高考——空间向量与立体几何(理科)
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》
§8.5
空间向量及其运算
最新考纲
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.
2.了解空间向量的概念，了解空
间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
1．空间向量的有关概念
名称概念表示零向量模为0的向量0
单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b
相反向量方向相反且模相等的向量
a 的相反向量为－a
共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a ∥
b 共面向量
平行于同一个平面的向量
2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理
空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b
的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π
2，则称a 与b 互相垂直，
2023年高考之立体几何和空间向量考点解读
3
=
2
1
1
|AB|·|BC|=
×2×
2
2
1
所 以 VP-ABC = S△ABC ·|PM|=
2 2=2 2,
3
1
26
。
×2 2× 3=
3
3
考查,
一是空间线面关系 的 命 题 真 假 的 判 断,
以选填题的形式考查,
属 于 基 础 题;
二是空间
线线、
线面、
面面平行和垂 直 关 系 交 汇 的 综 合
命题,
连 接 FG ,EG ,OM ,ON ,
如图 7。
MN ,
图7
由题 意 可 知,
O 为 球 心,在 正 方 体 中,
|EF| =
|FG| +|EG| =
2 +2
|OM|=
|ON| +|MN| =
1 +1 =
2
2
2
2
=
即 R = 2,则 球 心 O 到 CC1 的 距 离 为
2 2,
2。
2
2
2
2
所以球 O 与棱 CC1 相 切,球 面 与 棱 CC1
(
2)若 ∠POF =1
2
0
°,求 三 棱 锥 PABC
|A1A| -|AM| =
专题10 空间向量与立体几何-2023年高考数学真题题源解密(全国卷)(原卷版)
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题10 空间向量与立体几何目录一览
①2023真题展现
考向一空间几何体的表面积和体积
考向二三视图
考向三点线面的位置关系
考向四空间中的夹角问题
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一空间几何体的表面积和体积
(1)求证：EF //平面ADO ；
(2)若120POF ∠=︒，求三棱锥-P 6．（2023·全国甲卷文数第18题）
(1)证明：平面11ACC A ⊥平面(2)设11,2AB A B AA ==，求四棱锥
考向二三视图
一、单选题
1．（2023·全国乙卷文数第3题/理数第3题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）
A．24B．26C．28D．30
考向三点线面的位置关系
考向四空间中的夹角问题
(1)证明：//EF 平面ADO ；
(2)证明：平面ADO ⊥平面BEF ；
(3)求二面角D AO C --的正弦值.
2．（2023·全国甲卷理数第18题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，
190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．
(1)证明：1A C AC =；
(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．
【命题意图】
1.空间几何体
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
高考数学复习重难点03 空间向量与立体几何(解析版)-2021年高考数学专练(新高考)
重难点 03 空间向量与立体几何
【高考考试趋势】
立体几何不管新旧高考中都是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点。新高考中不分文理，主要考查简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题，有关角的问题；另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图有所弱化；选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题。前面的热点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对新高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强。本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识
。
【知识点分析及满分技巧】
基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长。要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角。
有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求。
内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求。
求点到平面的距离问题：采用等体积法。
求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高。
对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求，但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标。
【限时检测】（建议用时：90分钟）
一、单选题
1．（2020·辽宁葫芦岛市·高三月考）已知，是两条不重合的直线，是一个平面且，则“a b βb β⊂”是“”的（ ）
空间向量与立体几何高考真题
空间向量与立体几何
2019年 1. （2019全国Ⅰ理18）如图，
直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， AA 1= 4， AB = 2，
∠BAD = 60°， E ， M ， N 分别是BC ， BB 1， A 1D 的中点.
（1）证明： MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A -MA 1-N 的正弦值.
2. （2019北京理16）如图， 在四棱锥中， ， ， ， . E 为PD 的中点， 点F 在PC 上， 且.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角的余弦值;
（Ⅲ）设点G 在PB 上， 且. 判断直线AG 是否在平面AEF 内， 说明理由. 3. （2019浙江19）如图， 已知三棱柱， 平面平面,
， 分别是AC ， A 1B 1的中点. （1）证明： ；
（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.
P ABCD -PA ABCD ⊥平面AD CD ⊥AD
BC 2PA AD CD BC ====，13
PF PC =CD PAD ⊥平面F AE P --23
PG PB =111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==EF BC ⊥
4. （2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB= BC.
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E.
5. （2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、R t△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB= 1，BE= BF= 2，∠FBC= 60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
高考数学最新真题专题解析—空间向量与立体几何(理科)
高考数学最新真题专题解析—空间向量与立体几何（理科）
考向一 线面平行、垂直
【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）
【母题题文】 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ） A. 平面1B EF ⊥平面1BDD B. 平面1B EF ⊥平面1A BD C. 平面1//B EF 平面1A AC D. 平面1//B EF 平面11AC D
【答案】A
【试题解析】【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥且1DD ⊥平面
ABCD ，
又EF ⊂平面ABCD ，所以1EF DD ⊥，
因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC ，所以EF BD ⊥， 又1BD
DD D =，所以EF ⊥平面1BDD ，
又EF ⊂平面1B EF ，所以平面1B EF ⊥平面1BDD ，故A 正确； 选项BCD 解法一：
如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，
则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，
()10,2,2C ，
则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-=，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==，
()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC AC ==-=- 设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =，
则有11111020
m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1m =-，
【高考必刷题】高三——立体几何与空间向量(后附参考答案与解析)
1
2
3
平行的截面，则截得的三
；截得的平面图形中，面积最大的值是．
4
的中点，点在线段上．点到直线5
的中点，为线段上的动点，过点，
，则下列命题正确的是．
6
，，且平面
上，且．
与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．
7
是正方体棱上一点（不包括棱的端点），
．
，则的取值范围是．
8
9
的最大值为
满足
10
的中点，沿将矩形折起使得
分别为中点．
C.3个
D.4个
分别为棱，上的点． 已知下列判断：
上的正投影是面积为定值的三角形；平行的直线；
所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关．
11，，，与平面所
12
的位置，使得平面，并证明你的13
，坐标平面上的一组正投影图像如
．
14
如图是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．
求证：平面平面．
（1）
15 16 17 18
椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
于，且，则
19 D.，
所成角都相等的直线条数为
所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是（
20分别是棱的中点，是侧面
长度的取值范围是（）．
21
D.
D.③④
分别是棱
，的中点，过直线，
，给出以下四个命题：
22为正方形,，则三棱锥
23
24 25
26 27
28
29 30
A. B.
C. D.
1
∵，
∴，，
在三角形中，，∴，
∵，∴平面；
方法1：连接，∵为的中点，为中点，
（2）
∴，
∵平面，平面，
∴平面．
方法2：由（Ⅰ）知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知
得：
，，
，，，
，
则，，，
．
∴∴
∵平面，平面，∴平面；
（3）
设平面的法向量为，直线与平面所成角，
则，即，
解得，令，则平面的一个法向量为，
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题03 空间点、线、面的位置关系(解析版)
立体几何与空间向量
03 空间点、线、面的位置关系
一、具体目标：
1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；
2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
二、知识概述：
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2. 空间两直线的位置关系
直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交
异面直线：不同在任何一个平面内
直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3.异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．
②范围：.
4.异面直线的判定方法： ]2,0(π
空间向量与立体几何 2024高考题目及答案
空间向量与立体几何 2024高考题目及答案
2024年高考题目及答案：空间向量与立体几何
【引言】
2024年高考数学试题中，空间向量与立体几何是一个重要的考点。
在此次试题中，考查了空间向量的定义、运算和应用，以及立体几何
中的线面交角、直线方程和平面方程等内容。本文将对这些题目进行
具体分析和解答，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。
【题目一：空间向量的定义和运算】
题目描述：已知点A(1, 2, -3)、B(4, -1, 2)，向量AB可以表示为OA
减去OB。求向量AB的模长和方向余弦。
解答：
首先，根据向量的定义，向量AB可以表示为OB减去OA，即AB = OB - OA。
则有向量AB = (4, -1, 2) - (1, 2, -3) = (4-1, -1-2, 2-(-3)) = (3, -3, 5)。
其次，求向量AB的模长，使用模长的定义：|AB| = √(3^2 + (-3)^2
+ 5^2) = √(9 + 9 + 25) = √43。
最后，利用方向余弦的定义，设向量AB与空间坐标轴的夹角为α、β、γ，则有：
cosα = 3 / √43，cosβ = -3 / √43，cosγ= 5 / √43。
【题目二：空间向量的应用】
题目描述：在空间直角坐标系中，已知向量a = (3, 0, 4)，向量b = (1, -2, 2)。求向量a与向量b的数量积、向量积和夹角。
解答：
首先，求向量a与向量b的数量积，使用数量积的定义：a·b = 3*1 + 0*(-2) + 4*2 = 3 + 0 + 8 = 11。
2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题10 空间向量与立体几何(解析版)
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题10空间向量与立体几何目录一览
①2023真题展现
考向一空间几何体的表面积和体积
考向二三视图
考向三点线面的位置关系
考向四空间中的夹角问题
②真题考查解读
近年真题对比
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一空间几何体的表面积和体积
30ABO ∠，3,232OC AB BC
解得33
2
PC
，于是2PO PC OC 所以圆锥的体积211
πV OA PO ABC ∵ 是边长为2的等边三角形，,PE AB CE AB ，又PE AB 平面PEC ，
又3
232
PE CE
，PC
因为底面ABCD 为正方形，AB 又3PC PD ，PO OP ，所以又3PC PD ，42AC BD ，所以在PAC △中，3,42,PC AC 则由余弦定理可得22PA AC PC 故17PA ，则17PB ，
故在PBC 中，7,3,1P PB C 所以22cos 2PC BC PB PCB PC BC 又0πPCB ，所以sin PCB 所以PBC 的面积为12S PC BC 法二：
连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则
因为底面ABCD 为正方形，AB 在PAC △中，3,45PC PCA 则由余弦定理可得22PA AC PC 所以22cos 2PA PC AC APC PA PC cos 17PA PC PA PC APC 不妨记,PB m BPD ，
因为 1122
PO PA PC PB PD 即2222PA PC PA PC PB PD 则 2
17923923m 又在PBD △中，22BD PB PD 两式相加得22340m ，故PB 故在PBC 中，7,3,1P PB C 所以22cos 2PC BC PB PCB PC BC 又0πPCB ，所以sin PCB 所以PBC 的面积为12S PC BC
高考数学 空间向量与立体几何常用公式 理科
《空间向量与立体几何》
知识点一：利用向量求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则。
注意：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有。
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角
的平面角，∠AEB+∠APB=180°。
若分别为面，的法向量，
则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。
知识点二：利用向量求空间距离
（1）空间两点间距离公式：
设点，，则
（2）两异面直线距离的求法
如图，设，是两条异面直线，是与的公垂线段AB的方向向量，又C，D分
别是，上任意两点，则与的距离是。
（3）点面距离的求法：
如图，BO⊥平面，垂足为O，则点B到平面的距离就是线段BO的长度。
若AB是平面的任一条斜线段，
则在Rt△BOA中，。
设平面的法向为，则点B到平面的距离为。
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
知识点三：用向量语言表述线与面之间的位置关系
设两不同直线，的方向向量分别为，，两不同平面，的法向量分别为，，则
①线线平行：，；
②线线垂直：；
③线面平行：在平面外，；
④线面垂直：，；
⑤面面平行：，；
⑥面面垂直：。
关键：用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。
高考大题规范解答立体几何大题(空间向量)
高考大题规范解答——立体几何(理)
考点1 线面的位置关系与空间角
例1 (2018·课标Ⅲ，19)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵
所在平面垂直，M 是CD ︵
上异于C ，D 的点． (1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
【分析】 ①在题目所给的两个平面中选择一条直线，证明该直线垂直于另一个平面； ②建立空间直角坐标系，求得几何体体积最大时点M 的位置，利用两个平面的法向量的夹角求解即可．
【标准答案】——规范答题 步步得分
(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .
2分得分点①
因为M 为CD ︵
上异于C ，D 的两点， 且DC 为直径，所以DM ⊥CM .
3分得分点② 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ．
4分得分点③ 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．
5分得分点④
(2)以D 为坐标原点，DA →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .
当三棱锥M －ABC 体积最大时，M 为CD ︵
的中点． 由题设得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，M (0,1,1)， AM →＝(－2,1,1)，AB →＝(0,2,0)，DA →
＝(2,0,0)．
7分得分点⑤
设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧
2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题(附答案)
A ．
B ．2
2
3．若直线的方向向量为，平面l b
A ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-
()(0,2,1,1,0,1b n ==--
A ．
B ．5
136．如图，在平行六面体
ABCD
A．
11
22
a b c -++
C．
11
22
a b c --+
7．如图，在四面体OABC中，
1
-16．已知四棱锥P ABCD
PC
棱上运动，当平面
1．C
【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14
a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得
，且
.
()1,2,3a b a
+=---=-
14
a =
又，
()
7a b c +⋅= 所以，即有，
7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=
所以，
.1cos ,2a c =-
又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C
【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.
【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，
BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.
BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D
【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.
【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l b
αn 若可能，则，即.
//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，
；
()1220
b n =⨯-⋅=-≠
(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题10立体几何与空间向量解答题理(含解析)
专题10立体几何与空间向量解答题
历年考题细目
表
解答题2011空间向量在立体
几何中的应用
2011年新课标1
理科18
解答题2010空间角与空间距
离
2010年新课标1
理科18
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°,E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
【解答】（1）证明:如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1,且,又MB∥AA1，MB，∴四边形NMBH为平行四边形,则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点,得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE,
∴MN∥平面C1DE;
（2)解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则N（，，2），M（，1，2）,A1（，﹣1，4），
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取x，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴cos．
∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．
2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E,F
分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明:由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，,
2020年高考数学(理科)高频易错考点大解密专题：空间向量与立体几何(全国版含解析)
解密专题：空间向量与立体几何
高考考点命题分析三年高考探源考查频率
利用空间向量求线面角
从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时
应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.
2018新课标全国Ⅰ182018新课标全国Ⅱ202017新课标全国Ⅱ19
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利用空间向量求二面角
2019新课标全国Ⅰ182019新课标全国Ⅱ172019新课标全国Ⅲ
192018新课标全国Ⅲ192017新课标全国Ⅰ182017新课标全国Ⅱ192017新课标全国Ⅲ19
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考点1利用空间向量证明平行与垂直
调研1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段1D O 上一点，且1D E EO λ=⋅
.
（1）求证：11DB CD O ⊥平面；
（2）若平面CDE ⊥平面1CD O ，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2λ=.
【解析】（1）不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，
则1111
(0,0,0),(1,1,1),(,,0),(0,1,0),(0,0,1)22
D B O C D ，于是1111
(1,1,1),(,,0),(0,1,1)22
DB OC CD ==-=- ，
因为1110,0DB CD DB OC ⋅=⋅=
，
所以111,DB CD DB OC ⊥⊥，故11DB CD O ⊥平面
.
（2）由（1）可知1CD O 平面的一个法向量为1(1,1,1)DB ==
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质(解析版)
立体几何与空间向量
06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质
【考点讲解】
一、具体目标：
1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；
2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
二、知识概述：
1.面面平行的判定与性质
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，α∥β，α∩γ＝a，
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；
(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.
3．两个平面平行的性质定理
(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.
3.平面与平面垂直的判定与性质
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法.②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的性质：
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
4.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
5.定理：
⎭
⎪⎬⎪
⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α
⎭
⎪⎬⎪
⎫α⊥β
α∩β＝MN
AB βAB ⊥MN
⇒AB ⊥α
1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线
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第14讲 空间向量与立体几何
知识要点ﻩ
一.空间向量
1. 空间向量的概念:在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注:(1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2． 空间向量的运算。
定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
+=+=; b a OB OA BA -=-=;
运算律：⑴加法交换律：a b b a
+=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向
量，a
平行于b ,记作
b a //。
（２)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ，使a
=λb 。
(3)三点共线：A 、B 、C 三点共线＜＝>
AC AB λ=
<＝>y x += （1=+y x 其中）
（4）与
共线的单位向量为a
a ±
４． 共面向量
(1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。
（2)共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数
,x y 使
p xa yb =+。
(３）四点共面：若A 、Ｂ、C 、P 四点共面<=＞y x +=
<=＞
)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有
序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。
若三向量
,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意
三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,
使z y x ++=
。
6. 空间向量的直角坐标系: （1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -
中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组
(,,)x y z ,zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中
的坐标，记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x ，－y,-ｚ),关于ｘoy 平面的对称点为(x,y,－z)．即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0，ｙ,０)，在平面yO ｚ中的点设为(0，y,z)
（2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底，用
{,,}i j k 表示。
空间中任一向量
k z j y i x a ++=＝（x ，y,ｚ)
（3）空间向量的直角坐标运算律:
①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b
a b a b +=+++,
112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,
112233a b a b a b a b ⋅=++,
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，
1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
②若
111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则),,(121212z z y y x x AB ---=。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ③定比分点公式：若
111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ,λ=，则点P 坐标为
)1,1,1(212121λλλλλλ++++++z z y y x x 。推导：设Ｐ(x,y ，ｚ）则 ),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ，显然,当P 为A Ｂ中点时，
)2
,2,2(
2
12121z z y y x x P +++ ④),,(),,,(,,,333222111
z y x C z y x B ）z y ，A（x
ABC 中∆,三角形重心Ｐ坐标为
)2
,2,3(
3
21321321z z z y y y x x x P ++++++ ⑤ΔABC 的五心:
内心Ｐ：内切圆的圆心,角平分线的交点
:+
=λ(单位向量)
外心Ｐ：外接圆的圆心，中垂线的交点：
==
垂心P ：高的交点:⋅=⋅=⋅（移项，内积为0，则垂直）
重心P ：中线的交点,三等分点（中位线比）)(3
1
AP += 中心:正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式:若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =, 则21||a a a a =
⋅=+21||b b b b =
⋅=+