27.2.3相似三角形应用举例(1)

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人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例测量金字塔高度、河宽问题教学设计

-引导学生通过画图、列式和计算，掌握测量金字塔高度的方法。
-类似地，介绍如何利用相似三角形测量河宽等问题。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：组织学生进行小组讨论，共同探讨相似三角形在测量问题中的应用，并分享解题方法。
2.教学过程：
-将学生分成若干小组，每组选择一个测量问题进行讨论，如测量金字塔高度、河宽等。
-帮助学生梳理解决实际问题的步骤和思路。
6.课后作业：
-设计具有实际背景的测量问题，让学生课后独立完成。
-鼓励学生将所学知识运用到生活中，发现生活中的数学问题。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以埃及金字塔为背景，引导学生思考如何测量金字塔的高度。通过展示图片和实际案例，激发学生对相似三角形应用的好奇心。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-理解并掌握相似三角形在测量问题中的应用。
-学会运用相似三角形的性质进行实际问题的计算和分析。
2.教学难点：
-将相似三角形的理论知识与实际问题相结合，解决具体测量问题。
-在实际问题中，正确识别和运用相似三角形的条件，进行有效计算。
（二）教学设想
为了突破重难点，本节课将采用以下教学策略和方法：
人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例测量金字塔高度、河宽问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课是关于相似三角形的应用举例，通过学习，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的性质及其应用，能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
2.学会使用测量工具（如测高仪、皮尺等）进行实地测量，并能结合相似三角形的知识计算出实际问题的答案。
2.教学过程：

27.2.3相似三角形的周长与面积

27.2.3相似三角形的周长与面积（一）基本内容：1. 相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等.（2）周长比等于相似比.（3）面积比等于相似比的平方.2. 相似多边形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等.（2）周长比等于相似比.（3）面积比等于相似比的平方.（二）例题分析：例 1. （易）已知：如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B 1C 1＝24 cm ，求BC 、AC 、A 1B 1、A 1C 1.解析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以解决.解：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1， ∴111C B A ABC 1111C C C B BC B A AB ∆∆==. 又∵AB ＝15 cm ，B 1C 1＝24 cm ，C △ABC =60 cm ，C △A1B1C1=72 cm ， ∴726024BC B A 1511==. ∴A 1B 1＝18 cm ，BC ＝20cm .∴AC=60-15-20=25 cm ，A 1C 1=72-18-24=30 cm .总结：相似三角形周长的比等于相似比，实际上一般都转化成相似三角形周长的比等于对应边的比来计算，另外要注意有些边长可以直接利用三边和等于周长来解决.例 2 . （中）有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解析：要理解实际地块与两个图都是相似图形，利用比例尺求出相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出面积比.解：设原地块为△ABC ，地块在甲图上为△A 1B 1C 1，在乙图上为△A 2B 2C 2.∴ △ABC ∽△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且200111=AB B A ，500122=AB B A . ∴252005002211==B A B A . ∴425)25(2222111==∆∆C B A C B A S S . 答：甲地图与乙地图的相似比为25，面积比为425. A B C B 1 C 1 A 1总结：（1）要清楚比例尺=图距：实距，是指对应线段长度之间的比，不等于面积比；（2）相似的传递性可以直接应用；（3）相似三角形面积比等于相似比的平方在具体应用时一般都转化为相似三角形面积比等于对应边比的平方.例3．（难）如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解析：把所需正方形按题中所述要求画出，发现利用相似三角形对应高的比等于相似比能较快地解决问题.解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件. 边QM 在BC 上，顶点P 、N 分别在AB 、AC 上. △ABC 的高AD 与边PN 相交于点E. 设正方形的边长为x 毫米.∵四边形PQMN 是正方形，∴PN ∥BC .∴△APN ∽△ABC ，△APE ∽△ABD . ∴BC PN AB AP =,ADAE AB AP = ∴BCPN AD AE =. ∴1208080x x =-. 解得：48=x （毫米）. 答：加工成的正方形零件的边长为48毫米.思考：若把例3中的三角形余料，加工成矩形，且PN=2PQ 时，PN 是多少？提示：设PQ=x ，则PN=2x . 由BC PN AD AE =可得12028080x x =- 解得：7480=x ∴PN=7480（毫米）（三）思考与提高：（难）如右上示意图，小华家（点A 处）和公路（l ）之间竖立着一块35m 长且平行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家到公路的距离（精确到1m ）．A B C D。

(课件) 27.2.3相似三角形应用举例1

求旗杆高度的方法:
因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用
旗杆的高度和影长组成的三
角形
人身高和相似于影长组成
的三角形
再利用相似三角形对应边成比例
来求解.
１、旗杆的高度
是线段
；
旗杆的高度与它
的影长组成什么
三角形？（）
这个三角形有没
有哪条边可以直
接测量？
Ａ 6m
c
8m
2、人的高度与它的
1、校园里有一棵大树，要测量树的高度，你有什么方法？
2、在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时测得一栋楼的影长为90 米，这栋楼的高度是多少？
3、为了测量一棵树的高度，小林把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
作业
• 1.课堂作业：课本P43：8、9题； • 2.家庭作业：《配套练习》P37—38页.
人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰
学习目标
1.熟练掌握相似三角形的判定和性质； 2.能灵活运用相似三角形的判定和性质
解决实际问题.
相似三角形的判定方法有哪几种？ 1.定义法：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似。
2.平行法：平行于三角形一边，与另外两边（或两边的延长线)相交所构成的三角形与三角形相似。
3.(SSS)三边对应成比例的两三角形相似.
4.(SAS)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
5.(AA)两角对应相等的三角形全等.
6.(HL)斜边和一直角边对应成比例的两三角形全等.

27.2.3 相似三角形应用举例

27.2.3相似三角形应用举例1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高实践能力.2.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.3.学会在具体的情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.1.通过积极参加数学探究活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活密切联系.2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.3.积极参与课堂活动,勇于质疑,养成认真思考的学习习惯,形成实事求是的科学态度.4.培养学生的合作交流意识,培养学生主动探索,敢于实践,勇于发现的科学精神.【重点】利用相似三角形的性质解决高度测量问题.【难点】将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题.第课时1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.1.经历动手作图的过程,提高学生将实际问题转化为数学问题,以及用相似三角形解决问题的能力.2.把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论.1.在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.3.积极参与课堂活动, 在活动中使学生积累经验,感受成功的喜悦,激发学生学习数学的热情与兴趣.【重点】利用相似三角形的性质解决高度测量问题.【难点】将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P39~40.导入一:【复习提问】(1)什么是相似三角形及相似比?(2)判定三角形相似的方法有哪些?(3)相似三角形的性质是什么?【师生活动】学生回答问题,教师点评.导入二:胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,边长约为230米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?【师生活动】学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的?初步了解本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字塔的高度问题引入课题.[设计意图]以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.【问题】如何测量操场上旗杆的高度?思路一【思考】(1)在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系?(2)在操场上竖立一根长1米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长.(太阳光线看作是平行的)(3)通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗?【师生活动】学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视过程中帮助有困难的学生.解:如图所示,测得同一时刻旗杆的影长AB=a,标杆的影长为EF=b.由题意可得∠B=∠F=90°,AC∥DE,∴∠A=∠E,∴△ABC∽△EFD,∴=,∴BC=.【归纳】在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例.【追问】你还有其他方法求旗杆的高度吗?思路二【小组讨论】用什么方法可以测量操场旗杆的高度?【师生活动】学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路,教师归纳测量的方法.(1)升降旗杆上有绳子,测量升降旗杆上的绳子长度算出旗杆的高度.(2)因为太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长,根据相似三角形的性质可求出旗杆的高度.(3)在旗杆和人之间放一面镜子,移动镜子的位置,使人能看到旗杆顶端在镜子中的像,根据入射角等于反射角,利用三角形相似求出旗杆的高度.(4)将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆高度,利用三角形相似求出旗杆的高.……用三角形相似可以求旗杆的高度,常用的方法有:【课件展示】(1)如图所示,同一时刻物高与影长构成直角三角形.(2)如图所示,利用平面镜构造直角三角形.(3)如图所示,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.[设计意图]解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是在教师问题的引导下,学生进行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,然后归纳结论.思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量旗杆高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力.呢?(教材例4)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图所示,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.【教师引导分析】(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗?(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得三角形相似)(2)如何求OA的长?(金字塔的影子是等腰三角形,则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)(3)写出你的求解过程.【师生活动】学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评.解:太阳光线是平行光线,因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°,∴△ABO∽△DEF.∴=,∴BO===134(m).因此金字塔的高度为134 m.(教材例5)如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河岸垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据求河宽PQ.〔解析〕(1)图中的两个三角形是不是相似三角形?(由∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P可得△PQR∽△PST)(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段?(3)能不能用方程思想解出PQ的值?=,即PQ×90=(PQ+45)×60,可解得PQ的值【师生活动】学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,学生代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范解答过程.解:∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,∴△PQR∽△PST.∴=,即=,=,PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90(m).因此,河宽大约为90 m.【追问】你还有其他的测量河宽的方法吗?【师生活动】学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以.如下图也可以应用相似三角形性质测量河宽.[设计意图]通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力和发散思维能力.[知识拓展]利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;④检验并得出答案.1.测量不能直接测量的物体的高度:通常用同一时刻物高与影长成比例解决.2.测量不能直接测量的两点间的距离:通常构造直角三角形相似求解.1.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米,如图所示,然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为()A.10米B.12米C.15米D.22.5米解析:在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.因此标杆的高标杆的影长=楼高楼的影长,即=楼高,∴楼高=10(米).故选A.2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,窗户的高在教室地面上的影长MN=2米,窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M,N,C在同一直线上),则窗户的高度AB为()A.米B.3米C.2米D.1.5米解析:∵BN∥AM,∴∠AMC=∠BNC=30°,又∵∠C=90°,BC=1米,∴BN=2米,CN=米,∴CN∶CM=BC∶AC,∴=,解得AC=3(米),∴AB=AC-BC=2米.故选C.3.如图所示,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM 的长为米.解析:根据题意,易得△MBA∽△MCO,根据相似三角形的性质可知=,即=,解得AM=5(米).则小明的影长为5米.故填5.4.如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110米,DC=55米,EC=52米,求两岸间的大致距离AB.解:∵AB⊥BC,EC⊥BC,∴∠ABC=∠BCE=90°,又∵∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△ECD,∴=,=,解得AB=104.答:两岸间的大致距离AB为104米.第1课时1.求旗杆的高度2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第43页习题27.2第8题.【选做题】教材第43页习题27.2第10题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米,一棵大树的影长为5米,则这棵树的高度为()A.1.5米B.2.3米C.3.2米D.7.8米2.如图所示,身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为()A.4.8 mB.6.4 mC.8 mD.10 m3.如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是()A.mB.mC.mD.m4.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24 mB.MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM∶MA=1∶25.如图所示,已知小明在打网球时,要使球C恰好能打过网DE,而且落在离网5米的位置上,则球拍击球的高度h应为m.6.如图所示,已知零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10 mm,则零件的厚度x=mm.7.如图所示,为了测量一个大峡谷的宽度AO ,地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O ,再在他们所在的这一侧选点A ,B ,D ,使AB ⊥AO ,DB ⊥AB ,然后确定DO 和AB 的交点C ,测得AC =120 m,CB =60 m,BD =50 m,请你帮助他们算出峡谷的宽AO.【能力提升】8.一高1 m 的油桶内有一定量的油,为了测出桶内油的深度,用一根长1.2 m 的木棒从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端正好到小口,抽出棒,量得棒上浸油部分长0.45 m,则桶内油的深度为 .9.如图所示,已知有两堵墙AB ,CD ,AB 墙高2米,两墙之间的距离BC 为8米,小明将一架木梯放在距B 点3米的E 处靠向墙AB 时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E 旋转90°靠向墙CD 时,木梯刚好到达墙的顶端,则墙CD 的高为 .10.王芳同学利用下面的方法测量学校旗杆的高.如图所示,在旗杆的底部B 引一条直线BM ,在这条直线适当的位置E 处放一面镜子,当她沿着这条直线走到点D 处时恰好在镜子中看到旗杆的顶端A ,又测得BE =18米,ED =2.4米,已知王芳的眼睛到地面的高度CD =1.6米,求旗杆AB 的高.【拓展探究】11.将△ABC 纸片按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B',折痕为EF.已知AB =AC =6,BC =8. (1)求△ABC 的周长;(2)若以点B',F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,求BF 的长.【答案与解析】1.C(解析:设树高为x 米,因为人的身高人的影长=树的高度树的影长,所以=,解得x =3.2.故选C .)2.C(解析:因为人和树均垂直于地面,所以和光线构成的两个直角三角形相似,设树高x m,则 =,即 =,∴x =8.故选C .)3.C(解析:∵AB ∥CD ,∴△PAB ∽△PCD ,∴AB ∶CD =P 到AB 的距离∶P 到CD 的距离.∴2∶5=P 到AB 的距离∶3,∴P 到AB 的距离为m .故选C .)4.D(解析:∵M,N分别是AC,BC的中点,∴MN∥AB,MN=AB,故选项B正确.∵MN=12m,∴AB=2MN=2×12=24(m),故选项A正确.∵MN∥AB,∴△CMN∽△CAB,故选项C正确.∵M是AC的中点,∴CM=MA.∴CM∶MA=1∶1,故选项D错误.故选D.)5.2.7(解析:如图所示,DE∥BC,∴△ADE∽△ACB,即=,则=,∴h=2.7(m).故填2.7.)6.2.5(解析:∵两条尺长AC和BD相等,OC=OD,∴OA=OB,∵OC∶OA=1∶2,∴OD∶OB=OC∶OA=1∶2,∵∠COD=∠AOB,∴△AOB∽△COD,∴CD∶AB=OC∶OA=1∶2,∵CD=10 mm,∴AB=20 mm,∴2x+20=25,∴x=2.5.故填2.5.)7.解:∵AB⊥AO,DB⊥AB,∴∠A=∠B=90°,又∠ACO=∠BCD,∴△ACO∽△BCD,∴=,∵AC=120 m,BC=60m,BD=50 m,∴=,解得AO=100(m),即峡谷的宽AO是100 m.8.m(解析:如图所示,∵CD∥BE,∴△ACD∽△ABE,∴=,∴=-,∴-=-,解得DE=(m).故填m.)9.7.5米(解析:∵∠AED=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,又∵AB和CD都垂直于BC,∴∠ABC=∠C=90°,∴∠DEC+∠D=90°,则∠AEB=∠D,∴△ABE∽△ECD,∴=,即-=,解得CD=7.5(米).)10.解:如图所示,过点E作镜面的垂线EF,由光学原理得∠AEF=∠CEF.∵∠DEC=90°-∠CEF,∠BEA=90°-∠AEF,∴∠DEC=∠BEA,又∵∠CDE=∠ABE=90°,∴△CDE∽△ABE,∴=,即=,解得AB=12(米).答:旗杆AB高为12米.11.解:(1)∵AB=AC=6,BC=8,∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20. (2)①∵以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC 相似,∴△B'FC∽△ABC,∴B'F∶AB=FC∶BC,即BF∶6=(8-BF)∶8,解得BF=.②∵以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,∴△FB'C∽△ABC,∴B'F∶AB=FC∶AC,即BF∶6=(8-BF)∶6,解得BF=4.综上所述,BF的长为或4.本节课在富有故事性的情景中导入新课,激发学生的学习兴趣,再从我们身边的测量旗杆的高度、河的宽度的问题出发,注重数学与生活之间的联系,利用身边生活实际,通过提出问题、解决问题、总结归纳,让学生成为学习活动的参与者、探索者和创造者.在探究过程中,从实际出发,以小组合作交流的形式,采用问题情景——建立模型——应用拓展的模式展开,培养学生应用数学解决实际问题的能力,同时通过多种方法探究旗杆的高度和河的宽度,学生思维活跃,积极思考,课堂气氛活跃,培养了学生从多个角度思考问题的能力及发散思维能力.本节课主要是让学生学会运用三角形相似解决实际问题,在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,但是在进行测量旗杆的高度时,为了培养学生从多个角度思考问题,让学生探索不同方法用时太多,造成后面例题的分析有些仓促,学生思考、交流时间过短,在以后的教学中,可以把用不同方法测量旗杆的高度作为课前预习内容思考.本节课从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式,因此将大部分的时间交给学生,让他们充分动手寻找解决问题的办法,增强数学学习的自信心,实现数学知识解决实际问题的价值.练习(教材第41页)1.解:设这栋楼的高度为x m,根据题意得=,解得x=54.2.解:由图得AB⊥BC,EC⊥BC,∴∠B=∠C=90°.∵∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD,∴=,∴=,解得AB=100.故河宽AB为100 m.(1)本节课的重点是相似三角形的应用,在实际生活中,相似知识应用广泛,要善于运用数学知识把实际问题抽象为数学模型问题,而建立数学模型的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题,转化的方法之一是画示意图,在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系,进而形成解题思路.因此在教学设计中突出了“审题——画示意图——明确数量关系——解决问题”的数学建模过程,提高学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力,同时学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中,探究解决问题的方法,这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣.(2)相似三角形的应用是在学生学习了相似三角形的基本知识的基础上学习的,是相似三角形知识的应用、延伸与拓展,是将相似三角形与实际生活相结合的应用性问题,数学教学活动应该考虑建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上,激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.让学生真正成为数学学习的主人,让数学学习活动成为一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.如图(1)所示,测量电线杆AB的高度,发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4 m,BC=10 m,CD与地面成30°角,且此时测得1 m高的标杆的影长为2 m,则电线杆的高度为多少米?解:如图(2)所示,延长AD交BC于点F,过点D作DE⊥BC于E,由题知DE∥AB,∴△EDF∽△BAF,∴=,在Rt△DEC中, CD=4,∠DCE=30°,∴DE=2,由勾股定理可得CE=2,由题知=,∴EF =4,∴=,∴AB=7+(m).答:电线杆的高度为(7+)m.。

(完整版)相似三角形应用举例.doc

课题27.2.3 相似三角形应用举例（一）课型新授课授课时间教师教学多媒体媒体能熟练利用相似三角形的判定定理和性质解决实际问知识技能方面题。

体会在“测高”的过程中，运用建立相似三角形模型的教学数学思考目标方面数学建模思想。

能认真观察图形，找出实际问题中的相似三角形模型并问题解决方面解决简单的实际问题。

提高分析论证的能力。

教学重点利用相似三角形解决问题教学难点准确、合理地建立相似三角形模型解决实际问题自主探索与合作交流相结合。

引导学生认真观察图形，分析实际问题中的数量关系并正确建立相似三角形模型。

教学中注意尊重学生学法指导的主体地位，鼓励学生充分动手操作，演示，猜测，证明及计算。

帮助学生更好地体会数学建模的数学思想方法。

教学方法情境式教学法、探究式教学法课时1 课时安排教学过程设计设计教学程序及教学内容师生行为意图创如图，小区门口的栏杆短臂长1m，长臂长 16m，当短臂端点下降 0.5m 时，设学生独立长臂端点升高 ______m。

情分析、解决问由简单境题。

的相似三角请学生指形在实际问题中的应用出哪两个三角入手，让学揭形相似，如何证生感知相似示得，最后如何利三角形的知在实际生活中，我们测量高度时，经识贴近生课常要借助相似三角形。

用相似三角形活。

题揭示课题—— 27.2.3 相似三角形的的性质解决问应用举例。

题。

测一、常识认知量同一时刻，物体在太阳光下的影子与旗物体的高度之间的比是固定的。

杆二、思考探索每周我们都要举行升旗仪式，每次看着国旗迎风飘扬，我们的爱国之情便会由心而生。

你能测得旗杆的高度吗？（一）构造相似三角形。

利用身高，人影与杆影求得旗杆高度。

学生独立思考后以小组合作交流方式交换意见，并寻求解决测方案。

量问题 1：两个三角形相似吗？如何证旗得？杆问题 2：如何利用两个相似三角形计算旗杆高度呢？（二）利用标杆，测旗杆高度。

探索方法问题 1：给出标杆高度和人眼离地面的距离，你能计算FH的长度吗？问题 2：这种方法与第一种方法有什一方面为后续相似三角形的实际应用做知识储备。

27.2.3相似三角形的性质(4)#

A
求证：（1）
AN —— AM
=
ON —— OM
（2） DN = NE
N
D
E
O
B
M（图4） C
例2：如图，已知：△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于O，AO及其延长线与DE、BC分别交于N、M。
A
求证：（1）
AN —— AM
=
ON —— OM
（2） DN = NE
N
D
E
O
B
M（图4） C
例2：如图，已知：△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于O，AO及其延长线与DE、BC分别交于N、M。
BD : DC=1 : 2
求：BF : FE
E F
B D
C
K
例3：如图，已知：△ABC中， AD与BE相交于F，且AE=EC， BD : DC=1 : 2 求：BF : FE
F
B
K
D
A E C
例3：如图，已知：△ABC中， AD与BE相交于F，且AE=EC，
BD : DC=1 : 2
A
求：BF : FE
AG分别交中线BE于F、H，
A
点D、G是BC的三等分点。
求：BF : FH : HE E
F
H
B
D
G
C
练习1：已知：△ABC中，AD、
AG分别交中线BE于F、H，
A
点D、G是BC的三等分点。
求：BF : FH : HE E
F
H
B
D
G
C
练习1：已知：△ABC中，AD、
AG分别交中线BE于F、H，
A
点D、G是BC的三等分点。

27.2.3相似三角形应用举例

A
B
D
E
C
知识要点
测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。
练习3
1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在
河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每
隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15
米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线
杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵
树之间还有三棵树，则河宽为
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题
老师寄语
▪ “我乐观，因为我们还是有希望的，只要有希望，就有明天！
▪ 我坚持，因为我们还是可进步的，只要有进步，就有未来！”
▪ 请记住这句话，同学们“无可救药的乐观，死去活来的坚持！
A
C
B
D
E
挑战自我
1、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，
边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加
工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，
其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方
形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。
= 134
练习1
1、在同一时刻物体的高度与它的影长
成正比例，在某一时刻，有人测得一高
为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼
的影长为60米，那么高楼的高度是多少
米？解:设高楼的高度为X米，则
1 .8 x 3 60
x 6 0 1 .8 3
x 36
答:楼高36米.
2.小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为米．

27.2.3相似三角形应用举例PPT课件

又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°， ∴△OAB∽△O′A′B′. ∴OB∶O′B′＝AB∶A′B′.
∴OB＝ ABOB 2741 137
AB
2
答:金字塔高为137米．
（米）
例2. 在△ABC中，AC=4,AB=5，D是AC 上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,试写出y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像.
一、回顾与复习
（一）相似三角形的判定
1.两角对应相等的两个三角形相似. 2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似.
（二）相似三角形的性质
1.对应角相等，对应边成比例. 2.对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.（相似形中的对应线段） 3.周长的比等于相似比 . 4.面积的比等于相似比的平方 .
二、探索与应用
例1. 如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′ 与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度 OB．如果O′B′＝1m，A′B′＝2m，AB＝274m，求金字塔的高度OB.
解：∵太阳光是平行光线， ∴∠OAB＝∠O′A′B′．
三、思考与演练
1、在△ABC中，BC=a，DE∥BC，交
AB于E，交AC于D，SADE S梯形BCDE
求DE的长度.
A
E
D
B
C
A
D
2.已知:四边形ABCD
中,AC平分∠BCD,
∠D= ∠BAC.、布置作业
课本58页第11----12题

27.2.3 相似三角形的应用举例(1)

巩固提升
1.小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度 DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。
巩固提升
2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m。
B
16m
？8
0.5m
C ┛
1m
O
┏
D
A
3.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使 AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
2.4m
A 5m
E
┏ 0.8m D 10m
C
？
┏
B
6、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
（分析：如图，要想求厚度x，根
O
据条件可知，首先得求出内孔直径
A
B
D
ELeabharlann C4、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸
边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线
杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相
邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两
棵树之间还有三棵树，则河宽为
米．
5. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)

27.2.3_相似三角形应用举例

解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC
A
AB BC DE CE
D
AB 30
AB 40 1 .5 2
E
C
B
答:塔高30米.
3.如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.
方法二利用平面镜反射
A
C 1.6m D 2.8m E
8米 B
例题
古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度。
B E 2m O 201 m 3m D
A(F)
解：太阳光是平行线，因此∠BAO= ∠EDF 又 ∠AOB= ∠DFE=90° ∴△ABO∽△DEF BO OA = EF FD OA· EF 201×2 BO = FD = 3 = 134
1.2m 2.7m
4:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定
一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC 和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
A
B
D
C E
解：因为 ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，所以 △ABD∽△ECD，
120 60 50
AB BD 那么 EC DC
BD EC 120 50 解得 AB 100(米 ) DC 60
答：两岸间的大致距离为100米．

数学人教版九年级下册27.2.3相似三角形应用举例_测量(金字塔高度、河宽)

27.2.3相似三角形应用举例（1）测量(测量金字塔高度、河宽)潮阳区棉城中学黄秋生一、教学目标1.进一步巩固相似三角形的知识．2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．二、重点、难点1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．三、教学过程（一）复习回顾相似三角形的判定（1）定义.（2）预备定理：通过平行线.（3）三边成比例的两个三角形相似.（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（5）两角分别相等的两个三角形相似.相似三角形的性质（1）对应边成比例，对应角相等.（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等于相似比.（3）相似三角形对应线段的比等于相似比.（4）相似三角形周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.（二）知识新授活动一：知识抢答：师生共同探究：怎样测量旗杆的高度？作为新课铺垫新知探究：例1（测量金字塔高度问题）：例4.据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．活动二请设计一个利用相似来测量河宽的方案学生在小组内讨论交流，老师给出八年级全等三角形课后的一道题目提示学生，通过构造全等三角形测量出池塘两岸相对两点间的距离，类似的，能否构造相似三角形来测量河的宽度（测量河宽问题）例5．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已知测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，请根据这些数据,计算河宽PQ．教师问：还可以用什么方法来测量河的宽度？学生在黑板上展示讲解解法二：如图构造相似三角形教师及时总结：（三）方法总结1. 相似三角形的应用主要有两个方面：（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。

27.2.3 相似三角形应用举例(1)

即 x 60 ． x 45 90
PQ 90 (PQ 45) 60
再解x的方程可求出
90m
河宽．
广东省怀集县马宁镇初级中学
90
苏志朝
练一练
1、如图，测得BD=120m， DC=60m,EC=50m, 求河宽 AB.
解：Q ADB EDC, ABC ECD 900
ABD∽ECD
AB BD 即 AB 120 EC CD 50 60
E
∴ △ABE ∽ △DCE
AB CD
AE
ED∴
C
D
AB
CD∴EDAE
5 12 3
20
因此A、B两点间的距离为20m。
广东省怀集县马宁镇初级中学
苏志朝
四、归纳小结
利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题．
广东省怀集县马宁镇初级中学
苏志朝
广东省怀集县马宁镇初级中学
苏志朝
例题4 知识点一：利用相似求金字塔高度
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.
广东省怀集县马宁镇初级中学
苏志朝
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3m，
因此，金字塔的高为134米.
广东省怀集县马宁镇初级中学
苏志朝
1、如图所示阳光从教室的窗户射入室内
，窗户框AB在地上的影长DE＝1.8m，
窗户下檐距地面的距离BC＝1m，
EC=1.2m，求窗户的高AB.
练一
解：
∵太阳光线是平行光线,
练 ∴∠A=∠CBE , ∠D=∠CEB
∴ △ACD∽△BCE

27.2.3 相似三角形应用举例

27.2.3 相似三角形应用举例一、内容和内容解析1．内容运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度或高度．2．内容解析解决不能直接测量物体长度或高度的问题，通常是利用可测物的长度或高度来表示不可测物的长度或高度．我们曾利用全等三角形的知识解决过此类问题，但要测一些大型建筑物的长度或高度，用全等三角形的知识就不大方便了．相似三角形的对应边成比例，反映的是线段间的一种等量关系，利用相似三角形的性质可以有效地解决不便直接测物体长度或高度的问题．要利用相似三角形的知识解决这类问题，就要设法构建一对相似三角形，且使构建的相似三角形模型中含有表示待测物长度或高度的线段及部分可测大小的线段．基于上述分析，确定本节课的教学重点是：把实际问题转化成相似三角形模型的构建与应用．二、目标和目标解析1．目标(1)构建相似三角形模型解决简单实际问题．(2)进一步了解数学建模思想．2．目标解析达成目标(1)的标志是：会根据实际情况用建模思想构建相应的相似三角形模型，能运用相似三角形的知识解决有关线段度量的简单问题．达成目标(2)的标志是：“寻模——建模——用模”是应用数学知识解决实际问题的常用思路，在解决数学问题时，首先在题设中寻求适合解决问题的模型．如果没有现成的模型可用，则要根据实际情况构建相应模型，然后使用该模型的相关性质解决问题．三、教学问题诊断分析学生有过用所学知识解决不能直接测量物体长度或高度的问题的体验，但用全等三角形的知识测一些大型建筑物的长度或高度(如测金字塔的高度)，有些不切实际．解决这类问题需构建两个相似三角形，并要测量出其中相应某些边的长度值，然后利用相似三角形的性质求出待测物对应的边长，其间要借助成比例的线段中的已知线段求出未知线段。

构建恰当的相似三角形，学生往往难以做到．基于以上分析，确定本节课的教学难点是：构建恰当的相似三角形模型．四、教学过程设计1．复旧引新问题1(1)怎样判断两个三角形相似？(2)相似三角形的性质有哪些？(3)怎样作一个三角形与已知三角形相似？师生活动：教师提出问题，学生观察、思考、交流，再请学生代表回答问题．教师点评．设计意图：复习相似三角形的判定与性质，一方面巩固了旧知识，另一方面便于学生找出实际问题中的相似三角形模型，有利于学生使用性质解决相关问题．特别是问题(3)，它是构建一个三角形与已知三角形相似模型的依据．问题2你知道埃及金字塔的故事吗？神秘的金字塔引来无数游客观光旅游．胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．该金字塔的原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？师生活动：教师利用多媒体课件展示金字塔图片及文字，学生观察、思考．设计意图：通过展示图片与叙说历史故事，让学生感悟人类的智慧与勤劳，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，从而有利于引入新课．2．探究新知问题3同学们有过测量物体高度的体验吗？你有什么方法测量金字塔的高度？教师追问：大家曾利用全等三角形的知识解决过不可直接测量物体高度或长度的问题：先作一个三角形使待测物的高或长是该三角形的一边，再构建一个三角形(这个三角形的三边都可知)与含有待测边的三角形全等，然后利用全等三角形的对应边相等求出待测物的长或高．你能否用全等三角形知识测金字塔的高呢？师生活动：学生思考，教师关注学生的方案，随后展示教科书上的测高方法．设计意图：解题就是利用解过的题解决新问题．如果以往的方法不能解决眼下的问题，则要进行重新联想与创新；此时若用全等知识解决，势必要构建一对巨大的全等三角形，这不切实际．问题促使学生自主改变思路，调整思考方向，有利于提高学生的思维能力．例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图1，木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO .设计意图：通过对例题的分析，让学生体会在实际测量物体的长度或高度时，关键是要构造实物所在三角形及与实物所在的三角形相似的三角形，而且在构建的三角形中要能测量出相关线段的长，再运用相似三角形的性质列出比例式求解．通过对这个问题的探索，可以提高他们分析问题的能力．问题4 如下图，为了估算河的宽度，我们可以怎样做？师生活动：让学生思考，交流各自的想法后出示教科书上的例2．设计意图：出示一段河流，提出测河宽的问题，不急于解答下面例2中的问题．由于下面例2的解决方案不是唯一的，让学生根据自己的经验设计方案，再进行交流，便于培养学生的发散思维与自主学习的能力．例2 如图2，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ ．图1师生活动：教师通过以下三个问题，引导学生分析解题思路，由学生独立完成．教师要关注学生能否证出两三角形相似，由相似得到的比例式能否解决问题，学生书写是否规范．(1)直线QR 与ST 有什么位置关系，为什么？(2)图中是否有相似三角形？哪两个三角形相似？(3)怎样求PQ ？设计意图：通过这个例题的分析与讲解，进一步使学生知道在实际测量物体的高度与宽度时，构建相似三角形模型是核心，获取其中某些线段的值是关键．例3 如图3，左、右并排的两棵大树的高分别是AB ＝8 m 和CD ＝12 m ，两树底部的距离BD ＝5 m ，一个人估计自己的眼睛距地面1.6 m ．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C 了？师生活动：教师利用课件演示：改变观察点F 与遮挡物AH 的距离可以发现，AH 后的盲区宽窄在改变；F 离AH 越近，盲区的区域越宽，不可见部分的面积越大．学生了解解这道题的实质就是求当观察点F 与两树的顶点共线时，人与树的距离．教师分析：在图(1)中，设观察者眼睛的位置为点F ，画出观察者的水平视线FG ，分别交AB ，CD 于点H ，K ．视线F A 与FG 的夹角∠AFH 是观察点A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到．在图(2)中，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点E 与两棵树的顶端A ，C 恰在一条直线上．若观察者继图2 Ta Rb S Q PCAⅠ H F KD BG l (1)Ⅱ B A G H D C E l Ⅱ Ⅰ (2)K 图3续往前走，她就不能看到右边较高的树的顶点C 了．因此，本题就是要求出此时EH 的值．设计意图：此题题意大部分学生理解起来有一定难度，通过动画演示及学生亲身实践得到感性认识，便于学生及时找到解题的突破口．3．变式训练，巩固新知(1)在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为90 m ，这栋楼的高度是多少？(2)如图，测得BD ＝120m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽AB ．设计意图：及时巩固本节课所学的知识．4．归纳小结师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课你学习了什么？(2)解决实际问题时我们运用了什么样的数学思想？是如何运用的？设计意图：通过小结，使学生把所学知识进一步内化、系统化．5．布置作业教科书习题27.2第9，10题．六、目标检测设计1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，AE ＝4，求EC 的长．设计意图：复习相似三角形判定定理的应用，为解决实际问题作准备．2．如图，小明用长为2.4 m 的竹竿DE 做测量工具测某旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点C ．此时，CD ＝6 m ，DB ＝14 m，则这旗杆(第2题)ABC D E ABC DE (第1题) (第2题)(第3题)AB 的高为多少？设计意图：考查学生能否从实际问题中构建相似三角形模型来解决问题．3．如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取点E ，使AE ＝2EC ，作ED ∥AB ，交BC 于点D ，量得DE ＝12 m ，则AB 的距离为多少？设计意图：检测学生是否能从实际问题中抽象出几何图形，并用相似三角形的知识解决问题．4．小聪利用树影测量树高：他在某一时刻测得长为2 m 的竹竿影长1.5 m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上．如图，他先测得树留在墙上的影高CD ＝1.2 m ，又测得树在地面部分的影长BD ＝5.1 m ，他求的树高A B 是多少？设计意图：检测学生是否能从实际问题中构建相似三角形模型来解决问题．5．如图，请你利用相似三角形的有关知识，设计一种方案，求出图中所示零件内径AB 的值．设计意图：检测学生能否熟练地运用所学知识，构建出相似三角形模型来解决问题．(第4题) BB A (第5题)。

27.2.3相似三角形应用举例《视线遮挡问题》教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。相似三角形的性质在解决视线遮挡等实际问题中具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用相似三角形的性质解决视线遮挡问题，以及它如何帮助我们计算建筑物的高度等。
4.增强学生的合作交流意识，通过小组讨论、合作探究等形式，培养学生与他人合作解决问题的能力。
本节课注重将核心素养的培养贯穿于教学过程，帮助学生形成数学学科的核心素养，提高学生的综合运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的性质，特别是相似三角形的对应边比例相等、对应角相等的特点。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试通过生活实例引入相似三角形的应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系。从课堂反应来看，大部分学生能够积极参与，对视线遮挡问题产生了一定的兴趣。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
首先，关于理论讲授部分，我发现在解释相似三角形性质时，部分学生对对应角和对应边的概念理解不够深刻。在今后的教学中，我需要更加注重对基础概念的讲解，通过丰富的例子和直观的图形，帮助学生更好地理解相似三角形的性质。
（2）提供不同角度的视线遮挡问题，引导学生发现相似三角形在解决问题中的关键作用。
2.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学难点
-理解视线遮挡问题中的“视线”概念，并将其与相似三角形的知识联系起来。
-在实际问题中，识别和构建相似三角形，特别是当观察点不在三角形内部时的情况。
-对比例关系的建立和求解过程中涉及的代数运算，如分数的运算、方程的求解等。
27.2.3相似三角形应用举例《视线遮挡问题》教案