【浙江新中考】2016中考数学一轮复习(考点梳理即时训练)第26讲 轴对称与中心对称

∵∠ ABC＝ ∠ ADC＝ 90° ， ∠C＝ 50° ， ∴ ∠ BAD ＝ 130° .根据轴对称性，可得 ∠FMD＝ ∠ FAD，∠ ENB ＝ ∠ EAB.又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角和，可得 ∠MFC＋ ∠ NEC＝ (∠ FMD＋ ∠ FDM) ＋ (∠ ENB＋ ∠ NBE)＝ (∠ FMD＋ 90° )＋ (∠ ENB＋ 90° ) ＝ ∠ FMD＋ ∠ ENB＋ 180° .
方法总结： 作一个图形的轴对称图形，一种方法是通过作垂 线并截取，作出各个关键点的对称点，顺次连接关键 点即可得到；另一种方法是根据关于 x轴、 y轴、原点 对称的点的坐标的特点求出对称点的坐标，然后描点 作出对称图形 .
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色 食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
方法总结： 折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线成轴对 称 .折叠前后的两个图形是全等形，对应线段相等，对 应角相等 .
考点三 画轴对称图形 例 3(2015· 聊城 )在如图所示的直角坐标系中，每 个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 的顶点均在 格点上，点 A 的坐标是(－3，－1)．
5．如图，四边形 ABCD是菱形， O是两条对角线 的交点，过 O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部 分．当菱形的两条对角线的长分别为 6和 8时，则阴影 部分的面积为 12.
6．如图，点 P 在∠ AOB 内，M， N 分别是点 P 关于 AO，BO 的对称点，MN 分别交 AO，BO 于点 E， F，若△ PEF 的周长等于 20 cm，求 MN 的长．
【解析】A 中，设 AB＝m(m>0)，由对称的性质， 可得 AE＝AB＝m，ED＝BE＝ 2m， AB m ∴tan∠ADB＝ ＝ ＝ 2－1. AD 1＋ 2m ∴1＋tan∠ADB＝ 2，故 A 正确；B 中，结合选项 A 可得∠BAC＝45° ，∴BC＝AB＝m.∵BF＝BE＝ 2m， ∴CF＝BF－BC＝( 2－1)m，∴2BC≠5CF， 故 B 错误；
第七章 第26讲
图形的变化
轴对称与中心对称
考点一
轴对称图形与轴对称
1．轴对称图形 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称 图形．
2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是 对应点，叫做对称点．
轴对称的性质
2(2015· 毕节 )如图，已知 D 为△ ABC 边 AB 的中 )
点，E 在边 AC 上，将△ ABC 沿着 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，若∠ B＝ 65° ，则∠ BDF 等于 ( A． 65° C． 60° B． 50° D． 57.5°
【点拨】由轴对称的性质，可得 AD＝ DF.∵ D 为 △ ABC 边 AB 的中点， ∴AD＝ DB.∴ DF＝ DB.∴∠ DFB ＝ ∠ B＝ 65° .∴∠ BDF＝ 180° － 65° － 65° ＝ 50° .故选 B. 【答案】 B
在 Rt△ ABD 中， AB＝m， AD＝(1＋ 2)m， BD
2 2 2
2
＝m ＋(3＋ 2 2)m ＝(4＋ 2 2)m ， BD＝ 4＋ 2 2 m， AB m cos ∠ AGB ＝ cos∠ ABD ＝ ＝ ＝ BD 4＋ 2 2 m 1 4＋ 2 2 6 ≠ ，故 D 错误．故选 A. 4
答案： D
2．下列图形属于中心对称图形的是(
)
答案： C
3．如图，若▱ ABCD 与 ▱ BCFE 关于 BC 所在的直 线对称，∠ ABE＝ 86° ，则∠ E 等于 ( )
A． 137° 答案： A

B． 104°
C． 94°
D． 86°
4．若∠AOB＝45° ，P 是∠AOB 内一点，分别作 点 P 关于直线 OA，OB 的对称点 P1，P2，连接 OP1， OP2，则下列结论正确的是( A．OP1⊥OP2，OP1≠OP2 B．OP1＝OP2，OP1 与 OP2 不垂直 C．OP1≠OP2，OP1 与 OP2 不垂直 D．OP1⊥OP2，OP1＝OP2 答案：D )
5．(2015· 天津 )在一些美术字中，有的汉字是轴对 称图形．下面 4 个汉字中，可以看作轴对称图形的是 ( ) 吉 A 答案： A 祥 B 如 C 意 D
6．(2015· 大庆)以下图形中对称轴的数量小于 3 的 是( )
【解析】选项 A 中，有 4 条对称轴；选项 B 中， 有 6 条对称轴； 选项 C 中， 有 4 条对称轴； 选项 D 中， 有 2 条对称轴．故选 D. 答案： D
3．轴对称的基本性质 (1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分； (2)对应线段相等，对应角相等 ． 4．轴对称和轴对称图形的区别 轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系； 轴对称图形是对一个图形本身而言的.
考点二
中心对称图形与中心对称
1．中心对称图形 在平面内，把一个图形绕某一个点旋转 180° ，如 果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形 就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋 转前后图形上能够重合的点叫做对称点．
1 C 中，结合选项 A 可得 ∠DEF＝ ∠ BEF＝ (180° 2 － ∠ AEB) ＝ 67.5° .∵∠ AEB ＝ 45°， ∴∠ AEB ＋ 22° ≠∠ DEF，故 C 错误； D 中， ∵∠ AGB＝ ∠ GAD ＋ ∠ ADG， ∠ ABD＝ ∠ ABE＋ ∠ EBD， ∠ GAD＝ ∠ ABE ＝ 45° ， ∠ ADG＝ ∠ EBD， ∴∠ AGB＝ ∠ ABD.
答案： 提示： MN＝ ME＋ EF＋ FN＝ PE＋ EF＋ PF ＝△PEF 的周长．
考点训练
一、选择题 (每小题 4 分，共 48 分 ) 1．(2015· 重庆 )下列图形是我国国产品牌汽车的标 识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
答案：B
2．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为 2 的图形 的个数是 ( A． 1 答案： C ) B． 2 C． 3 D． 4
3．(2015· 毕节 )如图，在四个“米”字格的正方形 内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图 形的是 ( )
答案：B
4．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到 如图所示的图形，该图形( ) A．既是轴对称图形也是中心对称图形 B．是轴对称图形但不是中心对称图形 C．是中心对称图形但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 答案：B
(1) 将△ ABC 沿 y 轴正方向平移 3 个单位得到 △ A1B1C1，画出△ A1B1C1，并写出点 B1 的坐标； (2)画出△ A1B1C1 关于 y 轴对称的△ A2B2C2，并写 出点 C2 的坐标． 【点拨】本题考查了轴对称和平移作图，关键是 作出三角形各顶点的对应点．
解： (1)△ A1 B1 C1如图所示，点 B1 (－ 2，－ 1)． (2)△ A2 B2 C2如图所示， C2(1,1)．
8．如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 与点 C′重合．若 AB＝2，则 C′D 的长为 ( )
A． 1
B． 2
C． 3
D．4
【解析】由矩形的性质，可得 CD＝ AB＝ 2，再由 轴对称的性质可得 C′D＝ CD＝ 2. 故选 B. 答案： B
9．(2015· 河北)一张菱形纸片按图①、图②依次对 折后，再按图③打出一个圆形小孔，则展开铺平后的 图案是 ( )
7．(2015· 宁波)如图，小明家的住房平面图呈长方 形， 被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对 称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分 割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 ( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【解析】由中心对称图形的性质可知，两个长方 形是完全重合的，标号为②的两个正方形是完全重合 的．设正方形③的边长为 a, 正方形②边长为 b，则整 个长方形的长为 b＋ a＋ b＝ 2b＋ a， 宽为 b＋ (b－ a)＝ 2b － a, ∴原住房平面图长方形的周长＝ 2(2b＋ a＋ 2b－ a) ＝ 8b，长方形①的周长为 2(a＋ b＋ b－ a)＝ 4b，正方形 ②的周长为 4b，正方形③的周长为 4a.故选 A. 答案： A
又 ∵∠ MFC ＋ ∠ NEC ＝ (∠ FEC ＋ ∠ C) ＋ (∠ EFC ＋ ∠ C)＝ (∠ FEC ＋ ∠ C＋ ∠ EFC) ＋ ∠ C＝ 180° ＋ ∠ C， ∴∠ FMD ＋ ∠ ENB ＋ 180° ＝ 180° ＋ ∠ C.∴∠ FMD ＋ ∠ ENB＝ ∠ C＝ 50° .∴∠ FAD＋ ∠ EAB＝ 50° .∴∠ EAF ＝ 130° － 50° ＝ 80° .故选 D. 答案： D
2．中心对称 在平面内，把一个图形绕某一个点旋转 180° ，如 果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这个点成中 心对称，那么这个点叫做对称中 心， 旋转前后两个图形上能够重合的点叫做关于中心的对 称点．
3．中心对称的性质 (1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都 经过对称中心，并且被对称中心平分； (2)关于中心对称的两个图形是全等形； (3) 点 P(x ， y) 关 于 原 点 的 对 称 点 P′ 的 坐 标 为 (－ x，－ y) ．
【解析】观察上面的折叠方法，展开图中的圆形小 孔关于菱形的对角线对称，故可排除 D；又由图③可知， 圆形小孔在折叠图中的较大锐角处，则展开后应在菱 形的较大的内角处， 不在中间的直角处， 故排除 A， B， 故选 C. 答案： C
10．(2015· 绥化 )如图， 在矩形 ABCD 中，AB＝ 10， BC＝ 5.若点 M， N 分别是线段 AC， AB 上的两个动点， 则 BM＋ MN 的最小值为( )