可以构造满同态映射

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线性空间的同构与同态

线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。

当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。

一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。

它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。

更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。

对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。

2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。

则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。

其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。

同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。

关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。

（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。

（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。

通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。

只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。

因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。

二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。

它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。

同态满射和同构映射

同态满射和同构映射
同态满射和同构映射是抽象代数中的重要概念。

同态满射指的是一个群或环的同态映射，它将源群或环的每个元素映射到目标群或环中的一个元素，并且映射是满射的。

同构映射则是一种特殊的同态满射，它不仅是满射的，而且是双射的，也就是说，它保留了元素之间的一一对应关系。

同态满射和同构映射在数学中起着重要的作用，它们可以用来研究群和环的基本性质，例如同构定理、同态核定理等。

同时，它们也在应用数学中得到广泛的应用，例如在密码学、编码理论、通信技术等领域中。

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群同态基本定理与同构定理

证明过程细节
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
2023
群同态基本定理与同构定理
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目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。

19+代数学基础(3)同态基本定理

商群
• N⊳G, G/N = {aN|a∈G}, 定义(aN)(bN) = (ab)N, 那么G/N构成群. • 群G/N称为G关于其正规子群N的商群.
群同态基本定理
• 定理: 设f: G1→G2是群的满同态映射, 记 Ker(f) = {a∈G1|f(a)=e, e为G2的单位元}, 那么: 1. Ker(f)⊳G1; 2. G1/Ker(f) ≌ G2.
群同态基本定理群的同态与同构如果存在群g到g的映射f满足如果f是一个满射那么称g和g同态记为g如果f是一个双射那么称g和g同构记为g定义
群同态基本定理
群的同态与同构
• 如果存在群G到G’的映射f, 满足 f(ab)=f(a)f(b), 那么称f是G到G’的同态映射; • 如果f是一个满射, 那么称G和G’同态, 记为G ～ G’; • 如果f是一个双射, 那么称G和G’同构, 记为G ≌G’.
例子
• f: Z →Zn, f(a) = a modn • ker(f)=nZ • Z/nZ≌ Zn
循环群
循环群
• 定义: 群G是称为一个循环群, 如果存在a∈G, 对任意的b ∈G, 都存在整数i , 使得b=ai. a称为 G的生成元. G称为由a生成的群. • 记为G=&群定义商群?
• H≤G • 定义: (aH)(bH) = (ab)H ?
• 定义是否合理? aH = a’H , bH = b’H ⇒? (ab)H = (a’b’)H
正规子群
• 若H≤G, 且对任意的a∈G, 均有aH = Ha, 则称H是G的正规子群, 记为H⊳G.
例1
• H = {(1), (12)}是对称群S3的子群 • H ⊳ S3 ? • (13)H = {(13), (123)} • H(13) = {(13), (132)} • H不是S3的正规子群

第三章正规子群和群的同态与同构

第三章正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群，两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G，则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群，则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群也是交换群.
ϕ
四同态映射下两个群的子群之间的关系
引理设σ ：G → G是群同态映射，又H ≤ G，如果H ⊇ Kerϕ，则

群同态基本定理与同构定理

群论的基础
群论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有某种性质的元素的集合。群同态基本定理和同构定理是群论中的两个基础概念，它们为研究群的结构和性质提供了有力的工具。
应用广泛
除了在代数结构中的应用外，群同态基本定理和同构定理在拓扑学、物理学等各个领域也有广泛的应用。例如，在量子力学中，它们被用来描述量子态的演化。
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群同态基本定理的证明方法
证明方法通常采用构造法，即通过构造一个具体的映射函数来实现同态映射，并证明这个映射函数保持了群的运算律。
在证明过程中，通常需要使用到群的定义和性质，以及一些重要的引理和定理。
02
同构定理
同构定理的内容
定义
如果存在一个从集合A到集合B的映射，该映射保持集合A中的元素之间的加法运算，则称A与B同构。
对群同态基本定理与同构定理的展望
进一步研究与应用
群同态基本定理和同构定理是群论中的经典理论，对于它们的进一步研究可以促进我们对群论的理解。同时，这两个定理在许多其他数学领域中也有着广泛的应用，例如代数学、拓扑学等。
推广与扩展
目前，群论中的许多概念和定理已经推广到了更广泛的范围，例如量子群、李群等。未来，我们可以进一步探索群同态基本定理和同构定理在这些新领域中的表现和作用。
04
举例说明群同态基本定理与同构定理的应用Biblioteka 举例说明群同态基本定理的应用
01
群同态基本定理是群论中一个重要的定理，它表明任何两个群之间的同态映射都可以扩展到从这两个群的陪集的并集上的全映射。这个定理在许多数学领域中都有应用，例如代数学、拓扑学等。
02
1. 在代数学中的应用：群同态基本定理在代数学中被广泛应用。例如，在模论中，该定理可以用来证明一些重要的结论，如“任何两个模之间的同态映射都可以扩展到从它们的张量积上的全映射”。

群论四大定理的探讨

本科毕业论文题目群论四大定理的探讨专业数学与应用数学作者姓名庄静学号**********单位聊城大学数学科学学院指导教师李令强2014 年 05 月教务处编原创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。

除文中已经引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。

对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确的方式表明。

本人承担本声明的相应责任。

学位论文作者签名：日期：指导教师签名:日期：目录1.引言 (1)2.群同态与同构基本定理 (2)2.1 群同态与同构 (2)2.2 群同态基本定理 (6)2.3 群同构基本定理 (7)2.4 群同态与同构的意义 (10)3.有限群理论重要定理 (11)3.1 Sylow定理 (11)3.2 有限交换群的基本定理 (16)4.定理的应用 (22)4.1 群同态与同构定理的应用 (22)4.2 Sylow定理和有限交换群基本定理的应用 (23)5.小结 (27)6.参考文献 (28)7.致谢 (29)摘要在了解有关群论的基本定义的基础上把握群论的四大定理:群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理，理解并掌握定理的深刻含义.群同态基本定理与群同构基本定理主要探讨的是有关群的结构、数量、联系的问题,在这两个定理的研究中，是从已知的群出发，来研究与之相关联的群，一步一步慢慢引申，更进一步来研究各类群之间的联系，把成千上万的，看起来杂乱无章的群进行归类，再研究每一类群的内在结构.有限群又是群论中非常值得研究的一类群，先通过介绍Sylow引理，循序渐进的探讨了Sylow三大定理的逻辑证明过程.紧接着又进一步探讨了另一种特殊的而又重要的群——有限交换群，探究这一类群是为了对群进行分解，分解成我们所熟知的一些群类，便于研究与应用.在最后论述这四大定理的一些应用，从而说明其重要性.关键词：群；群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理.AbstractOn the basis of the understanding about the basic definition of group theory to grasp the four theorems of group theory: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group, understand the profound meaning and master theorem. Group of homomorphism fundamental theorem and the basic theorem mainly discussed about the group structure, the number and contact problem.To solve this problem is to rely on basic theorem group homomorphism and isomorphism theorems, in the study of these two theorems, starting from the known group, to the research of the group, step by step slowly extended, further to study the connection between the various groups, tens of thousands of, seem to be the group are classified, then study the internal structure each group. A finite group is a very worthy of study groups in group theory. This paper first introduce Sylow lemma theorem of Sylow, step by step on three theorems of the logic process of proof. Followed by a further discussion group important another special and -- finite abelian groups, study of this group is to decompose into the group, we know some class of groups, for research and application. In the last of the four theorems are discussed some applications ,to show its importance.Key words: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group.1.引言群论有着悠久的历史，现在已发展成一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位.对于映射的同态与同构已有所了解，而近世代数很少考察一般的映射,近世代数的研究对象是代数系统.其中群是最简单的代数系统，因为它在一个集合中只定义了一种代数运算.群的同构与同态在研究中有着它的重要作用，随着现代数学的高度抽象化和广泛应用，群的同构和同态的研究也越来越受到人们的重视.所以本文将对群论中的同态与同构进行一定的深入研究，了解其中的含义及内在意义.群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段.同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构.代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类.而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系.特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构.在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态.保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的代数系统去研究它们.有一种特殊的群——有限群，是值得我们深入研究的，这就要求我们必须认真把握与其有关的两大定理.2.群同态与同构基本定理2.1 群同态与同构定义：如果G 与F 是两个群，如果有一个G 到F 的映射Φ保持运算，即 )()()(b a ab ΦΦ=Φ ),(G b a ∈∀则称Φ为群G 与群F 的一个同态映射.当Φ又是满射时，则称群G 与F 同态，并表示为G ∽F .当Φ是一个双射时，称Φ为群G 到群F 的一个同构映射.如果群G 到群F 存在同构映射，就称群G 与群F 同构，记为G ≌F .群G 到自身的同态映射与同构映射，分别称为群G 的自同态映射和自同构映射，简称为群G 的自同态和自同构.注意：⑴ 同态具有方向性，即G 与F 同态，不一定G 与F 同态；⑵ 显然只含有恒元的群与任何群同态[]1.（映射规则取为乘群元素的逆一般不考虑这种同态）同态是一种等价关系①.它虽是满映射，但并不是一一映射，即F 的一个元素可对应着G 的多个元素.性质1 设G 是一个群，G 是一个有代数运算（也称为乘法）的集合.如果G 满同态于G ，则G 也是一个群.证明因为G ∽G ，G 是群，其乘法满足结合律，所以G 的乘法也满足结合①等价关系的定义：集合M 的一个关系R 满足以下条件： ⑴. 对M 中任意元素a 都有aRa ； (反身性)⑵. 如果,aRb 必有bRa ；（对称性)⑶. 如果bRc aRb ,，必有aRc . (传递性)律.设e 是群G 的单位元，a 是G 的任一元素，又设Φ是G 到G 的满同态，且在Φ之下 ,,a a e e →→于是 a e ea →.但是,a ea =故a a e =.即e 是G 的单位元.又设 11--→a a则 a a a a 11--→但是,1e a a =-故e a a =-1.即1-a 是a 的单位元. 因此G 也是一个群.应注意性质1，如果集合G 与G 各有一个代数运算，且G ∽G ，则当G 为群时，G 不一定是群.而且性质1的意义在于，要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群，可找一个已知群，并通过同态来实现.性质2 设Φ是群G 到群F 的一个同态映射（不一定是满射）.则群G 的单位元的像是群F 的单位元，G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元.即11--=a a 或 ()()11--Φ=Φa a 例1 令{=G 全体正负奇数}，代数运算为数的普通乘法；又{}1,1-=G 关于数的普通乘法作成群，令 :Φ正奇数1→，负奇数1-→.则易知Φ是G 到G 的一个同态满射，故G ∽G .G 是群，但G 却不是群.例2 证明：{}3,2,1,0=G 对代数运算r b a = （r 为b a +用4除所得余数）作成一个群.证明令Z 是整数加群，则易知':x x →Φ )(Z x ∈∀是Z 到G 得一个同态满射，其中'x 为x 整数用4除所得余数.由于Z 是群，故由性质1知，G 也是群. 这样在证明G 是一个群时，可以减少一些麻烦的验算过程.性质3 设Φ是群G 到G 的一个同态映射（不一定是满射），则⑴ 当H ≤G ①时，有()G H ≤Φ，且H ∽()H Φ；⑵ 当G H ≤时，有()G H ≤Φ-1，,且在Φ之下诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.证明 ⑴ 任取()H b a Φ∈,，且在Φ之下令 b b a a →→,，其中H b a ∈,.由于G H ≤，故H ab ∈，且 b a ab →. 从而()H b a Φ∈，即()H Φ对G 的乘法封闭，且H ∽()H Φ但H 是子集，从而()H Φ也是群且是G 的子群.⑵ 当G H ≤时，由于()H 1-Φ显然非空，任取()H b a 1,-Φ∈，且在Φ之下令 b b a a →→,.则11--→b a ab ，①符号“G H ≤”表示群H 是群G 的子群，即H 是G 的非空子集，如果H 本身对G 的乘法也做成一个群，则称H 为群G 的子群.其中H b a ∈,，而G H ≤，故H b a ∈-1，从而()H ab 11--Φ∈. 即()G H ≤Φ-1，且显然Φ诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.性质4 群G 到群G 的同态映射Φ是单射[]2的充要条件是，群G 的单位元e 的逆像只有e .证明必要性显然，下证充分性.设Φ是群G 到群G 的任一同态映射，且在Φ之下e 的逆像只有e ，又设在Φ之下 b b a a →→,，当b a ≠时，必有b a ≠：因若b a =，则由于 e b a ab =→--11，故b a e ab ==-,1，矛盾.因此，Φ是单射.性质5 设N 是群G 的任一正规子群①，则G ∽N G ，即任何群都与其商群②同态.证明在群G 与商群N G 之间建立以下映射：)(:G a aN a ∈∀→τ，这显然是G 到N G 的一个满射.① 正规子群的定义：设N 是群G 的一个子群，若果对G 中每个元素a 都有 Na aN =，即N aNa=-1，则称N 是群G 的一个正规子群（或不变子群）. ② 商群的定义：将正规子群H 及其全部陪集作为元素，以陪集乘法定义为群乘法而形成的新群称之G 相对正规子群H 的商群，通常记为H G /.商群的单位元素为H ，各个陪集是商群的其它元素.又任取G b a ∈,，则有))(()(bN aN N ab ab =→，即τ是G 到N G 的同态满射，故G ∽N G .今后称群G 到商群N G 的这个同态满射τ为G 到商群N G 的自然同态.2.2 群同态基本定理群同态基本定理：设Φ是群G 到群G 的一个同态满射，则Φ=Ker N 是G 的正规子群，且 G N G ≅/.证明首先，由于G 的单位元是G 的一个正规子群，由此可知，其所有逆象的集合，即ΦΦ=Ker N 的核也是G 的一个正规子群.其次，设 a a →Φ: ),(G a G a ∈∈ 则在G 与N G /间建立以下映射： )(:a a aN Φ=→σ⑴ 设bN aN =，则N b a ∈-1.于是 b a e b a b a ===--,11即N G /中的每个陪集在σ之下在G 中只有一个象，因此，σ确N G /为到G 的一个映射；⑵ 任取G a ∈，则因Φ是满射，故有G a ∈使a a =Φ)(.从而在σ之下元素a 在N G /中有逆象aN ，即σ为到G 的一个满射； ⑶ 又若bN aN ≠，则N b a ∉-1，从而b a e b a ≠≠-,1，即σ为N G /到G 的一个单射.因此，σ是N G /到G 的一个双射.又由于有 b a ab abN bN aN =→=))((故σ为同构映射，从而G N G ≅/.应注意，本定理中的Φ是一个同态满射.如果Φ只是一个同态映射（不一定是满射），虽然也有ΦKer 是群G 的正规子群，但最后结论应改为 ΦKer G ≌()Φ=ΦIm G .由上一节的性质5和群同态基本定理知：G G −→−Φ，)(a a a Φ=→；又G N G G −→−−→−στ，)(a a aN a Φ=→→，其中Φ=Ker N .因此，στ=Φ.上一节的性质5表明，任何群都同它的商群同态[]3；本节群同态基本定理表明，如果一个群G 同另一个群G 同态，则这个群G 在同构意义下是G 的一个商群.因此，在同构意义下，两个的意思是：每个群能而且只能同它的商群同态.这是群论中最重要的结论之一，在很多场合下，都要经常用到这个事实. 另外，由群同态基本定理的证明知，若G ∽G ，且同态核①是N ，则G 中每个元素的全体逆象恰好是关于N 的一个陪集.G 中元素与陪集的这种对应不仅是一个双射，而且是一个同构映射.2.3 群同构基本定理这部分我们将介绍三个定理，这三个定理在群论的研究中都很重要，它们的证明有多种方法，其中有的与群同态基本定理有直接的关系.① 设Φ是群G 到群Ｆ的一个同态映射，G 的单位元在Φ之下所有逆像作成的集合，叫作Φ的核，记为ΦKer .定理 1（第一同构定理[]4）设Φ是群G 到群'G 的一个同态满射，又N Ker ⊆Φ是G 的正规子群，)(N N Φ=，则N G /≅N G /证明令τ：N G G →()N a a Φ→ （G a ∈∀）⑴ τ是映射：设b a =（G b a ∈,），因为Φ是同态映射，故()()b a Φ=Φ从而()()N b N a Φ=Φ，即τ是G 到N G 的映射.⑵ τ是满射：任取N G N a ∈（G a ∈），则因Φ是满同态，故有G a ∈使()a a =Φ从而在τ之下N a 有逆像a ，即τ是满射.⑶ τ保持运算：在τ之下有()()()()()N b N a N b a N ab ab b a Φ⋅Φ=ΦΦ=Φ→=⋅，故τ为G 到N G 的同态满射.又因为τKer ={G a ∈|()}N a =τ={G a ∈|()}N N a =Φ ={G a ∈|()}N a ∈Φ={G a ∈|()}N a 1-Φ∈={G a ∈|()}N ΦΦ-1={G a ∈|}N a ∈=N故由群同态基本定理知 N G ≌N G .以上的同构当然也可以写成 N G ≌()()N G ΦΦ但应注意，定理1中的Φ必须是满同态而且N 必须是G 的包含核Φker 的正规子群. 另外，此定理的证明也可以是找一个τ是商群N G 到N G 的一个同构映射，依次证明τ是映射，是单射，满射且保持运算.定理2（第二同构定理）设G 是群，又G H ≤，N 是G 的正规子群，则N H 是H 的正规子群，并且)/(/N H H N HN ≅证明因为G H ≤，N 是G 的正规子群，故G HN ≤，且N 是HN 的正规子群，又易知xN x →Φ: )(H x ∈∀是子群H 到商群N HN /的同态满射，且核为N H ，故由群同态基本定理知： N H 是H 的正规子群且 N H H ≌N HN从而结论成立.定理3（第三同构定理[]5）设G 是群，又N 是G 的正规子群，N G H /≤.则 ⑴ 存在G 的惟一子群H ⊇N ，且N H H /=；⑵ 又当H 是N G /的正规子群时，有惟一的H 是G 的正规子群使 NH H /=且 N H N G H G ///≅ 证明 ⑴ 设在自然同态G :σ∽N G / 之下H 的逆象为H ，则G H H N ≤=⊆-)(1σ，且因σ是满同态，故可知 []H H H ==-)()(1σσσ但又知，N H H /)(=σ故 N H H /=由同态基本定理的定理，由于G 中含N 的不同子群其象也不同，故可知这样的H 也是惟一的.⑵ 当H 是N G /的正规子群时，由2.3.1中的定理2可知，G 有惟一正规子群N H ⊇使N H H /=，又由于在自然同态G ∽N G /之下有N H ⊇，且H 的象是N H /，故由第一同构定理知， N H H G H G ///≅此定理表明，商群N G /的子群仍为商群，且呈N H /形，其中H 是G 的含N 的子群；又H 是G 的正规子群当且仅当N H /是N G /的正规子群.通过群同构三大定理的证明过程我们看出，群同态基本定理是群同构三大定理的基础，通过群同态基本定理只要找准同态核就能很容易的找出一对具有同构关系的群.2.4 群同态与同构的意义由群同态基本定理知，在同构的意义下，任何群都能而且只能与其商群同态.所以要特别强调一下群同构的意义[]6.设}{ ,,,c b a M =是一个有代数运算的群，而M {} ,,,c b a =是另一个有代数运算的群.如果M ≌M ，且在这个同构之下，c c b b a a →→→,,…则根据同构的定义，c b a = 当且仅当c b a = .这就是说，除去元素本身的性质和代数运算名称与所用的符号不同之外，从运算的性质看，M 与M 并没有任何实质性的差别.更具体的说，就是由M 仅根据代数运算所推演出来的一切性质和结论.都可以自动地全部转移到与M 同构的一切代数系统上去.因此，在近世代数中常把同构的代数系统等同起来，甚至有时候不加区分.这正表现出这门学科所研究的问题的实质所在.3.有限群理论重要定理有限群是代数学的一个重要分支，它在群的理论中占有非常重要的地位.有限群之所以重要，不仅因为这种理论对数学本身特别是群产生重要影响，而且在实际应用中，例如在理论物理、量子力学、量子化学以及结晶学等方面都有广泛应用，所以本节将集中介绍有限群理论中两个最基本最重要的内容，即Sylow 定理和有限交换群①基本定理.3.1 Sylow 定理为了证明Sylow 定理，下面先介绍重陪集概念及其简单性质.定义1 设K H ,为群G （不一定有限）的两个子集，又令G x ∈，则称G 的子集{hxk HxK =|}K k H h ∈∈,为群G 关于子群K H ,的重陪集.简称HxH 为关于子群H 的一个重陪集.引理1 对群G 的任二重陪集Hxk 与HyK ，若≠HyK HxK φ，则必有HyK HxK =.证明由于≠HyK HxK φ，故有元素∈a HyK HxK .令()K k H h yk h xk h a i i ∈∈==,2211则HyK k yk h h x ∈=--112211.从而对任意K k H h ∈∈,，有HyK k k k y h hh hxk ∈=--)()(112211①如果对群G 中任意二元素b a ,均有a b b a =，即群的代数运算满足交换律，则称G 为交换群.而且群G 中只含有有限个元素，则称群G 为有限交换群.因此，HyK HxK ⊆.同理有HxK HyK ⊆.故HyK HxK =.下面的引理回答了包含在重陪集HxK 内的H 右陪集有多少个. 引理2 在群G 的重陪集HxK 中，含子群H 的右陪集的个数等于（H :K Hx x 1- ）；含子群K 的左陪集的个数等于（H :1-xKx H ）.证明设{Hxk S =|}K k ∈， {k Hx x K T )(1-= |}K k ∈；并令)()(:1K k k Hx x K Hxk ∈∀→Φ-如果),(2121K k k Hxk Hxk ∈=，则Hx x k k H x k xk 11211121,----∈∈⋅，从而Hx x K k k 1121--∈ .因此 2111)()(k Hx x K k Hx x K --= ，这说明Φ是S 到T 的一个映射.类似证明，可知Φ是单射，又显然Φ是满射.因此Φ是S 到T 的一个双射.同理可证引理中的另一结论.引理3[]7 设H Hx H Hx H Hx G r 21=是有限群G 关于子群H 的重陪集分解，则对任意)(H N Ha ⊂，都有某个j Hx 使)1(r j Hx Ha j ≤≤=.证明因为任何右陪集必含于某个重陪集之中，故不妨设 H Hx Ha j ⊆，r j ≤≤1，于是H Hx a j ∈.令),(2121H h h h x h a j ∈=，则1211--=ah h x j .据此，并根据)(H N Ha a ⊆∈与Ha aH =便可得Ha Hx j =，即j Hx Ha =.定理1（第一Sylow 定理——存在性和包含性[]8 ）设G 是有限群，且m p G s =，其中p 是素数，s 是正整数，p 不整除m .则对G 的每个)1,,1,0(-=s i p i 阶子群H ，总存在G 的1+i p 阶子群K ，使H 是K 的正规子群.证明设G 关于)0(s i p i <≤阶子群H 的重陪集分解为 H Hx H Hx H Hx G r 21=， ⑴ 且H Hx j 是由j t 个H 的右陪集所组成.于是由引理2及⑴知：.,,2,1),:(1r j Hx x H H t j j j ==-⑵r t t t H G +++= 21):( ⑶ 又因为)0(s i p G i <≤=，故):():(H G p H G H m p G i s ===，从而p |):(H G ，于是分别由⑶及⑵得p |r t t t +++ 21，j t |r j p i,,2,1 = ⑷ 下证：j t =1 )(H N Hx j ⊆⇔.1) 设j t =1 .由⑵得1=):(1j j Hx x H H -，因此j j j j Hx x Hx x H H 11--⊆= . 但是j j Hx x H 1-=，故j j Hx x H 1-=，)(,H N x Hx H x j j j ⊆=.从而)(H N Hx j ⊆2）设)(H N Hx j ⊆，由于j j Hx x ∈，故H Hx x Hx H x j j j j ==-1,.从而1):(1==-j j j Hx x H H t .由引理3，正规化子集)(H N 内的右陪集均呈j Hx 形，故以上说明：在r t t t ,,21中1=j t 的个数就是)(H N 中右陪集的个数，也就是指数):)((H H N ,从而由⑷知：p |):)((H H N 或 p |H H N )(. 于是商群H H N )(有p 阶子群.又由群的第三同构定理，此p 阶子群设为H K （H 为K 的正规子群且)(H N K ≤），从而H 为K 的正规子群且1+=⋅=⋅=i i p p p H H K K .于是当0=i 时10=p 阶子群（即单位元群）总存在，从而以上论证表明s p p p ,,,2 阶子群总是存在的，且其中的i p 还是1+i p 阶子群的正规子群.特别其中的s p 阶子群就是G 的Sylow p -子群.定理2（第二Sylow 定理——共轭性[]9）设G 是有限群，p 是素数.则G 的所有Sylow p -子群恰好是群G 的一个共轭子群类.证明设,m p G s =p 不整除m .显然，与Sylow p -子群共轭的子群都是Sylow p -子群.下面进一步证明：G 的任意二Sylow p -子群必共轭.设K H ,是群G 的任二Sylow p -子群，从而s p K H ==.根据引理1，设G 关于K H ,的重陪集分解为K Hx K Hx K Hx G r 21=，且重陪集中H 的右陪集的个数为r i Hx x K K t i i i ,,2,1):(1 ==-. 由此得r t t t H G +++= 21):(. ⑴ 由于):(H G H G =和s p H =，故p 不整除):(H G ；又因为每个i t 都是p 的非负整数次幂，故由⑴知，至少有一个1=i t .例如不妨设11=t ，即1):(111=-Hx x K K ，从而111111Hx x Hx x K K --⊆= .但是s p Hx x K ==-111，故 111Hx x K -=，即H 与K 共轭.因此，G 的全体Sylow p -子群恰好是一个共轭子群类.例3 求出三元对称群3S 的所有Sylow p -子群.解由于3263⋅==S ，故当素数3,2≠p 时，3S 的Sylow p -子群就是3S 的10=p 阶子群，即{})1(.3S 的Sylow2-子群（p =2）有3个，即{}{}{})23(),1(,)13(),1(,)12(),1(321===H H H .它们是3S 的一个共轭子群类.最后，3S 的Sylow3-子群（p =3）只有一个，即{})132(),123(),1(4=H .它当然是3S 的一个正规子群.定理3（第三Sylow 定理——计数定理[]10）设G 是有限群，且m p G s =，其中p 是素数，p 不整除m .若的Sylow p -子群共有k 个，则k |G 且p |1-k ，即)(mod 1p k ≡.证明首先，设H 是群G 的一个Sylow p -子群，则))(:(H N G k =.从而k |G .其次，根据引理1，设H Hx H Hx H Hx G r 21=是G 关于H 的重陪集分解，并设):(1i i i Hx x H H t -= ),,2,1(r i =是H Hx i 中含H 的右陪集的个数，则r t t t H G +++= 21):( ⑴ r t t t ,,,21 中共有):)((H H N 个是1，而其余的i t 都是p 的正整数次幂.于是由⑴知： p |):)(():(H H N H G - ⑵ 但是):)(():)(())(:():(H H N k H H N H N G H G =⋅=， ⑶ 故由⑵知，p 整除):)(():)((H H N H H N k -，即p |)1():)((-⋅k H H N ⑷ 又因为现在的H 是群G 的一个Sylow p -子群，故p 不整除):(H G ，从而由⑶知， p 不整除):)((H H N ，再由⑷得p |1-k ，即)(mod 1p k ≡.本节所论述的Sylow 定理是有限群中非常重要的定理，三个定理都与素数p 有关，三个定理是彼此相关的.对于任意的素数p ，首先论述G 的Sylow p -子群是否存在？接着的定理回答了，如果存在，有多少个及它们之间有什么样的关系？3.2 有限交换群的基本定理上一节利用Sylow 定理证明了有限交换群可以分解成它的Sylow 子群的直积.但Sylow 子群不一定是循环群，也不一定是不可分解群，所以本节将进一步加细这种分解，从而得到有限交换群的基本定理.为证明有限交换群的基本定理，先证明以下引理1 设a 是群G 的一个有限阶元素，且G H ≤.又设k 是使H a k ∈得最小正整数，则1）当H a s ∈时，k |s ；2）当e H a ≠ 时，a k <.证明 1）令k r r kq s <≤+=0,. 则由于G H ≤，故H a a a a a a q k s r r kq s ∈⋅=⋅=-)(,再由k 最小性知，0=r .因此，k |s .2）因为e H a ≠ ，故有e b H a b ≠∈, .令H a b s ∈=. 因为H e a a∈=，故由k 的最小性知，a k ≤. 如果a k =，则由1）知，a |s .于是e a b s ==，这与e b ≠矛盾.因此，a k ≤.定理1（有限交换群基本定理[]11 ）任何阶大于1的有限交换群G 都可以唯一的分解为素幂阶循环群（从而为不可分解群）的直积：n a a a G ⨯⨯⨯= 21，其中i a 是i a i p （i p 为素数，n i ,,2,1 =且0>i a ）阶循环群.我们称每个素数幂i a i p （n i ,,2,1 =）为G 的初等因子，而称其全体{}n a n a a p p p ,,2121为群G 的初等因子组. 证明由于阶大于1的有限交换群都可以唯一的分解为其Sylow 子群的直积，故只需假设G 是素幂阶有限交换群即可.因此，设a p G =， p 是素数， a 是正整数.1）存在性.设n a a a G ,,,21 =，且n a a a ,,,21 是G 的使n a a a +++ 21最小的一组n 元生成系.即对G 的任一n 元生成系n x x x ,,,21 均有n a a a +++ 21≤n x x x +++ 21.下证n a a a G ⨯⨯⨯= 21. ⑴ 为此，令n t t i a a a a H 111+-=， n t ,,2,1 =因此，要证⑴成立显然只需证明：n t eH a t t ,,2,1 ==. 设若不然，例如不防设r i eH a i i ,,2,1 =≠，n r t e H a j j ,,1 +==，其中1≥r .现令i k 是使),,2,1(r i H a i k i i =∈得最小正整数，且不妨设),,,m in(211r k k k k =. 则由于i a i H e a i ∈=，故由引理，i k |i a .但是，a p G =，故每个i a （从而每个i k ）都是p 的方幂.于是1k |i k r i ,,2,1 =. ⑵特别地，由引理还可知：11a k < ⑶ 再由于11k a n a a a H 321=∈，故可令n r r s n s r s r s s s a a a a a a 13211321++=. ⑷ 但是∈j s j a n r j e H a j j ,,1,+==故n r j e a j s j ,,1, +==.于是由⑷知：r s r s s k a a a a 321321=. ⑸由此等式又可知i s i H a i ∈，从而再由引理，i k |i s .再由⑵知，1k |i s （r i ,,2,1 =）.令r i q k s i i ,,2,1,1 == ⑹并且，令r q r q a a a b --= 2211. ⑺ 则由此可知r q r q a a b a 2211=.从而n a a b G ,,,21 =，即n a a b ,,,21 也是群G 的一组n 元生成系.然而由⑺以及⑸、 ⑹可知e a a a b r q k r q k k k ==--12111211 ，于是由⑶知，111a k b <≤.从而n a a b +++ 21<n a a a +++ 21, 这与n a a a +++ 21的最小性矛盾，所以⑴成立.2）唯一性.设r a a a G ⨯⨯⨯= 21s b b ⨯⨯⨯= 21⑻是G 的两种这样的分解，且其初等因子组分别为：{}r m m m ,,,21 ， {}s n n n ,,,21 ，其中每个i m 和每个j n ()s j r i ,,2,1;,,2,1 ==都是p 的方幂.不妨假定r m m m ≥≥≥ 21，s n n n ≥≥≥ 21.若s r ≠且不妨设s r <.① 若r r n m n m == ,11，则由⑻知，G 的阶按第一种分解为=r m m m 21s n n n 21，而按第二种分解又为⋅r n n n 21s r n n 1+，这显然是不可能的.② 若1111,--==t t n m n m ，但t t n m >.则令{}G x x H t n ∈=，并由此容易知道G H ≤，且由⑻有t t t t n s n n r n b b a a H ⨯⨯=⨯⨯= 11. 因为i i m a =，故()r i m n m a i t i n i t ,,2,1,, ==. 但因i m 与j n 都是p 的方幂，故),2,1(t i m n i t =.从而H 的阶按第一种分解为正整数),(,,),(,,,,,11121r t r t t t t t t t t t m n m m n m n m n m n m n m ++-，之积.同理，H 的阶按第二种分解又为正整数1,,1,,,,121 tt t t n n n n n n - 之积.显然也是不可能的.因此，由①与②可知：s r =且i i n m =（r i ,,2,1 =），从而i a ≌i .亦即G 的两种分解的初等因子组相同.应注意，如果有限交换群G 的初等因子组为{}n k n k k p p p ,,2121，则其中的素数n p p p ,,,21 不一定是互异的，甚至也可以是完全相同的.另外，在G 的两种这样的分解中，如果i i b a =，则只能肯定i a ≌i b ，但不一定有 i a =i b .由定理1知，一个有限交换群完全由其初等因子组所决定.定理2 两个阶大于1的有限交换群同构的充要条件是，二者有相同的初等因子组.由前面的讨论可知，循环群是完全研究清楚了的一个群类.现在由定理1与定理2可知，有限交换群也是完全研究清楚的另一个重要群类.这两类群在群论的整个研究中占重要的地位并起着基本的作用.另外，由本节的讨论我们可知，有限交换群的初等因子的概念和理论，完全类似于高等代数中 -矩阵的初等因子的概念和理论.所以可以进行类比的理解学习.4.定理的应用4.1 群同态与同构定理的应用研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题、数量问题以及结构问题.如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的.研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等.对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，通过同构群的意义我们知道，彼此同构的群具有完全相同的性质.这样通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构是群论中非常重要的手段.这无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的基本方法.群同态与同构在群论中最重要的应用就是便于分类[]12，这样可以把千千万万的群归纳为几类，因此只要研究透彻每一类的具有代表性的群后就可以知晓群论中群的特点，便于在各个领域的灵活运用.为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中.同构与同态就是实现这种分类的主要途径，也是代数学的最基本的研究工具.对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.例4 设两个群{}+,Z 和{},Z ，其中：{};,3,2,1,0,1,2,3, ---=Z{}{},10,10,10,10,10,10,10,103210123---=∈=Z n Z n作,:Z Z →ϕn n 10→，（Z n ∈∀）显然，ϕ是双射，且：()()()n m m n n m n m ϕϕϕ⋅=⋅==++101010于是知：Z Z ≅{},Z +与{},Z 这两个群没有实质性的差异，其中一个是另一个以不同符号和名称实现出来的结果.例5（循环群的结构定理]13[）设a G =是由生成元a 生成的循环群，则⑴ 当a =∞时，G ={} ,,,,,,212a a e a a a --=为无限循环群，且与整数加群Z 同构.⑵ 当a =n 时，G =a ={}12,,,,-n a a a e 为n 阶循环群，且与n 次单位根群n U 同构.由于群间的同构关系具有反身性，对称性和传递性，故此定理说明，凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同的群，由于不能建立双射，当然不能同构.这样，抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z 和n 次单位根群n U .所以循环群的存在问题，数量问题，构造问题已彻底解决.4.2 Sylow 定理和有限交换群基本定理的应用作为Sylow 定理的一个应用，我将证明下述定理：定理1 设G 是有限群，pq G =，其中q p ,是互异的素数，且p 不整除1-q ，q 不整除1-p ，则G 是一个循环群①.证明由第三Sylow 定理，G 的Sylow p -子群的个数k 整除pq G =，且 ① 循环群的定义：如果群G 可以由一个元素a 生成，即，则称G 为由a 生成的一个循环群，并称a 为的G 一个生成元。

寻来范畴,6种演算

寻来范畴,6种演算
寻来范畴是一个数学领域的术语，指的是在范畴论中寻找对象和态射之间的关系。

在这个领域中，有许多种不同的演算可以用来研究和描述范畴及其性质。

以下是六种常见的演算：
1. 范畴的等价关系演算，这种演算用来研究范畴之间的等价关系，即判断两个范畴是否是等价的，以及如何构造等价范畴。

2. 范畴的同态关系演算，这种演算用来研究范畴之间的同态关系，即判断一个范畴是否可以通过同态映射转化为另一个范畴，以及同态映射的性质和构造。

3. 范畴的子范畴演算，这种演算用来研究一个给定范畴的子范畴，即如何判断一个集合和其上的结构是否构成一个给定范畴的子范畴，以及子范畴的性质和构造。

4. 范畴的积和余积演算，这种演算用来研究范畴的积和余积，即如何判断一个给定的范畴是否具有积和余积，以及积和余积的性质和构造。

5. 范畴的极限和余极限演算，这种演算用来研究范畴的极限和余极限，即如何判断一个给定的范畴是否具有极限和余极限，以及极限和余极限的性质和构造。

6. 范畴的自然变换演算，这种演算用来研究范畴之间的自然变换，即如何判断两个自然变换是否等价，以及自然变换的性质和构造。

这些演算在范畴论中起着重要的作用，帮助数学家们研究和理解范畴及其性质，从而推动了范畴论的发展和应用。

群同态基本定理与同构定理

应用2
在代数学中，同构定理是研究群论的重要工具。例如，可以利用同构定理来研究群的性质、结构以及群之间的关系。
03
群同态基本定理与同构定理的关系
两者之间的联系
01
群同态基本定理是同构定理的基础，它为同构定理提供了基本的理论支持。
02
同构定理是群同态基本定理的推广，它把群同态基本定理中的
群推广到更一般的代数结构。
深入，人们发现非交换群在许多领域中也有着广泛的应用。因此，对非
交换群的同态基本定理的研究也变得十分重要。
定理的深化
精细的同态基本定理
在群同态基本定理的证明过程中，有一些关键的步骤需要用到一些特殊的技巧和方法。这些技巧和方法可以被称为精细的同态基本定理。它们对于理解群的结构和性质具有重要的意义。
THANKS
感谢观看
限群。无限群是指包含无限个元素的群，其运算并不一定满足封闭性，
因此需要更精细的处理方法。
02

从群到环和域
群同态基本定理的推广并不仅限于群，还可以将其推广到环和域等数学
对象。这些对象在代数学中被广泛研究，因此，对它们的同态基本定理
的研究也具有重要意义。
03
从交换群到非交换群
在最初的研究中，群同态基本定理主要关注的是交换群，但随着研究的
两者都是研究群的结构和性质的重要工具。
03
两者之间的区别
群同态基本定理主要关注的是有限群与其子群之间的映射关系，而同构定理则更注重不同代数结构之间的映射关系。
群同态基本定理的证明方法相对简单，主要基于群的定义和性质，而同构定理的证明则更加复杂，需要引入更多的代数工具。
在应用上，群同态基本定理主要用于解决有限群的问题，而同构定理则可以应用于更广泛的代数结构，包括环、域、模等。

第三章正规子群和群的同态与同构

⇒ G / N = (G : N ),
由 Lagrange定理，对有限群 G有 G = N (G : N )，
G . 从而有 G / N = N
定理5 (A.L.Cauchy) 设G是一个pn阶有限交换群，其中p是一个素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群. 推论
pq(p，q为互异素数）阶交换群必为循环群.
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习二、群同态基本定理三、应用
一、复习
1、正规子群：
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的代数系统，
_
且 G ≅ G，则当 G与G 有一个是群时，另一个一定是群.
_
_
定理2 设ϕ为群G到群G的一个同态映射（不一定为满射），
_
则
1) 当 H ≤ G时，有 ϕ ( H ) ≤ G 2）当 H ≤ G 时，有 ϕ −1 ( H ) ≤ G .
_ _ _
乘法）的集合，如果 G ~ G ，则 G 也是一个群 .
_ _ __
注意：定理中的同态映射ϕ 必须是满射. 推论设ϕ为群 G到群G的一个同态映射，
则群 G的单位元的象是群 G 的单位元； G的元素 a的逆元的象是 a的象的逆元 ,即a
_ −1 _
_
= (a)−1 或 ϕ (a −1 ) = ϕ (a)−1 .
当ϕ是双射时，称 ϕ为群 G到 G 的一个同构映射.

李约克定理

李约克定理李约克定理李约克定理是数学中的一个重要定理，其涉及到了群论和代数学的相关概念。

该定理由法国数学家李约克（Emile Mathieu）在19世纪末提出，用于描述有限群的结构特征，对于研究代数学和几何学等领域都有着重要的意义。

一、定义1.1 群群是一种代数结构，包括一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元素存在性和逆元素存在性。

1.2 有限群有限群是指其元素个数为有限个的群。

1.3 循环群循环群是由单个元素生成的群，即每个元素都可以由该单个元素进行不断地运算得到。

1.4 同态映射同态映射是指保持两个群之间二元运算关系相同的映射。

1.5 核核是指同态映射中所有被映射到单位元素上的元素所组成的集合。

二、李约克定理内容2.1 定理描述对于任意一个非平凡有限单交错群An（n≥5），其外自同构群Out(An)与特殊线性群PSL2(F5)同构。

2.2 定理证明首先，证明Out(An)是一个简单群，即不存在非平凡的正规子群。

由于An是一个有限单交错群，其没有非平凡的正规子群，因此Out(An)也是一个简单群。

接着，通过构造同态映射来证明Out(An)与PSL2(F5)同构。

具体地，定义一个从An到PSL2(F5)的同态映射φ：φ: An → PSL2(F5)其中，对于任意的σ∈An，定义φ(σ)为对应的线性变换在F5上的矩阵形式。

这里需要用到PSL2(F5)中元素可以表示为二次剩余类的事实。

然后，证明该映射φ是满射。

对于任意的A∈PSL2(F5)，都可以找到一个元素σ∈An使得φ(σ)=A。

这里需要用到F5上二次剩余类与An 中置换之间的一一对应关系。

最后，证明该映射φ的核为{±1}。

由于An中所有置换都可以表示为奇置换和偶置换之积，并且偶置换一定可以表示为三个相邻元素之间的交换次数为偶数个奇置换之积，因此可以证明φ的核为{±1}。

综上所述，Out(An)与PSL2(F5)同构。

环的同态与同构

例5
设 R (a, b) a, b Z .在 R 中定义运算
a1, b1 a2 , b2 a1 a2 , b1 b2 . a1, b1 a2 , b2 a1a2 , b1b2 .
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z , 其中 , a, b a . 则是一个环同态满
f
下面证②也成立( 即 S 是 R 的子环).
现设 R 中加法和乘法分别记为“ ”和“ ”, 又 S 设与 S 中的加法和乘法分别记为“ + ”和“· ”. 以下将证明若局限在 S 内,“ ”与“+”, 与·是一致的.
xS , yS S 于是 xS yS Z S S ，所以 S S .则
定理 3.4.3
若 R 和 R 都是环,且 R R , 那么

不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域) 当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质 , 可以得到下面一个有趣的事实.
引理
设R, , 是一个环, 而 : R A 是一个双
射 , 其中 A 仅是一个集合 . 那么, 可以给集合 A 定义加法和乘法,使得成为 R 到 A 的同构映射(即环同构).
为同态的核.
例 3 一些常见的同态. (1) 零同态: : R R ', (a ) 0, ker ( ) R .
(2) 自然同态: 设 I 是环 R 的理想,
:R R
aa
自然同态为满同态, 且 ker ( ) I .
(3) 恒等同构:
ker ( ) {0}.
(4) 设知, 存在使及
，由多项式的带余除法 ,

证明同构映射的方法

证明同构映射的方法证明两个同态映射是同构映射的方法：第一步，根据同态映射的定义，我们知道两个同态映射f和g满足f(ab)=f(a)g(b)和f(a+b)=f(a)+g(b)。

第二步，假设f和g是两个同态映射，我们需要证明f是单射，即对于任意的a≠0，都有f(a)≠0。

为了证明这一点，我们假设f(a)=0。

由于f是同态映射，我们有f(ab)=f(a)g(b)。

特别地，当b=1时，我们得到f(a)=f(a)g(1)。

由于f是满射，我们知道f(a)≠0。

因此，我们得到g(1)=1。

但是，我们知道g是同态映射，所以我们有g(1)=0，这是一个矛盾。

因此，我们的假设是错误的，所以f是单射。

第三步，由于f和g都是满射，我们知道它们的像都是域K。

因此，我们可以将f和g的像视为K的子集。

由于f和g都是同态映射，我们有f(a+b)=f(a)+g(b)和f(ab)=f(a)g(b)。

特别地，当b=1时，我们得到f(a+1)=f(a)+g(1)和f(a1)=f(a)g(1)。

由于f和g都是满射，我们知道它们的像都是K。

因此，我们可以将f和g的像视为K的子集。

由于f和g都是同态映射，我们有f(a+b)=f(a)+g(b)和f(ab)=f(a)g(b)。

特别地，当b=1时，我们得到f(a+1)=f(a)+g(1)和f(a1)=f(a)g(1)。

第四步，由于f和g都是满射，我们知道它们的像都是域K。

因此，我们可以将f和g的像视为K的子集。

由于f和g都是同态映射，我们有f(a+b)=f(a)+g(b)和f(ab)=f(a)g(b)。

特别地，当b=1时，我们得到f(a+1)=f(a)+g(1)和f(a1)=f(a)g(1)。

第五步，由于K是一个域，我们知道它具有加法和乘法的封闭性。

因此，我们可以将K的子集视为一个子环。

由于K是一个域，我们知道它具有加法和乘法的封闭性。

因此，我们可以将K的子集视为一个子环。

第六步，由于子环具有加法和乘法的封闭性，我们可以将子环视为一个域。

代数系统解疑

觉得代数系统部分很抽象、概念很难理解、证明难以下手吗？下面跟我一起屡清头绪，找到着眼点。

其实，在学习本章之前，我们已经学过了一些具体的代数系统，像命题代数、集合代数。

但在研究的过程中我们发现，很多代数系统是相通的，比如说在学习集合代数的时候，可以把集合变元代替命题变元，运算代替∧运算，运算代替∨运算，运算代替⌝运算，⊕运算代替∇元算，那么命题代数里所有的性质可以平移到集合代数中去。

遵照这一思路，抽象代数部分研究不特指的代数系统，并讨论代数系统的性质，研究不同代数系统之间的联系。

关于这部分的用处，如果到高年级之后接触到变异原理的词法分析部分，以及形式语言自动机部分，会用到抽象代数中大量的知识。

了解了该部分主要的研究对象和研究目的，下面跟我一起逐个讨论。

1．代数系统的基本概念该部分有三个需要注意的知识点：1.1什么是代数系统？代数系统的表征形式是一个序偶,S<Ω>，其中S是非空元素的集合，叫做该代数系统的定义域，Ω是运算的集合。

|S|称为代数系统的阶。

要判断一个给定的系统是否是代数系统，需要验证：A ．定义的运算满足映射的唯一性（符合函数的定义）B ．所有运算都是封闭的。

例：,N <÷>不是一个代数系统，因为自然数集合下的÷运算不满足封闭性；设S 是一个非空集合，那么(),,S ρ<> 是一个代数系统，其中()S ρ为S 的幂集。

1.2子代数系统如果,S <Ω>是一代数系统，取S 的一个子集1S S ⊆，如果1S 在所有的运算上都满足封闭性，那么1,S <Ω>也是一个代数系统，称之为,S <Ω>的子代数系统。

要判断1,S <Ω>是否是,S <Ω>的子代数系统，需要验证： A ．1S S⊆，并且两个代数系统运算集一样。

B ．所有运算都是封闭的。

例：,,N <+⨯>是代数系统,,I <+⨯>的子代数系统。

可以构造满同态映射使得

作业:P191 15,16, 20
补充: 1.请举例说明定理14.6(2)中,若不是满射,
即使不是零同态，结论不一定成立。 2.请举例说明定理15.6(2)中,若不是满射, 即使R无零因子，结论不一定成立.
定理14.6：设环[R;+,*]与环[R';+',*']有同
态映射, 则: (1)(0)=0',0为R之加法单位元, 0'为R'之加法单位元。 (2)如果R和R'均为有单位元环, 且e,e'分别为其单位元,则当是满同态,或者R'无零因子且不是零同态,则(e)=e'。其中零同态是指所有元素在下的象都是0'。 (3)(R)R'必为R'的子环。
又因为是整环,无零因子,故a-b=0,即a=b.
§3 多项式环
在习题14.3(5)的中，已知可以类似于在
实数域上定义多项式一样，在域F上定义多项式 n
F[x] { ai x i | 0 i n,ai F}
i 0
• F[x]关于多项式的乘法与加法构成整环, 且称F[x]为域上的多项式环。所谓关于多项式的乘法与加法:系数按域F 上的第一个运算(加法)和第二个运算(乘法) 进行相应运算
请考虑(2)中若把一些条件去掉后,结论不成立的例子.
推论14.1:若两个环R与R'同构,R≌R',则R为
整环时, R'也为整环；R为除环时R’也是除环；R为域时R'也为域。推论14.1的结论不能拓广到两个环同态的情况。例如对于整数环Z和同余类环Zm，可以构造满同态映射，使得(x)=[x]Zm。我们知道，Z是整环但不是域，而当m是素数时， Zm是域，当m不是素数时，Zm不是域，也不是整环。即两个同态的环Z和Zm性质并不相同。

群论中的同态同构与正规子群

群论是数学中的一个重要分支，研究群的结构与性质。

在群论中，同态同构和正规子群是两个关键概念。

同态同构指的是两个群之间元素间的一种对应关系，保持群的操作性质。

具体来说，如果有两个群G和H，一个函数f：G→H被称为同态同构，如果对于任意的a，b∈G，f(a⋅b)=f(a)⋅f(b)。

这意味着同态同构将群G中的运算保持到群H中。

同时，同态同构还要满足以下几个条件：（1）f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H 的单位元；（2）f(a(-1))=f(a)(-1)，其中a^(-1)表示a在G中的逆元；（3）f是一个双射。

这些条件保证同态同构在保持群的结构与性质上是严格相等的。

正规子群是一个群的子群，具有特殊的性质。

一个群G的子群N被称为正规子群，如果对于任意的a∈G和n∈N，有a⋅n⋅a^(-1)∈N。

也就是说，一个正规子群在进行群操作后仍然保持在子群中。

正规子群在群论中是非常重要的，它们可以用来构造新的群，并研究群的结构。

同态同构和正规子群之间有一个重要的关系，即同态像的核与正规子群的关系。

同态像是指同态同构f的象f(G)，即f(G)={f(a)|a∈G}，这是群G的所有元素经过同态映射后得到的集合。

核是指同态同构f的零空间，即核(f)={a∈G|f(a)=eH}，其中eH是群H的单位元。

显然，核是群G的一个子群。

然而，当核是正规子群时，同态像更特殊。

事实上，正规子群是同态像的核的充分必要条件。

这个结论被称为同态基本定理。

同态基本定理是群论中的一个基本结果，它建立了同态同构与正规子群之间的联系。

通过同态基本定理，我们可以通过研究任意一个同态同构来研究它的核和同态像，进而深入理解群的结构与性质。

这在抽象代数学中起到了重要的作用，并且被广泛应用于各个领域，如数论、几何学以及密码学等。

总之，群论中的同态同构和正规子群是两个基本概念，同态同构将一个群的结构保持到另一个群中，而正规子群在群操作后仍然保持在子群中。

同构及同态和环3

6.5.3
同态核
定义6.5.4 G′上的一个同态映射上的一个同态映射，定义6.5.4 设σ是G到G′上的一个同态映射，中所有变成G′ 1′的元素的集合， G′中的元素g 命N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，记为σ 1′），），即记为σ-1（1′），即 1′）={g∈G∣σ（ N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′} 我们把N叫做σ的核。我们把N叫做σ的核。这里σ 1′）只是一个记号，不代表逆映射。这里σ-1（1′）只是一个记号，不代表逆映射。
定理6.5.2 设σ是G到Gˊ上的一个同态映射，定理6.5.2 Gˊ上的一个同态映射，上的一个同态映射于是，的核N 的一个正规子群,对于Gˊ Gˊ的任于是，σ的核N是G的一个正规子群,对于Gˊ的任意元素aˊ aˊ，意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ} 中的一个陪集，因此，Gˊ的元素和的元素和N 是N在G中的一个陪集，因此，Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。的陪集一一对应。证明：先证N是G的子群。证明：先证N 的子群。非空。因为σ =1ˊ， 1）证N非空。因为σ（1）=1ˊ，所以1∈N 1∈N。所以1∈N。 a∈N，b∈N，要证ab ∈N。事实上， 2）若a∈N，b∈N，要证ab-1∈N。事实上， =1′， =1′，由σ（a）=1′，σ（b）=1′，可得 =σ（ σ（ab-1）=σ（a）σ（b-1） =σ（）（σ =1′（1′） =1′， =σ（a）（σ（b））-1=1′（1′）-1=1′， ∈N。故ab-1∈N。
再证N是正规子群,即证对于任意的g∈G,gNg 再证N是正规子群,即证对于任意的g∈G,gNg-1⊆N。事实上，事实上， σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1) =σ(g){1′}σ(g)-1 ={1′}。 =σ(g)σ(g)-1 {1′} ={1′}。故gNg-1⊆N 。最后证明： a′∈G′而最后证明：若a′∈G′而 σ(a)=a′则 a′） σ(a)=a′则σ-1（a′）是N 中的一个陪集，即为Na 事实上， Na。在G中的一个陪集，即为Na。事实上，对任意的 b∈G， b∈G， (a′)必要而且只要σ(b)=a′,必要而且只必要而且只要σ(b)=a′, b∈σ-1(a′)必要而且只要σ(b)=a′,必要而且只 =1′,必要而且只要要σ(b)(a′)-1=1′,必要而且只要 )=1′,必要而且只要必要而且只要ba σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)=1′,必要而且只要ba1∈N，必要而且只要b∈Na。 ∈N，必要而且只要b∈Na b∈Na。

【抽象代数】06-理想与直和

【抽象代数】06-理想与直和1. 同态与理想同态定理和正规⼦群在分析群的结构中起到了重要的作⽤，我们可以对环进⾏同样的讨论。

若环R_1到另⼀个系统R_2有映射f:R_1\mapsto R_2，满⾜公式（1），这样的映射称为同态映射。

若映射为满的，则称R_1,R_2同态，记作R_1\sim R_2。

容易证明R_2也是环，且R_1的零元、负数、单位元、逆元、可交换等性质都会映射到R_2中，但零因⼦却不⼀定保持。

f(a+b)=f(a)+f(b);\quad f(ab)=f(a)f(b)\tag{1} • 求证：Z_m\sim Z_n的充要条件是n\mid m。

在群中已经知道，任何同态映射都对应于⼀个正规⼦群（同态核），同样环同态的研究可以等价到对同态核的研究。

和群⼀样，环同态的同态核就是R_2中零元素的原像。

容易证明同态核是⼀个⼦环，正如正规⼦群的特殊性⼀样，它也不是普通的⼦环。

考虑零元素的归零性，同态核⼀定满⾜以下条件。

⼀般地，环R中的加法⼦群N如果满⾜以下右边⼀式，它称为环的左（右）理想，两式都满⾜的叫理想，记作N\trianglelefteq R，容易证明理想（包括左右理想）都是⼦环。

n\in N,\: r\in R\quad\Rightarrow\quad rn\in N,\: nr\in N\tag{2} 由定义知理想⾸先是加法群的⼦群，故它在加法下是正规⼦群。

容易证明，加法群⾥到正规⼦群陪集的同态映射在环⾥也是同态映射（乘法封闭），故环的每个同态映射也与环的理想⼀⼀对应，理想担当起了正规⼦群的作⽤。

和正规⼦群⼀样，理想不具有传递性，即理想的理想不⼀定是理想。

容易证明，理想的交集还是理想，循环环的任何⼦环都是它的理想。

对⼀般环R，显然Ra和aR分别是它的左右理想。

理想是⼀种特殊的⼦环，每个环R都有\{0\}和R两个平凡理想，其它理想叫真理想，没有真理想的环叫单环。

从理想的定义知，对任何n\in N有nR\subseteq N，相⽐较群来看，这个结构是“坍塌”的，由此联想到单环和“好”的环之间⼀定有什么关系。

群同态定义,单、满同态,同构

群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。

Ch 15.3 代数系统的同态与同构 15.4 同余关系与商代数

15.3 代数系统的同态与同构
同态映射的概念
同态映射定义同态映射分类实例
同态映射的性质
同态映射的合成仍旧是同态映射同态像是映到代数系统的子代数同态像中保持原有代数系统的运算性质
1
同态映射的定义
定义设V1 =< A, o1, o2, ..., or > , V2 =< B, o1′, o2′, ..., or′ > 是同类型代数系统， oi， oi′为ki 元运算, i=1,2,…,r. 函数 f : A→B, 对于所有的运算oi与oi′， xi, …, xki ∈A,
V/R 与<Z3, ×3>同构 Z3={0, 1, 2}, ×3为模3乘法。
20
商代数的良定义性
运算的良定义运算结果与参与运算元素的表示无关对于任意运算oi , 设为ki 元运算，aj∼bj, j=1, 2, …, ki , 则 [aj]=[bj], j=1, 2, …, ki ,
ōi ([a1],[a2 ],...,[aki ]) = [oi (a1, a2, ..., aki)] = [oi (b1, b2, ..., bki)] // 同余关系对运算oi 的置换性质 = ōi ([b1],[b2 ],...,[bki ])
p = 3, f3 = {<0,0>,<1,3>,<2,0>,<3,3>,<4,0>,<5,3>}
p = 4, f4 = {<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>,<5,2>} p = 5, f5 = {<0,0>,<1,5>,<2,4>,<3,3>,<4,2>,<5,1>}自同构 (3) 推广到 V = <Zn,⊕>, fp(x) = (px) mod n, p = 0,1, …,n-1,

可以构造满同态映射

线性空间的同构与同态

同态满射和同构映射

群同态基本定理与同构定理

19+代数学基础(3)同态基本定理

第三章 正规子群和群的同态与同构

群同态基本定理与同构定理

群论四大定理的探讨

寻来范畴,6种演算

群同态基本定理与同构定理

第三章 正规子群和群的同态与同构

李约克定理

环的同态与同构

证明同构映射的方法

代数系统解疑

可以构造满同态映射使得

群论中的同态同构与正规子群

同构及同态和环3

【抽象代数】06-理想与直和

群同态定义,单、满同态,同构

Ch 15.3 代数系统的同态与同构 15.4 同余关系与商代数

第三章正规子群和群的同态与同构

第三章正规子群和群的同态与同构