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固体物理：能态密度和费米面

结构：体心立方晶格，每个原胞有一个原子。
电子组态：1s22s22p63s1
分析：由1s22s22p6组态能级扩展的五个能带正好被十个
电子所填满（即满带），剩下一个3s带，只被一个3s电子填充到一半（即半满带）。这时若将钠晶体置于一外电场中，这个3s带中的电子将在外电场作用下，获得加速，跃入能量较高的空的能态位置上去。从而在布里渊区中建立一个沿电场方向不对称的电子占据态分布，导致沿外场方向出现电流。
例二
第四章能带理论
例二、若已知
E(k )
2 2
k
2 x
m1
k
2 y
m2
k
2 z
m3
解：等能面方程：Ek E,即
，求g(E)。
k
2 x
k
2 y
k
2 z
1
2m1E 2m2 E 2m3E
2
2
2
令a 2
2m1E 2
,b2
2m2 E 2
,c2
2m3E 2
,则
等
能
面
方
程
可
化
为k
2 x
a2
k
2 y
b2
k
2 z
R (k )
E0
6J1;
X点[
k
a
,0,0
]是一个鞍点——布区侧面中心。
E X (k ) E0 2J1;
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能带理论基本概念
二、费米面
第四章能带理论
设固体中含有N个电子，它们的基态是按泡利原理由
低由到电高子填，充则能其量能尽量可表能示低为的：NE个k电子态2k，2 若把电子看成自 2m
能带理论基本概念

固体物理学：能态密度计算

物理意义：单位能量间隔中的状态数。
二：能带与态密度的关系
由于En(k)是k的函数，所以在k空间En(k) =常数表示一个等能面。
又由于能态(波矢k的代表点)在k空间是均匀分布的，密度为V/(2)3,所以，En(k)与En(k)+En(k)两等能面之间的状态数目为
Z
V
(2
)3
Vk
Vk为En(k)与En(k)+En(k)等能面之间在k空间的体积.
能态密度
但能级的密集程度可以直接反映有多少电子存在这一能量区域。如何表示这种情况下到底密集到什么程度？为了能够在体现固体中，每个能带中的各能级是非常密集的，形成准连续分布，不可能标明每个能级及其状态数，引人“能态密度”的概念。
一：能态密度的定义
Z
能态密度:
lim N(E)
Z
E0 E
N (E) dZ dE
Vk dsdk
dk表示两个等能面间的垂直距离 dS 为面积元
因为
∇kEn(k)是En(k)的梯度，|∇kEn(k)|表示沿等能面法线方向能量的变化率.
能带密度
考虑电子的自旋时的能态密度
代入 N (E) dZ dE
状态密度与晶格振动的模式密度是相类似。
例题: 求自由电子的能态密度。解1: 自由电子的能量: E 2k 2 2m
空间等能面为球面，其半径E dE ky E Nhomakorabeakx
自由电子的能态密度为:

固体物理基础第三章能带论课件36能态密度

等能面Sn(ε)和Sn(ε+dε)之间计及自旋不同的电子
态数为
V
V
( k )
N N 2 ( 2 ) 3 d s k ( k ) 2 ( 2 ) 3 d s kn ( k )
写成积分的形式则有
dNn()2(2V )3
ds

d(k)
如果是出现能带交叠(如s、p态交叠)
C
情形，则会出现第二个峰，如图
A
晶态材料的价电子能带结构是可以通过X射线发射谱来测定的。
阴极射线轰击晶体样品，可以使原子内层电子激发，产生内层空能级，外层电子跃迁到内层空能级时，将发射出X射线光子。
由于价电子所形成的价带相当宽，电子能级准连续分布，电子从价带不同能级跃迁到内层空能级的过程将发射不同能量的X光子，所以与价带有关的X射线发射谱为连续谱。
二维下,对应等能面退化为等能线,为圆周长,所以单位
面积的能态密度为 gn()4 22 k d L n (k)4 22m 2k2 km 2
一维下,对应两个等能点,所以单位长度的能态密度为:
g () 2 2 1 2 m 1 2 m 2 m 1 n 2d(k )/d k 2 k 2 2 m
2. 简立方紧束缚近似s电子, 能量为 s ( k ) s a t J 0 2 J 1 ( c o s k x a c o s k y a c o s k z a )
k n ( k ) 2 a J 1 s i n 2 k x a s i n 2 k y a s i n 2 k z a
当然这是第一布里渊区内
C
且对应的等能面的能量小
于布里渊区边界中心A点

固体物理学：第四章第七节能态密度

第四章能带论
§4.7 能态密度
固体中能级分布是准连续的，我们可以类似声子态密度，来定义能量E附近单位能量间隔中的状态数，即能态密度。
固体中能带都可以在简约布里渊区中表示，并且在k空间均匀分布，波矢密度（考虑到自旋简并度）为 2V/(2pi)^3。定义能态密度为：
类似前面声子态密度，考虑到等能面，得到另一种更实用的形式:
积分沿着一个能量为E的等能面进行。总态密度是对所有能带求和：
这样就可以通过能带结构来计算能态密度。对于不同纬度，有：
在一维情况下，能带的等能面成为两个等能点，二维情况下，退化为等能线。
一、自由电子的能态密度
自由电子的能谱：其等能面是一个球面，并且沿着等能面：因此
因此自由电子气的能态密度与系统的维度密切相关：
能态密度是固体电子能谱分布的重要特征。特别是低激发态的能态密度，因为这部分状态对配分函数贡献最大。
低能激发态被热运动激发的概Fra bibliotek大于高能激发态。
如果低能激发态的态密度大，则体系因为热运动而产生的涨落就强，其有序度就低，以至消失，不容易出现有序相。
因而低能态密度的大小决定了体系的有序度和相变。
从上面的可以看到，不同维度的自由电子气的能态密度有决定性的差异。
对于3维体系，低能态密度随E的减小而趋于0，因为低温下热运动引起的涨落小，体系在低温下有长程序。
对于1维体系，低能态密度随E的减小而趋于无穷，因为即使在低温下，热涨落仍然很强，所以1维体系不能具有长程序。
而2维体态密度是常数，介于1维和3维之间，可具有准长程序，并会有一些特殊相变。
实际问题中，常把一些长链分子聚合物当做准一维链状分子。在这些体系中会出现如派尔斯 (Peierls) 失稳，孔氏（Kohn）反常等物理效应。

晶体中电子的能态密度

§5-7 晶体中电子的能态密度5．7．1 带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ），321222()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………（5-7-1）而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。

晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。

下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。

由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k )形式为：()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=--++k …………………………………………………（5-7-2）其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=--k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2cos 12x x =-+ ，取前两项代入，可以得到：()()()22222222011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=---++=Γ-++ ⎪⎝⎭k …………………（5-7-3）在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，221*02m a J => ……………………………………………………………………………………………（5-7-4）代入后，可得到()22*()2s k E E m =Γ+ k …………………………………………………………………………………（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E -Γk 及*m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：*312222()4()[()()]s m N E V E E π=-Γk ……………………………………………………………（5-7-6）5．7．2 带顶附近的能态密度能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=-+k 。

固体物理(第12课)能态密度ppt幻灯片

0
0
N
N
N

25C 23C
E
o F
E
o F
5/2 3/2

3 5
E
o F
上式表明,即使在绝对零度,电子的平均动能也不为0, 这不同于经典理论.
经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,
平均动能为0.
量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态. 计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达 108cm/s.
)E

EF
f
E
dE

1 2
g( E F
)E

EF
2
f E
dE
I0 g(EF ) I1 g(EF ) I2 g(EF )
类似于函数，故可扩展到-~+

I
0

I
1

-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
补充：倒易格点与晶格及电子波函数的关系
晶格常数为a
的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V

b1 b2 a1 b 3(
I
2
ny
J
2
nz
K
L
L
L
L Na1 L Na2 L Na3
k空间波矢空间倒易点阵
b3 N3
b2 N2
b1 电子具有的波长 N1 k L L L 2 nx ny nz

固体物理：能态密度和费米面

第四章能带理论
例二
3
V N(E)
m1m2m3
2 2
2
2
2
E
3
g(E) N(E) V
m1m2m3
2 2
2
2
2
E
引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面；当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。
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能带理论基本概念
概念：能态密度的临界点（范霍夫奇点）
第四章能带理论例四
费米能级EF即如何来算费米能级
费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到 E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：
EF gE dE n或 EF N E dE N
0
0
费米球半径kF
N个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包括的状态数恰好等于N，即
V
2 2 3
4
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能带理论基本概念
一、能态密度函数
第四章能带理论
1、能态密度函数定义：
在E—E+ ΔE能量范围内的能态数目用ΔZ表示，则能态密度函数定义为：
Z N(E) lim
E0 E
或N (E) dZ dE
单位体积能态密度g(E)：
k y dk dV dsdk
g(E) 1 N(E) V
里渊区的高对称点处。
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能带理论基本概念
以简立方晶格为例，说明紧束缚近似下的s能带的能态密度的临界点恰为布区的高对称点。
第四章能带理论例四
k E s (k ) 0的点 :
Γ点[
k
0,0,0
]是极小值点；E (k )

固体物理(第12课)能态密度

说明人删除。
➢电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k 确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶
格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。
➢故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面
波与晶面垂直。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
能态密度球
人删除。
kz E为等能面(红色线)
ky
E E+dE
kx
k k+dk
半径为 k的球体,电中子的状态 : 数
Vห้องสมุดไป่ตู้
Z(k)283

4k3
3
V
32
(2m2e
3
E)2
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的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V

a1
b1 b2 b3
(

a2
2 a2 2 a3 2 a1
a3 )
a3
V
a1
V
a2
V
原胞体积
长为2a。
最小的 k，对应波长为L。
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文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
5.2.4 费米能与费米面*人删除。
(1) 费米－狄喇克分布
在热平衡状态下，能为量E的量子态被电子占据的

固体物理第21讲能态密度和费密面

等能面在kz=0处的截面
8
能态密度
带底
V
d S
N (E )
83 a J1等能面(sin2kxasin2kyasin2kza) 9
E0是能带的中点，N(E)以 E0为中心上下对称。
10
点
X点k = (0,0,/a)的能量 X点恰好是等能面与布里渊区界面的交点。
11
在点
处能态密度曲线不连续
球的半径
kF
2( 3)1的密度 n N
14
V
费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度费米球半径费米能量费米动量
费米速度
费米温度
15
自由电子球半径rs：
EF:1.5eV~15eV
16
——晶体中的电子：单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的准连续的能带，N个电子填充这些能带中最低的N个状态
2
能态密度
N(E) lE im 0 Z E(2V )3
dS kE
考虑到电子的自旋，能态密度
V dS V dS
N(E)2(2)3 kE43 kE
3
1) 自由电子的能态密度电子的能量
k空间, 等能面是半径在球面上
的球面
能态密度
2V
(2)2
(2m2 )3/2
E
可见，E和N(E)是抛物线规律
第二十一讲、能态密度和费密面 1. 能态密度函数 —— 原子中电子的本征态对应着能级，可具体标明能级的能量 —— 固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带，换言之，固体中的能级很密集。
—— 采用‘能态密度’来概括这种情况下的能级。
—— 能量在E~E+E之间的能态数目Z
能态密度函数 N(E) lim Z E0 E

能态密度和费米面

，求g(E)。
例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。
6
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
2 k 解：自由电子的能量本征值： E k 2m
2
2 2 k k E 2m
2mE 自由电子等能面为球面，其半径为： k
2V ds 2V 4k 2 V 2m N E 3 3 2 2 2 2 k E 2 2 k 2 2m
VA +++ + + A VB --B VA VB
+ + + + -
+ + + +
-
A
B
功函数：WA，WB；
27
0 EF
WA
WB EF 接触电势差： VA-VB=(WB-WA)/q -eVB
EF
WA
-eVA
WB
EF
28
例：自由电子费米能级EF
V 2m N E 2 2 2
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E dE dk k E 2 3 k E
5
关于能态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
ds
dk
2V Z V等能面E和E E之间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
4
Ⅱ.关于ΔE

一维和二维能态密度推导

一维和二维能态密度推导
能态密度是描述物质的能级分布的物理量。

一维和二维的能态密度的推导分别如下：
一维中，系统的能量只和一个方向有关，因此系统的能量值可以表示为：
E = ħ²k²/2m
其中，ħ是普朗克常数除以2π，k是波矢，m是粒子的质量。

在一维中，能量的级距为：
ΔE = E2 - E1 = ħ²k²2/2m - ħ²k²1/2m = ħ²(k² 2 - k²1)/2m
此时，能态密度可以表示为能量级数目单位长度内的数量，即：D(E) = dN/dE = A/ΔE
其中，A是系统中粒子数目。

将ΔE代入上式，得到：
D(E) = 1/π(2m/ħ²)½
这就是一维系统中能态密度的表达式。

在二维中，粒子的能量值可以表示为：
E = ħ²k²/2m
其中，k是波矢，m是粒子的质量。

二维中的能量级距为：
ΔE = E2 - E1 = ħ²(k² 2 - k²1)/2m
因此，能态密度可以表示为：
D(E) = dN/dE = A/ΔE
将ΔE代入上式，得到：
D(E) = 2A/(πħ²)(2m)½
这就是二维系统中能态密度的表达式。

以上就是一维和二维能态密度推导的过程。

高二物理竞赛能态密度和费米面课件

在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。
以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。
在布里渊区边界面的内侧：
对自由电子：EP(0)=EQ(0)
考虑周期场的影响：EQ(0) > EQ ，EP(0)EP
M M’
E0–6J1 E0–2J1 E0 E0+2J1 E0+6J1 E(Γ) E(X) E(M) E(R)
二、费米面
讨论近自由电子的费米面结构: 对金属：EＦ０>>KBT，在T>0时，只有费米面附近的少量电子受到热激发。
费米半径的相对变化： kF kF
kBT T kBTF TF
在室温下： kF kF
❖ 按照近自由电子作必要的修正。
b. 修正的依据
❖ 电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能量，周期场的影响使等能面在布里渊区边界面附近发生畸变，形成向外突出的凸包；
❖ 等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交； ❖ 费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决
于电子与晶格相互作用的细节； ❖ 周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。
当ECⅠ< EBⅡ时：有能隙（禁带）当ECⅠ> EBⅡ时：出现能带重叠
E
EBⅡ ECⅠ
E ECⅠ EBⅡ
N(E)
N(E)
3. 紧束缚近似的能态密度
以简单立方晶格s带为例:
Es k E0 2J1 cos kxa cos kya cos kza
E0 s J0
在k=0，即能带底附近，等能面近似为球面，随着E的增大，等能面明显偏离球面。
ky kx