高考数学一轮复习最基础考点系列考点4_3 任意角的三角函数1

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高考数学一轮复习必备任意角的三角函数.doc

第27课时：第四章三角函数——任意角的三角函数一．课题：{任意角的三角函数二．教学目标：1．掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示，2．掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式．三．教学重点：与α角终边相同的角的公式、弧长公式、扇形面积公式的运用．四．教学过程：（一）主要知识：1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与α角终边相同的角为2()k k Z πα+∈；2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式||l r α=、扇形面积公式12S lr =； 3．任意角的三角函数．（二）主要方法：1．本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论．（三）例题分析：例1．若,(0,)2παβ∈，且sin cos 0αβ-<，则（ C ）()A αβ< ()B αβ> ()C 2παβ+<()D 2παβ+> 例2．（1）如果α是第一象限的角，那么3α是第几象限的角？（2）如果α是第二象限的角，判断sin(cos )cos(sin )αα的符号．解：（1）∵22,2k k k Z ππαπ<<+∈， ∴22,3336k k k Z παππ<<+∈，当3()k n n Z =∈时，22,36n n n Z απππ<<+∈，3α是第一象限的角，当31()k n n Z =+∈时，2522,336n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第二象限的角，当32()k n n Z =+∈时，4322,332n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第三象限的角． ∴3α是第一，二，三象限的角．（2）α是第二象限的角，1cos 0α-<<，0sin 1α<<， sin(cos )0α<，cos(sin )0α>，∴sin(cos )0cos(sin )αα<．例3．（《高考A 计划》考点24“智能训练第6题”）已知锐角α终边上的一点P 坐标是(2sin 2,2cos 2)-，则α= （ C ）()A 2 ()B 2- ()C 22π- ()D 22π-例4．扇形AOB 的中心角为2θ，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 及与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？解：设圆1O 及与圆2O 的半径分别为12,r r ，则111212()sin ()cos()2r r r r r r r θπθ-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，得112sin 1sin (1sin )1sin r r r r θθθθ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴122(1sin )sin (1sin )1sin (1sin )r r r θθθθθ--==++， ∵022θπ<<，∴0θπ<<，令sin 1(12)t t θ=+<<，2222321312()48t t r t t -+-==--+，当134t =，即1sin 3θ=时，圆2O 的半径最大，圆2O 的面积最大，最大面积为64π．（四）巩固练习：1．设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos20θ<，则θ的取值范围是（ D ）()A 32ππθ<< ()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744ππθ<< 2．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是9(2,]3-．3．若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则α∈ （ B ）()A (,)24ππ-- ()B (,0)4π- ()C (0,)4π ()D (,)42ππ五．课后作业：。

高考数学理一轮复习 41角的概念及任意角的三角函数课件

[分析] 利用角度与弧度的关系及终边相同角的表示方法求解．
(2)∵β1＝35π＝35×180°＝108°，设 θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，由－720°≤θ＜0°， ∴－720°≤k·360°＋108°＜0°， ∴k＝－2 或 k＝－1， ∴在－720°～0°之间与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°. 同理 β2＝－420°，在－720°～0°之间与 β2 有相同终边的角是－60°.
(3)设圆的半径为 r，
的长为 l，则 l＝23πr.
∵OA＝OB，OC 与弦 AB 垂直，∴∠AOC＝π3，
∴△AOC 为等边三角形．
∵AD⊥OC，∴OD＝CD，∴r＝2CD＝2a，
∴l＝23π·2a＝4a3π，S 扇形 OACB＝12rl＝4a32π，
S△AOB＝12AB·OD＝12·2 3a·a＝ 3a2.
secθ＝xr＝－
5，cscθ＝yr＝－
5 2.
若 θ 在第四象限，可取点 P(1，－2)，
易得 θ 的各三角函数值为：sinθ＝－255，cosθ＝ 55，
tanθ＝－2，cotθ＝－21，secθ＝
5，cscθ＝－
5 2.
角的概念不清例对于下列命题： ①终边相同的角一定相等； ②小于90°的角都是锐角； ③若α是锐角，则2α一定是第二象限角； ④若α是锐角，则kπ＋α(k∈Z)是第一、三象限角．正确的是________．
然后求出α2，α3，α4等角的范围．根据此范围进行判断，此时需要进行分类讨论．
(2)方法二(图示法)：把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分、三等分、四等分，从 x 轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上 1,2,3,4；1,2,3,4；…，α 是第几象限角就找数字几，其对应的位置就是α2，α3，α4，…所在的象限.

专题4.1任意角的三角函数同角三角函数的基本关系(2021年高考数学一轮复习专题)

专题任意角的三角函数同角三角函数的基本关系一、题型全归纳题型一象限角及终边相同的角【题型要点】(1)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；①按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间； ①起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角； ①转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ①Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【易错提醒】注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ①Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．【例1】(2020·辽宁鞍山一中一模)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ①Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ①Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．【例2】(2020·东北师大附中摸底)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ①Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】当k ＝2n (n ①Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ①Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.题型二扇形的弧长、面积公式【题型要点】弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．【易错提醒】运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．【例1】已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，0<R <10，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【例2】．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为．【解析】：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r32πr ＝518题型三三角函数的定义命题角度一利用三角函数定义求值【题型要点】三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y ＝kx ，k ≠0)，求角α的三角函数值方法：先设出终边上一点P (a ，ka )，a ≠0，求出点P 到原点的距离(注意a 的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．【例1】(2020·合肥一检)函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( ) A.75 B.65 C.55D ．355【解析】因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4，2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝355.故选D. 【例2】已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则tan α＝．【解析】因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，即x ＝52.所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以tan α＝125. 【例3】(2020·山西太原三中模拟)若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝．【解析】：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.命题角度二判断三角函数值的符号【题型要点】三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．【例3】若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限、【解析】由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【例4】(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)题型四同角三角函数的基本关系式命题角度一公式的直接应用【题型要点】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝⎛⎭⎫其中x ≠k π＋π2，k ①Z . 2.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．【例1】(2020·北京西城区模拟)已知α①(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43D ．－43【解析】因为cos α＝－35且α①(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.【例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．【解析】由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，且sin α>0，cos α<0，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.命题角度二 sin α，cos α的齐次式问题【题型要点】关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的值．【例3】已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解析】由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 命题角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系【题型要点】sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)． (2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．【例4】已知α①(－π，0)，sin α＋cos α＝15.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值．【解析】(1)由sin α＋cos α＝15，平方得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.由α①(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－75.(2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.【例5】．(2020·长春模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D ．34【答案】B.【解析】：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32.故选B.题型五诱导公式的应用【题型要点】1.三角函数的诱导公式①化负为正，化大为小，化到锐角为止；①角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．3.常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；①常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【例1】．若角A ，B ，C 是①ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C 2＝sin B 2 D ．sin B ＋C 2＝－cos A2【答案】C.【解析】：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2-2B π＝sin B 2，sin B ＋C 2＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛2-2A π＝cos A 2.【例2】已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝a ，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32的值是．【解析】：因为cos ⎪⎭⎫⎝⎛+θπ65＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-6＝－a . sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+θππ-62＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛θπ-6＝a ，所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛θπ-32＝0. 二、高效训练突破一、选择题1.(2019·洛阳一中月考)计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( ) A ．－1B ．1C ．0D ．12－32【解析】：原式＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-2ππ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-3ππ＝－sin π6＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3ππ＝－12－cos π3＝－12－12＝－1. 2．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ①4π3是第三象限角； ①－400°是第四象限角； ①－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】：.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，①正确．－400°＝－360°－40°，从而①正确．－315°＝－360°＋45°，从而①正确．3．(2020·镇江期中)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎪⎭⎫⎝⎛απ-2的值为( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22【解析】：因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，cos α＝±223，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2＝cos αsin α＝±2 2.故选D.4．(2019·武汉调研)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6D ．π3【解析】：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3，因为|θ|＜π2，所以θ＝π3.5.(2020·江西南昌一模)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】：由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.6．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π4 B.π2 C.22D ．2【解析】：设圆的直径为2r ，则圆内接正方形的边长为2r ，因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，所以圆弧的长度为2r ，所以圆心弧度为2rr＝ 2. 7.(2020·海淀期末)已知f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ，则⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝( ) A.12 B.22 C.32D ．－12【解析】：.f (α)＝()）（απαπαπαπ+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-tan 2cos 2cos 2sin ＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝cos π3＝12.8．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12D ．2【解析】：因为sin α＋cos α＝2，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝12.所以tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2.故选D.9.(2020·马鞍山质量检测)若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α 【解析】：如图所示作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4＜α＜－π2，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.10.(2019·大同模拟)1．已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75B.257C.725 D ．2425【解析】：因为－π2＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 二、填空题1.(2020·楚雄龙江中学期中)与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是．【解析】：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.2.(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝．【解析】：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 3.设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝．【解析】：因为α为第三象限角，tan α＝512，所以cos α＝－1213，所以cos(π－α)＝－cos α＝1213. 4．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝．【解析】：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α. 5.(2020·惠州调研)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ππ，则角α的最小正值为．【解析】：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ①Z )，所以α的最小正值为11π6. 6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1①4，则这两个扇形的周长之比为．【解析】：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ①R ＝1①2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr 2R ＋αR＝1①2. 7．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝，cos α＝．【解析】：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-2-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ27-＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225. 因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45. 8.(2020·福州调研)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝．【解析】：因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1， 5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95. 三解答题1.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解析】：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，此时sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，此时sin θ＋cos θ＝－ 2. 2.已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）. (1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【答案】（1）－cos α；（2）265 【解析】：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α. (2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.。

高考一轮复习专题三角函数(全)

高考一轮复习专题——三角函数第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， |α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cosα＝x r 、tan α＝yx 分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )．A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。

高三数学一轮复习知识点专题4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数

高三数学一轮复习知识点专题专题专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考情分析】1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 【重点知识梳理】知识点一角的概念 1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．知识点二弧度制及应用 1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式知识点三任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线【典型题分析】高频考点一象限角的判断【例1】（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（） A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D 【解析】当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；【变式探究】（2020·黑龙江省宁安市一中模拟）设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅【答案】B【解析】由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B 。

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理

(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是答案解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个
负数，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝

π

.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.

高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数新人教B版

解析当 k＝2m＋1 (m∈Z)时，α＝2m·180°＋ 225°＝m·360°＋225°，故 α 为第三象限角；当 k ＝2m (m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故 α 为第一象限角．
5．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( C ) A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4
α＝
____3 ____.
解析 ∵α＝－23π＋2kπ，k∈Z且4π<α<6π， ∴取k＝3，即α＝－23π＋6π＝136π.
3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α
的终边在第___二_____象限．
解析 tan α<0且cos α<0，所以α在第二象限．
4．若 α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则 α 在( A ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角
(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数．也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tan α＝xy有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y) 的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.
思维启迪 (1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 α 有相同终边的角，然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整数 k，代入求出所求解； (2)可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论．解 (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－736650≤k≤－34650，从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675°或 β＝－315°.

2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数课件

[引申](1)本例4中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？ [答案] α2的终边在第二或第四象限． (2)在本例 4 中，条件不变，α3的终边所在的位置是_在__第__一__、__二__或__四__象__ _限____. (3)在本例4中，条件不变，则π－α是第___一___象限角，2α终边的位置是____第__三__或__第__四__象__限__或__y_轴__负__半__轴__上___.
设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(rad)，半径为 r，则 l＝_____|α_|r____，扇形的面积为 S＝12lr＝________12_|α_|_·r_2______.
知识点三任意角的三角函数 1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝___y___，cos α＝___x___，tan α＝______yx(_x_≠__0_)___.
扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ α＝π3，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解析] (1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝103π(cm)．
2．三角函数的符号
三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀：_一__全__正___、_二__正__弦___、 __三__正__切__、_四__余__弦___.
1．象限角
归纳拓展
2．轴线角
3．终边相同的角与对称性拓展 (1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 4．若角 α∈0，π2，则 sin α<α<tan α.

高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理

r＝4， (舍)，θ＝12，
故扇形圆心角为12.
答案：12
[探究 1] 若去掉本例条件“面积为 4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
解：设圆心角是 θ，半径是 r，则 2r＋rθ＝10. S＝12θ·r2＝12r(10－2r)＝r(5－r) ＝－r－522＋245≤245，当且仅当 r＝52时，Smax＝245，θ＝2. 所以当 r＝52，θ＝2 时，扇形面积最大．
π
180
①180°＝ π rad；②1°＝
180 rad；③1 rad＝

π
°

.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(rad)，半径为 r，则 l＝ |α|r，
1
扇形的面积为 S＝ 2lr
° ＝ 12|α|·r2 .
3．任意角的三角函数
(1)定义：设那么 sin α＝
[听前试做] (1)sin α＝ 42＋－3－32＝－35. (2)设 α 终边上任一点为 P(－4a,3a)，当 a＞0 时，r＝5a，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当 a＜0 时，r＝－5a，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. 答案：(1)－35
答案：(1)
(2)三
[探究 1] 在本例(2)的条件下，α2是第几象限角？解：由例题条件可知，α 为第三象限角，所以α2为第二或第四象限角．
[探究 2] 若将本例(2)的条件换为“α 是第三象限角，且 sinα2＝－sinα2”，则α2是第几象限角？
解：由 α 是第三象限角，知 2kπ＋π<α<2kπ＋32π(k∈Z)，kπ ＋π2<α2<kπ＋34π(k∈Z)，知α2是第二或第四象限角．再由sin α2＝－sinα2，知 sinα2<0.所以α2只能是第四象限角．

高考数学一轮复习知识点与练习任意角的三角函数

1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛π180°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号 sin α R ＋＋－－ cos α R＋－－＋ tan α{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( )(3)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( ) (4)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝ .2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是．①2k π＋45°(k ∈Z ); ②k ·360°＋94π(k ∈Z )；③k ·360°－315°(k ∈Z );④k π＋5π4(k ∈Z )．3．(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是． 4．已知θ角的终边与480°角的终边关于x 轴对称，点P (x ，y )在θ角的终边上(不是原点)，则xyx 2＋y 2＝ .5．函数y ＝2cos x －1的定义域为．题型一角及其表示例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为．(2)若角α在第三象限，则角α2在第象限．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么下列关系正确的是．①M ＝N ；②M ⊆N ；③N ⊆M ；④M ∩N ＝∅.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是．题型二弧度制的应用例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是．(2)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为 cm 和圆心角为弧度时，扇形面积最大．题型三三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为．命题点2 三角函数值的符号例4 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是第象限角． (2)设θ是第三象限角，且2cos＝－cos θ2，则θ2是第象限角．命题点3 三角函数线例5 满足cos α≤－12的角α的集合为．思维升华 (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r .(2)根据三角函数定义中x 、y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在．①x 轴上； ②y 轴上；③直线y ＝x 上； ④直线y ＝－x 上．(2)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是．6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为．(2)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为．温馨提醒 (1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置．[方法与技巧]1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能取终边与单位圆的交点，则OP ＝r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． [失误与防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．给出下列四个命题：( )①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有个．2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为． 3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝ .4．若角α的终边在直线y ＝－34x 上，则2sin α＋cos α＝ .5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是．6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于．7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为．8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝ .9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON为终边的角记为α，则tan α＝ . 12．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)，其中符号为负的是． 13．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM . 其中正确的是．14．已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．。

2023年高考数学(文科)一轮复习——任意角和弧度制及任意角的三角函数

第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了________弧度. 答案－2π33.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°＜0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°＜－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1， ∴β＝－675°或β＝－315°.4.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y ＝________. 答案－3解析因为sin θ＝－31010<0，A (－1，y )是角θ终边上一点，所以y <0，由三角函数的定义，得yy 2＋1＝－31010. 解得y ＝－3.5.(2022·安徽五校联考)已知角θ的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边上有一点P (4sin θ，cos θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan θ＝________.答案 12解析由题意知tan θ＝cos θ4sin θ＝14tan θ，故tan θ＝±12，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴tan θ＝12. 6.(2022·开封模拟)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.如图1，在半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD ，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面(如图2).当扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积的比值为5－12时，扇面形状较为美观，则此时扇形OCD 的半径与半圆O 的半径的比值为________.答案5－12解析设∠AOB ＝θ，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为r 1，依题意，有12θr 2－12θr 2112θr 2＝5－12，即r 2－r 21r 2＝5－12，所以r 21r 2＝3－52＝6－254＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122，所以r 1r ＝5－12., 考点一角的概念及其表示1.(2021·合肥期末)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角α所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k 为偶数时，集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤π2表示的角终边相同，位于第一象限；当k 为奇数时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 与⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪5π4≤α≤3π2表示的角终边相同，位于第三象限. 2.若角α是第二象限角，则α2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角答案 C解析因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.所以α2是第一或第三象限角.3.终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z解析 ∵在(0，2π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，4π3，与π3，4π3终边相同的角分别为2k π＋π3，2k π＋4π3＝(2k ＋1)π＋π3，k ∈Z ，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z .感悟提升 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二弧度制及其应用例1 (经典母题)一扇形的圆心角α＝π3，半径R ＝10 cm ，求该扇形的面积. 解由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12×π3×102＝50π3(cm 2).迁移1 (变所求)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3×10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).迁移2 (变条件)若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0＜R ＜10).所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad. 感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 训练1 (1)(2021·长沙质检)已知弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所在的圆的半径为( ) A.1B.2C.πD.2π(2)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇形的面积为________.答案(1)D(2)10π95π9解析(1)∵弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，∴4πr＝2，解得r＝2π，∴这条弧所在的圆的半径为2π.(2)单位圆半径r＝1，200°的弧度数是200×π180＝10π9.∴l＝10π9，S扇形＝12lr＝12×10π9×1＝5π9.考点三三角函数的定义及应用例2 (1)(2021·成都诊断)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为66，则()A.sin α＝66 B.cos 2α＝－23C.sin 2α＝－53 D.tan 2α＝－52(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在(3)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________.答案(1)B(2)A(3)－64153或－153解析(1)由三角函数的定义，可得cos α＝66，则sin α＝±306，cos 2α＝2cos2α－1＝－23，sin 2α＝2sin αcos α＝±53，tan 2α＝±52，所以选B.(2)∵1弧度约等于57°，2弧度约等于114°，∴sin 2＞0. ∵3弧度小于π弧度，在第二象限，∴cos 3＜0.∵4弧度小于3π2弧度，大于π弧度，在第三象限，∴tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4 ＜0.(3)设P(x，y)，由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r ＝3＋m 2，所以sin α＝m r ＝2m 4＝m22，所以r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝±5，当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 感悟提升 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练2 (1)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45(3)函数y ＝2cos x －1的定义域为________________. 答案 (1)B (2)B (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 (1)由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限.(2)设P (t ，2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. (3)∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3 (k ∈Z ).1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z ) 答案 C解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 C解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，③正确.－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，④正确.3.(2022·西安调研)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A.－15 B.3715 C.3720 D.1315答案 D解析因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－45，cos α＝35，所以sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 C解析设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z答案 D解析由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，n ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，n ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，n ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，n ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z .6.已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33B.±33C.－32D.±32 答案 C解析由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32. 当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.综上sin α·tan α＝－32.7.(2021·哈尔滨质检)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、三象限或x 轴上 D.第二、四象限或x 轴上答案 D解析 ∵|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0， ∵|tan θ|＝－tan θ，∵tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x 轴正半轴上， ∴角θ2的终边在第二、四象限或x 轴上.故选D.8.(2022·吕梁模拟)刘徽(约公元225年～295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计sin 4°的值为( )A.0.052 4B.0.062 8C.0.078 5D.0.069 8答案 D解析将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4°，因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以90×12×1×1×sin 4°＝45sin 4°≈π，所以sin 4°≈π45≈0.069 8.9.－2 022°角是第________象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________. 答案二 138° －222°解析 ∵－2 022°＝－6×360°＋138°， ∴－2 022°角的终边与138°角的终边相同. ∴－2 022°角是第二象限角.与－2 022°角终边相同的最小正角是138°.又138°－360°＝－222°，故与－2 022°角终边相同的最大负角是－222°. 10.若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形圆心角的弧度数为________. 答案 3π4解析设扇形的圆心角为α， ∵扇形的面积为3π8，半径为1， ∴3π8＝12α·12， ∴α＝3π4.11.若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是________.答案 sin α<cos α<tan α解析如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________. 答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝答案 B解析由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . 14.(2022·郑州调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( ) A.(－2，1) B.(－1，2) C.(－3，1) D.(－1，3) 答案 D解析设以射线OP 为终边的角为α，以射线OQ 为终边的角为β，且β＝α＋π2，由题意可得sin α＝12，cos α＝32，结合三角函数的定义与诱导公式可得x Q ＝2cos β＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－1，y Q ＝2sin β＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝3，即点Q 的坐标为(－1，3).15.函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z )解析要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12.如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z ).16.(2021·聊城模拟)如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区边界轮廓是半径为200米，圆心角为2π3的扇形AOB .O 为南门位置，C 为东门位置，小区里有一条平行于AO 的小路CD ，若OD ＝20063米，则圆弧AC 的长为________米.答案 50π解析连接OC ，因为CD ∥OA ，所以∠DCO ＝∠COA ， ∠CDO ＝π－∠DOA ＝π－2π3＝π3.在△OCD 中，由正弦定理可得OD sin ∠DCO ＝OC sin ∠CDO ，即20063sin ∠DCO＝20032，则sin ∠DCO ＝22，因为∠DCO ＝∠COA ，且0＜∠COA ＜2π3，所以∠DCO ＝∠COA ＝π4，所以l AC ︵＝π4·200＝50π(米).。

高三理数一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

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(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
��
2��π
+
π 3
≤
��
≤ 2��π +
2π 3
,��∈Z
考点1
考点2
考点3
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(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
�� 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
�� 2
<2nπ+34π
,
�� 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ��<2nπ+7π , ��是第四象限角.
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知识梳理双基自测
12345
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
关闭
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角

2023年高考数学一轮考点复习第四章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

练案[22] 第四章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数A 组基础巩固一、单选题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①中－3π4是第三象限角，故①错．②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，④正确．2．(2022·吉林长春模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点，从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一心归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经( B )A ．60度B ．75度C．270度D．285度[解析]春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经15×5＝75度．故选B.3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( B )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC的形状是( B )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定[解析]∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.5．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( B )A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0[解析]α是第三象限角，sin α<0，cos α<0，tan α>0，可得A、C、D成立，故选B.6．(2022·辽宁大连二十四中高一期中)已知边长为63的等边△ABC的外接圆圆心为O，则∠AOC所对的劣弧长为( D )A．π B．2πC．3π D．4π[解析] 因为边长为63的等边△ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边△ABC 的中心，故∠AOC ＝2π3，且OA ＝OC ＝633＝6，故∠AOC 所对的劣弧长为6×2π3＝4π，故选D.7．(2022·衡水模拟)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12[解析] 点P 运动的弧长所对圆心角的弧度数为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.8．(2022·深圳模拟)已知角α的始边为x 轴正半轴，终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则实数m 的值为( A )A.12 B ．－12 C ．±12D ．±32[解析] 角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，即P (－8m ，－3)．又cos α＝－45<0，∴角α的终边在第三象限，则m >0.∵|OP |＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，解得m ＝12(负值舍去)．二、多选题9．下列各式中结果为正值的是( ACD ) A ．sin 1 125° B ．tan 3712π·sin 3712π C.sin 5tan 5D ．sin|－1|[解析] 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于A ，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin 1 125°>0；对于B ，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0，sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于C ，因为5弧度的角在第四象限，所以sin 5<0，tan 5<0，故sin 5tan 5>0；对于D ，因为π4<1<π2，所以sin|－1|>0.10．(2023·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线x ＋y ＝0上，则角α的取值集合是( AD )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π4，或α＝2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋3π4，k ∈ZC.⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π4，k ∈Z[解析] 因为直线x ＋y ＝0的倾斜角是3π4，所以终边落在直线x ＋y ＝0上的角的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧ α⎪⎪⎪ α＝2k π－π4或α＝2k π＋⎭⎬⎫3π4，k ∈Z 或⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π4，k ∈Z .故选A 、D.11.(2023·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( ABD )A ．经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3 B ．经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12 C ．经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D ．经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇[解析] 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确．三、填空题12．－2 020°角是第_二__象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是_140°__，最大负角是_－220°__.[解析] 因为－2 020°＝－6×360°＋140°，所以－2 020°角的终边与140°角的终边相同．所以－2 020°角是第二象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是140°.又140°－360°＝－220°，故与－2 020°终边相同的最大负角是－220°.13．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于 π3 . [解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2.14．(2022·江苏宿迁高一期中)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若∠ACB ＝2π3，南北距离AB 的长大约60 3 m ，则该月牙泉的面积约为_2_028__m 2(精确到整数位)(参考数据：π≈3.14，3≈1.73)[解析] 设△ABC 的外接圆的半径为r ，则2r ＝AB sin 2π3＝60332＝120，得r ＝60，因为月牙内弧所对的圆心角为2π－2×2π3＝2π3，所以内弧的弧长l ＝60×2π3＝40π，所以弓形ABC 的面积为S 1＝12×40π×60－12×60×60×sin 2π3＝1 200π－9003，以AB 为直径的半圆的面积为12π×(303)2＝1 350π，所以该月牙泉的面积为 1 350π－(1 200π－9003)＝150π＋9003≈2 028.15．函数y ＝2sin x －1的定义域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) .[解析] ∵2sin x －1≥0， ∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．B 组能力提升1．(多选题)下列结论中正确的是( BCD )A ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45B ．若α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角C ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度D ．若0<α<π2，则sin α<tan α[解析] 当k ＝－1时，P (－3，－4)，则sin α＝－45，故A 错误； ∵2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π<α2<k π＋π4，k ∈Z ，∴α2为第一或第三象限角，故B 正确； |α|＝l r ＝6－42＝1，故C 正确；∵0<α<π2，∴sin α<tan α⇔sin α<sin αcos α⇔cos α<1，故D 正确． 2．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( B )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅[解析] 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .3．(多选题)(2023·唐山模拟)函数f (x )＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值可能为( BC )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[解析] 由sin x ≠0，cos x ≠0，知x 终边不在坐标轴上，若x 为第一象限角，f (x )＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x ＝3.若x 为第二象限角，f (x )＝sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan x－tan x ＝－1.若x 为第三象限角，f (x )＝sin x －sin x ＋cos x －cos x＋tan xtan x ＝－1. 若x 为第四象限角，f (x )＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x－tan x＝－1. 故选B 、C.4．(2023·江西吉安期末)达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷．某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，B 处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C ，测得AB ＝12.6 cm ，∠ACB ＝2π3，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)( C )。

高考数学一轮总复习第四章三角函数1三角函数的基本概念课件理

(5)－300°角与 60°角的终边相同． (6)若 A＝{α|α＝2kπ ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ ，k∈Z}，则 A＝B.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．(课本习题改编)与 2 019°终边相同的角是( A．39° C．－39°
答案 D
)
B．141° D．－141°
答案 D
)
B．9π 10 D. 9 π
5．(2018· 衡水中学月考)已知角 α 的终边过点(－1， 3)，则 tanα ＝________．
答案－ 3
6．(2017· 北京，文)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 1 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称．若 sinα ＝3，则 sin β ＝________．
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角的概念 (1)象限角：角 α 的终边落在第几象限就称 α 为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限． (2)终边相同的角：两角的终边重合． (3)与 α 终边相同的角的集合为{β|β＝k· 360°＋α，k∈Z}．
(4)各象限角的集合为Ⅰ象限：{α|k·360°<α <k·360°＋90 °，k∈Z}，Ⅱ象限：{α|k·360°＋90°<α <k·360°＋180°，k ∈Z}， Ⅲ象限： {α|k·360°＋180°<α <k· 360°＋270°， k∈Z}， Ⅳ象限：{α|k·360°－90°<α <k·360°，k∈Z}．
【解析】本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角的表示方法． 35π π 350 (1)α1＝－350°＝－180π＝－ 18 ＝－2π＋18， 860 43 7 α2＝860°＝180π＝ 9 π＝4π＋9π. ∴α1 在第一象限，α2 在第二象限． 3 3 (2)∵5π＝5×180°＝108°，设 θ＝k· 360°＋β1(k∈Z)，由－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°.