数学分析教案(华东师大版)第八章不定积分
数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
《数学分析》第八章_不定积分
则有换元公式
f(x)dx
f[(t)] (t)dt t(x)
其 中 (x)是 x(t)的 反 函 数 .
证 设 (t)为f[(t) ](t)的原函数,
1six n1si5n xC. 2 10
.
例13 求cscxdx.
解（一）
cscxdx
1 dx sinx
1 2sinxcosx
dx
22
1 tan2xcos2x2
d
2x
1 tanx
2
d
tanx 2
lntanxC lnx (c c x o )s C t c . 2
（使用了三角函数恒等变形）
.
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
.
例12 求co3sxco2sxd.x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3xc so 2x s1(cxo cso 5x )s, 2
c3 o x cs2 o xs d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d sx
§2 换元积分法和分部积分法
.
一、第一类换元法
问题 cos2xdxsi2n xC ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t2xdx 1dt, 2
cos2xdx
12costdt
1sint 2
C1sin2xC. 2
.
在一般情况下：
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
.
例3
求
1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题1．若x e f x+='1)(，则=)(x f ___________2．设)(x f 的一个原函数为xxe ，则='?dx x f x )(_____________ 3．若xe-是)(x f 的一个原函数，则?=dx x xf )(________________4．若[]1)(3='x f ，则=)(x f ____________ 5．?=dx x x ),max(2___________________6．若)(x f 有原函数x x ln ，则?=''dx x f x )(_______________ 7．? =dx xx 2sin)ln(sin ________________8．若?+++=+xdx B xx A x dx cos 21cos 21sin )cos 21(2，则=A __________，=B __________9．设C x dx x xf +=?arcsin )(，则?=)(x f dx _________10．?=-)4(x x dx _________________11．?=-dx xx 21ln _________________12．[]=-?dx xx x a n)cos(ln )sin(ln ________________ 13．[]?='+dxx f x x f )()(________________14．?=+xedx 1_____________15．?=+dx x xex 2)1(_____________________16．=++?dx xx x x cos 2sin cos 3sin 4______________ 17．已知x x x f 22tansin )cos 2(+=+'，则=)(x f _______________ 18．[]=+'dx x f x f 2)(1)(______________19. 若?+=C x F dx x f )()(,而),(x u ?=则?=du u f )(___________. 20设函数)(x f 的二阶导数)(x f ''连续,那么?=''__________)(dx x f x . 21设)(x f 的原函数是xx sin ,则?='__________)(dx x f x .22已知曲线)(x f y =上任一点的切线斜率为6332--x x ,且1-=x 时,211=y 是极大值,则)(x f __________=;)(x f 的极小值是__________.23已知一个函数的导数为211)(xx f -=,并且当1=x 时,这个函数值等于π23,则这个函数为__________)(=x F . 24 设)1(cos )(sin22<='x x x f ,则)(x f __________=.25 若)(x f 为连续函数,且)()(x f x f =',则?=__________)(dx x f . 26 若?='x dx x f ln ))((,则)(x f __________=. 27 已知2xe -是)(xf 的一个原函数,则?=__________sec )(tan 2xdx x f .28='__________)2(1dx x f x. 29 设C xxdx x f ++-=?11)(,则)(x f __________=.30 在积分曲线族?dx xx 1中,过(1,1)点的积分曲线是__________=y .二、选择填空题 1．设dx e e I xx+-=11，则=I ( )A.C e x++)1ln( B.C x e x+-+)1ln(2 C.C e x x++-)1ln(2 D.C e x+-)1ln(2．设)(x f 是连续的偶函数，则期原函数)(x F 一定是( ) A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数3．设?+=++=)1(,)1(121u u du I dx xe x x I x，则存在函数)(x u u =，使( )A.x I I +=21B.x I I -=21C.12I I -=D.12I I = 4．当1-≠n 时，?=xdx x n ln ( ) A.C nx nxn+-)1(ln B.C n x n xn +----)11(ln 11C.C n x xn n ++-++)11(ln 111D.C x n xn +++ln 117．?=+dx x x )2sin2(cos ( )A.C x x +-)2cos2(sin 2 B.C x x +-)2sin2(cos2C.C xx +-2cos 2sin D.C x x +-2sin 2cos8．?=++dx xxx cos 1sin ( )A.C x x +2cotB.C x x +2tanC.C x x+cot 2 D.C x x +2tan 29．若)(x f 的导函数是x e xcos +-，则)(x f 的一个原函数为( )A.x excos -- B.x exsin +-- C.x e xcos --- D.x exsin +-10．若)(x f 是以l 为周期的连续函数，则其原函数( )。
华东师范大学数学系《数学分析》讲义不定积分【圣才出品】
设函数 f（x）在区间 I 上有定义， (t) 在区间 J 上可导，且(J ) I ．
（1）如果不定积分 f (x)dx F(x) C 在 I 上存在，则不定积分 f ((t))' (t)dt 在
J 上也存在，且
f ((t))'(t)dt F((t)) C
（2）如果 x (t) 在 J 上存在反函数， t 1(x) ，x∈I，且不定积分 f (x)dx 在 I 上 存在，则当不定积分 f ( (t)) '(t)dt G(t) C 在 J 上存在时，在 I 上有
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I 上有
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f (x)dx G( 1(x)) C
2.分部积分法
若 u（x）与 v（x）可导，不定积分 u '(x)v(x)dx 存在，则 u(x)v '(x)dx 也存在，并有 u(x)v '(x)dx u(x)v(x) u '(x)v(x)dx
三、有理函数和可化为有理函数的不定积分
1.有理函数的不定积分
（1）一般形式
其中 n，m 为非负整数，a0，a1，…，an 与β0，β1，…，βm 都是常数，且 a0≠0，β0≠0．若 m＞n，则称它为真分式；若 m≤n，则称它为假分式．
（2）分解成部分分式和的步骤： ①对分母 Q（x）在实系数内作标准分解
F (x) f (x), x I 则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数．
②函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积分，记作
f (x)dx
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其中称∫为积分号，f（x）为被积函数，f（x）dx 为被积表达式，x 为积分变量．
数学分析第八章 不定积分
或 df (x) f (x) C.
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3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
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(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
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8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为 初等函数， f 的表达式能求出.
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我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表 达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
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数学分析第八章不定积分
数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且
∫ ∫ ∫ [ k1 f ( x ) + k2 g( x) ] d x = k1 f ( x) d x + k2 g( x ) d x .
( 5)
证 这是因为
∫ ∫ ∫ ∫ k1 f ( x )d x + k 2 g( x) d x ′= k1 f ( x )d x ′+ k 2 g( x) d x ′
知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中
.例如 : 已知速
度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足
的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成
一元函数积分学 .一 原函数与不定积分源自(2 , 5) .3 . 验证
y=
x
2
sgn
x
是
| x| 在
∫ v( t) = ad t = at + C .
若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t0 ) + v 0 . 又因 s′( t) = v( t ) , 所以又有
∫ s( t) = [ a( t - t 0 ) + v 0] d t
2 (-
1 cos 2x
都是 )′=
sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 ( - 1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
, 因为
2
2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话
华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案
§3 几类可积的初等函数教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握． 教学程序：1.有理函数的积分法称形如（3.1）101()n n n P x a x a x a -=+++ n 的函数为多项式函数.其中，用表示多项式的关于变量,0,1,,k a R k ∈= deg ()P x ()P x x 的次数.设与是任意两个互质的多项式函数，称形如()P x ()Q x ()()P x Q x (（3.2） )()()0Q x ≠x =()()P x Q x ，当R deg ()deg ()P x Q x R ()<时，称的函数为有理函数，记作x 为有理真分式，当时，称deg ()deg ()P x Q x ≥()R x 为有理假分式.显然任何一个有理假分式()x =()()P x Q x ，用多项式函数除以多项式函数，总能将R ()P x ()Q x ()R x 表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和.即()()()()()P x S x P x Q x Q x =+ R ()x =其中与均为多项式函数，且()Px ()S x deg ()deg ()S x Q x <.例如 3221111x x x x x +-=-++ 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积.我们首先考虑如下最简分式 ⑴A x a-；⑵,2,3,()n A n x a =- ；⑶2Ax B x px q +++；⑷2,2,3,()n Ax B n x px q +=++ . 的积分方法.其中,,,A B p q 皆为实常数，二次三项式2x px q ++不能分解为实一次多项式之积，即.240p q -<显然⑴ln dx A x a C A x a =-+-⎰ ⑵11()1()n n A A dx C x a n x a -=+---⎰ 而 ⑶222()()22()()24p Ap A x B Ax B dx dx p p x px q x q ++-+=+++++⎰⎰ 设2p u x =+，a =，有 2Ax B dx x px q +=++⎰2222(2udu Ap du A B u a u a +-++⎰⎰= 221ln()(arctan 22A Ap u a B C a a++-+u =2ln()2A x px q C ++ 又2()n Ax B dx x px q +=++⎰222()1(2()2()n A x px q Ap B dx x px q x px q '⎡⎤+++-=⎢⎥''++++⎣⎦⎰ 21221()(212()()24n n A Ap x px q B n p p x q -+++--⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦⎰dx （3.3） 在式（3.3）右端积分中，令2p u x =+，a = 22()()24n dx p p x q =⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦⎰22()n n du I u a =+⎰根据式（2.7），积分n I 有如下递推公式n I =122212122(1)()2(1)n n u n 3I a n u a a n ---+-+-，2,3,n = （3.4） 且1221arctan du u I C u a a a ==+⎰+ 从1I 出发，重复应用n I 的递推公式（3.4），再代回原变量2p u x =+及a =，即可求出类型（4）的最简分式的不定积分.关于有理真分式的分解，我们有如下定理.【定理3.1】设()=()()P x Q x 是一个有理真分式，且分母多项式函数 R x 1122111()()()()()s t r l r l s t Q x x a x a x p x q x p x q =--++++ t t R其中，，111,,;,,,,s t a a p q p q ∈ 240k k p q -<1,2,,k t = ，则()R x 有下列最简分式分解式()=11111111()()s s s s r r r r s s A A A A x a x a x a x +++++++--- R x a - 111111111221111()l l l B x C B x C x p x q x p x q ++++++++++ 1122()t tt t t t t l l l t t t tB xC B x C x p x q x p x q ++++++++ 其中11111111111111,,;;,,;,,;,;;,,,,s t t s s t t t t r r l l l l 1A A A A B C B C B C B C R ∈ . 定理3.1说明任何有理真分式一定可以分解为若干个最简分式之和，而上面的讨论展示了⑴～⑷种类型的最简分式的可积性.从而可知有理函数一定是可积的.【例3.1】把函数()()()21322xx x x x -+++分解为最简分式之和，并求其不定积分.【解】由定理3.1知，给定函数的最简分式分解式应为()()()21322x x x x x -+++=21322A B Cx D x x x x +++-+++消去分母，有22(3)(22)(1)(22)()(1)(3)x A x x x B x x x Cx D x x =++++-++++-+比较上式两端同次幂系数，有586A A AA ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2B B B ++-23C C C ++-23D D D ++-0010==== 解此代数方程，有131,,,20205A B C D 0===-= 于是 ()()()21322xx x x x -+++=211311*********x x x x x +--+++ 从而()()()21322xdx x x x x =-+++⎰2131201203522dx dx xdx x x x x +--++⎰⎰⎰+=22131(2ln 1ln 320201022d x x x x x x ++-++-+++⎰2) 21(1)5(1)1d x x +++⎰=3221(1)(3)ln 20(22)x x x x -++++ 1arctan(1)5x C ++ 【例3.2】计算()()22211xdx x x++⎰. 【解】设()()()22222211111x A Bx C Dx E x x x x x ++=+++++++消去分母，有()()()()()(2222111x A x Bx C x x Dx E x =++++++++)11x =-24（3.6） 在式（3.6）中令，有A -=，即12A =-；令x i =，有2()(1)i Di E i =++)= ()(D E i E D ++-，于是1D E ==20D E D E +=⎧⎨-+=⎩将1,2A D E =-==10x 代入式（3.6），并令=，有 1101,22C C =-++=- 再令1x =，有1124()44,22B B =-⋅+-⋅+=12于是()()22211xdx x x ++⎰=2222121(1)dx dx x x x 1111dx x x -+=-+++++⎰⎰⎰ 221121ln 12412x d x dx 1x x x -++-+++⎰⎰ 22122(1)x dx x +⎰+22(1)dx x +⎰= 22211111ln arctan 4(1)221x x x x +--+++ 11arctan 212x x C x +++（利用公式3.4）= 222111ln 4(1)2(1)x x C x x +-++++ 从例3.1和例3.2可见，用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦，况且有些有理函数的分母多项式根本就无法分解因式，所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法.【例3.3】计算()101dx x x +⎰. 【解】在实数域内，要将分解因式，是相当困难的，故此题不宜用求最简分式分解式的方法来计算，然而101x +()101dx x x +⎰=()91010101010111(1011x dx dx x x x x =-++⎰⎰=10101ln 101x C x ++ 2.三角有理函数的积分法称由函数sin ,cos x x 与常数经过有限次四则运算而成的代数有理式为三角有理函数，记作(sin ,cos )R x x .由于tan ,cot ,sec x x x 与csc x 都是由sin ,cos x x 与常数所构成，所以六个三角函数有理式都可化为(sin ,cos )R x x 的形式.关于三角有理函数的积分，我们在前面已进行了一些讨论，现总结一下，得到以下规律： （I ）()sin cos R x xd ⎰x =，令；sin u x ()cos sin R x xd ⎰x cos =，令u x ；()2tan sec R x x ⎰dx tan =，令u x .【例3.4】（1）334sin cos5sin cos sin x xdx x xd x ==⎰⎰322357sin (1sin )sin (sin 2sin sin )x x d x x x x dx -=-+⎰⎰=448sin sin sin 438111x x x C -++ （2）()()4222sec sec 1tan 1tan tan xdx x x dx x d x =+=+⎰⎰⎰=3tan tan 31x x C ++ （Ⅱ）(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--由于(sin ,cos )(tan cos ,cos )R x x R x x x ==1(tan ,cos )R x x ，且1(tan ,cos )R x x -=(tan (cos ),cos )R x x --x (sin ,cos )=R x x --=(sin ,cos )R x x =1(tan ,cos )R x x知，1R 必为tan x 与2cos x 的有理函数，即可设(sin ,cos )R x x =1(tan ,cos )R x x =22(tan ,cos )R x x于是，令u x ，则tan =arctan x u =，21du dx u =+，从而积分 222(sin ,cos )(,)11R x x dx R u u u =++⎰⎰1du 转化为有理函数的积分，根据上一小节的讨论，它是可积的.【例3.5】计算22cos 2sin x dx x-⎰. 【解】令2222222211tan tan ,cos ,sin 1tan 11tan 1x u u x x x x u x u =====++++，21du dx u =+，于是 ()()222222221cos 12sin 11221x du du u dx u x u u u u +==-+++-=+⎰⎰⎰2211(arctan 12du u C u u -=++⎰=x C + （Ⅲ）对任意的三角有理函数(sin ,cos )R x x ，可作万能代换tan2x u =，将其变为有理函数，事实上令tan 2x u =，2arctan u =，21dx u =2+，而 x 2222sin cos 222sin 1sin cos 22x x u x x x u =22tan 21tan 2x x == +++22222222cos sin 1tan 1222cos 1sin cos 1tan 222x x x u x x x x u ---===+++ 于是2222212(sin ,cos )(,111u u u R x x dx R d u u u-=+++⎰⎰u 【例3.6】⑴12sin dx x +⎰tan2x u ==22121121du u u +++⎰= ()()2222(22412du d u u u u +==+++-⎰⎰)C +=C + ⑵tan 2sin 22sin 2sin (cos 1)xu dx dx x x x x ===++⎰⎰ 22221211()21142(1)11du u du u u u u u u =+-++++⎰⎰= 22111(ln )[ln tan (tan ]424222u x u C ++=++x C3.某些无理函数的积分法一些无理函数的不定积分，通过适当的变量代换，可以化为有理函数的不定积分.（Ⅰ）(R x d ⎰x . 其中,,,,0R αβγδαδβγ∈-≠，.,m n N ∈p 是的最小公倍数，设u ,m n=，则 设1,(p pp x u u x x u αβδβγδγα+-+===+-)R u于是(R x dx ⎰=11[(),,]()m n p p R R u u u R u du '⎰ 由于1()R t 1()，t '均为有理函数，,N m n p p ∈，所以上式右端为有理函数的不定积分. R 【例3.7】（1）114112772131151********u xx xu u dx u du u u x x =++==++⎰⎰ 543211414(1)1u du u u u u du u +=-+-++⎰⎰= 543214()5432u u u u u C -+-++= 21517714141471414523x x x x u -+++C （2）=令u =3311u x u +=-，2326(1)u dx du u -=-，代入原式，有⎰2332331631(1)111u d u du u u u u -u =-=+--+-⎰⎰ 2212121()ln 1112u u du u du u u u u u +=-+-++++⎰⎰1+++21221311ln 212(1)2u du u u C u u u +++=++-⎰+= 31311ln 2(1)u C u -+-=3111ln (1)1)21x C x +--+-=3ln 2C -+ 其中1ln 22C C =+. （Ⅱ）某些最简无理函数的不定积分可直接利用基本积分表求.【例3.8】⑴===C C +=+⑵11()u x d ===-⎰=-=-⎰=11arcsin arcsin 22u x C C x+++-+=-⑶134=-=12212(245)4x x ⋅++=1221(245)1)2x x x ++++C。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分(1)可编辑全文
例6 求sec xdx.
解
(解法一)
sec xdx
cos x
cos2 x
dx
d(sin x)
1 sin2 x
1 ln 1 sin x C. 2 1 sin x
(解法二) sec
xdx
sec x(sec x tan sec x tan x
x)
dx
d(sec x tan x sec F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x) C
由其中一条积分曲线
y F(x)
沿纵轴方向平移而得 到的.
( x0 , y0 )
O
x
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满足条件 F( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f k2 g 在 I上也存在原函数, 且
( k1 f ( x) k2g( x) )dx k1 f ( x)dx k2 g( x)dx.
例1 p( x) a0 xn a1 xn1 an1x an , 则
s(t) v0 dt v0 t C.
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) v0(t t0 ) s0 .
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dx C.
2. 1dx dx x C. 3. xdx x1 C ( 1, x 0).
数学分析教案(华东师大版)第八章不定积分
第八章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算。
要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。
要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。
3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。
要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时§ 1 不定积分概念与基本公式（ 4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。
要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
教学重点：深刻理解不定积分的概念。
一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算.二、讲授新课：（一）不定积分的定义:1.原函数：例1填空: ; ( ;; ; ;.定义. 注意是的一个原函数.原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.原函数的个数:Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. ( 证 )可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ).可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若在区间上有原函数, 则在区间上有介值性.例2. 已知为的一个原函数, =5 . 求.2.不定积分——原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3 ; .（二）不定积分的基本性质: 以下设和有原函数.⑴.(先积分后求导, 形式不变应记牢！).⑵.(先求导后积分, 多个常数需当心！)⑶时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）⑷由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有( 当时,上式右端应理解为任意常数. )例4. 求. (=2 ).（三）. 不定积分基本公式:基本积分表. [1]P180—公式1—14.例5 .（四）．利用初等化简计算不定积分:例6. 求.例7.例8.例9.例10⑴; ⑵例11.例12 .三、小结§2换元积分法与分部积分法（1 0 学时）教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。
8-2——华东师范大学数学分析课件PPT
(3)
xdx
1
1
d(x 1
);
(4)
cos xdx d(sin x);
(5)
sin xdx d(cos x);
(6)
1 x
dx
d( ln
x
);
(7) sec2 x dx d( tan x); (8)
dx 1 x2 d(arctan x).
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
|
t
1 |
C
2 x 33 x 66 x 6 ln | 6 x 1 | C.
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换换元元积积分分法法
分部积分法
证 (i) 用复合函数求导法则验证：因对任何t J ,
有
d F (t) F(t)(t) f (t)(t).
dt
(ii)设 f ( x)dx F( x) C.对任何t J ,有
F (t) G(t) F(t)(t) G(t)
dx
1 2a
d( x a) xa
1 2a
d( x a) xa
1 2a
ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例3 求 x 1 x2dx.
解
x 1 x2dx 1
f (t)(t) f (t)(t) 0.
所以存在常数C，使F (t) G(t) C,
故
G( 1( x)) F(x) f (x).
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式
2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.
证：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F+C)’=F’=f，得证.
2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.
根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.
[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.
不定积分的几何意义：若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
7、∫cosaxdx= sinax+C (a≠0)；8、∫sinaxdx=- cosax+C (a≠0)；
9、∫sec2xdx=tanx+C；10、∫csc2xdx=-cotx+C；11、∫secx·tanxdx=secx+C；
12、∫cscx·cotxdx=-cscx+C；13、∫ =arcsinx+C=-arccosx+C1；
(2)∫(x- )2dx=∫(x2- + )dx=∫x2dx-∫2x dx+∫ dx= - x +ln|x|+C.
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
数学分析(第81节不定积分概念与基本积分公式)
的一个原函数.
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
ln(
x
)
是
1 x
在
(,
0)
的一个原函数.
dx x
ln
x
C.
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例4 设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
F ( x) f ( x)，x I .
注 (i) 连续函数一定有原函数； (ii) 任一函数的原函数（若存在）有无穷多；
cR
(F( x) C) f ( x).
(iii)函数的两个原函数间相差一个常数；
若F( x) f ( x), ( x) f ( x),则 [F( x) ( x)] f ( x) f ( x) 0 F( x) ( x) C.
5、若 f ( x)在某区间上______，则在该区间上 f ( x)的
原函数一定存在；
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6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx. （k 是常数，k 0)
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例5 求不定积分 (ex 3cos x)dx.
解 (ex 3cos x)dx exdx 3 cosdx
8、数学分析讲义 - CH08(不定积分)-22页 文字版
设 f (x) C[a,b], f (x) 0 ，由曲线 y f (x), x a, x b, y 0 就围成了一个平面图 形，称为 [a, b] 上曲边梯形。下面求这个曲边梯形的面积。
设 F (x) 是区间[a, x] 上的曲边梯形的面积（ x [a,b] ， F (a) 0 ）
e3 x
2
dx
e3 x d (3
x ) 2 e3 x C
x3
3
【例 7】 sin3 xdx sin2 x sin xdx (cos2 x 1)d cos x 1 cos3 x cos x C 3
【例 8】求 sec xdx.
解法一
sec
xdx
cos x
cos2
dx x
d(sin x) 1 sin2 x
sin
u
C
u
2x
1 sin 2x 2
C
【例 2】
tan
xdx
sin cos
x dx x
d
(cos x) cos x
ln cos x C.
（2）
6 中国矿业大学数学学院胡建华
华师大数学分析(第五版)讲义 第 8 章 不定积分
【例 3】
dx a2 x2
1 a
d
x a
1
x a
2
1 arctan x C.
42
【例 2】
x4 x2
1dx 1
x4 x2
1 1
2dx
(x2
1
2
x2
)dx 1
1 x3 x 2 arctan x C. 3
【例 3】
华东师范大学数学分析第8章习题答案
华东师范⼤学数学分析第8章习题答案第⼋章⼀：不定积分概念与基本积分公式（教材上册P181） 1. 验证下列(1)、(2)等式并与(3)、(4)两试相⽐照: (1)'()()f x dx f x c =+?; (2) ()()df x f x c =+?; (3) [()]'()f x dx f x =?; (4) ()()()d f x d x f x dx =?;解: (1)'0(())''()'()'()()c f x c f x c f x f x dx f x c=∴+=+=∴=+? 与(3)相⽐(1)试求不定积分运算,(2)是求导运算,(1) (3)互为逆运算,不定积分相差⼀个常数但仍为原不定积分,该常数⽤c 表⽰,称为积分常数.(2)()'()()'()()df x f x dxdf x f x dx f x c===+??与(4)相⽐: (2)是先求导再积分,因此包含了⼀个积分常数,(4)是先积分再求导,因此右侧不含积分常数.2. 求⼀曲线y=f (x),使得在曲线上的每⼀点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5). 解:222dy xdxy dy xdx x c====+??将(x,y)=(2,5)代⼊得: 5=22+cC=1该曲线为21y x =+3. 验证2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数. 解:x>0时,y ’=2()'||2x x x ==x<0时,2'()'||2x y x x =-=-=x=0时,22000sgn 022'lim lim lim 002x x x x x x x y x x ++++→→→-====- 2200sgn 02'lim lim()0||02x x x x x y x x --→→-==-==- 因此'''0||y y y x +-====综上得2'(sgn )'||,(,)2x y x x x ==?∈+∞-∞2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数.4. 据理说明为什么每⼀个含有第⼀类间断点的函数都没有原函数?解: 设0x 是 f (x)的第⼀类间断点,且 f (x)在0()U x 上有原函数 F (x),则0'()(),()F x f x x U x =∈.从⽽由导数极限定理得00lim ()lim '()'()()x x x x f x F x F x f x +++→→=== 同理 000lim ()'()()x x f x F x f x -→==.可见0()f x x 点连续,推出⽭盾.⼆: 换元积分法与部分积分法(教材上册P188) 1. 应⽤换元积分法求下列积分 (1) cos(34)x dx +?; (2) 22xxe dx ?;(3) 21dx x +?; (4) (1)n x dx +?;(5)dx ?; (6) 232x dx +?;(7);(8)(9)2sin x x dx ?; (10) 2sin (2)4dxxx +?;(11) 1cos dx x +?; (12) 1sin dx x+?;(13)csc xdx ?;(14);(15)44xdx x +?; (16)ln dx x x ?;(17) 453(1)x dx x +?; (18) 382x dx x -?;(19)(1)dxx x +?; (20) cot xdx ?; (21) 5cos xdx ?; (22)sin cos dxx x ?;(23)x xdx e e -+?; (24) 22338x dx x x --+?; (25) 252(1)x dx x ++?;(26) (a>0);(27) 223/2(0)()dxa x a >+?;(28) 5;(29)(30).解: (1)34cos(34)cos 3t x t x dx d =++=11sin sin(34)33t c x c =+=++ (2) 22112222()'()22t x x t txe dx e d ==??112211()()()22224t t t t t ed e dt ==?? 221144t x e c e c =+=+ (3)21111ln ||ln |21|21222t x dx t d t c x c x t =+==+=+++??(4)①当1n ≠-时,111(1)(1)11n n t x nnt x x dx t dt c c n n ++=+++== +=+++?? ②当1n =-时,(1)ln |1|n x dx x c +=++?(5)dx =?c =+ (6)232323231212122222ln22ln 22ln2t x x t x x tt dx d c c c ++=++==+=+=+?(7)332222222()(83)3399t t td t dt t c x c -=-=-+=--+?(8)322/31333()(75)551010t t d tdt t c x c t -=-=-+=--+? (9)211112222211sin sin sin sin 22t x x x dx t tdt t t t dt tdt =-===211cos cos 22t c x c =-+=-+ (10)2422111cot cot(2)224sin (2)sin 42t x dxt c x c x t x tdππ=+==-+=-+++?? (11)222(2)12sec tan tan()1cos 1cos 22cos 2t x dx d t x dt tdt t c c x t t =====+=+++ (12) 22 1sin (sec sec tan )tan sec 1sin dx xdx x x x dx x x c x cos x-==-=-++ (13)2111csc sin sin cos tan cos2222xdx dx dx x x x x x ===?α2ln |tan |2tan 2x d x c x ==+? (14)21(1)2x c =--=(15)22242111()arctan()442421()2x x x dx d c x x ==+++??(16)ln 11ln ||ln |ln |ln t x t t dx de dt t c x c x x e t t====+=+ (17)4555253535311111(1)(1)(1)5(1)5(1)10x dx dx d x x c x x x -==--=-++--(18)4344888111|242816112x dx dx d c x x x ===-+----(19)11()ln ||ln |1|ln ||(1)11dx xdx x x c c x x x x x=-=-++=++++?? (20)cos cot ln ||ln |sin |sin xxdx dx t c x c x ==+=+??(21)52224cos (1sin )sin (12sin sin )sin xdx x d x x x d x =-=-+?sin 2sin sin 53x x x c =-++ (22)2cos tan ln |tan |sin cos sin cos tan dx xdx d x x c x x x x x ===+ (23)22arctan 1()1()x xx x x x x dx e de dx e c e e e e -===++++ (24)222223(38)ln(38)3838x d x x dx x x c x x x x --+==-++-+-+?? (25)2221533232(1)223123()(1)t x x t t t dx dt dt dt x t t t t t =++-+-+===-++ 222323 ln ||ln |1|(1)212t t c x x c t x --=+-+=++-+++(26)1()ln |x t ax t c a====+?1ln |ln |x c x c a =+=+(27)令tan x a θ=,sec 22t a tdt ππ-<<223/23322s e c 11c o t s i n ()s e c d xa t d t t d t tx a a t a a ===++??c =+ (28)55sin 42sin sin (cos 2cos 1)cos x d d cos θθθθθθθ===--+??35322121cos cos cos (1)535c xc θθθ=-+-+=--(29)32256642226666111t t t t dt t dt t dt t dt t t t ===-+--- 6 42266661tt t dt t dt t dt dt dt t =---+-?75366126ln ||751t t t t t c t+=----++- 165116661263ln ||751x x x x x c x +=----++- (30)1121t t tdt t -→=+?222(2)44ln |1|1t t dt t t tc t =-+=-++++?14ln |1|x c =+-+ 4ln |1|'x c =-+ 2. 应⽤分部积分法求下列不定积分 (1) arcsin xdx ?; (2) ln xdx ?;(3) 2cos x xdx ?; (4)3ln xdx x ?;(5) 2(ln )x dx ?; (6)tan xarc xdx ?;(7) 1[ln(ln )]ln x dx x+?;(8) 2(arcsin )x dx ? (9)3secxdx ?; (10)(0)a >.解 (1)arcsin arcsin arcsin arcsinxdx x x xd x x x =-=-122arcsin (1)x x x c =+++ (2)1ln ln ln ln ln xdx x x xd x x x xdx x x x c x=-=-=-+(3)222cos sin 2sin sin 2cos x xdx x x x xdx x x xd x =-=+?2sin 2cos 2cos x x x x xdx =+-?2sin 2cos 2sin x x x x x c =+-+(4)2223ln 11ln [ln (ln )]22x dx xdx x x x d x x ---=-=-- 222ln 11(ln 1)244x c x c x x x=--+=-++(5)2221(ln )(ln )2ln (ln )2ln x dx x x x x dx x x xdx x=-=-(参考（2）结果)2(ln )2ln 2x x x x x c =-++(6)2222111tan tan arctan 2221x xarc xdx arc xdx x x dx x ==-+ 221111arctan 2221x x dx dx x =-++?? 2111arctan arctan 222x x x x c =-++(7)11111[ln(ln )]ln(ln )ln(ln )ln ln ln ln x dx x dx dx x x x dx dx x x x x x +=+=-+ ln(ln )x x c =+ (8)12222(arcsin )(arcsin)2arcsin (1)x dx x x x x dx -=--??12222(sin )arcsin (1)(1)x arx x x x d x -=+--?1222(arcsin )2arcsin (1)x x xd x =+-?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x dx =+--?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x x c =+--+(9) 令3sec I xdx =?s e c t a ns e ct a nt a n s e c I x d x x x x x x d x==-?23sec tan (1cos )sec sec tan sec x x x xdx x x I xdx =--=-+??11sec tan sec 22I x x xdx =+?1(sec tan ln |sec tan |)2x x x x c =+++(10)11222222222(0)()2()I a x x a xdx x a x -=>=±=+-1122222222()()()x x x a I ax x a I a a =±-±=±-±则122222111()()(ln ||)222x I x x a a a x c a =±±=+ 3. 求下列不定积分(1)[()]()'(1)f x f x dx αα≠?; (2)2'()1[()]f x dx f x +?;(3)'()()f x dx f x ?; (4)()'()f x e f x dx ?. 解: (1)11[()]()'[()]()[()]1f x f x dx f x df x f x c αααα+==++?(2)122'()1()arctan[()](arccot[()])1[()]1[()]f x dx df x f x c f x c f x f x ==+=-+++??(3)'()1()ln |()|()()f x dx df x f x c f x f x ==+?? (4)()()()'()()f x f x f x ef x dx e df x e c ==+?三. 有理函数和可化为有理函数的不定积分(教材上册P198) 1. 求下列不定积分(1)31x dx x -?; (2)22712x dx x x --+?;(3)31dx x +?; (4)41dxx +?;(5)22(1)(1)dx x x -+?; (6)222(221)x dx x x -++?;解: (1)3321111111x x x x x x x -+==+++--- 3232111(1)ln |1|1132x dx x x dx x x x x c x x =+++=+++-+--?? (2)2223111712(3)(4)(3)(4)4(3)(4)x x x x x x x x x x x x ---+===+-+-------22211(4)7124712x dx d x dx x x x x x -=-+-+--+211(4)2(27)4(27)d x d x x x =-+---??2ln |4|ln |3|x x c =---+ (3)设321111A Bx Cx x x x +=+++-+ 则21(1)()(1)A x x Bx C x =-++++ 2()()A B x B C A x A C =+++-++, 则⽐较两端系数,得1 21,,333B C A =-== 321121311dx x dx x x x x -??=-++-+221111(1)31311d x d d x =+-+++?221(1)ln 61x c x x +=+-+(4)22422221111()11()21x d x x x x dx dx x x x x x x -+-+===++-+-+11x c -=+2224222211111||1()2x x xdx dx c x x x x x---===++++-则234441111112121x x dx dx dx x x x +-=-+++|c =++ (5)设1122222221(1)(1)11(1)B xC B x C A x x x x x ++=++-+-++ 则22211221(1)()(1)(1)()(1)A x B x C x x B x C x =+++-+++-432111112121212()()(2)()()A B x C B x AC B B x C C B B x A C C=++-+-++++--+-- ⽐较两边系数得到12211111,,,,44422A B C B C ==-=-=-=- 22222111111(1)(1)(1)(1)418141dx d x d x dx x x x x x =--+--+-++ 222221111(1)4(1)2(1) d x dx x x -+-++?? 2222111(1)2(1)21x dx dx x x x =++++?? 222111ln |1|ln(1)arctan (1)(1)482dx x x x x x ∴=--+--+?211(1)4x -++ 211(1)4x x c --++。
（数学分析教案）第八章
（数学分析教案）第⼋章第⼋章不定积分(14学时)§1 不定积分概念与基本积分公式教学⽬的要求：掌握不定积分的概念和性质，会⽤初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分.教学重点、难点：重点不定积分的定义，⽤初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分.难点不定积分定义的理解. 学时安排: (2学时) 教学⽅法: 讲授法. 教学过程:微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求⼀个已知函数，使其导数恰好是某⼀已知函数——这就是所谓的积分问题。
⼀原函数与不定积分（⼀）原函数定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。
若)()(x f x F ='， I x ∈，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的⼀个原函数。
如：331x是2x 在R 上的⼀个原函数；x2cos 21-， 12cos 21+x ，x 2sin ，x2cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯⼀的。
问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯⼀；⼜若不唯⼀，则有多少个？问题2 若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。
定理1 若)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F 。
数）。
（2）连续是存在原函数的充分条件，并⾮必要条件。
定理2 设)(x F 是)(x f 在在区间I 上的⼀个原函数，则（1）设C x F +)(是)(x f 在在区间I 上的原函数，其中C 为任意常量（若)(x f 存在原函数，则其个数必为⽆穷多个）。
（2）)(x f 在I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭⽰了原函数间的关系）。
证明：由定义即可得。
（⼆）不定积分定义2 函数)(x f 在区间I 上的原函数的全体称为)(x f 在I 上的不定积分，记作：dxx f )(其中?--积分号；--)(x f 被积函数； --dx x f )(被积表达式；--x 积分变量。
数学分析(华东师大版)上第八章8-3
2 t
2
dt
1
1
2t t
2
1 1
t t
2 2
dt 1
t
ln 1 t
C
ln 1 tan
x 2
C.
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对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可 选用如下三种变换, 使不定积分简化.
(i) 若R(u,v) R(u,v) , 可作变换 t cos x;
(ii) 若R(u, v) R(u,v) , 可作变换 t sin x;
x
2sin x cos x sin2 x 2cos x
满足情形
(i),
因此可设 t cos x, 则
sin2
sin 2x x 2cos
x
dx
2
sin x cos x sin2 x 2cos
x
dx
2
1
2
cos x cos x cos2
x
d
cos
x
2
1
tdt 2t
t
2
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于是完成了R(x) 的部分分式分解:
R( x)
x
1
2
x
2
2
(x
1 2)2
x
2
x 1 x
1
.
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二 、有理真分式的递推公式
任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形
式的不定积分之和：
(i)
(
x
dx a
)k
;
(ii)
(
x
Lx M 2 px q)k
dx
( p2 4q 0).
通过变换
t
tan
数学分析(华东师大版)上第八章
05
不定积分
不定积分的定义
总结词
不定积分是微分的逆运算，其定义基于原函数的概念。
详细描述
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程。给定一个函数f(x)，其不定积分是所有原函数F(x)的集合，即 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是积分常数。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有线性性质、可加性、可乘性等基本性质。
微积分基本定理
定积分的值可以通过被积 函数在积分上下限处的值 与积分区间的长度乘积的 差值来计算。
分部积分法
对于某些难以直接计算的 定积分，可以通过分部积 分法将其转化为易于计算 的定积分。
换元法
通过适当的变量替换，将 复杂的定积分转化为易于 计算的定积分。
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详细描述
不定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的不定积分，可以分别对每个函数进行不定积分后再求 和或求差；不定积分也具有可加性，即对于函数f(x)在两个区间上的不定积分，其和等于函数在整体区间 上的不定积分；此外，不定积分还具有可乘性，即对于任意常数k，有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
积分的方法
总结词
不定积分的计算方法包括直接积分法、换元 积分法、分部积分法等。
详细描述
直接积分法是最基本的积分方法，它基于不 定积分的定义和性质，通过简单的代数运算 求得积分结果；换元积分法是通过引入新的 变量替换原变量，将复杂函数的不定积分转 化为简单函数的不定积分；分部积分法是通 过将两个函数的乘积进行不定积分，将问题
柯西中值定理
如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)≠0，那么 在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得(f'(ξ)/g'(ξ))=(f(g(b)-f(g(a))/(g(b)-g(a))。
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第八章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算。
要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。
要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。
3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。
要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时§ 1 不定积分概念与基本公式（ 4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。
要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
教学重点：深刻理解不定积分的概念。
一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算.二、讲授新课：（一）不定积分的定义:1.原函数：例1填空: ; ( ;; ; ;.定义. 注意是的一个原函数.原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.原函数的个数:Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. ( 证 )可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ).可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若在区间上有原函数, 则在区间上有介值性.例2. 已知为的一个原函数, =5 . 求.2.不定积分——原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3 ; .（二）不定积分的基本性质: 以下设和有原函数.⑴.(先积分后求导, 形式不变应记牢！).⑵.(先求导后积分, 多个常数需当心！)⑶时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）⑷由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有( 当时,上式右端应理解为任意常数. )例4 . 求. (=2 ).（三）. 不定积分基本公式:基本积分表. [1]P180—公式1—14.例5 .（四）．利用初等化简计算不定积分:例6. 求.例7.例8.例9.例10 ⑴; ⑵例11 .例12 .三、小结§2换元积分法与分部积分法（1 0 学时）教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。
要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。
教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课：（一）. 第一类换元法——凑微分法：由引出凑微公式.Th1若连续可导, 则该定理即为：若函数能分解为就有.例1 .例2 .例3常见微分凑法：凑法1例4例5例6例7由例4—7可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.例8⑴. ⑵.凑法2 . 特别地, 有.和.例9 .例10例11 .例12=.凑法3例13 ⑴⑵例14例15.例16凑法4 .例17凑法5例18凑法6.例19.其他凑法举例:例20.例21例22.例23.例24.例25例26 .三、小结（二）第二类换元法——拆微法：从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即= ==引出拆微原理.Th2 设是单调的可微函数,并且又具有原函数. 则有换元公式(证)常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1. 三角代换:⑴正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令, 则例27解法一直接积分; 解法二用弦换.例28.例29.⑵正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式即令. 此时有变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.例30.解令有. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有==例31⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式令有变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32解.例33.解法一（用割换）解法二（凑微）2.无理代换:若被积函数是的有理式时, 设为的最小公倍数,作代换, 有.可化被积函数为的有理函数.例34 .例35.若被积函数中只有一种根式或可试作代换或. 从中解出来.例36 .例37例38 (给出两种解法)例39.本题还可用割换计算, 但较繁.3.双曲代换:利用双曲函数恒等式, 令, 可去掉型如的根式. . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如:例40.本题可用切换计算,但归结为积分, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3.例41解.例42.解4.倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换例43.5.万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261). 令，就有，，例44.解法一 ( 用万能代换 ) .解法二( 用初等化简 ) .解法三 ( 用初等化简, 并凑微 )例45解=.代换法是一种很灵活的方法.三、小结（三）. 分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.1. 幂X型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“”求导以使其成为代数函数.例46 (幂对搭配，取对为u)例47 (幂三搭配，取幂为u)例48 (幂指搭配，取幂为u)例49 (幂指搭配，取幂为u)例50例51 (幂反搭配，取反为u)例522建立所求积分的方程求积分:分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.例53例54 求和解解得例55解==（参阅例41）解得例56 =，解得.例57==,解得.三、小结§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分( 2学时 )教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。
要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
一、新课引入：由积分应用的广泛性引入二、讲授新课：（一）有理函数的积分:1. 代数知识: [1]P190例1 [1]P190，2. 部分分式的积分: [1]P192例2 [1]P192例3 [2]P260 E3.（二）. 三角函数有理式的积分: [1]P194 万能代换.例4—5 [1]P195——（三）某些无理函数的积分: [1]P195——198（四）一些不能用初等函数有限表达的积分:等.习题课 ( 2学时 )一. 积分举例 :例1.例2 .例3例4 已知求例5 求例6设且具有连续导函数. 计算积分例7, 求积分二.含有二次三项式的积分:例8 ==.例9==.. .。