高考数学总复习 5.3线段的定比分点与平移课时演练 人教版
高考数学总复习线段的定比分点和平移精品课件大纲人教版
互动探究2 将此抛物线按怎样的向量a＝(h，k)
平移，能使平移后的曲线的函数解析式为y＝x2?
解：由x′＝ x＋ h y′＝ y＋ k
得 xy＝＝yx′′－－kh
Hale Waihona Puke 代入y＝(x－1)2－9 中得到 y′－k＝(x′－h－1)2－9， 使其顶点为 (0,0)，
∴h＋1＝0 ， ∴h＝－1
－ 9＋ k＝ 0
数y＝f(x)的图象向左平移了1个单位，向下平移
了2个单位，故选C.
用＝建立M、N之间的坐标关系，用其坐标表示λ，
求其值域．
【解】 (1)设曲线 C 上的点的坐标为(x′，y′)， 由平移公式得
x′＝x＋2
y′＝y＋1
，即x＝x′－2 y＝y′－1
.代入曲线方程
即(x＋2)2＋2(y＋1)2＝2 中得到 x′ 2＋ 2y′ 2＝ 2. ∴曲线 C 的方程为x2＋y2＝1.
x1＋ x2 2
x1＋ λx2 1＋ λ
y1＋ y2 2
2．图形的平移 (1)平移 设F为坐标平面内一个图形，将F上所有点按 _同__一_个__方__向____ 移 动同__样_____ 的 长 度 ， 得 到 图 形 F′，这个过程叫图形的平移．将一个图形平移， 图形的形状大小不变，只是在坐标平面内的位置 发生变化．
即把y＝ex的图象向右平移两个单位，再向上平
移3个单位得到f(x)的图象．∴f(x)＝ex－2＋3.故
选C.
3．若函数y＝f(x)的图象按向量a平移后，得到函
数y＝f(x＋1)－2的图象，则向量a等于( )
A．(1，－2)
B．(1,2)
C．(－1，－2)
D．(－1,2)
解析：选C.可知函数y＝f(x＋1)－2的图象是由函
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 5.3线段的定比分点与平移配套课件 理 新人教A版
| PP2 |
2
2.线段的定比分点坐标公式
(1)线段的定比分点坐标公式
设点P分有向线段 P1P2 的比为λ ，即 P1P PP2， 并且P1(x1,y1)，
x1 x 2 x 1 P2(x2,y2),P(x,y)，则 _______ ( 1)， y y1 y 2 _______ 1 x1 x 2 y1 y 2 , ) 即点P的坐标为_________________( λ ≠-1). 1 1 (
(2)思考：点P分有向线段 P1P2 所成的比λ ∈R对吗？为什么？
提示：不对，根据定比分点的定义可知：分点 P不同于P1、P2两
点，∴λ≠0且λ≠-1.
(3)在数轴上，P1、P2、P点的坐标分别是-1、0、2，则点P分有 向线段 P1P2 所成的比λ =_____.
【解析】由题意，得 | P1P | 3,| PP2 | 2, | P1P | 3 .
【即时应用】
(1)已知A(-2，-2)，B(1，1)，C(0，3)，则线段AB的中点坐标 为_____，△ABC的重心的坐标为_____. (2)已知P1(-1,0),P2(0,2),点P分有向线段 P1P2所成的比λ =-3， 则点P的坐标为_____. (3)已知直线y=2x上三点A(-1，-2)、B(1，2)、C(2，4)，则点 C分有向线段 AB所成的比λ =_____.
(3)由定比分点坐标公式，得 2 1 ，解得λ=-3.
1 1 2 答案：(1) ( 1 ， ) ( ， ) 2 2 3 3 1 (2) ( 1 ， 3) 2
(3)-3
3.平移公式
设P(x,y)是图形F上任一点，它按向量a=(h,k)平移后的图形
(广西专用)版高中数学 5.3线段的定比分点与平移课时提能训练 理 新人教A版
- 1 - 【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 5.3线段的定比分点与平移课时提能训练 理 新人教A 版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知直线l 经过点M(－1,0)，N(2,3)，则直线l 与y 轴的交点P 分有向线段MN 所成的比为( )(A)12 (B)－12(C)2 (D)－2 2.若A 、B 、C 三点共线，点C 分有向线段AB 所成的比是－3，则点B 分有向线段AC 所成的比λ是( )(A)－2 (B)2 (C)－3 (D)－133.将函数y ＝sinx 的图象按向量a ＝(－π2，3)平移后的图象对应的函数解析式为 ( )(A)y ＝sin(x －π2)＋3 (B)y ＝sin(x －π2)－3 (C)y ＝cosx ＋3 (D)y ＝cosx －34.函数y ＝cos(2x ＋π6)－2的图象F 按向量a 平移到F′，F′的函数解析式为y ＝f(x)，当y ＝f(x)为奇函数时，向量a 可以等于( )(A)(－π6，－2) (B)(－π6，2) (C)(π6，－2) (D)(π6，2) 5.将抛物线y 2＝4x 按向量a 平移后得到抛物线y 2－4y ＝4x ，则向量a 为( )(A)(－1,2) (B)(1，－2)(C)(2，－4) (D)(－2,4)6.(易错题)已知A(3,0)，B(0,4)，O 为坐标原点，则点O 在直线AB 上的射影点C 的坐标是( )(A)(85，65) (B)(435，65) (C)(3625，4825) (D)(4825，3625) 二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·玉林模拟)把函数y ＝2x 2－4x ＋5的图象按向量a 平移得到y ＝2x 2的图象，又a ⊥b ，c ＝(1，－1)，b·c ＝4，则b ＝ .8.(2012·南宁模拟)已知点P 分12P P 的比为－3，则P 1分2P P 所成的比是 .。
高考数学总复习 5.3线段的定比分点与平移课件 人教版
→ 点 P 分有向线段P1P2所成的比．
→ → P1P＝λPP2中，要注意字母的顺序，分别是起点—分点， → 分点—终点，这一顺序是不能颠倒的，P 分P1P2的比与 P 分 → P2P1的比是两个不同的比，要注意区别． → 点 P 在线段 P1P2 上且异于 P1、 P2 两点时， 点 P 是P1P2的 内分点，这时定比 λ＞0；当 P 在线段 P1P2 的延长线或反向 → → → 延长线上时，点 P 是P1P2的外分点，P1P与PP2方向相反，这 时定比 λ＜0.
.
答案：(－3，－5)或(2，－7)
x2 2 5．设 F1，F2 分别为椭圆 3 ＋y ＝1 的左、右焦点，点 A， → → B 在椭圆上．若F1A＝5F2B，则点 A 的坐标是______． → → 解析：设 A(m，n)，由 F1 A ＝5F2B m＋6 2 n 得 B( 5 ，5)． 2 m 2 3 ＋n ＝1， 又 A，B 均在椭圆上，所以有 m＋6 2 5 n 2 ＋ 5 ＝1， 3
(2)三角形重心坐标公式： 在△ABC 中， A(x1， y1)， B(x2， y2)，C(x3，y3)，若重心为 G(x，y)，
则
二、平移 1．平移 设F为坐标平面内的一个图形，将F上所有点按同一个方 向 移 动 同 样 的 长 度 ， 得 到 图 形 F′ ， 这 个 过 程 叫 图 形 的 平 移．将一个图形平移后，图形的形状大小不变，只是在坐标 平面内的位置发生变化．
第三讲
线段的定比分点与平移
考点 线段的 定比分 点 分比、定比 分点坐标公 式、中点坐 标公式 平移公式， 图形按向量 平移
考纲要求 掌握平面中线段 的定比分点和中 点坐标公式
高中数学 5.3线段的定比分点与平移配套课件 理 新人教
，
y
y1 y2 y3
____3_____
即重心G的坐标为_(_x_1 __x3_2__x_3_,_y_1__y_32___y_3 )_.
【即时应用】 (1)已知A(-2，-2)，B(1，1)，C(0，3)，则线段AB的中点坐标 为_____，△ABC的重心的坐标为_____. (2)已知P1(-1,0),P2(0,2),点P分有向线段 P1P2所成的比λ =-3， 则点P的坐标为_____. (3)已知直线y=2x上三点A(-1，-2)、B(1，2)、C(2，4)，则点 C分有向线段 AB所成的比λ =_____.
【方法点睛】
1.确定λ 的值的常用方法 (1)定义法：由向量 P1P与 PP2的方向是否相同确定λ 的符号(相 同为正，相反为负)；由向量 P1P与 PP2 的长度确定λ 的绝对 值，即 | | | P1P | .
第三节 线段的定比分点与平移
三年3考 高考指数:★★ 1.掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练地运用所学 知识解决相关问题. 2.掌握平移公式，并能熟练地应用平移公式解决问题.
1.新课标教材中无本节内容，故大纲卷对线段的定比分点与平 移的考查有所淡化. 2.对线段的定比分点与平移的考查，各种题型都可能出现，主 要考查线段的定比分点坐标公式和向量平移公式.
1 0 13
1 2
, P( 1
, 3).
06 3
2
1 1 3
(3)由定比分点坐标公式，得 2 1 ，解得λ=-3.
1
答案：(1) ( 1， 1) ( 1，2) (2) (1，3)
22
33
2
(3)-3
3.平移公式
设P(x,y)是图形F上任一点，它按向量a=(h,k)平移后的图形
高三数学理科线段的定比分点与图形平移 解斜三角形及其应用 人教版
高三数学理科线段的定比分点与图形平移 解斜三角形及其应用 人教版一. 本周教学内容：线段的定比分点与图形平移、解斜三角形及其应用 二. 本周教学重、难点：1. 掌握线段的定比分点，中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式2.（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式。
（2）会运用正、余弦定理解决三角形中的计算和证明问题。
（3）能利用三角公式及三角形知识解决有关三角形的问题以及有关的实际问题。
【典型例题】[例1] 已知抛物线822--=x x y（1）求抛物线顶点的坐标；（2）求将这条抛物线的顶点平移到点（2，3-）时的函数解析式；（3）将此抛物线按怎样的向量),(k h a =平移，能使平移后曲线的函数解析式为2x y =。
解：（1）将822--=x x y 配方，得9)1(2--=x y 故抛物线顶点O '坐标为（9,1-）（2）将点)9,1(-平移到点（3,2-）时，设平移向量),(k h a =，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=+-=+613921k h k h 即点的平移公式为⎩⎨⎧+='+='61y y x x 于是⎩⎨⎧-'=-'=61y y x x ∵ 点（y x ,）在抛物线9)1(2--=x y 上∴ 将平移公式代入可得9]1)1[(62---'=-'x y 化简得142+'-'='x x y即平移后函数的解析式为142+-=x x y（3）方法一：按平移公式⎩⎨⎧+='+='k y y h x x 即⎩⎨⎧-'=-'=k y y hx x代入原抛物线的解析式822--=x x y 得8)(2)(2--'--'=-'h x h x k y化简得k h h x h x y +-++'+-'='82)1(222与平移后曲线的解析式2x y '='比较可得⎩⎨⎧=+-+=+-0820)1(22k h h h解得⎩⎨⎧=-=91k h ∴ 所求平移向量为)9,1(-=a方法二：由822--=x x y 配方得9)1(2--=x y ，即2)1(9-=+x y作平移，使⎩⎨⎧+='-='91y y x x 则方程化为2x y '='，即2x y =此时平移向量)9,1(-=a[例2] 已知曲线0444222=++++y x y x 按向量)1,2(=a 平移后得到曲线C 。
高考数学总复习 5.4线段的定比分点与平移课件 文 新人教B版
[ 解析]
设平移后曲线上任意一点坐标为 (x′，
y′)，则根据平移公式可得
x′－x＝h y′－y＝k x＝x′－h ，∴ y＝y′－k
.
又 f(x，y)＝0， ∴f(x′－h，y′－k)＝0. 即 f(x－h，y－k)＝0 为平移后曲线方程．
[答案] B
例 1
已 知 △ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为
• 3．按向量a把(3，－2)平移到(1,1)，则按向量a把点(－4,0)平移 到点 • ( ) • A．(－6,1) B．(－8,3) • C．(－6,3) D．(－8，－1) • [解析] 由题得a＝(－2,3)， • ∴(－4,0)按向量a平移得(－6,3)． • [答案] C
• 4．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则点C坐标为
P在P1P2延长 λ<0 P叫外分 线或其反向延 点 且 λ ≠－ 1. 长线上
2.定比分点的坐标公式：设 P1(x1，y1)、P2(x2， y2)、P(x，y)，O 为 P1、P2 所在平面内任意点，则 1 → λ → → (1)向量式：OP＝ OP1＋ OP2. 1＋λ 1＋λ x＝x1＋λx2 1＋λ (2)坐标式： y1＋λy2 y＝ 1＋λ
A．－
4 3
2 B．－ 3 3 D．－ 2
1 C．－ 2
P→ 4 2P1 → [解析] 由题得 ＝－ 即 P1 分有向线段P 2P所 3 → P 1P 4 成比为－ . 3
[答案] A
• 2．△ABC的两个顶点A(3,7)和B(－2,5)，若AC的中点在x轴上， BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是 • ( ) • A．(2，－7) B．(－7,2) • C．(－3，－5) D．(－5，－3) • [解析] 设C(x，y)，则由AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上 得：7＋y＝0，－2＋x＝0，∴x＝2， • y＝－7即C(2，－7)． • [答案] A
2021年高考数学 5.3 线段的定比分点与平移课时提升作业 文(含解析)
2021年高考数学 5.3 线段的定比分点与平移课时提升作业文（含解析）一、选择题1.已知A(3,7),B(5,2)将按向量a=(1,2)平移后所得向量是( )(A)(1,-7) (B)(2,-5)(C)(10,4) (D)(3,-3)2.若点P分有向线段所成的比为-,则点B分有向线段所成的比是( )(A)- (B)- (C) (D)33.(xx·北海模拟)若函数y=f(x)的图象按向量a平移后,得到函数y=f(x-1)-2的图象,则向量a=( )(A)(-1,2) (B)(1,2)(C)(1,-2) (D)(-1,2)4.点(2,-3)按向量a平移后为点(1,-2),则点(-7,2)按向量a平移后的坐标为( ) (A)(-6,1) (B)(-8,3)(C)(-6,3) (D)(-8,1)5.将y=2cos(+)的图象按向量a=(-,-2)平移,则平移后所得图象的解析式为( )(A)y=2cos(+)-2(B)y=2cos(-)+2(C)y=2cos(+)+2(D)y=2cos(+)-26.已知点A(2,3),B(10,5),直线AB上一点P满足||=2||,则点P的坐标是( ) (A)(,) (B)(18,7)(C)(,)或(18,7) (D)(18,7)或(-6,-1)7.函数y=log a x(a>0且a≠1)的图象按向量h=(-3,1)平移后正好经过原点,则a等于( )(A)3 (B)2 (C) (D)8.(xx·重庆模拟)将函数y=3sin(x-θ)的图象F按向量(,3)平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线x=,则θ的一个可能取值是( )(A)π(B)-π(C)π(D)-π9.如图所示,已知两点A(2,0),B(3,4),直线ax-2y=0与线段AB交于点C,且C分所成的比λ=2,则实数a的值为( )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)210.(能力挑战题)已知点P在直线AB上,点O不在直线AB上,且存在实数t满足=2t+t,则=( )(A) (B) (C)2 (D)3二、填空题11.抛物线y=4x2的图象按向量a=(1,2)平移后,其顶点在一次函数y=x+的图象上,则b的值为.12.将函数y=2sin(2x+)+3的图象C进行平移后得到图象C′,使C上面的一点P(,2)移至点P′(,1),则图象C′对应的函数解析式为.13.若直线y=2x+m-4按向量a=(-1,2)平移后得到的直线被圆x2+y2=m2截得的弦长为2,则实数m的值为.14.(能力挑战题)已知点A(0,0),B(,0),C(0,1).设AD⊥BC于D,那么有=λ,其中λ= .三、解答题15.(xx·钦州模拟)如图所示,已知直线l过点P(4,-9)和点Q(-2,3),l与x轴,y轴交于M点和N点.求点M分所成的比λ和点N的坐标.答案解析1.【解析】选B.=(2,-5),按向量a=(1,2)平移后的向量仍为(2,-5).2.【解析】选A.如图,B点是有向线段的外分点,λ=-=-,故选A.3.【解析】选C.设a=(h,k),由得∴y′-k=f(x′-h),即y′=f(x′-h)+k,即∴a=(1,-2).【变式备选】将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象,则( )(A)a=(-1,-1) (B)a=(1,-1)(C)a=(1,1) (D)a=(-1,1)【解析】选A.依题意,由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象,需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位,向下平移1个单位,故a=(-1,-1).4.【解析】选B.设a=(h,k),由得∴设点(-7,2)按向量a平移后的坐标为(x″,y″),∴5.【解析】选A.由平移公式,得即∴y′+2=2cos[(x′+)+],即y′=2cos(+)-2.∴y=2cos(+)-2.【一题多解】按a=(-,-2)平移,即向左平移个单位,再向下平移2个单位,得到y=2cos[(x+)+]-2,即y=2cos(+)-2.【误区警示】注意不要将向量与对应点的顺序搞反,或死记硬背以为是先向右平移个单位,再向下平移2个单位,误选C或D.6.【解析】选 C.设=λ,由||=2||可知λ=±2,由定比分点坐标公式可得P点坐标为(,)或(18,7).7.【解析】选D.∵函数y=log a x按向量h=(-3,1)平移后,得到y=log a(x+3)+1,∴y=log a(x+3)+1的图象过原点,则a=.8.【解析】选A.平移得到图象F′的解析式为y=3sin(x-θ-)+3,对称轴方程x-θ-=kπ+(k∈Z),把x=带入得θ=--kπ=(-k-1)π+π(k∈Z),令k=-1,则θ=π.9.【解析】选D.设点C的坐标为(x,y).∵A(2,0),B(3,4),且C分所成的比λ=2,∴∵点C在直线ax-2y=0上,∴a×-2×=0,∴a=2.10.【思路点拨】由A,B,P三点共线求t的值,进而分析与的关系.【解析】选B.∵=2t(-)+t,∴=+,∵P在直线AB上,∴+=1,∴t=1,∴=+,∴=-=-,=-=-=-2,∴=.11.【解析】抛物线y=4x2的图象按向量a平移后为y=4(x-1)2+2,故顶点为(1,2),即2=×1+,所以b=3.答案:312.【解析】设平移向量为a=(h,k),则由平移公式得∴∴a=(,-1).设(x,y)为图象C上任一点,(x′,y′)为图象C′上相应的点,则∴将它们代入y=2sin(2x+π)+3中,得到y′=2sin(2x′+)+2.即图象C′对应的函数解析式为y=2sin(2x+)+2.答案:y=2sin(2x+)+213.【解析】直线y=2x+m-4按向量a=(-1,2)平移后得到的直线方程为y=2x+m,根据题意,结合弦长为2,得=,解得m=±.答案:±14.【解析】如图,|AB|=,|AC|=1,|CB|=2,由于AD⊥BC,且=λ,所以C,D,B共线,且点D在线段BC上,由面积相等可得|AD|=,在Rt△ADC中,由勾股定理可知|CD|=,则=,即λ=.答案:15.【思路点拨】设点M(x0,0),则可由λ=可求得λ的值.同样方法可求点N分所成的比λ′,再用定比分点坐标公式,求得y N.【解析】设点M(x0,0).∵P(4,-9),Q(-2,3),∴点M分所成的比λ==3.设N点分所成的比为λ′,同理可得λ′=2,∴y N==-1.∴N点坐标是(0,-1).32378 7E7A 繺`28975 712F 焯R; U~39691 9B0B 鬋yq34248 85C8 藈37374 91FE 釾。
高考第一轮复习数学：53两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移-教案(含习题及答案).
5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式：P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y=f （x+1）－2B.y=f （x －1）－2C.y=f （x －1）+2D.y=f （x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f （x －1）+2. 答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y=4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2） 解析：设a=（h ，k ），由平移公式得 ⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x 代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2， 即y 2－2ky=4x －4h －k 2， ∴k=2，h=－1. ∴a=（－1，2）. 答案：A 思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示：由y 2－4y=4x ，配方得（y －2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为 A.83 B.38 C.－83 D.－38解析：设A 点分BC 所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83.答案：C4.若点P 分AB 所成的比是λ（λ≠0），则点A 分BP 所成的比是____________. 解析：∵=λ，∴=λ（－+）.∴（1+λ）=λ.∴=λλ+1.∴BA =－λλ+1. 答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为（－32，34）.答案：（－32，34）（文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y=mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x=231236++=515=3，y=2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y=mx －7得5=3m －7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析【例1】 已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使||=31||.剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =31BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x+1，y －6）=31（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）.若AP =－31AB ，则由（x+1，y －6）=－31（4，－6）得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）.综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41.A PB P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD 是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC 所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（ ∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD|=22423259）（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线，∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BA ⋅=，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x+1，y －2），∴（x －4）（y －2）=（x+1）（y －1）.②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ，∴D 点坐标为（9－52，2），|BD|=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】 已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将 □ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O.（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. 解：（1）由□ABCD 可得=， 设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x即C （29，2），D （27，0）.∴a=（－29，－2）.（2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）.●闯关训练 夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx 按向量a=（－4π，3）平移后的函数解析式为A.y=sin （x －4π）+3B.y=sin （x －4π）－3C.y=sin （x+4π）+3 D.y=sin （x+4π）－3 解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）.∴y '=sin （x '+4π）+3，即y=sin （x+4π）+3.答案：C 2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y=2sin （2x+3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1）B.（－6π，1） C.（3π，－1）D.（6π，1） 解析：由y=2sin （2x+3π）+1得y=2sin2（x+6π）+1，∴a=（－6π，1）. 答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y+2=18x 2+1，即18x 2=3y+1，x 2=61y+181=61（y+31），∴p=121，焦点坐标为（0，－247）.答案：x 2=61（y+31） （0，－247）4.把函数y=2x 2－4x+5的图象按向量a 平移后，得到y=2x 2的图象，且a ⊥b ，c=（1，－1），b ·c=4，则b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b=（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量=（3，1），=（－1，2），⊥，∥.试求满足+=的的坐标.解：设OD =（x ，y ），则OC =（x ，y ）+（3，1）=（x+3，y+1）， =－=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x所以⎩⎨⎧==，，611y x =（11，6）.6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足AC =31AB ，AD =3AB ，AE =－41AB ，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a=（2cosx ，1），b=（cosx ，3sin2x ），x ∈R.（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若y=2sin2x 的图象按向量c=（m ，n ）（|m|＜2π）平移后得到函数y=f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x+3sin2x=1+2sin （2x+6π），由1+2sin （2x+6π）=1－3，得sin （2x+6π）=－23.∵|x|≤3π，∴－2π≤2x+6π≤6π5.∴2x+6π=－3π，即x=－4π.（2）函数y=2sin2x 的图象按向量c=（m ，n ）平移后得到函数y=2sin2（x －m ）+n 的图象，即y=f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x+12π）+1.又|m|＜2π，∴m=－12π，n=1.8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2， 即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2，即y 2=λλ432-.∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1.又∵λ＞0，故解得λ≥21.故λ的取值范围为［21，+∞）.思考讨论本题若设出直线l 的方程y=kx+2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新 9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）B❑ 东北（1）求出发后3 h 两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.APQB❑东北x y 设在t 时刻甲、乙两船分别在P （1122）， 则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ， 由θ=arctan 21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105tsin θ=10t ，y 2=105tcos θ－40=20t －40.（1）令t=3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ|=2220453045）－（）（+-=850=534， 即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知|PQ|=212212）（）（y y x x -+-=221540201510）（）（t t t t --+- =1600400502+-t t=8004502+-）（t ≥202.∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离. ●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题： （1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ●教师下载中心 教学点睛 1.线段的定比分点公式P P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例 【例1】 （2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A+cos 22B －3sin2A －cos2B+2. （1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A+B=2π且A 、B ∈R 时，y=f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1， 由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或 ∴C=3π2或C=2π.（2）∵A+B=2π，∴2B=π－2A ，cos2B=－cos2A.∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A+3=2cos （2A+3π）+3=2cos2（A+6π）+3.从而p=（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）.【例2】 设曲线C 的方程是y=x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平移t 、s 单位长度后，得到曲线C 1.（1）写出曲线C 1的方程；（2）证明：曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称.（1）解：C 1：y －s=（s －t ）3－（x －t ）. ①（2）分析：要证明曲线C 1与C 关于点A （2t ，2s）对称，只需证明曲线C 1上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 上，反过来，曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 1上即可.证明：设P 1（x 1，y 1）为曲线C 1上任意一点，它关于点A （2t ，2s）的对称点为 P （t －x 1，s －y 1），把P 点坐标代入曲线C 的方程，左=s －y 1，右=（t －x 1）3－（t －x 1）.由于P 1在曲线C 1上，∴y 1－s=（x 1－t ）3－（x 1－t ）.∴s －y 1=（t －x 1）3－（t －x 1），即点P （t －x 1，s －y 1）在曲线C 上. 同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C 1上.从而证得曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称.。
【创新设计】高三数学一轮复习5.3线段的定比分点与平移课件文大纲人教版
【思考】 用定比分点坐标公式求点的坐标时，应注意什么问题？
答案：首先要确定λ，此时一定要分清有向线段的起点、终点和分点， 尤其是要明确分点是内分点还是外分点，若情况不定，应分类讨论， 确定λ的值．一般有两种思路：一是借助图形，数形结合求解；另一种 是进行向量的代数运算，用定比分点的定义确定λ的值．
第3讲 线段的定比分点与平移
【考纲下载】
1. 掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且 能熟练运用．
2．掌握平移公式.
1．线段的定比分点 (1)定比λ与分点之间的一一对应关系如下表
λ的范围 P点位置 P点名称
λ<－1 在P1P2的延长线上
外分点
λ＝－1 不存在
－1<λ<0 在P2P1的延长
解：如图所示，由于P分 的比为 ，∴
变式1：已知点A分有向线段
的比为2，求下列定比λ：①A分
的
比；②B分
的比；③C分 的比．
解：因为A分 的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|(如图所示)．
解决该类问题要正确地选取线段的起点和终点，应用定比分点坐标公式求
点的坐标，或求定比λ，这类问题也可由共线向量定理来解决．
1．关于线段的定比分点 要弄清楚按定比划分线段和定比的意义，也可以把定比分点问题转化为向量 共线问题，这样处理线段比例时用向量平行的充要条件更为简捷．
2．将图形按向量a＝(h，k)平移，也就是将图形沿x轴向右(或向左)平移|h|个 单位(h>0时向右，h<0时向左)，再沿y轴向上(或向下)平移|k|个单位(k>0时向 上，k<0时向下)．函数y＝f(x)图象按向量a＝(h，k)平移后，新图象所对应的函 数解析式为y＝f(x－h)＋k.因此图形按向量平移和沿x轴、沿y轴方向平 移所得结果是一致的，只是前者更利于研究，方便于过程的阐述．
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1．已知两点M (－1，－6)，N (3,0)，点P (－73
，y )分有向线段MN →所成的比为λ，则λ，y 的值分别为( )
A ．－14，8 B.1
4，－8
C ．－14，－8
D ．4，18
2．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)三点共线，若x 1，x 2，x 3成等差数列，则P 1
分有向线段P 2P 3→所成的比为( )
A ．－2
B ．－12
C ．－3
D ．－1
3
解析：∵x 1，x 2，x 3成等差数列，∴x 1＋x 3＝2x 2， ∴x 3－x 1＝2(x 2－x 1)．∴
x 1－x 2x 3－x 1＝－1
2
. ∴P 1分P 2P 3→所成比λ＝
x 1－x 2x 3－x 1＝－12
. 答案：B
3．已知f (x )是定义在R 上的单调函数，实数x 1≠x 2，λ≠－1，α＝x 1＋λx 21＋λ，β＝x 2＋λx 1
1＋λ
，若|f (x 1)－f (x 2)|＜|f (α)－f (β)|，则( )
A ．λ＜0
B ．λ＝0
C ．0＜λ＜1
D ．λ≥1
解析：不妨设函数f (x )为增函数，由题意可知在x 轴上α，β在x 1，x 2之外，故λ＜0.
答案：A
4．已知点M 1(6,2)和M 2(1,7)，直线y ＝mx －7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2的比为3∶2，则m 的值为( )
A ．－32
B ．－2
3
C.1
4
D ．4 解析：设M (x ，y )分M 1M 2
的比为3
2，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6＋321＋32
＝3，
y ＝2＋3
2×7
1＋32
＝5，
∴M (3,5)在直线y ＝mx －7上，即5＝3m －7，∴m ＝4. 答案：D
5．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且存在实数m ，使m a －3b ＋c ＝0成立，则点A 分BC →的比为( )
A ．－13
B ．－1
2
C.13
D.12
解析：设点A 分BC →的比为λ，则BA →＝λAC → ⇒OA
→－OB →＝λ(OC →－OA →) ⇒(1＋λ)OA →－OB →＝λOC →⇒(1＋λ)a －b ＝λc ⇒c ＝1＋λλa －1
λ
b .①
又∵c ＝－m a ＋3b .② 由①、②得⎩⎪⎨⎪⎧
1＋λ
λ＝－m ，
－1
λ＝3.⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝－13m ＝2
.
答案：A
6．将函数f (x )＝x 3
＋3x 2
＋3x 的图象按向量a 平移后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )满足g (1－x )＋g (1＋x )＝1，则向量a 的坐标是( )
A ．(－1，－1)
B ．(2，3
2)
C ．(2,2)
D ．(－2，－3
2
)
解析：f (x )＝x 3
＋3x 2
＋3x ＝(x ＋1)3
－1，其对称中心为M 1(－1，－1)，函数g (x )满足
g (1－x )＋g (1＋x )＝1，其对称中心为M 2(1，1
2)，则向量a ＝M 1M 2→的坐标是(2，32
)．
答案：B
7．把点A (2,1)按向量a ＝(－2,3)平移到B .此时点B 分向量OC →(O 为坐标原点)的比为－2，则C 点的坐标为______．
解析：设C 点坐标为(a ，b )，B (x ′，y ′)，
∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x ＋h
y ′＝y ＋k ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝0y ′＝4，即B (0,4)．
又∵B 分OC →的比为－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
0＝0＋
－2a
1＋－2
4＝0＋
－2b 1＋
－2
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0
b ＝2
，即C (0,2)．
答案：(0,2)
8．已知点P 是抛物线y ＝2x 2＋1上的动点，定点A (0，－1)，若点M 分PA
→所成的比为2，则点M 的轨迹方程是______，它的焦点坐标是______．
解析：设P (x 0
，y 0
)，M (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x
3
y ＝y 0
－2
3
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3x
y 0＝3y ＋2，
将其代入y 0＝2x 20＋1，得3y ＋2＝18x 2＋1，即x 2
＝16y ＋118＝16(y ＋13)，则p ＝112，故焦点
坐标为(0，－7
24
)．
答案：x 2
＝16(y ＋13) (0，－724
)
9．若直线y ＝－ax －2与连接P (－2,1)，Q (3,2)两点的线段有公共点，则实数a 的取值范围是________．
解析：当直线过P 点时，a ＝32；直线过Q 点时，a ＝－4
3
；当直线与线段PQ 的交点在P 、
Q 之间时，设这个交点M 分PQ →的比为λ，则它的坐标x M ＝
－2＋3λ1＋λ，y M ＝1＋2λ
1＋λ
.
因为直线过M 点，所以1＋2λ1＋λ＝－a ×－2＋3λ
1＋λ－2，
即λ＝2a －3
3a ＋4
.
由M 在线段PQ 上知λ＞0，所以2a －3
3a ＋4＞0
解得a ＜－43或a ＞3
2
.
故a ≤－43或a ≥3
2为所求a 的取值范围．
答案：a ≤－43或a ≥3
2
10．已知△ABC 的三个顶点为A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，试求： (1)三边的长；
(2)AB 边上的中线CM 的长； (3)重心G 的坐标； (4)角A 的平分线AD 的长． 解：(1)|AB →|＝4－72
＋
1－5
2
＝5，
|BC →|＝7＋42
＋5－72
＝55， |CA
→|＝4＋4
2＋
1－7
2
＝10.
(2)∵M 为A (4,1)、B (7,5)的中点． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x M ＝112，y M ＝3.
∴|CM →|＝
－4－
11
2
2
＋7－3
2
＝
517
2
. (3)∵G 为△ABC 的重心， ∴3OG →＝OA →＋OB →＋OC →(O 为原点)． ∴x G ＝4＋7－43＝73，y G ＝1＋5＋73＝133，
∴G (73，13
3
)．
(4)∵D 为角A 的平分线与BC 的交点， ∴D 分BC
→所成的比 λ＝|BD →||DC →|＝|AB →||AC →|＝12，
∴x D ＝
x B ＋λx C 1＋λ＝103，y D ＝y B ＋λy C 1＋λ＝17
3
.
∴D (103，173)．∴|A D →|＝1023
.
11．已知三点A (0,8)，B (－4,0)，C (5，－3)，D 点分AB →所成的比为13，E 在BC 上且使
△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求点E 的坐标．
解：如图所示，D 分AB
→所成的比为13， ∴|DB →||AB →|＝34
， 而S △BDE ＝12|DB →||BE →|sin ∠DBE ，
S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ，
又
S △BDE S △ABC ＝1
2
，∠DBE ＝∠ABC ， ∴|DB →||BE →||AB →||BC →|＝12
， 又|DB →||AB →|＝34，∴|BE →||BC →|
＝23，即BE →＝2EC →， ∴点E 分BC →所成的比λ＝2，代入定比分点坐标公式得点E 的坐标为(2，－2)．
12．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且
A C →·
B
C →＝0，|O C →－O B →|＝2|B C →－B A →|.
(1)求椭圆的方程；
(2)若AB 上的一点F 满足B O →－2O A →＋3O F →＝0，求证：CF 平分∠BCA .
|C B→|
＝2，
又
|C A→|
∴F在∠BCA的平分线上，即CF平分∠BCA.。