2015.5.7基本不等式(2)
基本不等式ppt课件
梳理 (1)重要不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立. (2)基本不等式
a＋b ①定理 2：如果 a，b＞0，那么 2 ≥ ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立 .
②定理2的应用：对两个正实数x，y， (ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积P取得最大 值； (ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和S取得最 小 值.
题型探究
类型一 不等式的证明 例1 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明
跟踪训练1 已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
解答
(2)若 x＜0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值. 解 ∵x＜0，∴－x＞0, 故 f(x)＝－－12x＋3－x≤－2 36＝－12， 当且仅当－1x2＝－3x，即 x＝－2 时，等号成立， ∴f(x)的最大值是－12.
解答
跟踪训练 2 若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为
证明
类型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)设 x＞0，y＞0 且 2x＋y＝1，求1x＋2y的最小值； 解 1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4yx＋yx≥4＋2 4yx·xy＝4＋4＝8， 当且仅当4yx＝yx，即 x＝14，y＝12时，等号成立， ∴1x＋2y的最小值是 8.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析 答案
基本不等式(课件)
比较大小
学习如何比较不等式中的数值大小。
证明基本不等式的方法
数学归纳法
使用数学归纳法证明基本 不等式。
反证法
使用反证法证明基本不等 式。
代入法
使用代入法证明基本不等 式。
基本不等式形式讲解
1
三角不等式
学习三角函数中常用的不等式。
2
均值不等式
介绍均值不等式及其不同形式。
3
柯西-施瓦兹不等式
探讨柯西-施瓦兹不等式及其几何和向量形式。
基本不等式的推广
绝对值不等式
学习利用基本不等式解决绝对值不等式。
积分不等式
探讨基本不等式在积分中的运用。
幂不等式
介绍基本不等式在幂函数中的应用。
例题和练习
例题
通过例题加深对基本不等式的理解。
练习
加强基本不等式的应用能力。
基本不等式的应用
实际应用
了解基本不等式在实际生活中的应用，如经济学、 物理学等领域。
最优化问题
学习如何使用基本不等式解决最优化问题。
概率
探索基本不等式在概率论中的应用。
基本不等式与均值不等式的关系
深入研究基本不等式与均值不等式之间的联系，包括均值不等式是基本不等式的特殊情况，以及它们在 数学推导和证明中的应用。
基式的概念、证明方法以及各种形式的基 本不等式。我们还将探讨基本不等式的应用、与均值不等式的关系以及推广 内容，并提供例题和练习。
不等式的概念
符号表达
学习不等式中的符号表示以及它们在数学中的含 义。
数轴表示
了解如何使用数轴来可视化不等式并确定不等式 的解集。
基本不等式(二) 课件(人教A版必修五)
积最大．
(2)由条件知 S＝xy＝24，设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋
6y，由 xy＝24，得 x＝2y4，
∴l＝4x＋6y＝9y6＋6y＝61y6＋y≥6×2 1y6·y＝48.当
且仅当1y6＝y，即 y＝4 时等号成立，此时 x＝6.
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最
＜
lognn 2
2
2
＝1.
链 接
∴当 n＞2 时，logn(n－1)logn(n＋1)＜1.
题型2 利用基本不等式与题设条件求最值问题
例2 若 x，y∈R＋，且 2x＋y＝1，求1x＋1y的最小
值．
栏
目
链
接
解析：1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋y y
＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2，
等号成立的条件是：xy＝2yx， 2x＋y＝1，
目 链 接
当且仅当y－9 9＝y－9，即 y＝12，x＝4 时，x＋y
取得最小值 16.
题型3 利用基本不等式求解应用题 例3
栏
目
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四
链 接
间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽
各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24.
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
栏
当且仅当 2x＝3y 时等号成立．
目 链
由2x＝3y， 解得x＝6，
xy＝24，
y＝4.
接
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
解法二：(1)设每间虎笼长为 x m、宽为 y m，则由条件
基本不等式 课件
[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋a－1 2＝
(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2·a－1 2＋2＝4，由 b≠0， 得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.
(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0， 所以 Q＝12(lg a＋lg b)> lg a·lg b＝P； Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg a＋2 b＝R. 所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R
∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16， 当且仅当3x， 由1x＋9y＝1，
得xy＝＝142，，
即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相 等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相 等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决 定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
2 时，等号成立．
(3)变形：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2，a＋b≥2 ab(其中 a＞0，b ＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等
号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，
则 ab≠a＋2 b，即只能有 ab＜a＋2 b.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑 基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数 的单调性． (4)正确写出答案．
基本不等式
基本不等式基本不等式是数学中一个重要的概念。
其中，重要不等式指的是a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。
而基本不等式则是指a＋b≥2√(ab)，当且仅当a=b时等号成立。
此外，还有一条基本不等式是任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
在利用基本不等式求函数的最大值、最小值时，需要注意函数式中各项必须都是正数，含变数的各项的积或者必须是常数，等号成立条件必须存在。
举例来说，如果0<a<b且a＋b＝1，则a²＋b²＞2ab，a＋b≥2√(ab)，2ab＜2(1/2-a)²，a²＋b²＞(1/2-a)²＋(1/2-b)²，因此b 最大。
又如，如果a、b、c都是正数，则(a＋b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9，即a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c≥6，证明过程中利用了基本不等式。
例3、已知$a,b,c$为不等正实数，且$abc=1$。
求证：$a+b+c<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$。
证明：根据柯西不等式，$(1+1+1)(a+b+c)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$，即$3(a+b+c)\geq(a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})$。
因为$abc=1$，所以$2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=2\sqrt{abc}(1/\sqrt{a}+1/\sqrt {b}+1/\sqrt{c})\leq3\sqrt[3]{abc}\cdot3=9$。
所以$3(a+b+c)\geq(a+b+c+9)$，即$2(a+b+c)\geq9$，即$a+b+c\geq\frac{9}{2}$。
又因为$a,b,c$不全相等，所以$a+b+c>\frac{9}{2}$。
基本不等式
eg2.已知：ab 0,求证 b a 2，并指明等号 ab
成立条件
扩：1)去除条件ab>0
2)ab
0,求
b a
a b
的取值范围
可运用基本不等式求代数式的取值范围
Eg3.运用基本不等式证明：周长相等的矩 形中，正方形的面积最大
二.基本不等式的应用
1.证明不等式 eg1.求证：对于a, b, c R,有a2 b2 c2 ab
三等：利用基本不等式求最值要注意等号 取到的x的取值是否在定义域内
正数是前提，定值是基础，相等是保证， 三者缺一不可
eg2.求下列各式的最值
1）x>0,求x+ 1 的最小值 2x
2）x<0,求3x+
1 x
的最大值
3)a,b R,a b=1,求a+b的取值范围
4）x>4,求x+ 1 的最小值 x-4
eg3.1）x
R,求
x2
3x 2x
2
的取值范围
2）x
R,求
x x2
的取值范围 1
2）当x 3,求 2x2 的最小值 x3
练习：1）x ，1 ,求 x2 4x 1的最大值
x1 2）x 0,求 2x2 x 1的最小值
2x 1 3) x2 2 的最小值
x2 1
eg4.已知a,b R+ ,a b 1 1)求a b的最大值 2）求 1 1的最小值
eg2.修一个一边靠墙的矩形花园，栅栏长为12米 要使得场地面积最大，求矩形的边长
eg3.两个旅客从同一地点出发，沿同一方向走 到同一个目的地，旅客甲先用一半时间以速度 a行走，再用一半时间以速度b行走；旅客乙有 一半路程以速度a行走，一半路程以速度b行走 （a b)问哪个旅客先到达目的地？
高中数学基本不等式(二)教案新课标人教A版必修5
小结：
通过例2及变式一、二阐明解决函数最值问题可以转化为二次函数解决，也可以通过基本不等式解决。例2构造和为定值而并非积为定值，强调如何构造定值要根据题设决定，从而使学生对不等式成立的条件有更深刻的认识。
小组讨论、合作交流促进学生积极地思考，体验构造定值的思维过程。
理清本节课的学习重点，养成归纳总结的学习习惯，为后续学习打下良好的基础。
教学难点
如何构造定值并保证利用基本不等式求最值时能满足三个条件.
教学过程
设计意图
一、情景引入：货物运输问题
进货结束后装车运回。所购大米需装3辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？
函数模型为：
二、例题讲解：
例1：
激发学生学习的积极性，在复习旧知识的基础上为新课教学做好必要的铺垫。
通过例1探索：
运用不等式“正值”的条件和“积为定值”的构造。
变式一、二引导学生完成，进一步理解一正二定的前提条件，通过学生反馈学生理解知识过程中出现的问题，强化学生对基本不等式成立条件的认识。
。
例2：
基本不等式（二）教案
课题
3.4基本不等式（二）
课型
习题课
授课教师
时间
教学目标
1、知识目标：进一步理解基本不等式成立的三个条件.
2、能力目标：熟练构造定值利用基本不等式求定值。.
3、德育目标：通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题。
教学重点
利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等.
三、练习巩固：
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
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基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
基本不等式公式五个
基本不等式公式五个1. 基本不等式原始形式。
- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。
2. 基本不等式的变形一（均值不等式）- 对于正实数a,b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：由a^2+b^2≥slant2ab，令A=√(a)，B=√(b)（a,b>0），则A^2+B^2≥slant2AB，即a + b≥slant2√(ab)，所以(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
3. 基本不等式的变形二（推广到三个正数）- 对于正实数a,b,c，有a^3+b^3+c^3≥slant3abc，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 证明：a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca)- 而a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca=(1)/(2)[(a - b)^2+(b - c)^2+(c - a)^2]≥slant0，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 又因为a,b,c>0，所以a^3+b^3+c^3≥slant3abc。
4. 基本不等式的变形三（三个正数的均值不等式）- 对于正实数a,b,c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a = b = c时等号成立。
- 证明：由a^3+b^3+c^3≥slant3abc，令A=sqrt[3]{a}，B=sqrt[3]{b}，C=sqrt[3]{c}，则A^3+B^3+C^3≥slant3ABC，即a + b + c≥slant3sqrt[3]{abc}，所以(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}。
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基本不等式专题一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a ba ab ba +≤+≤≤+ 二、题型分析题型一：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型二：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型三：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
人教A版高中数学必修五课件基本不等式(二)初稿.pptx
sin x
2
D、y tan x
1
(0
x
π )
tan x
2
2.求以下问题中的最值 :
(1)若a 0,则当a ____时,4a 9 有最小值 ____; a
(2)正数x, y满足x y 20, lg x lg y的最大值 ____;
3、求以下问题中的最值 :
(1)设x 1, x 1 4 的最小值是 ____; x1
例3：若x 2,求y x 1 的最小值。 x
练习2：求y sin x 2 (0 x )的最小值。
sin x
2
下面解法正确吗？问什么？
1、已知x 1 时,求x2 1的最小值;
2
解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
变式一：若x 0,求y x 1 的最大值。 x
变式二：若x 0,求y x2 x 1的最大值。 x
例2：（1）若x 2,求y 2x 5 1 的最小值。
x2
(2)若0 x 1 ,求y x(1 2x). 2
练习1： （1）求y x 1 (x 1)的最小值。
x 1
（2）求y x(1 4x)(0 x 1)的最大值。 4
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是 ____;
探究题：
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
把握基本不等式成立的三个条件:
一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正 值；
二、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件； （构造：互为相反数、互为倒数）
（2）若和x y s(定值)，则积x y有最大值 s2
4 当且仅当x y时，取“”号。 即：“积为常数，和有最小值；和为常数，既有最大值”
《基本不等式》教学课件优秀课件
《基本不等式》教学课件优秀课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材五年级下册第五章《数的奇偶性》中的基本不等式。
具体内容包括：1. 理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质；2. 学会运用基本不等式解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 学生能够理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质；2. 学生能够运用基本不等式解决实际问题；3. 学生能够培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：理解并掌握基本不等式的性质；2. 教学重点：学会运用基本不等式解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：课本、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过一个简单的实际问题引出基本不等式的概念，激发学生的学习兴趣；2. 概念讲解：教师通过PPT课件或板书，详细讲解基本不等式的定义和性质；3. 例题讲解：教师通过PPT课件或板书，讲解几个典型例题，引导学生掌握基本不等式的运用方法；4. 随堂练习：教师给出几个练习题，让学生现场解答，巩固所学知识；5. 作业布置：教师布置几个相关作业题，让学生课后巩固。
六、板书设计1. 基本不等式的定义；2. 基本不等式的性质；3. 典型例题的解答过程；4. 随堂练习的题目和答案。
七、作业设计1. 请用文字和图形解释基本不等式的概念；2. 请举例说明如何运用基本不等式解决实际问题；3. 请完成课后练习题：第1题、第2题、第3题。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况，为下一步教学做好准备；2. 拓展延伸：教师可以给学生推荐一些相关的学习资源，让学生课后拓展学习，提高自己的数学素养。
重点和难点解析一、教学内容1. 基本不等式的定义：重点解析基本不等式中的“任意两个正数”和“乘积为定值”这两个关键点，让学生充分理解基本不等式的含义；2. 基本不等式的性质：重点讲解基本不等式的不等关系和等号成立的条件，使学生能够熟练掌握并运用；3. 基本不等式的应用：通过实际问题，让学生学会如何运用基本不等式解决问题，培养学生的实际应用能力。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面).(精选)知识框架】1、基本不等式原始形式若a,b∈R，则a2+b2≥2ab2）若a,b∈R，则ab≤(a+b)2/42、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b∈R*，则a+b≥2ab3、基本不等式的两个重要变形1）若a,b∈R*，则a+b/2≥√(ab)2）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/2总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1）若x>1，则x+1/x≥2(当且仅当x=1时取“=”）2）若x<1，则x+1/x≤-2(当且仅当x=-1时取“=”）3）若ab>0，则a+b/2≥√(ab)(当且仅当a=b时取“=”）4）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/25）若a,b∈R*，则a+b/2≤√(ab)≤(a+b)/2≤√(a2+b2)/26、柯西不等式1）若a,b,c,d∈R，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)22）若a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R，则有：(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)23）设a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn是两组实数，则有(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)2/4题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca题目3、已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3题目4、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc题目5、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≤abc/8题目6：设$a,b,c$均为正数，且$a+b+c=1$，证明：frac{1}{a^2b^2c^2}\geq\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{3abc}$$ 题型二：利用不等式求函数值域题目1：求下列函数的值域1）$y=3x^2+\frac{1}{2x^2}$2）$y=x(4-x)$3）$y=x+\frac{11}{x}$，其中$x>0$4）$y=x+\frac{1}{x}$，其中$x\neq 0$题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{x}$的最小值；变式1：已知$x>2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最小值；变式2：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最大值；变式3：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4x}{2-x}$的最大值；练：1、已知$x>\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最小值；题目2、已知$x<\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1：当$0<x<4$时，求$y=x(8-2x)$的最大值；变式1：当$0<x<4$时，求$y=4x(8-2x)$的最大值；变式2：设$0<x<\frac{3}{2}$，求函数$y=4x(3-2x)$的最大值。
基本不等式公开课课件
基本不等式公开课课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题、证明数学定理等方面起到了重要的作用。
本课件旨在介绍基本不等式的概念、性质和解题方法，帮助学生理解并掌握基本不等式的应用。
二、基本不等式的概念1. 不等式的定义和符号不等式是数学中一种表示大小关系的表达式。
通常用不等号（>、<、≥、≤）表示。
2. 基本不等式的定义基本不等式是指具有普遍适用性和重要性的不等式。
常见的基本不等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
三、基本不等式的性质1. 不等式的运算性质基本不等式满足不等式的运算性质，包括加法法则、乘法法则和取反法则等。
2. 不等式的传递性质如果对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
这种传递性质在解决不等式问题时具有重要意义。
四、基本不等式的应用1. 不等式求解方法不等式求解的一般步骤包括：将不等式转化为等价的形式、求解等价不等式，最后给出不等式的解集。
2. 基本不等式的应用举例例1：应用算术平均-几何平均不等式证明某个数值组的最优解。
例2：利用基本不等式解决实际问题，如最优化问题、优化调整问题等。
五、基本不等式的证明1. 不等式的证明方法常见的不等式证明方法有：直接证明法、间接证明法（反证法）、数学归纳法等。
2. 不等式的证明举例例：使用间接证明法证明算术平均-几何平均不等式。
六、课堂练习为了巩固学生对基本不等式的掌握，本课件设置了一些课堂练习，供学生在课后完成。
七、总结通过本课件的学习，我们了解了基本不等式的概念、性质和应用。
基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题和证明数学定理中具有广泛的应用。
希望同学们能够通过课后的练习进一步巩固对基本不等式的理解和运用能力。
基本不等式优秀课件
倒置不等式是什么？
倒置不等式是指改变不等式符号后所得到的不等式。它可以帮助我们在解决问题时更灵活地应用和推导 基本不等式。
利用倒置不等式的场景案例
倒置不等式可以应用于经济学中的供求分析、物理学中的力学问题以及概率统计中的风险分析等各种实 际场景。
如何证明基本不等式?
证明基本不等式的方法有很多，其中一种常用的方法是使用数学归纳法。通 过逐步推导和分析，可以证明基本不等式的正确性。
基本不等式与平均数不等式的 关系
基本不等式和平均数不等式密切相关。平均数不等式提供了将等式推广为不 等式的方法，并通过均值的概念推导出了很多重要的不等式。
极值原理与基本不等式
基本不等式优秀课件
通过本课件，我们将深入了解基本不等式及其广泛的应用。探索不同领域中 如何利用基本不等式解决实际问题，并了解基本不等式的重要性和应用价值。
什么是基本不等式？
基本不等式是数学中的重要概念，用于描述数值之间的大小关系。它提供了 一种有力的工具，可以证明和推导出其他重要不等式。
基本不等式的定义和内容
极值原理是基本不等式的一个重要分支，它用于解决极限问题和最优化问题。 极值原理通过基本不等式将极值和不等式联系起来，提供了一种有力的工具。
基本不等式在概率统计中的应 用
基本不等式在概率统计中有广泛的应用，可以用于描述随机变量的分布、测 量误差和评估可靠性等问题。
基本不等式解决实际问题的步 骤
通过以下步骤，我们可以利用基本不等式解决实际问题：1. 理解问题要求；2. 利用倒置不等式进行变形；3. 使用基本不等式推导出结论。
拓展性质：黑尔德不等式
基本不等式
基本不等式 1.基本不等式定义基本不等式1：若a b ，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当 b a = 时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当 b a = 时取等号.一．利用基本不等式求最值类型1 常规凑配法模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立. 1.若函数)221)(>-+=x x x x f （在a x =处有最小值，则=a （ ）2.若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是__________.3.若14<<-x ,则22222-+-=x x x y 有（ ）4.设0>>b a ,则)(112b a a ab a -++的最小值是__________.5.若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为( )6.已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是( )7.已知a ，b ，c R +∈，且4a >，4ab ac +=，则2232a b c a b c+++++的最小值是( )8.设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为( )9.已知f (x )=x +1x -2(x <0),则f (x )有 ( )类型2 消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！1.已知22451()x y y x y +=∈R ，，则22x y +的最小值是 ．2.若实数x ，y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．3.已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),则x 2+y 2的最小值是 .4.设0a >，0b >，且251ab b +=，则a b +的最小值为 ．5.已知a >0,b >0,且ab =1,则12a +12b +8a+b 的最小值为 .6．设1,02a b >>，若2a b +=，则1221a b+-的最小值为（ ）类型3 双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1.若00a b >>，，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ． 2．若实数,x y 满足0x y >>，且1412x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ） 3．若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ）4．已知正数,x y 满足1,x y +=则4121x y +++的最小值为__________．5.已知0x y >，，求44x yx y x y+++的最大值.6．若0a >，0b >，且11121a b b +=++，则2+a b 的最小值为______.类型4 “1”的代换利用基本不等式求最值的两个常用结论: (1)已知a ,b ,x ,y 是正实数,若ax +by =1,则有:1x +1y =(ax +by )(1x +1y )=a +b +by x +axy≥a +b +2√ab =(√a +√b )2. (2)已知a ,b ,x ,y 是正实数,若a x +by =1,则有:x +y =(x +y )(a x +b y )=a +b +ay x +bxy ≥a +b +2√ab =(√a +√b )2.1.若3log (2)1a b +=+2a b +的最小值为( )2.已知正实数a ,b 满足a +b =4,则1a+1+1b+3的最小值为 .3.已知正实数x ,y 满足x +2y =2xy ,则x +y 的最小值为4. (1)已知x +2y =1,则2x +4y 的最小值是 .(2)若直线x a +yb =1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a +b 的最小值为 .(3)y =4x -2+14x -5,x >54,求y 的最小值.(4)y =4x -2+14x -5,x <54,求y 的最大值.(5)若a >0,b >0,求(4a+b )(a+b )ab的最小值.5.设x ,y 是满足2x +y =20的正数,则lg x +lg y 的最大值是 ( )6.已知不等式(x +y )(1x +ay )≥9对任意的正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为 .7已知实数a >0,b >0,1a+1+1b+1=12,则a +2b 的最小值为 ( )8．若a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)(b ＋1)的最大值为________．9.已知m ，n 均为正数，(1)a m =，，(21)b n =-，，且//a b ，则1mm n+的最小值为 ．10.设a ≥0,b ≥0,且a 2+b 22=1,则a √1+b 2的最大值是 .11．若a ，b 是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为 ．12.已知a ，b 都是正数，若22a b +=，则21a b+的最小值是( )13,。
基本不等式的几种基本形式
1
设等式成立
假设存在一组数使得算术平均数
代入数学公式2来自等于几何平均数。将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出不等式的 证明。
第五种基本形式: 两个平均数之间的大 小关系
探讨两个平均数之间的大小关系，如何利用这个关系解决问题。
常见不等式的证明
介绍一些常见的数学不等式，并讲解它们的证明过程。
Cauchy-Schwarz不等式的证明过程
1
设等式成立
假设存在一组数使得Cauchy-Schwarz不等式的等号成立。
2
代入数学公式
将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出Cauchy-Schwarz不等式的证明。
拓展: Holder不等式
介绍拓展的不等式，如Holder不等式，以及其重要性和证明过程。
一个数列的算术平均数不小于其最小值。
平均数不小于最小值的证明过程
1
设等式成立
假设存在一组数使得算术平均数
代入数学公式
2
等于最小值。
将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出不等式的 证明。
第四种基本形式: 平均数不小于几何平 均数
一个数列的算术平均数不小于其几何平均数。
平均数不小于几何平均数的证明过程
基本不等式的几种基本形 式
不等式是数学中一种重要的数学关系，基本不等式是其中最基础的形式。
第一种基本形式: AM≥GM
算术平均数（AM）大于等于几何平均数（GM），这是最基本且常见的不等式。
AM≥GM的证明过程
1
代入数学公式
2
将数学公式代入等式中。
《基本不等式》课件
《基本不等式》课件《基本不等式》课件一、教学目标1、理解基本不等式的概念和性质，掌握基本不等式的证明方法。
2、能够运用基本不等式解决数学问题，提高数学思维能力。
3、培养学生对数学的兴趣和热爱，增强自主学习能力。
二、教学内容1、基本不等式的概念和性质2、基本不等式的证明方法3、基本不等式的应用三、教学重点和难点1、教学重点：掌握基本不等式的证明方法和应用。
2、教学难点：理解基本不等式的概念和性质，能够灵活运用基本不等式解决数学问题。
四、教学方法1、讲授基本不等式的概念和性质，以及证明方法。
2、通过例题和练习题加深学生对基本不等式的理解，提高运用能力。
3、针对学生的不同情况，进行个性化辅导和讲解。
五、教学步骤1、导入新课：回顾已学知识，引出基本不等式，介绍基本不等式的背景和意义。
2、讲授新课：讲解基本不等式的概念和性质，以及证明方法。
通过例题和练习题加深学生对基本不等式的理解，提高运用能力。
3、课堂互动：提问学生，引导学生思考和解决问题，提高学生的课堂参与度。
4、小结：回顾本节课的重点和难点，帮助学生巩固所学知识。
5、布置作业：根据教学内容布置相应的练习题和思考题，加深学生对基本不等式的理解和掌握。
六、教学评估1、课堂表现：观察学生的课堂参与度、思考问题的能力和学习态度等方面进行评估。
2、作业完成情况：检查学生的练习题和思考题完成情况，了解学生对基本不等式的掌握程度。
3、考试成绩：通过单元测试和期末考试等方式，评估学生对基本不等式的掌握和应用能力。
七、教学资源1、教材：《数学分析》等教材中有关基本不等式的内容。
2、教学工具：黑板、白板、笔、教学PPT等教学工具。
3、多媒体资源：教学视频、网络资源等多媒体资源。
八、教学注意事项1、注意激发学生学习数学的兴趣和热情，增强学生的学习动力。
2、针对学生的不同情况，进行个性化辅导和讲解，关注学生的个性发展。
3、在应用基本不等式解决数学问题时，要注意问题的前提条件和适用范围，确保结果的准确性和可靠性。
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变式1 :已知a, b, c为不全相等的正实数 , 求证 : a b c a b c
变式2 :已知a, b, c为正数, bc ac ab 求证 : abc a b c
例1.下列不等式 1 (1) x 2 x 1 (2) x 2 x (3)0 a 1 b, 则 log a b log b a 2 b a (4)ab 0, 则 2 a b 其中正确的是 ________
平方为定值 , 和与积都有最大值
M 若x y 为定值M , 则x y有最大值 2 M , xy有最大值 . 2
类型一:求函数的最值问题
1 2.求函数 y x ( x 3)的最小值 . x 3 9 练习：已知 x 1, 求函数 y x 的最小值 . x 1
例4、当x 0时，求y x 1 x 的最大值.
2)已知x 4 y 3( x, y R),求xy的最大值;
2 2
2 2
变题 : 1)若正数x, y满足x y 4 0,求x 2 y 2的最小值.
2)若实数x, y满足x y 4,求x 2 y的最大值 1 1 3)若x , y 0, 且x 2 y 1,求 的最小值 x y 注意:“1”的作用 逆代法
.重要不等式 : 若a,b∈R, 则a + b ≥ 2ab 1. 预备定理：
2
2
（当且仅当a = b时，等号成立）
a+b 2.平 均值定理：若 a,b∈R , 则 ≥ ab 基本不等式 : 2 （当且仅当a = b时，等号成立）
+
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
3. 基本不等式的变形式:
a b ab 2 ab (a , b R) ab ( ) (a , b R) 2 2
2 2
ab 2 a b ( ) (a , b R) (当且仅当a b时取等号) 2 2 2 ab a 2 b2 若a , b 0, 则 ab 1 1 2 2 a b
§3.4基本不等式:
第二课时
ab ab 2
2016年5月8日星期日9时5分25秒
复习基本不等式:
1. 对于任意实数 a, b, 有 : a b 2ab (当且仅当a b时取等号) ab 简称 “二正量定理” 2. 当a 0, b 0时, ab 或“均值定理” 2
2 2
4 9 变题 : 求函数f ( x ) 的最小值. 2 2 sin x cos x
练习:
9x 1. 已知x 1,求函数y x 的值域 x 1 2 x 1 x 2. 已知x 0,求函数y 2 的最小值. 2 x x 1 x x 1
16 5. 求函数 y sin x 的最小值 2 sin x 6. 设x , y均为正数. (1)若2 x 5 y 20,求 lg x lg y的最大值; 2 5 ( 2)若 lg x lg y 1,求 的最小值 ; x y
2. 应用基本不等式时要注意三个前提条件：
b 函数y ax(b cx )与函数y ax 的最值 x
“ 一正、二定、三相等”
彩！
3.方法:应用基本不等式求最值时,常需“配凑定值” 4.学法指导:“正”、“定”、“等”在求最值题型中绽放光
"一正二定三等" 缺一不可
注意：
2 2
正数
定值
取等号
1.已知x, y都是正数, 求证 : (1)如果积xy是定值p, 那么当x y时, 和x y有 最小值2 p (2)如果和x y是定值s, 那么当x y时, 积xy s 有最大值 4
2
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
例3. 已知a, b, c为实数, 求证 : a b c ab bc ac
类型一:求含一个变量的最值问题
1 1)已知x 2, 求函数y 2 x 的最大值. x2 “配凑定值” 2 x 3x 2 2)已知x 1, 求函数y 的值域. x 1
如果取等号的条件不成立, 则利用函数的单调性求最值
2 3).求y sin x 的最值(0 x ). sin x
2
练习: （）已知实数 1 a, b, x, y满足a 2 b 2 1, x 2 y 2 3, 求ax by的最大值.
2 b 2 2 3. 设a 0, b 0, 且a 1,求a 1 b 的最大值 2
注：应用基本不等式求最值时,常需“配凑定值”
1 1 5. 已知a , b 0, 且a b 1,求y (a )(b )的最小值 a b
a b
是多少？ 2） .已知x 1, y 1, 且 lg x lg y 4, 那么lg x lg y 的最大值是 _________
(3)若2 x 5 y 20，且x, y都是正数，求 lg x lg y 的最大值
2 5 (4)若 lg x lg y 1, 求 的最小值. x y
2 2
调和平均数几何平均数 算术平均数 平方平均数
复习基本不等式:
作用: 在不等关系中， 和的形式转化为积的形式， 或积的形式转化为和的形式。
1. 证明不等式
如果xy P (定值), 那么当x y时, 和x y有最小值2 P ; S2 如果x y S (定值), 那么当x y时, 积xy有最大值 4 此结论常用来求函数的最值.使用“和为定值积有最大值 与“积为定值和有最小值”这两个结论时，必须注意： (1)“正”：所有字母或常数为正数. (2)“定”：积或和为定值(有时需通过“凑配法”凑出定值) (3)“等”：等号成立的条件.
2
1 5 3). 求函数y 2 x 1 5 2 x ( x )的最大值 2 2
变式引申：已知 a 0, b 0，
2 2
b 2 且a 1，求a 1 b 的最大值 2
类型二:求含两个变量的最值问题
3.(1)若a, b R, 且a b 3, 则2 2 的最小值
பைடு நூலகம்
值; 当“和”为定值时,“积”有最大 已知是x , y是正数,求证 : 值.
2. 求最值 当“积”为定值时,“和”有最小
k (1)函数y x (k 0)在(0, k ]及[ k ,0)上为 x 减函数，在 [ k ,)及(, k ]为增函数。
k (2)对于y x (k 0)形式的不等式求最值常 x 有两种思路：二正量和 函数单调性
1 9 4.(1)已知x 0, y 0, 且 1，求x y的最小值 x y
1 2 (2)已知x 0, y 0, 且x y 1, 求 的最小值 x y
变式：已知x 0, y 0，且2 x 5 y 20， 1 1 求 的最小值 x y
2. 1)已知x 4 y 3( x 0, y 0),求xy的最大值;
4 2
x 3x 3 4).求函数y 的最小值. 2 x 1 一定要注意三个前提条件：“ 一正、二定、三相等”
3 例2.1）已知0 x , 求函数y x(3 2 x) 2 的最大值
用正量定理求最值:(1)积是定值,和有最小值； (2)和是定值, 积有最大值。
2).当x 0时，求y x 1 x 的最大值.
2
x 2x 1 4 16 4. 已知正数x , y满足 1,求x y的最小值. x y
2
3. 求函数 y
( x 0)的最小值 .
小结 :
ab 二正是量定理:当a 0, b 0时, ab 2 (当且仅当a b时取等号) 用二正量定理求最值: 当“积”为定值时，“和”有最小值； 当“和”为定值时，“积”有最大值. 1.利用基本不等式求如下 形式的函数的最值: