2.3.1 平面向量数量积的物理背景与定义1

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2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义[1]课件PPT

向量数量积的物理背景
F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做的功为多少？
W |F||s|cos θ 其中力F和位移 s是向量， s 是F与的夹角，而功 W是数量.
W |F||s|cos θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
⑵数乘结合律： (a)b(ab)a(b) ⑶分配律：(ab)cacbc
（ 4） (a•b)•ca•cb•c
典例解析
例2 求证：
(1) ( a
b)2
2
a
2a
b
b 2；
(2)(a
b）（ a
b)
a
2
2
b.
例 3已知 |a|6,|b|4， a与 b的夹角为 60，求 (a2b)(a3b).
例4 已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时，向量a kb与a kb互相垂直？
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；当90°＜θ ≤180°时a·b为负。当θ =90°时a·b为零。
ab |a||b|co s
B C b
O
a B1 A
| b | c o s 叫做向量 b 在 a 方向上的投影；
| a | c o s 叫做向量 a 在 b 方向上的投影 .
为60 时，分别求a b.
18
9
4.已知 | a | =1， | b |
2，
若
a
b与a垂
直，求
a与b的
夹
角
.
4
个人观点供参考，欢迎讨论
运算律实数a,b,c 向量a,b,c 是否成立

241平面向量的数量积的物理背景及其含义

|b|.
特别的a2 =aa = |a|2 | a | a a
4）cos
=
|
ab a || b
|
5） |ab| ≤ |a||b|
6.向量的数量积的运算律：
对向量 a,b, c 及实数，则有:
ab ba
(a) b (a b) a (b) (a b) c a c b c
号“·” 不应省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但在数量积中，a0，且ab=0，不能推出 b=0.因为其中cos有可能为0.
(4)对于实数a、b、c(b0)，可由 ab=bc a=c.但对于向量a、b、c 由ab = bc a = c
3．“投影”的概念：
求：(a 2b)(a 3b)
变式：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当:①ａ∥ｂ， ②ａ⊥ｂ， ③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
例4 已知|a|=3， |b|=4，且a与b不共线， k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
作业： 1）书P108.A组--1，2， 3，6，7，8 2）作业本相关内容
(ab)c a(bc)成立吗？
例题讲解：例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角
θ=120o，求a·b.
例2对任意向量 a , b,是否有结论:
(1)
(a
b)2

2
a
2
2a b b
(2)
2
2
(a b)(a b) a b
例3已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o
定义：|b|cos叫做向量b 在向量a方向上的投影

向量数量积的物理背景与定义

2.3.1向量数量积的物理背景与定义具体要求：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

为实现在整个学科课程价值中的作用，本课教材的教学突出向量的物理背景与几何背景，强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用，通过向量数量积的运算与数的乘法运算的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。

教学设计:一、物理背景引入引言：数学是一门高度抽象的学科，这也使得它的应用非常广泛。

比如对物理中的矢量的研究就产生了数学中的向量，力的合成与分解就是向量的加法、减法和数乘运算。

类比实数的运算，我们思考一个问题：【问题1】两个向量能否相乘呢？思考：在物理中，大家遇到过两个矢量确一个量的问题吗？活动：学生思考回答问题。

[设计意图]选择贴近学生实际生活的问题来展开探究，激活学生的已有相关经验，从物理背景迁移到数学概念中来，很容易引起学生的兴趣，感受数学来源于生活，又服务于生活。

二、物理背景分析【问题2】物理上如何计算“功”？活动：学生回答问题。

如图所示，一个力F 作用于一个物体，使该物体产生位移S ，由于力与位移的夹角为θ，力F 所做的功为：θW =引导：功可以看作是力与位移进行某种运算的结果。

[设计意图] 因为学生已经有“功”的概念,这是平面向量的数量积的知识增长点。

教师设置问题引导学生思考，并类比地定义操作性很强的向量夹角定义,达到水到渠成的效果。

探究1：影响功的大小有哪几个因素？活动：学生回答。

引导：计算公式涉及到力与位移的夹角，我们看两个向量夹角的定义：已知两个非零向量b a ,，在平面任取一点O ，做a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做两个向量b a ,的夹角，记作><,，并规定π>≤≤<b a ,0（在这个条件下，任意两个向量的夹角是确定的）探究2：力作功的最大值及最小值是多少？活动：学生回答向量夹角的范围。

平面向量数量积的物理背景及其含义

例2.已知|a|6,|b|4,a与b夹角为60,
解
：（a
2b）（·a
- 3b）
求：(1)(a2b)(a3b)
a·a a·b 6b·b
|
a
|2
a ·b
6
|
b
|2
(2)a2b|. | a |2 | a |·| b | cosθ 6 | b |2 36 12 96 72
例3.已知|a|3,|b|4,且a与b不共线.
b a
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
（ 1）(ab)2
2
2
a 2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
例1.已知向量a，b,求证下列各式
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6
WORKHARVEST
W=|F| |S|cosθ 其中 θ是F与S的夹角
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为，我们把数量 |a||b|c叫os做a 与b 的
数量积（或内积），记作a · b ，即
（1）两向量的数量积是一个数量，
注
意（2） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省.
特别地: aa |a|2或 |a|aa求模的方法
求角
（3）cos
|
ab a || b
（4）|a
|

(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)

思考：类比
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
功的概念：如果一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是什么量？在数学中F和S又是什么量？与这两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b

3,

【评课】《平面向量数量积的物理背景及其含义(1)》

评课《平面向量数量积的物理背景及其含义（1）》
本节课是概念数学课，教师应用多媒体辅助教学，设计了从物理和数学两个角度创设情景，注重概念产生背景及概念深化的过程，使学生认识了数量积的数学模形。

通过问题形式引导学生自主探究数量积的性质及运算律，培养了学生类比、从特殊到一般的归纳概括能力，通过练习使学生掌握了数量积的计算，最后教师通过知识技能、思维方法两个方面加以总结，使学生深化对数量积的认识，形成了良好的认知结构。

数量积的性质在解题中有许多应用，同时也应是本节课的重、难
点，如何突破，教师在教学设计中似乎“单薄”些。

如重要性质ab a b
v v v v 应配备练习来加以巩固。

2.3.1向量数量积的物理背景与定义

2.3.1向量数量积的物理背景与定义一、教学内容分析从教材体来看，平面向量的数量积是继向量定义、向量的线性运算之后的又一重要概念和运算，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的模型抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质及其应用。

因而数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

由于数量积的性质在证垂直、求长度、求角中经常用到，因而数量积的性质是本节课的又一教学重点。

二、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了力的分解、矢量、功等物理知识，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点很难接受；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，因而本节课教学的难点是数量积定义及性质的理解和应用。

三、教学目标分析1、知识与技能目标：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义（2）知道平面向量的数量积与向量投影的关系（3）掌握平面向量数量积的重要性质，了解用平面向量的数量积的初步应用2、过程与方法目标：（1）通过向量数量积物理背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过功的实际模型抽象出定义，通过具体问题总结性质，渗透由特殊到一般的思维方法3、情感、态度与价值观目标：通过探究性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生探究问题、归纳概括的能力四、教学方法分析1、制作高效实用的多媒体课件，主要作用是通过模型以问题引领学生探究。

2、设计科学合理的板书，一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。

五、教学过程设计(一)创设问题情景问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2:在物理课中，我们学过功的概念：即一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么如图力F 所做的功：θcos F s W =，设计意图：问题1在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算问题2在于使学生了解数量积的物理背景，为抽象数量积的概念做好铺垫。

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义

张喜林制2.3.1 向量数量积的物理背景与定义考点知识清单1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 、b ，作,,b a ==则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作（a ，b ），并规定其范围是当2,π=b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作.b a ⊥2．向量在轴上的正射影：已知向量a 和轴L ，作,a =过点0，A 分别作轴f 的垂线，垂足分别为,,11A O 则11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量，即，其中l a 是a 在轴L 上正射影的数量． 3．向量的数量积（内积）定义： 4．向量内积的性质：(1)如果e 是单位向量，则=⋅=⋅a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即>=<b a ,cos )4( ||)5(b a ⋅ .||||b a要点核心解读1．向量数量积的物理背景——力做功的计算．如图2 -3 -1 -1．一个力F 使物体发生位移s 所做的功W 可以用下式计算．.cos ||||θF s W =其中θcos ||F 就是F 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F 在物体位移方向上正射影的数量． 2．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b （如图2 -3 -1 -2所示），作,,b a ==则AOB /称作向量a 和向量b 的夹角，记作),,(b a 并规定,),(0π≤≤b a在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有.,,>>=<<a b b a当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作,b a ⊥在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．3．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴L 如图2 -3 -1 -3.作,a =过点0、A 分别作轴L 的垂线，垂足分别为,11A O 、，则向量11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量．a =在轴L 上正射影的坐标记作,l a 向量a 的方向与轴L 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有.cos ||θa a l =4．向量的数量积（内积）定义><b a b a ,cos ||||叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ×b ，即.,cos ||||><=⋅b a b a b a5．平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则;,cos ||><=⋅=⋅e a a a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即;||a a a ⋅=;||||,cos )4(b a ba b a ⋅>=<.||||||)5(b a b a ≤⋅典例分类剖析考点1求数量积的问题[例1] 已知.3||,4||==b a 当b a b a b a 与③②①,,//⊥的夹角为60时，分别求a 与b 的数量积． [解析] ①当b a //时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角∴=,0 θ||a b a =⋅;120cos 34cos .||=⨯⨯= θb若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为,180o =θ;12)1(34180cos ||||-=-⨯⨯=⋅=⋅∴o b a b a②当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为,90;003490cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a③当a 与b 的夹角为60时．.6213460cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a [点拨] 若||||b a ⋅是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0变化到o180时，两向量的数量积从k 减到-k ，其图象恰好为从O 到霄的半个周期内的余弦图象，对于图形中的问题要注意区分图形中的角与向量的夹角．1．如图2—3 -1-4，在边长为1的等边三角形ABC 中，设,a BC =,,c AB bCA == 试求 a c c b b a ..++⋅的值．考点2 向量的夹角与垂直关系的运算[例2] 已知,9,1||,36||-=⋅==b a b a 则=),(b a ( )120.A 150.B 60.C 30.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 利用||||,cos b a ba b a ⋅>=<及,),(0π≤≤b a 求⋅),(b a解：⋅-=⨯-=⋅>=<231369||||,cos b a b a b a又.150,,180),(0 >=∴<≤≤b a b a [答案] B[点拨] 两个向量夹角的范围是⋅],0[π2．(1)向量a 、b 满足4222-=⋅--b a b a 且,4||,2||==b a 则=),(b a(2)若0是△ABC 所在平面内一点，且满足=-|||,2|-+则△ABC 的形状为( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点3 向量的投影问题[例3] 如图2-3 -1-5，在等腰三角形ABC 中，=AB D ABC AC ,30,2 =∠=是BC 的中点，求：(1)C 在方向上的投影；(2)在D 方向上的投影．[解析] 如图2 -3 -1-5所示，连接AD ，在等腰三角形ABC 中，=∠==ABC AC AB ,2D ,30是BC的中点，所以⨯===⊥230cos ,AB BD CD BC AD .323=作CB 的延长线BE ，则与的夹角为-=∠180ABE .150=∠ABCCD BA =)1(方向上的投影是=-⨯=)23(2150cos || ;3- BA CD 在)2(方向上的投影是=-⨯=)23(3150cos || ⋅-23[点拨] 向量的投影是一个实数，它可正、可负、可为零，其性质符号取决于两向量之间的夹角，因此在正确理解向量投影定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键．b a a 与,4||.3=的夹角为,30 则a 在b 方向上的投影为考点4 内积性质的简单应用[例4] 已知,5||||==b a 向量a 与b 的夹角为,3π求.|||,|b a b a -+ [解析] 解法一：由数量积公式2||a a =求解．,25||,25||2222====b b a a,2253cos55cos ||||=⨯⨯==⋅πθb a b a .352525252)(222=++=⋅++=+=+∴b a b a b a b a同样可求 b a b a b a b a ⋅-+=-=-2)(||2.5252525=-+=解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使,3.5π=∠==DAB AD AB设,,b A a A ==如图2 -3 -1 -6．则,5||||||===-A B b a.355232||2||||=⨯⨯===+A b a[点拨] (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①22||a a a a =⋅=;||a a a ⋅=或.2)(||22b b a a b a b a +⋅±=±=±②由关系式=2a ,||2a 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求+a ||,b 可求),()(b a b a +⋅+将此式展开．由已知,5||||==b a 即b a b b a a ⋅=⋅=⋅,25 也可求得,225将上面各式的值代入，即可求得被求式的值． (2)利用向量线性运算的几何意义转化到求平面几何的长度的计算．4．(1)已知向量a ，b 满足==||,13||b a ,24||,19=+b a 求.||b a -(2)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为,60那么+a |=|3b ( )．7.A 10.B 13.C 4.D学业水平测试1．下列命题，正确的是( )．A ．若,0=⋅b a 则00==b a 或B ．若,0=⋅b a 则b a //C ．若,b a ⊥则0=⋅b a ||.a a aD >⋅对任意向量恒成立 2．已知,135,,4||,212 >=<=-=⋅b a a b a 则=||b （）12.A 3.B 6.C 33.D3．以下等式中恒成立的有( )．① b a b a ⋅=⋅ ② ;||;||22a a a a a ==⋅③④⋅+⋅-=-)2()2(222b a b a b aA.l 个B.2个 C ．3个 D.4个4．向量a 、b 满足,3||,2||==b a 且,7||=+b a 则=⋅b a5．已知,2||,1||==b a 且),2()(b a b a λλ-⊥+a 与b 的夹角为,60则=λ6．在△ABC 中，设,,,c AB b CA a BC ===若..a c c b b a ⋅=⋅=求证：△ABC 为正三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为1,3,==b a c b a 、、,30=∠C 则=B .343.A 323.B 343.-C 323.-D 2．△ABC 中，.A B A ⋅+⋅+一定是( )A ．小于0B ．大于0．C ．小于或等于零D ．大于或等于零3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的有( )．.(|;||||];0)()(b b a b a b a c c b a ③②①-≤-=⋅⋅-⋅⋅b a c a c ⋅⋅-⋅)()不与C 垂直；=-⋅+)23()23(b a b a ④.||4||922b a -A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．若,5||,4||,32041||==-=-b a b a 则a 与b 的数量积为( )．310.A 310.-B 210.C 10.D5．若四边形ABCD 满足,0)(,0=⋅-=+AC AD AB CD AB 则该四边形一定是( )．A ．直角梯形B ．菱形C ．正方形D ．矩形 6．（2009年福建高考题）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，|,|||,c a c a =⊥则||c b ⋅的值一定等于( )．A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 7．已知非零向量AC AB 与满足0)||||(=⋅+AC AC AB 且.||AB ⋅,21||=AC 则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．（2011年全国大纲理）设向量a ，b ，c 满足.,1||||a b a ==,21-=b ,60, >=--<c b c a 则∣C ∣的最大值等于( )．2.A3.B 2.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．（2008年江苏高考题）a ，b 的夹角为,3||,1||,120==b a则=-|5|b a10.（2010年天津高考题）如图2-3 -1 -7，在△ABC 中，,AB AD ⊥BC =,1||=AD 则=⋅.11．设向量a ，b ，c 满足.,)(,0b a c b a c b a ⊥⊥-=++若=||a 222||||||,1c b a ++则的值是 12.（2008年陕西高考题）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若,c a b a ⋅=⋅则;c b =②若//),6,2(),,1(a b k a -==;3,-=k b 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与b a +的夹角为.60 其中真命题的序号为____（写出所有真命题的序号）．三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-3 -1-8，已知正六边形,654321P P P P P P 求下列向量的数量积．;)2(;)1(41213121P P P P P P P P ⋅⋅.)4(;)3(61215121P P p p P P P P ⋅⋅14．已知,0||2||=/=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．15．已知向量,60,, =∠==AOB b O a 且.4||||==b a (1)求|;||,|b a b a -+(2)求b a +与a 的夹角及b a -与a 的夹角．16.已知),1,(),1,2(λ=--=b a 若a 与b 的夹角α为钝角，求A 的取值范围．。

2.3.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

（ 1 ）求t的值；
（2）若a与b共线同向，求证： b a tb
5.a (2,3), b (4, k ), 若(5a b) (b 3a) 55，求k的值。
k 10或k 6
6.a (4， 3） ,b （2， 1 ） , 若a t b与b 的夹角为45 ，求实数t的值。
a b | a | | b | cos
二.两个向量的夹角
已知两个非零向量 a , b 作 OA a , OB b , 则 AOB 称作向量 a和向量 b 的夹角,
A 记作 a , b ,并规定 0 a , b a , b b , a O B 当 a, b 时，记作 a b 2 共起点作
0
（2）当 90 时a在b上的投影为 0
0
（3）当 120 时a在b上的投影为 2
0
（4）当 120 时b在a上的投影为 4
0
四. 向量的数量积(内积)定义
定义 a b cos a , b 叫做向量 a与b的数量积（或内积），记作a b, 即a b a b cos a , b
结论：(1) a b 0 a b
前提： a与b是非零向量 (2) 当a与b同向时， a b | a || b | ；
当a与b反向时， a b | a || b |
2
(3) a a | a | 或 | a | a a a
2
4 a b a b
t=1

7.已知a (2,3), b (1,2),且c a, b c 1

平面向量数量积的物理背景及其含义

平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。

就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。

想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。

你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。

数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。

简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。

比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。

这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。

再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。

这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。

如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。

数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。

这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。

说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。

它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。

拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。

这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。

想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。

但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。

再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。

想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。

而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。

这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。

再说计算机科学，这可是个神奇的领域。

机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。

数学：2.3.1《向量数量积的物理背景与定义》课件(新人教B版必修4).ppt

练一练：
由向量数量积的定义，试完成下面问题：
0 (1)a b a b _______ .
| a || b | ； (2)若 a 与 b 同向,a b _______ | a || b | ；若 a 与 b 反向,a b _______ |a| . a a _____
1 5 （1） OA 1 5cos 60 5 2 2 （2） OB 5cos120 5 cos 60 1

5 1 5 2 2
练一练
若 | a | 4 , | b | 8 , a与b夹角为 1）当 30 时a在b上的数量为（
(× )
(× )
(× ) ( )
(× ) (× )
小组讨论
两非零向量 a 与 b 的数量积是一个实数
，不是一个向量，其值可以为正，也可以为负，还可以为零，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？
a b a b cos a, b
你能根据正投影的定义解释 a b 的几何意义？
| a | | b | cos
B
a

O
特殊情况：
a
A
a
O
a
A B b O A
b

b B 0 a 与 b 同向
O
a
2

a 与 b 反向

A
a 与 b 垂直，
记作
ab
说明（1） a , b b , a （2）在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。
做一做:如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。 ' C C
说（1）零向量与任意向量的数量积为0，即 0 a 0 明（2）这是一种新的运算法则，“ ”不能省略不写，

数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)

功率
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量，等于位移与时间的比值。在平面向量中，速度可以表示为向量，其模即为线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，等于速度的变化量与时间的比值。在平面向量中，加速度可以表示为速度向量的变化率，其模即为速度变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速度的乘积。平面向量数量积可以用来描述动量，即物体的动量等于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘积。平面向量数量积可以用来描述冲量，即冲量等于力向量与时间向量的模的乘积。
功与功率
功

2.3.1 平面向量数量积的物理背景及其含义—说课稿

人教B 版高一数学必修四2.3.1节《向量数量积的物理背景及其含义》优质课学案授课教师：邱文鹏单位：辽宁省黑山县第一高级中学课题：向量数量积的物理背景及其含义课型：新授课课时：1课时学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，再与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标。

三维目标知识与技能（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；过程与方法体会类比的数学思想和方法情感态度与价值观进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

教学重点平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学方法启发引导法，自主探究和共同探究相结合教学过程师生活动设计意图一、复习引入：问题1：我们研究了向量的哪些运算？问题2：这些运算的结果是什么？问题3：如何进行向量的加法、减法的运算？问题4：数乘向量的几何意义是什么?问题5：平行向量的基本定理内容是什么？明白新旧知识的联系性。

二、情景导入、引出新课提出问题：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义明确研究向量的数量积这种运算的途径。

三、合作探究，精讲点拨探究一：平面向量数量积的概念1、给出有关材料并提出问题：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功：cos W F S θ=.1.认识向量的数量积的实际背景。

向量数量积的物理背景与定义

0
（2）当θ = 90 时a在b上的投影为 0
0
（3）当θ = 120 时a在b上的投影为 − 2
0
（4）当θ = 120 时b在a上的投影为 − 4
0
例1：已知轴l （）向量 OA = 5, < OA, l >= 60 求OA在l上的 1
0
正射影的数量OA1
1 5 解：)OA1 = 5 cos 60 = 5 × = (1 2 2
0⋅a = 0
思考：两非零向量 a 与 b 的数量积思考：是一个实数，不是一个向量，其值可以是一个实数，不是一个向量，实数为正，也可以为负，还可以为零，请说为正，也可以为负，还可以为零，出什么时候为正，什么时候为负，什么出什么时候为正，什么时候为负，时候为零？时候为零？
测一测：测一测：提a b 非向前：是零量与
2 2
− a b
___________
特别地：a ⋅ a = a = a 即 a =
( 4 ) cos < a , b >=
____________
a ⋅a =
≤
a
2
a ⋅b a b
.
(5 ) a ⋅ b
a b
三、向量在轴上的正射影：向量在轴上的正射影： A
已知向量 a和轴 l , 作 OA = a，过点 O， A分别作轴 l的垂线，垂足分别为 O1， A 1，则向量 O1A 1叫做向量 a在轴 l上的正射影（简称射影）该射影在轴 l上的坐标称作 a在轴 l上的数量或在轴 l的方向上的数量。
0
= −10
a ⋅b
0
2 2
∴θ = 135
例2：如图，∆ABC为等腰直角三角形, 且直角边AB = 1, 求AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ BA的值.

平面向量数量积的物理背景及其含义

§2.4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0. 思考若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0. 知识点二平面向量数量积的几何意义 1．条件：向量a 与b 的夹角为θ. 2．投影3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．思考向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ. 1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a·b|a||b|.5．|a·b|≤|a||b|.知识点四平面向量数量积的运算律1．a·b＝b·a(交换律)．2．(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案不可以．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × ) 2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × ) 3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.反思感悟求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )．考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.题型二求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |. 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |22|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方．跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |. 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解方法一 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1＋9－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝3. ∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋9＋2×3＝16，∴|a ＋b |＝4.方法二 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴|a －b |2＋|a ＋b |2＝2a 2＋2b 2＝2×1＋2×9＝20. 又|a －b |＝2，∴|a ＋b |2＝16，∴|a ＋b |＝4. 题型三求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n2a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|， ∴四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a ＋b |，即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|， ∴∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 的夹角为60°.∵∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°，又|OA →|＝|OB →|，∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 的夹角为30°.反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解 ∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a ·b ＝－2. |a |＝|b |＝2，∴a ·b ＝2，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )， ①求向量a 与b 夹角的大小； ②求|a －2b |的值．解 ①设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.②因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4＋16＝13，所以|a －2b |＝13.[素养评析] 向量既有大小又有方向，我们可以通过代数运算来求解夹角、模等，这正是数学核心素养数学运算的具体体现．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案 A解析 a·b ＝1×2×cos π3＝1，故选A.2．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 2 D ．2 2 考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案 B解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2.3．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 考点向量的投影题点求向量的投影答案 D解析向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案 D解析如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2 ＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ，求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |. 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解 (1)c ·d ＝(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×12＝9.(2)|c ＋2d |2＝(4a ＋3b )2＝16a 2＋9b 2＋24a ·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×12＝97，∴|c ＋2d |＝97.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |.4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案 B解析由|a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|b |2⇒2a ·b ＝－|a |2⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－6 3 D ．6 3 考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案 C3．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案 A解析 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 考点向量的投影题点求向量的投影答案 A解析根据投影的定义，设a ，b 的夹角为θ，可得向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝a·b |b|＝－4，故选A.5．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－25 考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值解析由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A ) ＝－20cos C －15cos A＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.7．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( ) A. 6 B ．6 C ．12 D ．18 考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用答案 D解析如图，过点O 作OD ⊥AB 于D ，可知AD ＝12AB ＝3，则AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝3×6＋0＝18，故选D.8．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用答案 A解析如图所示，令OA →＝a ，OB →＝b ，OD →＝a ＋b ，OC →＝c ，则|OD →|＝ 2.又|c －b －a |＝1，所以点C 在以点D 为圆心、半径为1的圆上，易知当点C 与O ，D 共线时，|OC →|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c |的取值范围为[2－1，2＋1]．故选A. 二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案 2 3 解析方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案－9211．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用答案等边三角形解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________．考点向量的投影题点求向量的投影答案101313解析 (2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a·b ＝4×16－3×9－4a·b ＝61，解得a·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝16＋9－12＝13，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝13，设a 与a ＋b 的夹角为θ，∴cos θ＝104×13＝5213，则a 在a ＋b 方向上的投影为|a |cos θ＝4×5213＝101313.三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解如图，由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1，即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°，所以①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1.解得|AB →|＝0(舍去)或|AB →|＝12，所以AB 的长为12.14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．考点平面向量数量积的应用题点向量模与夹角的综合应用解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝12102×22＝55.。

2.3.1向量数量积的物理背景与定义-课件

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
托克托县第一中学
教学目标：
1、了解平面向量数量积的物理背景； 2、理解向量在轴上的正射影及正射影的数量； 3、掌握平面向量数量积的定义、几何意义及性质； 4 、体会类比的数学思想方法；
教学重点：
平面向量数量积的概念及性质；
教学难点：
平面向量数量积的定义及性质的理解和应用;
例1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
（2）AB与BC的夹角。 C
120 60
A
通过平移变成共起点！
B
2、数量积(内积）的定义
文字描述
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ，我们把数量 | a || b |cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积），
记作 a ·b ，
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
(×)
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
()
6.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.
(×)
-5/2
练习：B 2题
4 向量数量积的几何意义
1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正
射影的数量|b|cos的乘积.
B
b
aba bcos
O | b | cos
2．同学自己写
a
A
练习B 1题
5 两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是单位向量. 1. ea = ae =|a|cos;
A 锐角三角形 C 钝角三角形
B 直角三角形 D 不能确定
（ 3 ） A 在 B 中 A C， B C 0 ， A 则 B 的 C形C 状