通过列表归纳分析得到；13边形有2+3+4+…+11==65条对角线．故选B．7．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2 B．2+C．3+D．3+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算其表面积为S=S正方形ABCD+S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD=12+×1×1+×1×+×1×+×1×1=2+．故选：B．8．已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）A．B．﹣C．5 D．8【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】由已知中f（x）=asinx+b+4，可得：f（x）+f（﹣x）=8，结合lg=﹣lg3可得答案．【解答】解：∵f（x）=asinx+b+4，∴f（x）+f（﹣x）=8，∵lg=﹣lg3，f（lg3）=3，∴f（lg3）+f（lg）=8，∴f（lg）=5，故选：C9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω=πB．φ=C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，可判断出A；把点（，0）代入解析式化简后，由题意求出φ的值判断出B；由整体思想和正弦函数的单调性求出递减区间，判断出C；由整体思想和正弦函数的对称中心求出f（x）的对称中心，判断出D．【解答】解：由图象得，A=1，T==1，则T=2，由得，ω=π，则A正确；因为过点（，0），所以sin（π+φ）=0，则π+φ=kπ（k∈Z），φ=+kπ（k∈Z），又|φ|＜π，则φ=或，所以f（x）=sin（πx）或f（x）=sin（πx+），则B错误；当f（x）=sin（πx+）时，由得，，所以函数的递增区间是（2k﹣，2k+），k∈Z，则C正确；当f（x）=sin（πx）时，由πx=kπ（k∈Z）得，x=k+（k∈Z），所以f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z，则D正确；故选B．10．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）A． B． C．0 D．1【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可．【解答】解：f（0）x=sinx，则f（1）x=cosx，f（2）（x）=﹣sinx，f（3）（x）=﹣cosx，f（5）x=sinx，则f（5）x=f（1）（x），即f（n+4）（x）=f（n）（x），则f（n）（x）是周期为4的周期函数，则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）=sinx+cosx﹣sinx﹣cosx=0，则f（1）=cos15°=cos=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=，故选：A．11．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x=2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）=πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π=∴圆柱的最大体积为，此时r=，故选：B．12．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan=2，sin∠AOB=，求出|PA||PB|，即可得出结论．【解答】解：由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan=2，sin∠AOB=，设P（x，y），双曲线的渐近线方程为y=±2x，则|PA||PB|==，∴△PAB的面积为•=．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，由点M、N的坐标结合中点坐标公式可得C的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，又有2r=|MN|==，则r2=5；故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=76．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a1+9d=a10=4，再由等差数列的前n项和公式得S19=（a1+a19）=19a10，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，∴，解得a1+9d=a10=4，S n为数列{a n}的前n项和，则S19=（a1+a19）=19a10=76．故答案为：76．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为e．【考点】对数的运算性质；基本不等式．【分析】点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，可得，两边取对数可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，可得lnt=lna•lnb，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb=2﹣lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，∴lnt=lna•lnb≤=1，当且仅当lna=lnb=1，即a=b=e时取等号．∴t≤e．故答案为：e．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，可得c=1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，≥2=，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，解得m=，n=，可得双曲线的实轴长2a=﹣===，双曲线的离心率为：=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出cosC；（2）由条件求出b，由内角的范围和平方关系求出sinC，由余弦定理列出方程化简后求出a，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵B=2C，2b=3c，∴由正弦定理得，，则，即cosC==；（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，∵0＜C＜π，cosC=，∴sinC==，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则，即a2﹣9a+20=0，解得a=4或a=5，当a=4时，△ABC的面积S===，当a=5时，△ABC的面积S===．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：=（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）=78，男生打分的平均分为：=（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）=69．从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：=0.45，∴最高矩形的高h==0.045．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n==20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率p=1﹣=1﹣=．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在AB 边上存在点P ，满足PB=2PA ，使AD ∥平面MPC ． 连接BD ，交MC 于O ，连接OP ，则由题意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD ， ∵PB=2PA ， ∴OP ∥AD ，∵AD ⊄平面MPC ，OP ⊂平面MPC ， ∴AD ∥平面MPC ；（Ⅱ）由题意，AM ⊥MD ，平面AMD ⊥平面MBCD ，∴AM ⊥平面MBCD ，∴P 到平面MBC 的距离为，△MBC 中，MC=BC=，MB=2，∴MC ⊥BC ，∴S △MBC ==1，△MPC 中，MP==CP ，MC=，∴S △MPC ==．设点B 到平面MPC 的距离为h ，则由等体积可得，∴h=．20．已知动圆M 恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切． （1）求圆心M 的轨迹方程；（2）动直线l 过点P （0，﹣2），且与点M 的轨迹交于A 、B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点． 【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）由题意可知圆心M 的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=﹣1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M 的轨迹方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （﹣x 2，y 2）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC 的方程为：y ﹣y 2=﹣（x +x 2），把根与系数的关系代入可得4y=（x 2﹣x 1）x +8，令x=0，即可得出直线恒过定点．【解答】解：（1）∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，∴动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，∴动点M的轨迹方程为x2=4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx+8=0，△=16k2﹣32＞0，解得k＞或k＜﹣．∴x1+x2=4k，x1x2=8．直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，化为4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），∵x1=4k﹣x2，∴4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，则y=2，∴直线AC恒过一定点（0，2）．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）令f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，使用分离参数法求出a的范围；（II）令h′（x）=0，结合二次函数的性质和极值点的定义可判断h（x1）＜h（x2），根据根与系数的关系化简|h（x1）﹣h（x2）|=﹣x12++2lnx1，求出右侧函数的最大值即可证明结论．【解答】解：（I）∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴f′（x）=a+≥0，x∈（0，1），即a，∵x∈（0，1），∴﹣＜﹣1，∴a≥﹣1．（II）证明：h（x）=﹣﹣ax﹣lnx，h′（x）=﹣x﹣a﹣，x∈（0，+∞）．令h′（x）=0得x2+ax+1=0，∵函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），∴方程x2+ax+1=0有两解x1、x2，且x1∈[，1），∴x1•x2=1，x1+x2=﹣a，且ax1=﹣1﹣x12，ax2=﹣1﹣x22，x2∈（1，2]．∴当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，h′（x）＞0，当x＞x2时，h′（x）＜0，∴x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，∴|h（x1）﹣h（x2）|=h（x2）﹣h（x1）=﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1=x22﹣x12+ln=﹣x12++2lnx1，令H（x1）=﹣x12++2lnx1，则h′（x1）=﹣x1﹣+==﹣＜0，∴H（x1）在[，0）上是减函数，∴H（x1）≤H（）=﹣2ln2＜2﹣ln2，即|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先求出曲线C2方程，再求出参数方程；（Ⅱ）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ=1，直角坐标方程为x2+y2=1，曲线C2方程为x2+y2=1，参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1，化简得5t2+t﹣8=0，即有t1t2=﹣，可得|MA|•|MB|=|t1t2|=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，解得x＜3，∴≤x＜3；当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，解得x＞1，∴1＜x＜；综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，∴，∴m﹣n=4﹣3=1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）=3（ab+bc+ca）=3；∴a+b+c的最小值是．2017年4月5日。
河南省郑州市高三第三次模拟考试数学(文)试题 扫描版
2016年高中毕业年级第三次质量预测数学(文科) 参考答案第Ⅰ卷一、选择题：第Ⅱ卷二、填空题:13．64 14. -15.16．三、解答题:17.（Ⅰ）———————2分因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,———————4分因为,所以.所以———————6分（Ⅱ）因为,所以,因为角A 为ABC 的内角,所以. ———————8分又因为所以由正弦定高考,得,也就是,因为,所以或. ———————10分当时,;当时,. ———————12分18.解 (1)k ＝55×50×30×75105×(10×30－20×452≈6.109＞3.841， ———————5分因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． ———————7分(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个 ∴P (A )＝368＝92. ———————12分19.（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，不妨设，为等腰直角三角形，，，E、F分别为BC、的中点，，，，有，，又平面ABC，，，平面AEF．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，，，…………………………………………………………（8分），，在中，，，………………（10分）设点到平面的距离为，则，所以，即点到平面的距离为1．………………………………………………（12分）20.（I）由：知（0，1），设，因M在抛物线上，故①又，则②，由①②解得，椭圆的两个焦点（0，1），，点M 在椭圆上，由椭圆定义可得∴又，∴，椭圆的方程为：. ……………5分（II）设，由可得：，即由可得：，即⑤×⑦得：，⑥×⑧得：，两式相加得，又点A，B在圆上，且，所以，，即，所以点Q总在定直线上. ……12分21. （Ⅰ）--------------------------------------3分---------------------------------------5分-------------------------------------6分（Ⅱ）----------------------------------------------7分------------------------8分-------------------------------------------9分----------------------------10分，，----------------------------------------------------------12分22．证明：(Ⅰ)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. ———————5分(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD. ———————10分23．(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的直角坐标方程为———————5分(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，所以直线l的平面直角坐标方程为又圆C的圆心坐标为，半径r＝2，圆心到直线l的距离故直线l与圆C相交．———————10分24．。
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设命题p：∀x＞，log2x＜2x+3，则￢p为（）A。
∀x＞，log2x≥2x+3B。
∃x＞，log2x≥2x+3C。
∃x＞，log2x＜2x+3D。
∀x＜，log2x≥2x+32.已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数m+n∈R，则实数x的值为（）A。
﹣6B。
6C。
7D。
53.已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a等于（）A。
$\sqrt{13}$B。
$\sqrt{15}$C。
5D。
$\sqrt{17}$4.已知$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，则$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$的值等于（）A。
2B。
1C。
$\frac{1}{2}$D。
05.设集合A={x1，x2，x3，x4}，$x_i∈\{-1，1\}$，$i\in\{1，2，3，4\}$，那么集合A中满足条件“$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2≤3$”的元素个数为（）A。
60B。
65C。
80D。
816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A。
48B。
72C。
96D。
1207.设实数x，y满足$x^2+y^2=25$，$xy=12$，则$x+y$的最大值为（）A。
25B。
49C。
12D。
248.已知等比数列{an}，且$a_6+a_8=\frac{\pi^2}{2}$，则2xy的最大值为（）A。
$\pi^2$B。
$4\pi^2$C。
$8\pi^2$D。
$16\pi^2$9.若实数$a$、$b$、$c∈R^+$，且$ab+ac+bc+2\sqrt{(abc)^2}=1$，则$2a+b+c$的最小值为（）A。
河南省八市中评2017年高考数学三模试题文(含解析)
2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．12．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．5B ．C ．D ．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D ． 2．已知，则B 中的元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B 中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B 中的元素的个数为2． 故选：B ．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x 1=52，x 2=70，x 3=68，x 4=55，x 5=85，x 6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S 是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=﹣2a=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（）=ln＞0，解得0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ﹣1 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1．故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为9 ．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9．故答案为：9．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V M﹣ANB′=V C，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．﹣ANB′【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴V M﹣ANB′=V C﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=m++=，m=0时，f′（x）=，f（x）在（0，+∞）递增，m＞0时，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m＞2时，x∈（0，1﹣）时，f′（x）＜0，x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m≤2时，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，m＜0时，x∈（0，1﹣）时，f′（x）＞0，x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=mx+2lnx﹣，∵至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，∴至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2017年省市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B ≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，则实数m的取值围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn ，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{an }，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A． B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD 外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an }是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn．18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2017年省市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B ≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，则实数m的取值围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A． B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn ，则S2017的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c 的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n 项和为S n ，则S 2017=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A ．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A ．8．已知等比数列{a n }，且a 6+a 8=4，则a 8（a 4+2a 6+a 8）的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【考点】8G ：等比数列的性质．【分析】将式子“a 8（a 4+2a 6+a 8）”展开，由等比数列的性质：若m ，n ，p ，q ∈N*，且m+n=p+q ，则有a m a n =a p a q 可得，a 8（a 4+2a 6+a 8）=（a 6+a 8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a 8（a 4+2a 6+a 8）=a 8a 4+2a 8a 6+a 82， ∵a 6+a 8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A． B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD 外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2017）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值围为[1，2] ．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M 为劣弧AC 上一动点， ∴0≤p ≤1，0≤q ≤1， ∴p+q ≥2， ∴pq ≤=，∴1≤（p+q ）2≤（p+q ）2+1， 解得1≤（p+q ）2≤4， ∴1≤p+q ≤2；即p+q 的取值围是[1，2]． 故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n }是等差数列，首项a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d ，首项a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项即可求出公差d ，再写出通项公式即可，（2）化简b n 根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n }的前n 项和S n ，利用裂项相消法求出S n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项．∴（2+2d ）2=（3+3d ）（2+d ）， 解得d=2，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2+2（n ﹣1）=2n ， （2）b n ====（﹣），∴S n =（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[﹣1，1]上的最小值”．推出h（x）min ≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a 递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[﹣1，1]上的最小值”．即h（x）min ≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈[1，2]，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的围即可；（2）通过讨论x的围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2017年5月23日。
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2017年省市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，则实数m的取值围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A． B． C． D．5．已知，则的值等于（）A． B． C． D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=．16．在△ABC中，∠A=，O为平面一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2017年省市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，则实数m的取值围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c 的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n项和为S n，则S2017=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2017）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值围为[1，2] ．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值围是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，（2）化简b n根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n}的前n项和S n，利用裂项相消法求出S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，（2）b n====（﹣），∴S n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35]32第二组（35，75]64第三组（75，115]16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h （x）在[﹣1，1]上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a 递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h （a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[﹣1，1]上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈[1，2]，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的围即可；（2）通过讨论x的围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2017年5月23日。
(全优试卷)河南省郑州市高中毕业年级第三次质量预测数学(文)试题 Word版含答案
2017年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}20A x x x =->，()(){}10B x x m x =+->，则“1m >”是“A B ≠∅”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（ ） A.20B.30C.40D.503.已知()12z m m i =-++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A.()1,2-B.()2,1-C.()1,+∞D.(),2-∞-4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）A. B.C.D.5.已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）B. C.12D.12-6.已知()'2f x x m =+，且()00f =，函数()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线的斜率为3，数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ）A.20172018B.20142015C.20152016D.201620177.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A.22π+B.23π+C.43π+D.42π+8.已知等比数列{}n a ，且684a a +=，则()84682a a a a ++的值为（ ） A.2B.4C.8D.169.若实数a 、b 、0c >，且()()6a c a b +⋅+=-2a b c ++的最小值为（ ）11C.2D.210.椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是（ ）11.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A.50πB.100πC.200πD.300π12.已知函数()())221ln3cos 1x x x f x x ++=+，且()20172016f =，则()2017f -=（ ） A.2014-B.2015-C.2016-D.2017-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件：3010230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．14.已知向量(),3a m =，()3,1b =，若向量a ，b 的夹角为30︒，则实数m = ．15.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知58b a =，2A B ＝，则cos A = ．16.在ABC △中，3A π∠=，O 为平面内一点，且OA OB OC ==，M 为劣弧BC 上一动点，且OM pOB qOC =+，则p q +的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 是等差数列，首项12a =，且3a 是2a 与41a +的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()232n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（1）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（2）在（1）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且斜边AB =侧棱12AA =，点D 为AB 的中点，点E 在线段1AA 上，1AE AA λ=（λ为实数）.（1）求证：不论λ取何值时，恒有1CD B E ⊥； （2）当13λ=时，求多面体1C B ECD -的体积. 20.已知点P 是圆()221:18F x y -+=上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线分别与1PF ，2PF 交于M ，N 两点. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点10,3G ⎛⎫⎪⎝⎭的动直线l 与点M 的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数()()x h x x a e a =-+.（1）若[]1,1x ∈-，求函数()h x 的最小值；（2）当3a =时，若对[]11,1x ∀∈-，[]21,2x ∃∈，使得()21221522h x x bx ae e ≥--++成立，求b 的范围.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数，0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求AB 的最小值. 23.已知函数()52f x x x =---.（1）若x R ∃∈，使得()f x m ≤成立，求m 的范围； （2）求不等式()28150x x f x -++≤的解集.2017年高中毕业年级第三次质量预测数学（文科） 参考答案一、选择题AABCD ； AADDC ；CA.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.4； 14.m = 15.7;2516.1 2.p q ≤+≤三、解答题17.解：(I)设数列{}n a 的公差为d ，由21=a ，且3a 是2a 与14+a 的等比中项得：2(22)(2)(33),d d d +=++2=∴d 或1,d =-02213=+=-=d a d 时，当与3a 是2a 与14+a 的等比中项矛盾，舍去. n n d n a a n 2)1(22)1(1=-+=-+=∴，即数列{}n a 的通项公式为n a n 2=.(II)221111(),(3)(2)(3)(22)(3)(1)213n n b n a n n n n n n ====-++++++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-+-+-=++++=∴)3111()6141()5131()4121(21321n n b b b b S n n )31213121(21+-+-+=n n 525.122(2)(3)n n n +=-++ 18.解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样， 第一组抽取81203032=⨯天；第二组抽取161203064=⨯天； 第三组抽取41203016=⨯天；第四组抽取2120308=⨯天. （Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在(]75,115内的4天记为4321,,,A A A A ，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为21,B B .所以6天任取2天的情况有：,21A A ,31A A ,41A A ,11B A ,21B A ,32A A ,42A A ,12B A ,22B A ,43A A ,13B A ,23B A ,14B A ,24B A 21B B 共15种．记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A ，其中符合条件的有：,11B A ,21B A ,12B A ,22B A ,13B A ,23B A ,14B A 24B A 共8种，所求事件A 的概率：().158=A P19(I)证明：ABC ∆ 是等腰直角三角形，点D 为AB 的中点，.CD AB ∴⊥1,,AA ABC CD ABC ⊥⊂平面平面1.AA CD ∴⊥A 1C 1B 1EDCBA又111111,,,AA ABB A AB ABB A AA AB A ⊂⊂=平面平面11.CD ABB A ∴⊥平面又111,B E ABB A ⊂平面1.CD B E ∴⊥(II) ABC ∆是等腰直角三角形，且斜边AB = 1.AC BC ∴==1111111112,3323C CBE E C BC C BC V V AC S --∆===⨯⨯⨯⨯= 11112111,3322318D BEC E CDB DBC V V AE S --∆===⨯⨯⨯⨯⨯=117.31818V ∴=+=20.解：(I)由题意得1211122,MF MF MF MP F P F F +=+==>= ∴点M 的轨迹C 为以21,F F 为焦点的椭圆222,22,a c ==∴点M 的轨迹C 的方程为22 1.2x y +=(II)直线l 的方程可设为31+=kx y ，设1122(,),(,),A x y B x y联立221,31,2y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得229(12)12160.k x kx ++-=由求根公式化简整理得121222416,,3(12)9(12)k x x x x k k +=-=-++ 假设在y 轴上是否存在定点),0(m Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则⊥∴即0.AQ BQ ⋅=1122(,),(,),AQ x m y BQ x m y =--=--)31)(31())((21212121----+=--+=⋅kx m kx m x x y m y m x x9132))(31()1(221212+-++-++=m m x x m k x x k9132)21(9)31(12)21(9)1(1622222+-++--++-=m m k m k k k 2222(1818)(9615)0.9(12)m k m m k -+--==+ 2218180,96150,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩ 求得 1.m =- 因此，在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点.21.解:(I)xe a x x h )1()(+-='，令0)(='x h 得1-=a x .当11-≤-a 即0≤a 时，在]1,1[-上0)(≥'x h ，)(x h 递增，)(x h 的最小值为eaa h +-=-1)1(. 当111<-<-a 即20<<a 时，在]1,1[--∈a x 上0)(≤'x h ，)(x h 为减函数，在]1,1[-∈a x 上0)(≥'x h ，)(x h 为增函数. ∴)(x h 的最小值为a e a h a +-=--1)1(.当11≥-a 即2≥a 时，在]1,1[-上0)(≤'x h ，)(x h 递减，)(x h 的最小值为a e a h +-=)1()1(.综上所述，当0a ≤时)(x h 的最小值为eaa +-1，当2≥a 时)(x h 的最小值为a e a +-)1(,当20<<a 时，)(x h 最小值为a e a +--1. (II)令215()2,2f x x bx ae e =--++由题可知“对[]11,1x ∀∈-，[]21,2x ∃∈，使得2152)(2221++--≥e ae bx x x h 成立” 等价于“()f x 在[]1,2上的最小值不大于()h x 在[]1,1-上的最小值”.即min min ()().h x f x ≥由(I)可知，当3a =时，32)1()1()(min +-=+-==e a e a h x h .当3a =时，2152)(21522)(222+---=+--=e b b x e bx x x f ，[]1,2,x ∈ ①当1≤b 时，min 17()(1)22,2f x f b e ==--+由2172232+--≥+-e b e 得411≥b ，与1≤b 矛盾，舍去.②当21<<b 时，2min 15()()2,2f x f b b e ==--+由2152322+--≥+-e b e 得292≥b ，与21<<b 矛盾，舍去.③当2≥b 时，min 23()(2)42,2f x f b e ==--+由2232432+--≥+-e b e 得17.8b ≥综上，b 的取值范围是17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 22.解：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=由，得22sin 2cos .ραρα=∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22=（II ）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得22sin 2cos 10.t t θθ--= 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t 则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-，12AB t t =-==22.sin θ= 当2πθ=时，AB 的最小值为2.23.解：（I ）3,2,()|5||2|72,25,3, 5.x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩当25,372 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ ∴3m ≥- （II ）即()f x -≥2815x x -+由（I ）可知， 当22,()815x f x x x ≤-≥-+时的解集为空集；当52<<x 时，158)(2+-≥-x x x f 即022102≤+-x x ，535<≤-∴x ；当5≥x 时，158)(2+-≥-x x x f 即01282≤+-x x ，65≤≤∴x ；综上，原不等式的解集为{}56.x x -≤≤。
2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z，满足（z﹣1）i＝i﹣1，则|z|＝（）A．B．C．2+i D．2．（5分）已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）3．（5分）已知＝（2，m），＝（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4B．4C．0D．﹣24．（5分）已知直线y＝k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，]C．（0，]D．（，+∞）5．（5分）执行如图程序，输出的结果为（）A．513B．1023C．1025D．20476．（5分）平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42B．65C．143D．1697．（5分）刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2B．2+C．3+D．3+8．（5分）已知f（x）＝a sin x+b+4，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝（）A．B．﹣C．5D．89．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω＝πB．φ＝C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z10．（5分）设函数f（0）x＝sin x，定义f（1）x＝f′[f（0）（x）]，f（2）（x）＝f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）＝f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）的值是（）A．B．C．0D．111．（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2＝1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△P AB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知点M（2，0）、N（0，4），以MN为直径的圆的标准方程为．14．（5分）在等差数列{a n}中，a n＞0，a7＝a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19＝．15．（5分）已知点P（a，b）在函数y＝上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为．16．（5分）已知双曲线C2与椭圆C1：+＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝2C，2b＝3c．（1）求cos C；（2）若c＝4，求△ABC的面积．18．（12分）经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．19．（12分）如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．20．（12分）已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y＝﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）＝﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程是ρ＝1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac＝m﹣n，求a+b+c的最小值．2017年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z，满足（z﹣1）i＝i﹣1，则|z|＝（）A．B．C．2+i D．【解答】解：（z﹣1）i＝i﹣1，∴﹣i•（z﹣1）i＝﹣i•（i﹣1），∴z﹣1＝1+i，∴z＝2+i．则|z|＝＝．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）【解答】解：集合A＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|＞1}＝{x|﹣1＞0}＝{x|0＜x＜1}，∴∁R B＝{x|x≤0或x≥1}，∴A∩（∁R B）＝{x|1≤x≤2}＝[1，2]．故选：C．3．（5分）已知＝（2，m），＝（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4B．4C．0D．﹣2【解答】解：根据题意，＝（2，m），＝（1，﹣2），则+2＝（4，m﹣4），若∥（+2），则有4×m＝2×（m﹣4），即m﹣4＝2m，解可得m＝﹣4；故选：A．4．（5分）已知直线y＝k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，]C．（0，]D．（，+∞）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分，∵直线y＝k（x+1）过定点D（﹣1，0），∴由图象可知要使直线y＝k（x+1）与区域Ω有公共点，则直线的斜率k≤k BD，由，得B（1，3），此时k BD＝，故0＜k，故选：C．5．（5分）执行如图程序，输出的结果为（）A．513B．1023C．1025D．2047【解答】第一次循环，x＝3，i＝2＜10，第二次循环，x＝7，i＝3＜10，第三次循环，x＝15，i＝4＜10，第四次循环，x＝31，i＝5＜10，第五次循环，x＝63，i＝6＜10，第六次循环，x＝127，i＝7＜10，第七次循环，x＝255，i＝8＜10，第八次循环，x＝511，i＝9＜10，第九次循环，x＝1023，i＝10≤10，第十次循环，x＝2047，i＝11＞10，输出x＝2047，故选：D．6．（5分）平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42B．65C．143D．169【解答】解：可以通过列表归纳分析得到；13边形有2+3+4+…+11＝＝65条对角线．故选：B．7．（5分）刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2B．2+C．3+D．3+【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算其表面积为S＝S正方形ABCD+S△P AB+S△PBC+S△PCD+S△P AD＝12+×1×1+×1×+×1×+×1×1＝2+．故选：B．8．（5分）已知f（x）＝a sin x+b+4，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝（）A．B．﹣C．5D．8【解答】解：∵f（x）＝a sin x+b+4，∴f（x）+f（﹣x）＝8，∵lg＝﹣lg3，f（lg3）＝3，∴f（lg3）+f（lg）＝8，∴f（lg）＝5，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω＝πB．φ＝C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z【解答】解：由图象得，A＝1，T＝＝1，则T＝2，由得，ω＝π，则A正确；因为过点（，0），所以sin（π+φ）＝0，则π+φ＝kπ（k∈Z），φ＝+kπ（k∈Z），又|φ|＜π，则φ＝或，所以f（x）＝sin（πx）或f（x）＝sin（πx+），则B错误；当f（x）＝sin（πx+）时，由得，，所以函数的递减区间是（2k﹣，2k+），k∈Z，则C正确；当f（x）＝sin（πx）时，由πx＝kπ（k∈Z）得，x＝k+（k∈Z），所以f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z，则D正确；故选：B．10．（5分）设函数f（0）x＝sin x，定义f（1）x＝f′[f（0）（x）]，f（2）（x）＝f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）＝f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）的值是（）A．B．C．0D．1【解答】解：f（0）x＝sin x，则f（1）x＝cos x，f（2）（x）＝﹣sin x，f（3）（x）＝﹣cos x，f（5）x＝cos x，则f（5）x＝f（1）（x），即f（n+4）（x）＝f（n）（x），则f（n）（x）是周期为4的周期函数，则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）＝sin x+cos x﹣sin x﹣cos x＝0，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）＝f（1）（15°）（15°）＝cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝×+×＝，故选：A．11．（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x＝2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）＝πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π＝∴圆柱的最大体积为，此时r＝，故选：B．12．（5分）已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2＝1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△P AB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关【解答】解：由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB＝∠AOB，tan＝2，sin∠AOB ＝，设P（x，y），双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则|P A||PB|＝＝，∴△P AB的面积为•＝．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知点M（2，0）、N（0，4），以MN为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，又有2r＝|MN|＝＝，则r2＝5；故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．14．（5分）在等差数列{a n}中，a n＞0，a7＝a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19＝152．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n＞0，a7＝a4+4，∴，解得a1+9d＝a10＝8，S n为数列{a n}的前n项和，则S19＝（a1+a19）＝19a10＝152．故答案为：152．15．（5分）已知点P（a，b）在函数y＝上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为e．【解答】解：点P（a，b）在函数y＝上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb＝2﹣lna，即lna+lnb＝2．（lna＞0，lnb＞0）．令t＝a lnb，∴lnt＝lna•lnb≤＝1，当且仅当lna＝lnb＝1，即a＝b＝e时取等号．∴t≤e．故答案为：e．16．（5分）已知双曲线C2与椭圆C1：+＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．【解答】解：双曲线C2与椭圆C1：+＝1具有相同的焦点，可得c＝1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S＝4mn，≥2＝，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，解得m＝，n＝，可得双曲线的实轴长2a＝﹣＝＝＝，双曲线的离心率为：＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝2C，2b＝3c．（1）求cos C；（2）若c＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵B＝2C，2b＝3c，∴由正弦定理得，，则，即cos C＝＝；（2）∵2b＝3c，且c＝4，∴b＝6，∵0＜C＜π，cos C＝，∴sin C＝＝，由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，则，即a2﹣9a+20＝0，解得a＝4或a＝5，当a＝4时，△ABC的面积S＝＝＝，当a＝5时，△ABC的面积S＝＝＝．18．（12分）经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：＝（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）＝78，男生打分的平均分为：＝（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）＝69．从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：＝0.45，∴最高矩形的高h＝＝0.045．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n＝＝20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率p＝1﹣＝1﹣＝．19．（12分）如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB＝2P A，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC＝1，MB＝2，又∵DC∥MB，∴△MOB∽△COD，∴OB：OD＝MB：DC，∴OB＝2OD，∵PB＝2P A，∴OP∥AD，∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC；（Ⅱ）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，∴P到平面MBC的距离为，△MBC中，MC＝BC＝，MB＝2，∴MC⊥BC，∴S△MBC＝＝1，△MPC中，MP＝＝CP，MC＝，∴S△MPC＝＝．设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，∴h＝．20．（12分）已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y＝﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．【解答】解：（1）∵动点M到直线y＝﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，∴动点M的轨迹为抛物线，且＝1，解得：p＝2，∴动点M的轨迹方程为x2＝4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx+8＝0，△＝16k2﹣32＞0，解得k＞或k＜﹣．∴x1+x2＝4k，x1x2＝8．直线直线AC的方程为：y﹣y2＝﹣（x+x2），又∵y1＝kx1﹣2，y2＝kx2﹣2，∴4ky﹣4k（kx2﹣2）＝（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，化为4y＝（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），∵x1＝4k﹣x2，∴4y＝（x2﹣x1）x+8，令x＝0，则y＝2，∴直线AC恒过一定点（0，2）．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）＝﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．【解答】解：（I）∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴f′（x）＝a+≥0，x∈（0，1），即a，∵x∈（0，1），∴﹣＜﹣1，∴a≥﹣1．（II）证明：h（x）＝﹣﹣ax﹣lnx，h′（x）＝﹣x﹣a﹣，x∈（0，+∞）．令h′（x）＝0得x2+ax+1＝0，∵函数h（x）＝﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），∴方程x2+ax+1＝0有两解x1、x2，且x1∈[，1），∴x1•x2＝1，x1+x2＝﹣a，且ax1＝﹣1﹣x12，ax2＝﹣1﹣x22，x2∈（1，2]．∴当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，h′（x）＞0，当x＞x2时，h′（x）＜0，∴x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，∴|h（x1）﹣h（x2）|＝h（x2）﹣h（x1）＝﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1＝x22﹣x12+ln＝﹣x12++2lnx1，令H（x1）＝﹣x12++2lnx1，则H′（x1）＝﹣x1﹣+＝＝﹣＜0，∴H（x1）在[，0）上是减函数，∴H（x1）≤H（）＝﹣2ln2＜2﹣ln2，即|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程是ρ＝1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ＝1，直角坐标方程为x2+y2＝1，曲线C2方程为x2+y2＝1，参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2＝1，化简得5t2+t﹣8＝0，即有t1t2＝﹣，可得|MA|•|MB|＝|t1t2|＝．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac＝m﹣n，求a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，解得x＜3，∴≤x＜3；当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，解得x＞1，∴1＜x＜；综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴方程x2﹣mx+n＝0的两实数根为1和3，∴，∴m﹣n＝4﹣3＝1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac＝m﹣n＝1，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）＝3（ab+bc+ca）＝3；∴a+b+c的最小值是．。
【河南省郑州】2017学年高考三模文科数学年试题
河南省郑州市2017年高考三模文科数学试卷答 案1~5．ABBCD6~10．AADDC 11~12．CC13．41415．72516．[1,2] 17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由12a =，且3a 是2a 与41a +的等比中项．∴2(22)(33)(2)d d d +=++，解得2d =，∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=，（2）221111()(3)(2)(3)(22)(3)(1)213n n b n a n n n n n n ====-++++++++， ∴1111111111111111525(...)()224354621322323122(2)(3)n n S n n n n n n n n +=-+-+-++-+-=+--=-+++++++ 18．解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样， 抽样比3011204k ==， 第一组抽取13284⨯=天； 第二组抽取164164⨯=天； 第三组抽取11644⨯=天； 第四组抽取1824⨯=天 （Ⅱ）设PM 2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为A ，B ，C ，D ，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：,,,1,2,,1,2,1,2,1,2,12AB AC AD A A BC BD B B CD C C D D 共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A ，其中符合条件的有：1,2,1,2,1,2,1,2A A B B C C D D ，共8种所以，所求事件A 的概率815P = 19．（1）证明：∵ABC △是等腰直角三角形，点D 为AB 的中点，∴CD AB ⊥．∵1,AA ABC CD ABC ⊥⊂平面平面，∴1AA CD ⊥．又∵111111,,AA ABB A AB ABB A AA AB A ⊂⊂=平面平面， ∴11CD ABB A ⊥平面．∵点E 在线段1AA 上，∴111B E ABB A ⊂平面，∴1CD B E ⊥；（2）解：当13λ=时，11233AE AA ==． ∵ABC △是等腰直角三角形，且斜边AB =1AC BC ==． ∴11111111123323C CBE E C BC C BC V V AC S --===⨯⨯⨯⨯=△， 111121113322318D BECE CDB DBC V V AE S --===⨯⨯⨯⨯⨯=△ ， ∴11731818V =+=． 20．解：（1）由题意得121112||||||||||||2MF MF MF MP F P F F +=+===，∴点M 的轨迹C 为以12,F F 为焦点的椭圆∵22a c ==，∴点M 的轨迹C 的方程为2212x y +=． （2）直线l 的方程可设为13y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立221312y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得9（1+2k 2）x 2+12kx ﹣16=0．由求根公式化简整理得121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +=-=-++， 假设在y 轴上是否存在定点(0,)Q m ，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则AQ BQ ⊥即0AQ BQ =． ∵1122(,),(,)AQ x m y BQ x m y =--=--，1212121211()()()()33AQ BQ x x m y m y x x m kx m kx =+--=+---- 22222121222112()12116(1)213(1)()()3399(12)9(12)39k m m k m k x x k m x x m m k k -+=++-++-+=--+-+++ 2222(1818)(9615)09(12)m k m m k -+--==+． ∴221818096150m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩求得1m =-． 因此，在y 轴上存在定点(0,1)Q -，使以AB 为直径的圆恒过这个点．21．解：（1）()(1)e x h x x a '=-+，令()0h x '=得1x a =-．当11a --≤即0a ≤时，在上()0h x '≥，函数()()e x h x x a a =-+递增，()h x 的最小值为1(1)a ea h +-=-． 当111a --＜＜即02a ＜＜时，在[1,0),()0,()x h x h x '∈-上≤为减函数，在(0,1],()0,()x h x h x '∈上≥为增函数．∴()h x 的最小值为1(1)e a h a a --=-+．当11a -≥即2a ≥时，在[1,1]x ∈-上()0,()h x h x '≤递减，()h x 的最小值为(1)(1)e h a a =-+．综上所述，当0a ≤时()h x 的最小值为1a e a +-，当2a ≥时()h x 的最小值为(1)e a a -+，当02a ＜＜时，()h x 最小值为1e a a --+．（2）令215()2e e 2f x x bx a =--++， 由题可知“12[1,1],[1,2]x x ∀∈-∃∈对，使得212215()2e e 2h x x bx a --++≥成立” 等价于“()f x 在上的最小值不大于()h x 在上的最小值”．即min min ()()h x f x ≥．由（1）可知，当3a =时，min ()(1)(1)e 2e 3h x h a a ==-+=-+．当3a =时，2221515()22e ()2e 22f x x bx x b b =--+=---+，①当1b ≤时，min 17()(1)22e 2f x f b ==--+， 由172e 322e 2b -+--+≥得114b ≥，与1b ≤矛盾，舍去． ②当12b ＜＜时，2min 15()()2e 2f x f b b ==--+， 由2152e 32e 2b -+--+≥得292b ≥，与12b ＜＜矛盾，舍去． ③当2b ≥时，min 23()(2)42e 2f x f b ==--+， 由232e 342e 2b -+--+≥得178b ≥． 综上，b 的取值范围是17[,)8+∞． 22．解：（1）由2sin 2cos 0ρθθ-=，得2sin 2cos ρθθ=．∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =；（2）将直线l 的参数方程代入22y x =，得22sin 2cos 10t t θθ--=．设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121212222cos 1,,||||sin sin t t t t AB t t θθθ+==-=-=22sin θ==． 当π2θ=时，||AB 的最小值为2． 23．解：（1）3,2()|5||2|72,253,5x f x x x x x x ⎧⎪=---=-⎨⎪-⎩≤＜＜≥，当25x ＜＜时，3723x --＜＜，所以3()3f x -＜＜，∴3m -≥；（2）不等式2815()0x x f x -++≤，即2()815f x x x --+≥由（1）可知，当2x ≤时，2()815f x x x --+≥的解集为空集；当25x ＜＜时，2()815f x x x --+≥，即21022x x -+≤0，∴55x ＜；当5x ≥时，2()815f x x x --+≥，即28120x x -+≤，∴56x ≤≤；综上，原不等式的解集为{|56}x x ≤．河南省郑州市2017年高考三模文科数学试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n项和为S n，则S2017=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A．7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q 可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2017）=1﹣h13．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，（2）化简b n根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n}的前n项和S n，利用裂项相消法求出S n．18．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2．5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2．5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．19．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．20．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．21．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．22．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．23．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．。
河南省2017届高三质量检测文科数学试题含答案
河南省高三质量检测考试数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(4)0},{|}A x Z x x B x x a =∈+-<=≤，若A B B = ，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数3(2)(2)z i a i =++在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知向量(,2),(2,1)a m b ==-，且a b ⊥ ，则2()a b a a b -⋅+等于（ ）A ．53-B ．1C ．2D ．545. 4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ）A ．13-B ．13C ．23D ．23- 6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．97. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．8. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e -=-⋅- B ．()1x y f x e -=⋅+ C ．()1x y f x e -=⋅- D ．()1xy f x e-=-⋅+9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．14310. 函数()sin()(0,)2f x A wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个单位后得到函数的图象，若函数()g x 在区间[,]()33ππθθ->-上的值域为[]1,2-，则θ等于（ ）A ．6π B ．4π C ．23π D ．712π11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13 B ．25 C 12. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,AC DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为 ．14. 已知实数,x y 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为 ．15在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积为22,()tan 8S a b C S +=，则222sin sin sin A BC+= ． 16.若函数()2(1)()xf x x ax a e a N =-++∈在区间(1,3)只有1个极值点，则曲线()f x 在点(0,(0))f 处切线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前()n n N +∈项和为3,3n S a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，13152,1b b a λ==+.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前()n n N +∈项和为n T ，且()12n n S c π+=，求n T .18. （本小题满分12分）某校100名学生其中考试语文成绩的频率分布直方图所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90.100.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，//,,AD BC AB AC AB AC ⊥=，点E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ； （2）若PBC ∆的面积是梯形ABCD 面积为43，求点到平面PBC 的距离.20. （本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点. （1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a a R =-∈与函数2()F x x x=+有公切线. （1）求a 的取值范围；（2）若不等式()2xf x e a +>-对于0x >的一切恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0)a >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=- （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13,()2f x x x g x a x =++-=--.（1）若关于x 的不等式()()g x g x <有解，求实数的取值范围； （2）若关于x 的不等式()()g x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值.试卷答案一、选择题1-5:DCDBC 6-10: BAABD 11、C 12：C二、填空题13.71014. 5 15. 2 16. 6y x =+ 三、解答题17. 解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且12232()3a a a a a λ+==， ① 所以2123,3a a a a λ=+==， ②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得121,2a a ==，所以,2n a n λ==， 所以134,16b b ==，则12n n b +=. （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+， 所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++ 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++2323232n n n +=-++. 18.解：（1）由题意得2100.01100.03100.02101a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.005a =，（2）由0.05550.4650.3750.2850.059573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由频率分布表可知：数学成绩在[)50,90的人数为：145(0.050.40.30.2)10090234+⨯+⨯+⨯⨯=， 于是，数学成绩在[)50,90之外的人数为：1009010-=. 19. 证明：因为,AB AC AB AC ⊥=，所以C ，因为底面ABCD 是直角梯形，090,//ADC AD BC ∠=， 所以045ACD ∠=，即AD CD =，所以2BC AD ==，因为2,2AE ED CF FB ==，所以23AE BF AD ==. 所以四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF , 所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A = ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC . （2）因为PA ⊥底面ABCD ，且AB AC =，所以PB PC =， 取BC 的中点为G ，连接AG ，则,1AG BC AG CD ⊥==，设PA x =，连接PG ，则PG =因为侧面PBC 的面积是底ABCD 面的13倍，所以1412(12)232PG ⨯⋅=⨯⨯+，即2PG =，求得x = 因为//AD BC ，所以E 到平面PBC 的距离即是A 到平面PBC 的距离， 因为,2A PBC P APC ABC APC V V S S --∆∆==，所以E 到平面PBC 的距离为12PA =.20. 解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程2200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以20,14M N M N y y y y y y +==- ，2M N MN y y =-===（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)x my n P x y Q x y =+，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my n --=. 12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=- ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =，当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =又2024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =. 21.解：（1）()()212,1f x F x x x''==-，因为函数()f x 与()F x 有公共切线，所以函数()f x 与()F x 的图象相切或无交点， 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为00(0)x x >，则0020012()()1f x F x x x ''===-， 解得02x =或01x =-（舍去）， 则()()22f F =，得ln 23a =-，数形结合，得ln 23a ≥-，即a 的取值范围为[ln 23,)-+∞. （2）等价于ln 20x x a e ax ++--≥在(0,)x ∈+∞上恒成立， 令()ln 2g x x x a e ax =++--，因为()ln 1g x x a '=+-，令()0g x '=，得ae x e=，所以()g x 的最小值为()(1)22a a a ae e e e g a a e a a e e e e e =-++--=+--， 令()2x e t x x e e =+--，因为()1xe t x e'=-，令()0t x '=，得1x =，且所以当(0,1)a ∈时，()g x 的最小值()()1(2)1020e e t a t e e e-->=--=>， 当[1,)a ∈+∞时，()g x 的最小值为()()202ae t a ae t e=--≥=， 所以[]1,2a ∈，综上得a 的取值范围是(0,2].22.（1）由cos()4πρθ+=-(cos sin )2ρθρθ-=-化成直角坐标方程，得)2x y -=-l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离2cos()4d t π===+， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 1d =. （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>- （其中2an aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故的取值范围为.23.解：（1）当2x =时，()2g x a x =--取得最大值为a ，因为()134f x x x =++-≥，当且仅当()13,x f x -≤≤取最小值4，因为关于x 的不等式()()g x g x <有解，所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞.（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， 所以当2x <时，()922g x =+， 令()942g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-， 所以12b =-，则6a b +=.。
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A ＝{x |x ﹣x 2＞0}，B ＝{x |（x +1）（m ﹣x ）＞0}，则“m ＞1”是“A ∩B ≠∅”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：集合A ＝{x |x ﹣x 2＞0}＝（0，1），对于B ：（x +1）（m ﹣x ）＞0，化为：（x +1）（x ﹣m ）＜0， m ＝﹣1时，x ∈∅．m ＞﹣1，解得﹣1＜x ＜m ，即B ＝（﹣1，m ）． m ＜﹣1时，解得m ＜x ＜﹣1，即B ＝（m ，﹣1）． ∴“m ＞1”⇒“A ∩B ≠∅”，反之不成立，例如取m =12． ∴“m ＞1”是“A ∩B ≠∅”的充分而不必要条件． 故选：A ．2．（5分）为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．50【解答】解：根据系统抽样的特征，得； 从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为60020=30．故选：B ．3．（5分）已知z ＝m ﹣1+（m +2）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣2，1）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）【解答】解：z ＝m ﹣1+（m +2）i 在复平面内对应的点在第二象限， ∴m ﹣1＜0，m +2＞0，解得﹣2＜m ＜1． 则实数m 的取值范围是（﹣2，1）． 故选：B ．4．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C ．5．（5分）已知cos(α−π3)=−12，则sin(π6+α)的值等于（ ） A ．√32B ．−√32C ．12D ．−12【解答】解：∵cos(α−π3)=−12，可得：cos （π3−α）=−12， ∴sin[π2−（π3−α）]＝sin （π6+α）=−12．故选：D ．6．（5分）已知f '（x ）＝2x +m ，且f （0）＝0，函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为3，数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2017的值为（ ）A ．20172018B ．20142015C ．20152016D ．20162017【解答】解：f '（x ）＝2x +m ，可设f （x ）＝x 2+mx +c ， 由f （0）＝0，可得c ＝0．可得函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为2+m ＝3， 解得m ＝1， 即f （x ）＝x 2+x ， 则1f(n)=1n 2+n=1n−1n+1，数列{1f(n)}的前n 项和为S n ， 则S 2017＝1−12+12−13+⋯+12017−12018=1−12018=20172018． 故选：A ．7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A ．2+π2B ．2+π3C ．4+π3D ．4+π2【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 这个几何体体积V =12×π×12×1+12×（√2）2×2＝2+π2． 故选：A ．8．（5分）已知等比数列{a n }，且a 6+a 8＝4，则a 8（a 4+2a 6+a 8）的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【解答】解：由题意知：a 8（a 4+2a 6+a 8）＝a 8a 4+2a 8a 6+a 82， ∵a 6+a 8＝4，∴a 8a 4+2a 8a 6+a 82＝（a 6+a 8）2＝16． 故选：D ．9．（5分）若实数a 、b 、c ＞0，且（a +c ）•（a +b ）＝6﹣2√5，则2a +b +c 的最小值为（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．2√5+2D ．2√5−2【解答】解：根据题意，2a +b +c ＝（a +c ）+（a +b ）， 又由a 、b 、c ＞0，则（a +c ）＞0，（a +b ）＞0，则2a +b +c ＝（a +c ）+（a +b ）≥2√(a +c)(a +b)=2√6−2√5=2（√5−1）＝2√5−2， 即2a +b +c 的最小值为2√5−2， 故选：D ． 10．（5分）椭圆x 25+y 24=1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M 、N ，当△FMN的周长最大时，△FMN 的面积是（ ）A ．√55B ．6√55C ．8√55D ．4√55【解答】解：设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，∵|MF ′|+|NF ′|≥|MN |， ∴当直线x ＝a 过右焦点时，△FMN 的周长最大． 由椭圆的定义可得：△FMN 的周长的最大值＝4a ＝4√5． c =√5−4=1．把c ＝1代入椭圆标准方程可得：15+y 24=1，解得y ＝±√5．∴此时△FMN 的面积S =12×2×245=8√55． 故选：C ．11．（5分）四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝10，AC ＝BD ＝2√34，AD ＝BC ＝2√41，则四面体A ﹣BCD 外接球的表面积为（ ） A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以10，2√34，2√41为三边的三角形作为底面， 且以分别为x ，y ，z ，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝100，x2+z2＝136，y2+z2＝164，设球半径为R，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝200，∴4R2＝200，∴球的表面积为S＝4πR2＝200π．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=(x+1)2+ln(√1+9x2−3x)cosxx2+1，且f（2017）＝2016，则f（﹣2017）＝（）A．﹣2014B．﹣2015C．﹣2016D．﹣2017【解答】解：∵函数f（x）=(x+1)2+ln(√1+9x2−3x)cosxx2+1，＝1+2xx2+1+(ln11+9x+3xx2+1＝1+2xx2+1+cosx[−ln(√1+9x2+3x)]x2+1，令h（x）=2xx2+1+cosln(√1+9x2−3x)x2+1，则h（﹣x）=−2xx2+1+cosx[−ln(√1+9x2−3x)]x2+1=−h（x），即h（x）是奇函数，∵f（2017）＝1+h（2017）＝2016，∴h（2017）＝2016﹣1＝2015，∴f（﹣2017）＝1+h（﹣2017）＝1﹣h（2017）＝1﹣2015＝﹣2014．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x，y满足约束条件：{x+y−3≥0x−y+1≥02x−y−3≤0，则目标函数z＝x+2y的最小值为4．【解答】解：由约束条件{x+y−3≥0x−y+1≥02x−y−3≤0作出可行域如图，联立{2x −y −3=0x +y −3=0，解得A （2，1），化目标函数z ＝x +2y 为y =−x 2+z 2，由图可知，当直线y =−x 2+z 2过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4． 故答案为：4．14．（5分）已知向量a →=(m ，3)，b →=(√3，1)，若向量a →，b →的夹角为30°，则实数m ＝ √3 ．【解答】解：∵a →=(m ，3)，b →=(√3，1)，向量a →，b →的夹角为30°， ∴a →⋅b →=√3m +3=√m 2+9•2•cos30°，求得 m =√3， 故答案为：√3．15．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b =58a ，A ＝2B ，则cos A ＝725．【解答】解：∵A ＝2B ， ∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ， ∵b =58a ，∴由正弦定理可得：ab =85=sinA sinB=2sinBcosB sinB=2cos B ，∴cos B =45，∴cos A ＝cos2B ＝2cos 2B ﹣1=725． 故答案为：725．16．（5分）在△ABC 中，∠A =π3，O 为平面内一点．且|OA →|=|OB →|=|OC →|，M 为劣弧BĈ上一动点，且OM →=pOB →+qOC →．则p +q 的取值范围为 [1，2] ． 【解答】解：如图所示，△ABC 中，∠A =π3，∴∠BOC =2π3； 设|OA →|=|OB →|=|OC →=r ，则O 为△ABC 外接圆圆心；∵OM →=p OB →+q OC →，∴|OM →|2=(pOB →+qOC →)2=r 2， 即p 2r 2+q 2r 2+2pqr 2cos 2π3=r 2，∴p 2+q 2﹣pq ＝1， ∴（p +q ）2＝3pq +1； 又M 为劣弧BC 上一动点， ∴p ≥0，q ≥0， ∴p +q ≥2√pq ，∴pq ≤(p+q 2)2=(p+q)24， ∴1≤（p +q ）2≤34（p +q ）2+1， 解得1≤（p +q ）2≤4， ∴1≤p +q ≤2；即p +q 的取值范围是[1，2]． 故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知数列{a n }是等差数列，首项a 1＝2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =2(n+3)(a n +2)，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项． ∴（2+2d ）2＝（3+3d ）（2+d ）， 解得d ＝2，或d ＝﹣1，当d ＝2时，a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2+2（n ﹣1）＝2n ， 当d ＝﹣1时，a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2﹣（n ﹣1）＝﹣n +3 （2）当d ＝﹣1时，当n ＝3时，a 3＝0，此时b n 不存在， 当d ＝2时，b n =2(n+3)(a n +2)=2(n+3)(2n+2)=1(n+1)(n+3)=12（1n+1−1n+3），∴S n =12（12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1n+2+1n+1−1n+3）=12（12+13−1n+2−1n+3）=512−2n+52(n+2)(n+3)18．（12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM 2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM 2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别 PM 2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组 （0，35] 32 第二组 （35，75] 64 第三组 （75，115] 16 第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I ）中所抽取的样本PM 2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样， 抽样比k =30120=14，第一组抽取32×14=8天；第二组抽取64×14=16天；第三组抽取16×14=4天；第四组抽取8×14=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=8 1519．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=√2，侧棱AA1＝2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE＝λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=13时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD ⊥B 1E ；（2）解：当λ=13时，AE =13AA 1=23．∵△ABC 是等腰直角三角形，且斜边AB =√2，∴AC ＝BC ＝1． ∴V C 1−CBE =V E−C 1BC =13AC ⋅S △C 1BC =13×12×1×1×2=13， V D−BEC =V E−CDB =13AE ⋅S △DBC =13×12×12×1×1×23=118， ∴V =13+118=718．20．（12分）已知点P 是圆F 1：（x ﹣1）2+y 2＝8上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的垂直平分线分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点G(0，13)的动直线l 与点M 的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MP|=|F 1P|=2√2＞|F 1F 2|=2， ∴点M 的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆∵2a =2√2，2c =2， ∴点M 的轨迹C 的方程为x 22+y 2=1．（2）直线l 的方程可设为y =kx +13，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +13x22+y 2=1可得9（1+2k 2）x 2+12kx ﹣16＝0．由求根公式化简整理得x 1+x 2=−4k 3(1+2k 2)，x 1x 2=−169(1+2k 2)，假设在y 轴上是否存在定点Q （0，m ），使以AB 为直径的圆恒过这个点，则AQ →⊥BQ →即AQ →⋅BQ →=0．∵AQ →=(−x 1，m −y 1)，BQ →=(−x 2，m −y 2)，AQ →⋅BQ →=x 1x 2+(m −y 1)(m −y 2)=x 1x 2+(m −kx 1−13)(m −kx 2−13)=(1+k 2)x 1x 2+k(13−m)(x 1+x 2)+m 2−2m 3+19=−16(1+k 2)9(1+2k 2)−12k 2(13−m)9(1+2k 2)+m 2−2m 3+19=(18m 2−18)k 2+(9m 2−6m−15)9(1+2k 2)=0． ∴{18m 2−18=09m 2−6m −15=0求得m ＝﹣1． 因此，在y 轴上存在定点Q （0，﹣1），使以AB 为直径的圆恒过这个点．21．（12分）已知函数h （x ）＝（x ﹣a ）e x +a ．（1）若x ∈[﹣1，1]，求函数h （x ）的最小值；（2）当a ＝3时，若对∀x 1∈[﹣1，1]，∃x 2∈[1，2]，使得h （x 1）≥x 22﹣2bx 2﹣ae +e +152成立，求b 的范围．【解答】解：（1）h '（x ）＝（x ﹣a +1）e x ，令h '（x ）＝0得x ＝a ﹣1．当a ﹣1≤﹣1即a ≤0时，在[﹣1，1]上h '（x ）≥0，函数h （x ）＝（x ﹣a ）e x +a 递增，h （x ）的最小值为ℎ(−1)=a −1+a e ．当﹣1＜a ﹣1＜1即0＜a ＜2时，在x ∈[﹣1，a ﹣1]上h '（x ）≤0，h （x ）为减函数，在x ∈[a ﹣1，1]上h '（x ）≥0，h （x ）为增函数．∴h （x ）的最小值为h （a ﹣1）＝﹣e a ﹣1+a ． 当a ﹣1≥1即a ≥2时，在[﹣1，1]上h '（x ）≤0，h （x ）递减，h （x ）的最小值为h （1）＝（1﹣a ）e +a ．综上所述，当a ≤0时h （x ）的最小值为a −1+a e ，当a ≥2时h （x ）的最小值为（1﹣a ）e +a ，当0＜a ＜2时，h （x ）最小值为﹣e a ﹣1+a ．（2）令f(x)=x 2−2bx −ae +e +152，由题可知“对∀x 1∈[﹣1，1]，∃x 2∈[1，2]，使得ℎ(x 1)≥x 22−2bx 2−ae +e +152成立” 等价于“f （x ）在[1，2]上的最小值不大于h （x ）在[﹣1，1]上的最小值”．即h （x ）min ≥f （x ）min ．由（1）可知，当a ＝3时，h （x ）min ＝h （1）＝（1﹣a ）e +a ＝﹣2e +3．当a ＝3时，f(x)=x 2−2bx −2e +152=(x −b)2−b 2−2e +152，x ∈[1，2]，①当b ≤1时，f(x)min =f(1)=−2b −2e +172，由−2e +3≥−2b −2e +172得b ≥114，与b ≤1矛盾，舍去． ②当1＜b ＜2时，f(x)min =f(b)=−b 2−2e +152，由−2e +3≥−b 2−2e +152得b 2≥92，与1＜b ＜2矛盾，舍去． ③当b ≥2时，f(x)min =f(2)=−4b −2e +232， 由−2e +3≥−4b −2e +232得b ≥178．综上，b 的取值范围是[178，+∞)． 22．（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为{x =12+tcosθy =tsinθ，（t 为参数，0＜θ＜π），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2α﹣2cos α＝0．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求|AB |的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρsin 2α﹣2cos α＝0，∴ρ2sin 2α＝2ρcos α，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x ．（2）直线l 的参数方程{x =12+tcosθy =tsinθ，（t 为参数，0＜θ＜π）， 把直线的参数方程化入y 2＝2x ，得t 2sin 2θ﹣2t cos θ﹣1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=2cosθsin 2θ，t 1•t 2=−1sin 2θ， |AB |＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4cos 2θsin 4θ+4sin 2θ=2sin 2θ， ∴当θ=π2时，|AB |取最小值2．23．已知函数f （x ）＝|x ﹣5|﹣|x ﹣2|．（1）若∃x ∈R ，使得f （x ）≤m 成立，求m 的范围；（2）求不等式x 2﹣8x +15+f （x ）≤0的解集．【解答】解：（1）f(x)=|x−5|−|x−2|={3，x≤27−2x，2＜x＜5−3，x≥5.，当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴5−√3≤x＜5；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为{x|5−√3≤x≤6}．。
河南省郑州市2017-2018学年高三数学三模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．1．设复数，则a+b=（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣22．“存在x 0∈R ，2X0≤0”的否定是（ ）A ．对任意的x 0∈R ，2X0＞0B ．存在x 0∈R ，2X0＞0C ．对任意的x 0∈R ，2X0≤0D ．不存在x 0∈R ，2X0＞03．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则（∁R M ）∩N=（ ）A ．（0，1）B ．[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）4．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m ＞n 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2π+2B ．4π+2C ．2π+D ．4π+6．已知抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点恰好为双曲线y 2﹣x 2=2的一个焦点，则a 的值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．7．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S 的值是（ ）A．1007 B．2015 C．2016 D．30248．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn9．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．5010．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．若将函数y=2sin（3x+φ）的图象向右平移个单位后得到的图象关于点（）对称，则|φ|的最小值是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，茎表示得分的十位数，据图可知甲运动员得分的中位数和乙运动员得分的众数之和为．14．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为．15．若关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0，当x∈（﹣∞，λ]时对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．16．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（I）求ϕ的值，并化简f（x）；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．18．有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．111，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别为BC、CC1的中点．（1）求证：B1E⊥平面AEF；（2）当AB=2时，求点E到平面B1AF的距离．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：=﹣λ，=λ（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．21．设函数f（x）=x﹣﹣2mlnx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2﹣2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．2016年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．1．设复数，则a+b=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用两个复数相等的充要条件，先利用复数的除法化简，得到a、b 的值，从而可求a+b．【解答】解：，∴，∴a+b=1，故选A．2．“存在x0∈R，2X0≤0”的否定是（）A．对任意的x0∈R，2X0＞0 B．存在x0∈R，2X0＞0C．对任意的x0∈R，2X0≤0 D．不存在x0∈R，2X0＞0【考点】的否定．【分析】直接利用特称的否定是全称写出结果即可．【解答】解：因为称的否定是全称，所以“存在x0∈R，2X0≤0”的否定是：对任意的x0∈R，2X0＞0．故选：A．3．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．（0，1）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合M、N，利用集合的基本运算即求出结论．【解答】解：M={x丨y=lg}={x丨＞0}={x|0＜x＜1}=（0，1），N={y|y=x2+2x+3}={y|y=（x+1）2+2≥2}=[2，+∞），∴∁R M=（﹣∞，0]∪[1，+∞），∴（∁R M）∩N=[2，+∞）．故选：C．4．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件m＞n的图形面积，及在区间[1，6]和[1，4]内的点对应的面积，再代入几何概型计算公式求解．【解答】解：如图，则在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则（m，n）表示的图形面积为3×5=15其中满足m＞n，即在直线m=n右侧的点表示的图形面积为：，故m＞n的概率P=，故选A．5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱 由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C6．已知抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点恰好为双曲线y 2﹣x 2=2的一个焦点，则a 的值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程及双曲线的方程求出抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标，列出方程求出a ．【解答】解：抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点为（0，），双曲线y 2﹣x 2=2的焦点为（0，±2）， ∵a ＞0，∴=2，∴a=，故选：D ．7．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S 的值是（ ）A．1007 B．2015 C．2016 D．3024【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．8．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵，，…∴=故选：A．9．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△AB C==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．10．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则进而可得：V S﹣AB C =V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．故选C．11．若将函数y=2sin（3x+φ）的图象向右平移个单位后得到的图象关于点（）对称，则|φ|的最小值是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先利用图象变换的法则求出平移后函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求出所得函数的对称中心，进而求得|φ|的最小值【解答】解：将函数y=2sin（3x+φ）的图象向右平移个单位后得到的函数解析式为y=2sin（3x﹣+φ）∵y=2sin（3x﹣+φ）的图象关于点（）对称，∴3×﹣+φ=kπ，（k∈Z）∴φ=kπ﹣∴|φ|的最小值是故选A12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110【考点】数列的求和；分段函数的应用．【分析】由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）﹣x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．【解答】解：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2≤0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，当6＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（﹣1，），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（﹣1，）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有两个根x=﹣1，x=0；当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零点为1，2；以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；综上所述函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为：a n=2（n﹣1），前10项的和为S10=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，茎表示得分的十位数，据图可知甲运动员得分的中位数和乙运动员得分的众数之和为64．【考点】茎叶图．【分析】根据中位数与众数的定义，进行计算即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员得分的中位数是=35，乙运动员得分的众数是29，所以甲得分的中位数与乙得分的众数之和为35+29=64．故答案为：64．14．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和公式展开后求得cosα+sinα的值，进而利用诱导公式可知sin（α+）=﹣sin（α+），把cosα+sinα的值代入求得答案．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣（sinα+cosα）=﹣．故答案为：﹣15．若关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0，当x∈（﹣∞，λ]时对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于x2+x≥（）n ma x对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，由此求出λ的取值范围．【解答】解：关于x的不等式x2+x﹣（）n≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]上恒成立，等价于x2+x≥（）n ma x对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，即x2+x≥对x∈（﹣∞，λ]恒成立；设y=x2+x，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，所以当x≤﹣时，左边是单调减函数，所以要使不等式恒成立，则λ2+λ≥，解得λ≤﹣1，或λ≥（舍）；当x＞﹣时，左边的最小值就是在x=﹣时取到，达到最小值时，x2+x=﹣，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为（0，）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，二阶导数，得到一阶导函数有极大值点，根据f′（x）的单调性，只要，解出即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1，（x＞0），∴f′（x）=lnx﹣ax，，得一阶导函数有极大值点x=，由于f′（0）→﹣∞，x→+∞时，f′（x）→﹣∞，因此原函数要有两个极值点，只要解得，故答案为：（0，）．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（I）求ϕ的值，并化简f（x）；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用诱导公式求得φ的值，可得函数的解析式．（II）由条件求得A，再利用正弦定理求得sinB的值，可得B，再利用三角形内角和公式求得C的值．【解答】解：（I）∵=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），因为函数f （x）在x=π处取最小值，所以sin（π+φ）=﹣1，由诱导公式知sinφ=1，因为0＜φ＜π，所以，所以．（II）因为，所以，因为角A为△ABC的内角，所以．又因为，所以由正弦定理，得，也就是，因为b＞a，所以或．当时，；当时，．18．有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．【分析】（Ⅰ）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2=计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（3）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解．1（2）根据列联表中的数据，得到k2=≈6.109＞3.841因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个∴P（A）==．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别为BC、CC1的中点．（1）求证：B1E⊥平面AEF；（2）当AB=2时，求点E到平面B1AF的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用勾股定理可证明B1E⊥EF，再由题意可得BB1⊥AE，从而证明B1E⊥平面AEF；（2）由条件知，，，从而可求得，再解△AFB1，从而可得，从而解得．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，不妨设|AB|=|AA1|=a，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵E、F分别为BC、CC1的中点，∴，，，∴，∴B1E⊥EF，又∵AE⊥BC，B1B⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，∴AE⊥面BCC1B1∴B1E⊥AE，AE∩EF=E，∴B1E⊥平面AEF．（2）解：由条件知，，，∵AE⊥EF，∴，在△AFB1中，，∴，设点E到平面B1AF的距离为d，则，∴，即点E到平面B1AF的距离为1．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：=﹣λ，=λ（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点和准线方程，设M（x0，y0）（x0＜0），运用抛物线的定义求得M的坐标，由椭圆的定义可得2a=|MF1|+|MF2|=4，即a=2，c=1，求得b，进而得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），运用向量共线的坐标表示，化简整理，运用平方差公式和点满足圆方程，代入即可得到所求定直线．【解答】解：（I）由C2：x2=4y知F1（0，1），准线为y=﹣1，设M（x0，y0）（x0＜0），因M在抛物线C2上，故，又，由抛物线的定义可得，解得，椭圆C1的两个焦点F1（0，1），F2（0，﹣1），点M在椭圆上，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|==4，可得a=2，又c=1，则b2=a2﹣c2=3，椭圆C1的方程为：；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由=λ，可得，即为；由=﹣λ，可得，即为，①×③得：，⑤②×④得：，⑥又点A，B在圆x2+y2=3上，且λ≠±1，所以，，⑤+⑥可得，3﹣3λ2=（x+3y）（1﹣λ2），由λ≠0且λ≠±1，可得x+3y=3，所以点Q总在定直线x+3y=3上．21．设函数f（x）=x﹣﹣2mlnx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2﹣2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（2）假设存在，根据x1+x2=2m，x1x2=1，得到消元得，根据f（x）的单调性判断函数无零点，得出结论即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），，令h（x）=x2﹣2mx+1，△=4m2﹣4=4（m2﹣1），当△＞0即m＞1或m＜﹣1时，方程h（x）=0有两个根，设方程x2﹣2mx+1=0的两根是：x1，x2，且x1＜x2，解得：x1=m﹣，x2=m+，∴x1+x2=m，x1•x2=1，当△≤0时，即m∈[﹣1，1]时，f′（x）≥0，原函数在定义域上单调递增，当m＜﹣1时，△＞0，两根均为负，f（x）在定义域上单调递增，当m＞1时，△＞0，两根均为正，故f（x）在区间（0，m﹣），（m+，+∞）递增，在（m﹣，m+）递减；（2）由（1）知函数有两个极值点时m＞1且x1+x2=2m，x1x2=1AB斜率，若k=2﹣2m，则，两根均为正且x1x2=1，若x1＜x2，则x1＜1，x2＞1，消元得，整理得x2﹣﹣2lnx2=0，由（1）知在区间（1，+∞）上单调递增，因此f（x）＞f（1）=0，函数没有零点，故这样的m值不存在．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（Ⅱ）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，当x时，f（x）≤4可化为3x﹣1+x+3≤4，解得；当x时，f（x）≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4，解得．综上可得，原不等式的解集为{x|}，（Ⅱ）f（x）=|3x﹣1|+ax+3=函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2016年7月6日。
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A 中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为 ．14．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ﹣2a n =1，则{a n }的通项公式是a n = ．15．已知双曲线C ：﹣=1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2=，则双曲线的离心率 ．16．在△ABC 中，∠A=，O 为平面内一点．且||，M 为劣弧上一动点，且．则p +q 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sinB +sinC=msinA （m ∈R ），且a 2﹣4bc=0． （1）当a=2，时，求b 、c 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x +y +z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率； （2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X的分布列及其数学期望．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+3【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为∃x＞0，log2x≥2x+3，故选：B2．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把m=4﹣xi，n=3+2i代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件求解即可得答案．【解答】解：由m=4﹣xi，n=3+2i，得==，∵复数∈R，∴，解得x=．故选：D．3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线焦点的位置可得，解可得a的范围，又由其焦距为4，即c=2，由双曲线的几何性质可得c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a的值．【解答】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上，则有，解可得a＜2，又由其焦距为4，即c=2，则有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a=；故选：D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角公式化简即可计算得解．【解答】解：∵，∴cos[π﹣（+2θ）]=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣[1﹣2sin2（+θ）]=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A 中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有：=32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有：=24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有：=8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：=1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=e x，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（x）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288用算筹可表示为，故答案为14．若数列{a n}的前n项和为S n，且3S n﹣2a n=1，则{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：3S n﹣2a n=1，n=1时，3a1﹣2a1=1，解得a1=1．n≥2时，3S n﹣1﹣2a n﹣1=1，相减可得：a n=﹣2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为﹣2．∴a n=（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．15．已知双曲线C：﹣=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2=，则双曲线的离心率2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，），求出N点坐标，代入y=﹣得出x0与c的关系，再根据垂直列方程得出a，b的关系，从而可求得离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，设M在直线y=上，M（x0，），F（c，0），∵2=，∴M是FN的中点，∴N（2x0﹣c，），∵N在直线y=﹣上，∴2x0﹣c=﹣2x0，即x0=．∴M（，），∵MF与直线y=垂直，∴=﹣，∴b2=3a2，∴e===2．故答案为：2．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为[1，2] ．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sinB +sinC=msinA （m ∈R ），且a 2﹣4bc=0． （1）当a=2，时，求b 、c 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围． 【考点】HR ：余弦定理．【分析】（1）sinB +sinC=msinA （m ∈R ），利用正弦定理可得：b +c=ma ，且a 2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出． 【解答】解：（1）由题意得b +c=ma ，a 2﹣4bc=0． 当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b +c=ma 可得m ＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x +y +z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率； （2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P （A ）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A 4，A 7，A 9，A 10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P （X=k ）及其分布列与数学期望． 【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A 4，A 7，A 9，A 10；X 的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X 的分布列为： ∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求出导数得到极值点，通过①当a≤0时，②当0＜a＜2时，③当a ≥2时分别求解函数的单调性以及函数的最值即可．（II）设，求出导数F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．通过①当a≥0时，②当a≤﹣1时，③当﹣1＜a＜0时，分别求解函数的单调性已经函数的最值，推出a≤﹣1．【解答】解：（I）h（x）=（x﹣a）e x+a．h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．①当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F （x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2017年5月23日。
河南省郑州市新郑三中2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
河南省郑州市新郑三中2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是( )A．（1，3）B．[1，3]C．（1，3]D．[1，3）2．设z=，则|z|=( )A．B．1 C．2 D．3．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为( )A．B．C．D．5．已知函数y=f（x），将其图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后再将它所得的图形沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，则y=f（x）的解析式是( )A．B．C．D．6．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长为2，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．7．下列函数中，既是奇函数，又是增函数是( )A．f（x）=x|x| B．f（x）=﹣x3C．f（x）=D．f（x）=8．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=( ) A．1 B．2 C．3 D．49．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i≤2011 B．i＞2011 C．i≤1005 D．i＞100510．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为( )A．B．4 C．D．11．已知函数f（x）=x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2014的值为( )A．B．C．D．12．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )A．f（a）＜f（1）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（1）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．13．已知函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且当x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）的值域是[n，m]，则m﹣n的值是__________．14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是__________．15．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．16．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是__________．三、解答题：本大题共6道题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．数列{a n}的前n项和为Pn，若（n∈N*），数列{b n}满足2b n+1=b n+b n+2（n∈N*），且b3=7，b8=22．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式a n和b n；（2）设数列c n=a n b n，求{c n}的前n项和S n．18．中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对2014-2015学年高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10[80，90）[90，100]14 0.28合计 1.00（1）填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）请你估算该年级的平均数及中位数．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．在平面直角坐标系内已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足．（I）求动点P所在曲线C的方程；（II）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且++=，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．21．设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．选修4﹣1：集合证明选讲已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN=MC（1）求证：MN=MB；（2）求证：OC⊥MN．23．已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．河南省郑州市新郑三中2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是( )A．（1，3）B．[1，3]C．（1，3]D．[1，3）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据根式函数和对数函数的性质即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，解得1＜x≤3，∴函数的定义域为（1，3]．故选：C．点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．2．设z=，则|z|=( )A．B．1 C．2 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：z==+2i=1﹣i+2i=1+i，则|z|=．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案．解答：解：当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及平面向量共线的坐标表示，属基础题．4．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为( )A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．解答：解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．点评：本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．5．已知函数y=f（x），将其图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后再将它所得的图形沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，则y=f（x）的解析式是( )A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：规律型．分析：此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与的图形沿x轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到y=f（x）的解析式，选出正确选项解答：解：由题意曲线与的图象沿x轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到y=f（x）的图形，故的图形沿x轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选D点评：本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量x的系数不是1的情况，平移时要注意平移的大小是针对于x系数是1来说的．6．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长为2，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长为2，求出a，c，即可求出该双曲线的离心率．解答：解：由题意，∵双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长为2，∴a=1，∵b=1，∴c=，∴e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．7．下列函数中，既是奇函数，又是增函数是( )A．f（x）=x|x| B．f（x）=﹣x3C．f（x）=D．f（x）=考点：奇函数；偶函数．专题：函数的性质及应用．分析：四个选项中都给出了具体的函数解析式，其中选项A是分段函数，可由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）知函数为奇函数，在分析x＞0时函数的增减性，根据奇函数的对称性进一步得到函数在整个定义域内的增减性；选项B举一反例即可；C、D中的两个函数，定义域均不关于原点对称，都不是奇函数．解答：解：由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|=当x＞0时，f（x）=x2在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x＜0时，f（x）=﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．∵2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函数f（x）=x3在定义域内不是增函数，故B不正确．∵不关于原点对称，∴f（x）=sinx在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．∵f（x）=的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）=在定义域内不是奇函数，故D不正确．故选A．点评：怕断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，若对称，由f（﹣x）=﹣f（x）知函数为定义域上的奇函数，由f（﹣X）=f（x）知函数为定义域上的偶函数；若定义域不关于原点对称，在定义域内函数是非奇非偶的．有时也可以根据函数图象的特点分析，函数图象关于原点中心对称是函数为奇函数的充要条件，关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件．8．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=( ) A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据A、M、B三点共线，可得存在实数μ使=μ成立，化简整理得=，结合已知等式建立关于λ、μ的方程组，解之即可得到实数λ的值．解答：解：∵△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，∴存在实数μ，使得=μ，即化简得=，∵=﹣2+λ，∴结合平面向量基本定理，得，解之得λ=3，μ=﹣故选：C点评：本题给出A、M、B三点共线，求用向量、表示的表达式，着重考查了平面向量的线性运算和平面向量基本定理等知识，属于基础题．9．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i≤2011 B．i＞2011 C．i≤1005 D．i＞1005考点：循环结构；数列的求和．专题：常规题型．分析：由已知中该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为2011，即小于等于2011的数满足循环条件，大于2011的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．解答：解：∵该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为2011，即小于等于2011的数满足循环条件，大于2011的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：I≤2011故选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．10．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为( )A．B．4 C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，不难得到侧视图，然后求出面积．解答：解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为面积为：2故选：D．点评：本题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题．11．已知函数f（x）=x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2014的值为( )A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的综合应用．分析：因为的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，所以利用导函数的几何含义可以求出b=1，然后利用裂项法进行求和即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，由f（x）=x2﹣bx求导得：f′（x）=2x﹣b，由导函数得几何含义得：f′（1）=2﹣b=3⇒b=﹣1，∴f（x）=x2+x则f （n ）=n （n+1），∴数列{}的通项为 ，则数列的前n 项的和即为S n ， 则利用裂项相消法可以得到：S 2014=1=1=，故选：A 点评：此题考查了导函数的几何含义及方程的思想，还考查了利用利用裂项相消法求数列的前n 项和的方法12．已知e 是自然对数的底数，函数f （x ）=e x+x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A ．f （a ）＜f （1）＜f （b ） B ．f （a ）＜f （b ）＜f （1） C ．f （1）＜f （a ）＜f （b ） D ．f （b ）＜f （1）＜f （a ）考点：对数函数图象与性质的综合应用． 专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的零点的判定定理，可得0＜a ＜1＜b ＜2，再由函数f （x ）=e x+x ﹣2在（0，+∞）上是增函数， 可得结论．解答： 解：∵函数f （x ）=e x+x ﹣2的零点为a ，f （0）=﹣1＜0，f （1）=e ﹣1＞0，∴0＜a ＜1．∵函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，g （1）=﹣1＜0，g （2）=ln2＞0，∴1＜b ＜2． 综上可得，0＜a ＜1＜b ＜2．再由函数f （x ）=e x+x ﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得 f （a ）＜f （1）＜f （b ）， 故选A ．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理，函数的单调性的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．13．已知函数y=f （x ）是偶函数，当x ＞0时，f （x ）=x+，且当x ∈[﹣3，﹣1]时，f （x ）的值域是[n ，m ]，则m ﹣n 的值是1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：应用偶函数的性质化f （x ）在[﹣3，﹣1]上的值域为f （x ）在[1，3]上的值域；从而求解．解答： 解：∵函数y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在[﹣3，﹣1]上的值域与f （x ）在[1，3]上的值域相同；而当x ＞0时，f （x ）=x+， 故f （x ）在[1，3]上的值域为[4，5]； 故m ﹣n=1． 故答案为：1．点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：利用反证法，即可得出结论．解答：解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．解答：解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．16．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题属于几何概型的概率求法，求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域对应区域为正方形，边长为2，对应的面积S=2×2=4，不等式x+y≤对应的区域如图：对应三角形OAB，当x=0时，y=，当y=0时，x=，即A（0，），B（，0），则△AOB的面积为=1，则所取的点恰好满足x+y≤的概率P=；故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出对应的图形的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6道题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．数列{a n}的前n项和为Pn，若（n∈N*），数列{b n}满足2b n+1=b n+b n+2（n∈N*），且b3=7，b8=22．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式a n和b n；（2）设数列c n=a n b n，求{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据数列的递推关系进行化简即可求数列{a n}和{b n}的通项公式a n和b n；（2）求出{c n}的通项公式，利用错位相减法进行求和．解答：解：（1）数列{b n}是等差数列，公差，b n=b3+（n﹣3）d=3n﹣2∵当n=1时，得，当n≥2时，得当n=1时，也满足上式．∴a n=（）n，n∈N•（2）由（1）知，∴c n=（3n﹣2）•（）n，n∈N•．∴S n=1•（）+4×（）2+7×（）3+…（3n﹣5）×（）n﹣1+（3n﹣2）×（）n，于是S n=1•（）2+4×（）3+7×（）4+…（3n﹣5）×（）n+（3n﹣2）×（）n+1，②两式①﹣②相减得S n=+3[（）2+（）3+（）4+…+（）n]﹣（3n﹣2）×（）n+1═+3[]﹣（3n﹣2）×（）n+1=﹣（3n+2）×（）n+1，∴S n=﹣（3n+2）×（）n点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和，要求熟练掌握错位相减法法在数列求和过程中的应用．18．中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对2014-2015学年高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10[80，90）[90，100]14 0.28合计 1.00（1）填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）请你估算该年级的平均数及中位数．考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率分布直方图直接填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，即可标出每个小矩形对应的纵轴数据；（2）利用频率分布直方图以及分布表，即可估算该年级的平均数及中位数．解答：解：（1）分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10 0.2[80，90）16 0.32[90，100]14 0.28合计50 1.00（2）设所求平均数为，由频率分布直方图可得：所以该年级段的平均分数约为81．设中位数为X，依题意得0.04+0.16+0.2+0.032×（x﹣80）=0.5解得x=83.125点评：本题考查频率分布直方图以及分布表的应用，考查平均数以及中位数的计算，考查计算能力．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C 中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．解答：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面AB1C，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴V C﹣BC1D=V C1﹣BCD=••6=9．点评：本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．20．在平面直角坐标系内已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点，且满足．（I）求动点P所在曲线C的方程；（II）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且++=，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：向量与圆锥曲线．分析：（I）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程．（II）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论．解答：解：：（I）依据题意，有=（x+1，y），=（x﹣1，y），∵，∴x2﹣1+2y2=1，∴动点P所在曲线C的轨迹方程是+y2=1．（II）因直线l过点B，且斜率为k=﹣，故有l：y=﹣（x﹣1）．联立方程组，得2x2﹣2x﹣1=0．设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=．又++=，点G与点H关于原点对称，于是，可得点H（﹣1，﹣）、G（1，）．若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y﹣=（x﹣），l2：y=﹣x．联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（，﹣）．因此，可算得|O1H|==，|O1M|==．所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（，﹣），半径为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键，属于难题．21．设f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣1．（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x≥1时，f（x）﹣mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）由题意h（x）=xlnx﹣x2+1，二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的单调区间；（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），对其二阶求导以确定导数的正负，从而求函数的最值，将恒成立问题化为最值问题，从而求解．解答：解：（1）h（x）=xlnx﹣x2+1h′（x）=lnx+1﹣2x令t（x）=lnx+1﹣2x t′（x）=﹣2=∴t（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴t（x）≤t（）=﹣ln2＜0，即h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）令F（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），则F′（x）=lnx+1﹣2mx，令G（x）=lnx+1﹣2mx，则G′（x）=﹣2m，①当m≥时，∵x≥1，∴≤1，∴﹣2m≤0，即G′（x）≤0；∴G（x）在[1，+∞）上单调递减，∴G（x）≤G（1）=1﹣2m≤0，即F′（x）≤0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴f（x）﹣mg（x）≤0，∴m≥符合题意；②当m≤0时，显然有F′（x）=lnx+1﹣2mx≥0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；③当0＜m＜时，令G′（x）=﹣2m＞0解得：1＜x＜，G′（x）=﹣2m＜0解得：x＞；∴G（x）在[1，]上单调递增，∴G（x）≥G（1）=1﹣2m＞0，即F′（x）＞0；∴F（x）在[1，]上单调递增；∴当x∈（0，）时，F（x）＞F（0）=0，即f（x）﹣mg（x）＞0，不符合题意；综合①②③可知，m≥符合题意，∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用，难在二阶求导以判断函数的单调性与最值，同时考查了恒成立问题化成最值问题的处理方法，属于难题．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．选修4﹣1：集合证明选讲已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN=MC（1）求证：MN=MB；（2）求证：OC⊥MN．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）连结AE，BC，根据直径所对的圆周角是直角，得∠AEB=90°，根据等量代换得∠MBC=∠MCB，最后利用三角形的性质即可得出MB=MC，从而得到MN=MB；（2）设OC∩BE=F，根据OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，再由（1）知，∠MBC=∠MCB，等量代换得∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°即可证出结论．解答：证明：（Ⅰ）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC，∴MN=MB．…（Ⅱ）设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．…点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、圆的性质的应用等基础知识，考查化归与转化思想．属于基础题．23．已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．考点：参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用三角函数的平方关系式，将曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线AB的方程，代入，可得3x2﹣4x=0，即可求出|AB|的长度；（Ⅱ）直线参数方程代入，A，B对应的参数为t1，t2，则|PA|•|PB|=﹣t1t2，即可求出|PA|•|PB|的范围．解答：解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C的普通方程为．当θ=时，直线AB的方程为，y=x﹣1，代入，可得3x2﹣4x=0，∴x=0或x=∴|AB|=•=；（Ⅱ）直线参数方程代入，得（cos2θ+2sin2θ）t2+2tcosθ﹣1=0．设A，B对应的参数为t1，t2，∴|PA|•|PB|=﹣t1t2==∈[，1]．点评：本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，只须m大于等于φ（n）的最大值即可，从而求出实数m的取值范围．解答：解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3，∴a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2=∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，利用分段函数化简函数表达式是解题的关键．。
河南省2017届高三下学期质量检测文科数学试题含答案
河南省高三质量检测考试数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(4)0},{|}A x Z x x B x x a =∈+-<=≤，若A B B =，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数3(2)(2)z i a i =++在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知向量(,2),(2,1)a m b ==-，且a b ⊥，则2()a b a a b -⋅+等于（ ）A ．53- B ．1 C ．2 D ．545. 4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ）A ．13-B ．13 C ．23 D ．23- 6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．97. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．8. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e -=-⋅- B ．()1x y f x e -=⋅+ C ．()1x y f x e -=⋅- D ．()1xy f x e-=-⋅+9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．14310. 函数()sin()(0,)2f x A wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个单位后得到函数的图象，若函数()g x 在区间[,]()33ππθθ->-上的值域为[]1,2-，则θ等于（ ）A ．6π B ．4πC ．23πD ．712π11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13 B ．25C ．5D ．312. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为 ．14. 已知实数,x y 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为 ．15在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积为22,()tan 8S a b C S +=，则222sin sin sin A BC+= ． 16.若函数()2(1)()xf x x ax a e a N =-++∈在区间(1,3)只有1个极值点，则曲线()f x 在点(0,(0))f 处切线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前()n n N +∈项和为3,3n S a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，13152,1b b a λ==+.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前()n n N +∈项和为n T ，且()12n n S c π+=，求n T .18. （本小题满分12分）某校100名学生其中考试语文成绩的频率分布直方图所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90.100.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，//,,AD BC AB AC AB AC ⊥==E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ； （2）若PBC ∆的面积是梯形ABCD 面积为43，求点到平面PBC 的距离.20. （本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点. （1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a a R =-∈与函数2()F x x x=+有公切线. （1）求a 的取值范围；（2）若不等式()2xf x e a +>-对于0x >的一切恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0)a >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=- （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13,()2f x x x g x a x =++-=--.（1）若关于x 的不等式()()g x g x <有解，求实数的取值范围； （2）若关于x 的不等式()()g x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值.试卷答案一、选择题1-5DCDBC 6-10 BAABD 11、C 12：C二、填空题13.71014. 5 15. 2 16. 6y x =+ 三、解答题17. 解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且12232()3a a a a a λ+==， ① 所以2123,3a a a a λ=+==， ②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得121,2a a ==，所以,2n a n λ==，所以134,16b b ==，则12n n b +=.（2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++. 18.解：（1）由题意得2100.01100.03100.02101a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.005a =，（2）由0.05550.4650.3750.2850.059573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由频率分布表可知：数学成绩在[)50,90的人数为：145(0.050.40.30.2)10090234+⨯+⨯+⨯⨯=， 于是，数学成绩在[)50,90之外的人数为：1009010-=. 19. 证明：因为,AB AC AB AC ⊥=，所以C ，因为底面ABCD 是直角梯形，090,//ADC AD BC ∠=， 所以045ACD ∠=，即AD CD =，所以2BC AD ==，因为2,2AE ED CF FB ==，所以23AE BF AD ==. 所以四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF , 所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PAAC A =，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC . （2）因为PA ⊥底面ABCD ，且AB AC =，所以PB PC =， 取BC 的中点为G ，连接AG ，则,1AG BC AG CD ⊥==，设PA x =，连接PG ，则PG =因为侧面PBC 的面积是底ABCD 面的13倍，所以1412(12)232PG ⨯⋅=⨯⨯+，即2PG =，求得x = 因为//AD BC ，所以E 到平面PBC 的距离即是A 到平面PBC 的距离， 因为,2A PBC P APC ABC APC V V S S --∆∆==，所以E 到平面PBC 的距离为122PA =.20. 解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程2200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以20,14M N M N y y y y y y +==- ，2M N MN y y =-===（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)x my n P x y Q x y =+，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my n --=. 12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =又2024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =， 此时224y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =. 21.解：（1）()()212,1f x F x x x''==-，因为函数()f x 与()F x 有公共切线，所以函数()f x 与()F x 的图象相切或无交点， 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为00(0)x x >，则0020012()()1f x F x x x ''===-， 解得02x =或01x =-（舍去）， 则()()22f F =，得ln 23a =-，数形结合，得ln 23a ≥-，即a 的取值范围为[ln 23,)-+∞. （2）等价于ln 20x x a e ax ++--≥在(0,)x ∈+∞上恒成立， 令()ln 2g x x x a e ax =++--，因为()ln 1g x x a '=+-，令()0g x '=，得ae x e=，所以()g x 的最小值为()(1)22a a a ae e e e g a a e a a e e e e e =-++--=+--， 令()2x e t x x e e =+--，因为()1xe t x e'=-，令()0t x '=，得1x =，且所以当(0,1)a ∈时，()g x 的最小值()()1(2)1020e e t a t e e e-->=--=>， 当[1,)a ∈+∞时，()g x 的最小值为()()202ae t a ae t e=--≥=， 所以[]1,2a ∈，综上得a 的取值范围是(0,2].22.（1）由cos()4πρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-，化成直角坐标方程，得()2x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离2cos()4d t π===+， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 1d =. （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>- （其中2an aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故的取值范围为(0,.23.解：（1）当2x =时，()2g x a x =--取得最大值为a ，因为()134f x x x =++-≥，当且仅当()13,x f x -≤≤取最小值4， 因为关于x 的不等式()()g x g x <有解，所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞.（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， 所以当2x <时，()922g x =+， 令()942g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-， 所以12b =-，则6a b +=.。
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2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n项和为S n，则S2017=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2017）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解． 【解答】解：∵A=2B ， ∴sinA=sin2B=2sinBcosB ，∵b=a ，∴由正弦定理可得： ===2cosB ，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos 2B ﹣1=．故答案为：．16．在△ABC 中，∠A=，O 为平面内一点．且||，M 为劣弧上一动点，且．则p +q 的取值范围为 [1，2] ．【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r ，对=p+q两边平方，建立p 、q 的解析式，利用基本不等式求出p +q 的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC 中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r ，则O 为△ABC 外接圆圆心；∵=p +q ，∴==r 2，即p 2r 2+q 2r 2+2pqr 2cos =r 2，∴p 2+q 2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，（2）化简b n根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n}的前n项和S n，利用裂项相消法求出S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，（2）b n====（﹣），∴S n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h （x）在[﹣1，1]上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h （a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[﹣1，1]上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈[1，2]，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2017年5月23日。