小学奥数教程之裂项综合

学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

学科培优数学“裂项综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

知识梳理一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） 11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项(1) n n ⨯-++⨯+⨯+⨯)1(...433221)1()1(31+⨯⨯-=n n n(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【重点难点解析】1．常规分数裂差型题目的计算 2. 常规裂和型题目的凑整 3. 整数裂项公式的记忆与灵活应用 【竞赛考点挖掘】1. 隐藏在平方差公式与等差数列求和公式背后的分数裂差型运算2. 分子隐蔽的裂和型运算3. 阶乘的裂项运算例题精讲【试题来源】 【题目】11111223344950++++⨯⨯⨯⨯【答案】4950【解析】这题是典型的分数裂项：211⨯＝1－21321⨯＝21－31……50491⨯＝491－501原式＝1－21+21－31+……+491－501＝5049 【知识点】裂项综合【适用场合】当堂例题 【难度系数】1【试题来源】【题目】111......101111125960+++⨯⨯⨯ 【答案】112【解析】原式【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1【试题来源】 【题目】111113355799101++++⨯⨯⨯⨯【答案】50101【解析】111111111150(113355799101233599101101++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯…）【知识点】裂项综合【适用场合】当堂例题 【难度系数】1【试题来源】【题目】2222......1335579799++++⨯⨯⨯⨯ 【答案】9899【解析】1111111(1)()()......()33557979911999899=-+-+-++-=-=【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】32009603【解析】11111111()()......()()1335355793959597959797991113979932009603=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯=【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】113920520【解析】1111111[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920113920520=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯=【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】11396840【解析】11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】38625340032【解析】【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】100211321121111++++++++++ 【答案】991101【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有21221)11(111⨯=⨯+=，32222)21(1211⨯=⨯+=+，……，原式101991101200)10111(21011002432322212==-⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=【知识点】裂项综合【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- 【答案】2549【解析】这题是利用平方差公式进行裂项。

a 2-b 2=(a+b)(a-b) 1－221=12－（21）2＝（1＋21）×（1－21）＝23×21 原式＝23×21×34×32×45×43×56×54×67×65×….×4950×4948=21×4950＝4925【知识点】裂项综合【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++【答案】12741275【解析】原式＝312⨯＋633⨯＋1064⨯＋15105⨯＋ (1275122550)＝（-1131）＋（-3161）＋（-61101）＋（-1225112751） ＝12751274 【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=________【答案】41650【解析】这是整数的裂项。

裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。

设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4…… 49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S ＝49×50×51÷3＝41650 【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【答案】15572【解析】设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10 ………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52 9S ＝49×52×55＋1×4×2 S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572 【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________ 【答案】36287993628800【解析】21＝1－21322⨯＝3213⨯-＝21－321⨯ 4323⨯⨯＝43214⨯⨯-＝321⨯－4321⨯⨯6….10....4329⨯⨯⨯⨯＝10....432110⨯⨯⨯⨯-＝9....4321⨯⨯⨯⨯－10 (4321)⨯⨯⨯⨯【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】1091099898878776766565⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+ 【答案】310【解析】10310151)10191(...)7161(61511091099898878776766565=+=++++-+=⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+ 【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】20192019191819183232212122222222⨯++⨯++⋯⋯+⨯++⨯+ 【答案】193620【解析】2019362019172121920201919181819...344332231221=+⨯+=++++++++++【知识点】裂项综合【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】42133011209127657653++++++ 【答案】4原式＝1－10....4321⨯⨯⨯⨯＝1－36288001＝36288003628799【解析】7161...413131217653767665655454434332327653++++++++=⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+++ =4【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】！10099!43!32!21+⋯⋯+++（最后的结果可以用阶乘表示） 【答案】11100!-【解析】!10011!1001!991...!31!21!2111001100...!313!21210099!43!32!21-=-++-+-=-++-+-=+⋯⋯+++！！【知识点】裂项综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】11111(......)1200722006(2008)200622007120071111(......)20081200622005(2007)20061n n n n +++++-⨯⨯⨯-⨯⨯+++++⨯⨯⨯-⨯【答案】12015028【解析】 原式=2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =1200820082008120072007(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =1111()2008200720072015028⨯+= 【知识点】裂项综合【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】【答案】40483【解析】40483【知识点】裂项综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】1【试题来源】【题目】1111111648244880120168224⎛⎫++++++⨯ ⎪⎝⎭【答案】14【解析】14【知识点】裂项综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】113 +2115 +3135 +4163 +……+81255【答案】36817【解析】36817【知识点】裂项综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】21111135357579192123++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________【试题来源】【题目】12 +12+4 +12+4+6 +12+4+6+8 +......+12+4+6+8+ (20)【答案】1011【解析】1011【知识点】裂项综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】41×2×3 +52×3×4 +63×4×5 +……+118×9×10【答案】1215【解析】1215【知识点】裂项综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】 【题目】111111111357911131517612203042567290++++++++ 【答案】2815【解析】2815 【知识点】裂项综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】999897112323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________ 【答案】2451101【解析】 32199⨯⨯＝3211100⨯⨯-＝321100⨯⨯－321⨯＝321100⨯⨯－321⨯ 43298⨯⨯＝4322100⨯⨯-＝432100⨯⨯－4322⨯⨯＝432100⨯⨯－431⨯54397⨯⨯＝5433100⨯⨯-＝543100⨯⨯－5433⨯⨯＝543100⨯⨯－541⨯ ….101100991⨯⨯＝1011009999100⨯⨯-＝10110099100⨯⨯－1011009999⨯⨯＝10110099100⨯⨯－1011001⨯ 原式＝321100⨯⨯＋432100⨯⨯＋543100⨯⨯＋….+ 10110099100⨯⨯－（321⨯＋431⨯＋541⨯+….+ 1011001⨯） ＝100×21×（21－101001）－（21－1011） =25－2021－21＋1011＝2451101【知识点】裂项综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。