高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.3 指数函数与对数函数的关系练习 新人教B版必修1
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算第2课时积、商、
3.2.1 对数及其运算第2课时积、商、幂的对数课堂导学三点剖析一、利用对数运算法则的计算问题【例1】计算:(1)lg12.5-lg 85+lg 21; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;(4)2log 525+3log 264;(5)log 2(log 216).思路分析：要注意灵活运用对数的运算法则,要会正用法则,也要会逆用法则,更要会变形用法则.解：(1)lg12.5-lg85+lg 21 =(lg12.5+lg 21)-lg 85 =lg(12.5×21)+lg 58 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.(2)log a n a +log a n a 1+log a n a1 =n 1log a a-nlog a a n1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226=4log 55+18log 22=4+18=22.(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)=log 24=log 222=2.温馨提示计算时要将式子中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题的具体需要正用及逆用法则,灵活地运用法则.二、对数式的条件求值问题【例2】已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.思路分析：运用对数运算法则变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3的式子.解：lg 45=21lg45=21lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+21lg32 =21(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值的式子同时变形,找到共同点.三、对数运算法则的综合应用问题【例3】(1)化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:logyx 2=4. (1)解法一:先采用“分”的方法. 原式=3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ =3lg )34(3lg )21109541(--++=511. 解法二:采用“合”的方法.原式=2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯=3lg 3lg 511=511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),∴lgxy=lg(x -2y)2.∴xy=(x -2y)2,即x 2-5xy+4y 2=0.∴x=4y 或x=y(舍去). ∴yx =4.∴log 2y x =log 24=log 2(2)4=4. 温馨提示对数式化简的两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成若干个对数的代数和,最后进行化简;二是把同底的对数之和合并成一个对数,对真数进行化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题的重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲的方法.各个击破类题演练1计算:(1)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++; (2)21lg 493243-lg 8+lg 245.解析：(1)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++ =2lg 6.0lg 13lg 4lg +++ =)26.010lg(2lg ⨯⨯=12lg 12lg =1. (2)21lg 493243-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+21(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5 =21lg2+21lg5=21(lg2+lg5) =21lg10=21.变式提升1计算:(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)8.1lg 10lg 3lg 2lg -+解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=3. (2)8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ =8.1lg )10lg 9lg 2(lg 21-+ =8.1lg 21018lg =21. 类题演练2已知lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(10y )2的值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2. 变式提升2已知3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).解析：由3n =2,得n=log 32.∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.类题演练3化简log 2487+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法则,把log 2487,log 212,log 242拆成若干个对数的代数和,然后再化简.原式=21log 24237⨯+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 2221-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数的底数相同,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 24248127⨯⨯=log 221=21-.变式提升3证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5 =(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1.。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数(1)第一课时同步练习新人教B版必修1
3．2.1 对数及其运算第1课时1．若a 2＝N(a>0且a≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝22．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．21＋log 272的值等于( )A ．272B ．7 C.47D ．144．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x＝12，则x ＝________.5．若log 2(x 2－4x ＋6)＝1，则x ＝________.1．有下列说法：①零和负数无对数；②3log 3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 55＝1与51＝53．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围为…( ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5 C ．2<a<3或3<a<5 D ．3<a<44．计算3log 35＋3log315＝________.5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值．7．求alog a b·log b c·log c N 的值．1．给出下列式子：①5log 512＝12；②πlogπ3－1＝13；③4log 4(－3)＝－3；④xlog x 6＝6.其中不正确的是( )A ．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 2．下列命题正确的是( )①对数式log a N ＝b(a>0，且a≠1)和指数式a b＝N(a>0，且a≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；②在同底条件下，对数式log a N ＝b 与指数式a b＝N 可以互相转化；③若a b＝N(a>0，且a≠1)，则alog a N ＝N 一定成立； ④对数的底数是任意正实数． A ．①② B．①②③④ C ．①②③ D．④3．以6为底，216336的对数等于( )A.73B.113C.92D ．2 4.设5lgx＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．±10 C．100 D ．±100 5．log 6(log 4(log 381))＝________.6．log 3(1－2x9)＝1，则x ＝________.7．(1)求对数值：log 4381＝________；log 354625＝________.(2)求真数：log 3x ＝－34，则x ＝________；log 2x ＝78，则x ＝________.(3)求底数：log x 3＝－35，则x ＝________；log x 2＝78，则x ＝________.8．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．9．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.10．已知lga 和lgb 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lga)x －(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．答案与解析课前预习1．D 由对数式与指数式的互化易得．2．B log x 7y ＝z ⇔x z ＝7y ，∴x 7z＝y.3．B 21＋log 272＝2·2log 272＝2·72＝7.4.12 －2 log 16x ＝－14⇔x ＝16－14＝12，(2)x ＝12⇔x ＝log 212＝log 2(2)－2＝－2. 5．2 由log 2(x 2－4x ＋6)＝1得x 2－4x ＋6＝2，即x 2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，∴x ＝2. 课堂巩固1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log 3(－5)无意义．2．C log 39＝2的指数式应为32＝9. 3．C 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<5，a>2，a≠3，∴2<a<3或3<a<5.4.655 ∵3log 35＝5，3log 315＝(3log 315)12＝(15)12＝55. ∴原式＝5＋55＝655. 5.24由已知得log 3(log 2x)＝1， ∴log 2x ＝3，则x ＝23.∴x－12＝2－32＝122＝24.6．解：∵log a 2＝m ，∴a m＝2.又log a 3＝n ，∴a n＝3. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.7．解：原式＝(alog a b)log b c·log c N ＝blog b c·log c N ＝(blog b c)log c N ＝clog c N ＝N. 点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alog a N ＝N 中要注意书写格式． 课后检测1．C ③不正确，log 4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x≠1”的前提下计算．2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．3．A ∵216336＝63623＝63－23＝673，∴log 6216336＝log 6673＝73.4．C 5lgx ＝25，∴lgx＝2，即102＝x. ∴x＝100.5．0 原式＝log 6[log 4(log 334)] ＝log 6(log 44) ＝log 61＝0.6．－13 由已知得1－2x9＝3，∴x＝－13.7．(1)16 3 (2)1427278 (3)3－53 287(1)(43)16＝34＝81，∴log 4381＝16；∵(354)3＝625，∴log 354625＝3.(2)由题意可得x ＝3－34＝1427；由已知得x ＝278.(3)由已知得x －35＝3，∴x＝3－53；x 78＝2，∴x＝287.点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．8．解：∵f(x)的最大值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧lga<0，16lg 2a －44lga＝3⇒(4lga ＋1)(lga －1)＝0.∴lga＝1(舍去)或lga ＝－14.∴a＝10－14.9．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k，从而有b ＝(b k )k ＝bk 2.∵b>0，b≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b.∴a＝b 或a ＝1b ，命题得证．10．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lga ＋lgb ＝1，lga·lgb＝m ，(lga)2＋4(1＋lga)＝0，①②③由③得(lga ＋2)2＝0，∴lga＝－2.∴a ＝1100.代入①得lgb ＝1－lga ＝3，∴b＝103＝1 000. 代入②得m ＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.∴a＝1100，b ＝1 000，m ＝－6.。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2 对数与对数函数
3.2.2 对数函数课堂导学三点剖析一、对数函数定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域与值域.(1)y=log 2(x 2-4x-5);(2)y=log 3(9-x 2); (3)y=32x log ; (4)y=)34(log 5.0-x .思路分析：(1)(2)题,用y=log a x 的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=log a x 中的x 的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义,结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解.解：(1)∵x 2-4x-5>0,∴x<-1或x>5.∴y=log 2(x 2-4x-5)的定义域是{x|x<-1或x>5}.又令g(x)=(x-2)2-9,∵g(x)在定义域内恒有g(x)>0,∴函数值域为R .(2)由9-x 2>0,得-3<x<3,∴y=log 3(9-x 2)的定义域为{x|-3<x<3}.又知0<9-x 2≤9且y=log 3x 是增函数,∴y=log 3(9-x 2)≤log 39=2.∴y=log 3(9-x 2)的值域为(-∞,2］.(3)∵该函数有奇次根式,要使函数有意义,只需对数的真数是正数,∴所求定义域是{x|x>0},值域为R .(4)要使函数y=)34(log 5.0-x 有意义,必须log 0.5(4x-3)≥0=log 0.51.∴0<4x -3≤1.∴43<x≤1. ∴所求定义域是{x|43<x≤1},值域为［0,+∞). 二、比较大小问题【例2】比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 310.3,log 20.8;(2)log a 5.1,log a 5.9;(3)log 67,log 76.思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定.对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁”,如“0”和“1”,间接地比较大小.解：(1)由对数的性质,知 log 310.3>0,log 20.8<0,∴log 310.3>log 20.8.(2)对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大,因此需要对底数a 进行讨论.当a>1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数,5.1<5.9,∴log a 5.1<log a 5.9;当0<a<1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数,5.1<5.9,∴log a 5.1>log a 5.9.(3)∵log 67>1,log 76<log 77=1,∴log 67>log 76.三、函数单调性的判定与单调区间的求法【例3】(1)求证:函数f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数;(2)求函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调区间.(1)证明:在(0,+∞)上任取x 1、x 2,且0<x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(-log 51x 1)-(-log 51x 2)=log 51x 2-log 51x 1.又y=log 51x 在(0,+∞)上是减函数,有log 51x 2<log 51x 1, ∴log 51x 2-log 51x 1<0,即f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数.(2)解析：由x 2-1>0得x>1或x<-1,∴f(x)定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1).令g(x)=x 2-1,知g(x)在(1,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减且f(x)=log 2x 为增函数.故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,-1).温馨提示(1)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=log a x 的单调性来证明复合函数单调性.(2)G(x)=f ［g(x)］,若g(x)与f(x)同增(或同减),则G(x)为增;若g(x)与f(x)一增一减,则G(x)为减,可据此来求单调区间.各个击破类题演练1已知函数y=log a (a-a x )(其中a>1),求它的定义域和值域.解析：根据题意a-a x >0,∴a x <a.又∵a>1,y=a x 是增函数,∴x<1.∵a x <a,且a x >0,0<a-a x <a,∴log a (a-a x )<1.∴函数y=log a (a-a x )的定义域和值域分别是{x|x<1}和{y|y<1}.变式提升1求下列函数的定义域:(1)y=log 7x311 ;(2)y=)32lg(422-+-x x x ; (3)y=log (x+1)(16-4x). 解析：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-,031,0311x x 得x<31, ∴所求函数的定义域为{x|x<31}. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-+≥-.0)32lg(,032,04222x x x x x 即⎩⎨⎧±-≠-<≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-<-≤≥.51,63213213222x x x x x x x x x 或或或∴函数y=)32lg(422-+-x x x 的定义域为{x|x≥2或x<-3且x≠-15-}. (3)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-.0,1,2,0,1,44110104162x x x x x x x x x 得∴y=log (x+1)(16-4x)的定义域为{x|-1<x<2且x≠0}.类题演练2比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 213,log 513;(2)log 3π,log 20.8.解析：(1)∵在x∈(1,+∞)上,y=log 51x 的图象在y=log 21x 图象的上方, ∴log 513>log 213.(2)∵log 3π>log 31=0,log 20.8<log 21=0,∴log 3π>log 20.8.变式提升比较(lgm)1.9与(lgm)2.1(m>1)的大小.解析：把lgm 看作指数函数的底数,本题转化为比较一个指数函数的两个函数值的大小,于是应对底数lgm 进行讨论:当1>lgm>0,即1<m<10时,y=(lgm)x 在R 上是减函数,1.9<2.1,∴(lgm)1.9>(lgm)2.1;当lgm=1,即m=10时,(lgm)1.9=(lgm)2.1=1;当lgm>1,即m>10时,y=(lgm)x 在R 上是增函数,1.9<2.1,∴(lgm )1.9<(lgm)2.1.类题演练3求函数f(x)=log 0.5(x 2-2x-3)的单调区间.解析：由x 2-2x-3>0得x>3或x<-1,令g(x)=(x-1)2-4,知g(x)在(3,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减.又f(x)=log0.5x是减函数,故f(x)的增区间为(-∞,-1),减区间为(3,+∞).变式提升3判断f(x)=log a(x2-2x-3)在(3,+∞)上的单调性.解析：令g(x)=x2-2x-3,当x∈(3,+∞)时,有g(x)>0. 设x1、x2∈(3,+∞)且x1>x2,则g(x1)=x12-2x1-3,g(x2)=x22-2x2-3.∴g(x1)-g(x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2). ∵x1>x2>3,∴x1-x2>0,x1+x2-2>0.∴g(x1)>g(x2).又当a>1时,f(x)=log a x是增函数,∴f(x1)=log a g(x1)>log a g(x2)=f(x2).∴当a>1时,f(x)在(3,+∞)上是增函数.同理可证,当0<a<1时,f(x)在(3,+∞)上是减函数.。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.3指数函数与对数函数的关系练习新人教B版必修1
3.2.3 指数函数与对数函数的关系【选题明细表】1.设f(x)=3x+9,则f-1(x)的定义域是( B )(A)(0,+∞) (B)(9,+∞)(C)(10,+∞) (D)(-∞,+∞)解析:因为f(x)=3x+9>9,所以反函数的定义域为(9,+∞),故选B.2.设a=,b=,c=lo x,若x>1,则a,b,c的大小关系为( C )(A)a<b<c (B)b<c<a(C)c<a<b (D)b<a<c解析:因为x>1,所以a=<=,b=>=1,所以0<a<b,而y=lo x是减函数,所以c=lo x<lo1=0.所以c<a<b.故选C.3.若函数f(x)是函数y=a x(a>0,a≠1)的反函数,其图象过点(,a),则f(x)等于( B )(A)log2x (B)lo x (C) (D)x2解析:y=a x的反函数是y=log a x,因为图象过点(,a),所以a=log a,所以a=,即f(x)=lo x.故选B.4.已知y=f(x)在R上单调递增,且满足f(1)=2,则y=f(x)的反函数的图象恒过点( D )(A)(1,2) (B)(0,2) (C)(2,0) (D)(2,1)解析:由反函数定义可知恒过点(2,1),故选D.5.若函数f(x)的反函数为f-1(x)=x2(x>0),则f(4)= .解析:设f(4)=b,则4=f-1(b)=b2且b>0,所以b=2.即f(4)=2.答案:26.已知函数f(x)=则f-1= .解析:设f-1=x,则f(x)=.①令x2+1=,得x=±,因为0≤x≤1,所以x=.②令2x=,得x=,与-1≤x<0矛盾.综上得f-1=.答案:7.(2018·河南实验中学期中)已知函数f(x)与g(x)=e x互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,若h(a)=1,则实数a的值为( C )(A)-e (B)- (C) (D)e解析:因为函数f(x)与函数g(x)=e x互为反函数,所以f(x)=ln x.因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)= -ln x.因为h(a)=1,所以a=,故选C.8.如图,已知f(x)=a x,g(x)=log a x(a>0且a≠1),若f(3)·g (3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( C )解析:因为f(x)=a x,g(x)=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,所以它们具有相同的单调性.所以排除A和D.又f(3)·g(3)<0,所以f(3)>0,g(3)<0,所以排除B,选C.9.已知函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:(1)h(x)的图象关于原点对称;(2)h(x)为偶函数;(3)h(x)的最小值为0;(4)h(x)在(0,1)上为减函数.其中正确命题的序号为.(将你认为正确的命题的序号都填上)解析:g(x)=lo x,则h(x)=g(1-|x|)=lo(1-|x|)(-1<x<1),所以h(x)是偶函数,故(1)错,(2)正确.又h(x)=lo(1-|x|)≥lo1=0,所以(3)正确.因为u=1-|x|在(0,1)上为减函数,h(x)=lo u为减函数,所以h(x)在(0,1)上为增函数,(4)错.答案:(2)(3)10.设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,试求a+b 的值.解:(数形结合法)将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.由图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标.由于函数y=2x与y= log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B 两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标分别为A(a,b), B(b,a),而A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3,或a=-b+3,故a+b=3.。
2018版高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.3 指数函数与对数函数的关系学业分层测评 新人
指数函数与对数函数的关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f(x)＝3x＋9，则f－1(x)的定义域是( )A．(0，＋∞)B．(9，＋∞)C．(10，＋∞) D．(－∞，＋∞)【解析】∵f(x)＝3x＋9>9，∴反函数的定义域为(9，＋∞)，故选B.【答案】 BA．a<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．b<a<c【解析】∵x>1，∴c<a<b.故选C.【答案】 C3．已知函数y＝e x的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( ) A．f(2x)＝e2x(x∈R)B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)C．f(2x)＝2e x(x∈R)D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x>0)【解析】由y＝e x得f(x)＝ln x，∴f(2x)＝ln 2x＝ln 2＋ln x(x>0)．【答案】 D4．函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为( )A．x＝2－y B．x＝y－2C．y＝2－x(x∈R) D．y＝x－2(x∈R)【解析】由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(x∈R)．互换x，y，得y＝x－2(x∈R)．【答案】 D5．已知函数y ＝log 3(3－x )(0≤x <3)，则它的反函数是( ) A ．y ＝3－3x(x ≥0) B ．y ＝3＋3x(x ≤1) C ．y ＝3＋3x (x ≥0)D ．y ＝3－3x(x ≤1)【解析】 由y ＝log 3(3－x )，得3－x ＝3y，∴x ＝3－3y ， ∴有f －1(x )＝3－3x，排除B 、C ， ∵原函数中0≤x <3，∴0<3－x ≤3， ∴y ＝log 3(3－x )≤1，所以f －1(x )的定义域为x ≤1，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2(x >0)，则f (4)＝________. 【解析】 设f (4)＝b ，则4＝f －1(b )＝b 2且b >0，∴b ＝2. 【答案】 27．已知函数y ＝a x＋b 的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由函数y ＝a x＋b 的图象过点(1,4)，得a ＋b ＝4.由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a 0＋b ＝2，因此a ＝3，b ＝1.【答案】 3 18．已知函数y ＝f (x )与g (x )＝log 3x (x >0)互为反函数，则f (－2)＝________. 【解析】 法一：由题意，f (x )＝3x ，∴f (－2)＝3－2＝19.法二：函数y ＝f (x )与g (x )＝log 3x (x >0)互为反函数，∴求f (－2)即解方程log 3x ＝－2，故x ＝3－2＝19.【答案】 19三、解答题9．求函数y ＝2x＋1(x <0)的反函数．【解】 因为y ＝2x ＋1,0<2x <1，所以1<2x＋1<2. 所以1<y <2.由2x＝y －1，得x ＝log 2(y －1)． 所以f －1(x )＝log 2(x －1)(1<x <2)．10．已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0，且a ≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．【解】(1)要使函数有意义，必须a x－1>0，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．∴f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．(3)令y＝log a(a x－1)，则a y＝a x－1，∴x＝log a(a y＋1)．∴f－1(x)＝log a(a x＋1)．由f(2x)＝f－1(x)，得log a(a2x－1)＝log a(a x＋1)，∴a2x－1＝a x＋1，解得a x＝2或a x＝－1(舍去)，∴x＝log a2.[能力提升]A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】 C2．设函数f(x)＝log a(x＋b) (a>0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于( )A．3 B．4C．5 D．6【解析】 f (x )＝log a (x ＋b )的反函数为f －1(x )＝a x －b ，又f (x )过点(2,1)，∴f －1(x )过点(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a 2－b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，a ＝－2，又a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴a ＋b ＝4. 【答案】 B3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，e x，x ≥0的反函数是________．【解析】 当x <0时，y ＝x ＋1的反函数是y ＝x －1，x <1； 当x ≥0时，y ＝e x的反函数是y ＝ln x ，x ≥1.故原函数的反函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <1，ln x ，x ≥1.【答案】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <1，ln x ，x ≥1【解】 设t ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2. 当x ∈R 时，t 有最小值，为2.由f (x )＝log a (3－2x )，得其定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32.设u (x )＝3－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，则f (x )＝log a u (x )．∵u (x )＝3－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数，0<a <1， ∴f (x )＝log a u (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32上是增函数． ∴f (x )＝log a (3－2x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32，无单调减区间．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2 对数与对数函数
3.2.3 指数函数与对数函数的关系预习导航一、反函数1．前提函数f(x)是一一映射．2．定义把函数f(x)的因变量作为新的函数的自变量，而把函数f(x)的自变量作为新的函数的因变量，我们就称这两个函数互为反函数．3．记法函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．思考1 若函数y＝f(x)的图象上有一点(a，b)，则哪一个点必在其反函数的图象上？提示：点(b，a)必在函数y＝f(x)的反函数的图象上．思考2 如果一个函数在其定义域上是单调的，那么这个函数有反函数吗？提示：这个函数有反函数，因为单调函数是一一映射．二、指数函数与对数函数的关系1．关系指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数．2．图象特征指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称．3．单调性当a>1时，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝a x随着x的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log a x的增长速度逐渐变得很缓慢．思考3 指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的定义域和值域有何关系？提示：y＝a x的定义域与值域分别是y＝log a x的值域与定义域．特别提醒 (1)反函数的定义不只局限于函数y＝log a x(a>0，a≠1)与函数y＝a x(a>0，a≠1)之间，对于其他的函数之间也可能存在互为反函数的关系，特别注意的是一个函数要存在反函数，它必须是一个一一映射．(2)反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称，利用图象间的这一关系，大家可以简化作图过程，也可借助图象来分析函数的一些性质．。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2 对数与对数函数
3.2.1 对数及其运算课堂探究探究一对数式与指数式的互化由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：10(2)log39＝2⇔32＝9；(3)log210＝x⇔2x＝10；(4)e3＝x⇔log e x＝3，即ln x＝3.答案：(1)lg 1 000＝3 (2)32＝9 (3)2x＝10 (4)ln x＝3探究二对数基本性质的应用1．对数恒等式a log a N＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的求值．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．2．利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化(1)log a x＝1⇔x＝a(a>0，且a≠1)．(2)log a x＝0⇔x＝1(a>0，且a≠1)．我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化．【典型例题2】(1)若log 3(lg x )＝1，则x ＝__________；(2)求值：4221(log 9log 5)2－＝__________.解析：(1)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3.∴x ＝103＝1 000. (2)原式＝2(log 29－log 25)＝22log 9log 522＝95. 答案：(1)1 000 (2) 95点评 在对数的相关运算中，除了对数的定义外，应灵活应用如log a 1＝0，log a a ＝1，a log a M ＝M 等常用性质，另外要特别注意真数与底数的取值要求，做到及时检验． 探究三 对数运算法则的应用对数运算法则的使用技巧及注意事项：1．“收”：同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等，然后化简求值，如log 24＋log 25＝log 220.2．“拆”：将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值，如log 295＝log 29－log 25. 3．各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1，真数大于0.4．注意“同底”这个化简的方向，因为同底的对数才可能利用对数的运算法则．5．要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义．【典型例题3】化简下列各式：(1)4lg2＋3lg5－lg 15；； (3)2log 32－log 3329＋log 38－55log 3. 思路分析：利用对数的运算法则，将所给式子转化为积、商、幂的对数．解：(1)原式＝lg 432515⨯＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4； (2)原式＝33lg 33lg 222lg 32lg 21+-+-＝()3lg321lg 212lg32lg 21+-+-＝32； (3)原式＝2log 32－(5log 32－2)＋3log 32－3＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.点评 (1)注意对数运算法则的正用和逆用；(2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等． 探究四 对数换底公式的应用1．应用换底公式表示已知对数的两个策略2．利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式(1)技巧：“化异为同”，即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算．(2)常见的三种处理方式：①借助运算性质：先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底求解．②借助换底公式：一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值． ③利用对数恒等式或常见结论：有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率．【典型例题4】(1)计算lg12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 98的值； (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.解：(1)原式＝lg 1525282⎛⎫÷⨯ ⎪⎝⎭－lg 9lg 8·lg 8lg 9＝lg10－1＝0. (2)方法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 18 5＝b .于是log 36 45＝1818log 45log 36＝()()1818log 95log 182⨯⨯＝81818log 9log 51log 2++＝18181log 9a b ++＝2a b a +-. 方法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝()18218log 9518log 9⨯＝18181818log 9log 52log 18log 9+-＝2a b a +-. 方法三：∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg18，lg 5＝b lg18.∴log 36 45＝lg 45lg 36＝()2lg 9518lg 9⨯＝lg 9lg 52lg18lg 9+-＝lg18lg182lg18lg18a b a +-＝2a b a +-. 点评 在解题过程中，根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式，这正是数学转化思想的具体体现，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用．探究五易错辨析易错点忽视底数的限制条件而致误【典型例题5】已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．错解：由对数的性质，可得x2＋3x＝x＋3，解得x＝1或x＝－3.错因分析：错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1.正解：由对数的性质，知22333030,31x x xx xx x⎧+=+⎪+⎨⎪++≠⎩ff且解得x＝1，故实数x的值为1.点评由对数的定义可知，对数log a N的底数a>0，且a≠1，真数N>0，因此我们在解题时一定要注意这些限制条件，如果忽视了这些条件，则很容易出错．。
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系学习导航学案
3.2.2 对数函数-3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主整理1.对数函数的定义：函数y=log a x(a>0,且a≠1,x>0)称为对数函数，它的定义域为(0,+∞),值域为R.2.对数函数的图象与性质:4.反函数当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x)，反函数也是函数，它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=a x（a＞0,且a≠1）和对数函数y=log a x（a＞0,且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线y=x对称.高手笔记1.解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式,但一定要注意真数大于零这一隐含条件.2.求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.3.考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义.考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.4.利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.5.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log a |x|的图象.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log a x|的图象. 名师解惑1.比较两个对数的大小，一般可采用哪些方法？ 剖析：两数（式）大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有： （1）直接法：由函数的单调性直接作答；（2）作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；（3）作商法：若两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定； （4）转化法：把要比较的两数适当地转化成两个新数大小的比较；（5）媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.2.对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有哪些对应关系？ 剖析:对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系：（1）图象都位于y 轴右侧，且以y 轴为渐近线→函数定义域为（0，+∞）. （2）图象向上、向下无限延展→函数值域为R .（3）图象恒过定点（1，0）→1的对数是零，即log a 1=0.（4）当a ＞1时，图象由左向右逐渐上升→当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数； 当0＜a ＜1时，图象由左向右逐渐下降→当0＜a ＜1时，y=log a x 在（0，+∞）上是减函数. （5）当a ＞1时，在直线x=1的右侧，图象位于x 轴上方；在直线x=1与y 轴之间，图象位于x 轴下方→当a ＞1时，x ＞1，则y=log a x ＞0；0＜x ＜1，则y=log a x ＜0.当0＜a ＜1时，在直线x ＝1的右侧，图象位于x 轴下方；在直线x ＝1与y 轴之间，图象位于x 轴上方→当0＜a ＜1时，x ＞1，则y=log a x ＜0；0＜x ＜1，则y=log a x ＞0. 3.怎样把对数函数与指数函数联系起来研究? 剖析：（1）对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到：这两种函数都要求底数a ＞0，且a≠1；对数函数的定义域为(0，+∞)，结合图象看，对数函数在y 轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a ＞1，或0＜a ＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，＋∞)上同时为增函数，或者同时为减函数〕.对数函数的图象都经过点（1，0），这与性质log a 0=1是分不开的.(3)既然对数函数y=log a x 与指数函数y=a x互为反函数，那么它们的图象关于直线y ＝x 对称.于是通过对a 分情况（约定不同的取值范围），再结合函数y=log 2x,y=log 21x 的图象来揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事.讲练互动图3-2-2【例题1】图3-2-2是对数函数y=log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( ) A.3,34,53,101 B.3,34,101,53 C.34,3,53,101 D.34,3,101,53 解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A 绿色通道由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a 的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=a x中，底数a 越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x 对称的，直线y=1关于直线y=x 的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=log a x ，底数a 越接近1，其图象就越接近直线x=1. 变式训练1.若log a 2<log b 2<0,则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1 解析：注意到此题两对数值底数不同真数相同,用图象法或用换底公式均可.方法一：由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y=log a x,y=log b x 图象的大致走向.再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大. 方法二：利用换底公式转化成同底的对数再进行比较. 由已知，得ba 22log 1log 1 <0,则0>log 2a>log 2b,即log 21>log 2a>log 2b.∵y=log 2x 为增函数, ∴0<b<a<1.方法三：取特殊值法.∵log 212=-1,log 412=21, ∴log 212<log 412<0.∴可取a=21,b=41，则0<b<a<1. 答案：B【例题2】比较大小： （1）log 0.27与log 0.29； （2）log 35与log 65；（3）（lgm ）1.9与（lgm ）2.1（m ＞1）； （4）log 85与lg4.分析:（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x ，当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29. （2）考查函数y=log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1;若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9＝（lgm ）2.1.（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8， 所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4. 解：（1）log 0.27＞log 0.29. （2）log 35＞log 65.（3）当m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;当m=10时，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;当1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1. （4）log 85＞lg4.绿色通道本题比较大小代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择. 变式训练2.比较下列各组数中两个值的大小: （1）log 23.4,log 28.5; （2）log 0.31.8;log 0.32.7;（3）log a 5.1,log a 5.9(a>0且a≠1); （4）log 67,log 76.分析:对于底数相同的两个对数值比较大小，可由对数的单调性确定，利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较两个数的大小. 解：（1）考查对数函数y=log 2x ，因为它的底数2>1，所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log 23.4<log 28.5.（2）考查对数函数y=log 0.3x ，因为它的底数满足0<0.3<1，所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log 0.31.8>log 0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大，因此需要对底数a 进行讨论:当a>1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数，于是log a 5.1<log a 5.9； 当0<a<1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数，于是log a 5.1>log a 5.9. （4）∵log 67>log 66=1，log 76<log 77=1， ∴log 67>log 76.【例题3】已知函数y=lg （12+x -x ），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 分析:注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f（-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x∈R ，即定义域为R .又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］=lg （12+x +x ）=lg1112-+x=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ）=-f （x ）,∴y=lg（12+x -x ）是奇函数. 任取x 1、x 2∈（0，+∞）,且x 1＜x 2， 则xx x x ++⇒++11121221＞22211x x -+，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0， ∴lg（121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f（x ）在（0，+∞）上为减函数. 又f （x ）是定义在R 上的奇函数， 故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数.绿色通道研究函数的性质一定得先考虑定义域.在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性. 变式训练3.(2006广东高考,1)函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(31-,+∞) B.(31-,1) C.(31-,31) D.(-∞,31-) 解析：由.131013,01<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x答案：B【例题4】(1)解不等式:log 3(4-x)>2+log 3x; (2)解方程:2lg 3-x -3lgx+4=0.分析:对于(1),将对数不等式转化为解代数不等式组,对于(2)用换元法将其转化为一元二次方程.解：(1)原不等式可化为log 3(4-x)>log 3(9x),其等价于⎪⎩⎪⎨⎧>>>0,x 0,x -49x,x -4解得0<x<52. ∴原不等式的解集为{x|0<x<52}. (2)设2-3lgx =t,则t≥0. 原方程化为-t 2+t+2=0. 解得t=2,或t=-1(舍去).由2-3lgx =2,得lgx=2.故x=100.经检验x=100是原方程的解.黑色陷阱(1)形如f(log a x)=0,f(log a x)>0的对数方程或不等式，往往令t=log a x 进行换元转化.(2)解对数方程和不等式时要注意防止定义域的扩大，处理办法为：第一，若不是同解变形，最后一定要验根；第二，解的过程中要加以限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解混合不等式组得到原不等式的解. 变式训练4.(2006陕西高考,理4)设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a+b 等于( )A.3B.4C.5D.6 解析：因为函数f(x)的图象经过点（2，1），所以f(2)=1，即log a （2+b ）=1,即a=2+b. 又其反函数的图象经过点（2，8），故函数f(x)的图象经过点（8，2），有log a (8+b)=2，即a 2=8+b,解得a=-2,b=-4(舍去)，或a=3,b=1，所以a+b=4. 答案：B5.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a≠1），则f （log 2x ）的最小值为_____________.解析：由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(,4,0)1(log log 222⎩⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2. 代入②得b=2.∴f（x ）=x 2-x+2.∴f（log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x 21-）2+47.∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.答案：47。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系课时
3.2.3 指数函数与对数函数的关系一、选择题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x的反函数为导学号 65164972( C )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32xB ．y ＝log 32 xC ．y ＝log 23xD ．y ＝log 13x[解析] 函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)与函数y ＝a x(a >0，a ≠1)互为反函数，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x的反函数是y ＝log 23x ，故选C ．2．若f (10x)＝x ，则f (5)＝导学号 65164973( B ) A ．log 510 B ．lg5 C ．105D ．510[解析] 解法一：令u ＝10x，则x ＝lg u ，∴f (u )＝lg u ， ∴f (5)＝lg5.解法二：令10x＝5，∴x ＝lg5，∴f (5)＝lg5. 3．若函数y ＝ax1＋x的图象关于直线y ＝x 对称，则a 的值为导学号 65164974( B ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．任意实数[解析] 因为函数图象本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，a 2)与(a2，1)均在原函数图象上，故可得a ＝－1.4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为导学号 65164975( C )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ， ∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e .5．函数y ＝10x 2－1(0<x ≤1)的反函数是导学号 65164976( D )A ．y ＝－1＋lg x (x >110)B ．y ＝1＋lg x (x >110)C ．y ＝－1＋lg x (110<x ≤1) D ．y ＝1＋lg x (110<x ≤1)[解析] 由y ＝10x 2－1(0<x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，即x ＝lg y ＋1.又∵0<x ≤1，即－1<x 2－1≤0，∴110<10x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110<x ≤1)．6．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，则f (x )是导学号 65164977( A )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数[解析] ∵函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)， ∴log a (4－k )＝0，∴k ＝3. ∴f (x )＝log a (x －3)，又反函数f －1(x )的图象过点(1,7)， ∴f (x )过点(7,1)．∴log a 4＝1，∴a ＝4，∴f (x )为增函数．7．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数的图象上，则a ＝__－3__，b ＝__7__.导学号 65164978[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图象上，∴⎩⎨⎧2＝a ＋b 1＝2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7.8．已知函数f (x )的反函数g (x )＝1＋2lg x (x >0)，则f (1)＋g (1)＝__2__.导学号 65164979[解析] 令g (x )＝1，则2lg x ＝0，∴x ＝1. ∵f (x )与g (x )互为反函数， ∴f (1)＝1，g (1)＝1＋2lg1＝1， ∴f (1)＋g (1)＝2. 三、解答题9．已知y ＝12x ＋a 与y ＝3－bx 互为反函数，求a 、b 的值.导学号 65164980[解析] 由y ＝12x ＋a ，得x ＝2y －2a ，∴y ＝2x －2a .即函数y ＝12x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a ，由已知得函数y ＝2x －2a 与函数y ＝3－bx 为同一函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝2－2a ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝－2.10．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a >1).导学号 65164981 (1)求函数f (x )的定义域、值域； (2)求函数f (x )的反函数f －1(x )； (3)判断f －1(x )的单调性．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R . (2)由y ＝log a (2－x )得，2－x ＝a y ，即x ＝2－a y. ∴f －1(x )＝2－a x(x ∈R )． (3)f －1(x )在R 上是减函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，∵f －1(x 2)－f －1(x 1)＝2－a x 2－2＋a x 1＝a x 1－a x 2， ∵a >1，x 1<x 2，∴a x 1<a x 2即a x 1－a x 2<0， ∴f －1(x 2)<f －1(x 1)，∴y ＝f －1(x )在R 上是减函数．。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)32对数与对数函数321对数及其运算同步测控新人教B版1
3.2.1 对数及其运算同步测控我夯基,我达标1.式子2)5log 211(2+的值为( ) A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25 解析：原式=)5log 1(2+=2)52(log 2=25.答案：B2.下列各式中成立的是( )A.log a x 2=2log a xB.log a |xy|=log a |x|+log a |y|C.log a 3＞log a 2D.log a yx =log a x-log a y 解析：A 、D 的错误在于不能保证真数为正，C 的错误在于a 值不定.答案：B3.已知f （x 5）=lgx ，则f （2）等于( ) A.lg2 B.lg32 C.lg321 D.51lg2 解析：令x 5=t ，则x=5t =t 51. ∴f（t ）=lgt 51=51lgt. ∴f（2）=51lg2. 答案：D4.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N解析：本题易错选A 或B 或C.主要问题是对函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与A 类似的一个错误的等式是lg2+lg3=lg5；B 中的lg 23表示（lg3）2，它与lg32＝lg9意义不同；C 中的log a M+N 表示（log a M ）+N ，它与log a （M+N ）意义不同；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M =log 3NM ，所以M ＝N. 答案：D5.求下列各式的值:(1)设log b x-log b y ＝a ，则log b 5x 3-log b 5y 3＝____________;(2)设log a (x ＋y)＝3，log a x ＝1，则log a y ＝____________;(3)3|91|log 3=_____________.解析：(1)∵log b x-log b y ＝a,∴log b y x＝a.∴log b 5x 3-log b 5y 3＝log b 3355y x＝log b (y x )3＝3log b y x＝3a.(2)∵log a (x ＋y)＝3, ∴a 33＝x ＋y.又log a x ＝1,∴x＝a.∴y＝a 3-a.从而log a y ＝log a (a 3-a). (3)3|91|log 3＝3|3log 23|-=3|3log 2|3-＝32＝9.答案：(1)3a (2)log a (a 3-a) (3)96.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f （log 23）的值为__________.解析：∵1<log 23<2,∴3+log 23>4.∴f(3+log 23)=(21)3log 32+ =(21)24log 2=(21)241log 21=241.又∵当x<4时，f(x+1)=f(x),∴f(log 23)=f(1+log 23)=f(2+log 23)=f(3+log 23)=241. 答案：2417.求下列各式中的x ：（1）log 54x ＝21-；（2）log x 5＝23； （3）log （x-1）（x 2-8x ＋7）＝1.分析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.解：（1）原式转化为（54）21-=x ，所以x=25. （2）原式转化为x 23=5，所以x=325. （3）由对数性质,得⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠->--=+-,078,11,01,17822x x x x x x x 解得x ＝8.8.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg 45.分析:解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算. 解：lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+2121-lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.我综合,我发展9.对于a>0，a≠1，下列说法中正确的是( )①若M=N ，则log a M=log a N ②若log a M=log a N ，则M=N ③若log a M 2=log a N 2，则M=N ④若M=N ，则log a M 2=log a N 2A.①③B.②④C.②D.①②③④ 解析：在①中，当M=N≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M=log a N 不成立. 在②中，当log a M=log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M=N ，因此M=N 成立.在③中，当log a M 2=log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2=N 2，即|M|=|N|，但未必有M=N ，例如，M=2，N=-2时，也有log a M 2=log a N 2，但M≠N.在④中，若M=N=0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2=log a N 2不成立.∴只有②正确.答案：C10.设log a c 、log b c 是方程x 2-3x+1=0的两根，则log b a c=__________.解析：依题意,得⎩⎨⎧=∙=+,1log log ,3log log c c c c b a b a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+,1log log 1,3log 1log 1ba b a c c c c 即⎩⎨⎧=∙=+.1log log ,3log log b a b a c c c c ∴(log c a-log c b)2=(log c a+log c b)2-4log c a·log c b=32-4=5.∴log c a-log c b=±5. 故log b a =5551log log 1log 1±=±=-=b a b a c c c . 答案：±55 11.已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=_______.（用a,b 表示）解析：∵log 189=a ，∴log 18218=1-log 182=a. ∴log 182=1-a.又∵18b =5,∴log 185=b.∴log 3645=ab a -+=++=22log 15log 9log 36log 45log 1818181818. 答案：ab a -+2 12.若26x =33y =62z ，求证:3xy-2xz-yz=0.分析:由已知条件到结论，本质就是把指数式化为对数式，要把指数位置上的字母拿下来，唯一的方法就是取对数，通常我们两边同时取常用对数，也可以根据题目的具体情况取其他数字（条件中已有的底数）为底数，总之要同底，然后利用对数的性质和运算法则化简计算.证法一:设t=26x =33y =62z ,两边取常用对数,则x=2lg 6lg t ,y=3lg 3lg t ,z=6lg 2lg t . ∴3xy -2xz-yz=6lg 3lg 6lg 6lg 2lg 6lg 3lg 2lg 6lg 222t t t -- =)]3lg 12lg 1(6lg 13lg 2lg 1[6lg 2+-t =)3lg 2lg 13lg 2lg 1(6lg 2-t =0.证法二：∵26x =33y =62z ，∴两边取以3为底的对数，有6xlog 32=3y=2zlog 36，由前面的等式,得yz=2xzlog 32,由后面的等式,得3xy=2xzlog 36.∴3xy -2xz-yz=2xzlog 36-2xz-2xzlog 32=2xz(log 36-1-log 32)=2xz （log 36-log 33-log 32)=0. 科学是实事求是的学问。
2020年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.3指数函数与对数函数的关系练习新人教B版必修1
3.2.3 指数函数与对数函数的关系课时跟踪检测 [A 组 基础过关]1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．log 12xC ．12x D ．x 2解析：由y ＝2x得，x ＝log 2y (y >0)，所以函数y ＝2x的反函数为f (x )＝log 2x (x >0)，故选A ． 答案：A2．给出下列四个命题：①函数y ＝f －1(x )的反函数是y ＝f (x )；②若点M (a ，b )在y ＝f (x )的图象上，且其反函数存在，则点M 1(b ，a )一定在y ＝f －1(x )的图象上；③关于直线y ＝x 成轴对称的两个图形一定是互为反函数的一对函数的图象；④因为函数y ＝f (x )和其反函数y ＝f －1(x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以y ＝f (x )与y ＝f －1(x )的图象不能相交．其中错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：③和④错误，③中关于直线y ＝x 成轴对称的两个图形不一定是函数图象；④中若两函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x和y ＝log 12x ，则两图象一定相交．答案：B3．若当x ∈R ，函数f (x )＝a |x |始终满足0＜|f (x )|≤1，则函数g (x )＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的图象大致为( )解析：由f (x )＝a |x |始终满足0＜|f (x )|≤1， ∴0＜a ＜1，∴g (x )＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＝－log a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log a x ，x ＞0，－log a (－x )，x ＜0，当x ＞0时，g (x )＝－log a x 为增函数，故选B ． 答案：B4．已知函数f (2x)的定义域是[1,2]，则f (log 2x )的定义域是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,4]D ．[4,16]解析：∵函数f (2x)的定义域是[1,2]， ∴2≤2x≤4， 由2≤log 2x ≤4， 得4≤x ≤16，∴f (log 2x )的定义域是[4,16]． 答案：D5．函数y ＝1＋log 12x 的反函数是( )A ．y ＝2x －1(x ∈R )B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1(x ∈R )C ．y ＝21－x(x ∈R ) D ．y ＝2x －1(x ∈R )答案：C6．设函数f (x )＝2x ＋1的反函数为f －1(x )，则f －1(x )＜0的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(1,2) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，1)解析：f (x )＝2x＋1的反函数为f －1(x )＝log 2(x －1)，∴f －1(x )＜0，则log 2(x －1)＜0，∴0＜x －1＜1，∴1＜x ＜2.故选B ． 答案：B7．已知f (x )＝2x ＋b 的反函数为f －1(x )，若y ＝f －1(x )的图象经过点Q (5,2)，则b ＝________.解析： 解法一：f －1(x )＝log 2(x －b )，∴2＝log 2(5－b )⇒b ＝1. 解法二：Q ′(2,5)在f (x )＝2x ＋b 上，从而22＋b ＝5⇒b ＝1. 答案：18．已知函数f (x )＝a mx(a >0，且a ≠1，m ∈R ，m ≠0)，求f －1[f (－x )]的表达式． 解：令f (x )＝a mx＝y ，则mx ＝log a y ， ∴x ＝1mlog a y .∴f －1(x )＝1m·log a x .又f (－x )＝a－mx，∴f －1[f (－x )]＝1m·log a a －mx，即f －1[f (－x )]＝1m·(－mx )＝－x .[B 组 技能提升]1．若x 1满足3x －1＝2－x ，x 2满足log 3(x －1)＋x －2＝0，则x 1＋x 2等于( )A ．32B ．2C ．52D ．3解析：3x －1＝2－x 的根为x 1＝1，log 3(x －1)＋x －2＝0的根为x 2＝2.∴x 1＋x 2＝3，故选D ． 答案：D2．设函数f (x )＝2x＋1(x ∈R )的反函数为f －1(x )，则函数y ＝f －1(x )的图象是( )解析：∵y ＝2x＋1，∴2x＝y －1，即x ＝log 2(y －1)， 故f －1(x )＝log 2(x －1)．故选A ． 答案：A3．已知函数f (x )＝a x －k 的图象过点(1,3)，其反函数f －1(x )的图象过(2,0)点，则f (x )的表达式为________．解析：∵y ＝f －1(x )的图象过点(2,0)，∴y ＝f (x )的图象经过(0,2)点， ∴2＝a 0－k . ∴k ＝－1.又∵y ＝f (x )的图象过点(1,3)，∴3＝a ＋1. ∴a ＝2.∴f (x )＝2x＋1. 答案： f (x )＝2x＋14．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________．解析：由f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝12x ，在同一坐标系中作出y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 的图象，如图示．图象有两个交点，故f (x )有两个零点． 答案：25．已知y ＝2x ＋m 和y ＝nx －3互为反函数，求m ，n . 解：解法一：由y ＝2x ＋m ，解得x ＝12y －12m ，故y ＝2x ＋m 的反函数是y ＝12x －12m ，它与函数y ＝nx －3表示同一函数．从而有⎩⎪⎨⎪⎧12＝n ，－12m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝12.解法二：∵点(0，－3)必在y ＝nx －3的图象上． ∴点(－3,0)必在y ＝2x ＋m 的图象上． 同理点(0，m )在y ＝2x ＋m 的图象上， 则点(m,0)必在y ＝nx －3的图象上，由此得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0＝2×(－3)＋m ，0＝n ·m －3.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝12.6．若a ∈R ，f (2x )＝a ·4x ＋a －21＋4x，且f (x )为奇函数，求f (x )的反函数f －1(x )及其定义域．解：令2x ＝t ， ∵f (2x )＝a ·22x ＋a －222x＋1，∴f (t )＝a ·2t ＋a －21＋2t. ∴f (x )＝a ·2x ＋a －21＋2x.∵f (x )为奇函数，且f (x )的定义域为R ， ∴f (0)＝0，解得a ＝1. ∴f (x )＝2x－12x ＋1，则2x＝1＋y 1－y >0.∴－1<y <1.∴f －1(x )＝log 21＋x 1－x ，－1<x <1.。
2020学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.2对数函数学案新人教B版必修1
3．2．2 对数函数1．了解对数函数模型所刻画的数量关系．2．理解对数函数的概念及对数函数的单调性．3．掌握对数函数的图象与性质．,)1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，a≠1，x>0)叫做对数函数，其中x是自变量．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)过定点(1，0)，即当__x＝1__时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数1．函数y＝log2x的图象大致是( )答案：C2．若a>0且a≠1，则函数y＝log a(x－1)－1的图象恒过点________．答案：(2，－1)3．指出下列函数哪些是对数函数．(1)y＝log a(x＋2)(a>0，a≠1)；(2)y＝4log3x；(3)y＝2log a x＋1(a>0，a≠1)；(4)y ＝log 2x ．解：(1)(2)(3)都不是，只有(4)是对数函数．4．底数a 的大小变化对对数函数y ＝log a x 的图象有何影响？ 解：(1)当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴． (2)当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴．对数型函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log 1－x 5；(3)y ＝log 0.5（8x －6）．【解】 (1)要使函数式有意义，需1－x >0，解得x <1， 所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x <1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x >01－x ≠1，解得x <1，且x ≠0，所以函数y ＝log 1－x 5的定义域是{x |x <1，且x ≠0}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧8x －6>0log 0.5（8x －6）≥0，解得34<x ≤78，所以函数y ＝log 0.5（8x －6）的定义域是{x |34<x ≤78}．求对数型函数定义域应遵循的原则(1)分母不能为0；(2)根指数为偶数时，被开方数非负；(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg （x ＋1）－3；(2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，x ＋1＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1，所以x ＞－1，且x ≠999， 所以函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1． 当a ＞1时，有4x －3≥1，x ≥1 ． 当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1．综上所述，当a ＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1． 比较对数值的大小比较下列各组值的大小： (1)log 1245与log 1267；(2)log 123与log 153； (3)log 130．3与log 20．8． 【解】 (1)因为函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，又45<67，所以log 1245>log 1267． (2)法一：(中间量法)因为log 23>log 22＝1， 0<log 53<log 55＝1，所以－log 23<－1，－log 53>－1，所以－log 23<－log 53， 即log 123<log 153．法二：(数形结合法)借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图象，如图所示．在(1，＋∞)上，y ＝log 12x 在y ＝log 15x 的下方，所以log 123<log 153．(3)由对数函数性质知，log 130．3>0，log 20．8<0，所以log 130．3>log 20．8．比较对数值大小的方法比较对数值的大小，当底数相同时，可构造对数函数，利用对数函数的单调性来比较，当底数不同时，可借助于中间量来比较．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析：选D ．由对数函数y ＝log 5x 的图象，可得0<log 53<log 54<1， 所以b ＝(log 53)2<log 54， 又c ＝log 45>1，所以b <a <c ．对数型函数的值域求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(x 2－4x ＋6)； (2)y ＝log 21－x 2＋2x ＋2；(3)y ＝log 2(x 2－4x －5)．【解】 (1)因为x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2， 又f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以log 2(x 2－4x ＋6)≥log 22＝1． 所以函数的值域是[1，＋∞)．(2)因为－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3≤3， 所以1－x 2＋2x ＋2<0或1－x 2＋2x ＋2≥13．因为真数大于0，f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以log 21－x 2＋2x ＋2≥log 213．所以函数的值域是[log 213，＋∞)．(3)因为x 2－4x －5＝(x －2)2－9≥－9， 所以x 2－4x －5能取得所有正实数．所以函数y ＝log 2(x 2－4x －5)的值域是R ．求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A ．因为3x＋1>1，函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )>log 21＝0， 故选A ．对数型函数的单调性已知函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)，求函数的单调递增区间．【解】 x 2－3x ＋2>0， 令u ＝x 2－3x ＋2，作出其图象，观察可得x >2或x <1，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为{x |x >2或x <1}．令u (x )＝x 2－3x ＋2，其对称轴为x ＝32，所以u (x )＝x 2－3x ＋2在(2，＋∞)上为增函数， 在(－∞，1)上为减函数．因为y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，1)．求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤(1)求出函数的定义域；(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性求出单调区间． [注意] 要注意对底数进行分类讨论．已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)．(1)求定义域；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)2x＋3－x2>0，令u＝2x＋3－x2，作出其图象观察可得－1<x<3．所以f(x)的定义域为{x|－1<x<3}．(2)令u＝2x＋3－x2，则u>0，y＝log4u．由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4，再考虑定义域，可知u＝2x＋3－x2的增区间是(－1，1]，减区间是[1，3)．又y＝log4u在(0，＋∞)上为增函数，故该函数的单调递增区间为(－1，1]，单调递减区间为[1，3)．1．对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．2．求对数函数的单调区间解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三要注意其定义域．1．凡是涉及对数的底数含参数的问题，要注意对对数的底数进行分析，需要分类讨论时，一定要分类讨论．2．要遵循“定义域”优先的原则，解对数函数的有关问题时，一定要先求出函数的定义域，若不求定义域，则容易致错，如求值域、单调区间等．1．函数y＝log2x的定义域是( )A．(0，1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：选D．log2x≥0⇒log2x≥log21⇒x≥1．x(1≤x≤8)的值域是( )2．函数y＝log12A．R B．[0，3]C．[－3，0] D．[0，＋∞)答案：C3．比较下列各组数的大小：(1)log 22________log 23； (2)log 32________1； (3)log 134________0．答案：(1)＜ (2)＜ (3)＜4．函数f (x )＝1－log a (2－x )的图象恒过点________． 解析：令2－x ＝1， 得x ＝1，此时y ＝1－log a 1＝1， 所以图象恒过点(1，1)． 答案：(1，1)[A 基础达标]1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a 2x (a >0，a ≠1) B ．y ＝log a (x 2＋1)(a >0，a ≠1) C ．y ＝log 1ax (a >0，a ≠1)D ．y ＝2lg x 答案：C2．函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )解析：选C ．当a >1时，y ＝log a x 为增函数，且y ＝x ＋a 在y 轴上的点的纵坐标a 应大于1，故排除B 、D ．当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数且y ＝x ＋a 在y 轴上的点的纵坐标a 应在(0，1)之间．3．函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )A ．(52，＋∞) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)解析：选D ．x 2－5x ＋6＞0，令u ＝x 2－5x ＋6，作出二次函数的图象，观察可得：x ＞3或x ＜2，故排除A 、C ．又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，且u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，故由复合函数的单调性：同增异减知选D ．4．函数y ＝log 15(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C ．因为3x＞0，所以－3x＜0， 所以1－3x＜1．又y ＝log 15t (t ＝1－3x)是关于t 的减函数，所以y ＝log 15t ＞log 151＝0．选C ．5．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A ．将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是{x |x >3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．6．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：log a 34<log a a ，当a >1时，a >34，所以a >1；当0<a <1时，a <34，所以0<a <34．综上所述：a 的取值范围是(0，34)∪(1，＋∞)．答案：(0，34)∪(1，＋∞)7．函数y ＝log (a －1)x 在(0，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝log (a －1)x 在(0，＋∞)上为减函数，所以0＜a －1＜1，即1＜a ＜2． 答案：(1，2)8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．解析：因为a ＞1，所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增， 所以log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a 12＝2，a ＝4． 答案：49．已知函数f (x )＝log 12(2x －1)．(1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，92，求函数f (x )的值域． 解：(1)由2x －1>0得，x >12，函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，值域是R ． (2)令u ＝2x －1，则由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，92知，u ∈[1，8]．因为函数y ＝log 12u 在[1，8]上是减函数，所以y ＝log 12u ∈[－3，0]．所以函数f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，92上的值域为[－3，0]． 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，且f (3)－f (2)＝1． (1)若f (3m －2)＜f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围；(2)求使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72成立的x 的值． 解：因为f (3)－f (2)＝1，所以a ＝32，(1)因为a ＝32＞1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －2＞0，2m ＋5＞0，3m －2＜2m ＋5，所以23＜m ＜7．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72， 即log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝log 3272， 所以x －2x ＝72．所以x ＝－12或x ＝4．经检验，x ＝－12，x ＝4满足题意．[B 能力提升]11．若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(0，12]C ．(12，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A ．作出函数f (x )＝log 2a (x ＋1)的图象，满足当x ∈(－1，0)时f (x )＞0，如图所示：所以0＜2a ＜1， 所以0＜a ＜12，故选A ．12．若函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．解析：当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12． 综上可知，a ＝12． 答案：1213．已知函数f (x )＝log a (3－ax )，(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1．设g (x )＝3－ax ， 则g (x )在[0，2]上为减函数，所以g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，所以a <32． 所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32． (2)假设存在这样的实数a ，则由题设知f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，所以a ＝32． 此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ． 但x ＝2时，f (x )＝log 320无意义．故这样的实数a 不存在．14．(选做题)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1(a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称． (1)求m 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性．解：(1)由于f (x )＝log a 1－mx x －1(a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称， 所以f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )．所以log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1， 所以1＋mx －x －1＝x －11－mx， 所以m ＝1，或m ＝－1．当m ＝1时，1－mx x －1＝1－x x －1＝－1，不满足题意， 故m ＝－1．(2)f (x )＝log a 1－mx x －1＝log a 1＋x x －1． 令u (x )＝1＋x x －1，则 u (x )＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1， 在(1，＋∞)是减函数，所以当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上为减函数； 当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上为增函数．。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算》_1
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
授课题目
对数与对数运算（二）
拟课时
第课时
明确目标
1.知识与技能：理解对数的运算性质．
2.过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3.情感、态度与价值观
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log Mn= logaM及换底公式logaN= .利用换底公式可以证明：logab= ，
即logablogba=1.
例2:已知log189 =a，18b= 5，求log3645.
.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1.已知 ， ，求下列格式的值
则由１、 0=1２、 1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义， =？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （ ＞0，且 ≠1）
②∵ ＞0，且 ≠1对任意的力， 常记为 .
恒等式： =N
3.两类对数
①以10为底的对数称为常用对数， 常记为 .
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数， 常记为 .
让学生讨论、研究，教师引导
师组织，生交流探讨得出如下结论:
底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
学生思考，口答，教师板演、点评．
学生先做，老师再评讲
板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.3 指数函数与对数函数的关系练习 新人教B版必修1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题3.2.3 指数函数与对数函数的关系课时过关·能力提升1函数f(x)=4-5x的反函数是()A.y=4+5xB.y=5-4xC.y=xD.y=xy=4-5x,得5x=4-y,即x=y.故它的反函数为y=x.2若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于 ()A.log2xB.C.lo xD.2x-2y=a x(a>0,且a≠1)的反函数f(x)=log a x.因为f(2)=1,所以log a2=1,即a=2,故f(x)=log2x.3若函数f(x)=a x (a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f等于()A.B.2 C.D.g(x)=log a x.因为g=log a=-1,所以a=4,所以f(x)=4x,故f.4若函数y=e x的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则有()A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln 2·ln x(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln x+ln 2(x>0),知f(x)=ln x.故f(2x)=ln(2x)=ln x+ln 2.5函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是()y=1+a x的图象,由反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称可画出反函数的图象.6设函数f(x)=a x,g(x)=,h(x)=log a x,正实数a满足a0.5<a0.2,则当x>1时必有()A.h(x)<g(x)<f(x)B.h(x)<f(x)<g(x)C.f(x)<g(x)<h(x)D.f(x)<h(x)<g(x)由a0.5<a0.2,知0<a<1,∴当x>1时,0<a x<1,>1,log a x<0.∴h(x)<f(x)<g(x).7已知f(x)=a x,g(x)=log a x(a>0,且a≠1),若f(1)g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是()f(1)g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即log a2<0,故0<a<1.因此,f(x)与g(x)都是减函数,故选C.8若函数f(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.x9若函数y=2+log3x(x≥1),则该函数的反函数的定义域是.x≥1时,y=2+log3x≥2,即该函数的值域为[2,+∞),因此其反函数的定义域为[2,+∞).+∞)10函数f(x)=log a(3x-1)(a>0,且a≠1)的反函数的图象过定点.3x-1=1得x=,f=0,即f(x)图象过定点,故它的反函数图象过定点.11已知f(x)=,则f-1=.,得3x=,即x=-2,故f-1=-2.2★12已知函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:①h(x)的图象关于原点对称;②h(x)为偶函数;③h(x)的最小值为0;④h(x)在(0,1)内为减函数.其中正确命题的序号为.根据题意,得g(x)=lo x,∴h(x)=g(1-|x|)=lo(1-|x|)(-1<x<1).∴h(x)是偶函数,h(x)的图象不关于原点对称.∴①不正确;②正确.∵h(x)=lo(1-|x|)≥lo1=0,∴③正确.∵u=1-|x|在(0,1)内为减函数,y=lo u为减函数, ∴h(x)为增函数.∴④不正确.。
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3.2.3 指数函数与对数函数的关系
课时过关·能力提升
1函数f(x)=4-5x的反函数是()
A.y=4+5x
B.y=5-4x
C.y=x
D.y=x
解析由y=4-5x,得5x=4-y,即x=y.
故它的反函数为y=x.
答案D
2若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于 ()
A.log2x
B.
C.lo x
D.2x-2
解析函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数f(x)=log a x.因为f(2)=1,所以log a2=1,即a=2,故f(x)=log2x.答案A
3若函数f(x)=a x (a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f等于()
A.B.2 C.D.
解析由已知得g(x)=log a x.因为g=log a=-1,所以a=4,所以f(x)=4x,故f.
答案C
4若函数y=e x的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则有()
A.f(2x)=e2x(x∈R)
B.f(2x)=ln 2·ln x(x>0)
C.f(2x)=2e x(x∈R)
D.f(2x)=ln x+ln 2(x>0)
解析由题意,知f(x)=ln x.
故f(2x)=ln(2x)=ln x+ln 2.
答案D
5函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是()
解析先画出y=1+a x的图象,由反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称可画出反函数的图象.答案A
6设函数f(x)=a x,g(x)=,h(x)=log a x,正实数a满足a0.5<a0.2,则当x>1时必有()
A.h(x)<g(x)<f(x)
B.h(x)<f(x)<g(x)
C.f(x)<g(x)<h(x)
D.f(x)<h(x)<g(x)
解析∵由a0.5<a0.2,知0<a<1,
∴当x>1时,0<a x<1,>1,log a x<0.
∴h(x)<f(x)<g(x).
答案B
7已知f(x)=a x,g(x)=log a x(a>0,且a≠1),若f(1)g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图
象可能是()
解析由f(1)g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即log a2<0,故0<a<1.
因此,f(x)与g(x)都是减函数,故选C.
答案C
8若函数f(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x对称,则f(x)=.
答案lo x
9若函数y=2+log3x(x≥1),则该函数的反函数的定义域是.
解析当x≥1时,y=2+log3x≥2,即该函数的值域为[2,+∞),因此其反函数的定义域为[2,+∞).
答案[2,+∞)
10函数f(x)=log a(3x-1)(a>0,且a≠1)的反函数的图象过定点.
解析令3x-1=1得x=,f=0,即f(x)图象过定点,故它的反函数图象过定点.
答案
11已知f(x)=,则f-1=.
解析令,得3x=,即x=-2,
故f-1=-2.
答案-2
★12已知函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:
①h(x)的图象关于原点对称;
②h(x)为偶函数;
③h(x)的最小值为0;
④h(x)在(0,1)内为减函数.
其中正确命题的序号为.
解析∵根据题意,得g(x)=lo x,
∴h(x)=g(1-|x|)=lo(1-|x|)(-1<x<1).
∴h(x)是偶函数,h(x)的图象不关于原点对称.
∴①不正确;②正确.
∵h(x)=lo(1-|x|)≥lo1=0,
∴③正确.
∵u=1-|x|在(0,1)内为减函数,y=lo u为减函数, ∴h(x)为增函数.∴④不正确.
答案②③。