2020—2021学年上学期期中学情调研高一数学试题及答案 (2)
2020-2021学年高一上学期数学期中考试卷 (含答案)
高一数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，第一卷为1-8题，共40分，第二卷为9-20题，共110分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
本卷须知：答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
第一卷〔本卷共40分〕一．选择题：〔本大题共8题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．假设{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，那么A B ⋂=( )A.{}1,2B.{}0,1C.{}0,3D.{}32．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 〔 〕A 、41B 、1-C 、4D 、4-3．设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，那么〔 〕A 、a b c << B.c b a << C 、c a b << D.b a c <<4．假设0<a ，那么函数1)1(--=xa y 的图象必过点 〔 〕A 、〔0，1〕 B.〔0，0〕 C.()0,1- D.()1,1- 5．假设()()12f x f x +=，那么()f x 等于〔 〕A 、 2x B. 2xC. 2x +D.2log x6．y ＝f (x)是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是〔 〕A. 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩B. 302x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎭⎩C. 350,022x x x ⎧⎫-<<≤<⎨⎬⎭⎩或 D. 35,022x x x ⎧⎫<-≤<⎨⎬⎭⎩或 7. 某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，那么消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110(元).假设顾客购买一件标价为1000元的商品，那么所能得到的优惠额为〔 〕A 、130元 B.330元 C.360元 D.800元8.设方程 xx lg 2=-的两个根为21,x x ，那么〔 〕A. 021<x x B .121=x x C .121>x x D. 1021<<x x 第二卷〔本卷共计110分〕【二】填空题：〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕9．函数y =10．函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，那么[(2)]f f -的值为 ． 11.假设函数()()()3122+-+-=x k x k x f 是偶函数，那么f(x)的递减区间是 。
2020—2021学年上学期期中学情调研高一数学参考答案
高邮市2021—2021学年上学期期中学情调研高一数学参考答案一、单项选择题：二、多项选择题：三、填空题：13.2,21x R x x ∃∈<-.14.()2,0(2,)-+∞15.90 四、解答题：17.(1)原式=23314()=4+6+4=182-++14;-----------------------------------------------5分 (2)由1122x x -+=平方得1+25x x -+=，所以13x x -+=所以2222+29=7x x x x --+=+，那么1222()2=5x x x x ---=-+所以1=x x -----------------------------------------------------------------------10分 〔第2问少一解扣2分〕18.解：〔1〕{}1,42a B x x =-=-≤≤， 又{}34A x x x =≤-≥或， 所以{}43,A B x x =-≤≤-{}24.A B x x x =≤≥或----------------------------------------------------------6分(2) 因为A B B =，所以B A ⊆.当B =∅时，43a a >+得1a >；当B ≠∅时，应满足434433a a a a ≤+⎧⎨≥+≤-⎩或， 解得1 6.a a =≤-或综上：a 的取值范围为{}16.a a a ≥≤-或----------------------------------------------------------12分19. 解：〔1〕假设p 为真，那么不等式220x x a +-≥对x R ∀∈恒成立，所以440a ∆=+≤，1a ≤-，所以实数a 的取值范围为(],1-∞-.----------------6分 〔2〕1:1,:12q x r a x a ≤≤≤≤+ 因为q 是r 的充分不必要条件，所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩且上述等号不同时取，所以102a ≤≤，所以实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.--------------------------------------12分20. 解：〔1〕由题意得：(0)01182()12514f b a f ==⎧⎪⎪⎨==⎪+⎪⎩， 解得40a b =⎧⎨=⎩，24()1x f x x =+，此时24()()1x f x f x x --=+=-，满足题意， 所以24().1x f x x =+---------------------------------------------------------------3分 〔2〕任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <因为1211x x -<<<，所以222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ->-<++>所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(1,1)-(3) 因为(31)()0f t f t -+<，所以(31)()f t f t -<-，因为()f x 是(1,1)-上的奇函数，所以(31)()f t f t -<-，由〔2〕知()f x 是(1,1)-上的增函数，所以1311t t -<-<-<，104t <<， 所以，不等式的解集为：1(0,).4---------------------------------------------------------12分 21.解：〔1〕当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 〔2〕假设040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元 . 假设40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=时，即100x =时，()max 8000W x =万元 . 答：2021年产量为100〔千部〕时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.22.解：〔1〕[]0,2----------------------------------------------------------------------------------2分 〔2〕设[],m n 是函数定义域的子集．0x ≠，[](),,0m n ∴⊆-∞或[],(0,)m n ⊆+∞， 故函数5()4g x x=-在[],m n 上单调递增． 假设[],m n 是函数的“和谐区间〞，那么()()g m m g n n =⎧⎨=⎩， 故m 、n 是方程54x x-=的同号的相异实数根． 2450x x -+=无实数根， 所以函数5()4f x x=-不存在“和谐区间〞．-------------------------------------------------5分 〔3〕设[],m n 是函数定义域的子集．0x ≠，[](),,0m n ∴⊆-∞或[],(0,)m n ⊆+∞， 故函数222()414()a a x a h x a x a a x+-+==-在[],m n 上单调递增． 假设[],m n 是函数的“和谐区间〞，那么()()h m m h n n =⎧⎨=⎩，故m 、n 是方程214a x a a x +-=， 即222()40a x a a x -++=的同号的相异实数根． 240mn a =>， m ∴，n 同号，只须2222()16(3)(5)0a a a a a a ∆=+-=-+>，即5a <-或3a >，函数有“和谐区间〞[],m n ，n m -==所以，当15a =时，n m -------------------------------------------------------12分。
2020-2021高一数学上期中试卷(带答案)
lg 25 lg 32
1 ，则 2x 5z ，故选
D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的
x, y, z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其
是换底公式以及 0 与 1 的对数表示.
7．C
解析：C 【解析】 x⩽1 时,f(x)=−(x−1)2+1⩽1，
，则
a,
b,
c
的大小关系是
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． b c a
12．函数 f (x) x( x 1) 在[m, n] 上的最小值为 1 ，最大值为 2，则 n m 的最大值为 4
（）
A． 5 2
B． 5 2 22
C． 3 2
D．2
二、填空题
13．幂函数 y=xα,当 α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设 点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图像三等分,即有 BM=MN=NA,那么,αβ 等于_____.
25．某厂生产某产品的年固定成本为 250 万元，每生产 千件，需另投入成本 （万
元），若年产量不足 千件， 的图象是如图的抛物线，此时
的解集为
，且 的最小值是 ，若年产量不小于 千件，
，每千件商品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的商
品能全部售完.
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
f3 (x) x ， f4 (x) log2 (x 1) ，有以下结论：
2020~2021学年度上学期高一数学期中试卷及详细解析
2020~2021学年度上学期高一数学期中试卷及详细解析 （考查范围：集合与函数，指数函数、对数函数）满分150分，考试时间120分钟一、选择题1．已知集合}1,0,1{-=M ,}{2,1,0=N ，则=⋂N M （ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,12．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．()221m m -=--C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．与函数2)(x x f =表示同一函数是（ ）A ．()2x g x x=B ．()2g x =C ．()g x x =D ．()g x x =4．若代数式51-x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0=x B ．5=x C ．0≠x D ．5≠x 5．当[2,1]x ∈-时,函数2()22f x x x =+-的值域是（ ） A ．[1,2]B ．[2,1]-C ．[3,1]-D ．[)3,-+∞6．已知函数⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(2x x x x x f ，则=-))2((f f （ ） A ．4B ．3C ．2D ．17．下列函数是偶函数且在区间()0，∞-上为减函数的是（ ） A ．x y 2=B ．xy 1=C ．x y =D ．2x y -=8．已知函数：①xy 2=：②x y 2log =：③1-=x y ：④21x y =；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①② 9．下列各式中错误．．的是（ ） A ．330.80.7> B ．lg1.6lg1.4> C ．0.50.5log 0.4log 0.6> D ．0.10.10.750.75-< 10．已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)211．已知函数()248f x x kx =--在区间[5,20]上单调递增，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}40B ．[40,160]C ．(,40]-∞D ．[160,)+∞12．已知1122x x --=1x x +的值为（ ）A ．7B．C．±D ．27二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上. 13．若幂函数()a f x x 经过点(3,9)，则α=________.14．函数()log 212a y x =-+的图象恒过定点P ，则点P 坐标为______ 15．不等式1213()3x x -+>的解集是____________ 16．函数28212x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为_________三、解答题.17．（本题满分10分）计算： （1）224log 5log 5+ （231log 43321ln 83log 4e+--18．（本题满分12分）已知集合{3A x x =≤-或}4x ≥，{}43B x a x a =≤≤+. （1）若1a =-，求AB ，A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数211)1(++=+x x f . （1）求函数()f x 的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明)(x f 在()∞+，0上单调递减.20．（本题满分12分）分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+=0,4101,1)(2x x x x x x f 的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.（1）作出()f x 的图象；（2）若方程t x f =)(有两个不同的解，求t 的取值范围.21．（本题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为x 台，当月产量不超过400台时，总收益为214002x x -元，当月产量超过400台时，总收益为80000元.（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润表示为月产量x 的函数()f x ；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？22．（本题满分12分）已知函数对任意的实数b a ,，都有)()()(b f a f ab f +=成立． （1）求)1(),0(f f 的值；（2）求证：)0(0)()1(≠=+x x f xf .参考答案一、选择题1.【答案】D2.【答案】C 【解析】A 、523m m m =⋅，故A 错误； B 、()221m m =--，故B 错误； C 、按照合并同类项的运算法则，该运算正确． D 、2222)(n mn m n m ++=+，故D 错误．3.【答案】D 【解析】()||g x x =的定义域是R ，()||f x x ==的定义域是R ，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数4.【答案】D 【解析】分数要求分母不为零,5,05≠≠-x x5.【答案】C 【解析】22()22(1)3f x x x x =+-=+-,对称轴为：1x =-，当[2,1]x ∈-时, min ()(1)3,f x f =-=-min ()(1)1,f x f ==所以当[2,1]x ∈-时, 函数2()22f x x x =+-的值域是[3,1]-6.【答案】A 【解析】由题意，函数2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，可得(2)2f -=，所以()2[(2)]224f f f -===7.【答案】C 【解析】x y =是偶函数，且在()0，∞-上单调递减，故符合题意8.【答案】D 【解析】图一与幂函数图像相对应，所以应为④；图二与反比例函数相对应，所以应为③；图三与指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为②．所以对应顺序为④③①②9.【答案】D 【解析】函数3y x =为增函数，所以330.80.7>，故选项A 正确； 函数lg y x =为增函数，所以lg1.6lg1.4>，故选项B 正确；函数0.5log y x =为减函数，所以0.50.5log 0.4log 0.6>，故选项C 正确； 函数0.75xy =为减函数，所以0.10.10.750.75->，故选项D 错误.10.【答案】 B 【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<11．【答案】C 【解析】函数图象的对称轴方程为24kx -=-⨯，且开口向上，又函数()f x 在区间[5,20]上单调递增，所以524k--≤⨯，所以40k ≤ 12.【答案】A 【解析】对1122x x--=211225x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭∴-=，则125x x -+=，即17x x+= 二、填空题13.【答案】2【解析】幂函数()a f x x 经过点(3,9)，则39α=，解得2α=.14.【答案】）2,1(【解析】函数2)12(log +-=x y a ，令112=-x ，求得2,1==y x ，可得函数2)12(log +-=x y a 的图象恒过定点）2,1(P15.【答案】),21(+∞-【解析】不等式21133x x +-⎛⎫> ⎪⎝⎭，可变形为：1233x x --->.由于3x y =为增函数，所以12x x ->--，解得12x >-.故答案为：),21(+∞-. 16. 【答案】[)1,-+∞【解析】函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，函数228y x x =--+的对称轴是1x =-，且在(],1-∞-上递增，在[)1,-+∞上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数28212x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为[)1,-+∞三、解答题17.【答案】（1）2； （2）π． 【解析】（1）224log 5log 5+24log (5)5=⨯2log 4=22log 2==2；-----4分 （231log 43321ln 83log 4e +-- 1323233ln 24log 2e π⨯-=-++--33242π=-++-+---------9分，对一个给1分π=．-------- 10分18.【答案】（1）见解析（2）(][),61,-∞-+∞【解析】（1）若1a =-，则{}{}43|42B x a x a x x =≤≤+=-≤≤，……1分 所以{}|43AB x x =-≤≤-，{|2A B x x ⋃=≤或}4x ≥……5分（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集，当B =∅时，即43a a >+，解得1a >；……7分当B ≠∅时，即43a a ≤+，解得1a ≤，又{3A x x =≤-或}4x ≥，由B A ⊆，则33a +≤-或44a ≥，解得6a ≤-或1≥a .……11分综上所述：实数a 的取值范围为(][),61,-∞-+∞.……12分19.【解析】（1）21)(,211)1(+=∴++=+xx f x x f ……4分 （2）设210x x <<，则211221212111)21()21()()(x x xx x x x x x f x f -=-=+-+=-……8分 0,0,0211221>>-∴<<x x x x x x ……10分）上单调递减，在（即∞+⇒>>-∴0)()()(,0)()(2121x f x f x f x f x f ……12分20.【解析】（1）如图所示： (6)分（2）方程t x f =)(有两个不同的解，等价于函数)(x f y =与函数t y =的图象有两个交点，由图知11≤<-t . ……12分21.【解析】（1）由题意得总成本为（20000+100x ）元，所以利润2130020000,0400,()260000100,400,x x x x Nf x x x x N⎧--≤≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩.…………6分 （2）当0400x ≤≤时，2211300200003002500022()()f x x x x =--=--+， 所以当300x =时，()f x 的最大值为25000； 当400x >时，()60000100f x x =-是减函数， 所以max ()600001004002000025000f x <-⨯=<综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.…………12分 22.【解析】(1)令0,0==b a ，则0)0()0()0()00(=⇒+=⨯f f f f令1,1==b a ，则0)1()1()1()11(=⇒+=⨯f f f f . ……6分 (2)证明：)1()()1()1(x f x f x x f f +=⋅=，又0)1(=f ，∴0)1()(=+xf x f .……12分。
江苏省徐州市铜山区2020-2021学年高一上学期期中学情调研考试数学试题 参考答案(定稿)
高一数学答案
一、单项选择题
1.C2.A3.C4.D5.A6.B7.A8.B
二、多项选择题
9.BCD10.BC11.AD12.BD
三、填空题
13．
14．
15．2a+b
16． ，
四、解答题
17解(1)若 ，则
∴ ………………3分
又
∴ ………………6分
①当 真 假时， 解得 ………………8分
②当 假 真时， 解得 ………………10分
综上，实数 的取值范围 ………………1…………4分
选择条件①： ∴ ，即
选择条件②： ，即
选择条件③：
∴ ……………6分
(2)由题意 ，其对称轴为
①当 即 时， ，解得 (舍)………9分
①当 即 时，不等式解为 或 ………………8分
②当 即 时，不等式解为 ………………9分
③当 即 时，不等式解为 或 ………………10分
若 ，则不等式可化为 解得 ………………11分
综上，当 时，不等式解集为
当 时，不等式解集为
当 时，不等式解集为
当 时，不等式解集为
当 时，不等式解集为 ………………12分
②当 即 时，
解得 或 (舍)
∴ ………………12分
21解：(1)当汽车速度为50 时，运输总费用为：
(元)………………3分
(2)设汽车行驶的速度为
由题意可得： …………5分
化简得 ，解得
∴汽车行驶速度的范围为 .………………7分
(3)设汽车行驶的速度为 ，则运输的总费用为
…………9分
当且仅当 ，即 时，等号成立………11分
2020-2021高一数学上期中试题附答案(2)
2020-2021高一数学上期中试题附答案(2)一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 3．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U5．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}7．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3 B ．2-C ．3-D ．28．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．9．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a << 10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．5222+C ．32D ．2二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______.15．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．16．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 17．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.18．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．19．函数2()log 1f x x =-的定义域为________． 20．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 22．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．23．已知定义域为R 的函数()122x x bf x a++=+－ 是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－2k )<0恒成立，求k 的取值范围． 24．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.25．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算3．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．5．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.7．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.8．C【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14， 作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=12时，f （12）=14-． 当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-．即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=424-±=⨯=，∴此时， ∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，1122m --≤≤，∴n﹣m的最大值为2﹣12 2--=5222+，故选：B．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为解析：(1,0)(1,)-??【解析】【分析】【详解】由题意()()f a f a>-⇒212log logaa a>⎧⎪⎨>⎪⎩或()()122log logaa a<⎧⎪⎨->-⎪⎩1aaa>⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11aaaa<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a-<<，则实数a的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.15．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.16．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减 解析：()1,2【解析】 【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为()1,2. 【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.17．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.18．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．19．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.20．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根解析：①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得，而，所以；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.三、解答题21．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >，m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 22．（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 23．（Ⅰ）2,1a b ==（Ⅱ）16k <- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据()00f =解得1b =，根据()()11f f =--解得2a = （Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为223311()2236k t t t <-=--，求二次函数的最小值得到答案.【详解】（Ⅰ）定义域为R 的函数()1-22x x bf x a++=+是奇函数则()100,12bf b a-+===+ ()-2114f a+=+，()12-111f a +-=+， 根据()()11f f =--，解得2a = ，经检验，满足函数为奇函数（Ⅱ）12111()22221x x xf x +-+==-+++ 易知21x +为增函数，故11()221x f x =-++为减函数 22()(220)2f t t f t k －－+<即2222222)()()2(f t t f t k f t k =-<+-－－即22222t t t k ->-+ 所以223311()2236k t t t <-=-- 恒成立，即2min 3111()2366k t ⎡⎤<--=-⎢⎥⎣⎦当13t =时，有最小值16- 故k 的取值范围是16k <-【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键. 24．（1）a=1,b=0;(2) (],0-∞. 【解析】 【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解. 【详解】（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数， 故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==．（2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x x x k ，化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ， 记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ，所以k 的取值范围是(],0∞-． 【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222-⋅≥x x k （），其二是换元得到221≤-+k t t ，1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 25．(1) ；(2) 当年产量千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元.【解析】 【分析】（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足件，以及年产量不小于件计算，代入不同区间的解析式，化简求得；（2）分别计算年产量不足件，以及年产量不小于件的利润，当年产量不足80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为件时，利润最大为万元.【详解】 （1）当时，；当时，，所以（）.（2）当时，此时，当时，取得最大值万元．当时，此时，当时，即时，取得最大值万元，,所以年产量为件时，利润最大为万元．考点：•配方法求最值 均值不等式26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元, 所以总收益()50f =1325067024⨯+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元, 所以()f x =()132612024x x +-+=13226,4x x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()1322640804x x x -+≤≤, 令t x =,则210,45t ⎡∈⎣,所以y =2132264t t -++=21(62)444t --+. 当62t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。
2020-2021高一数学上期中试卷(含答案)(2)
2020-2021高一数学上期中试卷(含答案)(2)一、选择题1．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)22．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 3．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z4．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =5．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]6．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3- B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3327．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,39．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．611．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)12．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.14．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x gx ≥在[]3,3-上的解集是________.15．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 16．已知2a=5b=m ,且11a b+=1,则m =____. 17．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．18．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）19．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？22．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.23．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．24．设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）若2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．25．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.2．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．3．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.4．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.5．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.6．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.7．C解析：C【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．10．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.11．C解析：C【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.12．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.二、填空题13．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】 【分析】 不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0) 故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.15．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是()32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.16．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．17．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．18．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.19．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
江苏省高邮市2020-2021学年高一上学期期中调研数学试卷参考答案
当 时， ，
.
（2）若 ， ，
当 时， 万元 .
若 ， ，
当且仅当 时，即 时， 万元 .
答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.
22.解：（1） ----------------------------------------------------------------------------------2分
(2)由 平方得
，所以
所以
则
所以 ---------------------------------------------------------------------10分
（第2问少一解扣2分）
18.解：（1） ，
又 ，
ห้องสมุดไป่ตู้所以
----------------------------------------------------------6分
（2）
因为 是 的充分不必要条件，
所以 且上述等号不同时取，
所以 ，所以实数 的取值范围为 .--------------------------------------12分
20.解：（1）由题意得： ，
解得 ， 此时 ，满足题意，
所以 ---------------------------------------------------------------3分
(2)因为 ，所以 .
当 时， 得 ；
当 时，应满足 ，
解得
综上： 的取值范围为 ----------------------------------------------------------12分
2020-2021高一数学上期中试卷(附答案)
2020-2021高一数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅5．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤6．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)27．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]8．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.59．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,310．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-11．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．函数y=232x x --的定义域是 . 15．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________． 16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．18．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 19．已知函数()()2ln 11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．20．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题21．已知函数()()log 1xa f x a =-（0a >，1a ≠）（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；24．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．25．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.26．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.3．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．4．C解析：C【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.6．B解析：B 【解析】 函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.7．D【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．9．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．10．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
2020—2021学年高一、高二上学期数学期中试题含答案
高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |x 2=1}．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A. 1∈MB. M ={−1,1}C. ⌀⊆MD. M ⊆N2. 若指数函数y =（1-a ）x 在R 上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,+∞)B. (0,1)C. (−∞,0)D. R3. 已知x12-x−12=√5，则x +1x 的值为（ ） A. 7B. 3√5C. ±3√5D. 274. 有以下四个结论（a ＞0且a ≠1）：（1）log a 1=0（2）lg （1g 10）=0（3）e 1n 2=2（4）12=log 2√22．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列函数中值域是（1，+∞）的是（ ）A. y =1x (x >1) B. y =x 2+1(x ∈R) C. y =2x +1(x ∈R)D. y =log 3x(x >1)6. 下列函数中，在区间（-1，+∞）上递减的是（ ）A. y =−x 2−2xB. y =1xC. y =x 12D. y =log 2x7. 设a =log 3π，b =log 29，c =log 34，则（ ）A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a8. 已知f （√x ）=x +3，则f （x +1）的解析式及定义域为（ ）A. x 2+3(x ≥−1)B. x 2+2x +4(x ≥−1)C. x 2+2x +4(x ≥0)D. x +4(x ≥0)9. 已知集合A =R ，B ={（x ，y ）|x ，y ∈R }，f ：A →B 是A 到B 的映射，f ：x→（x +1，x 2+1），则以下选项中哪个可能是像（ ） A. 1B. 2C. (2,3)D. (3,5)10. 函数f （x ）={ln(x +2),x >1x 2,x≤1的递增区间是（ ）A. [0,1]和(1,+∞)B. (0,+∞)C. (−2,+∞)D. (2,+∞)11. 已知函数f （x ）=x |x -2|，直线y =a 与函数f （x ）的图象有三个交点A 、B 、C ，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ） A. (3,4+√2)B. (4,3+√2)C. (3,4+√2]D. R12. 已知函数f （x ）=x−23+0.5x 4+x 2，则不等式f （log 3x ）+f （log 13x ）≥52的解集是（ ） A. [13,1)∪(1,3] B. [13,3]C. [3,+∞)D. (0,13]∪[3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知∅⊊{x |x 2-x +a =0}，则实数a 的取值范围是______． 14. 函数y =√x −3+1(x+4)(x−5)的定义域是______．15. 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x−12，则f （-4）=______．16. 对幂函数f （x ）=x −32有以下结论（1）f （x ）的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }； （2）f （x ）的值域是（0，+∞）；（3）f （x ）的图象只在第一象限；（4）f （x ）在（0，+∞）上递减； （5）f （x ）是奇函数． 则所有正确结论的序号是______ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算（1）0.25×（-12）-4-4÷20-（116）−12（2）2log 32-log 3329+log 38-（log 43+log 83）（log 32+log 92）18.全集U=R，集合A={x|1＜x≤4}，B={x|6-a＜x＜2a-1}（1）若a=4，分别求A∪B和B∩∁U A；（2）若A⊆B，求a的取值范围．19.已知f（x）=x2+ax+b，满足f（-1）=f（5），且f（x）=0的两实根之积为4．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=2mx-f（x），在x∈[0，2]上的最大值（用m表示）．20.已知函数f（x）=1-2e+1（1）判断f（x）的奇偶性（无须证明）；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）解不等式f（2m+1）+f（2m-3）＜0．21.已知函数f（x）=log a（-x2+ax-9）（a＞0，a≠1）．（1）当a=10时，求f（x）的值域和单调减区间；（2）若f（x）存在单调递增区间，求a的取值范围．．22.已知f（log2x）=x-1x（1）求f（x）；（2）若8x-8-x-4x+1-41-x+8≥kf（x）对x∈[1，∞）恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合M={x|x2=1}={-1，1}．N为自然数集，在A中，1∈M，正确；在B中，M={-1，1}，正确；在C中，∅⊆M，正确；在D中，M不是N的子集，故D错误．故选：D．集合M={x|x2=1}={-1，1}．N为自然数集，由此能求出结果．本题考查命题真假的判元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：若指数函数y=（1-a）x在R上递增，则1-a＞1，即 a＜0，实数a的取值范围为（-∞，0），故选：C．由题意利用指数函数的单调性，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由x-x=，两边平方得：x-2+x-1=5，则．故选：A．直接把已知等式两边平方求解．本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题．4.【答案】C【解析】解：a＞0且a≠1．（1）log1=0，正确；a（2）lg（1g10）=lg1=0，正确；（3）e1n2=2，正确；（4）log2==-，因此不正确．其中正确结论的个数是3．故选：C．利用对数与指数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：A．x＞1时，y=∈（0，1），不满足条件；B．y=x2+1≥1，其值域是[1，+∞），不满足条件；C．y=2x+1＞1，值域是（1，+∞），满足条件．D．x＞1，y=log3x＞0，其值域是（0，+∞），不满足条件．故选：C．利用函数的单调性即可判断出结论．本题考查了函数的单调性、值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由二次函数的性质可知，y=-x2-2x在（-1，+∞）单调递减，故A正确；由反比例函数的性质可知，y=在（-1，0），（0，+∞）单调递减，但是在（-1，+∞）不单调，故B错误；根据幂函数的性质可知，函数y=的定义域[0，+∞），故C错误；根据对数函数的性质可知，函数y=log2x的定义域[0，+∞），故D 错误；故选：A．结合二次函数，幂函数即对数函数的性质及单调性进行判断即可求解本题主要考查了基本初等函数，二次函数，幂函数，对数函数的单调性的简单应用，属于基础试题7.【答案】D【解析】解：∵a=log3π＜c=log34＜log39=2，b=log29＞log28=3，∴b＞c＞a．故选：D．利用对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】C【解析】解：f（）=x+3，令=t≥0，解得x=t2．∴f（t）=t2+3．∴f（t+1）=（t+1）2+3=t2+2t+4．把t换成x，可得：f（x+1）=x2+2x+4，定义域为[0，+∞）．故选：C．f（）=x+3，令=t≥0，解得x=t2．可得f（t）=t2+3．进而得出结论．本题考查了换元法求函数解析式及其函数的定义域与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，f：A→B是A到B的映射的像应该为关于x，y的有序数对，故A，B错．若像为（2，3），则x=1，y应为2，故C错，若像为（3，5），则x=2，y=5．故选：D．像应该为关于x，y的有序数对，排除A，B，在结合f：x→（x+1，x2+1），可选出正确答案．本题考查了映射的概念，属基础题．10.【答案】A【解析】解：当x≤1时，y=x2，是二次函数，增区间为：[0，1]．x＞1时，y=ln（x+2）是增函数，所以函数的增区间为：（1，+∞）．综上函数f（x）=的递增区间是：[0，1]和（1，+∞）．故选：A．利用分段函数的单调性，列出不等式组求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：f（x）=x|x-2|=，设函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点对应横坐标分别为x1、x2、x3，则x1+x2=2，2，所以4＜x1+x2+x3，故选：B．由分段函数的图象的作法得：f（x）=x|x-2|=，作出y=f （x）的图象，由函数图象的性质得：设函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点对应横坐标分别为x1、x2、x3，则x1+x2=2，2，所以4＜x1+x2+x3，得解本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质，属中档题12.【答案】A【解析】解：∵f（x）=x+0.5，∴f（-x）=f（x）即函数f（x）为偶函数，x＞0时，f（x）单调递减∵f（1）=，∵f（log3x）+f（log x）≥的解∴f（log3x）+f（-log3x）≥，∴f（log3x）≥=f（1），且x≠1∴|log3x|≤1，解不等式可得且x≠1故选：A．由已知可知，函数f（x）为偶函数，且x＞0时，f（x）单调递减，f（1）=，从而即可求本题主要考查了偶函数对称性及单调性在不等式求解中的应用，属于知识的综合应用．13.【答案】a≥-14【解析】解：由题意可得x2-x-a=0有实根，故△=（-1）2-4×1×（-a）≥0解得a≥-．故答案为：a≥-．由题意可得x2-x-a=0有实根，由△≥0，解之可得．本题考查集合的包含关系的确定，涉及一元二次方程根的个数的判断，属基础题．14.【答案】{x|x≥3，且x≠5}【解析】解：要使原函数有意义，则：；∴x≥3且x≠5；∴原函数的定义域为{x|x≥3，且x≠5}．故答案为：{x|x≥3，且x≠5}．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法．15.【答案】-12【解析】解：根据题意，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x，则f（4）==，又由函数f（x）为奇函数，则f（-4）=-f（4）=-；故答案为：-根据题意，由函数的解析式可得f（4）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．16.【答案】（2）（3）（4）【解析】解：对幂函数f（x）=x=，以下结论（1）f（x）的定义域是{x|x＞0，x∈R}，因此不正确；（2）f（x）的值域是（0，+∞），正确；（3）f（x）的图象只在第一象限，正确；（4）f（x）在（0，+∞）上递减，正确；（5）f（x）是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）．利用幂函数的性质即可判断出结论．本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）原式=14×24-4-2−4×(−12)=4-4-22=-4．（2）原式=log322×8329-(log232+log233)(log32+log322)=log39-log23×(12+13)×log32×(1+12)=2-56×32=34．【解析】（1）利用指数原式性质即可得出． （2）利用对数原式性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）若a =4，则B ={x |2＜x ＜7}，则A ∪B ={x |1＜x ＜7}， ∁U A ={x |x ＞4或x ≤1}，B ∩∁U A ={x |4＜x ＜7}． （2）若A ⊆B ，则{6−a ≤12a−1>4得{a ＞52a ≥5，即a ≥5，即实数a 的取值范围是a ≥5． 【解析】（1）结合集合并集和补集的定义进行计算即可． （2）根据集合关系建立不等式组进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，集合交集补集并集的定义是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）根据题意，f （x ）=x 2+ax +b ，满足f （-1）=f （5），则其对称轴x =-a2=2， 则a =-4，又由f （x ）=0的两实根之积为4，即x 2+ax +b =0的两根之积为4，b =4， 则f （x ）=x 2-4x +4，（2）由（1）的结论，f （x ）=x 2-4x +4，则g （x ）=2mx -f （x ）=-x 2+（2m +4）x -4=-[x -（m +2）]2+m 2+4m ， 其对称轴为x =m +2， 分3种情况：当m +2＜0，即m ＜-2时，g （x ）在[0，2]上为减函数，则g （x ）max =g （0）=-4，当0≤m +2≤2，即-2≤m ≤0时，则g （x ）max =g （m +2）=m 2+4m ，当m +2＞2，即m ＞0时，g （x ）在[0，2]上为增函数，则g （x ）max =g （2）=4m ，故g （x ）max ={−4，m ＜−2m 2+4m ，−2≤m ≤04m ，m ＞0．【解析】（1）根据题意，由f （-1）=f （5）分析可得该二次函数的对称轴xx=-=2，解可得a 的值，又由根与系数的关系分析可得b 的值，将其代入二次函数的解析式即可得答案；（2）根据题意，分析可得g （x ）=2mx-f （x ）=-x 2+（2m+4）x-4=-[x-（m+2）]2+m 2+4m ，结合二次函数的性质按m 的取值范围分3种情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案．本题考查二次函数的解析式以及最值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．20.【答案】解：（1）根据题意，f （x ）=1-2e +1， 有f （-x ）=1-2e +1=1-2e x 1+e=2e +1-1=-f （x ），则函数f （x ）为奇函数； （2）根据题意，f （x ）在R 上为增函数， 证明：设x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=（1-2e 1+1）-（1-2e 2+1）=2(e x 1−e x 2)(e x 1+1)(e x 2+1)， 又由x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）＜0， 故函数f （x ）在R 上为增函数；（3）根据题意，f （2m +1）+f （2m -3）＜0⇒f （2m +1）＜-f （2m -3）⇒f （2m +1）＜f （3-2m ）⇒2m +1＜3-2m ， 解可得m ＜12，即m 的取值范围为（-∞，12）． 【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析f （-x ）与f （x ）的关系，结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，设x 1＜x 2，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，原不等式等价于2m+1＜3-2m，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，（3）中注意利用奇偶性与单调性分析，属于基础题．21.【答案】解：（1）当a=10时，f（x）=log10（-x2+10x-9）=log10[-（x-5）2+16]，设t=-x2+10x-9=-（x-5）2+16，由-x2+10x-9＞0，得x2-10x+9＜0，得1＜x＜9，即函数的定义域为（1，9），此时t=-（x-5）2+16∈（0，16]，则y=log10t≤log1016，即函数的值域为（-∞，log1016]，要求f（x）的单调减区间，等价为求t=-（x-5）2+16的单调递减区间，∵t=-（x-5）2+16的单调递减区间为[5，9），∴f（x）的单调递减区间为[5，9）．（2）若f（x）存在单调递增区间，则当a＞1，则函数t=-x2+ax-9存在单调递增区间即可，则判别式△=a2-36＞0得a＞6或a＜-6舍，当0＜a＜1，则函数t=-x2+ax-9存在单调递减区间即可，则判别式△=a2-36＞0得a＞6或a＜-6，此时a不成立，综上实数a的取值范围是a＞6．【解析】（1）当a=10时，利用换元法结合对数函数，一元二次函数的性质以及复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．（2）结合复合函数单调性之间的关系，讨论a＞1或0＜a＜1转化为一元二次函数的性质进行求解即可．本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法，结合对数函数以及一元二次函数的单调性之间的关系是解决本题的关键．x=t，t∈R22.【答案】解：（1）设log2可得x=2t，∴f（t）=2t−12t即f（x）=2x-2-x；（2）由8x-8-x-4x+1-41-x+8≥kf（x）对x∈[1，∞）恒成立，即8x-8-x-4x+1-41-x+8≥k（2x-2-x）对x∈[1，∞）恒成立，可得（2x）3-（2-x）3-4[（2x）2+（2-x）2]+8≥k（2x-2-x）则（2x-2-x）[（2x）2+（2-x）2+1]-4[（2x）2+（2-x）2]+8≥k（2x-2-x）∴（2x-2-x）[（2x-2-x）2+3]-4[（2x-2-x）2+2]+8≥k（2x-2-x）∴（2x-2-x）[（2x-2-x）2+3]-4（2x-2-x）2≥k（2x-2-x）设2x-2-x=t，可得t（t2+3）-4t2≥kt，（t∈R）∵x∈[1，∞）恒成立，∴t≥32，∞）恒成立，则t2+3-4t≥k在t∈[32当t=2时，（t2+3-4t）min=-1∴k≤-1；故得k的取值范围是（-∞，-1]；【解析】（1）利用换元思想，即可求解f（x）．（2）利用换元法转化为二次函数问题求解即可本题主要考查了函数恒成立问题的求解，换元法和转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用高二（上）期中考试数学试题一、选择题（本题包括12小题，每题5分共60分.每题只有一个选项符合题意）1.在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )． A ．135° B ．45° C ． 105° D ．30°2.如果0a b <<，那么下列各式一定成立的是（ ）A. 0a b ->B. ac bc <C. 22a b > D. 11a b <3.等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．－12D ．244.已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N 等于A ．{x |x <－2}B ．{x |x >3}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |2<x <3}5．在ABC ∆中，cos cos A aB b =，则ABC ∆是 （ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，520S =，则10a =（ ） A. 16 B.19 C. 22 D.257.在ABC ∆中,若cos C =,cos cos 2b A a B +=,则ABC ∆外接圆的面积为( )A. πB. 4πC. 9πD. 16π 8.中国古代数学著作“算法统宗”中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步使步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．3里B ．6里C ．12里D ．24里 9.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A ．9 900B ．9 902C ．9 904D ．11 00010.若变量x ，y 满足22390x y x y x ⎧+⎪-⎨⎪⎩，，，≤≤≥则22x y +的最大值是（ ） A ．4 B ．9C ．10D ．1211.设，分别是两个等差数列，的前n 项和.若对一切正整数n ，恒成立，则（ ）A .B .C .D .12.等差数列{}n a 中，11101<-a a ，若其前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的最大自然数n 的值为（ ）A.19B.20C.9D.10二、填空题（本大题包括4个小题，每题5分共20分）13.若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为________________.14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,c a b ，若2cos ,23A a c ===，则b = .15.各项为正的等差数列{}n a 中,4a 与14a 的等差中项为8,则27211log log a a +的最大值为________．16.在数列{na }中，已知其前n 项和223n S n n =++，则其通项公式是 .三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本题10分)解不等式2lg(3)1x x -<18. (本题12分)已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =.(1)求{}n a的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=， 求{}n b 的前n 项和n T .19. (本题12分) 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知a =3A π=.（1）若b =C 的大小； （2）若2c =，求边b 及ABC ∆的面积.20. (本题12分)设某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x + (单位：元)．(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)21. (本题12分)已知锐角ABC △，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c2sin c A =.（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC △的面积为2，求a b +的值.22. (本题12分)设数列{}n a 满足21123333,3n n na a a a n N -*++++=∈ (1)求数列{}n a 的通项； (2)设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .。
2020-2021高一数学上期中试卷含答案
2020-2021高一数学上期中试卷含答案一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤6．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}7．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20198．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<11．已知()()2,11,1xx f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7812．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A．52B ．5222+C ．32D ．2二、填空题13．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =； （2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.14．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________． 16．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________17．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.18．计算：__________．19．已知312ab += 3a b a=__________. 20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xx x f <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围；（3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．22．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =-，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？23．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 24．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.25．已知函数()xf x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,6),(3,24)A B（1）求()f x的解析式（2）若不等式11120x xma b⎛⎫⎛⎫++-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x∈-∞上恒成立，求实数m的取值范围.26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足6P=,乙城市收益Q与投入b(单位:万元)满足124Q b=+,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为()f x(单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】判断函数()2 312xf x x-⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2 312xf x x-⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2，故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．A解析：A【解析】【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.6．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14， 作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=12时，f （12）=14-．当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-． 即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=4421282-±-±=， ∴此时x=122--， ∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2， ∴n=2，12122m --≤≤， ∴n﹣m 的最大值为2﹣122--=5222+， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．二、填空题13．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确解析：（1）（2）（3） 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确；（4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.14．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1. 【详解】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x)) 解析：3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈，其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩， 解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩， 综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．16．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1【解析】因为{}21,a a ∈，所以1a =或21a =，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．17．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x ---【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填1x ---.18．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.【详解】由题意可得：1321223333 3a bab a a ba+-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：02b<<【解析】【分析】【详解】函数()22xf x b=--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】【分析】 （1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x x a <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解； （3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可．【详解】()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()a f x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数； ()2若不等式()12262x x x f <-++在[]0,2上恒成立， 即122622x x x x a +<-++在[]0,2上恒成立， 即22(2)162x x a <-++⋅在[]0,2上恒成立，令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >， 0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <； 0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增， 13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+， 12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<； 13)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，a <<，113a ∴≤<，当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()a f x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．22．（1）()1364f x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元【解析】【分析】 () 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论． 【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元，故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时，总收益最大，且最大收益为68万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．23．（Ⅰ）()()(](]2110800,1229012,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（Ⅱ）在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析【解析】【分析】（I ）当(]0,12x ∈时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当(]12,40x ∈时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得()f x 的函数关系式.（II ）利用分段函数解析式解不等式()62f x >，由此求得学习效果最佳的时间段.【详解】（Ⅰ）当(]0,12x ∈时，设()()21080f x a x =-+，过点()12,78代入得，则()()2110802f x x =--+， 当(]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点()12,78、()40,50，得12784050k b k b +=⎧⎨+=⎩，即90y x =-+，则函数关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （Ⅱ）由题意(]0,12x ∈，()211080622x --+>或(]12,40x ∈，9062x -+>. 得412x <≤或1228x <<，∴428x <<.则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.24．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥． 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->， 当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥． 【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．25．（1）()=32x f x ⋅；（2）1112m ≤. 【解析】试题分析：（1）由题意得2,3a b ==，即可求解()f x 的解析式；（2）设11()()()x x g x a b =+，根据()y g x =在R 上为减函数，得到min 5()(1)6g x g ==，再由11()()120x x m a b ++-≥在(],1x ∈-∞上恒成立，得5216m -≤，即可求解实数m 的取值范围.试题解析：（1）由题意得()x 36a 2,b 3,f x 32a 24a b b ⋅=⎧⇒==∴=⋅⎨⋅=⎩（2）设()x x x x 1111g x a b 23⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()y g x =在R 上为减函数 ∴当x 1≤时()()min 5g x g 16== x x 1112m 0a b ⎛⎫⎛⎫∴++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(]x ,1∞∈-上恒成立，即5112m 1m 612-≤⇒≤ ∴ m 的取值范围为：11m 12≤ 点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和不等式的恒成立问题的应用，解答中涉及到函数满足条件的实数的取值范围的求法，以及函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时注意合理进行等价转化是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。
高一数学上学期期中测试卷及解析(2020-2021学年北师大版)
2020-2021学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12小题，每小题5分，共60分)1．设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()RA B (⋃= )A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合A 和集合集合B ，再求出R C A ,与集合B 求并集即可. 【详解】因为{}A |1x x =>，B {x |x 2=<-或x 2}>；R A {x |x 1}∴=≤；()R A B {x |x 1∴⋃=≤或x 2}>．故选D 【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．已知()f x 满足()x f e x =，则(1)f =（ ） A ．0 B ．1C ．eD ．ln 2【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 满足()xf e x =，利用f （1）0()f e =，能求出结果．【详解】()f x 满足()x f e x =，f ∴（1）0()0f e ==．故选A ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．函数()2f x x =-的定义域为（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．[1,2)D ．[1,2)(2,)⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】依题意1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得[1,2)(2,)x ∈⋃+∞.故选：D. 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.4．下列函数()f x 中，满足对任意()12,0,x x ∈+∞，当x 1<x 2时，都有()()12f x f x >的是( ) A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，选取在()0,∞+上为减函数的函数. 【详解】由12x x <时，()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,∞+上为减函数的函数.A 选项，2yx 在()0,∞+上为增函数，不符合题意.B 选项，1y x=在()0,∞+上为减函数，符合题意.C 选项，y x =在()0,∞+上为增函数，不符合题意.D 选项，()21f x x =+在()0,∞+上为增函数，不符合题意.故选B. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性定义，考查基本初等函数单调性，属于基础题. 5．若()f x 的定义域为R 且在(0,)+∞上是减函数，则下列不等式成立的是（ ）A ．23()(1)4f f a a >-+B ．23()(1)4f f a a ≥-+C ．23()(1)4f f a a <-+D ．23()(1)4f f a a ≤-+【答案】B 【解析】 【分析】 判断34与21a a -+的大小，利用函数的单调性，即可推出结果． 【详解】解：221331244a a a ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 函()f x 的定义域为R 且在(0,)+∞上是减函数， 可得23()(1)4f f a a ≥-+． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，基本知识的考查．6．已知函数245y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值5，最小值1，则m 得取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[0,2] D ．[2,4]【答案】D 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数22()45(2)1f x x x x =-+=-+的对称轴为2x =，此时，函数取得最小值为1，当0x =或4x =时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围．【详解】函数22()45(2)1f x x x x =-+=-+的对称轴为2x =，此时，函数取得最小值为1， 当0x =或4x =时，函数值等于5．又2()45f x x x =-+在区间[0，]m 上的最大值为5，最小值为1，∴实数m 的取值范围是[2，4]，故选D ．【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解二次函数在特定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性是解决该类问题的关键． 7．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．1y x =+C ．12y x =D ．3y x =【答案】D 【解析】 【分析】选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解. 【详解】选项A 中，设函数()y f x =，()()f x f x -=，函数21y x =+是偶函数，不符合题意；选项B 中，设函数()y f x =，()()f x f x -≠±，则函数1y x =+为非奇非偶函数，选项B 不符合题意；选项C 中，函数12y x =的定义域为[0,)+∞，则12y x =为非奇非偶函数，选项C 不符合题意；选项D 中，3y x =是单调递增且满足()()f x f x -=-，则3y x =是奇函数，符合条件.故选D. 【点睛】本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题. 8．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性得到0＜a ＜1，再根据函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，分析出b 的范围.【详解】 由f (x )＝a x－b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的， 所以b ＜0. 故选：D. 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知关于x 的不等式42133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，则该不等式的解集为（ ）A ．［4，+∞)B ．(-4，+∞)C ．(-∞,-4 )D ．(]4,1-【答案】B 【解析】 【分析】先将不等式两边化为同底，然后利用指数函数单调性列一元一次不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】依题意可知，原不等式可转化为4233x x -+->，由于指数函数3xy =为增函数，故42,4x x x -+>->-，故选B.【点睛】本小题主要考查指数运算，考查指数函数的单调性以及指数不等式的解法，属于基础题. 10．已知131log 3,2,ln 3a b c π===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ． c a b >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 ． 【详解】 解：0131log a log log ππππ=<=<=，103221b =>=，1103c ln ln =<=，a ∴，b ，c 的大小关系为：b a c >>．故选：D ． 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识比较三个数的大小，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 ．11．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,4【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点的判定定理可得函数()f x 的零点所在的区间． 【详解】 解：函数()34f x lnx x =+-在其定义域上单调递增，f ∴（2）2234220ln ln =+⨯-=+>，f （1）3410=-=-<，f ∴（2）f （1）0<．根据函数零点的判定定理可得函数()f x 的零点所在的区间是(1,2)， 故选：B ． 【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题． 12．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∪﹣1≤﹣2x ＜0，∪﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ， 所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B 【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则＝【答案】12- 【解析】 【分析】利用函数的周期为2，将52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后将12x =代入题目所给解析式，由此求得函数值.【详解】 依题意，得f ＝－f＝－f ＝－f ＝－2××＝－.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性.将不属于给定区间内的自变量，通过周期性转化为给定区间内的自变量，由此求得函数值，属于基础题. 14．若10x =3,10y =4,则10x -y =__________． 【答案】34【解析】因为103,104xy==，所以10310104x x yy -==，应填答案34．15．(本题0分)函数()()212log 23f x x x =--+的值域是___________. 【答案】[)2,-+∞ 【解析】 【分析】设2230t x x =--+>，求出t 的范围，再根据12log y t =的单调性可求得结果.【详解】设t =2223(1)4x x x --+=-++，则(0,4]t ∈， 因为12log y t =在(0,4]上单调递减，所以12log 42y ≥=-，所以函数()f x 的值域为[2,)-+∞. 故答案为：[)2,-+∞. 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性求函数的值域，属于基础题. 16．设a b 23x ==，且111a b+=，则x 的值为______．【解析】 【分析】由2a =3b =x ，根据对数的定义，分别表示出a 与b ，代入111a b+=中，利用对数的运算法则即可求出x 的值． 【详解】由a b 23x ==，得到x 2a log =，x3b log =，代入111a b+=中得：x x 23111log log +=，即lg2lg3lg61lgx lgx lgx +==， 得到lgx lg6=，即x 6=． 故答案为6 【点睛】此题考查学生掌握对数的定义及运算法则，是一道基础题．三、解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)17．已知全集U =R ，若集合{}24A x x =-<< ，{}0B x x m =-<. （1）若3m =，求()U A C B ；（2）若AB A =, 求实数m 的取值范围.【答案】（1）[3,4)（2）4m ≥ 【解析】 【分析】（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；（2）由A B A ⋂=可得A B ⊆，利用集合的包含关系求解即可. 【详解】 （1）当时，，所以， 因为，所以；（2）由得，，所以本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题. 18．已知函数f(x)=xx 2+2．(1)判断并证明f(x)在[0,1]上的单调性； (2)若x ∈[−1,2]，求f(x)的值域．【答案】(1)见解析，(2)[−13,√24].【解析】 【分析】(1)根据函数的单调性的定义证明即可；(2)根据函数的单调性，求出函数的值域即可． 【详解】解：(1)f(x)在[0,1]上单调递增函数，证明如下： 任取0≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+2−x 2x 22+2=x 1(x 22+2)−x 2(x 12+2)(x 12+2)(x 22+2)=(2−x 1x 2)(x 1−x 2)(x 12+2)(x 22+2)因为0≤x 1<x 2≤1，所以x 1−x 2<0，0≤x 1x 2≤1，2−x 1x 2>0，x 12+2>0,x 22+2>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0，∴f(x)在[0,1]上是增函数因为x 1<x 2，所以，∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x)在[0,1]上是增函数． (2)∵x ∈[−1,2]，又f(x)在[−1,√2]上递增，在[√2,2]上递减， ∴f(x)min =f(−1)=−13,f(x)max =f(√2)=√24， ∴f(x)的值域为[−13,√24].【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查求函数的最值，是一道中档题． 19．已知函数()2210f x x x =-.（1）若[1,3]x ∈-，求()f x 的单调区间和值域；（2）设函数()f x 在[,1]t t +的最小值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】（1）()f x 的单调递减区间为[-1，25)，单调递增区间为5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，值域为[min 525()()22f x f ,12]；（2）223268,22535(),2225210,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的对称轴，根据二次函数的开口方向和对称轴即可判断； （2）讨论对称轴在区间的不同位置，即可根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）可知函数()2210f x x x =-的对称轴为52x =，开口向上， ∴ ()f x 在区间[-1,52x =]上单调递减；()f x 在区间5,32⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， min525()()22f x f ，max ()(1)12f x f ，综上，()f x 的单调递减区间为[-1, 52x =]，单调递增区间为5,32⎛⎤⎥⎝⎦，值域为[min 525()()22f x f ,12]； （2）()f x 对称轴为52x =，开口向上， ∴当52t ≥时，()f x 在[,1]t t +单调递增，2min ()()210f x f t t t ， 当512t t <<+，即3522t <<时， min 525()()22f x f ，当512t +≤，即32t ≤时，()f x 在[,1]t t +单调递减，2min ()(1)268f x f t t t ，综上，223268,22535(),2225210,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，遇到含参数的最值问题时，注意讨论对称轴与区间的位置关系.20．已知函数()()2101x x f x m m -=>+，且()325f =.（1）求m 的值，并指出函数()y f x =在R 上的单调性（只需写出结论即可）； （2）证明：函数()f x 是奇函数； （3）若()()2230f mf m +-<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2，()f x 在R 上为增函数；（2）证明见解析；（3）（3-，1）. 【解析】 【分析】 （1）由()325f =，代入解析式，解方程求出m 的值，利用指数函数的单调性即可求解. （2）利用函数的奇偶性定义即可判断.（3）利用函数为奇函数，将不等式转化为()()232f m f m <-，再利用函数为增函数可得232mm <-，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为()325f =，所以2221315m -=+，即24m =，因为0m >，所以2m =.函数()21212121x x xf x -==-++在R 上为增函数. （2）由（1）知()2121x x f x -=+定义域为(),-∞+∞.对任意(),x ∈-∞+∞，都有()()211221211221x x x x xx f x f x --------====-+++. 所以函数()f x 是奇函数， （3）不等式()()2230f mf m +-<等价于()()223f m f m <--，因为函数()f x 是奇函数，所以()()232f mf m <-，又因为函数()f x 在R 上为增函数， 所以232m m <-，即2230m m +-<. 解得231m -<<.所以实数m 的取值范围为（3-，1）. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.21．已知二次函数()f x 满足()()121f x f x x +-=-且()00f =， （1）求二次函数()f x 的解析式． （2）求函数()1()()2f xg x =的单调增区间和值域．【答案】（1）()22f x x x =-；（2）单调递增区间是(],1-∞，()g x 的值域为(]0,2.【解析】 【分析】（1）依题意设2(),0f x ax bx a =+≠，代入已知等式，建立,a b 方程关系，求解即可；（2）令()t f x =根据（1）求出()f x 单调区间，再由12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，结合复合函数的单调性，得出()g x 的单调区间，即可求出()g x 的值域. 【详解】（1）由()00f =，设2()f x ax bx =+∪()()1221f x f x ax a b x +-=++=-∪22112a a a b b ==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩∪()22f x x x =-（2）由（1）知()()221122f x x xg x -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ∪22t x x =-在(],1-∞递减，在[)1,+∞递增；12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，∪()g x 的单调递增区间是(],1-∞，单调递减区间是[)1,+∞. ∪()()12g x g ≤=，由()0g x >所以()02g x <≤，即()g x 的值域为(]0,2 【点睛】本题考查待定系数法求解析式、指数型函数的单调性和值域，掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.22．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ＞0），且f （1）2a=-． （1）求证：函数f （x ）有两个不同的零点；（2）设x 1，x 2是函数f （x ）的两个不同的零点，求|x 1﹣x 2|的取值范围； （3）求证：函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点．【答案】（1）证明见解析（2）)+∞．（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式可以证明出结论；（2）利用一元二次方程的根与系数关系，可以得到|x 1﹣x 2|的表达式，再利用配方法求出取值范围； （3）根据零点存在原理，分类讨论证明出结论. 【详解】（1）∪()12a f abc =++=-， ∪32c a b =--，∪()232f x ax bx a b =+--，∪222223464(2)22b a a b b a ab a b a ⎛⎫=---=++=++ ⎪⎝⎭， ∪a ＞0，∪∪＞0恒成立，故函数f （x ）有两个不同的零点．（2）由x 1，x 2是函数f （x ）的两个不同的零点， 则x 1，x 2是方程f （x ）＝0的两个根． ∪12b x x a +=-，1232b x x a =--，∪|x 1﹣x 2|===≥．∪|x 1﹣x 2|的取值范围是)+∞． （3）证明：∪f （0）＝c ，f （2）＝4a +2b +c ， 由（1）知：3a +2b +2c ＝0， ∪f （2）＝a ﹣c ．（∪）当c ＞0时，有f （0）＞0，又∪a ＞0， ∪()1102f =-＜，∪函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点． （∪）当c ≤0时，f （2）＝a ﹣c ＞0，f （1）＜0， ∪函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点．综上所述，函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系的应用，考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.2020-2021学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{}ln 1A x x =＜，{B y y ==，则A ∪B =( )A ． ()0,eB ． ()0,+∞C ．[)0,+∞D ．()0,e [)20,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由条件计算出A B 、集合，再计算并集. 【详解】集合{}{}ln 10A x x x x e ==＜＜＜，{{}0B y y y y ===≥，∪{}0A B x x ⋃=≥，故选C.【点睛】集合的描述法一定要辨别清楚集合所描述的对象，{B y y ==所描述的是函数值构成的集合，易错.2．函数()ln(1)f x x =-+的定义域是（ ） A ．(]1,1- B ．(1,0)(0,1]-⋃C ．(1,1)-D ．(1,0)(0,1)-【答案】C 【解析】 【分析】根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】 依题意1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<.故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 3．幂函数()a f x x 的图象经过点(2,4)，则1()2f -= ( )A ．12B ．14C ．14-D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的图象过点()2,4即可求得2a =，求出函数解析式，再计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【详解】解：幂函数()af x x =的图象经过点()2,4，则24a =，解得2a =； ∪()2f x x =，∪2111224f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 4．今有一组实验数据如下表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ） A ．12y t = B ．2log y t = C ．123ty =⋅ D ．212y t =【答案】C 【解析】 【分析】画出散点图，观察点的分布情况，即可判断. 【详解】画出散点图如图所示，根据点的分布特征，选项C, 123ty =⋅更能体现这些的数据关系.故答案选C. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，掌握基本初等函数的图象，能根据散点图的分布选择合适的函数模型，着重考查数形结合的能力，属于基础题.5．某同学用二分法求方程3380x x +-=在x ∪（1，2）内近似解的过程中，设()338x f x x =+-，且计算f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为A ．f （0.5）B ．f （1.125）C ．f （1.25）D ．f （1.75）【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出 该同学在第二次应计算的函数值. 【详解】∪f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）>0，∪在区间（1，1.5）内函数f （x ）＝3x +3x –8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1 1.52+=1.25，故选C ． 【点睛】本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.6．函数21()x f x x-=的图象一定关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x =1对称【答案】C 【解析】 【分析】由21()x f x x-=知()()f x f x -=-，根据函数的奇偶性即可求解.【详解】21()x f xx-=,定义域为{|0}x x ≠， ∴2211()()x x f x f x x x---==-=--， ∴()f x 是奇函数，故图象一定关于原点对称， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，奇函数的性质，属于容易题.7．已知函数f （x ）=21,02,0xx log x a x +≤⎧+>⎨⎩，若f （f （0））=3a ，则a =（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】解：由题意，f （0）=2，f （f （0））=f （2）=1+a=3a ， ∪a=12．故选：A ． 【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则. 8．函数3log 3x y =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值得几何意义，将函数3log 3xy =，转化为333log log log 3,133,01x xx x y x -⎧≥==⎨<<⎩，再由对数的性质求解.【详解】 因为333log log log 3,133,01x xx x y x -⎧≥==⎨<<⎩，由对数的性质得：,11,01x x y x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，所以当1x ≥时，是直线y x =的一部分，当1x ≥时，是反比例函数1y x=的一部分. 故选：A 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式的求法及其图象，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 9．函数33()log 2f x x x =-在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（ ） A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】分别求得()1f ,32f ⎛⎫⎪⎝⎭,()2f ,52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()3f ,进而根据零点存在性定理进行判断即可 【详解】由题,3(1)02f =-<,33333331log 1log log 3log 02222f ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭,43333333(2)log 2log 2log 3log log 04f =-=-==<,3333353355355log log log 3log log log 022524f ⎛⎫=-=-=>=> ⎪⎝⎭, 11(3)1022f =-=>, 因此,()5202f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭,则函数()f x 的零点在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内, 故选：C【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,考查对数的运算10．已知定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m 为实数)为偶函数,记a =f(log 0.53), b =f(log 25),c =f(2m),则a,b,c ,的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a 【答案】B【解析】由f(x)为偶函数得m =0,所以a =2|log 0,53|−1=2log 23−1=3−1=2, b =2log 25−1=5−1=4,c =20−1=0,所以c <a <b ,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.11．函数()()2log 1f x ax =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,∞+ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,+∞【解析】【分析】令1t ax =-，则()2log f x t =，利用复合函数的单调性的判断分别研究内层和外层函数的单调性即可.【详解】令1t ax =-，则()2log f x t =，因为()2log f x t =在定义域内是单调递增函数，故1t ax =-也必为单调递增函数，又1t ax =-在[]1,2上要恒大于零，则有010a a >⎧⎨->⎩，解得1a >. 故选：D.【点睛】本题考查复合函数的单调性问题，注意内层函数的值域要符合外层函数的定义域，是基础题.12．若()f x 满足对任意的实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=⋅且()12f =,则(2)(4)(6)(2020)(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅+=( ) A ．2019B ．2020C ．1009D ．1010 【答案】B【解析】 【分析】 因为()()()f a b f a f b +=,可得()()()f a b f b f a +=,令1b =,故(1)(12)()f a f f a +==,即可求得答案. 【详解】 函数()f x 对任意实数a ,b 满足()()()f a b f a f b +=∴()()()f a b f b f a +=令1b =,故(1)(12)()f a f f a +== (2)(4)(6)(2020)101022020(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f ∴+++⋯+=⨯= 故选: B.【点睛】本题主要考查了根据函数关系式求函数值,解题关键是掌握由函数关系式求值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．设函数ln(2),1()24,1x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，若()1f a =-，则a =_______． 【答案】32-【解析】【分析】当1a ≥-时，解方程ln(2)1a +=-，求出a 的值，判断a 是否存在；当1a <-时，解方程241a --=-，求出a 的值，判断a 是否存在，最后确定a 的值.【详解】 当1a ≥-时，()1f a =- 12ln(2)1e a a e -⇒+=-⇒=，而121e e-<-，故舍去； 当1a <-时，()1f a =- 324112a a ⇒--=-⇒=-<-，所以32a =-. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了分类运算能力.14．已知函数()f x 的定义域是（-1，2），则(21)f x +的定义域是________【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数定义域的概念列不等式，由此求得()21f x +的定义域.【详解】由于()f x 的定义域是()1,2-，所以对于函数()21f x +有1212x -<+<，解得112x -<<.所以函数()21f x +的定义域为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.15．已知函数3()31f x x x a =-++在[2,)x ∈-+∞上有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为____;【答案】（-3，1）【解析】【分析】取3()31=0f x x x a =-++，参数分离，画出图像得到答案.【详解】 33()31=031+f x x x a a x x =-++⇒=--32()31'()3301+g x x x g x x x =--⇒=-+=⇒=±画出图像：实数a 的取值范围为（-3，1）故答案为（-3，1）【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离画出图像是解题的关键.16．设函数()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-，求0x <时()f x 的解析式为______.【答案】()()()10f x x x x =+<【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解即可．【详解】解：()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-∴当0x <时，0x ->，则()(1)()f x x x f x -=-+=-，则()(1)f x x x =+，故答案为：()()()10f x x x x =+<【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的性质利用转化法是解决本题的关键，属于基础题．三、解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)17．设全集U =R ，集合{}lg()0A x x a =->，{}2340B x x x =--<.（1）当1a =时，求A B 集合；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1) (2,4)A B ⋂= (2) 2a ≤-【解析】【分析】（1）当1a =时，解对数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集.（2）根据A B A ⋃=得到B 是A 的子集，解对数不等式求得集合A ，根据集合B 是集合A 的子集列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，由于()lg 10lg1x ->=，即11x ->，所以{}2A x x =>.由于2340x x --<，即()()140x x +-<，所以()1,4B =-.所以()2,4A B ⋂=.（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆. 由于{}1A x x a =>+，则11a +≤-所以2a ≤-.【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查子集的概念及运算.属于基础题. 18．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【解析】【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.19．（1）已知()f x 的定义域为[]1,4，求(23)f x -的定义域.（2）已知()f x 是二次函数，且(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，求()f x .【答案】（1）21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()21f x x x =-+ 【解析】【分析】（1）根据同一对应关系下变量的范围相同来求解函数的定义域.（2）设出二次函数()f x 的表达式,结合题中的条件运用待定系数法求出函数解析式.【详解】（1）已知()f x 的定义域为[]1,4,所以对(23)f x -有1234x ≤-≤,解得2133x -≤≤,所以函数(23)f x -的定义域为21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）已知()f x 是二次函数,不妨设2()(0)f x ax bx c a =++≠,因为(0)1f =,则代入解析式中可得(0)1f c ==,又因为(1)()2f x f x x +-=,则有22(1)(1)2a x b x c ax bx c x ++++---=,化简得22ax a b x ++=,有220a a b =⎧⎨+=⎩即1a =,1b =-. 综上二次函数的解析式为:2()1f x x x =-+【点睛】本题考查了求抽象函数的定义域,同一函数的对应关系的变量相同来求解,在求函数解析式的方法有:待定系数法,方程组解法,配凑法,换元法等,需要掌握一些题型的固定解法,本题需要掌握解题方法.20．已知1()ln 1mx f x x -=-是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判定()f x 在()1,+∞上的单调性，并加以证明.【答案】（1）1m =-；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）由奇函数定义可求得m ；（2）用单调性定义证明．【详解】（1）1111()ln ln ,()ln ln 1111mx mx mx x f x f x x x x mx+-----==-=-=--+-- ()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， 即11ln ln ,111mx x m x mx---=∴=-+-. （2）由（1）知12()lnln 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭. 任取12,x x 满足121x x <<，则()()()211212122222211111111x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭. 由121x x <<知，21120,10,10x x x x ->->->12122222110,1101111x x x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+>∴+>+> ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 1222ln 1ln 111x x ⎛⎫⎛⎫∴+>+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()12,()f x f x f x >∴在(1,)+∞上是减函数 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数的这两个性质一般都是根据定义求解．21．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资额成正比，设比例系数为1k ，其关系如图1；B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为2k ，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出1,k 2k 的值，写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．【答案】（1）114k =，254k =．1(),4f x x =(0)x ≥，()g x =(0)x ≥．（2）A 产品投入3．75万元，B 产品投入6．25万元时，企业获得最大利润为65(4.0625)16万元． 【解析】【分析】 （1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据可得；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业的利润为y 万元．则有()(10)y f x g x =+-，(010)x ≤≤，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题．【详解】解析：（1）设投资额为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，由题设1()f x k x =，()g x k =． 由图知1(1)4f =，所以114k =，又5(4)2g =，所以254k =．所以1(),4f x x =(0)x ≥，()g x =(0)x ≥． （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业的利润为y 万元． 1()(10)4y f x g x x =+-=+(010)x ≤≤，t =，则221051565,444216t y t t -⎛⎫=+=--+ ⎪⎝⎭(0t ≤≤． 所以当52t =时，max 6516y =，此时251510 3.7544x =-==． ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为6516即4.0625万元． 【点睛】本题考查函数模型的应用．已知函数模型，直接设出解析式形式代入已知数据即可得函数解析式．换元法是求得最大值的关键．22．已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.（1）证明：函数()21xf x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点； （2）若函数()12423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1m ≤【解析】【分析】（1）设()212x t x =-≤≤，可求出12t t +=的解为11,42t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，从而可知当00x =时，001221x x --=+-成立，即可证明函数()21xf x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点；（2）由题意知()()0f x f x -+=在R 上有解，令22x x t -+=，则222280t mt m -+-=在[)2,t ∈+∞上有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在[)2,t ∈+∞上根的个数，得到关于m 的不等式，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】证明：（1）设()212xt x =-≤≤，则12t ≤≤4，令12t t+=，则2210t t -+=， 解得11,42t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即当00x =时，001221x x --=+-，即()()00f x f x -=-成立，即函数()21xf x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点解：（2）()12423xx f x m m --+-=-⋅+-，则()()0f x f x -+=在R 上有解.即12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解， 于是()()()244222230x xxx m m --+-⋅++-=（*）在R 上有解.令22x x t -+=，则2442x x t -+=-，所以方程（*）变为222280t mt m -+-=， 设120x x <<，则()()()1212121122121222212221212222222x x x x x x x x x x x x x x +--+--+++-+=-=，由120x x <<，2xy =在R 上单调递增知，12220x x -<，1221x x +<，1220x x +>，即此时()112222220xx x x --+-+>，所以函数22x x y -=+在(),0-∞上单调递减；设120x x <<，则()()()1212121122121222212221212222222x x x x x x x x x x x x x x +--+--+++-+=-=，由120x x <<，2xy =在R 上单调递增知，12220x x -<，1221x x +>，1220x x +>，即此时()112222220xx x x --+-+<，所以函数22x x y -=+在()0,∞+上单调递增；故[)2,t ∈+∞，从而已知即222280t mt m -+-=在[)2,t ∈+∞上有解. 设()22228g t t mt m =-+-（2t ≥），分为两种情况：∪当方程有在[)2,t ∈+∞唯一解时：则()2244280g m m =-+-<或()2244280222g m m m⎧=-+-=⎪⎨--≤⎪⎩， 解()20g <得，11m <<；解()2244280222g m m m⎧=-+-=⎪⎨--≤⎪⎩得，1m =，则11m ≤<；∪当方程在[)2,t ∈+∞有两个解时：()()222244280114428012222g m m m m m m m m m m ⎧⎪⎧=-+-≥≥≤⎪⎪⎪⎪∆=--≥⇔-≤≤⇔≤≤⎨⎨⎪⎪>-⎪⎪⎩->⎪⎩或综上得1m ≤ 【点睛】本题考查了换元法的应用，考查了由二次函数零点的分布求参数的取值范围.在第二问中，通过换元将函数在R 上有局部对称点问题，转化为222280t mt m -+-=在[)2,t ∈+∞上有解.已知二次函数的零点求参数的取值范围时，常依据∆与0的大小关系，对称轴、区间端点的函数值列关于参数的不等式.2020-2021学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合|A x y ==，{}3|log 2B x x =<，则A B =（ ）A ．[]1,3-B ．()1,3-C ．(]03,D ．()0,3【答案】C【分析】根据函数定义域求出{}|13A x x =-≤≤，根据定义域和对数运算求出{}|09B x x =<<，再求A B 即可.【详解】对于集合A ，2230x x -++≥，解得13x -≤≤， 所以集合{}|13A x x =-≤≤，对于集合B ，3log 2x <，解得09x <<， 所以集合{}|09B x x =<<， 所以{}|03A B x x =<≤.故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集运算和不等式运算，属于基础题. 2．已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-(n ∈Z )在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（ ） A ．3- B ．1C ．1-D ．1和3-【答案】B 【解析】 【分析】先由函数是幂函数，让其系为1，即2221+-=n n ，得到3n =-或1n =，再分别讨论，是否符合在()0,∞+上是减函数的条件. 【详解】 因为函数是幂函数 所以2221+-=n n 所以3n =-或1n =当3n =-时()18=f x x 在()0,∞+上是增函数，不合题意.当1n =时()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，成立故选：B本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则A．f（m）<f（1）B．f（m）=f（1）C．f（m）>f（1）D．f（m）与f（1）大小不确定【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，列方程求得m的两个值，再根据定义域包括原点，排除其中一个值，由此得到m的值和函数的解析式，进而得出正确的选项.【详解】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称，所以（–3–m）+（m2–m）=0，解得m=–1或m=3．当m=–1时，函数f（x）=x3，–2≤x≤2，所以f（m）=f（–1）<f（1）；当m=3时，函数f（x）=1x，在x=0时无意义，不满足题意，舍去,故选A．【点睛】本小题主要考查奇函数和偶函数定义域关于原点对称，考查奇函数的定义域，属于基础题. 4．下列哪一组函数相等（）A．f(x)=x与g(x)=x2xB．f(x)=x2与g(x)=(√x)4C．f(x)=|x|与g(x)=(√x)2D．f(x)=x2与g(x)=√x63【答案】D【解析】【分析】根据相等函数的要求依次判断两个函数的定义域和解析式是否相同，从而可求得结果.【详解】A选项：f(x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≠0}∴两函数不相等B选项：f(x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≥0}∴两函数不相等C选项：f(x)定义域为R；g(x)定义域为：{x|x≥0}∴两函数不相等。
江苏省苏州市昆山市2020-2021学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试卷及解析
江苏省苏州市昆山市2020-2021学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|1}B x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊂”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数()211x f x x-+=，则()2f 等于（ ）A.0B.23C.3D.834.若a,b,c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. a+c ≥b −c B. (a −b)c 2≥0C. ac>bcD.b a≤b+c a+c5.“0x ∀<，220x ax ++”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A.a ≤B.a ≤-C.a ≥D.a ≥-6.对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若()()2{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（ ）A.-1B.0C.1D.47.有一支长Lm 的队伍匀速前进，速度大小为1m/s v ，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为2m/s v ，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L m ，则12:v v 值为（ ）A.12B.21 18.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f a x +-=，若函数212x y x a+=-的图像与()y f x =的图像有4个交点，分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则1234y y y y +++=（ ）A.2B.4C.8D.2a第II 卷（非选择题）二、填空题命题，的否定为_____. 10.函数(2),0(),(),0x x x f x x a x x -≥⎧=⎨-<⎩对∀x ∈R ，有f (-x )+f (x )=0，则实数a 的值为_____.11.已知0a bc >，，，2223a ab ac bc +++=，则2ba c ++的最小值为_____.三、解答题12.幂函数f x x =过点()4,2.（1）求a 的值，并证明()f x 在[)0,+∞是增函数；（2）幂函数()g x 是偶函数且在()0,∞+是减函数，请写出()g x 的一个表达式（直接写结果，不需要过程）.13.设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩. （1）若4a =，求A B ，()RA B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题. 14.已知()()222f x x a x a =+-+.（1）若方程0f x在[]1,1-上有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()2f x a <.15.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元/m 2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2；再在四个空角(图中四个三角形)铺草坪，造价为80元/m 2.（1）设总造价为S (单位：元)，AD 长为x (单位：m)，求出S 关于x 的函数关系式；. （2）当AD 长取何值时，总造价S 最小，并求这个最小值. 16.已知函数()()2||210f x ax x a a =-+->.（1）请在如图所示的直角坐标系中作出12a =时()f x 的图像，并根据图像写出函数的单调区间；（2）设函数()f x 在[]1,2x ∈上的最小值为()g a . ①求()g a 的表达式；②若11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g a 的最大值.17.已知函数()4f x x x=+.（1）若在[]1,6上0x ∃，使得()0|6|f x a -成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式2116fm x -恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()||g x f x a a =-+在区间[]1,4上的最大值是5，求a 的取值范围四、新添加的题型18.下列函数中，对x R ∀∈，满足()()22f x f x =的是（ ） A.()f x x =B.()2f x x =C.()f x x x =-D.()1f x x x=+19.记全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有（ ） A.A B A ⋃=B.AB A =C.()()U UA B⊂D.UAB U20.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（ ） A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4 21.已知()2221x x f x x ++=+，则下列结论正确的是（ ）A.()0f x =方程无解B.()f x 的最小值为2C.()f x 的图像关于()1,0-对称D.()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+22.图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x 的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是______；图③的建议是_____.参考答案1.B【解析】1.根据Venn 图表示的集合运算结果求解． 图中阴影部分表示()U A B ，{|1}UB x x =≤，∴(){0,1}U AB =．故选：B ． 2.A【解析】2.本题首先可判断“3a =”能否证得“A B ⊂”，然后判断“A B ⊂”能否证得“3a =”，即可得出结果.当3a =时，集合{}1,3A =，满足A B ⊂，故“3a =”可以证得“A B ⊂”， “3a =”是“A B ⊂”的充分条件， 若A B ⊂，则a 的值为2、3都可， 故“3a =”不是“A B ⊂”的必要条件，综上所述，“3a =”是“A B ⊂”的充分不必要条件， 故选：A . 3.A【解析】3.整体代换，令12x +=，代入计算．令12x +=，则1x =，∴211(2)01f -==．故选：A ． 4.B【解析】4.根据不等式性质确定选项. 当c<0时，a +c ≥b −c 不成立；因为c 2≥0,a −b >0，所以(a −b)c 2≥0；当c<0时，ac >bc 不成立；当c<0时，ba ≤b+c a+c不成立；所以选B. 5.A【解析】5.将a 分离，可得2a x x ≤--，令()2g x x x=--()0x <，只需()min a g x ≤ ，再求()min g x 即可求解.由0x ∀<，220x ax ++可得：2a x x≤--， 令()2g x x x=--()0x < ，只需()min a g x ≤ ， ()()22g x x x x x ⎛⎫=--=-+-≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当2x x-=-，即x =所以()min g x= 所以a ≤ 故选：A 6.C【解析】6.根据定义求出()M x 的表达式，然后根据单调性确定最小值． 由23(1)x x -+=-解得：1x =-或2x =，2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥，2(1)3x x -<-+的解为12x -<<，∴2(1),12()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩或，∴2x ≤时，()M x 是减函数，2x >时，()M x 是增函数， ∴min ()(2)1M x M ==． 故选：C ． 7.C【解析】7.求出队伍前进的总时间，传令兵从队尾到队头的时间和从队头到队尾的时间，利用传令兵往返总时间与队伍前进时间相等即可得出22112220v v v v +-=，进而求解. 由题可得队伍前进的总时间为1L v ，传令兵从队尾到队头的时间为21L v v -，从队头到队尾的时间为21Lv v +，由传令兵往返总时间与队伍前进时间相等可得12121L L L v v v v v =+-+， 整理可得22112220v v v v +-=，即21122210v v v v ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，解得121v v =--（舍去）或121v v =-，12:1v v ∴=.故选：C. 8.B【解析】8.由题意可得两个函数都关于,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则可判断交点也关于,12a ⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可列出式子求出结果.函数()()f x x R ∈满足()()2f x f a x +-=，()f x ∴关于,12a ⎛⎫⎪⎝⎭对称， 211122x a y x a x a ++==+--也关于,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， ∴两个函数的交点关于,12a ⎛⎫⎪⎝⎭对称，不妨设()11,x y 和()44,x y ，()22,x y 和()33,x y 对称，14231212y y y y +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，则14232,2y y y y +=+=， 12344y y y y ∴+++=.故选：B.9.1x ∀>，21x ≤【解析】9.根据特称命题的否定为全称命题可得. 因为特称命题的否定为全称命题，则命题“1x ∃>，21x >”的否定为“1x ∀>，21x ≤”. 故答案为：1x ∀>，21x ≤. 10.2-【解析】10.根据已知得函数为奇函数，利用奇函数定义求解． ∵()()0f x f x ，娵()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，∴0x <时，()(2)(2)f x x x x x -=---=+，则()()(2)(2)f x f x x x x x =--=-+=--()x a x =-，∴2a =-．故答案为：2-．．【解析】11.由已知条件凑配出积为定值，113(2)22222b a c a c a b a c a c ⎛⎫++=+++=++ ⎪+⎝⎭，由基本不等式可得最小值．∵0a bc >，，，2223a ab ac bc +++=，∴()(2)3a b a c ++=，32a b a c+=+，∴1131(2)222222b a c a c a b a c a c ⎛⎫++=+++=++≥⨯= ⎪+⎝⎭，当且仅当322a c a c+=+，即2a c +=12.（1）12a =，证明见解析；（2）()4g x x -=（答案不唯一）.【解析】12.（1）将点()4,2代入函数()f x 的解析式，可求得a 的值，可得出()f x =函数单调性的定义可证得结论成立；（2）根据幂函数的基本性质可写出符号条件的函数()g x 的一个解析式. （1）把点()4,2代入()af x x =，得42a =，解得12a =，所以()12f x x ==， 任取1x 、[)20,x ∈+∞，且12x x <， 则()()12f x f x -==因为210x x >≥0>，所以120x x -<，所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，所以()f x 在[)0,+∞是增函数； （2）()4g x x -=（答案不唯一）.13.（1）{}35A B x x ⋂=<≤，(){3RA B x x ⋂=≤或}5x >；（2）选择①，1a ≤-；选择②，532a <≤；选择③，无解.【解析】13.（1）先求出集合A ，B ，再根据交集补集的定义即可求出；（2）选择①，则A B ，分A =∅和A ≠∅两种情况讨论；选择②，则B A ，则1225a a -≤⎧⎨>⎩，解出即可；选择③，则A B =，可得实数a 无解. （1）4a =时，{}38A x x =<<， 因为502x x-≥-，解得25x <≤，所以{}25B x x =<≤， 所以{}35A B x x ⋂=<≤，(){3RA B x x ⋂=≤或}5x >.（2）若选择①充分不必要条件作答，则A B ， 当A =∅时，12a a -≥，即1a ≤-时，满足A B ，当A ≠∅时，则121225a a a a -<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，不等式无解，综上，a 的取值范围为1a ≤-. 若选择②必要不充分条件，则B A ，所以1225a a -≤⎧⎨>⎩，解得532a <≤，综上，a 的取值范围为532a <≤； 若选择③充要条件，则A B =，实数a 无解. 14.（1）0,6-⎡⎣（2）见解析【解析】14.（1）由函数的零点的定义，结合二次函数图象的性质列出不等式组，求解即可； （2）将()2f x a <化简为()102a x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭，讨论,12aa -的大小关系，从而得出该不等式的解集. （1）因为0f x在[]1,1-上有两个不相等的实数根所以()()()()()228021<1{412201220a a a f a a f a a ∆=-->---<-=--+≥=+-+≥解得06a ≤<-所以实数a的取值范围为0,6-⎡⎣（2）不等式()2f x a <，即()22220x a x a a +-+-<，等价于()102a x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭当12a a =-，即23a =时，2203a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不等式无解；当12a a >-，即23a >时，不等式解集为1,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当12a a <-，即23<a 时，不等式解集为,12a a ⎛-⎫⎪⎝⎭综上，当23a =时，不等式解集为∅当23a >时，不等式解集为1,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 当23<a 时，不等式解集为,12a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭15.（1）2240000038004000(0S x x x =++<<；（2）当AD米时，总造价有最小值11800元.【解析】15. （1）设DQ y =，AD x =，根据正方形、长方形的面积公式得出22004x y x-=，再由相应单价乘以面积得出S 关于x 的函数关系式；（2）由基本不等式求出最小值即可.解：（1）设DQ y =，AD x =则，所以24200x xy +=所以，22004x y x -= 所以221420021048042S x xy y =+⨯+⨯⨯2240000038004000(0x x x =++<< （2）因为2240000038004000S x x =++3800118000(0x ≥+=<< 当且仅当224000004000x x=，即x =时，min 11800S =(元) 答：当AD米时，总造价有最小值11800元.16.（1）图象见解析，增区间()()1,0,1,-+∞，减区间()(),1,0,1-∞-；（2）①()132,211121,442163,04a a g a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩；②12-.【解析】16.（1）12a =时，()21||2f x x x =-，画出函数图象，根据图象即可得出单调区间； （2）①[]1,2x ∈时，()()2210f x ax x a a =-+->，讨论对称轴的范围，根据二次函数的单调性求解；②11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1214g a a a =--，根据单调性即可求出. （1）12a =时，()21||2f x x x =-，函数图象如图:增区间()()1,0,1,-+∞；减区间()(),1,0,1-∞-.（2）①因为[]1,2x ∈，所以()()2210f x ax x a a =-+->. 若112a <，即12a >时，()f x 在[]1,2上单调递增， 所以()()min 132f x f a ==-； 若1122a ≤≤，即1142a ≤≤时， ()f x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 所以()min 112124f x f a a a ⎛⎫ =-⎪⎝⎭=-； 若122a >，即104a <<时，()f x 在[]1,2上单调递减， 所以()()min 263f f x a ==-，综上()132,211121,442163,04a a g a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩； ②11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1214g a a a=--，因为12,4y a y a ==-在11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以()1214g a a a =--在11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以()g a 的最大值为1122g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 17.（1）2a ≤；（2）15m ≤-；（3）9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】17.（1）用单调性定义证明4()f x x x=+在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增．然后求得()f x 在[1,6]上的取值范围，从而得0()6f x -的最大值，即得a 的范围；（2）设t =(0,1]t ∈，不等式可变形为24161m t t ≤-+，求出24161t t-+在01t <≤时的最小值即可得m 的范围；（3）[1,4]x ∈时，()[4,5]f x ∈，然后分类讨论5a ≥，4a ≤，45a <<，求得最大值，由最大值为5得a 的范围．（1）设[]12,1,2x x ∀∈，且12x x <，则()()()()121212121212444x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=. 因为[]12,1,2x x ∀∈，且12x x <，所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>所以()()()1204,f x x x f x f x =+>>在[]1,2单调递减. 同理，()4f x x x =+在[]2,6单调递增 所以()2043f x ≤≤， 所以()2263f x -≤-≤， 所以()062f x ≤-≤，因为0x ∃，使得()6f x a -≥成立，只需()6max a f x ≤-所以2a ≤.（2）设t =(]0,1t ∈ 由题意416t mt t +≥+对(]0,1t ∈恒成立， 所以24161m t t≤-+. 因为22416114215t t t ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭-； 在12t =时有最小值15-， 所以15,m ≤-（3）因为[]1,4x ∈， 所以[]44,5x x+∈.①当5a ≥时，()442224g x a x a a x a a x x =--+=--≤-=- 所以()g x 的最大值245a -=， 即92a =(舍去) ②当4a ≤时，()445g x x a a x x x =+-+=+<， 此时命题成立.③当45a <<时，(){}4,5max g x max a a a a =-+-+ 则4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩解得92a =或92a < 综上，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 18.AC【解析】18.求出每个选项中函数的定义域，对每个选项中的函数()f x 的解析式是否满足()()22f x f x =进行验证，由此可得出合适的选项.对于A 选项，()f x x =，该函数的定义域为R ，则()()2222f x x x f x ===，合乎要求；对于B 选项，()2f x x =，该函数的定义域为R ，则()()()222244f x x x f x ===，不合乎要求；对于C 选项，()f x x x =-，该函数的定义域为R ，则()()222222f x x x x x f x =-=-=，合乎要求；对于D 选项，()1f x x x=+，该函数的定义域为{}0x x ≠，不合乎要求. 故选：AC.19.AD【解析】19.画出Venn 图，通过Venn 观察各选项可得． B A ⊆，用Venn 图表示：等价的只有AD ．故选：AD ．20.AB【解析】20.选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+= ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误. 故选：AB.21.ACD【解析】21.对于A ，利用()2222110x x x ++=++>可判断；对于B ，取2x =-可判断；对于C ，证明()()20f x f x +--=即可判断；对于D ，利用导数求出单调递增区间可判断.对于A ，要使()0f x =，则22201x x x ++=+，即2220x x ++=，()2222110x x x ++=++>，故方程无解，故A 正确；对于B ，当2x =-时，()4422221f -+-==--+，故B 错误； 对于C ，()()()()()222222222222222012111x x x x x x x x f x f x x x x x --+--++++++++--=+=+=+--++--，所以()f x 的图像关于()1,0-对称，故C 正确； 对于D ，()()()()()()()22222122211x x x x x x f x x x ++-+++'==++，令()0f x '>，解得2x <-或0x >，故()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，故D 正确.故选：ACD.22.增加票价，运营成本不变 票价不变，降低运营成本【解析】22.由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y轴上的截距的相反数表示运营成本，根据图②③中的斜率截距变化即可得出.由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y轴上的截距的相反数表示运营成本，图②中，直线的斜率增加，在y轴上的截距不变，即表示增加票价，运营成本不变，图③中，直线斜率不变，直线的截距增加，即表示票价不变，降低运营成本.故答案为：增加票价，运营成本不变；票价不变，降低运营成本.。
学2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)
学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：(本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合N，再与M求并集即可.【详解】因为，，所以，故选：C.【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2. 已知命题，，那么是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案.【详解】命题则为：，故选：D.【点睛】本题考全称命题的否定形式，属于简单题.3. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由题意得，不等式，解得或，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A．考点：充分不必要条件的判定．4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据指数的运算性质逐一判断即可.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.5. 设是非零实数，若，则一定有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，作差比较进行判断．【详解】因为，且，，的正负不确定，不能判断，A错；，所以，B正确；时， C错误；时，D错误．故选：B．【点睛】方法点睛：判断不等式是否成立方法如下：一是根据不等式的性质直接推理，二是作差后再由不等式的性质推理，三是通过举反例说明不等式不成立．6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】确定两个函数的定义是否相同，定义域相同时再看对应法则是否相同即可得．【详解】A中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数；B中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数；C中定义域是，定义域是，定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；D中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数．故选：C．7. 已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】使二次根式非负，分母不0即可．由此得一不等式恒成立，分类讨论可得．【详解】由题意恒成立，时，恒成立时，，解得．综上．故选：C．8. 已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定的奇偶性，然后由奇偶性和单调性比较大小．【详解】因为是奇函数，所以，是偶函数，，又，所以，即．故选：C．9. 某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据他行驶速度知距离的变化，速度越快变化越快，反应在图象上越陡峭．由此可得正确选项．【详解】中间停留了一段时间，中间有一段图象与时间轴平行，排除AC，后来是加速行驶，因此图象越陡峭，排除B，只有D符合．故选：D．10. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式.【详解】，由的解析式可知，在上是单调递增函数，再由，得，即，解得.故选：C.【点睛】此题重点考查了分段函数求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关.11. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，再计算出最小值为，然后求出的值后可得的范围．【详解】，在上递减，在上递增，，又，所以，由解得或，因此．故选：B．【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数在区间上的最值求法：设，函数的对称轴（），当时，，时，，时，，当时，，当时，．类似讨论．12. 设，，且，则（）A. 有最小值为4B. 有最小值为C. 有最小值为D. 无最小值【答案】B【解析】【分析】，，且，可得．代入，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．【详解】，，且，，解得．，当且仅当，时取等号．有最小值．故选：B．【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力．二、填空题(每小题5分，共30分)13. 函数的定义域是______．【答案】【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【详解】由，得且．函数的定义域为：；故答案为．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．14. 已知，则___________.【答案】16【解析】【分析】令，解出，代入解析式即可得结果.【详解】由于，令得，所以，即，故答案为：16.15. 函数(，且)的图象一定经过的点是___________【答案】【解析】【分析】令指数部分为0即可得定点.【详解】令，求得且，故函数的图象恒过一定点，故答案为：．16. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____【答案】1【解析】【分析】由幂函数的定义可得，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定的值.【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或，又∵该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数，即的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．17. 已知函数，满足对任意的实数，都有，则的取值范围是___________.【答案】.【解析】【分析】求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可.【详解】由题意得：在上单调递减，故，解得，即的取值范围是，故答案为：.【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式.18. 函数，()，若对任意的，存在，使，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】求出在上的值域，再求出在上的值域，由可得的范围．【详解】，，所以，又，所以时，，因为对任意的，存在，使，所以，解得．故答案为：．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则值域是值域的子集．三、解答题(共5个大题，共60分，规范书写解题过程)19. 已知全集，若集合，，（1）当，求；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据集合运算的定义计算；（2）由充分条件得是的子集，由此可得范围．【详解】（1）时，，，所以；（2）因为是的充分条件，所以，所以．20. 函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；(2)求当x<0时，函数的解析式．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）用函数的单调性定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论可得在上是减函数；（2）应用偶函数的性质，与时的解析式，可以求出时的解析式．【详解】（1）证明：∵，任取，且；则；∵，∴，；∴，即；∴在上是减函数；（2）当时，，∵时，，∴，又∵是上的偶函数，∴∴；即时，．【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性求函数在对称区间内的解析式，利用定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论，最大的难点即为化简（因式分解）判断的符号，属于基础题．21. 已知，若关于的不等式的解集是.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由题可知和1是方程的两根，即可求出，进而解出不等式；（2）求出在的最大值，令即可解出.【详解】（1）若关于的不等式的解集是，则和1是方程的两根，且，则，解得，则不等式为，即，解得或，即不等式的解集为或；（2），不等式在上恒成立，令，，可知在单调递增，则，，即.22. 已知定义在上的奇函数是增函数.（1）若，求的取值范围；（2）若，解不等式.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由奇函数把不等式变为，再由单调性求解；（2）由奇函数求得，然后由单调性解不等式．【详解】（1），又是奇函数，所以，因为是上的奇函数，所以，解得；（2）因为是奇函数，所以．即，所以，又是上的增函数，所以，解得．【点睛】方法点睛：本题考查由函数的奇偶性与单调性解不等式，解题方法是：若是奇函数，则一般不等式是，由奇函数性质变化为，再由单调性求解；若是偶函数，则一般不等式是，由偶函数性质变化为，再由单调性求解；解题时都要注意函数的定义域，即单调性所在区间．23. 设函数，且函数的图象关于直线对称.（1）求函数在区间上的最小值；（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.【答案】（1）1；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由对称轴得，从而可得最小值；（2）分离参数后，求出函数的最大值，即得．（3）确定的单调性，求出最大值和最小值，由可得．【详解】（1）因为是函数的对称轴，所以，即，时，；（2）不等式为，因为，所以，由勾形函数知在上递减，在上递增，时，，时，，所以，不等式上有解，则．（3）由题意，易知在上递减，在上递增，，，，所以，因为对于任意的都有，所以，所以的最小值为．【点睛】结论点睛：二次函数在区间上最值问题：设，函数的对称轴（），当时，，时，，时，，当时，，当时，．类似讨论．学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：(本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合N，再与M求并集即可.【详解】因为，，所以，故选：C.【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2. 已知命题，，那么是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案.【详解】命题则为：，故选：D.【点睛】本题考全称命题的否定形式，属于简单题.3. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由题意得，不等式，解得或，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A．考点：充分不必要条件的判定．4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数的运算性质逐一判断即可.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.5. 设是非零实数，若，则一定有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，作差比较进行判断．【详解】因为，且，，的正负不确定，不能判断，A错；，所以，B正确；时， C错误；时，D错误．故选：B．【点睛】方法点睛：判断不等式是否成立方法如下：一是根据不等式的性质直接推理，二是作差后再由不等式的性质推理，三是通过举反例说明不等式不成立．6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】确定两个函数的定义是否相同，定义域相同时再看对应法则是否相同即可得．【详解】A中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数；B中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数；C中定义域是，定义域是，定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；D中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数．故选：C．7. 已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】使二次根式非负，分母不0即可．由此得一不等式恒成立，分类讨论可得．【详解】由题意恒成立，时，恒成立时，，解得．综上．故选：C．8. 已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定的奇偶性，然后由奇偶性和单调性比较大小．【详解】因为是奇函数，所以，是偶函数，，又，所以，即．故选：C．9. 某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（）A. B.C. D.根据他行驶速度知距离的变化，速度越快变化越快，反应在图象上越陡峭．由此可得正确选项．【详解】中间停留了一段时间，中间有一段图象与时间轴平行，排除AC，后来是加速行驶，因此图象越陡峭，排除B，只有D符合．故选：D．10. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式.【详解】，由的解析式可知，在上是单调递增函数，再由，得，即，解得.故选：C.【点睛】此题重点考查了分段函数求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关.11. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）【分析】求出，再计算出最小值为，然后求出的值后可得的范围．【详解】，在上递减，在上递增，，又，所以，由解得或，因此．故选：B．【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数在区间上的最值求法：设，函数的对称轴（），当时，，时，，时，，当时，，当时，．类似讨论．12. 设，，且，则（）A. 有最小值为4B. 有最小值为C. 有最小值为D. 无最小值【答案】B【解析】，，且，可得．代入，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．【详解】，，且，，解得．，当且仅当，时取等号．有最小值．故选：B．【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力．二、填空题(每小题5分，共30分)13. 函数的定义域是______．【答案】【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【详解】由，得且．函数的定义域为：；故答案为．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．14. 已知，则___________.【解析】【分析】令，解出，代入解析式即可得结果.【详解】由于，令得，所以，即，故答案为：16.15. 函数(，且)的图象一定经过的点是___________【答案】【解析】【分析】令指数部分为0即可得定点.【详解】令，求得且，故函数的图象恒过一定点，故答案为：．16. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____【答案】1【解析】【分析】由幂函数的定义可得，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定的值.【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或，又∵该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数，即的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．17. 已知函数，满足对任意的实数，都有，则的取值范围是___________.【答案】.【解析】【分析】求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可.【详解】由题意得：在上单调递减，故，解得，即的取值范围是，故答案为：.【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式.18. 函数，()，若对任意的，存在，使，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】求出在上的值域，再求出在上的值域，由可得的范围．又，所以时，，因为对任意的，存在，使，所以，解得．故答案为：．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则值域是值域的子集．三、解答题(共5个大题，共60分，规范书写解题过程)19. 已知全集，若集合，，（1）当，求；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据集合运算的定义计算；（2）由充分条件得是的子集，由此可得范围．【详解】（1）时，，，所以；（2）因为是的充分条件，所以，所以．20. 函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为(2)求当x<0时，函数的解析式．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）用函数的单调性定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论可得在上是减函数；（2）应用偶函数的性质，与时的解析式，可以求出时的解析式．【详解】（1）证明：∵，任取，且；则；∵，∴，；∴，即；∴在上是减函数；（2）当时，，∵时，，∴，又∵是上的偶函数，∴∴；即时，．【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性求函数在对称区间内的解析式，利用定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论，最大的难点即为化简（因式分解）判断的符号，属于基础题．21. 已知，若关于的不等式的解集是.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】【分析】（1）由题可知和1是方程的两根，即可求出，进而解出不等式；（2）求出在的最大值，令即可解出.【详解】（1）若关于的不等式的解集是，则和1是方程的两根，且，则，解得，则不等式为，即，解得或，即不等式的解集为或；（2），不等式在上恒成立，令，，可知在单调递增，则，，即.22. 已知定义在上的奇函数是增函数.（1）若，求的取值范围；（2）若，解不等式.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由奇函数把不等式变为，再由单调性求解；（2）由奇函数求得，然后由单调性解不等式．【详解】（1），又是奇函数，所以，因为是上的奇函数，所以，解得；（2）因为是奇函数，所以．即，所以，又是上的增函数，所以，解得．【点睛】方法点睛：本题考查由函数的奇偶性与单调性解不等式，解题方法是：若是奇函数，则一般不等式是，由奇函数性质变化为，再由单调性求解；若是偶函数，则一般不等式是，由偶函数性质变化为，再由单调性求解；解题时都要注意函数的定义域，即单调性所在区间．23. 设函数，且函数的图象关于直线对称.（1）求函数在区间上的最小值；（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.【答案】（1）1；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由对称轴得，从而可得最小值；（2）分离参数后，求出函数的最大值，即得．（3）确定的单调性，求出最大值和最小值，由可得．【详解】（1）因为是函数的对称轴，所以，即，时，；（2）不等式为，因为，所以，由勾形函数知在上递减，在上递增，时，，时，，所以，不等式上有解，则．（3）由题意，易知在上递减，在上递增，，，，所以，因为对于任意的都有，所以，所以的最小值为．【点睛】结论点睛：二次函数在区间上最值问题：设，函数的对称轴（），当时，，时，，时，，当时，，当时，．类似讨论．。
2020-2021学年高一上学期数学期中考试卷含解析
数 学本试卷分两部分，共4页，总分值150分，考试用时120分钟。
本卷须知：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分 基础检测(共100分)【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，那么右图中的阴影部分表示的集合为〔 〕 A 、{}2 B 、{}4,6 C 、{}1,3,5 D 、{}4,6,7,82．设f ：x→x2是从集合A 到集合B 的映射，如果A ＝{1,2}，那么A∩B 为 ( )A 、∅B 、∅或{2}C 、{1}D 、∅或{1} 3．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，那么使函数αx y =的定义域为R 的所有α的值为〔 〕A 、1,3B 、-1,1C 、-1,3D 、-1,1,3 4．设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833在=-+x x 内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 那么据此可得该方程的有解区间是〔 〕A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定 5．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为〔 〕A 、60.70.70.7log 66<< B 、60.70.70.76log 6<< C 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<<6．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-且0)2(=f ，假设当[0,5]x ∈时，)(x f 的图象如右图,那么不等式()0f x <的解是〔〕A 、]5,2(B 、)0,2(-C 、]5,2(]5,2(⋃--D 、(](2,0)2,5- 7．函数112+=x y 的值域是〔〕 A 、),1[+∞B 、]1,0(C 、]1,(-∞D 、),0(+∞8．偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，那么满足)(x f ＜)1(f 的x 取值范围是( )A 、〔-1，1〕B 、(-1，0〕C 、〔0，1〕D 、[-1，x1)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9．a y xy =-=与函数|1|2的图象有4个交点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A 、〔0，+∞〕B 、(-1，1〕C 、〔0，1〕D 、〔1，+∞〕10．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩那么关于x 的不等式1)(≤x g 的解是〔 〕A 、]1,(-∞B 、],(e -∞C 、],0[eD 、]1,0[【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 11．设函数)3(2log )(x x f -=，那么函数)3(x f 的定义域是___________.12．设集合M ＝{x|x2<a}，集合N ＝{x|21<<x }，假设集合N 是集合M 的子集，那么实数a 的取值范围是_________________. 13．函数()f x 是定义在R上的奇函数，当0>x 时，()2xf x =，那么(2)f -=___________.14．函数f(x)＝ax ＋loga(x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，那么a 的值为_______.【三】解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．指对数的运算 15．〔本小题10分〕5100=m，210=n ，(1)求n m +2的值.(2) x1、x2、…x2018均为正实数，假设函数f(x)＝logax(a ＞0且a≠1)且f(x1x2…x2018)＝n m +2， 求f(21x )＋f(22x )＋…＋f(22010x )的值16．〔本小题10分〕设集合{}42<=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+=134x x B ． 〔1〕求集合B A ； 〔2〕假设不等式022<++b ax x的解集为B ，求a ，b 的值．17．〔本小题10分〕函数12121)(++-=xx f(1) 证明：函数f(x)是奇函数. (2) 证明：对于任意的非零实数x 恒有x f(x)<0成立. 第二部分 能力检测(共50分)【四】填空题：本大题共2小题，每题5分，共10分． 18．假设32log 2)3(x f x =，那么=+++)16()8()4()2(f f f f ____________.19．假设关于x 的方程x x-=2，xx=21log ，212log xx=的解分别为123x x x ，，，那么123x x x ，，的大小关系是_____>______>_____. 【五】解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．〔本小题13分〕二次函数,)(2c ax x x f +-=〔其中0c >〕〔1〕试讨论函数)(x f 的奇偶性. 〔2〕当)(x f 为偶函数时，假设函数()()f x g x x =，试证明：函数)(x g 在),0(c 上单调递减，在),(+∞c 上单调递增；21．〔本小题总分值13分〕上的是定义在已知R )(x f 单调函数，:,总有对任意的实数n m ；)()()(n f m f n m f ⋅=+ 1)x (f 00x <<>时，且.〔1〕证明：f(0)=1且x<0时f(x)>1; 〔2〕.a 412x)-f(a 1)x (f 161)4(f 2的取值范围恒成立的参数对任意实数时，求使当x ≤⋅-=22．〔本小题总分值14分〕函数kxx x x f ++-=221)(，且定义域为〔0，2〕.(1〕求关于x 的方程kx x f =)(+3在〔0，2〕上的解； 〔2〕假设)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；〔3〕假设关于x 的方程0)(=x f 在〔0，2〕上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围。
2020—2021学年上学期期中学情调研高一数学试题
高邮市2020—2021学年上学期期中学情调研高 一 数 学 2020.11（考试时间：120 分钟 总分：150 分）一、单项选择题：本题共8小题, 每小题 5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，则A B =（ ）A.{}3B.{}1,2,3,4,5C.{}2,3,4D.{}1,2,4,52. 函数3()x f x +=的定义域为（ ） A.{}3x x ≥- B.{}3x x >- C.{}31x x x ≥-≠且 D.{}31x x x >-≠且3. 不等式2302x x +≥-的解集为（ ） A.322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 B.322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C.322x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或D.322x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭ 4. 若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，2()24f x x x =-，则(1)f -的值为（ ）A.6B.6-C.2-D.2 5. 已知函数21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f a =，则实数a 的值为（ ）A.3±B.3C.3-D.35-或-6. 若lg 2a =，lg3b =，则5log 24等于（ ）A.31a b a ++B.31a b a ++C.31a b a +-D.31a b a+- 7. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数21()x f x x-=的图象大致为（ ）B C D8. 若对满足条件)0,0(>>+=y x y x xy 的任意，，y x 不等式02>-+k y x 恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A. (,322]-∞+B.(,322)-∞+C.(,42)-∞D. (,42]-∞二、多项选择题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分, 部分选对的得3分, 有选错的得0分.9. 下列函数中最小值为2的是（ ）A.1y x x =+B.y x x=+ C.2233y x x =+++ D.4(2)2y x x x =+>-+ 10.下列式子中，可以是21x <的必要条件的有（ ）A.1x <B.01x <<C.10x -<<D.1x >-11.已知110b a<<，则下列选项正确的是（ ） A.a b ab +< B.a b < C.a b < D.2ab b >12.若关于x 的一元二次方程(1)(3)x x m --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中正确的说法是（ ）A. 1m >-B.1m <-C. 当0m >时，1213x x <<<D. 当0m >时，1213x x <<<三、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.13. 命题“2,21x R x x ∀∈≥-”的否定为 .14. 已知奇函数()f x 在[)0,+∞上的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为 .15. 如图，在空地上有一段长为100米的旧墙MN ，小明利用旧墙和长为200米的木栏围成中间有一道木栏的长方形菜园ABCD ，其中MN AD ≤，长方形菜园一边靠旧墙，无需木栏.若所围成的长方形菜园的面积为3300平方米，则所利用旧墙AD 的长为 米.A16. 已知函数22, 1()+1, 1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，若()f x 在定义域上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）化简与求值：（1）2ln 435log 125(0.125)e -++； （2）若11225x x-+=，求1x x --的值.18.（本小题12分）已知集合{}34A x x x =≤-≥或，{}43B x a x a =≤≤+.（1）若1a =-，求A B ，A B ；（2）若A B B =，求实数a 的取值范围.19.（本小题12分）已知2:,2p x R x x a ∀∈+≥，()2:431q x -≤，2:(21)(1)0r x a x a a -+++≤. （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若q 是r 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.（本小题12分）已知函数1)(2++=x b ax x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，且.58)21(=f （1）求函数)(x f 的解析式；（2）用定义证明：)(x f 在)1,1(-上是增函数；（3）解不等式0)()13(<+-t f t f .21.（本小题12分）近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本)(x R 万元，且210100+1000,040()100007018450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部．手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2021年的利润)(x W （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22.（本小题12分）对于定义域为I 的函数，如果存在区间I n m ⊆],[，同时满足下列条件： ① 函数)(x f 在区间],[n m 上是单调的；② 当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m .则称],[n m 是函数)(x f y =的一个“和谐区间”.（1）写出函数)0(21)(2≥=x x x f 的一个“和谐区间”（不需要解答过程）； （2）证明：函数5()4g x x=-不存在“和谐区间”； （3）已知：函数22()4()(,0)a a x h x a R a a x+-=∈≠有“和谐区间”],[n m ，当a 变化时，求出m n -的最大值.高邮市2020—2021学年上学期期中学情调研高一数学参考答案一、单项选择题：1.A2.C3.C4.D5.C6.C7.D8.B二、多项选择题：9.BD 10.AD 11.ABD 12.AC三、填空题：13.2,21x R x x ∃∈<-.14.()2,0(2,)-+∞15.90 ()16.,1(2,)-∞+∞ 四、解答题：17.(1)原式=23314()=4+6+4=182-++14;-----------------------------------------------5分 (2)由1122x x -+=平方得1+25x x -+=，所以13x x -+=所以2222+29=7x x x x --+=+，则1222()2=5x x x x ---=-+所以1=x x -----------------------------------------------------------------------10分 （第2问少一解扣2分）18.解：（1）{}1,42a B x x =-=-≤≤， 又{}34A x x x =≤-≥或， 所以{}43,AB x x =-≤≤- {}24.A B x x x =≤≥或----------------------------------------------------------6分(2) 因为A B B =，所以B A ⊆.当B =∅时，43a a >+得1a >；当B ≠∅时，应满足434433a a a a ≤+⎧⎨≥+≤-⎩或， 解得1 6.a a =≤-或综上：a 的取值范围为{}16.a a a ≥≤-或----------------------------------------------------------12分19. 解：（1）若p 为真，则不等式220x x a +-≥对x R ∀∈恒成立，所以440a ∆=+≤，1a ≤-，所以实数a 的取值范围为(],1-∞-.----------------6分（2）1:1,:12q x r a x a ≤≤≤≤+ 因为q 是r 的充分不必要条件，所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩且上述等号不同时取，所以102a ≤≤，所以实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.--------------------------------------12分20. 解：（1）由题意得：(0)01182()12514f b a f ==⎧⎪⎪⎨==⎪+⎪⎩， 解得40a b =⎧⎨=⎩，24()1x f x x =+，此时24()()1x f x f x x --=+=-，满足题意， 所以24().1x f x x =+---------------------------------------------------------------3分 （2）任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <1221121222221212444()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 因为1211x x -<<<，所以222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ->-<++>所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(1,1)-上是增函数.---------------------------------------------------------7分(3) 因为(31)()0f t f t -+<，所以(31)()f t f t -<-，因为()f x 是(1,1)-上的奇函数，所以(31)()f t f t -<-，由（2）知()f x 是(1,1)-上的增函数，所以1311t t -<-<-<，104t <<，所以，不等式的解集为：1(0,).4---------------------------------------------------------12分 21.解：（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-； 当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ ()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元 .若40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=时，即100x =时，()max 8000W x =万元 . 答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.22.解：（1）[]0,2----------------------------------------------------------------------------------2分（2）设[],m n 是已知函数定义域的子集．0x ≠，[](),,0m n ∴⊆-∞或[],(0,)m n ⊆+∞， 故函数5()4g x x=-在[],m n 上单调递增． 若[],m n 是已知函数的“和谐区间”，则()()g m m g n n =⎧⎨=⎩， 故m 、n 是方程54x x-=的同号的相异实数根． 2450x x -+=无实数根， 所以函数5()4f x x=-不存在“和谐区间”．-------------------------------------------------5分 （3）设[],m n 是已知函数定义域的子集．0x ≠，[](),,0m n ∴⊆-∞或[],(0,)m n ⊆+∞，故函数222()414()a a x a h x a x a a x+-+==-在[],m n 上单调递增． 若[],m n 是已知函数的“和谐区间”，则()()h m m h n n =⎧⎨=⎩， 故m 、n 是方程214a x a a x +-=， 即222()40a x a a x -++=的同号的相异实数根． 240mn a =>， m ∴，n 同号，只须2222()16(3)(5)0a a a a a a ∆=+-=-+>， 即5a <-或3a >，已知函数有“和谐区间”[],m n ，n m -==，所以，当15a =时，n m -取最大值15．------------------------------------------------------12分。
2020-2021高一数学上期中试题含答案
2020-2021高一数学上期中试题含答案一、选择题1．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 3．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3]4．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥5．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z6．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =7．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]8．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3B ．2-C ．3-D ．29．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-11．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7812．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ）A ．52B ．5222+C ．32D ．2二、填空题13．函数y=232x x --的定义域是 .14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．15．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 16．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．17．若4log 3a =，则22a a -+= ．18．计算：__________．19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面；②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________. 三、解答题21．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 22．已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数． （1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．23．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?24．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围. 25．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 26．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.2．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.5．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.6．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.7．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.8．A解析：A 【解析】由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．10．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
【高一】2021 2021学年高一数学上册期中调研考试试卷(含答案)
【高一】2021 2021学年高一数学上册期中调研考试试卷(含答案)【高一】2021-2021学年高一数学上册期中调研考试试卷(含答案)一、：（每个问题的四个选项中只有一个正确，共有12个子问题，每个问题得5分）1.下列选项中，集合m=n的选项是()a、 b。
c.d.2.已知，那么（）a.1b.2c.3d.43.计算结果为（）a.b.c.d.4.以下图像可以用M=表示函数，定义域和值域为（）5.已知函数的定义域为[0,1]，则函数的定义域为()a、 [0,1]b.[1,0]c.[1,1]d.[1,2]6已知，，，那么（）（a） a＜b＜c（b）a＜c＜b（c）b＜a＜c（d）c＜a＜b7.函数在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，()a、 b.2c。
4d。
8.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）a、不列颠哥伦比亚省。
9.函数（）a、（1,0）b.（0）c.（1,1）d.（1）10.是奇函数，则的值是（）a、 b.0c。
1d。
二11.已知函数的定义域为r，则m的取值范围是（）a、不列颠哥伦比亚省。
12.二次函数（）二题：（每题5分，共4题）13.方程的解集为m,的解集为n，若,那么______.14.如果已知幂函数的图像通过该点，则___15.一次函数的零点为2，那么函数的零点为______.16.假设函数是上的增函数，a（0，-1）和B（3,1）是其映象上的两点，则解集的补是_______三.解答题：(共6个题，70分；要求写明简要的解答过程)17.（10点）找出区间[2,6]上函数的最大值和最小值18.(12分)已知集合.19(12分).计算下列各式（ⅰ）（ⅱ）20.（12分）一个城市有两个乒乓球俱乐部，都有桌子出租。
使用该桌子的收费标准为：a俱乐部每张桌子每小时5元；俱乐部B在一个月内30小时（含30小时）内每桌收费90元，30小时以上每桌收费2元。
张先生计划下个月从两人中的一人那里租一张桌子进行乒乓球训练。
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郑集高中2020-2021学年度上学期高一第二次学情调查数学试题考试时间120分钟 试卷满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R=2.命题p ：n N ∃∈，则22n n > 的否定是( ) A ．n N ∀∈，22n n > B ．n N ∃∈，22n n ≤ C ．n N ∀∈，22n n ≤ D ．n N ∀∈，22n n <3.下列命题中，正确的是( ) A ．若ac bc <，则a b < B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若0a b >>，则22a b > D ．若a b <，c d <，则a c b d -<-4.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ） A ．12B ．15 C ．16D ．15.已知x >1，则122-+x x 的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．26.已知条件:()(3)0p x m x m --->；条件2:340q x x +-<，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，][17⋃-，)+∞ B ．(-∞，7)(1-⋃，)+∞C ．(7,1)-D ．[7-，1]7.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的最小值为0，若关于x 的不等式()f x c <的解集为)10,(+m m ，则实数c 的值为( )A ．9B ．10C ．25D ．248.在实数集中定义一种运算“”，,a b ∀∈R ，a b *是唯一确定的实数，且具有以下性质：①a ∀∈R ，0a a *=； ②,a b ∀∈R ，()()00a b ab a b *=+*+*． 则函数221y x x =*的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．8二、多选题（本题共4道小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 9.设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,4},{0,1,3}A B ==，则（ ） A ．{0,1}A B =B ．{}4BC u =C ．{0,1,3,4}AB =D ．集合A 的真子集个数为810.若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg 6b a ->11.已知集合{}23100A x x x =∈+-<Z ，{}22240B x x ax a =++-=． 若A B 中恰有2个元素，则实数a 值可以为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-12.设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法正确的是( )A ．12m n+322+ B mn 的最大值为12C m n 的最小值为2D ．22m n +的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．计算：63205.252⨯⨯的值为_______．14．已知集合{},,,1a b a A +=集合,,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b a b B 且,B A =则=-b a _______． 15．若方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2,则m 的范围是_______．16.已知a ，b 都是正数，且,13=++b a ab ，则ab 的最大值是_______．四、解答题：本小题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）计算下列各式的值.（1）141210.25()42162--⨯--÷+；（2）()3332393222log 83229log log log log log -+-⋅+．18．（本小题12分）已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}=-≤≤C x m x m （1）求A B ，()R C A B ⋃；（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.19．（本小题12分）已知集合(){}223120A x x a x a a =--+-<，集合{}2430B x x x =-+<.（1）当2a =时，求A B ；（2）命题P ：x A ∈，命题Q ：x B ∈，若P 是Q 的充分条件，求实数a 的取值范围.20．（本小题12分）已知函数 )(4)2(2R a x a x y ∈++-=（1）解关于x 的不等式a y 24-≤的解集中仅有2个整数，求实数a 的取值范围； （2）若对任意的[]4,1∈x ，01≥++a y 恒成立，求实数a 的取值范围.21．（本小题12分）设函数)0(,3)2(2≠+-+=a x b ax y（1）若不等式0>y 的解集为)3,1(-，求b a ,的值； （2）若1=x 时,1,0,2->>=b a y 求141++b a 的最小值. （3）若,a b -=求不等式1≤y 的解集.22．（本小题12分）某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k ．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．月考2数学试题答案1. B2.C3.C4.D5.A6.A7.C8.A9.AC 10.ACD 11.AB 12.ABD 13.10 14.-2 15.45-≤<-m 16.91 17.解：()14121110.25()42161684024--⨯--÷+=⨯-+=．()()3332393222283229log log log log log log -+-⋅+ 33323231225223232 3.22log log log log log log log =-++-⋅-1212=--12=．18.解：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m mm m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭19.解：（1）当2a =时，22{|(31)20}{|23}A x x a x a a x x =--+-<=<<，2{|430}{|13}B x x x x x =-+<=<<． {|23}{|13}{|23}AB x x x x x x =<<<<=<<；（2）:P x A ∈，:Q x B ∈，若P 是Q 的充分条件， 则A B ⊆．因为(){}()(){}223120120A x x a x a a x x a x a =--+-<=+--<当1a =时，A =∅，显然成立；当1a <时，{|21}A x a x a =-<<，{|13}B x x =<<，∴2113a a -⎧⎨⎩，解得a ∈∅；当1a >时，{|21}A x a x a =<<-，{|13}B x x =<<，∴1213a a >⎧⎨-⎩，解得12a <．∴实数a 的取值范围是[]1,2．20.（Ⅰ）()24f x a ≤-+ 即()2220x a x a -++≤，∴ ()20x a x （）--≤，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2x x =； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述：(][)5,40,1⋃-∈a（Ⅱ）对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--， 14x <≤，∴ 013x <-≤ ，∴ ()4411411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=”,4a ∴≤ . 综上4a ≤ .21.解答:（1）4,1=-=b a （2）最小值为29（3）略22.解：（1）由题意可得当120x =时，1450014500()(120)11.555120x k k x -+=-+=，解得100k =，由14500(100)95x x-+，即214545000x x -+，解得45100x ， 又60120x ，可得60100x ，每小时的油耗不超过9升，x 的取值范围为[60，100]；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，则 2100145002090000()20(60120)5k y x k x x x x x =-+=-+， 令1t x =，则1[120t ∈，1]60， 即有22290000202090000()209000900k k y t kt t =-+=-+-， 对称轴为9000k t =，由60100k ，可得1[9000150k ∈，1]90， ①若19000120k 即75100k ，则当9000kt =，即9000x k =时，220900min k y =-；②若19000120k <即6075k <， 则当1120t =，即120x =时，10546min k y =-． 答：当75100k ，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升；当6075k <，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k-升．。