决胜高考全国名校试题数学(理)分项汇编(新课标Ⅰ特刊)专题11 排列组合、二项式定理(第03期)

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决胜高考全国名校试题理数分项汇编(北京特刊)(第01期)：专题11 排列组合、二项式定理(含答案解析)

一．基础题组1.（北京市房山区2015年高三第一次模拟考试理4）从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（） A ．24 B ．48 C ．72 D ．120 【答案】C考点：排列组合的实际应用2.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）理5）二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（）A ．240B ．60C ．192D ．180 【答案】A 【解析】试题分析：二项式621(2)x x +展开式的通项为666216621C (2)()2C r r r r r r r T x x x---+==，令620,r -=得2r =，所以常数项为6226652C 1624021-⨯=⨯=⨯，选A . 考点：二项式定理.3.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试理2）现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法（）A ．756种B ．56种C ．28种D ．255种【答案】D 【解析】试题分析：根据题意可知，先确定选哪个年级，有高一二，高一三和高二三三种结果，选高一二两个年级有912108⨯=种，选高一三有12784⨯=种，选高二三有9763⨯=种，所以共有1088463255++=种选法，故选D. 考点：两个计数原理.4.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试理11）523)1(xx -展开式中的常数项是．【答案】10-考点：二项展开式.5.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习理9）展开式中含项的系数是__________．【答案】427- 【解析】试题分析：4113x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：4441441133rrr r r r T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1r =时， 4111432414327T C x x ---⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以3x -的系数为427-.考点：二项式定理.6.（2015年北京市昌平区高三二模理13）某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）【答案】36 【解析】试题分析：第一步，排甲，只能排中间3个位置，有3种排法.第二步，排乙，只能排甲的两侧，有两种排法.第三步，排其余3个节目，有3!，故共有323!36⨯⨯=种排法. 考点：排列.7.（北京市顺义区2015届高三第一次统一练习（一模）理13）如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有__________种（用数字作答）. 【答案】360考点：排列组合. 二．能力题组1.（北京市延庆县2015届高三3月模拟理10）有三个车队分别有2辆、3辆、4辆车，现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行任务，则不同的抽调方案共有种. 【答案】27 【解析】试题分析：分类讨论，利用组合知识，即可得出结论．由题意，不同的抽调方案共有222222232434361827C C C C C C ++=++=种.考点：排列组合、计数原理的应用2.（北京市西城区2015届高三一模考试理13）某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. （用数字作答）【答案】24 【解析】试题分析：B 与C 必须相邻，看做一个元素，与剩下三个元素排列共有44A 种排法，而B 与C 共有22A 种排法，因为A 必须在D 的前面完成，所以利用除法得42422224.A A A ⋅= 考点：排列组合3.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）理9）若1)n x-的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】6,15 【解析】试题分析：根据题意二项式系数的和是264n =，6n =，所以展开式的常数项为42162115T Cx==. 考点：1.二项式系数和;2.二项式的同通项公式.4.（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习理14）设集合，集合A 中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．【答案】27,18考点：1.集合的表示; 2.分步计数原理.5.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理10）已知二项式2()n x x+的展开式中各项二项式系数和是16，则该展开式中的常数项是 . 【答案】24 【解析】试题分析：二项系数和为216n = 解得4n =；其展开式的通项为44142rr r r T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，当2r=时得到常数项为24.考点：二项式定理.6.（北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）理13）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是. （用数字作答）【答案】24考点：排列与组合7.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）理13）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有种（用数字作答）．【答案】180【解析】试题分析：由题意知，甲乙两人从6门课程中各选修3门总的方法数是3366400C C=,其中甲乙所选课程全不相同，有336320C C=；甲乙所选课程有一门相同，有122653180C C C=；甲乙所选课程有三门相同，有3620C=；所以，甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有：4002018020180.---=考点：1.分类计数原理；2.简单组合问题.三．拔高题组1.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）理14）已知非空集合A,B满足以下四个条件：①{1,2,3,4,5,6,7}A B=；②A B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么A=______；（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是______．【答案】{6}；32 【解析】试题分析：由题根据所给新定义满足的条件进行分析即可解决问题.（ⅰ）易知A={6}；（ⅱ）由题根据A 中的元素进行分类，那么不难得到（A,B ）的有序实数对为0123455555555232C C C C C C +++++== .考点：新定义，组合数，集合的概念。

2021年高考数学试题分项版解析专题11 排列组合、二项式定理理(含解析)

2021年高考数学试题分项版解析专题11 排列组合、二项式定理理（含解析）1.【xx高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式的展开式的通项是．2.【xx高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【xx高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【xx高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A. B．C．D．【答案】D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为.【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.5、【xx高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【xx高考重庆，理12】的展开式中的系数是________(用数字作答).【答案】【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.【考点定位】二项式定理【名师点晴】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【xx高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .【答案】．【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第项为：．8.【xx高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.【答案】.【解析】，所以的系数为.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【xx高考天津，理12】在的展开式中，的系数为 .【答案】【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【xx高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）【答案】【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【xx高考福建，理11】的展开式中，的系数等于．（用数字作答）【答案】【解析】的展开式中项为，所以的系数等于．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【xx高考北京，理9】在的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式，准确计算指定项的系数.13.【xx高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【xx高考湖南，理6】已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A. B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第项为，即可建立关于的方程，从而求解.【xx高考上海，理11】在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C xx x x⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以项只能在展开式中，即为，系数为【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【xx高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．27669 6C15 氕vJ40087 9C97 鲗L35622 8B26 謦28031 6D7F 浿37770 938A 鎊40002 9C42 鱂29902 74CE 瓎29455 730F 猏^25521 63B1 掱。

专题11 排列组合与二项式定理(解析版)-高三数学百所名校好题分项解析汇编之新高考地区专版2021

公众号：学未已
故选：A.
4．已知集合 P = {1, 2, 3, 4, 5} ，若 A，B 是 P 的两个非空子集，则所有满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数
的集合对(A,B)的个数为（）
A．49
B．48
C．47
D．46
【来源】专题 10 集合与命题新定义-2020 年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）
内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有（）
A．6 种
B．9 种
C．12 种
D．18 种Biblioteka 【来源】湖北省武汉市部分学校 2020-2021 学年高三上学期 9 月起点质量检测数学试题
【答案】C
公众号：学未已
【分析】分步完成安排参观，第一步第一个时间段有 A33 种方法，第二步安排第二个时间段，由第一时间段
个人，有
A4 4
=
24
种，所以不同的分法种数为10
×
24
= 240
,故选：B
2．有四位朋友于七夕那天乘坐高铁 G77 从武汉出发（G77 只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的
站点至少下一个人，则不同的下车方案有（）
A．24 种
B．36 种
C．81 种
D．256 种
【来源】广东省深圳市外国语学校 2021 届高三上学期第一次月考数学试题
【答案】A
【分析】集合 P = {1, 2,3, 4,5} 知：
1、若 A 中的最大数为 1 时，B 中只要不含 1 即可： A 的集合为{1} ，
而 B 有 24 −1 =15 种集合，集合对(A,B)的个数为 15；
2、若 A 中的最大数为 2 时，B 中只要不含 1、2 即可：

专题11 排列组合与二项式定理2023年高考真题和模拟题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题11 排列组合与二项式定理（新课标全国Ⅰ卷）1．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．（新课标全国Ⅰ卷）2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种 C ．3030400200C C ⋅种 D ．4020400200C C ⋅种（全国乙卷数学(理)）3．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种（全国甲卷数学（理））4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A ．120B ．60C ．40D ．30 （新高考天津卷）5．在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（） A ．10- B ．10 C ．30- D ．302．（2023·河南·校联考模拟预测）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（）A ．8B ．16C ．24D ．323．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）在32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（） A ．1 B ．3 C ．6 D ．12 4．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（）A ．76种B ．82种C ．86种D ．90种5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.已知经典三阶魔方（如图）自由转动之后的色块组合约有4.3×1019种，现将下图已还原的魔方按5步打乱，且每一步互相独立，则共有（）种打乱方式.A ．518AB ．527AC ．185D ．1956．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）安排A ，B ，C ，D ，E ，F 共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，则安排方法共有（）种A ．60B ．61C ．62D ．637．（2017·辽宁沈阳·校联考一模）4()x y z ++的展开式共（）A ．10项B ．15项C ．20项D ．21项 8．（2023·河南·校联考模拟预测）101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，7x -的系数等于（） A ．45 B ．10 C ．45- D ．10-9．（2023·广东·校联考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（）种.A ．10B ．9C ．8D ．12 10．（2023·河南驻马店·统考三模）在()72x y z -+的展开式中，322x y z 项的系数为（）A ．1680B ．210C ．－210D ．－168011．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知8280128()(2)f x x a a x a x a x =-=++++，则下列描述正确的是（）A ．1281a a a +++=B ．(1)f -除以5所得的余数是1C ．812383a a a a +++⋯+=D ．2382388a a a +++=- 12．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（）种.A ．40B ．24C ．20D ．1213．（2023·山东泰安·统考模拟预测）若()()()550153411x a a x a x -=+-+⋅⋅⋅+-，则123452345a a a a a ++++=____.14．（2023·云南保山·统考二模）春节（Spring Festival ），即中国农历新年（Chinese New Year ），俗称“新春”“新岁”“岁旦”等，又称“过年”“过大年”，是集除旧布新、拜神祭祖、祈福辟邪、亲朋团圆、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节.某商家在春节前开展商品促销活动，凡购物顾客都可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，其中恰有2人领取的礼品种类相同，则不同的情况共有______种.15．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）6112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）16．（2023·广东·校联考模拟预测）已知12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为______.（用数字作答）17．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）甲、乙、丙3所学校每所学校各派出两名同学，现从这六名同学中任取两名，安排到甲、乙、丙3所学校交流.每所学校至多安排一名同学，每名同学只能去一所学校且不能去自己原先的学校，则不同的安排方法有________种. 19．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二次项系数是___________.（用数字作答）20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为__________.。

高考数学分项汇编专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理-人教版高三全册数学试题

专题11 排列组合、二项式定理1. 【2005高考重庆理第8题】若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于（） A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】B 2. 【2006高考重庆理第5题】若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）（A ）－540 （B ）－162 （C ）162 （D ）540【答案】A3. 【2006高考重庆理第8题】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）（A ）30种（B ）90种（C ）180种（D ）270种【答案】B4. 【2007高考重庆理第4题】若nx x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A.10B.20C.30D.120【答案】B5. 282()x x +的展开式中4x 的系数是（）A ．16B ．70C ．560D ．1120 【答案】6. 【2010高考重庆理第9题】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 ( )A ．504种B ．960种C ．1 008种D ．1 108种【答案】C7. 【2011高考重庆理第4题】()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n = （A ）6 (B)7(C) 8 (D)9【答案】B 。

8. 【2012高考重庆理第4题】812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 A.1635 B.835 C.435 D.105 【答案】B9. 【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168【答案】B考点：1、分类加法计数原理；2、排列.10. 【2007高考重庆理第15题】某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。

2023年高考数学真题分训练排列组合、二项式定理(理)(含答案含解析)

专题 30 排列组合、二项式定理（理）年份题号考点考查内容2011 理 8 二项式定理二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理二项式定理的应用卷 1 理 13 二项式定理二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 1 理 10 二项式定理三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理二项式展开式指定项系数的计算卷 2 理 5 排列与组合计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合计数原理的应用卷 1 理 6 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 2 理 6 排列与组合排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 1 理 15 排列与组合排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数卷 1 理 8 二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。

2021-2022年高考数学分项汇编专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理

2021-2022年高考数学分项汇编专题11 排列组合、二项式定理（含解析）理1. 【xx高考北京理第7题】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A．B．C．D．【答案】A考点：排列组合。

2. 【xx高考北京理第3题】在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个【答案】B3. 【xx高考北京理第5题】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种4. 【xx高考北京理第6题】若为有理数），则（）A．45 B．55 C．70 D．80【答案】C考点：二项式定理及其展开式.5. 【xx高考北京理第7题】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．648【答案】B考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.6. 【xx高考北京理第4题】8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A． B． C． D．【答案】A考点：排列组合.7. 【xx高考北京理第6题】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B考点：排列组合.8. 【xx高考北京理第11题】的展开式中的常数项是 . （用数字作答）【答案】考点：二项式定理。

9. 【xx高考北京理第10题】在的展开式中，的系数为（用数字作答）.【答案】＝－1410. 【xx高考北京理第11题】若展开式的各项系数之和为32，则，其展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】 5 10考点：二项式11. 【xx高考北京理第12题】用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答)【答案】12. 【xx高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【答案】96考点：排列组合.13. 【xx高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.【答案】36考点：排列组合，容易题.14. 【xx高考北京，理9】在的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.25196 626C 扬39038 987E 顾~FM 39315 9993 馓\35912 8C48 豈^233595 833B 茻40824 9F78 齸e。

2020年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理 Word版含答案

2020年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2020年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知5)1(x+的展开式中2x的系数为5,ax+)(1则=a（）A．4-B．3-C．2-D．1-【答案】D2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．279【答案】B3 ．（2020年高考新课标1（理））设m为正整数,2+展开式的x y()m二项式系数的最大值为a,21+展开式的二项式系数的x y+()m最大值为b,若137=,则m=（）a bA．5 B．6 C．7 D．8【答案】B4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））()()84x y的系数是（）+的展开式中22x y11+A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B6 ．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）10(1)x +的二项展开式中的一项是（）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C7 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B8 ．（2020年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C9 ．（2020年高考陕西卷（理））设函数61,00.,(),x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝-≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A10．（2020年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为（）A ．80B ．-80C ．40D ．-40【答案】C 二、填空题11．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】483612．（2020年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)【答案】48015．（2020年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)【答案】59016．（2020年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为______.【答案】1517．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.【答案】10-18．（2020年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】2a =-19．（2020年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】9620．（2020年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若83a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.【答案】2121．（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).【答案】480。

决胜高考数学全国名校试题汇编(新课标Ⅱ特刊)：专题11 排列组合、二项式定理(第01期)(含答案解析)

第十一章排列组合、二项式定理一．基础题组1. 【云南省2015届高三第一次复习统测数学理3】在64()bax x+的二项展开式中，如果3x 的系数为20，那么3ab =（） A ．20 B ．15 C ．10 D ．5【答案】D. 【解析】试题分析：第1r +项，424714r r r r r T C a b x--+=，令24721r -=，3r =，则可得3420ab =，∴35ab =．考点：二项式定理.2.【黑龙江哈尔滨第六中学2015届高三下第三次模拟考试理5】已知关于x 的二项式n xa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（）A ．1B ．1±C ．2D ．2± 【答案】C考点：二项式定理与性质3.【双鸭山市第一中学2015届高三第四次模拟理5】如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有（）A ．11种B ． 12种C ．20种D ． 21种【答案】D试题分析：当第一个并联电路中有一个开关闭合时有11232333()14C C C C ++=，当第一个并联电路中有两个开关闭合时有21232333()7C C C C ++=，所以共有71421+=种不同的开闭方式，故选D.考点：1.两个计数原理；2.组合定义及组合数公式.4. (吉林省实验中学2015届高三年级第五次模拟理5) 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（） A.36种 B.42种C.48种D.54种【答案】B考点：排列5.【天水一中2015届高考模拟信息卷理6】2321(2)x x+-展开式中的常数项为（）（A ）-8 （B ）-12 （C ）-20 （D ）20 【答案】C考点：二项式定理。

6.【甘肃省河西五市2015年高三5月第二次联考数学理4】二项式6(2x的展开式中常数项为（） A ．160 B ．160-C ．60D ．60-【答案】C试题分析：由36662166(2)(2(1)r r rr r r rr T C x C x ---+==-，令3602r -=，得4r =.所以常数项为424562(1)T C =-=60.考点：二项式定理；7.【天水一中2015届高考第五次模拟考试理5】已知2(sin cos )a x x dx π=+⎰，在64(1)(1y)ax ++的展开式中，项的系数为（）A ．45 B ．72 C ．60D ．120 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，可以求得20(cos sin )|2a x x π=-+=，64(12)(1)x y ++的展开式中，2xy 的系数为1264272C C ⋅⋅=,故选B.考点：定积分，二项展开式的系数.8.【宜昌一中2015年高考适应性考试（一）理7】已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有( )A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种【答案】A考点：计数原理、排列组合数9.【辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学理8】分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有2xy（A ）34A 种（B ） 3133.A A 种（C ）113433.C C A 种（D ）2343.C A 种【答案】D 【解析】试题分析：先将4名水暖工分成三组，分法为24C ，然后将分好的三组分配到3个不同的居民家里，故总的分配方案有2343.C A 种考点：排列组合 10.【黑龙江哈尔滨第六中学2015届高三下第三次模拟考试理14】5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 . 【答案】60考点：排列组合及简单的计数问题11.【辽宁省大连市2015年高三第一次模拟考试数学理14】612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．【答案】52- 【解析】试题分析：展开式的通项6621661122r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3r =时，该项为常数项，即33461522T C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.考点：二项式定理.12.【甘肃省天水市第一中学2015届高三5月中旬仿真考试数学理14】已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++＝【答案】1考点：二项式定理. 13.【宜昌一中2015年高考适应性考试（一）理12】已知2015220150122015(x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+,则2202420141352015()()a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+= . 【答案】-1考点：二项式定理14.【天水一中2015届高考第五次模拟考试理14】连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数2()f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是 . 【答案】112【解析】试题分析：根据题意有，2b a =时符合函数2()f x ax bx =-在1x =处取得最值的条件，连续抛骰子共有36个结果，满足条件的有(1,2),(2,4),(3,6)三个结果，故对应的概率为313612=. 考点：古典概型.15.【吉林省实验中学2015届高三年级第五次模拟理13】已知sin 0a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 . 【答案】-80 【解析】试题分析：因为sin cos 200a xdx x ππ==-=⎰，所以展开式中3x -的系数为335(2)80.C -=-考点：定积分，二项式定理16.【辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学理13】设函数 f (x)=(x + a)n ，其中20'(0)6cos ,3(0)nf n xdx f ==-⎰，则 f (x)的展开式中的x 4系数为______ 【答案】60考点：定积分，函数的导数，二项式定理17.【哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷理14】现要将四名大学生分配到两所学校实习，则不同分配方法有种．【答案】14 【解析】试题分析：由题意得：24214.-= 考点：分步与分类计数原理18.【2015年辽师大附中高三年级模拟考试理13】若xdx a cos 22ππ-⎰=，则二项式41⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中的常数项为．【答案】 24 【解析】试题分析：因为2222cos sin 2a xdx xππππ--=⎰==，则该二项式的展开式的通项为4214(1)2rr r r r T C x --+=-⋅，令2r =，则2234224T C =⨯=。

决胜高考数学全国名校试题汇编(新课标Ⅱ特刊)：专题11 排列组合、二项式定理(第03期)(含答案解析)

第十一章排列组合、二项式定理一．基础题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种.A. 18B. 27C. 37D. 212【答案】C 【解析】试题解析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为37C ，为35种；共计37种取法. 故选C.2. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）已知0>a ， 6)x-展开式的常数项为15，则2(aax x dx -++=⎰___________.【答案】2233π++ 【解析】3. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）设函数f （x ）=（x ﹣）n ，其中n=3cosxdx ，则f （x ）的展开式中x 2的系数为．【答案】15．【分析】先求定积分求出n 的值，根据二项式展开式的通项公式求得f （x ）的展开式中x 2的系数．【解析】解：n=3cosxdx=3sinx =3+3=6，故函数f （x ）=（x ﹣）n =（x﹣）6，故f （x ）的展开式中x 2的系数为 ••=15，故答案为：15．4. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（） A ．24种 B ．28种C ．32种D ．36种【答案】B 【解析】5. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）若92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的常数项是84，则实数a = . 【答案】1 【解析】试题解析∵92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式的通项为9319r r rr T C a x -+=，令930r -=，即3r =，常数项为33349=84T C a a =，依题意，有38484a =，∴1a =．6. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A．240种B．192种C．120种D．96种【答案】【分析】利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数．【解析】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192，故选：B．7. （广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知，则a3=．【答案】﹣25【分析】把等式的左边化为[（x﹣1）+2]•[（x﹣1）﹣1]6，再按照二项式定理展开，可得（x﹣1）3的系数a3的值．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．8. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．【答案】240【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解析】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．9. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于．【答案】-270【分析】根据题意，在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令的指数为2，可得r的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是用赋值法求出n的值，由此得到该二项式展开式的通项．10. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）哈六中高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为（）A．484 B．472 C．252 D．232【答案】B【分析】由分类计数原理，故分为2类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，根据分类计数原理，即可得到答案【点评】本题考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于中档11. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种. A. 18 B. 27 C. 37D. 212【答案】C【命题意图】本题是一道排列组合问题.12. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）设k 是一个正整数，1+)k xk （的展开式中第四项的系数为116，记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是（） A ．23B ．13C ．25D ．16【答案】D. 【解析】试题分析：由二项展开的通项公式1()r r r k xT C k+=，令143r r +=⇒=，∴33211(1)(2)1416616k k k C k k k --⋅=⇒=⇒=，∴4223400132(4)(2)|33S x x dx x x =-=-=⎰，∴所求概率32134166P ==⋅，故选D ．13. （吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学（理）试题）若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C.【分析】二项式的通项公式T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．。

决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊)专题11排列组合、二项式定理(第02期)(解析版)

第十一章排列组合、二项式定理一．基础题组1.(安徽省示范高中2016届高三第一次联考数学、理、6）已知()52501255a a a x a x a x -=+++，若2270a =，则a =（）A.3B.2C.1D.-1 【答案】A考点：二项式定理.4.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、理、6）42()(1x x+的展开式中x 的系数是A.1B.2C.3D.12 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，式子的展开式中含x 的项有4(1展开式中的常数项乘以2x x+中的x 以及4(1-展开式中的含2x 的项乘以2x x +中的2x两部分，所以其系数为2113⋅+=，故选C.考点：二项式定理.3.（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高三联、理、15）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．【答案】84【解析】试题分析：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为246C =种，四个学生选这两种课共有4216=中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有241484C =种．故答案为：84．考点：排列、组合及简单计数问题．4.（武汉市部分学校2015-2016 学年新高三调研、理、14）学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法. 【答案】10 【解析】试题分析：分1个篮球3个排球和2个篮球2个排球两种情况.124410C C +=. 考点：1.分类加法；2.组合.5.(海南省嘉积中学2015届高三下学期测试、理、13）已知()5234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则0a = ．【答案】1 【解析】试题分析：当0=x 时，10=a 考点：二项式定理展开式的系数名师点睛：求二项式定理展开指定项的系数，可以采用赋值法，求常数项，就赋值0=x . 6.（广东省惠州市2016届高三调研、理、14）4)31(xx -的展开式中常数项为．（用数字表示）【答案】23考点：二项式定理.二．能力题组1.（云南省玉溪市第一中学2016届高三月考、理、582)x二项展开式中的常数项为（）A. 56 B. 112 C. -56 D. -112 【答案】B【解析】试题分析：展开式的通项为()848318822rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令8403r -=可得2r =.所以展开式的常数项为()2282112C -=.故B 正确.考点：二项式.2.(黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2015届高三期末考试、理、4）若+=-+092)3)(1(a x x111133221)2()2()2()2(-++-+-+-+x a x a x a x a ，则1121a a a +++ 的值为A. 0B. 5-C. 5D. 255 【答案】C考点：二项式定理、赋值法．3.（海南省文昌中学2015届高三模拟考试、理、6）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（） A ．24种B ．96种C ．120种D ．144种【答案】B考点：排列组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.区别“在”与“不在”，“相邻”，“不相邻”，“间隔”等题型.4.(安徽省示范高中2016届高三第一次联考数学、理、15）将4为大学生分配到,,A B C 三个工厂参加实习活动，其中A 工厂只能安排1为大学生，其余工厂至少安排1位大学生，且甲同学不能分配到C 工厂，则不同的分配方案种数是。

2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编专题11 排列组合、二项式定理

一．基础题组 1.二．能力题组 1. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B .试题解析：（1）因为对任意的1k m ≤≤，都有2121k ka a -=-，则212(,)(2,2)k k a a -=-或212(,)(2,2)k k a a -=-共有2种，所以1232(,,,,)m a a a a ⋅⋅⋅共有2m 种不同的选择，所以2m A =. ……5分（2）当存在一个k 时，那么这一组有12m c 种，其余的由（1）知有12m -，所有共有1122m m c -；当存在二个k 时，因为条件对任意的1k l m ≤≤≤,都有221||4li i k a =-≤∑成立得这两组共有22m c ，其余的由（1）知有22m -，所有共有2222m m c -；依次类推得：1122222222(32)m m mm m m m m B c c c --=++⋅⋅⋅+=-. ………10分考点：分步（乘法）计数原理，二项式定理应用.2. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】已知{}n a 为等差数列，且0≠n a ，公差0d ≠.（1）数列满足结论212111a a da a =-；01222221231232C C C d a a a a a a -+=；试证：012333333123412346C C C C d a a a a a a a a -+-=；（2）根据（1）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.（7分）k k a a a d k 211)!1(--=k k a a a d k 321)!1(---)()!1(11211a a a a a d k k k k --=+- 121!+=k k k a a a a d k ，所以，当1+=k n 时，结论也成立．综合①②知，nn n n n n n n n a a a d n a C a C a C a C 211111321211101)!1()1(---+----=-+-+-对2≥n 都成立……10分考点：1.归纳推理;2.数学归纳法;3．组合数性质3. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】设函数()(,n)1n f x x =+,()n N *∈．（1）求(,6)f x 的展开式中系数最大的项；（2）若(,n)32f i i =（i 为虚数单位）,求13579n n n n n C C C C C -+-+．。

2021年高考数学分项汇编专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理

2021年高考数学分项汇编专题11 排列组合、二项式定理（含解析）理一．基础题组1. 【xx全国，理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种【答案】A2. 【2011全国新课标，理8】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A．－40 B．－20 C．20 D．40【答案】D3. 【2011全国，理7】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种 B．10种 C．18种 D．20种【答案】：B4. 【xx全国卷Ⅰ，理5】甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345种【答案】：D5. 【xx课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________【答案】A6. 【xx全国，理15】安排7位工作人员在5月1日至5月7日值勤班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。

不同的安排方法共有种。

（用数字作答）【答案】24007. 【xx全国1，理13】的展开式中，常数项为 .（用数字作答）【答案】6728. 【xx高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.二．能力题组1. 【xx课标全国Ⅰ，理9】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】：B2. 【xx课标Ⅰ，理13】的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）【答案】3. 【xx全国卷Ⅰ，理13】(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_________.【答案】:-240三．拔高题组1. 【xx全国1，理12】如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【答案】B.2. 【xx全国，理12】设集合选择的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中的最大的数，则不同的选择方法共有（）（A）50种（B）49种（C）48种（D）47种【答案】B3. 【xx全国1，理11】过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对 B．24对 C．30对 D．36对【答案】D36629 8F15 輕28508 6F5C 潜D#~27253 6A75 橵536545 8EC1 軁 Az27615 6BDF 毟24127 5E3F 帿@32888 8078 聸。

高考数学试题解析分项专题11 排列组合二项式定理文试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹年高考试题解析数学〔文科〕分项专题11排列组合、二项式定理2021年高考试题一、选择题:1．(2021年高考卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数一共有〔〕A ．20B ．15C ．12D ．10【答案】A【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有15C 种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有14C 种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的一共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有12C 种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以,21所以这个正五棱柱对角线的条数一共有2021121415=•••C C C ,所以选择A. 2.〔2021年高考全国卷文科9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，那么恰有2人选修课程甲的不同选法一共有〔A 〕12种〔B 〕24种〔C 〕30种〔D 〕36种二、填空题:3.〔2021年高考卷文科16)给定*k N ∈，设函数**:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-〔1〕设1k =，那么其中一个函数f 在1n =处的函数值为；〔2〕设4k=，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，那么不同的函数f的个数为。

答案：〔1〕()a a 为正整数，〔2〕16[ 解析：〔1〕由题可知*()f n N ∈，而1k =时，1n >那么*()1f n n N =-∈，故只须*(1)f N ∈，故(1)()f a a =为正整数。

〔2〕由题可知4k=，4n >那么*()4f n n N =-∈，而4n ≤时，2()3f n ≤≤即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，由乘法原理可知，不同的函数f 的个数为4216=。

高考数学试题分项解析专题11 排列组合、二项式定理学生理试题

2021年高考试题分项版解析数学〔理科〕专题11 排列组合、二项式定理〔学生版〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题:1.(2021年高考新课标全国卷理科2)将2名老师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会理论活动，每个小组由1名老师和2名学生组成，不同的安排方案一共有〔〕()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种3．(2021年高考卷理科6)假设从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法一共有〔〕A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种5. (2021年高考卷理科5)一排9个座位坐了3个三口之家，假设每家人坐在一起，那么不同的坐法种数为〔〕(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！6.(2021年高考卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为〔〕〔A 〕10 〔Ｂ〕-10 〔Ｃ〕40 〔Ｄ〕-407.(2021年高考卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是〔〕()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 38.(2021年高考卷理科10)6位同学在毕业聚会活动中进展纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进展交换的两位同学互赠一份纪念品，6位同学之间一共进展了13次交换，那么收到4份纪念品的同学人数为〔〕()A 1或者3 ()B 1或者4 ()C 2或者3 ()D 2或者49. (2021年高考卷理科5)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，假设512021+a 能被13整除，那么a=( ) 11.(2021年高考卷理科1)7(1)x +的展开式中2x 的系数是〔〕A 、42B 、35C 、28D 、2112. (2021年高考卷理科11)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不一样，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线一共有〔〕A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条 14.(2021年高考卷理科4)812x x +的展开式中常数项为〔〕 A.1635 B.835 C.435二、填空题:1. (2021年高考卷理科10)261()x x +的展开式中3x 的系数为______.〔用数字答题〕2. (2021年高考卷理科11)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，那么实数=a _________.3．(2021年高考卷理科5)在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 4. (2021年高考卷理科13) ( 2x -1x)6的二项展开式中的常数项为 .〔用数字答题〕 5. (2021年高考卷理科12)5()a x +展开式中2x 的系数为10，那么实数a 的值是．制卷人：打自企；成别使；而都那。

备战高考数学(精讲精练精析)专题11.1排列与组合试题理(含解析)

专题11.1 排列与组合【三年高考】1. 【2016高考新课标2理】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B2. 【2016年高考四川理】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D3．【2016高考新课标3理】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：4．【2016高考江苏卷】（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .【解析】（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时(1)!(1)!()!m kk k k C m k m +⋅+=-(1)!(1)(1)![(k 1)(m 1)]!k m m +=+++-+ 11(1),1,2,,.m k m C k m m n ++=+=++，又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+，因此12(1)(2)(3)(n 1)mm m m m m m nm C m Cm CC+++++++++12(1)[(2)(3)(n 1)]m m mmm m m n m C m C m C C ++=+++++++2222222223243212(1)(1)[()()()](1)m m m m m m m m m m m m m n n n m C m C C C C C C m C ++++++++++++++++=+++-+-+-=+.5．【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.6.【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-=7.【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．8.【2014浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）. 【答案】60【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A =，二是有三人各获得一张，共有3424A =，因此不同的获奖情况有60种9.【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A ．144B ．120C ．72D ．24【答案】C【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由433A =24，故选D .10.【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 【答案】B【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有32132262224A A A =⨯⨯=(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224622496A A A A =⨯⨯⨯=(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.11.【2014高考广东卷理第8题】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130【答案】D【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量多是一道，分值为5分，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．题目难度与课本习题难度相当，但有个别题目难度较大，重点考查分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 排列、组合是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分.预测2017年高考中，应该注重基本概念，基础知识和基本运算的考查.试题难度不会太大，多以选择、填空的形式出现.排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列.以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力.排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；复习建议：⑴使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.⑶复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.⑷ 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.⑸ 处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.⑹ 在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.【2017年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用计数原理，排列组合，排列数、组合数计算公式与组合数性质, 重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下,将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点. 【考点1】计数原理【备考知识梳理】1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N=1m +2m +……+n m 种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N=12n m m m ⨯⨯⨯…种不同的方法. 3. 两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件. 【规律方法技巧】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7. 应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【考点针对训练】1. 【2016届陕西省西藏民族学院附中高三期末】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1，2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A ．52种 B ．36种 C ．20种 D ．10种【答案】D【解析】1号盒放1个，2号盒放3个，方法种数是414=C ，1号盒放2个，2号盒放2个，方法种数是624=C ，所以不同的放球方法有1064=+．2. 【2016届河南省洛阳市高三考前练习】如图所示22⨯方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有（）A ．192种B ．128种C ．96种D ．12种【答案】C【考点2】排列组合综合【备考知识梳理】1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用mn A 表示．(3)排列数公式：()()()121mn A n n n n m =---+这里,n m N ∈æ并且m n ≤(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，()()1221!n n A n n n n =--⋅⋅=(叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为()!!mnn A n m =-，这里规定0!1=.2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示．(3)组合数的计算公式：()()()()121!!!!mmnnm m n n n n m A n C A m m n m ---+===-，由于0!1=，所以01n C =.(4)组合数的性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -+=+；③11rr n n rC nC --=.3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．【规律方法技巧】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．5.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有1343C C种不同的分法；而平均分为两组则有224222C C A 种不同的分法．【考点针对训练】1. 【2016届山东省临沂十八中高三三模】某大学数学系需要安排6名大四同学到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校安排2名同学，已知甲不能到A 学校，乙和丙不能安排到同一所学校，则安排方案的种数有（）A ．24B ．36C ．48D ．72 【答案】C2. 【2016届四川省树德中学6月高考适应性测试】某班要从A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A,B,C 三人都不连任原职务的方法种数为（）（A ）30 （B ）32 （C ）36 （D ） 48 【答案】B【解析】共五人，从中选出三人担任职务，则C B A ,,三人至少选中一人，应分三种情况：（1）C B A ,,三人都入选，A 有两种选择，余下的B 和C 只有一种选择，共212=C 种.（2）C B A ,,三人只有二人入选，假如选中A ，B ，先安排A ，若A 安排的是B 原来的职务，则剩余两人随意安排；若A 安排的是C 原来的职务，则B 只有一种安排方法，因此共有18)1(221223=+A C C 种；（3）C B A ,,三人只有一人入选，则E D ,必选中，假如选中A ，先安排A ，有两种选择，剩下的两人E D ,随意安排，共有1222122213=A C C C 种；所以共有3212182=++种方法.故选B. 【应试技巧点拨】1.求排列应用题的主要方法： (1)对无限制条件的问题——直接法；(2)对有限制条件的问题，对于不同题型可采取直接法或间接法，具体如下： ①每个元素都有附加条件——列表法或树图法； ②有特殊元素或特殊位置——优先排列法； ③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法； ④有不相邻元素(间隔排列)——插空法； 2.组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间3.解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 4．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．5．要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．二年模拟1. 【2016年湖北高三八校联考】甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( )A ．110 B ．23 C ．13 D ．14 【答案】D【解析】五们同学站成一排甲乙相邻排法共有242448A A =，而在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的排法共有232312A A =，所以在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为121484P ==，故选D. 2. 【2016年江西四校高三模考】某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（） A.11112620332210C C C C C ⋅⋅- B. 111121264126332210C C C C C C C ⋅⋅+⋅- C. 11122112646126332210()C C C C C C C C ⋅⋅++⋅- D. 333221016332210C C C C C ---3. 【2016年江西南昌高三模考】甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l 门不相同的选法共有(A)30种 (B)36种 (C)60种 (D)72种【答案】A【解析】因为甲、乙两人从4门课程中各选修两门，有2424C C 种选法，其中甲乙所选的课程完全相同的选法有24C ，所以甲乙所选的课程中至少有l 门不相同的选法共有30242424=-C C C ；故选A ． 4. 【2016年江西师大附中等四校联考】某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（）A ．24种B ．18种C ．48种D ．36种【答案】A【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有12121223=C C C . 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C . 共有24种. 故A.正确.5. 【2016年厦门一中模考】有一个7人学校合作小组，从中选取4人发言，要求其中甲和乙至少有一人参加，若甲和乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A ．720种B ．600种C ．360种D ．300种【答案】B6.【2016年山西四校高三联考】中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（）A.1818A 种B.2020A 种 C.101031823A A A 种 D.181822A A 种【答案】D【解析】21国领导人中，除了中美俄三国需要指定位置外，其余18国领导人可以任意排序，虽然分前后两排，但不影响排序结果，所以有1818A 种站法，而中美俄三国领导人根据要求则有22A 种站法，因为这两个事件互不影响，所以共有181822A A 种站法，故本题正确选项为D. 7. 【2016年安徽淮南高三二模】将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A ．24种B ．28种C ．32种D ．16种【答案】D8. 【2016年江西九江高三模考】高中数学联赛期间，某宾馆随机安排E D C B A 、、、、五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则B A 、入住同一标间的概率为（）A ．101B ．51C ．103D ．52 【答案】B【解析】∵某宾馆随机安排E D C B A 、、、、五名男生入住3个标间，共有9033222325=A A C C 种情形，B A 、入住同一标间有183323=A C 种情形，∴B A 、入住同一标间的概率为519018==P ,故选B. 9. 【2016年河北石家庄高三二模】某高校安排5名大学生到4个单位实习，每名大学生去一个单位，每个单位至少安排一名大学生，则不同的安排方法的种数为_____.（用数字作答）【答案】240【解析】将5名大学生分为4组，其中有一组为2人，共有25C 种分组方法，将这4组学生任意分配到4家单位，有44A 种分配方法，所以总共有2404425=A C 种分配方法.10. 【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】一个五位自然数12345{012345}12345i a a a a a a i ∈=，，，，，，，，，，，，当且仅当123a a a >>，345a a a <<时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（）（A ）110 （B ）137 （C ）145 （D ）146【答案】D【解析】分四种情况进行讨论：（1）当30a =时，1a 和2a 有25C 种排法，4a 和5a 有25C 种排法，此时共2255100C C =个；（2）当31a =时，有224436C C =个；（3）当32a =时，有22339C C =个；（4）当33a =时，有22221C C =个．由分类加法原理得满足条件的五位自然数中“下凸数”共有1003691146+++=个．11.【2015届江西高安中学高三命题中心模拟三】将甲、乙等5名学生分配到三个不的班级，每个班级至少一人，且甲、乙在同一班级的分配方案共有（）A ．72种B ．36种C ．18种D ．12种【答案】B【解析】由题可知，有363324==A C N ，故选B.12.【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有位的数字和为偶数.则这样的三位数的个数是（）A ．540B ．480C ．360D ．200【答案】D ．。

决胜高考全国名校试题数学(理)分项汇编(新课标Ⅰ特刊)专题11 排列组合、二项式定理(第03期

一．基础题组1. 【惠州市2016届高三第三次调研考试】甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（）种。

A ．24B ．48C ．72D ．120考点：排列组合.2. 【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】若6nx x x ⎛+ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C 【解析】试题分析：6nx x x ⎛ ⎝的展开式的项为1566()21rn r r n r r r n n T C x C x x x --+==，由15602n r -=得，54n r =，又n 为正整数，所以当4r =时，n 的最小值5，故选C. 考点：二项式定理.3. 【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】设221(32)a x x dx =-⎰，则二项式261()ax x-展开式中的第4项为 .【答案】31280x - 【解析】试题分析：22322323211(32)()|(22)(11)4x x a x x dx x x ===-=-=---=⎰所以二项式261()ax x-即为二项式261(4)x x-，其展开式的通项2661231661(4)()4(1)rr r r r r r r T C x C x x---+=-=-令3r =所以363312333464(1)1280T C xx --⨯=-=- 故答案为31280x - 考点：二项式.4. 【汕尾市2016 届高三学生调研考试】二项式的展开式中的常数项为80，则a的值为 .【考点】二项式定理与性质【答案】25. 【2016届广东云浮、揭阳、清远、阳江等八市联考】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【解析】：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=4726. （2016郑州一测）二项式62()x x-的展开式中，2x 的系数是_______．【答案】60【解析】662166(2)(2)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=，解得2r =，∴2x 的系数为226(2)60C -=．7. 【湖南省东部六校2016届高三联考】如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是．【答案】21考点：二项式定理. 二．能力题组1. 【惠州市2016届高三第三次调研考试】已知02sin a xdx π=-⎰，则二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为．【解析】因为02sin 4a xdx π=-=-⎰,()()5210315544rrr rrr r T C x C x x --+-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令1031r -=，解得3r =，则展开式中x 的系数为()3354640C -=-．2. 【广东省韶关市2016届高三1月调研测试】某校开设10门课程供学生选修，其中A B C 、、三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A ．70 B. 98 C ． 108 D ．120【解析】解析：本题考查排列组合的应用．共可分为两类：选A 、B 、C 中的一门，其它7科中选两门，有123763C C =；不选A 、B 、C 中的一门，其它7科中选三门，有3735C =；所以共有98种，故选B3. 【江西省吉安一中2015-2016学年度上学期期中考试】下列各式的展开式中8x 的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（） A ．2310(1)(1)(1)(1)x x x x ++++ B ．(1)(12)(13)(110)x x x x ++++C ．2310(1)(12)(13)(110)x x x x ++++D ．223210(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++【答案】A考点：二项展开式的系数．4. 【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考】已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a 等于( )A ．－5B ．5C ．90D ．180 【答案】D 【解析】试题分析：因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．考点：二项式定理5. 【2016届广东云浮、揭阳、清远、阳江等八市联考】 5tan 2tan π=θ，则）π（）π（5sin 103cos --θθ=m ，（a+2x+3x 2）（1+x ）5的展开式中一次项的系数为﹣m ，则x 5的系数为__________．【解析】：∵（a+2x+3x 2）（1+x ）5=（a+2x+3x 2）（1+x+…+x 5），∴展开式中一次项的系数为a+2=﹣3，解得：a=﹣1， ∴x 5的系数为：﹣1×+2×+3×=39．6. 【河北省正定中学2015-2016学年高三第一学期期末考试】已知对任意实数x ，有7722106)1)((x a x a x a a x x m +⋅⋅⋅+++=++，若327531=+++a a a a ，则=m ____.【答案】0考点：二项式定理．三．拔高题组1. 【湖北省优质高中2016届高三联考试题】从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m , 下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（） A ．2311(1)(1)(1)(1)x x x x ++++B ．(1)(12)(13)(111)x x x x ++++C ．2311(1)(12)(13)(111)x x x x ++++D ．223211(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++【答案】A 【解析】试题分析：9x 是有115432......,,,,x x x x x x 中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的9x ，这与从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是2311(1)(1)(1)(1)x x x x ++++的展开式中9x 的系数，故选A.考点：二项式定理的应用2. 【湖南省2016届高三四校联考试题】现定义θθθsin cos i ei +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适用，若θθθθθ4452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（）A ．θθ5sin 5cos i +B ．θθ5sin 5cos i -C ．θθ5cos 5sin i +D ．θθ5cos 5sin i - 【答案】A.考点：1.二项式定理；2.新定义问题．。