1.2.2 分段函数和映射
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高中数学 1.2.2分段函数及映射课件 新人教版必修1
y
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
ppt精选
3
探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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7
3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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14
1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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3
探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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7
3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g
人教A版必修一数学课件：1.2.2函数的表示法(第2课时分段函数及映射)
研修班
3
x＋2，x≤－1 2 已知函数 f(x)＝x ，－1<x<2 ，求 f(f(f(－3))) 2x，x≥2 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数 f(x)是分段函数； ②本例是求值问题． 解答本题需确定 f(f(－3))的范围，为此又需 确定 f(－3)的范围，然后根据所在定义域代入相 应解析式逐步求解．
2018/12/1 研修班 8
对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值
的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作 出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一
样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
2.写出下列函数的解析式并作出函数图象： (1)设函数y＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2； (2)设函数y＝f(x)，当x≤－1时，f(x)＝x＋1；当－1＜x＜1时，f(x)
2018/12/1
研修班
2
1．分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各
是什么？ 【提示】 分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是
各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．函数是映射吗？ 【提示】 对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映
射，是从非空数集到非空数集的映射．
2018/12/1
2018/12/1
研修班
4
【解析】 ∵－3≤－1，∴f(－3)＝－3＋2＝－1 ∴f(f(－3))＝f(－1)＝1，
∵－1<1<2，
∴f(f(f(－3)))＝f(1)＝1.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相
应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层
数学课件：第一章 1.2 1.2.2 第2课时 分段函数及映射
⑥吞噬：吞吃；吞咽；吞食。 ⑦回光返照：比喻人将死时神志忽然清醒或短 暂的兴奋。 ⑧沸沸扬扬：像沸腾的水一样喧闹。形容人声 喧扰，议论纷纷。 ⑨惊心动魄：原指文辞优美，意境深远，使人 感受极深，震动极大。后常形容使人十分惊骇 紧张到极点。 ⑩风烛残年：比喻临近死亡的晚年。
三、文学常识 走近作者
威廉·莎士比亚(1564—1616)，文艺复兴时期英 国大戏剧家、诗人。他幼年时就对戏剧产生了 兴趣，他曾进过文法学校，接触到古代罗马的 诗歌和戏剧。21岁时到伦敦剧院工作，曾在剧 院里打杂，为看戏的绅士们看管马匹，后来才 登台演戏。莎士比亚的戏剧创作可分三个时期。 早期(1590—1600)，是他学习、继承并取得初 步成就时期，一般称为历史剧、喜剧时期。主 要作品有喜剧《仲夏夜之梦》《威尼斯商人》，
[典例 2] 已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，<x1≥，1. 若 f(1－a)＝ f(1＋a)，则 a 的值为________．
[解析] 当 a>0 时，1－a<1,1＋a>1. 这时 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)得 2－a＝－1－3a，解得 a＝－32.不合题意，舍去．
求 f(－5)，f(－ 3)，f(f(－52))
的值．
[解析] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3. ∵f －52＝－52＋1＝－32，且－2＜－32＜2， ∴f [f －52]＝f －32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义，判断方法为：先看集合 A 中每一 个元素在集合 B 中是否均有对应元素．若没有，则不是映射；若有，再看对应元 素是否唯一，若唯一，则是映射，若不唯一，则不是映射．
2019-2020学年人教a版数学必修1课件：1.2.2 第2课时分段函数与映射
(n∈N*，n≥3).
求 f(3)，f(4)，f[f(4)]的值. 【解析】由题意可知 f(1)＝1，f(2)＝2，则
f(3)＝f(2)＋f(1)＝2＋1＝3，
f(4)＝f(3)＋f(2)＝3＋2＝5，
f[f(4)]＝f(5)＝f(4)＋f(3)＝5＋3＝8.
分段函数的图象及应用 【例 2】已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域. 【 解 题 探 究 】 讨论x的取值范围 → 化简fx的解析式
•1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标定位
1.掌握简单的分段函数， 并能简单应用. 2.了解映射概念及它与函 数的联系.
重点难点
重点：分段函数的应用及 映射的判断. 难点：分段函数的应用.
• 1.分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间， 有 数着. 不对应同关的系_________，这样的函数通常叫做分段函
2a＝4a，所以a＝2.
• 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定： 每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米 m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立 方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，求该职 工这个月实际用水量．
【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的
关系式为y＝m2mx，x－0≤ 10xm≤，1x0>，10.
映射的概念及应用
• 【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映 射.
• (1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|； • (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关
人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_第二课时ppt课件
考点一
课堂互动讲练
考点突破 分段函数图象的画法
根据分段区间及各段解析式．常用描点法画图，注意区间 端点的虚实．
例1 已知函数 f(x)＝1＋|x|－ 2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 【思路点拨】 讨论x的取值范围
→ 化简fx的解析式
例2 从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园 甲、乙两家到该公园的距离都是 2 km，甲 10 点钟 发前往乙家，如图表示甲从自家出发到乙家为止 过的路程 y(km)与时间 x(分钟)的关系．依图象回 下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多 长时间？ (2)甲到达乙家是几点钟？ (3)写出函数 y＝f(x)的解析式． (4)计算当 x＝50 分钟时，甲所走的路程．
x →y＝12x.
【思路点拨】 解答本题可由映射定义出发，观察A中任何一 个元素在B中是否都有唯一元素与之对应． 【解】 (1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对 值为0，而0∉B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在 集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
问题探究
x x≥0 1．y＝|x|＝－x x＜0 可以说 y＝|x|是两 个函数吗？ 提示：y＝|x|，x∈R，仍是一个函数，只是 x ∈[0，＋∞)与 x∈(－∞，0)的对应关系不同， 对于具体 x 值，所用的对应关系是唯一的．
2．从定义上看，函数与映射有什么关系？ 提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射， 是从非空数集到非空数集的映射．并非所有映射都为函数．
将(60,4)，(40,2)分别代入，得 k2＝110，b＝－ 2.
必修1课件：1-2-2-2 分段函数与映射【
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
(3)解不等式f(x)＞a：
x∈I ， 1 f(x)＞a⇔ f1x＞a， x∈I ， 2 或 f2x＞a.
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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自主预习 1．当自变量 x 在不同的取值区间(范围)内取值时，函数 的对应法则也不同的函数为 分段函数． 分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的 不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比 较重要的一种函数．
)
[答案]
D
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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6．某班连续进行了 5 次数学测试，其中智方同学 成绩 如表所示，在这个函数中，定义域是 {1,2,3,4,5} {85,88,86,93,95} . 次数 1 2 88 3 93 4 86 5 95 ，值域是
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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思路方法技巧
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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1
分段函数及其应用
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2.2分段函数及映射课件新人教版
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值 域是各段上“值域”的并集.( ) (2)从映射 f：A→B 的角度理解函数，A 就是函数的定义 域，函数的值域 C⊆B.( ) (3)函数 y＝x22x－＋11，，xx∈∈（（－0，2，2]0]，的值域是(－1，5).
每个男生对应自己的身高.
A.①②
B.③④ C.②④ D.①③
(2)设集合 A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，从 A 到 B 的映射 f：
(x，y)→(x＋2y，2x－y).在映射下，B 中的元素(1，1)对应 A
中的元素( )
A.(1，3)
B.(1，1) C.35，15 D.12，12
解析 (1)①中，当 x＝2 时，在 B 中没有元素与之对应，不是映射. ②中，f：x→y＝(x－1)2＋3 对 A 中任意元素，在 B 中有唯一元素与 之对应，这个对应是映射. ③中，平面内的圆的内接矩形不唯一，这个对应不是映射. ④中，A 中的每名男生，在 B 中有唯一的身高对应，是映射. (2)依据映射的定义，x2＋x－2yy＝ ＝11.，解之得 x＝35且 y＝15. ∴B 中的元素(1，1)对应 A 中的元素为35，15. 答案 (1)C (2)C
第2课时 分段函数及映射
目标定位 1.理解分段函数的本质，能用分段函数解 决一些简单的数学问题.2.了解映射概念，了解函数是 一种特殊的映射，并能根据映射的概念判别哪些对应 关系是映射.
自主预习
1.分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有 着不同的_对__应__关__系__，这样的函数通常叫做分段函数. 它的图象由几条曲线共同组成. 温馨提示：分段函数不是由几个不同的函数构成的.分 段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区 间上对应关系不同，所以分段函数是一个函数.
高中数学人教A版必修1课件：1.2.2.2 分段函数与映射
������+(������-2) × 2 1 ������2; 2
2=2x-2;
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)当点 F 在线段 HC 上 ,即 x∈(5,7]时 , y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD-SRt△CEF =
1 1 1 2 (7+3)×2 − ( 7-x) = − ( x-7)2+10. 2 2 2 1 2 ������ ,������∈[0,2], 2
(4)是映射 ,因为 A 中每一个元素在 f:x→y= ������作用下对应的 元素构成的集合C={y|0≤y≤1}⊆B,符合映射定义.
1 2
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
求分段函数的函数值
������ + 1,������ > 0, 【例 2】 已知函数 f(x ) = π,������ = 0, 求f(f(f(-3))). 0,������ < 0,
分析:先求f(-3),设f(-3)=m,再求f(m),设f(m)=n,再求f(n)即可. 解:∵-3<0,∴f(-3)=0.∴f(f(-3))=f(0)=π. 又π>0,∴f(f(f(-3)))=f(π)=π+1, 即f(f(f(-3)))=π+1. 反思1.求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的 范围,再代入相应的解析式求得. 2.像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处 理.
错因分析:本题是一个分段函数问题,在解决此类问题时,要紧扣 “分段”的特征,即函数在定义域的不同部分,有不同的对应关系,它 不是几个函数,而是一个函数.求值时不能忽视x的取值范围,因此错 解中x=-2和x=1都应舍去. 正解:当x≥0时,由x2-1=3,得x=2或x=-2(舍去); 当x<0时,由2x+1=3,得x=1(舍去).故x的值为2.
2=2x-2;
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)当点 F 在线段 HC 上 ,即 x∈(5,7]时 , y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD-SRt△CEF =
1 1 1 2 (7+3)×2 − ( 7-x) = − ( x-7)2+10. 2 2 2 1 2 ������ ,������∈[0,2], 2
(4)是映射 ,因为 A 中每一个元素在 f:x→y= ������作用下对应的 元素构成的集合C={y|0≤y≤1}⊆B,符合映射定义.
1 2
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
求分段函数的函数值
������ + 1,������ > 0, 【例 2】 已知函数 f(x ) = π,������ = 0, 求f(f(f(-3))). 0,������ < 0,
分析:先求f(-3),设f(-3)=m,再求f(m),设f(m)=n,再求f(n)即可. 解:∵-3<0,∴f(-3)=0.∴f(f(-3))=f(0)=π. 又π>0,∴f(f(f(-3)))=f(π)=π+1, 即f(f(f(-3)))=π+1. 反思1.求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的 范围,再代入相应的解析式求得. 2.像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处 理.
错因分析:本题是一个分段函数问题,在解决此类问题时,要紧扣 “分段”的特征,即函数在定义域的不同部分,有不同的对应关系,它 不是几个函数,而是一个函数.求值时不能忽视x的取值范围,因此错 解中x=-2和x=1都应舍去. 正解:当x≥0时,由x2-1=3,得x=2或x=-2(舍去); 当x<0时,由2x+1=3,得x=1(舍去).故x的值为2.
1.2.2第二课时 分段函数与映射
(A)只有①②
(B)只有①④
(C)只有①③④ (D)只有③④
4.(映射)已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作
从A到B的映射的是( D )
(A)f:x→y= 1 x (B)f:x→y= 1 x
8
4
(C)f:x→y= 1 x (D)f:x→y=x 2
5.(分段函数)设 函数
解:当 m≤-2 时,m+1>3m-5,即 m<3, 所以 m≤-2. 当-2<m<2 时,m2+2m>3m-5,
即 m2-m+5>0.由 m2-m+5=(m- 1 )2+ 19 >0 知, 24
-2<m<2. 当 m≥2 时,2m-1>3m-5, 即 m<4,即 2≤m<4. 综上可知,满足 f(m)>3m-5 的实数 m 的取值范围为(-∞,-2]∪(-2,2)∪[2,4)=(-∞,4).
解之得 a= 2 -1 或 a=- 2 -1(舍去). 同理当 t=2 时,f(a)=2,则 a2+2a-2=0.
解之得 a= 3 -1 或 a=- 3 -1(舍去). 综上可知当 f[f(a)]=3 时,a= 2 -1 或 a= 3 -1.
变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取值范围.
变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.
解:令 t=f(a),则 f(t)=3, 由例 1(2)的解法知 t=1 或 t=2. 当 t=1 时,f(a)=1.由于 x≤-2 时,x+1≤-1, x≥2 时,2x-1≥3. 因此只有-2<a<2 时,能满足 f(a)=1, 即 a2+2a-1=0.
数学必修一1.2.2-2分段函数与映射
2n(n∈N*)，求f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值． 思路分析： 由于 f(2) ＝ f(1 ＋ 1) ，由第二个等式可知 f(2) ＝ f(1) ＋
2×1，又已知f(1)＝1，可求f(2)的值，其他依次递推可得．
人教A版必修一· 新课标· 数学
解：将n＝1,2,3,4分别代入题中关系式，依次可得： f(2)＝f(1)＋2×1＝1＋2＝3， f(3)＝f(2)＋2×2＝3＋4＝7， f(4)＝f(3)＋2×3＝7＋6＝13，
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一一个
元素与之对应，符合映射定义，是映射．
人教A版必修一· 新课标· 数学
给定两集合A，B及对应关系f，判断是否是从集合A到集合B的
映射，主要利用映射的定义，用通俗的语言讲：A→B的对应有“多
对一”、“一对一”、“一对多”，前两种对应是A到B的映射，而 最后一种不是A到B的映射．
人教A版必修一· 新课标· 数学
(1)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同 解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，
有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域
的最好求法也是“图象法”． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意 义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
(2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而
言，A和B不一定是数集．
人教A版必修一· 新课标· 数学
1.2.2第2课时 分段函数与映射
人教A版必修一· 新课标· 数学
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围， 有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
高中数学 1-2-2-2分段函数与映射课件 新人教A版必修1
整理课件
[解析]
由于
y
＝
|x
－
1|
＋
|x| x
＝
－ 2－x，x，(x(＜0＜0)x，＜1)， x，(x≥1)，
其图象如图所示：
整理课件
• 总结评述：函数的图象可以是一些线 段，一段曲线，甚至是一些点．表示函 数的式子也可以不止一个，这类用几个 式子表示的函数叫做分段函数．分段函 数是一个函数，而不是几个函数，必须 分段画出函数图象，尤其需注意特殊 点．
整理课件
• ①方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B的映射与从B到A的映射是不同的；
• ②任意性：集合A中的任意一个元素都有 象，但不要求B中的每一个元素都有原象；
• ③唯一性：集合A中元素的象是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
整理课件
整理课件
• [分析] 图象法是表示函数的方法之一， 画函数的图象时，以定义域、对应法则为 依据，采用列表、描点法作图．
整理课件
(3)假设 A 中的元素(x，y)与 B 中元素(a，a2)对应，则有
x＋y＝a， xy＝a2；
∴x、y 应是方程 z2－az＋a2＝0 的两个实数根，
所以 Δ＝a2－4a2≥0，即－3a2≥0，注意到 a 为实数可知：当
且仅当 a＝0 时，B 中形如(a，a2)的元素在 A 中存在相对应的
• [分析] 由对应法则，可以根据A中元素与 B中元素的对应关系建立起关于x、y的方 程组．其中第(3)问整理即课件是判断相应的方程组
[解析] (1)依题意，(－2,3)→(－2＋3，－2×3)，所以 A 中元素(－2,3)的象是(1，－6)；
(2)设 B 中元素(2，－3)的原象为(x、y)，由已知的对应 法则有xx＋ y＝y－＝23， ； 所以 x、y 是方程 z2－2z－3＝0 的两个根， 解得xy＝＝3－，1； 或xy＝＝－3；1， 即 B 中元素(2，－3)的原象为 (3，－1)和(－1,3)两个；
[解析]
由于
y
＝
|x
－
1|
＋
|x| x
＝
－ 2－x，x，(x(＜0＜0)x，＜1)， x，(x≥1)，
其图象如图所示：
整理课件
• 总结评述：函数的图象可以是一些线 段，一段曲线，甚至是一些点．表示函 数的式子也可以不止一个，这类用几个 式子表示的函数叫做分段函数．分段函 数是一个函数，而不是几个函数，必须 分段画出函数图象，尤其需注意特殊 点．
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• ①方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B的映射与从B到A的映射是不同的；
• ②任意性：集合A中的任意一个元素都有 象，但不要求B中的每一个元素都有原象；
• ③唯一性：集合A中元素的象是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
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• [分析] 图象法是表示函数的方法之一， 画函数的图象时，以定义域、对应法则为 依据，采用列表、描点法作图．
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(3)假设 A 中的元素(x，y)与 B 中元素(a，a2)对应，则有
x＋y＝a， xy＝a2；
∴x、y 应是方程 z2－az＋a2＝0 的两个实数根，
所以 Δ＝a2－4a2≥0，即－3a2≥0，注意到 a 为实数可知：当
且仅当 a＝0 时，B 中形如(a，a2)的元素在 A 中存在相对应的
• [分析] 由对应法则，可以根据A中元素与 B中元素的对应关系建立起关于x、y的方 程组．其中第(3)问整理即课件是判断相应的方程组
[解析] (1)依题意，(－2,3)→(－2＋3，－2×3)，所以 A 中元素(－2,3)的象是(1，－6)；
(2)设 B 中元素(2，－3)的原象为(x、y)，由已知的对应 法则有xx＋ y＝y－＝23， ； 所以 x、y 是方程 z2－2z－3＝0 的两个根， 解得xy＝＝3－，1； 或xy＝＝－3；1， 即 B 中元素(2，－3)的原象为 (3，－1)和(－1,3)两个；
高中数学 1.2.2.2分段函数与映射课件 新人教版必修1
2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是 由几个函数构成的吗？
提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几 个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样 而已．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一 个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范 围．
3．分段函数分几段，其图象就有相应的几个吗？ 提示：分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时 只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分 别画在不同的坐标系中．
的图象如图，观察图象得函数的值域为[1，＋∞)．
(2)将原函数的解析式中的绝对值符号去掉，化为分段 函数
－2x＋1 x≤－1， y＝3 －1<x≤2，
2x－1 x>2.
它的图象如图．
观察图象，显然函数值y≥3，所以函数的值域为[3， ＋∞ ).
映射问题
【例3】 下列对应关系中，哪些是从集合A到集合
通法提炼 1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的 范围，代入相应的解析式求得.2多层“f”的问题，要按照 “由里到外”的顺序，层层处理.3已知分段函数的函数值 求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变 量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判 断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
映射
设A、B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有 唯一确定 的元素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．
4．如何判断一个对应是不是映射？ 提示：只要检验对于A中的任意一个元素，按对应关系 f，是否在B中有唯一确定的元素与之对应即可．若是，则 这个对应是映射，否则，不是映射．
高中数学 1.2.2.2 分段函数及映射 新人教A版必修1
2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
分段函数的图象 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx 表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx 的值域
[规范作答] (1)当 0≤x≤2 时， f(x)＝1＋x－2 x
(3)先求定义域，在定义域上化简函数式 y＝xx2－－1x ＝x，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．其图象如下：
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_对__应__关__系__，则称这 样的函数为分段函数． 2．映射 设A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个_元 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对 应，那么就称对应_f：__A__→__B为从集合A到集合B 的一个映射．
第2课时 分段函数及映射
1.通过具体实例，了解简 1.分段函数求值．(重
单的分段函数，并能简单 点)
应用.
2.对映射概念的理
2.了解映射的概念.
解．(难点)
1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
解析： 设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝t－2 12＋1.从而 f(x)＝x－2 12＋1. 答案： x－2 12＋1
第一章 1.2 1.2.2 第二课时 分段函数与映射
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解：因为 260÷ 52＝5 (h)，260÷ 65＝4 (h)， 所以，当 0≤t≤5 时，s＝52 t； 当 5<t≤6.5 时，s＝260； 当 6.5<t≤10.5 时，s＝260＋65(t－6.5)． 52t，0≤t≤5， 所以 s＝260，5<t≤6.5， 260＋65t－6.5，6.5<t≤10.5.
因为 ABCD 是等腰梯形， 底角为 45° ，AB＝2 2 cm， 所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm. 又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.(2 分)
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[名师批注]
(1)当点 F 在 BG 上时， 1 2 即 x∈[0,2]时，y＝ x ；(4 分) 2
此时，l左侧的部分为等腰直 角三角形△BFE.
分段函数与映射
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分段函数 [提出问题]
某市空调公共汽车的票价按下列规则判定： (1)5 千米以内，票价 2 元； (2)5 千米以上，每增加 5 千米，票价增加 1 元(不足 5 千米的按 5 千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距 1 千米，沿途(包括 起点站和终点站)有 11 个汽车站．
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[解题流程] 求线l左边部分的面积y关于x的解析式 (1)欲求l 左侧的面积，应先确定形状(2)l在 AB之间，l在DC之间时，其左 侧的形状不
同，应分类讨论
l自左向右移动→确定l左侧图形形状→求图 形面积→建立所求函数解析式→画图像
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[规范解答] 过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H.
映射的定义
设A、B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的对应 关系f，使对于集合A中的 任意一个 元素x，在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集 合A到集合B的一个映射．
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配人教A版
数学 必修1
4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个 图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关 系的有( C )
A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
1.2.2 │ 考点类析配人教A版 数学 必修1
补充：分段函数的解析式 例 4 (1)函数 y＝f(x)的图像如图 124 所示，则 y＝f(x)的解 析式 f(x)＝________________． (2)若某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地驶向 260 km 远处的 B 3 地，在 B 地停留 h 后，再以 65 km/h 的速度返回 A 地，则汽车 2 离开 A 地后行走的路程 s 关于时间 t 的函数解析式为 s ＝ __________________．
值范围，有着不同的________ 对应关系的函数．
(2) 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函 并集 数的定义域、值域的________ ；各段函数的定义域的交集是空 集． 分别作出每一段的图象 ． (3)作分段函数图象时，应______________________
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数学 必修1
2．映射的概念 设 A， B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关 系 f ， 使 对 于 集 合 A 中 的 任 意 一 个 元 素 x ， 在都有唯一 集合B中 __________ 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f ： A→ B为 从集合一个映射 A到集合B的__________．
思路点拨：本题是分段函数的解析式，应按分段函数的定 义分段求解．
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数学 必修1
x－x 解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋ ＝1； 2 －x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ ＝1－x， 2
1，0≤x≤2， ∴f(x)＝ 1－x，－2<x<0.
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数学 必修1
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数学 必修1
题型二 分段函数求值 【例 2】 (1)已知函数
3x，－1≤x≤1， f(x)＝ 2 x －4x＋6，1<x<5，
则
3 ； f(f(1))＝________
【例 3】 已知函数 求 x 的值．
数值．
2 x －1 f(x)＝ 2x＋1
x≥0， 若 f(x)＝3， x<0，
【答案】C
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数学 必修1
1 f2 的值是
x－1 x>0， 2 ．已知 f(x) ＝ 0 x＝0， x＋1 x<0，
则 f
(
) 1 A. 2 3 C. 2
【答案】A
1 B．－ 2 3 D．－ 2
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数学 必修1
3．函数 y＝ ________．
(2)函数f(x)的图象如右图所示．
(3)由(2)，知f(x)在(－2,2]上的值域
为[1,3)．
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数学 必修1
1 1．作出函数 y＝x x
0<x<1， x≥1
的图象，并求其值域．
1 解：当 0<x<1 时，y＝x的图象是双曲线的一部分． 当 x≥1 时，图象为直线 y＝x 的一部分． 如图所示，由此可知，值域 y∈[1，＋∞)．
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自主探究
函数与映射的主要联系和区别是什么？
【答案】 函数是一个特殊的映射，函数是
非空数集 A 到非空数集 B 的映射；而对于映射 而言，A和B不一定是数集．
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预习测评
1 ．已知集合 A ＝ { a ， b } ； B＝ {0,1} ，则下列对应 不是从A到B的映射的是( )
13 【答案】(1) 4 1 (2)1 或－ 2
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题型三
映射概念及应用
【例 3】 判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射： (1)A＝N*，B＝N*，对应关系 f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f “作 圆的内接矩形”； (3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系 f： 每个男生对应自己的身高； 1 (4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y＝ x. 2
52t，0≤t<5， 260，5≤t≤13， 2 s＝ 13 13 21 260＋65t－ ， <t≤ . 2 2 2
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数学 必修1
课堂总结
1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数 的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．判断一个对应是不是映射，先看集合A中的每一个元素
是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一．至于集合 B中的元素不作任何要求.
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数学 必修1
3． 判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射， 哪些不是，为什么？ (1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系
1 f：x→y＝ 0
x≥0， x<0；
1 (2)A＝Z，B＝Q，对应关系 f：x→y＝x； (3)设 A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系 f：矩形和它的 面积对应．
2x －4
x>0， 的定义域为 x<0
【答案】(－∞，0)∪(0，＋∞)
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数学 必修1
|x|－x 【例 1】 已知函数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
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1.2
函数及其表示
1.2.2
分段函数和映射
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数学 必修1
1.通过具体实例，了解简单 . 2.了解映射的概念.
1.分段函数求值．(重点 2.对映射概念的理解．( 难点)
的分段函数，并能简单应用 )
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自学导引
1．分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取
图 124
1.2.2 │ 考点类析配人教A版 数学 必修1
[解析] (1)当 0≤x<1 时，f(x)＝2x；当 1≤x<2 时，f(x)＝2； 2x，0≤x<1， 当 x≥2 时，f(x)＝3.故 f(x)＝2，1≤x<2， 3，x≥2. (2)因为 260÷ 52＝5(h)，260÷ 65＝4(h)，所以
x＝ 2
思路点拨：根据定义域，由自变量的值求相应区间上的函
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2 ． (1) 已 知 函 数 ________；
x－2，|x|≤1， f(x) ＝ 2 1 ＋ x ，|x|>1，
则
1 f f2 ＝
x＋1，x≥0 (2)已知函数 f(x)＝ 1 ，若 f(x)＝2，则 x＝ ，x<0 |x| ________.