大学物理热学、振动和波动习题课共34页文档
大学物理 第5章 振动和波动习题解答
第5章 振动和波动5-1 解：（1）)s rad (105.050===m kωmax 222max 100.040.4(m/s)100.044(m/s )v A a A ωω==⨯===⨯=(2) 设cos()x A t ωϕ=+，则d sin()d xv A t tωωϕ==-+ 2222d cos()d x a A t x t ωωϕω==-+=-当x=0.02m 时，cos()1/2,sin()3/2t t ωϕωϕ+=+=±，所以20.230.346(m/s)2(m/s )1(N)v a F ma =⨯==-==-(3) 作旋转矢量图，可知：π2ϕ=-π0.04c o s (10)2x t =-5 解：A=0.04(m) 0.7(rad/s)0.3(rad)10.11(Hz)8.98(s)2πT ωϕωνν==-====5-3 证明：如图所示的振动系统的振动频率为1212πk k mυ+=式中12,k k 分别为两个弹簧的劲度系数，m为物体的质量。
解： 以平衡位置为坐标原点，水平向右为x 轴正方向。
设物体处在平衡位置时，弹簧1的伸长量为10x ,弹簧2的伸长量为20x ，则应有0202101=+-x k x k当物体运动到平衡位置的位移为x 处时，弹簧1的伸长量就为x x +10，弹簧2的伸长量就为x x -20，所以物体所受的合外力为11022012()()()F k x x k x x k k x =-++-=-+由牛顿第二定律得 2122d ()d xm k k x t =-+即有 2122()d 0d k k x x t m++=上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为12k k x mω+=振动的频率为 1212π2πk k mων+==5-4解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x 轴正方向，建立坐标系。
右液面偏离原点为至x 时，振动系统所受回复力为：22ππ242d d g F x g x ρρ=-⋅⋅=-振动角频率 2π2d gm ρω=振动周期 222ππmT d gρ=5-5解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机习题5-4 图械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x 轴正方向，建立坐标系。
振动和波Word
振动和波习题课Ⅰ教学基本要求振动和波动1.掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。
2.理解旋转矢量法。
3.掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。
4.理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。
5.理解机械波产生的条件。
掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。
理解波形图线。
了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。
6.了解惠更斯原理和波的叠加原理。
理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。
7.理解驻波及其形成条件。
了解驻波和行波的区别。
8.了解机械波的多普勒效应及其产生原因。
在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。
9.了解电磁波的性质。
Ⅱ内容提要一、振动1.简谐振动的定义：恢复力F=-kx微分方程d2x/d t2+ω2x=0运动方程x=A cos(ωt+ϕ0)弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，复摆ω=(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T(2)非固有量，振幅A: A=(x02+v02/ω2)1/2 位相ϕ: ϕ=ωt+ϕ0 初位相ϕ0: tanϕ0=-v0/(ω x0)(再结合另一三角函数定出ϕ0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量：E k=E sin2(ωt+ϕ0) E p=E cos2(ωt+ϕ0) E=E k+ E p5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(ϕ20-ϕ10)]1/2tgϕ0=(A1sinϕ10+A2sinϕ20)/(A1cosϕ10+A2cosϕ20) (再结合另一三角函数定出ϕ0)拍∆ω<<ω1拍频∆ν=|ν2-ν1|(2)相互垂直振动的合成ω1=ω2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(ϕ20-ϕ10)=sin2(ϕ20-ϕ10)ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形二、波动1.机械波的产生的条件:(1)波源,(2)媒质.机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播,质量并不迁移；2.描述波的物理量：波长λ，频率ν，周期T，波速.u其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν3.平面简谐波的波动方程y=A cos[ω(t-x/u)+ϕ0]=A cos[2π(t/T-x/λ)+ϕ0]=A cos[2π(νt-x/λ)+ϕ0]4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/25.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。
振动与波动习题课修
T
2
0.5
2. 一质点作简谐振动，速度的最大值 Vm=5cm/s,振幅A=2cm。若令速度具有正最大
值的那一时刻为t=0,求振动表达式。
解：
x 2 cos(t )
O
5 Vm A 5 2 5 x 2 cos( t )cm 2 2
5
0.1 9.8 12.25 0.08
O x
f
O
X
x 0.05cos(7t 0.64) (SI)
10.一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右 运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后 质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经 过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速 x 率，且AB = 10 cm. 求 (1)质点的振动 A B v 方程; (2) 质点在A点处的速率． t= 4 s 解： t 2 - 2 2 ,
4
B x A O t= 0 t= 2 s
11.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动 1 5 方程分别为 x1 A cos( t π ) x2 A cos( t π)
x3 A cos( t π )
3
其合成运动的运动方程为 0x=
3
_____．
例3： 一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期
t=0
3.一简谐振动的振动曲线如图，求此振动的 周期。 解： =/3+ /2=5/6=t=5 =2/T x T=12s t=0 = /6
-A/2 -A
5
t
O
t=5
4. 一质点作简谐振动，其振动方程为 出质点由初始状态运动到 x=-0.12m, v<0的状
大学物理振动波动例题习题
振动波动一、例题（一）振动1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。
2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。
当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。
求: (1) 振动表达式；(2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为：x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+求：(1)合振动的初相及振幅.(2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +ϕ 3 ), 则当ϕ 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又ϕ 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小?（二）波动1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。
在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求：(1)波动方程(2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。
2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。
已知原点的振动曲线如图所示。
求：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。
3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。
S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。
求：两波在P 点引起的合振动振幅。
4.沿X 轴传播的平面简谐波方程为：310cos[200(t )]200x y π-=- ，隔开两种媒质的反射界面A 与坐标原点O 相距2.25m ，反射波振幅无变化，反射处为固定端，求反射波的方程。
大学物理习题集
大学物理习题集上册物理教研室2004年元月目录部分物理常量练习一描述运动的物理量练习二刚体定轴转动的描述相对运动练习三牛顿运动定律非惯性系中的力学练习四动量角动量练习五功和能碰撞练习六刚体定轴转动的转动定律转动惯量练习七刚体定轴转动中的动能及角动量练习八力学习题课练习九状态方程压强公式练习十理想气体的内能分布律练习十一分布律(续) 自由程碰撞频率练习十二热力学第一定律等值过程练习十三循环过程练习十四热力学第二定律熵练习十五热学习题课练习十六谐振动练习十七谐振动能量谐振动合成练习十八阻尼受迫共振波动方程练习十九波的能量波的干涉练习二十驻波多普勒效应练习二十一振动和波习题课练习二十二光的相干性双缝干涉光程练习二十三薄膜干涉劈尖练习二十四牛顿环迈克耳逊干涉仪衍射现象练习二十五单缝圆孔光学仪器的分辨率练习二十六光栅X射线的衍射练习二十七光的偏振练习二十八光学习题课23h3456789101112131415图9.1 161718192021232425(A)图15.12627图17.24. 一平面简谐波沿x 轴负方向传播，已知x=x 0处质点的振动方程为y=A cos(ω t+ϕ0). 若(B)v (m/s)O1 x (m)ωA(A)·图18.3图18.54041距离 (从地上一点看两星的视线间夹角)是(A) 5.3×10－7 rad.(B) 1.8×10－4 rad .(C) 5.3×10－5 rad .(D) 3.2×10－3 rad二.填空题1. 惠更斯引入的概念提出了惠更斯原理,菲涅耳再用的思想补充了惠更斯原理,发展成了惠更斯－菲涅耳原理.2. 如果单缝夫琅和费衍射的第一级暗纹发生在衍射角为30 的方位上,所用单色光波长λ =5×103 Å, 则单缝宽度为m .3. 平行单色光垂直入射于单缝上,观察夫琅和费衍射. 若屏上P点处为第二级暗纹,则单缝处波面相应地可划分为个半波带,若将单缝宽度减小一半, P点将是级纹.三.计算题1. 用波长λ =6328Å 的平行光垂直照射单缝, 缝宽a= 0.15mm , 缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上, 测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7mm , 求此透镜的焦距.四.问答题1. 在单缝衍射实验中, 当缝的宽度a远大于单色光的波长时, 通常观察不到衍射条纹, 试由单缝衍射暗条纹条件的公式说明这是为什么.练习二十六光栅X射线的衍射一.选择题1. 一束平行单色光垂直入射到光栅上，当光栅常数(a+b) 为下列哪种情况时(a代表每条缝为宽度) ，k =3、6、9等级次的主极大均不出现？(A) a+b=3a.(B) a+b=2a .(C) a+b=4a .(D) a+b=6a .2. 若用衍射光栅准确测定一单色可见光的波长,在下列各种光栅常数的光栅中选用哪一种最好？(A) 1.0×10－1 mm .(B) 5.0×10－1 mm .(C) 1.0×10－2 mm .(D) 1.0×10－3 mm .3. 在双缝衍射实验中,若保持双缝s1和s2的中心之间的距离d不变,而把两条缝的宽度a 42略微加宽,则(A) 单缝衍射的中央主极大变宽,其中所包含的干涉条纹数目变少.(B) 单缝衍射的中央主极大变宽,其中所包含的干涉条纹数目变多.(C) 单缝衍射的中央主极大变窄,其中所包含的干涉条纹数目变少.(D) 单缝衍射的中央主极大变宽,其中所包含的干涉条纹数目不变.(E) 单缝衍射的中央主极大变窄,其中所包含的干涉条纹数目变多.4. 某元素的特征光谱中含有波长分别为 1 = 450 n m 和 2 = 750 n m (1 n m = 10－9 m)的光谱线. 在光栅光谱中,这两种波长的谱线有重叠现象,重叠处 2的谱线的级次数将是(A) 2、3、4、5 …….(B) 2、5、8、11 …….(C) 2、4、6、8 …….(D) 3、6、9、12 …….5. 设光栅平面、透镜均与屏幕平行,则当入射的平行单色光从垂直于光栅平面入射变为斜入射时,能观察到的光谱线的最高级数k(A) 变小.(B) 变大.(C) 不变.(D) 的改变无法确定.二.填空题1. 用波长为5461 Å的平行单色光垂直照射到一透射光栅上,在分光计上测得第一级光谱线的衍射角 = 30 ,则该光栅每一毫米上有条刻痕.2. 可见光的波长范围是400 n m—760 n m,用平行的白光垂直入射到平面透射光栅上时,它产生的不与另一级光谱重叠的完整的可见光光谱是第级光谱.3. 一束平行单色光垂直入射到一光栅上,若光栅的透明缝宽度a与不透明部分宽度b相等,则可能看到的衍射光谱的级次为.三.计算题1. 一块每毫米500条缝的光栅,用钠黄光正入射,观察衍射光谱, 钠黄光包含两条谱线,其波长分别为5896 Å和5890 Å, 求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度.2. 一衍射光栅,每厘米有200条透光缝,每条透光缝宽为a =2×10－3 c m ,在光栅后放一焦距f =1m 的凸透镜,现以 = 6000 Å的平行单色光垂直照射光栅,求: (1) 透光镜a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？(2) 在该宽度内, 有几个光栅衍射主极大？练习二十七光的偏振一.选择题1. 一束光强为I0的自然光垂直穿过两个偏振片,且此两偏振片的偏振化方向成45 角,若不考虑偏振片的反射和吸收,则穿过两个偏振片后的光强I为4344454647。
大学物理习题详解—振动与波动部分
第十二章 机械振动简谐振动12．1 一倔强系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为1T ，若将此弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为12m 的物体,则系统振动周期2T 等于 （A ）21T ；（B ）1T ；（C ）1T /2；（D ）1T /2 ；（E ）1T /4． ［ ］ 答：（C ）分析：一根弹簧，弹性系数为k ，把它截短以后，k 不是减小了，而是增大了。
弹簧的弹力大小取决于弹簧的形变，在伸长相同的长度x 的情况下，弹簧越短，其变形越大，弹力f 也越大。
而胡克定律为：f kx =，即 fk x=，因此弹簧变短后弹性系数k 增大。
12T = 22k k =，下端挂一质量为12m 的物体，则系统振动周期2T 为： 2T 1112222T ⎛=== ⎝ 12．2 图（下左）中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x ，速度v 和加速度a ，下列说法中那一个是正确的？（A ）曲线3、1、2分别表示x 、v 、a 曲线； （B ）曲线2、1、3分别表示x 、v 、a 曲线； （C ）曲线1、3、2分别表示x 、v 、a 曲线； （D ）曲线2、3、1分别表示x 、v 、a 曲线； （E ）曲线1、2、3分别表示x 、v 、a 曲线．第12. 3题图v (a)(b)t答：（E ）分析：位移x 与加速度a 的曲线时刻都是反相的，从图上看曲线1、3反相，曲线2是速度v 曲线；另外，速度比位移的位相超前2π，加速度比速度的位相超前2π，从图上看曲线3比2超前了2π，3是加速度曲线；曲线2比1超前了2π，1是位移曲线12．3 在t =0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图（上右）(a)、(b)、(c)三种状态，若选单摆的平衡位置为x 轴的原点，x 轴正向指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式分别为（1） ； （2） ； （3） ． 答：（1）X =A cos (t T π2－2π) （2）X =A cos (t T π2+2π) （3）X =A cos (t Tπ2+π)． 分析：关键是写出初位相，用旋转矢量法最方便：ωx xx（a ）φ= -π/2ω ω（b ）φ= π/2（c ）φ= π12．4 设振动周期为T ，则a 和b 处两振动的时间差t ∆=____________。
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2 k 1 2 1 2k 2 1
A A 1A 2
A A A 1 2
简谐波的波函数
一.描述简谐波的物理量 1.波长—波线上相邻同相点的距离。
2.波速u—振动的相的传播速度。 决定于媒质的惯性和弹性。 3.周期T= /u
1 4.频率 v T 2
u
5.波数k = 2 /
二.平面简谐波的波动方程(波函数) Y 已知：波源O的振动方程
y A c o s t 0
则：ox上所有质点的
振动方程
相位比o 落后了 2x/ 振动时间 x/u 比o晚了
O
x
X
或
2 x y A cos t
x y 3 c o s2 ( t ) a 2 0
u
B2 a
b1
x
5 x y 3 cos 2 ( t ) b 1 20 20 5 x y 3 cos 2 ( t ) b 2 20 20
例4 如图所示，S1、S2为相同振动方向、相同频率v， 相同振幅A的相干波源，且S1的位相较S2超前/2，S1、 S2相距7/4。当两列波以相对速度相向而行时，在S1S2 连线上有哪些合成波为节点？
N n P RT RT VN N 0 0
PV
N RT N0
n1 P RT 1 N0
2 n 1 P RT 2 P 2 1 N 0
P P 3 3 1
P P P P 6 P 1 2 3 1
例2 试说明下列各式的物理意义
Nf vdv dN Nf v dv , v 1
合成后仍然是谐振动。式中A和为：
x A cos t
振动波动习题课
y 2Acos(2 x 2 1 )cos( t 1 2 )
2
2
A驻 cos ( t )
A驻
2Acos(2 x 2 1 ) 2
波节 波腹
6. 半波损失
A驻 0 A驻 2A
波从波疏介质射向波密介质时，在界面处反射时相位发
生 的突变的现象。
7. 多普勒效应 u vO vs
A
(A)
O
A /2
x
A
(C)
O
A /2
x
A /2
(B)
O
x
A
[D]
(D)
A /2
O
x
A
6. 质点沿x轴做谐振动，振幅A=2cm，周期T=1s。
质点由 x p 2cm 处运动到 xq 3cm 处的最短时间为t1，
质点由xq 运动到xp的最短时间为t2 。则 t1 = ？, t2 =？
解：
cos1( 2 )
24
cos1( 3 )
26
则：
t1
7
12
t1
7 24
s
又： 2 2 / s
T
由图得：t2
t1
7 24
s
二、波动：
1. 某质点做简谐振动，周期为 2s，振幅为 0.06m，开始计时
(t=0)，质点恰好处在A/2 处且向负方向运动，求：
（1）该质点的振动方程；
（2）此振动以速度 u = 2m/s 沿 x 轴正方向传播时，形成的平
S2P=r2=3.75m ，求 P 点的合振幅。
解： A A12 A22 2A1 A2 cos Δ
S1
r1
p1
Δ
20 10
2 ( r2 - r1 )
大学物理学振动与波动习题答案
大学物理学（上）第四，第五章习题答案第4章振动P174．4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T= π．当t = 0时，x = 0.06m，所以cosφ = 0.5，因此φ= ±π/3．物体的速度为v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)．当t = 0时，v = -ωA sinφ，由于v > 0，所以sinφ < 0，因此φ = -π/3．简谐振动的表达式为x= 0.12cos(πt –π/3)．（2）当t = T/4时物体的位置为x= 0.12cos(π/2–π/3)= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．速度为v = -πA sin(π/2–π/3)= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．加速度为a = d v/d t = -ω2A cos(ωt + φ)= -π2A cos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5，因此πt1 - π/3 = ±2π/3．由于物体向x轴负方向运动，即v< 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．当物体从x= -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0，可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2，可得t2 = 11/6 = 1.83(s)．所需要的时间为Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x= 0.06m，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)．[注意]根据振动方程x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π），初位相的取值由速度决定．由于v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωA sinφ，当v > 0时，sinφ < 0，因此φ = -arccos(x0/A)；当v < 0时，sinφ > 0，因此φ = arccos(x0/A)．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ= π．4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图．[解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x = A cosΦ，其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．由于x a = A，所以cosΦa = 1，因此Φa = 0．由于x b = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此Φb = ±π/3；由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此Φb = π/3．由于x c = 0，所以cosΦc = 0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2．同理可得其他两点位相为Φd = 2π/3，Φe = π．c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为t a = T/6．到达b点的时刻为t b = 2t a = T/3．到达c点的时刻为t c = t a + T/4 = 5T/12．到达d点的时刻为t d = t c + T/12 = T/2．到达e点的时刻为t e = t a + T/2 = 2T/3．（2）设振动表达式为x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，x = A/2时，所以cosφ = 0.5，因此φ =±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ = -π/3，因此振动表达式为cos(2)3tx ATπ=π-．另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于x f= 0，根据运动方程，可得cos(2)03tTππ-=图6.2所以232f t Tπππ-=±． 显然f 点的速度大于零，所以取负值，解得 t f = -T /12．从f 点到达a 点经过的时间为T /4，所以到达a 点的时刻为t a = T /4 + t f = T /6，其位相为203a a t T Φπ=π-=． 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3如图所示，质量为10g 的子弹以速度v = 103m·s -1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k= 8×103N·m -1，木块的质量为4.99kg ，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅； （2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即mv = (m + M )v 0．解得子弹射入后的速度为v 0 = mv/(m + M ) = 2(m·s -1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得(m + M ) v 02/2 = kA 2/2，所以振幅为A v =-2(m)． （2）振动的圆频率为ω=s -1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x 的正方向，振动方程可设为x = A cos(ωt + φ)．当t = 0时，x = 0，可得φ = ±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)．4．4 如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M 的托盘．质量为m 的物体由距盘底高h 处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为v =物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为0m v v m M ==+这也是它们振动的初速度． 设振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中圆频率为ω=物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x 1，则x 1 = Mg/k ．物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x 2，则x 2 = (M + m )g/k ．取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x 0 = x 1 - x 2 = -mg/k ． 因此振幅为图4.3图4.4A===初位相为arctanvxϕω-==4．5重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．[解答]（1）可以证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k=k1k2/(k1+ k2)，因此固有频率为2πων===．（2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为2πων===4．6 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．[解答]方法一：用转动定理．通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为I c = mR2．根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为I = I c + mR2 = 2mR2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为M = -mgR sinθ，方向与角度θ增加的方向相反．根据转动定理得Iβ = M，即22dsin0dI mgRtθθ+=，由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程22ddmgRt Iθθ+=．摆动的圆频率为ω=周期为2πTω=22==方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为E p = mg(R - R cosθ)，绕O点的转动动能为212kE I=ω，总机械能为21(cos)2E I mg R R=+-ωθ．环在转动时机械能守恒，即E为常量，将上式对时间求导，利用ω= dθ/d t，β=dω/d t，得0 = Iωβ + mgR(sinθ)ω，由于ω ≠ 0，当θ很小有sinθ≈θ，可得振动的微分方程22ddmgRt Iθθ+=，从而可求角频率和周期．[注意]角速度和圆频率使用同一字母(b)图4.5ω，不要将两者混淆．4.7 横截面均匀的光滑的U 型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L ，求液面上下微小起伏的自由振动的频率。
振动和波动习题课 PPT课件
y Acos (4t 2x) Acos4 (t x )
y Acos(t x )
u
2
4 u 2m / s t 0.2s t 4s
某质点作简谐振动,周期为2s, 振幅为0.06m, 开始计时
(t=0)时, 质点恰好处在负向最大位移处, 求
1.该质点的振动方程;
2.此振动以速度u=2m/s沿x轴正方向传播时,形成的一维
T 0.02s u 100m / s
2 100 uT 2m
T
设t=0时，波源处的质点经过平衡位置向正方向运动
x
－
2
波源振动方程：y Aco（s 100t ）
t x
2
波函数：y Acos[100（t－
x
) ]
100
100 2
（1）距波源15.0m和5.0m两处质点的运动方程和初相；
x=0.1m处，弦线质点的位移随时间的变化关系为 y 0.05sin(1.0 4.0t) 试写出波函数
yx0.1 0.05sin(1.0 4.0t) t x 0.1 0.8
y 0.05sin[1.0 4.0(t t)]
0.05sin[ 4t 5x 2.64]
P239 （1）已知：u 0.08m/ s ，
(D)各点的波的能量密度都不随时间 变化.
补充 一平面简谐波，波速为6.0m/s，振动周期为0.1s，则波长 为 ______________。在波的传播方向上，有两质点
的振动相位差为 5 / 6 ，此两质点相距为_______。
uT 60.1 0.6m
2
x
5
6
x 0.25m
x 2
o
p
x
3
2.
t
大学物理第五版 振动与波习题 PowerPoint 演示文稿
λ = uT
λ
4. 波的干涉与驻波 相干条件：同方向，同频率，相位差恒定。 相干条件：同方向，同频率，相位差恒定。 2π (r2 − r ) 相位差： 相位差： ∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 − 1 λ ± 加强条件： ∆ϕ = 2k π , k = 0，1, ±2, ⋅⋅⋅ A = A + A2 加强条件： 1 减弱条件： ∆ϕ = (2k +1)π , k = 0 ±1, ±2, ⋅⋅⋅ A = A − A2 减弱条件： 1 驻波： 驻波： 条件：两列振幅相同、相向传播的相干波叠加形成驻波。 条件：两列振幅相同、相向传播的相干波叠加形成驻波。
D O y(cm)
4
-40 -20
π 由 t =0, y = 0 , v＜0 知：ϕ = + ＜ 2
∴y0 = 4×10 cos(4πt +
−2
2π ×0.8 = 4π 得 ω= u= λ 0.4
2π
B
（a） ）
π
2
o
（b） ）
x(cm)
)
（2） 向右传播的波动方程 ） 向右传播的波动方程
−2
x π y = 4×10 cos[4π (t − )+ ] 0.8 2
ϕa
ϕc
ϕb
O
.
ϕa = 0
ϕb = −
π
2
3π ϕc = − 2
（2）若沿x轴负向传播，确定各点的振动相位 若沿x轴负向传播，
u y y a b c x tϕaຫໍສະໝຸດ ϕbϕcO
.
ϕa = 0
ϕb =
π
2
3π ϕc = 2
4.一平面简谐波沿 轴负向传播， 一平面简谐波沿x轴负向传播 例4.一平面简谐波沿 轴负向传播，波长为λ，P点处质点 点处质点 的振动规律如图 求出P处质点的振动方程 （1）求出 处质点的振动方程 （2）求此波的波动方程 若图中d /2， 处质点的振动方程. （3）若图中 =λ/2，求O处质点的振动方程. 处质点的振动方程
大学物理,振动和波习题课(2007级)
k1
k2
m
提示:等效并联弹簧 k=k1+k2
结果 1 k1 k2
2π m
例2.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时， 弹性力在半个周期内所作的功为
(A)kA2． (B) 1 kA2 ．(C)(1/4)kA2． (D)0．[ D ]
2
例3. 图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形
13. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大
变形量发生在 : (A) 媒质质元离开其平衡位置最大
位移处． (B) 媒质质元离开其平衡位置( 2A/ 2 )处
(A是振动振幅)． (C) 媒质质元在其平衡位置处．
(D) 媒质质元离开其平衡位置
1A 2
处.
[C]
14.如图所示, 两相干波源S1与S2相距3/4， 为 波长．设两波在S1 S2连线上传播时，它们的振幅 都是A，并且不随距离变化．已知在该直线上在S1
18. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其 振动方程分别为：
x 1
5 102
cos(4t
1
3
)
（SI）
x 3 102 sin(4t 1 ) （SI）
2
6
画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程.
x2
3
102
sin(4t
1 6
)
3
102
cos(4t
1 6
1 2
)
3 102 cos(4t 2 )
S2
2k A A1 A2 加强。 k 0, 1, 2, ...
（2k＋1） A A1－A2 减弱。
19. 驻波
A、产生驻波的条件：振幅相等的两列波除了 满足相干条件外，还必须在同一直线上沿相反 方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。
振动和波动习题课共40页文档
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
振动和波动习题课
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
振动和波动习题课共40页文档
15、机会是不守纪律的。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
振动和波动习题课
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
第10章振动与波动习题与答案汇总
第10章振动与波动一. 基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。
2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。
3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。
4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。
5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。
6. 理解机械波产生的条件。
7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。
8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。
9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。
掌握波的相干条件。
能用相位差或波程差概念 来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。
10. 理解驻波形成的条件，二.内容提要作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即F则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为d 2x 23. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定,A 斗X 2+V04.周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数 Y 称为频率。
T 1 十 1 T =—或V =—VT了解驻波和行波的区别，了解半波损失。
1.简谐振动的动力学特征取系统的平衡位置为坐标原点, 2.简谐振动的运动学特征函数关系，即作谐振动的物体的位置坐标 X 与时间t 成余弦（或正弦）由它可导出物体的振动速度 X = Acos(©t + 旳V =-©Asi n((a t + 切 物体的振动加速度a = -O 2 Acos(©t + 场周期与频率互为倒数，即作谐振动的物体在2n秒内完成振动的次数，它与周期、5.角频率（也称圆频率）频率的关系为T =—0510.机械波产生的条件机械波的产生必须同时具备两个条件：第一，要有作机械振11. 波长入 在同一波线上振动状态完全相同的两相邻质点间的距离（一个完整波的 长度），它是波的空间周期性的反映。
大学物理习题课3 振动波动
3
1 EP T
T
0
1 2 1 5 kx dt 3.95 10 J E 2 2
大学物理习题课（三）
习题4 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被 拉长l0 = 1.2 cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直 方向作振幅为A = 2cm的振动，试证此振动为简谐振 动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动
π 2πr2 2πr1 π 4 λ λ 4
S2
2π
S1
r1
P
r2
2 A ( A12 A2 2 A1 A2 cos ) 0.464 m
大学物理习题课（三）
习题12 图中A、B是两个相干的点波源，它们的振动 相位差为P（反相）．A、B相距 30 cm，观察点P和 B点相距 40 cm，且．若发自A、B的两波在P点处最 大限度地互相削弱，求波长最长能是多少． P
习题2 一台摆钟每天快1分27秒，其摆长l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质 量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向 下移动多少距离，才能使钟走得准确？
解： 周期 T 2
l g
两边对l求导
dl dT 2 l T
钟摆周期的相对误差 = 钟的相对误差
T t 87 s T t 24 60 60 s
习题8 一简谐波，振动周期T = 0.5 s，波长λ=10m， 振幅A = 0.1 m．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为 正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿 Ox轴正方向传播，求： （1）此波的表达式； （2）t1 = T/4时刻，x1= λ/4处质点的位移； （3）t2 = T/2时刻，x1= λ/4处质点振动速度． （1）此波的表达式 解：
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分子平均转动动能
0单原子分子 2 kT 双原子分子 2 3 kT 多原子分子 2
分子平均动能=分子平均平动动能+分子平均转动动能
气体平动动能
E 3RT
2
气体转动动能
0单原子分子
2 RT 双原子分子
2
3 RT 多原子分子
2
气体内能=气体动能=气体平动动能+气体转动动能
例4 两个卡诺热机的循环曲线如图所示，一个工作在温度为T1 与T3的两个热源之间，另一个工作在温度为T2与T3的两个热源之 间，已知这两个循环曲线所包围的面积相等。由此可知：
(A) 两个热机的效率一定相等。
(B) 两个热机从高温热源所吸收的热量一定相等。
(C) 两个热机向低温热源所放出的热量一定相等。
(D) 两个热机吸收的热量与放出的热量(绝对值)的差值一
定相等。 答 [D]
P
T1
T2
T3
0
V
两个循环曲线所包围的面积相等，只能说明两个循环过
程中所做净功相同，亦即A净＝Q1－Q2相同。
合成后仍然是谐振动。式中A和为：
x A co t s
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2co 2 s1
tg1A A11csoi ns1 1 A A2 2scion2s2
2 1 2k 212k1
1）分振动 :
x1=A1cos(t+1) x2=A2cos(t+2)
2）合振动 :
x = x1+ x2 x =A cos(t+ )
ω M
ω
A
M2
ω
A2 φ2
A1
φ2
M1
0
φ φ1
x2
x1
P x
x2
x
同方向同频率的谐振动合成
xx1x2 A 1 c t o 1 s A 2 c t o 2 A co ts
P2
等压ν
i 2RT ν
2
i RT 2
P（V2-V1）
νRT
CV ,m
i 2
R
i 2 Cp,m 2 R
5、循环效率
P
A 1 Q2
Q1
Q1
6、卡诺循环
1 T2
T1
V
应用要点： 1) PV=νRT，PV与T之间的转换。 2) Q1>0 吸热; Q2<0 放热， 公式上用绝对值。 3) A---闭合曲线的面积
(A)3P1 (B)4P1 (C)5P1 (D)6P1
答 [D]
PVRT N/N0
P N RT n RT
VN0
N0
N PV RT
N0
P1
n1 N0
RT
P2
2n1 N0
RT2P1
P3 3P1
PP 1P 2P 36P 1
例2 试说明下列各式的物理意义
(1) vv12d Nf v N dN v v d f, vvv12 Nf v dv
表示速率分布在 区间 v1 v2 内的分子数 N
2
v2
vfvdv
v2 v1
vNf vdv
v1
N
表示速率分布在v1→v2区间内的分子数对平均速率的贡献
3 v2 f vdv N
v1
N
表示速率分布在v1→v2区间内的分子数占总 分子的百分比
例3 质量相等的氢气和氦气温度相同，则氢分子和氦分子的 平均平动能之比为—1:1———，氢气和氦气的平动动能之比为— 2:1———，两种气体的内能之比为—10:3——————。
热学 振动 波动
单元复习课
热学
一、气体分子运动论 1、理想气体的压强： 2、温度的微观意义： 3、能量均分定理： νmol 理想气体的内能：
P
2 3
n t
t
3 2
kT
E i kT 2
E i RT
2
二、麦克斯韦分布率
1、 f (v) dN Ndv
速率在v附近单位速率区间的分子数 占总分子数的百分比。（或一个分子 落在v附近单位速率区间的几率。）
Qab Qda
振动
1、振动的描述
d2x dt 2
k m
x
0
(动力学方程）
x Acos(t ) （运动学方程）
= 1/T (Hz)角频率 2 2T2、旋转矢量图示法
t时刻
ω
A
X
三个特征量A、 、都已表示出来。
t时刻振动的相位对应该时刻的运动状态
3、同一直线上同频率的简谐振动的合成
四、热力学第二定律 的内容（两种表述） 和意义
*1、克劳修斯表述：热量不能自动地 从低温物体传向高温物体
*2、开尔文表述：其唯一效果是热全 部变为功的过程是不可能存在的。
----说明自然宏观过程进行的方向
例1 在一密闭容器中，储有A、B、C三种理想气体，处于平 衡状态。A种气体的分子数密度为n1，它产生的压强为P1，B种 气体的分子数密度为2n1，C种气体的分子数密度为3n1，则混 合气体的压强P为
3、热量、内能的变化
E i RT
2
ECV,mT
C V,m2 iR , R8.3J1/m ( o K )l
Cp,m Cv,m
,
Cp,m
i2R 2
4、等值过程中的Q 、ΔE 和 A
Q
E
A
等体
ν i RT
2
ν i RT
2
0
等温 RT ln V2
V1
0
RT ln P1
解：（1）平均平动能为
w3kT2
温度相同，∴其比为1：1
（2）平动动能为
Ek
N
3kT, 2
Ek1 N1
Ek 2 N2
M M mol 1
M M mol 2
（3）内能之比为
U1
RT M 5
Mmol1 2
U2
RT M 3
Mmol2 2
M mol 2 5 M mol 1 3
分子平均平动动能 E 3 kT 2
2、 f (v)dv dN N
速率落在v---v+dv区间内的分子数占 总分子数的百分比。（或一个分子落 在v---v+dv区间内的几率）
f(v)
3、 归一化
f (v)dv1
0
和平均值：
v 0 vf(v)dv
V（p）
v
三、热力学第一定律
1、热力学第一定律
QEA
2、功
A V2 PdV V1
例6 如图所示，热机的工作媒质是单原子的理想气体，其工 作过程经循环a-b和c-d的等温过程b-c和d-a的的等容过程完成， 图中Ta =T1，Tc =T2，V2 =2V1求此热机的效率。
pa
QabR1Tln2
d
b
c
V1 V2
V
QdaQbc2 3R(T1T2)
Qcd RT2ln2
1 Qbc Qcd